第6讲 立体几何小题专项【十大考点+十大题型】-2024-2025学年高一数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲精练讲义（人教A版2019必修第二册）

第6讲 立体几何小题 【复习目录】 · 一、认识几何体 · 二、直观图问题 · 三、求简单几何体的表面积 · 四、求简单几何体的体积 · 五、几何体的“内切”、“外接”球问题 · 六、空间点、直线、平面之间的位置关系 · 七、求异面直线的夹角 · 八、直线、平面平行的判定与性质 · 九、直线、平面垂直的判定与性质 · 十、立体几何综合压轴题问题 【知识梳理】 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 2.直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 4.柱、锥、台、球的表面积和体积 　　　名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 5．线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 (简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 (简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b 6.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 (简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ⇒a∥b 7．直线与平面垂直 (1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 8.平面与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 【题型归纳】 题型一、认识几何体 1．（23-24高一下·浙江·期中）下列四个命题中正确的是（    ） A．每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 【答案】C 【分析】根据题意，举出反例可得AB错误，由圆柱、圆锥的定义分析CD，综合可得答案． 【详解】根据题意，依次分析选项： 对于A，如图： 在三棱锥中，有，， 该每个面都是等腰三角形，但该棱锥不是正三棱锥，A错误； 对于B，底面为菱形的直四棱柱，其侧棱与底面边长相等， 该四棱柱的所有棱长都相等，但不是正方体，B错误； 对于C，以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱，C正确； 对于D，以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥，D错误． 故选：C． 2．（23-24高一下·天津·期中）下列说法中，正确的有（    ）个． ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ②用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ③三棱锥的四个面都可以是直角三角形； ④梯形的直观图可以是平行四边形； ⑤通过圆台侧面一点，有无数条母线； ⑥四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】举例说明，结合锥体、台体的结构特征判断①②③⑤⑥；利用斜二测画法规则判断④即可. 【详解】对于①，正八面体的8个面都是三角形，正八面体不是三棱锥，①错误； 对于②，当截面与棱锥底面不平行时，原棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，②错误； 对于③，经过底面直角三角形锐角顶点的侧棱垂直于底面的三棱锥，四个面都是直角三角形，③正确； 对于④，梯形的直观图不可以是平行四边形，④错误； 对于⑤，圆台所有母线交于一点，因此通过圆台侧面一点，有一条母线，⑤错误； 对于⑥，一条侧棱垂直于底面矩形的四棱锥，四个侧面都是直角三角形，⑥正确， 所以正确命题的个数为2. 故选：C 3．（23-24高一下·广东湛江·期末）下列说法正确的是（    ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 【答案】C 【分析】利用棱柱的定义判断ABC；利用棱台的定义判断D. 【详解】对于A，正六棱柱正对的两个侧面平行，但它们不是正六棱柱的底面，A错误； 对于B，底面邻边不等的长方体的相邻两个侧面不全等，B错误； 对于C，由棱柱的定义知，C正确； 对于D，当截面与棱锥的底面不平行时，棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，D错误. 故选：C 题型二、直观图问题 4．（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图，已知等腰三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（   ）    A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】在直观图中，，而，因此是等腰直角三角形， 利用斜二测画法的定义，画出原图形，    由等腰斜边，得， 因此，， 所以原平面图形的面积是. 故选：D 5．（23-24高一下·江西赣州·期末）如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面图与直观图的联系，分别判断三角形在两坐标系中的边、角关系，计算即得. 【详解】 根据题意，轴，轴，故， 又，则，， 在平面图直角坐标系中，有， 于是，，，， 所以的周长为. 故选：C. 6．（23-24高一下·辽宁·期末）若水平放置的平面四边形AOBC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则以原四边形AOBC 的边 AC为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由斜二测画法的直观图，得出原图形为直角梯形，再轴旋转一周得到的圆柱和圆锥的组合几何体的体积. 【详解】由题意，，，，， ， 所以原图形中，，，，， ， 所以梯形以边为轴旋转一周得到的几何体为圆柱去掉一个同底圆锥的组合体， ． 故选：D． 题型三、求简单几何体的表面积 7．（23-24高一下·河北唐山·期中）一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为（   ） A． B．54 C． D．27 【答案】A 【分析】先根据内切球得出三棱柱的高，再计算得出底面边长，进而计算得出表面积即可. 【详解】设球的半径为，因为，所以， 因为球面与该正三棱柱的所有面都相切， 所以正三棱柱的高为，设正三棱柱底面边长为， 因为球的半径等于底面正三角形的内切圆半径， 所以，所以， 则正三棱柱的表面积为. 故选：A. 8．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）石墩随处可见，形状各异，美化了我们的环境，已知某正四棱台石墩的上、下底面边长分别为40cm，58cm，侧棱长为41cm，则该石墩的侧面积为（    ） A．8036cm2 B．13000cm2 C．7840cm² D．12804cm² 【答案】C 【分析】由棱台的性质和勾股定理求得棱台的斜高，再由棱台的侧面积公式，计算可得所求值． 【详解】设，，，可得正四棱台的斜高为， 所以棱台的侧面积为． 故选：C． 9．（23-24高一下·吉林长春·期末）降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：）.气象学中，把24小时内的降雨量叫作日降雨量，等级划分如下表： 日降雨量/ 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若该圆台的上、下底面积之比为，母线长为，且侧面积等于上、下底面积之和，若在某日的一次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，水深恰好是桶深的，则当日的降雨量等级为（   ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 【答案】A 【分析】根据题意，由圆台的侧面积公式可求出圆台高，再计算其体积，即可得到结果. 【详解】设上口半径为，下口半径为，桶深为，水面半径为， 根据题意，且， 解得，则， 降水量的体积， 降水深度为，属于小雨等级. 故选：A． 题型四、求简单几何体的体积 10．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，两个相同的正四棱台密闭容器内各装有某种溶液，，，图1中液面高度恰好为棱台高度的一半，图2中液面高度为棱台高度的，若图1中溶液体积为456，则图2中溶液体积为（   ） A．342 B．351 C．456 D．608 【答案】B 【分析】根据题意，设棱台的高为，结合棱台的体积公式即可得到的值，再由棱台的体积公式代入计算，即可得到结果. 【详解】设四棱台的高度为，记图1、图2液体体积分别为、， 图1中间液面四边形的边长为8，图2中间液面四边形的边长为10， 则， 即，所以． 故选：B 11．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）一个高为的直三棱柱容器内装有水，将侧面水平放置如图（1），水面恰好经过棱，，，的中点，现将底面水平放置如图（2），则容器中水面的高度是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设直三棱柱的底面面积为，在图中，设水面的高度为，根据图和图中水的体积相等可得出关于的等式，即可解得的值. 【详解】记棱，，，的中点依次为， 设直三棱柱的底面面积为， 在图中，设水面的高度为，则水的体积为， 在图中，几何体为直四棱柱， 因为分别为棱，，，的中点，所以， 则水的体积为，解得. 故选：C. 12．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知点为圆锥的底面圆心，，为圆锥的母线，，若的面积为，的面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径及高，再利用锥体的体积公式计算即得. 【详解】令圆锥底面圆半径为，则，解得， 取中点，连接，则，， ，，解得， 则，所以该圆锥的体积. 故选：B    题型五、几何体的“内切”、“外接”球问题 13．（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）已知三棱锥，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明平面，再将三棱锥补形成直三棱柱，再利用勾股定理求出外接球的半径，再根据求得表面积公式即可得解. 【详解】因为平面， 所以平面， 如图经补形可知球心在直三棱柱高的中点处为外接圆的圆心， 则， 所以， 则外接球的半径， 所以三棱锥的外接球的表面积． 故选：A. 14．（23-24高一下·山西太原·期中）已知一个圆锥的底面半径为，母线长为，则其内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆锥的轴截面图可求得圆锥内切球的半径，进而求体积. 【详解】因为圆锥的底面半径为，所以圆锥的底面直径为， 如图圆锥内切球半径为圆锥轴截面内切圆半径， 设内切球半径为，内切球球心为I，连接. 三角形是边长为的等边三角形， 由等面积法有，，即，解得， 故所求为. 故选：C. 15．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知四棱锥的底面为正方形，平面平面，且，，则四棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设AD的中点为E，设交于点O，结合面面垂直的性质求出的长，说明O为四棱锥的外接球的球心，确定半径，即可求得答案. 【详解】设AD的中点为E，设交于点O，连接， 由于，则, 而平面⊥平面，平面平面，平面， 故平面，平面，故 ,底面为正方形，则， 又，故， 而，即O为四棱锥的外接球的球心， 则外接球的半径为，故四棱锥的外接球的体积为， 故选：A 题型六、空间点、直线、平面之间的位置关系 16．（23-24高一下·浙江宁波·期中）设m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】若，，则与相交或平行，故A错误； 若，,则或，故B错误； 若，，，则，故C正确； 若，，则或或者与相交，故D错误； 故选：C 17．（23-24高一下·湖南株洲·期末）设为空间中两条不同直线，为空间中两个不同平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若不垂直于，则必不垂直于 C．若,，则 D．若是异面直线，，则 【答案】D 【分析】A中，可能平行、相交或异面；B中有可能垂直于；C中或；D中结合线面平行的性质定理与面面平行的判定定理即可得. 【详解】对于A，若，，，则，可能平行、相交或异面，故A错误； 对于B，若不垂直于，且，则有可能垂直于，故B错误； 对于C，若且，则或，故C错误； 对于D，若、是异面直线，，，，， 则在直线上任取一点，过直线与点确定平面，设， 又，则，，，所以， 又，，，，所以，故D正确. 故选：D. 18．（23-24高一下·辽宁锦州·期末）已知l，m为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】由线面平行、垂直的判定、性质定理与面面平行的关系依次判断各选项即可得出结果. 【详解】对A：若，，，则，，或，则A错误; 对B：若，，则或,则B错误; 对C：若，，，，若相交时，则； 若时，不一定成立，故C错误; 对D：若，，则,故D正确. 故选：D 题型七、求异面直线的夹角 19．（23-24高一下·重庆·期末）如图，在正三棱柱中，若，，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取中点，连结、，矩形中利用三角函数的定义，证出，可得．根据面面垂直的性质和线面垂直的判定，在正三棱柱中证出平面，从而得出，即可求解. 【详解】取中点，连接、， 矩形中， ，可得 因此 正三棱柱中，平面平面 平面平面，,平面， 直线平面，平面，可得 ，平面，平面， 平面，因此可得，即与所成角的大小为， 故选：B． 20．（23-24高一下·云南曲靖·期末）如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，则（或其补角）为异面直线与所成角，解三角形即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接、，易知，    所以异面直线与所成角就是直线与直线所成的角，即（或其补角）， 由题意可知正三棱柱的所有棱长都相等， 可设三棱柱的棱长都为，则，，， 因为，所以为直角三角形， 所以 即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：. 21．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）已知三棱锥的所有顶点都在表面积为的球的球面上，平面，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设该球的半径为，可得，的外接圆的半径，由平面，可得，得，所以将三棱锥补成正方体，则与所成的角为（或其补角），从而可求得结果. 【详解】因为，所以的外接圆的半径， 又三棱锥的所有顶点都在表面积为的球的球面上. 设该球的半径为，所以，解得， 又平面，所以， 即，解得， 又平面， 将三棱锥放入正方体中，易得， 所以与所成的角为（或其补角），又易得为等边三角形， 所以，即与所成角的余弦值为. 故选：C. 题型八、直线、平面平行的判定与性质 22．（23-24高一下·天津滨海新·期中）设，为不重合的平面，，，，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为 ． ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则； ③若，，，则； 【答案】① 【分析】利用平行公理判断①；利用线面、面面位置关系判断②③④. 【详解】对于①，若，则，①正确； 对于②，由，得与平行或相交或者是异面直线，②错误； 对于③，由，得或，③错误； 对于④，由，得或与是异面直线，④错误， 所以正确命题的序号为①. 故答案为：① 23．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在三棱柱， 是棱的中点， 是棱上一点， ，若平面，则的值为 . 【答案】 【分析】根据线面平行可得线线平行，结合三角形相似可得参数值. 【详解】 如图所示，连接交于点，连接， 则平面平面， 又平面，且平面，， 又，是棱的中点， 所以，则， 所以，故， 故答案为：. 24．（23-24高一下·广东深圳·期中）四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则 . 【答案】 【分析】连接BD，交AC于点O，连接OE，利用中位线性质和线面平行的判定证明平面ACE，结合平面ACE，则证明平面平面ACE，再利用利用面面平行的性质则有，即可得到答案. 【详解】连接BD，交AC于点O，连接OE，由是正方形，得， 在线段PE取点G，使得，如下图所示： 由，得， 连接BG，FG，则， 由平面，平面，得平面， 而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面， 平面平面，则， 所以. 故答案为：. 题型九、直线、平面垂直的判定与性质 25．（23-24高一下·天津西青·期末）如图，在正方体中，异面直线与BC所成角的大小为 ；平面与平面ABCD所成的二面角的大小为 ． 【答案】 【分析】根据异面直线以及二面角的定义求解，即可得答案. 【详解】在正方体中，， 故异面直线与BC所成角即为直线与AD所成角， 由于，故异面直线与BC所成角的大小为； 在正方体中，平面， 而平面，故， 又平面，平面， 故为平面与平面ABCD所成的二面角，而, 故平面与平面ABCD所成的二面角的大小为， 故答案为：； 26．（23-24高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱台中，平面平面ABC，，，.则DC与平面ABC所成线面角大小为 . 【答案】 【分析】过作作，可得出线面角，再过作于，连接，在三个直角三角形中，分别计算，，，进而得出，即可求解. 【详解】 因为平面平面ABC，且平面平面ABC， 所以，过点作于，且面， 所以平面ABC，则为DC与平面ABC所成的线面角， 过作于，连接， 由面，故，而且都在面内， 所以面，面，则， 在中，， 在中，， 在中，， 所以，即， 解得， 所以，即DC与平面ABC所成线面角大小为. 故答案为： 27．（23-24高一下·天津·期中）如图，边长为4的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，为的中点．二面角的正切值为 ． 【答案】 【分析】利用面面垂直性质证明得出线面垂直，作出二面角的平面角并利用勾股定理求得线段长度，即可得出二面角的正切值. 【详解】依题意平面平面，且平面平面，平面， 易知，因此可得平面， 过点作于点，连接，如下图所示： 由平面，又平面，所以， 又，且，平面， 所以平面，平面，可得； 即可得即为二面角的平面角； 显然，且，三角形为正三角形，所以； 在中，. 即二面角的正切值为. 故答案为： 题型十、立体几何综合压轴题问题 28．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）已知直线平面 ， 直线平面，有下面四个命题：① ；②；③； ④.其中正确的两个命题是（    ） A．①与② B．①与③ C．②与④ D．③与④ 【答案】B 【分析】由线面、面面垂直的判定与性质判断即可. 【详解】对于①，因为直线平面，平面平面， 所以直线平面， 因为直线平面， 所以直线直线，故①正确； 对于②，如图所示，正方体中， 平面平面，直线平面， 直线平面，但直线直线，故②错误； 对于③，因为，， 所以， 又因为， 所以，故③正确； 对于D，如图所示，正方体中， 平面，，平面， 但平面与平面相交，故④错误. 故选：B. 29．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知正四棱台中，，球与上底面以及各侧棱均相切，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出过正四棱台的截面，再求出正四棱台的高，从而根据勾股定理求出球的半径，最后代入球的表面积公式，即可求解． 【详解】设过棱台上下底面的中心以及一条侧棱作该棱台的轴截面如下图： 正四棱台中，，，， 正四棱台的高为， 设球的半径为，球与侧棱切于， 则在图中中，，则， 所以， 在图中中，， ，解得， 球的表面积为． 故选：B 30．（23-24高一下·广东广州·期末）已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线与互相垂直，的面积为2，与圆锥底面所成的角为，则（    ） A．圆锥的高为 B．圆锥的侧面积为 C．二面角的大小为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为 【答案】C 【分析】利用三角形的面积公式求出圆锥的母线长，结合线面角的定义可判断A选项；利用圆锥的侧面积公式可判断B选项；利用二面角的定义，找到二面角的平面角，再解三角形求解可得C选项；根据展开前后图形联系，利用扇形的弧长公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为与底面垂直，为底面圆的一条半径，则， 所以与圆锥底面所成的角为， 又，所以的面积为，解得，即母线长， 所以该圆锥的高为，故A错误； 对于B选项，该圆锥的底面半径为， 母线长， 故该圆锥的侧面积为，故B错误； 对于C选项，取的中点，连接， 因为，为的中点，则，由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， 则，所以， 所以，， 因为，故，即二面角的大小为，故C正确. 对于D选项，设该圆锥侧面展开图的圆心角为， 底面圆周长为，则，故D错误. 故选：C. 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，已知用斜二测画法得到的水平放置的直观图为，已知是周长为6的正三角形，则的面积是（   ） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据斜二测画法规则及正弦定理，可得原三角形的底边及高. 【详解】因为，所以， 所以的面积是． 故选：D 2．（24-25高二上·吉林·期末）如图，在正方体中，M，N分别为的中点，异面直线MN与所成角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连结，，根据题中条件，得到异面直线与所成角即为直线与所成角，进而可求出结果. 【详解】 连结，，因为在正方体中，M，N分别为的中点， 所以， 因此，异面直线与所成角即为直线与所成角，即，显然为. 故选：B 3．（23-24高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（  ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先作出直线与平面的交点，进而求得的长度. 【详解】在平面中，延长交于P，连接，交于Q， 在中，则 又在中， 则. 故选：C 4．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，则三棱柱外接球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直三棱柱的外接球球心为上下底面三角形外接圆圆心连线的中点，求出半径，再算面积即可. 【详解】因为，，则为直角三角形， 和的外心分别为斜边的中点， 连接，取的中点， 则为三棱柱外接球的球心， 其外接圆半径为， 则半径， 则外接球的表面积为. 故选：C 5．（23-24高一下·青海·期末）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】结合空间线面的位置关系及平行与垂直的判定与性质定理对各个选项分别进行判断即可. 【详解】由，得或，则A错误． 由，得或相交，则B错误． 由，得或，则C错误． 由，得，则D正确． 故选：D 6．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（   ） A． B．2dm C．3dm D． 【答案】D 【分析】结合圆锥体积公式，利用液体的体积相等可求答案. 【详解】因为圆锥的底面半径为2dm，母线长为，所以高为， 当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的， 所以液面的半径为1，此时液体的体积为， 当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于桌面时，此时液体的形状是倒立的圆锥， 设圆锥的底面半径为，高为，则有，即， .此时液体的体积为， 由，得，所以. 故选：D. 7．（23-24高一下·天津红桥·期末）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则， B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】根据线面位置关系，结合线面平行、垂直的判定性质逐项讨论即可得答案． 【详解】对于A，若，可以在或内，当时，， A错误； 对于B，若，则或相交，B错误； 对于C，若，，则或异面，C错误； 对于D，由，得，当时，，D正确． 故选：D. 8．（23-24高一下·宁夏固原·期末）在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用异面直线夹角的定义即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接， 易知，，且，， 故，且是异面直线与所成角或其补角， 所以或， 所以异面直线与所成角为或其补角， 当时，；当时，， 所以直线与所成角的大小为或     故选：C    9．（23-24高一下·贵州黔西·期末）已知球的半径为，且该球的表面积与体积的数值之比为，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据球的表面积公式和体积公式得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得或0（舍去）. 故选：A. 二、多选题 10．（24-25高一下·全国·期末）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中错误的是（    ）    A． B．平面 C．三棱锥的体积为定值 D．的面积与的面积相等 【答案】AD 【分析】对于A，先假设，从而推出与矛盾得解；对于B，由线面平行判定定理即可得解；对于C，直接计算三棱锥的体积即可得出其为定值；对于D，由点A、B到的距离不等即可说明. 【详解】连接， 则由正方体性质可知是正三角形，故， 对于A，假设，连接，则由正方体性质得， ， 所以，又平面， 所以平面，又平面， 则，与矛盾，故A错误；    对于B，因为即，平面，平面， 所以平面，故B正确； 对于C，由正方体性质可知点A到平面的距离为， 所以， 所以体积是定值，故C正确； 对于D，设的中点是，由正三角形可知点A到直线的距离是， 而点到直线的距离是，显然由正方体结构性质， 又，， 所以的面积与的面积不相等，故D错误． 故选：AD. 【点睛】思路点睛：对于一些不成立且直接难求证的问题，通常可以采用反证法，先假设成立从而推出矛盾即可，所以对于选项A中判定是否成立，可先假设，从而推出平面，进而得，故与矛盾得出不成立. 11．（24-25高一下·全国）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（    ） A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台轴截面面积为 D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为 【答案】CD 【分析】由勾股定理即可求得圆台的高，即可判断A选项；由梯形面积公式即可判断BC选项；由圆台侧面展开图结合勾股定理即可判断D选项． 【详解】如图①，作交于E，则， 则，则圆台的高为，故A错误； 圆台的轴截面面积为，故B错误，C正确； 将圆台的一半侧面展开，如图②，设P为的中点，由圆台补成圆锥，圆台对应的圆锥的一半侧面展开为扇形， 可得大圆锥的母线长为，底面半径为，圆锥侧面展开图的圆心角为， 连接，可得，，则， 所以沿着该圆台表面从点C到中点的最短距离为，故D正确． 故选：CD． 12．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知正方体的棱长为4，分别为棱和的中点，则下列说法正确的有（   ） A．平面 B．平面 C．异面直线与所成角为 D．平面截正方体所得截面的面积为18 【答案】ACD 【分析】根据线面平行的判断定理，即可判断A；根据线面垂直的定义，结合垂直关系，即可判断B；根据异面直线所成角的定义，以及平行关系的转化，即可判断C，首先作出平面截正方体所得截面，再计算截面的面积. 【详解】对于A，如图，由条件可知，，平面，平面， 所以平面，故A正确； 对于B，取的中点，连结， 因为，，，所以, 则 ，不满足勾股定理， 所以不垂直于，则不垂直于平面， 所以不垂直于平面，故B错误； 对于C，连结，是等边三角形，所以直线与所成角为， 所以异面直线与所成角为，故C正确； D.连结，所以四点共面， 四边形是平面截正方体所得截面， 如图，四边形是等腰梯形，， ， 作于，则， 所以四边形的面积，故D正确. 故选：ACD. 13．（23-24高一下·四川凉山·期末）若是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列说法正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，，且，则 【答案】BD 【分析】对于A,垂直于同一平面的两个平面有可能相交或平行，据此可以判断A；对于B,由面面平行的性质定理可以判断B；对于C,由线面平行的判定定理可知，若，则m不在平面，但题目所给条件没说，据此可以判断C；对于D,由线面垂直的判定定理可以判断D. 【详解】对于A，若，则与相交或，所以A不正确; 对于B，若，由面面平行的性质定理可得，所以B正确; 对于C，若，且，则或，所以B不正确; 对于D，若，且，由线面垂直的判定定理可得，所以B正确. 故选:BD. 14．（23-24高一下·甘肃兰州·期末）已知正四面体ABCD的各棱长均为2，下列结论正确的是（    ） A．正四面体ABCD的高为 B．正四面体ABCD的体积为 C．正四面体ABCD的外接球的半径为 D．正四面体ABCD的内切球的表面积为4π 【答案】AB 【分析】对于A：利用勾股定理求解即可； 对于B：求体积即可； 对于C：根据正四面体ABCD的外接球即为该正方体的外接球，即可求解； 对于D：直接利用面积公式求解即可． 【详解】 对于A：在四面体中，过点作面于点， 则为底面正的重心，因为所有棱长均为2， 可得， 所以， 即正四面体的高为， 故A正确； ，， 正四面体ABCD的体积，故B正确； 将正四面体ABCD补形为如图正方体，易知正四面体ABCD的外接球即为该正方体的外接球， 则外接球半径等于正方体体对角线的一半，即，故C错误； 记正四面体ABCD的内切球的半径为r，则， ，解得，故内切球的表面积为，故D错误． 故选：AB. 15．（23-24高一下·浙江宁波·期末）如图，棱长为的正方体中，点是线段上靠近的四等分点，点是线段的中点，点分别是在线段上的动点，下列结论正确的是（    ） A．异面直线与所成角为 B．平面 C．三棱锥的体积是定值 D．的最小值是 【答案】BCD 【分析】由定义法求异面直线所成的角判断选项A；利用线线垂直证明线面垂直判断选项B；由底面积和棱锥的高计算体积判断选项C；利用翻折到同一平面求距离和的最小值判断选项D. 【详解】正方体中，，， 则四边形为平行四边形，有， 异面直线与所成角等于直线与所成角， 正方体中，为等边三角形， 所以异面直线与所成角为，A选项错误； 正方体中，平面，平面，， 正方形中，有， 平面，，则有平面， 平面，则， 同理， 平面，，所以平面，B选项正确； ，平面，平面，则平面， 点是线段上的动点，则点到平面的距离为定值， 是边长为的等边三角形，面积为定值， 所以三棱锥的体积是定值，C选项正确； 正方形中，点是线段的中点，也是线段的中点， 以为轴，把和旋转到同一平面内， 则的最小值为， 由，，，， ，平面四边形为矩形， 是线段的中点，点是线段上靠近的四等分点，设为的中点， 则中，，， 所以，D选项正确. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：立体图形上的距离最短问题，通过把立体图形转化为平面图形，然后再运用“两点之间，线段最短”来解决，可以利用轴对称或平移或旋转等几何图形的变换，把两条或多条线段和最短的问题转化为平面上两点之间的距离最短的问题来解决. 16．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥.设，点分别为棱的中点，为线段上的动点.下列说法正确的是（    ） A．在翻折过程中存在某个位置，使 B．当时，与平面所成角的正弦值为 C．在翻折过程中，三棱锥体积的最大值为2 D．当时，的最小值为 【答案】ACD 【分析】对于，由平面平面，证明；对于B，当时平面，是直线与平面所成的角，利用三角形边长求正弦值即可；对于C，当三棱锥体积取得最大值时，是三棱锥的高，由求值即可；对于D，将沿旋转，得到，使其与在同一平面内且在内，当三点共线时， 的最小值为，利用余弦定理求解. 【详解】对于：当平面平面时，， 证明如下：因为平面平面，平面平面， ，平面，则平面， 因为平面，所以，故A正确； 对于B：当时，等腰直角中，点为棱的中点，有， ，平面，则平面， 平面，有平面平面，由A选项知平面， 所以是直线与平面所成的角； 由，有，，，， ，则，故B错误； 对于C：当三棱锥体积取得最大值时，平面平面， 即是三棱锥的高，，故C正确； 对于D：当时，因为为的中点，所以，则， 又因为的中点，所以， 又，所以，所以， 如图将沿旋转，得到，使其与在同一平面内且在内， 则当三点共线时，最小，即的最小值为， 在中，， 则， 所以在中，由余弦定理得， 所以的最小值为，故D正确， 故选：ACD. 三、填空题 17．（24-25高一上·上海·期末）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为 . 【答案】 【分析】利用长方体和外接球的关系可求球的半径，利用面积公式可得答案. 【详解】因为长方体的三条棱的长分别为，所以其对角线的长为， 因为长方体的各顶点均在同一球的球面上，所以球的直径等于长方体的对角线长，即半径为， 所以球表面积为. 故答案为： 18．（23-24高一下·天津·期末）所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为 . 【答案】/ 【分析】如图，确定为的中点，根据正弦定理和勾股定理求出球的半径，结合球的表面积公式计算即可求解. 【详解】设正三棱柱上、下底面的外接圆的圆心分别为， 如图，连接，则为的中点，连接， 则为球的半径，设圆的半径为， 在中，由正弦定理得，解得， 又，所以， 所以球的表面积为. 故答案为： 19．（22-23高一下·云南昭通·期末）已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，则四边形的面积是 ． 【答案】6 【分析】利用斜二测画法规则画出原图形，再求直角梯形的面积. 【详解】 如图，直角梯形即为原图形，则， 所以四边形的面积. 故答案为：6. 20．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知在正三棱柱中，，与平面所成的角为，则该正三棱柱的体积为 ． 【答案】 【分析】取的中点为D，证明平面，即可得，求出相关线段长，根据三棱柱的体积公式计算即可得解. 【详解】取的中点为D，连接，由为正三角形，故， 又平面，平面，则， 又，平面，故平面， 连接，则即为与平面所成的角，即， 由平面，故； 由于，故，故， 在中，， 故. 故答案为：. 21．（23-24高一下·江苏南京·期末）一个封闭的正三棱柱容器的高为，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点，，，分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 . 【答案】/ 【分析】由题意，根据图乙将棱柱的体积用的面积表示出来，设出甲图中水面高度，利用放倒前后水的体积相等即可求得. 【详解】设的面积为， 因，，，分别为所在棱的中点， 则，， ， 设图甲中水面高度为，则，解得，， 即图甲中水面的高度为. 故答案为：. 22．（23-24高一下·山东威海·期末）在三棱锥中，平面，，且最长的棱长为，为棱的中点，则当三棱锥的体积最大时，直线与所成角的余弦值为 . 【答案】 【分析】由已知可得，由已知可得时，体积最大值，进而可求直线与所成角的余弦值. 【详解】因为，所以，所以， 又因为平面，所以，所以， 又， 当且仅当时等号成立， 所以，当时取最大值， 取的中点，连接，所以， 所以（或其补角）为直线与所成的角， 因为，，， 所以， 直线与所成角的余弦值为. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第6讲 立体几何小题 【复习目录】 · 一、认识几何体 · 二、直观图问题 · 三、求简单几何体的表面积 · 四、求简单几何体的体积 · 五、几何体的“内切”、“外接”球问题 · 六、空间点、直线、平面之间的位置关系 · 七、求异面直线的夹角 · 八、直线、平面平行的判定与性质 · 九、直线、平面垂直的判定与性质 · 十、立体几何综合压轴题问题 【知识梳理】 1．空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 矩形 等腰三角形 等腰梯形 圆面 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 2.直观图 (1)画法：常用斜二测画法． (2)规则： ①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． ②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半． 3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 4.柱、锥、台、球的表面积和体积 　　　名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 5．线面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行 (简记为“线线平行⇒线面平行”) ⇒l∥α 性质定理 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行 (简记为“线面平行⇒线线平行”) ⇒l∥b 6.面面平行的判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行 (简记为“线面平行⇒面面平行”) ⇒α∥β 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 ⇒a∥b 7．直线与平面垂直 (1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 8.平面与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理： 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 【题型归纳】 题型一、认识几何体 1．（23-24高一下·浙江·期中）下列四个命题中正确的是（    ） A．每个面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥 B．所有棱长都相等的四棱柱是正方体 C．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 D．以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 2．（23-24高一下·天津·期中）下列说法中，正确的有（    ）个． ①各个面都是三角形的几何体是三棱锥； ②用一个平面去截棱锥，原棱锥底面和截面之间的部分是棱台； ③三棱锥的四个面都可以是直角三角形； ④梯形的直观图可以是平行四边形； ⑤通过圆台侧面一点，有无数条母线； ⑥四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形． A．0 B．1 C．2 D．3 3．（23-24高一下·广东湛江·期末）下列说法正确的是（    ） A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面 B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形 C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱 D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台 题型二、直观图问题 4．（24-25高一下·天津滨海新·期中）如图，已知等腰三角形，是一个平面图形的直观图，斜边，则这个平面图形的面积是（   ）    A． B．1 C． D． 5．（23-24高一下·江西赣州·期末）如图，是水平放置的的直观图，若，轴，轴，则的周长为（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·辽宁·期末）若水平放置的平面四边形AOBC 按斜二测画法得到如图所示的直观图，其中，，，，则以原四边形AOBC 的边 AC为轴旋转一周得到的几何体的体积为（    ） A． B． C． D． 题型三、求简单几何体的表面积 7．（23-24高一下·河北唐山·期中）一个体积为的球在一个正三棱柱的内部，且球面与该正三棱柱的所有面都相切，则此正三棱柱的表面积为（   ） A． B．54 C． D．27 8．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）石墩随处可见，形状各异，美化了我们的环境，已知某正四棱台石墩的上、下底面边长分别为40cm，58cm，侧棱长为41cm，则该石墩的侧面积为（    ） A．8036cm2 B．13000cm2 C．7840cm² D．12804cm² 9．（23-24高一下·吉林长春·期末）降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：）.气象学中，把24小时内的降雨量叫作日降雨量，等级划分如下表： 日降雨量/ 等级 小雨 中雨 大雨 暴雨 某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若该圆台的上、下底面积之比为，母线长为，且侧面积等于上、下底面积之和，若在某日的一次降雨过程中用此桶接了24小时的雨水，水深恰好是桶深的，则当日的降雨量等级为（   ） A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨 题型四、求简单几何体的体积 10．（23-24高一下·广东深圳·期中）如图，两个相同的正四棱台密闭容器内各装有某种溶液，，，图1中液面高度恰好为棱台高度的一半，图2中液面高度为棱台高度的，若图1中溶液体积为456，则图2中溶液体积为（   ） A．342 B．351 C．456 D．608 11．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）一个高为的直三棱柱容器内装有水，将侧面水平放置如图（1），水面恰好经过棱，，，的中点，现将底面水平放置如图（2），则容器中水面的高度是（    ）. A． B． C． D． 12．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知点为圆锥的底面圆心，，为圆锥的母线，，若的面积为，的面积为，则该圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 题型五、几何体的“内切”、“外接”球问题 13．（23-24高一下·陕西宝鸡·期末）已知三棱锥，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一下·山西太原·期中）已知一个圆锥的底面半径为，母线长为，则其内切球的体积为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）已知四棱锥的底面为正方形，平面平面，且，，则四棱锥的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 题型六、空间点、直线、平面之间的位置关系 16．（23-24高一下·浙江宁波·期中）设m、n是两条不同的直线，、、是三个不同的平面．下列命题中正确的命题是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，则 17．（23-24高一下·湖南株洲·期末）设为空间中两条不同直线，为空间中两个不同平面，下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若不垂直于，则必不垂直于 C．若,，则 D．若是异面直线，，则 18．（23-24高一下·辽宁锦州·期末）已知l，m为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，则 题型七、求异面直线的夹角 19．（23-24高一下·重庆·期末）如图，在正三棱柱中，若，，则与所成角的大小为（    ） A． B． C． D． 20．（23-24高一下·云南曲靖·期末）如图，已知正三棱柱为的中点，则与所成角的余弦值为（    ）    A．1 B． C． D． 21．（23-24高一下·内蒙古呼和浩特·期末）已知三棱锥的所有顶点都在表面积为的球的球面上，平面，，则与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 题型八、直线、平面平行的判定与性质 22．（23-24高一下·天津滨海新·期中）设，为不重合的平面，，，，为不重合的直线，则其中正确命题的序号为 ． ①若，，则 ②若，，则 ③若，，则； ③若，，，则； 23．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在三棱柱， 是棱的中点， 是棱上一点， ，若平面，则的值为 24．（23-24高一下·广东深圳·期中）四棱锥的底面是边长为1的正方形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则 . 题型九、直线、平面垂直的判定与性质 25．（23-24高一下·天津西青·期末）如图，在正方体中，异面直线与BC所成角的大小为 ；平面与平面ABCD所成的二面角的大小为 ． 26．（23-24高二下·全国·课堂例题）如图，在三棱台中，平面平面ABC，，，.则DC与平面ABC所成线面角大小为 . 27．（23-24高一下·天津·期中）如图，边长为4的正方形所在平面与正三角形所在平面互相垂直，为的中点．二面角的正切值为 ． 题型十、立体几何综合压轴题问题 28．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）已知直线平面 ， 直线平面，有下面四个命题：① ；②；③； ④.其中正确的两个命题是（    ） A．①与② B．①与③ C．②与④ D．③与④ 29．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知正四棱台中，，球与上底面以及各侧棱均相切，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 30．（23-24高一下·广东广州·期末）已知圆锥的顶点为S，O为底面圆心，母线与互相垂直，的面积为2，与圆锥底面所成的角为，则（    ） A．圆锥的高为 B．圆锥的侧面积为 C．二面角的大小为 D．圆锥侧面展开图的圆心角为 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高一下·河北邢台·期中）如图，已知用斜二测画法得到的水平放置的直观图为，已知是周长为6的正三角形，则的面积是（   ） A． B．4 C． D． 2．（24-25高二上·吉林·期末）如图，在正方体中，M，N分别为的中点，异面直线MN与所成角为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一下·福建·期末）如图，在棱长为4的正方体中，为棱的中点，为棱的中点，设直线与平面交于点，则（  ） A．2 B． C．1 D． 4．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，则三棱柱外接球的表面积为（   ）． A． B． C． D． 5．（23-24高一下·青海·期末）已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（23-24高一下·江苏常州·期末）如图，一个底面半径为2dm，母线长为的圆锥形封闭透明容器内部装有一种液体，当圆锥底面向下平放在水平桌面上时，液面的高度恰好为圆锥的高的，则当圆锥的顶点在桌面上，且底面平行于水平桌面时，液面的高度为（   ） A． B．2dm C．3dm D． 7．（23-24高一下·天津红桥·期末）设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，则， B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 8．（23-24高一下·宁夏固原·期末）在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 9．（23-24高一下·贵州黔西·期末）已知球的半径为，且该球的表面积与体积的数值之比为，则的值为（    ） A．3 B． C．2 D．1 二、多选题 10．（24-25高一下·全国·期末）如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，，且，则下列结论中错误的是（    ）    A． B．平面 C．三棱锥的体积为定值 D．的面积与的面积相等 11．（24-25高一下·全国）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（    ） A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台轴截面面积为 D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为 12．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知正方体的棱长为4，分别为棱和的中点，则下列说法正确的有（   ） A．平面 B．平面 C．异面直线与所成角为 D．平面截正方体所得截面的面积为18 13．（23-24高一下·四川凉山·期末）若是三个不同的平面，是三条不同的直线，下列说法正确的是（） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，，且，则 14．（23-24高一下·甘肃兰州·期末）已知正四面体ABCD的各棱长均为2，下列结论正确的是（    ） A．正四面体ABCD的高为 B．正四面体ABCD的体积为 C．正四面体ABCD的外接球的半径为 D．正四面体ABCD的内切球的表面积为4π 15．（23-24高一下·浙江宁波·期末）如图，棱长为的正方体中，点是线段上靠近的四等分点，点是线段的中点，点分别是在线段上的动点，下列结论正确的是（    ） A．异面直线与所成角为 B．平面 C．三棱锥的体积是定值 D．的最小值是 16．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）如图，将一副三角板拼成平面四边形，将等腰直角沿向上翻折，得三棱锥.设，点分别为棱的中点，为线段上的动点.下列说法正确的是（    ） A．在翻折过程中存在某个位置，使 B．当时，与平面所成角的正弦值为 C．在翻折过程中，三棱锥体积的最大值为2 D．当时，的最小值为 三、填空题 17．（24-25高一上·上海·期末）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为，则此球表面积为 . 18．（23-24高一下·天津·期末）所有棱长均为2的正三棱柱，它的顶点均在球的表面上，则球的表面积为 . 19．（22-23高一下·云南昭通·期末）已知水平放置的四边形ABCD按照斜二测画法画出的直观图如图所示，其中，，则四边形的面积是 ． 20．（23-24高一下·江苏常州·期末）已知在正三棱柱中，，与平面所成的角为，则该正三棱柱的体积为 ． 21．（23-24高一下·江苏南京·期末）一个封闭的正三棱柱容器的高为，内装水若干（如图甲，底面处于水平状态），将容器放倒（如图乙，一个侧面处于水平状态），这时水面与各棱交点，，，分别为所在棱的中点，则图甲中水面的高度为 . 22．（23-24高一下·山东威海·期末）在三棱锥中，平面，，且最长的棱长为，为棱的中点，则当三棱锥的体积最大时，直线与所成角的余弦值为 . 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$