衔接点03 函数（知识衔接+4对点集训+综合演练）-2025年初升高数学无忧衔接（上海专用）

衔接点03 函数（知识衔接+4对点集训+综合演练） 初中阶段 高中阶段 1. 一次函数 2. 反比例函数 3. 二次函数 初中对一次函数的了解是为了给高中学习的直线方程作铺垫,体会k对函数的增减变化的影响,上了高中就更能体会k代表的意义,一次函数解析式作为直线对应的方程与后续所学的圆锥曲线紧密相关. 初中学习过的反比例函数,在高中阶段会用高中的思想研究反比例函数的图象与性质,或是利用反比例函数的性质研究更复杂的函数的性质等,是必备的基础知识. 一元二次函数在中考中经常作为压轴题,体现了一元二次函数较难,也体现了一元二次函数的重要性.一元二次函数在高中数学中也很重要,它作为载体出现在高中的代数、几何各个领域中,很多问题都是可以转化成一元二次函数来解决.同时也体现了对数学建模、逻辑推理、数学运算以及直观想象等核心素养的培养. 初中知识再现 1.一次函数 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法. 2.反比例函数 反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数图像上任一点 作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足为M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=. ∴. 3.二次函数 （1）函数平移规律：左加右减、上加下减. （2）二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，. 如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，. 高中相关知识 二次函数的零点 1．一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点． 2．一元二次方程的根与二次函数的图象、零点间的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 x1,2＝ x1＝x2＝－ 无根 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 x1,2＝ x＝－ 无零点 对点集训一：一次函数 典型例题 例1．如图：在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题意可得，可求得，数形结合可得不等式的解集. 【详解】因为点在函数的图象上，所以，解得，所以， 由图象可知在点的右侧，函数的图象在的图象的上方， 在点的左侧，函数的图象在的图象的下方， 所以的解集为. 故答案为：. 例2．由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量（万）与干旱持续时间x（天）的关系如图中线段所示，针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量（万）与时间x（天）的关系如图中线段所示（不考虑其它因素）. (1)求原有蓄水量与时间x（天）的函数关系式，并求当时的水库总蓄水量. (2)求当时，水库的总蓄水量y（万）与时间x（天）的函数关系式，（注明x的范围），若总蓄水量不多于万为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x的范围. 【答案】(1)；万； (2)；. 【分析】（1）设函数关系式，由图知过点和,即可求得函数关系式，将代入计算即可； （2）由图知过点和,代入到，求得函数关系式，然后分两种情况，当时，，当时，，可得函数关系式；计算分段函数中时对应x的值（范围），可得答案. 【详解】（1）设求原有蓄水量（万）与时间x（天）的函数关系式，　　 由图知过点和,代入到得： ， 解得，　 所以， 当时， ， 所以当时，水库总蓄水量为万. （2）设， 由图知过点和,代入到得： ， 解得， ，　 当时，， 令即得， 当时，， 令即得， 所以水库的总蓄水量y（万）与时间x（天）的函数关系式为: ；且当时. 所以发生严重干旱时x的范围为. 例3．如图，直线与直线交于点，直线经过点. (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出方程组的解______； (3)若点在直线的下方，直线的上方，写出的取值范围______. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意可得，结合待定系数法计算即可求解； （2）根据方程组的解为交点C坐标的值，直接得出结果； （3）由题意可得当时，求出即可. 【详解】（1）当时，，解得， 即点坐标为； 由与直线交于点， 直线经过点，得，解得， 直线的函数表达式为； （2）方程组的解即为交点C横纵坐标的值， 又点坐标为，所以方程组解为； （3）由题意可知当，， . 所以. 精练 1．关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与轴交于点 C．函数值随自变量的增大而减小 D．当时， 【答案】B 【分析】作出函数的图象，结合一次函数的基本性质逐项判断即可. 【详解】对函数，当时，，当时，， 所以函数的图象经过点和， 所以作出函数的图象如下图所示： 对于A选项，由图象可知，函数的图象过第一、二、三象限，A错； 对于B选项，函数的图象与轴交于点，B对； 对于C选项，由图象可知，函数值随自变量的增大而增大，C错； 对于D选项，由得，D错. 故选：B. 2．下列各点一定在函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将选项各点代入一次函数解析式，符合题意即可. 【详解】显然，当时，，故A选项正确，D错误； 而当时，，故B选项错误； 当时，，故C选项错误. 故选：A． 3．如图，直线与轴、轴分别相交于．点的坐标为，点是线段上的一点． (1)求的值； (2)若的面积为2，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将点E的坐标代入直线方程中，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论； （2）结合（1）中得k值可得出函数解析式，由点E的坐标可得出线段OE的长度，根据三角形的面积公式可求出点P的纵坐标，将点P的纵坐标代入函数解析式中即可求出点P的横坐标，由此即可得出结论 【详解】（1）将点代入到中， 得：， 解得： （2）∵ ∴直线的解析式为 ∵点的坐标为， ∴ ∴，即, 得， 令中，则， 解得： 故当的面积为2时，点P的坐标为. 4．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线 交于点. (1)若直线解析式为. ①求点的坐标； ②求的面积. (2)如图2，作的平分线，若，垂足为，分别为线段上的动点，连结与，试探索是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)①；②12 (2)存在，4 【分析】（1）联立方程组，解之可得C的坐标；把代入计算可得A的坐标，进而可求出； （2）如图，根据角平分线和三角形全等的性质可得，则，当在同一直线上且时最小，由三角形全等的性质可得，结合等面积计算即可求解. 【详解】（1）①由题意，，解得，所以； ②把代入，得，所以A点坐标为， 所以； （2）由题意，在上截取，连结， ∵平分， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 当在同一直线上，且时，最小. 即存在最小值. ∵，所以， ∴， ∴， ∵的面积为12，得，所以， ∴存在最小值，最小值为4. 对点集训二：反比例函数 典型例题 例1．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，D为边上一点，.反比例函数的图象经过点B，反比例函数的图象经过点D，与交于点E，连接，，. (1)求k的值； (2)求的面积. 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）过点作，垂足为，根据，得出，再根据在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的矩形的面积是，得出的值； （2）根据点在，得出，再根据，求出的面积. 【详解】（1）如图：过点D作，垂足为F， 因为D为反比例函数的图象经点B， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以； （2）因为，所以， 因为，所以，， 因为点E在，所以，所以， 所以 . 例2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．（为常数） (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)P为y轴上一点，若的面积为3，求P点的坐标 【答案】(1)； (2)或； (3)或. 【分析】（1）将给定的交点坐标代入函数解析式求解. （2）由（1）的信息，结合函数图象求出不等式的解集. （3）求出一次函数图象与轴交于点坐标，再利用三角形面积公式列式求解. 【详解】（1）由点在反比例函数的图象上，得， 由点在一次函数的图象，得，解得， 所以一次函数的解析式为，反比例函数的解析式. （2）由（1）及函数图象知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， 所以不等式的解集为或. （3）令一次函数的图象与轴交于点，则，设， 于是的面积，解得或， 所以P点的坐标为或. 精练 1．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】把点代入反比例函数中，可直接求的值． 【详解】根据题意知，将点代入反比例函数中， 可得，化简可得. 故选：C 10．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则取值范围是 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象经过第二，四象限得到关于m的不等式，求出m的取值范围即可. 【详解】已知反比例函数的图象在第二、四象限， 所以，解得. 故答案为：. 2．如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于两点，若，则的值是 . 【答案】4 【分析】设得，根据及已知即可求结果. 【详解】由题设及图，若且，则， 所以，则. 故答案为：4 3．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y轴交于点C. (1)= ，= ； (2)根据函数图象可知，当＞时，x的取值范围是 ； (3)过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP与线段AD交于点E，当：=3：1时，求点P的坐标. 【答案】(1)，16； (2)或； (3). 【分析】（1）将点B代入和，可求出. （2）求出点的坐标，利用图象直接求出的范围. （3）先求出四边形ODAC的面积，进而求出DE的长，然后得出点E的坐标，最后求出直线OP的解析式即可得出点P的坐标． 【详解】（1）把代入得，解得， 所以一次函数解析式为； 把代入得， 所以反比例函数解析式为 故答案为：，16. （2）在中，当时，，即点， 当时，直线在反比例函数图象的上方时对应的x的取值范围即为所求， 所以x的取值范围是或； 故答案为：或. （3）由（1）知，， 则m＝4，点C的坐标是，点A的坐标是，即， 于是，又， 因此，即，则DE＝2， 点E的坐标为，又点E在直线OP：上，解得，则直线OP的解析式是， 所以直线OP与反比例函数的图象在第一象限内的交点P的坐标为. 4．如图，直线与双曲线相交于点.已知点，，连接AB，将沿方向平移，使点移动到点，得到.过点作轴交双曲线于点C，连接. (1)求与的值； (2)求直线的解析式； (3)直接写出线段扫过的面积. 【答案】(1) (2) (3)22. 【分析】（1）将点P坐标分别代入直线与双曲线方程即可； （2）由平移的性质可得，求出点C，代入双曲线方程即可； （3）由平移的性质可知，即可求解. 【详解】（1）直线与双曲线均过点； （2）由平移的性质可知， ， 由AO平移而来，， 轴，可设点C的坐标为， 将代入，得. 设直线的解析式为， ，解得. 故直线的解析式为. （3）如图， 连接，由平移的性质，易得， 则有， 故线段AB扫过的面积是22. 5．如图，在平面直角坐标系中，已知，，顶点在第一象限，，在轴的正半轴上（在的右侧），，，与关于所在的直线对称．    (1)当时，求点的坐标； (2)若点和点在同一个反比例函数的图象上，求的长； (3)如图，将第（）题中的四边形向右平移，记平移后的四边形为，过点的反比例函数的图象与的延长线交于点．问：在平移过程中，是否存在这样的，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)存在，的值为或 【分析】（1）如图，过点作轴于点，根据，结合三角函数及角的关系即可求得； （2），则点的坐标是，可得点的坐标是，根据点和点在同一个反比例函数的图象上可得求出即可； （3）分两种情况讨论，①当点在线段的延长线上，且，；②分别构建方程求解. 【详解】（1）如图，过点作轴于点，    因为， ，则， 由对称可知，， 所以， ，，， 点的坐标是． （2）设，则点的坐标是， 由（1）及题意，得，， 点的坐标是． 因为点和点在同一个反比例函数的图象上， ，解得，即的长为． （3）存在，的值为或．理由如下： ①当点在线段的延长线上，且时，，如图：    在中，因为， 在，，， 设，易知， 则，解得， 所以，所以. ②如下图中，，   ，，因为， ，所以，因为， 所以，所以，， 则，所以，， 设点，易知，因为在同一反比例函数图像上， 所以，解得，所以， 所以. 对点集训三：二次函数 典型例题 例1．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】二次函数图象应用平移的规律：左加右减，上加下减求函数解析式. 【详解】抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度， 所得到的抛物线解析式为，即， 故选：D. 例2．如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，与点C关于对称轴对称，坐标为，则点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据函数值相等的两点关于对称轴对称，可得对称轴，根据关于对称轴对称，可得点坐标. 【详解】令，得， ， ，得到函数的对称轴为直线， 设点坐标为， 由关于对称轴对称得， 解得，即点坐标为. 故答案为：. 例3．如图，抛物线经过两点，与y轴交于点为第四象限抛物线上的动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过点P作x轴的垂线交直线于点D．若以为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点P的坐标； (3)是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）直接代入两点求解即可； （2）根据题意可得直线的解析式为，设，分两种情况求解； （3）在上取点E，使，作E关于直线的对称点F，可得，结合（2）可知重合，即可得结果. 【详解】（1）因为抛物线经过两点， 则，解得， 所以抛物线的解析式为. （2）当时，，即，则， 设直线的解析式为， 将代入得，解得，， 所以直线的解析式为， 设，则， 可得， 由题意知，当以为顶点的三角形与相似时， 分两种情况求解： 当时，则，即， 解得，或（舍去）或（舍去），即； 当时，，可知轴， 把代入，得，即， 此时，成立； 综上所述，当以为顶点的三角形与相似时，或； （3）如图，在上取点E，使，连接， 因为， 可知，可得， 又因为，则， 可得，即， 作E关于直线的对称点F，连接， 则，可得，， 当时，P为直线与抛物线的交点， 由（2）可知，是抛物线上的点，即重合， 所以存在点P，使得，点P的坐标为． 精练 1．把二次函数的图象向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数的图象，则 ， . 【答案】 14 【分析】利用二次函数的性质将图象平移回去，对比系数求解即可. 【详解】将向右平移4个单位，得到， 再向下平移2个单位，得到， 故， 对比系数得，. 故答案为：；14 2．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，若，则的取值范围是 ．    【答案】 【分析】利用数形结合即可求解． 【详解】由图象可知，若，则二次函数图象应该在一次函数图象下面， 所以的范围为． 故答案为：． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式． (2)连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点运动到什么位置时，使的面积最大，求出点的坐标和的面积最大值． 【答案】(1) (2)存在，点的坐标为 (3)最大值为，此时的点坐标为 【分析】（1）将、两点代入二次函数表达式，解关于、的方程组，解之可得答案； （2）先假设存在点，再根据菱形的性质建立方程，解出点的坐标； （3）过点作轴的平行线，分别交、于、，从而利用三角形的面积公式与二次函数的性质，求出的面积最大值与相应点的坐标． 【详解】（1）根据题意，将、两点代入二次函数表达式，可得， 解得，，故二次函数的表达式为； （2）存在点，使四边形为菱形， 设，作出直线，与相交于点，则， ．所以的纵坐标满足，解得舍负， 故点的坐标为； （3）过点作轴的平行线，分别交、于、， 设，求得直线：， 则点坐标为， ， 当时，，的面积的最大值为， 此时的点坐标为． 对点集训四：二次函数的零点 典型例题 例1．二次函数只有一个零点，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】由题意可得，求出，然后再利用一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】二次函数只有一个零点， 则，解得或（舍去）， 所以不等式化为，解得或. 故答案为：D 例2．已知二次函数. (1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式； (2)若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）设二次函数的两个零点分别为，，由求出t，直接解得； （2）由根的分布情况列不等式组，求出实数t的取值范围． 【详解】（1）设二次函数的两个零点分别为，， 由已知得， 而，所以，故， 不等式即，解得或， 故不等式的解集为或. （2）因为方程的两个实根均大于且小于4，所以，即， 解得：，即实数t的取值范围为. 精练 1．二次函数只有一个零点，则不等式的解集为 . 【答案】或 【分析】先根据函数只有一个零点求得，再解一元二次不等式即可. 【详解】因为二次函数只有一个零点，所以， 解得或（舍去），所以不等式即， 解得或，所以不等式的解集为或. 故答案为：或 2．已知二次函数的两个零点为，则 【答案】 【分析】由二次函数根与系数的性质求解即可. 【详解】因为二次函数的两个零点为， 所以，，解得，， 所以． 故答案为：. 3．设二次函数，函数的两个零点为，（）. （1）若，，求不等式的解集. （2）若，且，比较与的大小. 【答案】（1）答案见解析；（2）. 【分析】（1）由二次方程的根与一元二次不等式的解之间的关系直接得出结论； （2）设，得，作差可得它与0的大小，从而得出与的大小． 【详解】（1）的两个根分别为和2 当时，的解集为； 当时，的解集为； （2）， ∵，∴，， ∴，   ∴. 【点睛】本题考查二次方程的根与一元二次不等式的解之间的关系，考查二次函数的解析式，掌握三个二次的关系是解题关键． 一、单选题 1．（高一·上海·开学考试）下列说法中不正确的是（    ） A．函数y＝2x的图象经过原点 B．函数y的图象位于第一、三象限 C．函数y＝3x﹣1的图象不经过第二象限 D．函数y的值随x的值的增大而增大 【答案】D 【分析】利用一次函数和反比例函数的图像和性质分析即可 【详解】A、函数y＝2x的图象经过原点，正确，不合题意； B、函数y的图象位于第一、三象限，正确，不合题意； C、函数y＝3x﹣1的图象不经过第二象限，正确，不合题意； D、函数y的值，在每个象限内，y随x的值的增大而增大，故错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查初等函数（一次函数、反比例函数）的图像和性质，属于基础题. 2．（高一·上海·开学考试）函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】由一次项系数的正负判断首先过一三象限还是过二四象限，然后由常数的正负确定所过的第三个象限，确定出图象不经过的象限． 【详解】一次函数， ， 函数图象经过第一三象限， ， 函数图象与轴负半轴相交， 函数图象经过第一三四象限，不经过第二象限. 故选：. 【点睛】本题考查一次函数的图象，通过一次项系数和常数项的正负判断，最简单的方法是作出函数图象． 3．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）函数与的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】的图象为过原点的折线，关于y轴对称，的图象是直线，斜率为1，按的正负分类作出图象后，分析可得． 【详解】的图象为过原点的折线，关于y轴对称， 分两种情况讨论，①当a>0时，的图象过第一､二象限，直线斜率为1， 当a>0时，直线过第一､二､三象限，若使其图象恰有两个公共点，如图1，必有a>1； ②当a<0时，过第三､四象限；而y=x+a过第二､三､四象限，若使共图象恰有两个公共点，如图2，必有, 故选：D. 　　　　　　　　　图1 　　　　　　　　图2 4．（24-25高一上·上海·开学考试）已知抛物线与的交点为A，两抛物线与x轴的交点分别为B，C，点A，B，C的横坐标分别为，，，且．若，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，以及不等式性质，根据题意得到，，再联立函数解析式表示出，，，利用不等式性质，比较其大小，即可解题． 【详解】解：，，，， 抛物线与的交点为A， ， 整理得， 解得或， ，， 抛物线与，与x轴的交点分别为B，C， ，可得，，可得， ， ，， ， 故选：C． 二、填空题 5．（高一上·上海宝山·开学考试）已知：点､在反比例函数的图像上，则a___________b（用“>”“=”､“<”填）. 【答案】 【分析】结合题意求出，即可求解 【详解】由点在反比例函数的图像上， 得， 由在反比例函数的图像上， 得， 因为，所以， 故答案为： 6．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）若抛物线中不管取何值时都通过定点，则定点坐标为 . 【答案】 【分析】若抛物线中不管取何值时都通过定点，则含的项的系数为0，由此求出的值，再求的值，得出定点坐标. 【详解】可化为， 当时，，且与的取值无关， 所以不管取何值时都通过定点. 故答案为： 7．（24-25高一上·上海·开学考试）若一次函数的图象不过第一象限，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】若函数的图象不过第一象限，则此函数的，，据此求解． 【详解】函数的图象不过第一象限， ， ， 故答案为：． 8．（24-25高一上·上海·开学考试）二次函数的顶点位于第 象限 【答案】三 【分析】利用配方法，即可求得答案. 【详解】由于， 故二次函数的顶点为，位于第三象限， 故答案为：三 9．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）已知抛物线的部分图象如图，则下列说法：①对称轴是直线；②当时，；③方程无实数根．其中正确的说法是 .（只填写序号）. 【答案】①②③ 【分析】根据图像确定二次函数图像的对称轴，与轴交点的横坐标，函数的最小值然后判断． 【详解】①由图像知对称轴是直线，正确； ②由对称性得是方程的另一根，因此当时，函数图像对应的点在轴下方，因而，正确； ③函数的最小值是，因而函数值必须不小于， 因而方程无实数根，正确. 故答案为：①②③． 10．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）在平面直角坐标系中，对于任意两点的“破晓距离”，给出如下定义：若，则点与点的“破晓距离”为；若，则点与点的“破晓距离”为．例如：点，点，因为，所以点与点的“破晓距离”为，也就是线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）.已知是直线上的一个动点，点D的坐标是，则当点C与点D的“破晓距离”取最小值时相应的点C的坐标为 . 【答案】 【分析】过点C作x轴的垂线，过点D作y的垂线，两条垂线交于点M，连接CD．当点C在直线上方且使为等腰直角三角形时，点C与点D的“破晓距离”最小，根据新定义证此结论成立，然后求出即得． 【详解】过点C作x轴的垂线，过点D作y的垂线，两条垂线交于点M，连接CD. 当点C在点D的后上方且使为等腰直角三角形时， 点C与点D的“破晓距离”最小.理由如下： 记此时C所在位置的坐标为. 当点C的横坐标大于时，线段CM的长度变大， 由于点C与点D的“破晓距离”是线段CM与线段MD长度的较大值， 所以点C与点D的“破晓距离”变大： 当点C的横坐标小于时，线段MD的长度变大， 点C与点D的“破晓距离”变大. 所以当点C的横坐标等于时，点C与点D的“破晓距离”最小. 因为，所以， 解得，所以点C的坐标是. 故答案为：． 11．（24-25高一上·上海·开学考试）在平面直角坐标系中给出以下定义：点，点，，，则我们称B是A的“跳跃点”．若二次函数的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线上，则a的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】先求出点C、D所在的直线表达式为，当时，还出抛物线与直线的大致图象，联立直线和抛物线的表达式，用a的代数式表示出x，根据x的范围求出a的范围，还需考虑根的判别式；当时，不成立． 【详解】设二次函数图象上的两点为点C、D， 题意得点 的“跳跃点”为， 将代入，得， ∴，则点C在直线上，同理点D也在直线上， 对于二次函数，显然， 令，则，解得或， 即抛物线与x轴交于和， 当时，抛物线与直线的大致图象如图： 直线也经过，设为点D，另一个交点设为点C， 则联立直线和抛物线的表达式得到， 则，这里考虑的情况， 则，解得， 则，而，所以，可得， 对于，化简为， 而直线和抛物线在时有两个交点，故 因此，解得， 所以且； 当时，如图： 直线不可能与抛物线在时有两个交点，故舍， 综上，且． 故答案为：且 12．（24-25高一上·上海·开学考试）如图，点是反比例函数图像上一点，连结，过作的垂线与反比例函数的图像交于点，则 ． 【答案】 【分析】设，由两点分别作轴的垂线，垂足分别为，由，得，由，可得答案. 【详解】设， 由两点分别做轴的垂线，垂足分别为， 且， 因为，所以， 所以， 所以，可得，即，所以， 所以. 故答案为：. 三、解答题 13．（高一上·上海宝山·开学考试）如图，点，在反比例函数的图象上，经过点A､B的直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点D. （1）若，求n的值； （2）求的值； （3）连接OA､OB，若，求直线AB的函数关系式. 【答案】 【分析】（1）先把A点坐标代入求出k的值得到反比例函数解析式为，然后把代可求出n的值； （2）利用反比例函数图象上点的坐标特征得到4m＝k，﹣4n＝k，然后把两式相减消去k即可得到m+n的值； （3）作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图，利用正切的定义得到tan∠AOE，，则，加上，于是可解得，从而得到，，然后利用待定系数法求直线AB的解析式． 【详解】（1）当m＝2，则A（2，4）， 把A（2，4）代入得k＝2×4＝8， 所以反比例函数解析式为， 把代入得﹣4n＝8，解得n＝﹣2； （2）因为点A（m，4），B（﹣4，n）在反比例函数的图象上， 所以4m＝k，﹣4n＝k， 所以4m+4n＝0，即m+n＝0； （3）作AE⊥y轴于E，BF⊥x轴于F，如图， 在Rt△AOE中，tan∠AOE， 在Rt△BOF中，， 而tan∠AOD+tan∠BOC＝1， 所以， 而m+n＝0，解得m＝2，n＝﹣2， 则A（2，4），B（﹣4，﹣2）， 设直线AB的解析式为y＝px+q， 把代入得，解得， 所以直线AB的解析式为y＝x+2． 14．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）一块三角形材料如图所示，用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中，点D､E､F分别在.设AE的长为x，矩形CDEF的面积为S. (1)写出S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (2)当矩形CDEF的面积为时，求AE的长： (3)当AE的长为多少时，矩形CDEF的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)； (2)4或8； (3)时，最大面积是． 【分析】（1）易得，由直角三角形由表示出，可得矩形面积； （2）解方程可得的长； （3）由二次函数的性质可得最大值． 【详解】（1）因为AB=12，AE=x，点E与点A､点B均不重合， 所以， 因为四边形CDEF是矩形，所以， 因为，所以，， 在Rt中，，所以， 由勾股定理得，所以， 所以； （2）由题意得.解得， 所以的长为4或8； （3）因为， 所以当时，矩形CDEF的面积最大， 即当点为的中点时，矩形的面积最大，最大面积是. 15．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）阅读理解：对于任意正实数，因为，所以，所以，只有当时，等号成立.结论：在（均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值.根据上述内容，回答下列问题： (1)若，只有当___________时，有最小值___________； (2)思考验证：如图1，为半圆的直径，为半圆上任意一点（与点不重合），过点作，垂足为.试根据图形验证，并指出等号成立时的条件. (3)探索应用：如图2，已知为双曲线上的任意一点，过点作轴，垂足为轴，垂足为.求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状. 【答案】(1)，2 (2)验证答案见解析，等于半径时取等号 (3)最小值24，四边形是菱形 【分析】（1）根据阅读材料，时，取得最小值，由此计算可得； （2）利用直角三角形相似得，由（重合时取等号）可得不等式成立； （3）设，求出坐标，求出后可计算出四边形的面积，然后由阅读材料的结论得出最小值及四边形形状． 【详解】（1）由题意，又，因此时，的最小值为2； （2）因为是的直径.所以. 又，所以， 所以RtRt，所以，即，所以， 若点与O不重合，连接， 在Rt中，有，所以， 若点与重合时，.所以. 综上所述，，即，当等于半径时取等号； （3）设，则， 化简得，因为，所以， 当且仅当，即时取等号，所以. 由最小值24. 此时， 所以四边形是菱形. 16．（24-25高一上·上海·开学考试）在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线的镜像抛物线． (1)如图，已知抛物线顶点为A． ①求该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式； ②已知该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B，如果（是锐角），求m的值． (2)已知抛物线的顶点为C，它的一条镜像抛物线的顶点为D，这两条抛物线的交点为．如果是直角三角形，求该抛物线的表达式． 【答案】(1)①；②或 (2) 【分析】（1）①由得点坐标，求出该抛物线关于y轴的镜像抛物线的顶点为，然后求镜像抛物线的表达式即可； ②当在点左侧时，该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为，连接交轴于点，由可得，计算求解即可；当在点右侧时，同理可得答案； （2）由题意知，若是直角三角形，则是等腰直角三角形，设，求出点坐标得抛物线的表达式，将代入得可得答案． 【详解】（1）①解：∵，∴， ∴该抛物线关于y轴的镜像抛物线的顶点为， ∴该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式为，即； ②当在点左侧时， ∵，该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B， ∴， 如图，连接交轴于点，则， ∵， ∴， 解得，； 如图，当在点右侧时， 同理可得，， 解得，； 综上所述，的值为或； （2）如图2， 由题意知，若是直角三角形，则是等腰直角三角形， 则， 设，∵，∴， ∴抛物线的表达式为， 将代入得，， 解得，或（舍去）， ∴抛物线的表达式为． 【点睛】关键点点睛：本题考查了二次函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，正切等知识，熟练掌握二次函数解析式，轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，正切是解题的关键点． 17．（24-25高一上·上海·开学考试）已知，在中，，，点P是边上的一个动点，连接，以为一边，在外作，交的延长线于点D． (1)当平分时，求的面积； (2)当时，求的正弦值； (3)设，，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围. 【答案】(1)10 (2) (3) 【分析】（1）过点A作于点E．由题意易证，即可证明，得出．再根据等腰三角形的性质和勾股定理可求出的长，最后根据三角形面积公式计算即可； （2）在（1）的基础上作于点F．由等积法可求出的长，再根据勾股定理可求出的长．又易证，即得出，代入数据即可； （3）过点P作交BC于点G，作于点H．即易证，得出．由题意可求出，根据，可求出，再根据勾股定理可求出，从而可求出，进而可求出．再根据平行线分线段成比例可得，即得出，从而可求出．最后将数据代入，即得出y与x的关系． 【详解】（1）如图，过点A作于点E． ∵平分，∴． ∵，∴， ∴，∴， ∴，∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）如图，在（1）的基础上作于点F． ∵，∴， ∴， ∴． ∵，∴． ∵，∴， ∴． ∵，∴， ∴； （3）如图，过点P作交BC于点G，作于点H． ∵，∴． 又∵，∴． ∴． 由题意可求出． ∵，∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴，即， ∴， ∴． ∴， 整理，得：． 【点睛】关键点点睛：本题考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，求角的正弦值，相似三角形的判定和性质等知识，综合性强，为压轴题．正确的作出辅助线是解题关键． 18．（24-25高一上·上海·开学考试）函数的图像与轴交于，与轴交于点 (1)求的值： (2)已知是函数图像对称轴上的一点，若为等腰三角形，求出所有满足条件的的坐标： (3)已知是函数上一点，若是直角三角形，求出所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1) (2)或或. (3)或 【分析】（1）在中，分别令，得； （2）设，分，，三种情况讨论求得M坐标； （3）设，分，，三种情况讨论求得点的坐标． 【详解】（1）在中，令得或，故； 令得，故； 所以. （2）    设对称轴与x轴交于点Q，设，作轴于N，连接， 则， ， ， 若为等腰三角形，分以下三种情况： ①若，则，解得，故； ②若，则，解得，故； ③若，则，解得，故； 故若为等腰三角形，则或或. （3）设，有三种情况： ①当时，如下图：    过F作轴，垂足为D，则 ， 解得:(不合题意，舍去）； ， ②当时，如下图，    过F作轴，垂足为E，则， ，， ，，， ，解得:(不合题意，舍去)， ; ③当时：则F在以为直径的圆上，如下图，过B作交抛物线于G，    所以点F在上方，由②得， ， ， 由此可得:对称轴右侧，上方抛物线上的点一定在圆外， 点F在圆上，F不在抛物线上. 综上所述:点F的坐标分别是或. 【点睛】关键点点睛：遇到三角形为等腰三角形或直角三角形时要讨论哪两边相等或哪个角为直角. 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衔接点03 函数（知识衔接+4对点集训+综合演练） 初中阶段 高中阶段 1. 一次函数 2. 反比例函数 3. 二次函数 初中对一次函数的了解是为了给高中学习的直线方程作铺垫,体会k对函数的增减变化的影响,上了高中就更能体会k代表的意义,一次函数解析式作为直线对应的方程与后续所学的圆锥曲线紧密相关. 初中学习过的反比例函数,在高中阶段会用高中的思想研究反比例函数的图象与性质,或是利用反比例函数的性质研究更复杂的函数的性质等,是必备的基础知识. 一元二次函数在中考中经常作为压轴题,体现了一元二次函数较难,也体现了一元二次函数的重要性.一元二次函数在高中数学中也很重要,它作为载体出现在高中的代数、几何各个领域中,很多问题都是可以转化成一元二次函数来解决.同时也体现了对数学建模、逻辑推理、数学运算以及直观想象等核心素养的培养. 初中知识再现 1.一次函数 确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式（k0）中的常数k；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式（k0）中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法. 2.反比例函数 反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数图像上任一点 作x轴、y轴的垂线PM，PN，垂足为M、N，则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=. ∴. 3.二次函数 （1）函数平移规律：左加右减、上加下减. （2）二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，. 如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，，当时，. 高中相关知识 二次函数的零点 1．一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点． 2．一元二次方程的根与二次函数的图象、零点间的关系 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 x1,2＝ x1＝x2＝－ 无根 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的零点 x1,2＝ x＝－ 无零点 对点集训一：一次函数 典型例题 例1．如图：在平面直角坐标系中，函数与的图像交于点，则不等式的解集为 ． 例2．由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随时间的增加而减少，已知原有蓄水量（万）与干旱持续时间x（天）的关系如图中线段所示，针对这种干旱情况，从第20天开始向水库注水，注水量（万）与时间x（天）的关系如图中线段所示（不考虑其它因素）. (1)求原有蓄水量与时间x（天）的函数关系式，并求当时的水库总蓄水量. (2)求当时，水库的总蓄水量y（万）与时间x（天）的函数关系式，（注明x的范围），若总蓄水量不多于万为严重干旱，直接写出发生严重干旱时x的范围. 例3．如图，直线与直线交于点，直线经过点. (1)求直线的函数表达式； (2)直接写出方程组的解______； (3)若点在直线的下方，直线的上方，写出的取值范围______. 精练 1．关于一次函数，下列说法正确的是（    ） A．图象经过第一、三、四象限 B．图象与轴交于点 C．函数值随自变量的增大而减小 D．当时， 2．下列各点一定在函数的图象上的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线与轴、轴分别相交于．点的坐标为，点是线段上的一点． (1)求的值； (2)若的面积为2，求点的坐标． 4．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线 交于点. (1)若直线解析式为. ①求点的坐标； ②求的面积. (2)如图2，作的平分线，若，垂足为，分别为线段上的动点，连结与，试探索是否存在最小值？若存在，求出这个最小值；若不存在，说明理由. 对点集训二：反比例函数 典型例题 例1．如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，D为边上一点，.反比例函数的图象经过点B，反比例函数的图象经过点D，与交于点E，连接，，. (1)求k的值； (2)求的面积. 例2．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点．（为常数） (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)根据图象直接写出不等式的解集； (3)P为y轴上一点，若的面积为3，求P点的坐标 精练 1．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A． B．3 C． D．6 10．已知反比例函数的图象在第二、四象限，则取值范围是 2．如图是反比例函数和在第一象限的图象，直线轴，并分别交两条曲线于两点，若，则的值是 . 3．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与y轴交于点C. (1)= ，= ； (2)根据函数图象可知，当＞时，x的取值范围是 ； (3)过点A作AD⊥x轴于点D，点P是反比例函数在第一象限的图象上一点.设直线OP与线段AD交于点E，当：=3：1时，求点P的坐标. 4．如图，直线与双曲线相交于点.已知点，，连接AB，将沿方向平移，使点移动到点，得到.过点作轴交双曲线于点C，连接. (1)求与的值； (2)求直线的解析式； (3)直接写出线段扫过的面积. 5．如图，在平面直角坐标系中，已知，，顶点在第一象限，，在轴的正半轴上（在的右侧），，，与关于所在的直线对称．    (1)当时，求点的坐标； (2)若点和点在同一个反比例函数的图象上，求的长； (3)如图，将第（）题中的四边形向右平移，记平移后的四边形为，过点的反比例函数的图象与的延长线交于点．问：在平移过程中，是否存在这样的，使得以点，，为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有符合题意的的值；若不存在，请说明理由． 对点集训三：二次函数 典型例题 例1．将抛物线先向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得到的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 例2．如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，与点C关于对称轴对称，坐标为，则点A的坐标是 ． 例3．如图，抛物线经过两点，与y轴交于点为第四象限抛物线上的动点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，过点P作x轴的垂线交直线于点D．若以为顶点的三角形与相似，请求出所有满足条件的点P的坐标； (3)是否存在点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，说明理由． 精练 1．把二次函数的图象向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数的图象，则 ， . 2．如图，已知二次函数与一次函数的图象相交于点和，若，则的取值范围是 ．    3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于，点在原点的左侧，点的坐标为，点是抛物线上一个动点，且在直线的上方． (1)求这个二次函数的表达式． (2)连接、，并把沿翻折，得到四边形，那么是否存在点，使四边形为菱形？若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)当点运动到什么位置时，使的面积最大，求出点的坐标和的面积最大值． 对点集训四：二次函数的零点 典型例题 例1．二次函数只有一个零点，则不等式的解集为（    ） A． B． C．或 D．或 例2．已知二次函数. (1)若该二次函数有两个互为相反数的零点，解不等式； (2)若关于x的方程的两个实根均大于且小于4，求实数t的取值范围． 精练 1．二次函数只有一个零点，则不等式的解集为 . 2．已知二次函数的两个零点为，则 3．设二次函数，函数的两个零点为，（）. （1）若，，求不等式的解集. （2）若，且，比较与的大小. 一、单选题 1．（高一·上海·开学考试）下列说法中不正确的是（    ） A．函数y＝2x的图象经过原点 B．函数y的图象位于第一、三象限 C．函数y＝3x﹣1的图象不经过第二象限 D．函数y的值随x的值的增大而增大 2．（高一·上海·开学考试）函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）函数与的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 4．（24-25高一上·上海·开学考试）已知抛物线与的交点为A，两抛物线与x轴的交点分别为B，C，点A，B，C的横坐标分别为，，，且．若，，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（高一上·上海宝山·开学考试）已知：点､在反比例函数的图像上，则a___________b（用“>”“=”､“<”填）. 6．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）若抛物线中不管取何值时都通过定点，则定点坐标为 . 7．（24-25高一上·上海·开学考试）若一次函数的图象不过第一象限，则k的取值范围是 ． 8．（24-25高一上·上海·开学考试）二次函数的顶点位于第 象限 9．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）已知抛物线的部分图象如图，则下列说法：①对称轴是直线；②当时，；③方程无实数根．其中正确的说法是 .（只填写序号）. 10．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）在平面直角坐标系中，对于任意两点的“破晓距离”，给出如下定义：若，则点与点的“破晓距离”为；若，则点与点的“破晓距离”为．例如：点，点，因为，所以点与点的“破晓距离”为，也就是线段与线段长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线与垂直于x轴的直线的交点）.已知是直线上的一个动点，点D的坐标是，则当点C与点D的“破晓距离”取最小值时相应的点C的坐标为 . 11．（24-25高一上·上海·开学考试）在平面直角坐标系中给出以下定义：点，点，，，则我们称B是A的“跳跃点”．若二次函数的图象上恰有两个点的“跳跃点”在直线上，则a的取值范围为 ． 12．（24-25高一上·上海·开学考试）如图，点是反比例函数图像上一点，连结，过作的垂线与反比例函数的图像交于点，则 ． 三、解答题 13．（高一上·上海宝山·开学考试）如图，点，在反比例函数的图象上，经过点A､B的直线与x轴相交于点C，与y轴相交于点D. （1）若，求n的值； （2）求的值； （3）连接OA､OB，若，求直线AB的函数关系式. 14．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）一块三角形材料如图所示，用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中，点D､E､F分别在.设AE的长为x，矩形CDEF的面积为S. (1)写出S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围； (2)当矩形CDEF的面积为时，求AE的长： (3)当AE的长为多少时，矩形CDEF的面积最大？最大面积是多少？ 15．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）阅读理解：对于任意正实数，因为，所以，所以，只有当时，等号成立.结论：在（均为正实数）中，若为定值，则，只有当时，有最小值.根据上述内容，回答下列问题： (1)若，只有当___________时，有最小值___________； (2)思考验证：如图1，为半圆的直径，为半圆上任意一点（与点不重合），过点作，垂足为.试根据图形验证，并指出等号成立时的条件. (3)探索应用：如图2，已知为双曲线上的任意一点，过点作轴，垂足为轴，垂足为.求四边形面积的最小值，并说明此时四边形的形状. 16．（24-25高一上·上海·开学考试）在平面直角坐标系中，如果两条抛物线关于直线对称，那么我们把一条抛物线称为另一条抛物线关于直线的镜像抛物线． (1)如图，已知抛物线顶点为A． ①求该抛物线关于y轴的镜像抛物线的表达式； ②已知该抛物线关于直线的镜像抛物线的顶点为B，如果（是锐角），求m的值． (2)已知抛物线的顶点为C，它的一条镜像抛物线的顶点为D，这两条抛物线的交点为．如果是直角三角形，求该抛物线的表达式． 17．（24-25高一上·上海·开学考试）已知，在中，，，点P是边上的一个动点，连接，以为一边，在外作，交的延长线于点D． (1)当平分时，求的面积； (2)当时，求的正弦值； (3)设，，求y与x之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围. 18．（24-25高一上·上海·开学考试）函数的图像与轴交于，与轴交于点 (1)求的值： (2)已知是函数图像对称轴上的一点，若为等腰三角形，求出所有满足条件的的坐标： (3)已知是函数上一点，若是直角三角形，求出所有满足条件的点的坐标． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$