第05讲 复数【十二大考点+十二大题型】-2024-2025学年高一数学下学期《考点•题型•密卷》期末精讲精练讲义《人教A版2019必修第二册）

第05讲 复数 【复习目录】 · 一：复数的相关概念 · 二、复数的四则运算 · 三、求复数的模 · 四、共轭复数 · 五、求复数的实部与虚部 · 六、复数的相等 · 七、已知复数的类型求参数 · 八、判断复数对应的点所在象限 · 九：与复数相关的轨迹问题 · 十：复数的平方根和立方根问题 · 十一：复数的三角形式 · 十二：复数的压轴问题 【知识梳理】 1．复数的有关概念 (1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数， 其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)． (2)分类： 满足条件(a，b为实数) 复数的分类 a＋bi为实数⇔b＝0 a＋bi为虚数⇔b≠0 a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0 (3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)． 2．复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系． 3．复数的运算 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R. (2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义， 即＝＋，＝－. 【题型归纳】 题型一：复数的相关概念 1．（23-24高一下·北京昌平·期末）已知，是两个复数，则“，互为共轭复数”是“，的差为纯虚数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用充分条件与必要条件的判断方法，结合共轭复数的定义及复数的分类，即可求出结果. 【详解】若，互为共轭复数，设，则， 则，若，则，所以“，互为共轭复数”推不出“，的差为纯虚数， 不妨取，，则，显然满足，的差为纯虚数， 但，不互为共轭复数，所以“，互为共轭复数”是“，的差为纯虚数”的既不充分也不必要条件， 故选：D. 2．（21-22高一下·上海松江·期末）设，则下列命题中的真命题为（    ） A．若，则 B．若，则为纯虚数 C．若，则或 D．若，则 【答案】C 【分析】根据虚数不能比较大小判断A，取可判断B，根据复数模的性质判断C，取特例可判断D. 【详解】当为实数时，成立，否则不成立，故A错误； 当时，满足，但不为纯虚数，故B错误； 当时，，故或，所以或，故C正确； 当时，，，即，故D错误. 故选：C 3．（21-22高一下·河南·期中）下列命题正确的是（    ） ①若复数z满足，则； ②若复数z满足，则z是纯虚数； ③若复数，满足，则； ④若复数，满足且，则． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】B 【分析】根据给定条件，举特例说明判断命题①，③；设出复数的代数形式计算判断②，④作答. 【详解】对于①，令复数满足，而，①不正确； 对于②，令复数，， 因，则，即，所以z是纯虚数，②正确； 对于③，令，满足，显然且，③不正确； 对于④，令复数，由得： ，则，④正确. 故选：B 题型二、复数的四则运算 4．（24-25高一下·湖北武汉·期中）复数z满足，则复数z=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数模，复数除法运算公式，即可求解. 【详解】由题意可知，，所以. 故选：C 5．（23-24高一下·云南昆明·期末）在复平面内，复数 （为虚数单位）的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的四则运算求解. 【详解】由题意可得：. 故选：A. 6．（24-25高一下·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】利用复数的四则运算法则进行计算即可. 【详解】（1）； （2） ； （3）； （4） . 题型三、求复数的模 7．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知，，则 ． 【答案】 【分析】先根据复数的加法计算复数，再根据求模公式计算得到答案； 【详解】， 故答案为：. 8．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）设是虚数单位， ，且，则＝ . 【答案】 【分析】由得，然后按复数模计算即可. 【详解】由题意，， 所以. 所以. 故答案为：. 9．（23-24高一下·上海·期末）计算： ． 【答案】1000 【分析】利用复数的运算性质化简即可求解． 【详解】原式 ． 故答案为：1000． 题型四、共轭复数 10．（23-24高一下·湖南张家界·期末）已知复数为纯虚数，则 ． 【答案】 【分析】化简复数，由纯虚数的定义求出的值，再求和，从而得解. 【详解】根据题意，， 由于复数为纯虚数，所以，即， 所以，则. 故答案为： 11．（23-24高一下·河北沧州·期末）已知i是虚数单位，则复数的共轭复数为 ． 【答案】 【分析】利用复数的除法运算及共轭复数的概念，求结果. 【详解】由题意可得，，所以复数的共轭复数为． 故答案为：. 12．（23-24高一下·上海·期末）已知复数和复数满足：，则 ． 【答案】 【分析】设，根据题意结合共轭复数的概念可得和，进而可得，再结合复数的乘法运算求解即可. 【详解】设，则， 因为，可得； 且，可得， 由，可得， 由，可得， 则， ， 可得， ， 所以. 故答案为：. 题型五、求复数的实部与虚部 13．（23-24高一下·河北·期末）已知复数满足．若为纯虚数，则 ，的虚部 ． 【答案】 【分析】根据复数的基本概念及复数的共轭即可求解. 【详解】根据题意可得， 因为为纯虚数，所以且，得， 则，所以的虚部为． 故答案为：；. 14．（23-24高一下·广东汕尾·期末）若复数的模为5，虚部为4，则复数 ． 【答案】/ 【分析】由题意列出方程组即可求解. 【详解】由题意，解得，所以复数. 故答案为：. 15．（2024·河北唐山·二模）已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为 ． 【答案】/ 【分析】首先求出，再根据复数代数形式的除法运算化简复数，即可判断其虚部. 【详解】因为，又， 所以， 所以复数的虚部为. 故答案为： 题型六、复数的相等 16．（23-24高一下·上海闵行·期末）若复数，满足．且（i为虚数单位），则 ． 【答案】 【分析】令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果. 【详解】设，， ， ，又，所以，， ， ， . 故答案为：. 17．（22-23高一下·广东佛山·期末）设复数、，满足，，则 ． 【答案】 【分析】设，，利用复数的模长公式、复数的运算以及复数相等可得出、以及的值，再利用复数的加法以及复数的模长公式可求得的值. 【详解】设，， 因为，则， 又因为， 所以，，即， 由，可得，故，解得， 由，可得， 所以，，所以，. 故答案为：. 18．（21-22高一下·上海普陀·期末）已知复数，满足(表示的共轭复数)，则 . 【答案】 【分析】由复数相等定义可得，根据即可求出结果． 【详解】由得 所以，又所以 则， 则 故答案为： 题型七、已知复数的类型求参数 19．（23-24高一下·安徽安庆·期末）若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】借助纯虚数的定义可计算出复数，结合其几何意义即可得其在复平面上的对应点的位置. 【详解】复数为纯虚数，，， 复数在复平面上的对应点为，位置在第二象限. 故选：B. 20．（23-24高一下·安徽六安·期末）若复数为纯虚数，则复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据纯虚数的定义求得参数的值，回代后求共轭复数即得. 【详解】因为为纯虚数，所以，解得， 所以，所以. 故选：D. 21．（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】利用纯虚数的定义，列关于m的方程，解方程即可求复数z，然后根据虚部的定义即可求解. 【详解】因为复数为纯虚数，所以，解得， 当时，，不符合题意，舍去；所以，即， 所以复数的虚部为4， 故选：C. 题型八、判断复数对应的点所在象限 22．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面上对应的点位于（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据复数的除法求出复数z，可得，根据复数的几何意义可得答案. 【详解】由，得，则， 故复数在复平面上对应的点位于第一象限， 故选：A 23．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】先求等式右边复数的模长，然后由复数的除法求出，根据共轭复数得到，然后由复数的几何意义进行判断. 【详解】根据复数的模长公式，， 则，故，故， 根据复数的几何意义，在复平面上对应点是，在第四象限. 故选：D 24．（23-24高一下·广西河池·期末）欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据欧拉公式 ，再分析复数的实部和虚部的符号即可. 【详解】由题意得，又， 所以， 所以复数在复平面内对应的点为，位于第二象限． 故选：B． 题型九：与复数相关的轨迹问题 25．（2024·江苏·模拟预测）若复数，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的几何意义结合圆上一点与定点距离的关系计算即可. 【详解】由题意可知在复平面中对应的点为以原点为圆心的单位圆上一点， 而在复平面中对应的点不妨设为， 所以， 易知. 故选：B 26．（23-24高一下·河南郑州·期中）复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据和分别得到到两点的距离相等从而在线段的垂直平分线上， 由两条垂直平分线的交点得到复数对应的点的坐标，进而得到复数和. 【详解】由得复数对应的点到点和距离相等，所以复数对应的点在直线上； 由得复数对应的点到点和距离相等，所以复数对应的点在直线上； 因为直线和直线的交点为，所以，所以. 故选：C. 27．（23-24高一下·福建福州·期中）已知复数满足，则最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用复数模的几何意义求解即得. 【详解】是复平面内复数对应点的轨迹为以原点为圆心，2为半径的圆， 是上述圆上的点到复数对应点的距离， 而，所以的最小值是. 故选：A    题型十：复数的平方根和立方根问题 28．（2023·河南·模拟预测）已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】D 【分析】由是关于的方程的一个根，则是关于的方程的一个根，结合根与系数的关系求解即可. 【详解】由是关于的方程的一个根， 则是关于的方程的一个根， 则，， 即，，则， 故选：D. 29．（20-21高一下·上海宝山·期末）已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚根，且，则满足条件的实数k的值为 ． 【答案】 【分析】设，根据题意及根与系数的关系可得，且。由此可得的值 【详解】解：设， 由根与系数的关系可得，则， 因为，所以， 所以，解得， 由，得或， 所以， 故答案为： 30．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知是关于的方程的两个虚根，为虚数单位. (1)当时，求实数的值. (2)当，且，求实数的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据实系数一元二次方程的根互为共轭复数及根与系数的关系求解； （2）由实系数的一元二次方程的求根公式化简求解即可. 【详解】（1）因为是关于的方程的两个虚根， 所以当时，， 所以； （2）当时，，由求根公式可知，两根分别为， 所以， 所以，解得. 题型十一：复数的三角形式 31．（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【分析】根据两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角，通过计算得到答案. 【详解】， 故选：C. 32．（22-23高一下·河北沧州·期末）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：（，为虚数单位），这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，可知（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】根据所给公式，变形整理化简即可. 【详解】由题意可知，. 故选：A 33．（23-24高一下·贵州铜仁·期末）任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且.若令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题： (1)试将写成三角形式； (2)已知，，，求的值； (3)设，，，当时，求的最大值和最小值. 【答案】(1) (2) (3)的最大值是3，最小值是0. 【分析】（1）运用复数的三角形式得到； （2）数形结合，运用余弦定理求出，进而求出，结合定义求解即可. （3）设，，依题意，可得，从而可求得的最大值和最小值. 【详解】（1）运用复数的三角形式得到. （2）如图，设复数对应向量为，设复数对应向量为， 则在，运用余弦定理，， 又， （3），设，， 则， ，，， ，. 【点睛】关键点点睛：本题第三问关键是转化，从而得到三角函数问题，进而得解. 题型十二：复数的压轴问题 34．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由是纯虚数得到实部为，虚部不为，解方程组得到的值； （2）将代入方程，实部和虚部均为，解方程组得到和的值. 【详解】（1）由是纯虚数得，解得. 所以当时，是纯虚数. （2）当时，， 因为是关于的方程的一个根，所以， 即，整理得， 所以，解得. 35．（23-24高一下·天津·期末）已知是虚数单位，复数，. (1)当时，求； (2)若z是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先写出复数再根据模长公式求解； （2）根据复数是纯虚数求参即可； （3）根据复数对应的点位于第三象限列不等式求解即可. 【详解】（1）当时，. 所以，. （2） 若复数是纯虚数，则， 解得，所以. （3）复数在复平面内对应的点位于第三象限， 则即， 解得. 所以，实数的取值范围是. 36．（23-24高一下·福建福州·期末）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据复数和共轭复数的性质即可证明； （2）设，则，由已知，，列等式即可求解； （3）设复数设的三角形式，利用三角函数有界性即可求解. 【详解】（1）设， ，，， 是实数； （2）设，则， ，， ，① 又， ②， 联立①②，解得， （3），设， 则， ，， . 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高一下·天津河西·期中）是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】求得对应的坐标，由此得出正确选项. 【详解】复数对应的坐标为，在第三象限. 故选：C. 2．（2025·河北秦皇岛·二模）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设复数为标准式，利用复数相等，可得复数，结合复数的除法，可得答案. 【详解】设，则， 即，解得， 所以. 故选：D. 3．（2025·黑龙江·一模）若，则复数的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】由复数的除法得到代数形式，即可求解； 【详解】由，可得：， 所以复数的虚部为1. 故选：B 4．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若，则是方程的一个复数根 C．若，则 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 【答案】C 【分析】根据虚数运算法则和复数的分类，可判定A错误；根据复数的运算法则，可判定B错误；根据复数模的计算公式，可判定C正确；根据复数的几何意义，结合圆的面积公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，由，不是纯虚数，所以A不正确； 对于B中，由，可得， 因为， 所以不是方程的一个复根，所以B不正确； 对于C中，设复数，可得， 所以， 又由，所以，所以C正确； 对于D中，设，由，可得， 所以复数在复平面内对应的点构成的图形为一个圆环， 其中小圆的半径为，大圆的半径为，其面积为，所以D错误. 故选：C. 5．（23-24高一下·上海·期末）都是复数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C． D．则 【答案】C 【分析】举反例即可判断A，设，计算出和即可判断B，设，，分别计算和即可判断C，虚数不能比较大小，即可判断D 【详解】对于A，当时，，但，故A错误， 对于B，设，显然，，故B错误， 对于C，设， 所以， 所以 ， 又 所以，故C正确 对于D选项，若，则虚数不能比较大小，故D错误， 故选：C 6．（23-24高一下·新疆·期末）已知方程的根分别为，则（    ） A．0 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由复数根的性质进行配凑，结合复数乘法即可求解. 【详解】 . 故选：A. 二、多选题 7．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知复数z，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的虚部为1 D．若，则 【答案】BCD 【分析】举例说明判断A；求出模判断B；求出虚部判断C；利用复数的几何意义判断D. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，由，得，B正确； 对于C，设，由，得，的虚部为1，C正确； 对于D，表示复平面内对应点的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆， 是点与点的距离，而，所以，即，D正确. 故选：BCD 8．（24-25高一下·福建漳州·期中）记，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】A选项，根据模长公式求出A正确；B选项，利用复数乘方运算法则得到，利用加法法则得到；C选项，计算出，得到；D选项，在B基础上，得到，D错误. 【详解】A选项，，A正确； B选项，， 故，B正确； C选项，， 故，C正确； D选项，，，D错误. 故选：ABC 9．（24-25高一下·吉林延边·期中）在复平面内，下列说法正确的是（   ） A．若复数中，i为虚数单位，则 B．已知，其中i是虚数单位，a为实数，则或 C．若，则 D．复数是方程在复数范围内的一个解 【答案】ACD 【分析】利用复数的除法法则，乘法法则，以及复数的性质计算可判断每个选项的正误. 【详解】对于A，，所以，故A正确； 对于B，由，可得，即， 所以，解得，故B错误； 对于C，设，因为，所以，所以 所以，故C正确； 对于D，因为， 所以复数是方程在复数范围内的一个解，故D正确. 故选：ACD. 10．（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．复数，则在复平面内对应的点位于第一象限 B．若复数，则 C．若复数满足，则 D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 【答案】ABD 【分析】A选项，得到，确定其对应的点为，A正确；B选项，设，，得到，从而求出，所以；C选项，举出反例；D选项，求出复数对应的点的轨迹为圆环，从而确定其面积. 【详解】A选项，复数，则， 故在复平面内对应的点为，位于第一象限，A正确； B选项，设，，， 则，即， 故， 两边平方得， 故，所以， 即，故， 其中，故，B正确； C选项，设复数，满足， 但，C错误； D选项，表示原点为圆心，1为半径的圆的外部， 表示原点为圆心，为半径的圆的内部， 则复数对应的点所构成的图形为如图所示的圆环（包括边界）， 故面积为，D正确. 故选：ABD 11．（23-24高二下·贵州黔南·期末）欧拉公式（i为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B． C． D．的共轭复数为 【答案】ABD 【分析】根据题意，由欧拉公式，利用复数的基本概念，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由，其虚部为，所以A正确； 对于B中，由，所以B正确； 对于C中，由，则，所以C错误； 对于D中，由，故的共轭复数为，所以D正确． 故选：ABD． 12．（23-24高一下·广东广州·期末）已知复数在复平面内对应的向量分别为，其中O为原点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】由复数的几何意义转化为向量的坐标运算 【详解】，， A项，若，则，故A错误； B项，由A知，，则，故B正确； C项，若，则，故C错误； D项，由C知，，则， ， 则，， 故，故D正确. 故选：BD. 三、填空题 13．（24-25高一下·天津·期中）i是虚数单位，复数 ． 【答案】 【分析】由复数的乘除法运算计算即可． 【详解】， 故答案为：． 14．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知i是虚数单位，复数z和均为纯虚数，则 . 【答案】 【分析】先利用待定系数法、纯虚数的概念求出，然后根据模的计算公式求解即可. 【详解】由题意设， 则是纯虚数当且仅当， 解得，所以. 故答案为：. 15．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）计算： ． 【答案】 【分析】由复数的除法与乘方运算求解即可. 【详解】. 故答案为： 16．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知，关于的方程的一个虚根为，则在复数范围内，方程的根为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，求出，再在复数范围内解方程即可. 【详解】由是方程的一个虚根，得该方程的另一个虚根为， 则，，解得， 于是方程为：，即，解得， 所以方程的根为. 故答案为： 四、解答题 17．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知复数，，其中 (1)若为纯虚数，求b的值； (2)若与互为共轭复数，求的值． 【答案】(1)3 (2)5 【分析】（1）根据纯虚数的定义列式求解即可； （2）整理可得，结合共轭复数的定义列式求解即可. 【详解】（1）若为纯虚数，则，解得， 所以b的值为3. （2）因为，， 若与互为共轭复数，则，解得， 所以. 18.（23-24高一下·湖北武汉·期中）知复数，复数在复平面内对应的点为 (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数. 【答案】(1)20 (2) 【分析】（1）将代入一元二次方程即可得到方程组，解出即可； （2）根据复数的除法和共轭复数的概念即可得到答案. 【详解】（1）由题意得， 因为复数是关于的方程的一个根， 所以， ， ， 解得，所以. （2）， . 19．（23-24高一下·上海·期末）实系数一元二次方程有虚根，另一根为. (1)求实数的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入方程中得，即，根据复数相等可得解得答案； （2）由（1）利用一元二次方程韦达定理求解．利用复数代数形式的乘除运算化简得到答案； 【详解】（1）根据题意得，化简， 根据复数相等可得，解得. （2）由（1）可知， 20．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据纯虚数的定义求解即可； （2）由，则，再通过复数的乘除法计算即可. 【详解】（1）由题意可得：，且， 解得， 所以的值为； （2）若m＝2，则， 所以， 所以，， 所以. 21．（23-24高一下·江西·期末）在复平面内，复数对应的点为，连接OZ（O为坐标原点）可得向量，则称复数z为向量的对应复数，向量为复数z的对应向量. (1)若复数，的对应向量共线，求实数x的值； (2)已知复数，的对应向量分别为和，若，求的最小正周期和单调递增区间. 【答案】(1)2或 (2)； 【分析】（1）写出两复数对应的向量的坐标，，利用向量共线的坐标表示式计算即得； （2）利用三角恒等变换将函数化成正弦型函数，求得最小正周期，将看成整体角，利用正弦函数的递增区间即可求得. 【详解】（1）依题意，复数，的对应向量分别为， 由可得，，解得，或； （2）依题意，， 则， 故的最小正周期为； 由解得，， 即的单调递增区间为. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 复数 【复习目录】 · 一：复数的相关概念 · 二、复数的四则运算 · 三、求复数的模 · 四、共轭复数 · 五、求复数的实部与虚部 · 六、复数的相等 · 七、已知复数的类型求参数 · 八、判断复数对应的点所在象限 · 九：与复数相关的轨迹问题 · 十：复数的平方根和立方根问题 · 十一：复数的三角形式 · 十二：复数的压轴问题 【知识梳理】 1．复数的有关概念 (1)定义：我们把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数， 其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部(i为虚数单位)． (2)分类： 满足条件(a，b为实数) 复数的分类 a＋bi为实数⇔b＝0 a＋bi为虚数⇔b≠0 a＋bi为纯虚数⇔a＝0且b≠0 (3)复数相等：a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)． (4)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)． (5)模：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|a＋bi|或|z|，即|z|＝|a＋bi|＝(a，b∈R)． 2．复数的几何意义 复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系． 3．复数的运算 (1)运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R. (2)几何意义：复数加、减法可按向量的平行四边形或三角形法则进行． 如图给出的平行四边形OZ1ZZ2可以直观地反映出复数加、减法的几何意义， 即＝＋，＝－. 【题型归纳】 题型一：复数的相关概念 1．（23-24高一下·北京昌平·期末）已知，是两个复数，则“，互为共轭复数”是“，的差为纯虚数”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（21-22高一下·上海松江·期末）设，则下列命题中的真命题为（    ） A．若，则 B．若，则为纯虚数 C．若，则或 D．若，则 3．（21-22高一下·河南·期中）下列命题正确的是（    ） ①若复数z满足，则； ②若复数z满足，则z是纯虚数； ③若复数，满足，则； ④若复数，满足且，则． A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 题型二、复数的四则运算 4．（24-25高一下·湖北武汉·期中）复数z满足，则复数z=（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一下·云南昆明·期末）在复平面内，复数 （为虚数单位）的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·全国·课堂例题）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型三、求复数的模 7．（23-24高一下·广西南宁·期末）已知，，则 ． 8．（23-24高一下·新疆阿克苏·期末）设是虚数单位， ，且，则＝ . 9．（23-24高一下·上海·期末）计算： ． 题型四、共轭复数 10．（23-24高一下·湖南张家界·期末）已知复数为纯虚数，则 ． 11．（23-24高一下·河北沧州·期末）已知i是虚数单位，则复数的共轭复数为 ． 12．（23-24高一下·上海·期末）已知复数和复数满足：，则 ． 题型五、求复数的实部与虚部 13．（23-24高一下·河北·期末）已知复数满足．若为纯虚数，则 ，的虚部 ． 14．（23-24高一下·广东汕尾·期末）若复数的模为5，虚部为4，则复数 ． 15．（2024·河北唐山·二模）已知为虚数单位，复数满足，则复数的虚部为 ． 题型六、复数的相等 16．（23-24高一下·上海闵行·期末）若复数，满足．且（i为虚数单位），则 ． 17．（22-23高一下·广东佛山·期末）设复数、，满足，，则 ． 18．（21-22高一下·上海普陀·期末）已知复数，满足(表示的共轭复数)，则 . 题型七、已知复数的类型求参数 19．（23-24高一下·安徽安庆·期末）若复数为纯虚数，则复数在复平面上的对应点的位置在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 20．（23-24高一下·安徽六安·期末）若复数为纯虚数，则复数的共轭复数为（    ） A． B． C． D． 21．（23-24高一下·江西景德镇·期末）已知为实数，若复数为纯虚数，则复数的虚部为（    ） A．2 B． C．4 D． 题型八、判断复数对应的点所在象限 22．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知复数z满足（i为虚数单位），则z的共轭复数在复平面上对应的点位于（    ）. A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 23．（23-24高一下·湖南株洲·期末）已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 24．（23-24高一下·广西河池·期末）欧拉恒等式（为虚数单位，为自然对数的底数）被称为数学中最奇妙的公式．它是复分析中欧拉公式的特例：当自变量时，，得．根据欧拉公式，复数在复平面上所对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型九：与复数相关的轨迹问题 25．（2024·江苏·模拟预测）若复数，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 26．（23-24高一下·河南郑州·期中）复数满足，则（    ） A． B． C． D．5 27．（23-24高一下·福建福州·期中）已知复数满足，则最小值是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型十：复数的平方根和立方根问题 28．（2023·河南·模拟预测）已知，为实数，（i为虚数单位）是关于的方程的一个根，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 29．（20-21高一下·上海宝山·期末）已知关于x的实系数一元二次方程有两个虚根，且，则满足条件的实数k的值为 ． 30．（21-22高一下·上海浦东新·期末）已知是关于的方程的两个虚根，为虚数单位. (1)当时，求实数的值. (2)当，且，求实数的值. 题型十一：复数的三角形式 31．（24-25高一下·上海·期末）复数的三角形式是（    ） A．； B．； C．； D．. 32．（22-23高一下·河北沧州·期末）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式：（，为虚数单位），这个公式在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，可知（    ） A． B．1 C． D． 33．（23-24高一下·贵州铜仁·期末）任意一个复数的代数形式都可写成三角形式，即，其中为虚数单位，，，，.棣莫弗定理由法国数学家棣莫弗（1667~1754）创立，指的是设两个复数用三角函数形式表示为：，，则，，且.若令，则能导出复数乘方公式：.请用以上知识解决以下问题： (1)试将写成三角形式； (2)已知，，，求的值； (3)设，，，当时，求的最大值和最小值. 题型十二：复数的压轴问题 34．（23-24高一下·上海松江·期末）已知为虚数单位，复数． (1)当实数取何值时，是纯虚数； (2)当时，复数是关于的方程的一个根，求实数与的值． 35．（23-24高一下·天津·期末）已知是虚数单位，复数，. (1)当时，求； (2)若z是纯虚数，求的值； (3)若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围. 36．（23-24高一下·福建福州·期末）在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点．它们还有如下性质： (1)设，，求证：是实数； (2)已知，，，求的值； (3)设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值． 【专题强化】 一、单选题 1．（24-25高一下·天津河西·期中）是虚数单位，复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（2025·河北秦皇岛·二模）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D． 3．（2025·黑龙江·一模）若，则复数的虚部为（   ） A． B．1 C． D． 4．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知为虚数单位，则下列结论正确的是（    ） A．是纯虚数 B．若，则是方程的一个复数根 C．若，则 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形面积为 5．（23-24高一下·上海·期末）都是复数，则下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B． C． D．则 6．（23-24高一下·新疆·期末）已知方程的根分别为，则（    ） A．0 B．2 C． D． 二、多选题 7．（24-25高一下·浙江宁波·期中）已知复数z，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则的虚部为1 D．若，则 8．（24-25高一下·福建漳州·期中）记，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·吉林延边·期中）在复平面内，下列说法正确的是（   ） A．若复数中，i为虚数单位，则 B．已知，其中i是虚数单位，a为实数，则或 C．若，则 D．复数是方程在复数范围内的一个解 10．（24-25高二上·安徽马鞍山·阶段练习）在复平面内，下列说法正确的是（    ） A．复数，则在复平面内对应的点位于第一象限 B．若复数，则 C．若复数满足，则 D．若复数满足，则复数对应的点所构成的图形面积为 11．（23-24高二下·贵州黔南·期末）欧拉公式（i为虚数单位，）是由数学家欧拉创立的，该公式建立了三角函数与指数函数的关联，被誉为“数学中的天桥”.依据欧拉公式，下列选项正确的是（    ） A．的虚部为 B． C． D．的共轭复数为 12．（23-24高一下·广东广州·期末）已知复数在复平面内对应的向量分别为，其中O为原点，则下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 三、填空题 13．（24-25高一下·天津·期中）i是虚数单位，复数 ． 14．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）已知i是虚数单位，复数z和均为纯虚数，则 . 15．（23-24高一下·甘肃临夏·期末）计算： ． 16．（23-24高一下·河北张家口·期末）已知，关于的方程的一个虚根为，则在复数范围内，方程的根为 . 四、解答题 17．（23-24高一下·广东湛江·期末）已知复数，，其中 (1)若为纯虚数，求b的值； (2)若与互为共轭复数，求的值． 18.（23-24高一下·湖北武汉·期中）知复数，复数在复平面内对应的点为 (1)若复数是关于的方程的一个根，，求的值： (2)若复数满足，求复数的共轭复数. 19．（23-24高一下·上海·期末）实系数一元二次方程有虚根，另一根为. (1)求实数的值； (2)求的值. 20．（23-24高一下·湖北咸宁·期末）已知复数，其中为虚数单位． (1)若是纯虚数，求实数的值； (2)若，设，试求的值． 21．（23-24高一下·江西·期末）在复平面内，复数对应的点为，连接OZ（O为坐标原点）可得向量，则称复数z为向量的对应复数，向量为复数z的对应向量. (1)若复数，的对应向量共线，求实数x的值； (2)已知复数，的对应向量分别为和，若，求的最小正周期和单调递增区间. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$