精品解析：2025年河北省邯郸市武安市活水乡庙上中学、活水乡中学联考二模数学试题

2025年河北省初中学业水平考试 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定作答． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是负整数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查负整数次幂的意义，算术平方根的意义，绝对值的意义，有理数的分类，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据相关运算法则逐项运算并判断，即可解题． 【详解】解：A. 是正分数，不符合题意； B. ，是正整数，不符合题意； C. ，是负整数，符合题意； D. ，是正整数，不符合题意； 故选：C． 2. 如图，位于点北偏西方向上的点是 A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了方向角的计算，根据方向角的定义进行求解即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据方向角的定义：上北下南，左西右东，可知位于点北偏西方向上的点． 故选A. 3. 如图，若，在给出的四个运算中，结果为的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘除法、幂的乘方、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据同底数幂乘除法、幂的乘方、合并同类项的运算法则逐个计算判断即可． 【详解】解：①； ②； ③； ④ ； 所以结果为的对应运算④ ． 故选：D． 4. 如图是一个正方体的展开图，折叠后，相对两面的数字之和相等，则的值为（ ） A. B. 13 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是几何体展开图的特征，一元一次方程，根据展开图的形状求出对应面是解决本题的关键． 先找出每个面的对应值，再根据相对两面的数字之和相等，列式计算即可得出答案． 【详解】解：因为正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 所以，3和相对，x和y相对，和2相对． 因为，相对两面的数字之和相等， 所以，， ， 所以，，， 所以，． 故选：A． 5. 如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（    ） A. 位于线段上，且靠近点 B. 位于线段上，且靠近点 C. 位于线段上，且靠近点 D. 位于线段上，且靠近点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了数轴上找原点，据中点求出点表示的数，进而即可求解，理解中点和数轴的定义是解题的关键． 【详解】解：是线段的中点， 点表示的数是， ∴原点位于线段上，且靠近点， 故选：． 6. 若，则“”表示的运算符号是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握二次根式运算法则，准确计算． 【详解】解：∵， ∴“”中的运算符号是． 故选：D． 7. 如图，若与关于某个点对称，则这个点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了关于点对称的图形的特点，关于一个点对称的两个图形的对应点连线交于一点，据此求解即可． 【详解】解：∵关于某点对称的两个图形的对应点连线交于一点， ∴若与关于某个点对称，则这个点是点， 故选：A． 8. 随着人工智能，大模型的迭代赋能，机器人具备了更灵巧的身体，天工机器人奔跑速度可达12公里/小时，则奔跑小时的路程用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选B． 9. 已知关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况为（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 两根之和为3 D. 两根之积为2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，根据判别式得到，则原方程有两个不相等的实数根，再由根与系数的关系可得两根之和和两根之积，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， ， ， 方程有两个不相等的实数根，， ∴两根之和，两根之积， 故选项说法正确． 故选：C． 10. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，四边形是菱形，延长到，延长到，使，连接，，，． 求证：四边形是菱形． 证明：连接，交于点， 四边形是菱形，，， ① ， ， ② ， 四边形是平行四边形， ，四边形是菱形． 若以上解答过程正确，则①，②分别为（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质与判定，根据菱形的对角线互相垂直平分可得，，，再证明，即可根据对角线互相垂直平分的四边形是菱形，据此可得答案． 【详解】证明：连接，交于点， 四边形是菱形， ，，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 故选：B． 11. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点关于直线的对称点为点．若点落在内，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．要求解的取值范围，关键是确定对称点的临界点的坐标，从而根据点求出直线，进而确定的取值范围． 【详解】解：如图，过点作轴的平行线，分别交，于点，， ∵，∴直线， 点落在内，由对称的性质可知点在直线上， ， 设所在直线为， 将，两点坐标代入得， 解得， 即， 当时，，，即， 当点与点重合时， 直线， 设所在直线为， 将，两点坐标代入得， 解得， 即， 当时，，，即， 当点与点重合时，直线， ． 12. 如图，在中，，，分别是边，上一点，是的中点，沿折叠，使点落在点处，若，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，过点作于点，利用角的性质以及中点结合中位线定理，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ， 为的中点，， ， ， 是的中点，， 是的中位线， ，， 设，则， 在中，，即， 解得， 即的长为， 故选：B． 【点睛】题目主要考查含30度角的直角三角形的性质，中位线的判定和性质，解三角形，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定与性质等，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，已知，将绕点顺时针旋转，若，，则在旋转过程中，的最小值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，理解旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质解题即可． 【详解】解：如图，在旋转过程中，当与重合时，即在位置，有最小值，最小值为. 14. 已知，均为正整数，若，则用的代数式表示________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查同类项的加法，同底数幂的乘法，幂的乘方，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 根据相应的运算法则进行运算即可． 【详解】，， ， ， ． 15. 如图，直线与双曲线相交于，两点，若，点的横坐标与纵坐标均为整数，点在轴上，若点到点的距离与点到点的距离和最小，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，一次函数与几何综合，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则此时点到点的距离与点到点的距离和最小，利用待定系数法可得反比例函数解析式为，设，根据题意可得为整数，则，，求出直线的解析式，进而求出直线与x轴的交点坐标即可得到答案． 【详解】解；如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点， 根据轴对称的性质，此时点到点的距离与点到点的距离和最小， 将代入双曲线中，得， ∴反比例函数解析式为 设， 点的横坐标与纵坐标均为整数， ∴为整数， （舍去）或， ， 设直线的解析式为， 将，代入，可得 解得， ∴直线的解析式为， 在中，令，得， ， 故答案为：． 16. 如图，已知点是正六边形边中点，连接并延长交延长线于点，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点作于点．延长，交于点，由正六边形的性质得到，，则可得到，解直角三角形可得，连接，则，由勾股定理得到，解直角三角形得到，证明是等边三角形，得到，则可证明是等边三角形，得到，，求出，则，证明，则可证明，得到，，则，，在中，，即可得到． 【详解】解：如图，连接，过点作于点．延长，交于点， 六边形为正六边形，， ，， ， ， ， 如图，连接，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， 为的中点， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ，， ，， 在中，， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正六边形的性质，解直角三角形，勾股定理，相似三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 数学活动课上，课代表嘉嘉同学设计了一款游戏，如图，用，，三张卡片分别表示一种运算： （1）淇淇同学将数字4经过的顺序运算，请你列出算式并求出计算结果； （2）若实数经过的顺序运算后，计算结果小于7，求的取值范围． 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算、解一元一次不等式，熟练掌握有理数运算的法则是解题的关键． （1）仿照示例，即可得到运算结果； （2）仿照示例，得到，解答即可得到结果． 【小问1详解】 解：由题意，得 ； 【小问2详解】 解：由题得， ， ， ． 18. 如图，老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被污染了一部分： （1）若被污染的部分是一个代数式，求这个代数式； （2）若被污染的部分是常数1，求的值． 【答案】（1） （2）4 【解析】 【分析】本题考查的是分式的加减运算，分式方程的解法； （1）由减法的意义可得被污染的部分为，再通分计算即可； （2）结合（1）可得，再解分式方程即可． 【小问1详解】 解：这个代数式为： ； 【小问2详解】 解：由（1）得， 去分母，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根， 的值为4． 19. 实践小组在同样的条件下培养同一种农作物的两种秧苗，现随机抽取两种秧苗各7株并对它们的高度进行测量，并将测量数据制成如下统计表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 甲种秧苗的高度（mm） 70 85 86 88 95 96 96 乙种秧苗的高度（mm） 80 84 86 90 90 92 94 （1）求抽取的7株乙种秧苗的平均高度； （2）若再抽取1株甲种秧苗，测量其高度为（取整数），并与原来7株甲种秧苗的高度数据合并成一组新数据，发现新数据中位数比原数据的中位数大，求的最小值； （3）从编号为5，6，7的甲种秧苗中随机抽取两株，请用列表法或画树状图法求抽到的两株甲种秧苗高度均为的概率． 【答案】（1） （2）的最小值为 （3）见解析， 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，用树状图或列表法求概率，理解相关知识是解答关键． （1）利用平均数求法求解； （2）先找了中位数，再结合题意求解； （3）画出树状图求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：由题意得，原数据的中位数为， 则当时，新数据中位数比原数据的中位数大， 的最小值为； 【小问3详解】 解：画树状图如解图， 由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中抽到的两株甲种秧苗高度均为的有2种， ． 20. 如图，在平行四边形中， （1）尺规作图：作对角线的中点（保留作图痕迹，不写作图过程）； （2）过点作直线分别交，于点，， ①求证：； ②连接，若的外心在上，的周长为24，求平行四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②48 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外心的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）连接交于点，利用平行四边形的性质知点为对角线的中点； （2）①利用即可证明； ②利用外心的性质求得，推出，再利用三角形和平行四边形的周长公式即可求解． 【小问1详解】 解：如图，点即为所求点； ； 【小问2详解】 ①证明：如图， 四边形是平行四边形，为的中点， ∴，， ， 在与中， ， ； ②解：如图， 的外心在上， ， ， ， 的周长为24， ， ， ， 平行四边形的周长为． 21. 某车间接到一批总量为800个零件的加工任务，计划安排20名工人一天完成，零件分为大、中、小三种型号，其中每名工人每天可以加工30个大型零件，或40个中型零件或50个小型零件，已知每名工人只能加工同一种型号的零件，在整个过程中，每个零件的平均成本如条形统计图所示． 设加工大型零件的工人为名，加工中型零件的工人为名， （1）求与的函数关系式； （2）若加工这批零件的总成本为9050元，求加工小型零件的工人人数． 【答案】（1） （2）加工小型零件的工人人数为5 【解析】 【分析】（1）根据题意，得，变形解答即可； （2）由题意得，这批零件的总成本为解答即可． 本题考查了一次函数的应用，熟练掌握应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：由题意得，， 即， 与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由题意得，这批零件的总成本为， 即， 解得. 加工小型零件的工人人数为 22. 如图1是某风力发电机实物图，图2是它在某一时刻太阳光线下的平面示意图，其中，，表示三个风叶，每个风叶长均为米，任意两风叶之间的夹角相等，风力发电机的柱高为米，，为太阳光线，表示三个风叶在太阳光线下的影长．（其中所有点、线均在同一平面内，，，在同一条直线上） （1）当地面时，求的长； （2）若太阳光线与地面的夹角与（1）相同，则的最大值是________米． 【答案】（1）米 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到，，如解图①，延长交于点，米，过点作于点，得，由含30度角的直角三角形的性质即可求解； （2）当与太阳光线平行，即太阳光线时，太阳光线照射风叶的范围最大，即最大，结合（1）得米，由此得到，此时最大，最大值为，即可求解． 【小问1详解】 解：， ， 米， ， 地面， ，， 如解图①，延长交于点， ， ， 米， 米， 过点作于点， ， ∴，则， ∴四边形是矩形， ， （米）； 【小问2详解】 解：， 由（1）知，要求的最大值，即求的最大值，如解图②，连接， 当与太阳光线平行，即太阳光线时，太阳光线照射风叶的范围最大，即最大，由（1）得米， ∴米， ∴，此时最大，最大值为． 【点睛】本题主要考查平行投影，含30度角的直角三角形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握以上知识，合理作出辅助线，数形结合分析是关键． 23. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为；抛物线与抛物线相交于点，顶点为． （1）直接写出值； （2）说明抛物线恒过定点； （3）连接，当时，求的长； （4）设是实数，连接，，，的面积为，若，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）见解析 （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先得求得抛物线与轴交于点的坐标，再判断点在抛物线上； （3）分别求得和，再利用两点之间的距离公式求解即可； （4）先求得，和，过点作轴垂线，分别过点，作轴平行线，交过点的垂线于点，，求得，，，，，利用列式计算即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线中，得， 解得； 【小问2详解】 解：抛物线与轴相交于点， ， 抛物线， 当时，， 抛物线恒过定点； 【小问3详解】 解：当时，抛物线， 联立两抛物线解析式，得， 解得，或， ， 令抛物线， 解得，， ， ； 【小问4详解】 解：由（1）得抛物线， 顶点， 为抛物线的顶点， ， 联立抛物线，，得， 解得或， ， 如图，过点作轴垂线，分别过点，作轴平行线，交过点的垂线于点，， ，，，，， ， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，运用待定系数法求函数解析式，运用方程思想解决问题． 24. 如图，在矩形中，是对角线中点，是边上一点（不与点，重合），过，，三点作交于点，，． （1）连接，求的最小值； （2）若与相切，求的长；（结果保留） （3）直接写出长的取值范围． （参考数据：，，．） 【答案】（1）的最小值是 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先根据矩形性质、锐角三角函数的定义和勾股定理求出，连接，根据是的中点，得到，再根据直径和弦的关系即得答案； （2）作辅助线如解析图，先利用等积法求出，证明，利用相似三角形的性质、直角三角形的性质结合已知得出，进而得到，再根据弧长公式求解即可； （3）结合图形可知，当点与点重合时，取得最小值，当点与点重合时，取得最大值，分别利用勾股定理求出的最小值与最大值，即可求解． 【小问1详解】 解：如图①， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ，， 连接， 是的中点， ， ， 是的直径， 是的弦， ， ， 的最小值是； 【小问2详解】 如图②，连接，， ， 连接，过点作于点，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ，， ， 又， ， ， ； 【小问3详解】 由题可知，是边上一点，且不与点，重合，结合图形可知，当点与点重合时，取得最小值， 如图③，连接，过点作，与交于点，则点为此时过，，三点的圆的圆心， 设，则，，， 在中，，即，解得， ， ； 当点与点重合时，取得最大值， 如图④，过点作于点， 连接，设，同理可得， 综上所述，长的取值范围为． 【点睛】本题是四边形和圆的综合，属于压轴题，主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理、勾股定理、矩形的性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识，熟练掌握相关图形的性质定理、灵活应用数形结合思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年河北省初中学业水平考试 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，总分120分．考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡的相应位置． 3．所有答案均在答题卡上作答，在本试卷或草稿纸上作答无效．答题前，请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定作答． 4．答选择题时，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时，请在答题卡上对应题目的答题区域内答题． 5．考试结束时，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，是负整数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，位于点北偏西方向上的点是 A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 3. 如图，若，在给出的四个运算中，结果为的是（ ） A. ① B. ② C. ③ D. ④ 4. 如图是一个正方体的展开图，折叠后，相对两面的数字之和相等，则的值为（ ） A. B. 13 C. D. 3 5. 如图，数轴上有三个点，其中是线段的中点，则原点的位置（    ） A. 位于线段上，且靠近点 B. 位于线段上，且靠近点 C. 位于线段上，且靠近点 D. 位于线段上，且靠近点 6. 若，则“”表示的运算符号是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若与关于某个点对称，则这个点是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 8. 随着人工智能，大模型的迭代赋能，机器人具备了更灵巧的身体，天工机器人奔跑速度可达12公里/小时，则奔跑小时的路程用科学记数法可以表示为（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于的一元二次方程中，，则该方程的根的情况为（ ） A. 无实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 两根之和为3 D. 两根之积为2 10. 下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 已知：如图，四边形是菱形，延长到，延长到，使，连接，，，． 求证：四边形是菱形． 证明：连接，交于点， 四边形是菱形，，， ① ， ， ② ， 四边形是平行四边形， ，四边形是菱形． 若以上解答过程正确，则①，②分别为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 11. 如图，在平面直角坐标系中，点，，，，点关于直线的对称点为点．若点落在内，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，，，分别是边，上一点，是的中点，沿折叠，使点落在点处，若，则的长为（ ） A. 6 B. 7 C. D. 12 二、填空题（本大题共4个小题，每小题3分，共12分） 13. 如图，已知，将绕点顺时针旋转，若，，则在旋转过程中，的最小值是________． 14. 已知，均为正整数，若，则用的代数式表示________． 15. 如图，直线与双曲线相交于，两点，若，点的横坐标与纵坐标均为整数，点在轴上，若点到点的距离与点到点的距离和最小，则点的坐标为________． 16. 如图，已知点是正六边形边的中点，连接并延长交延长线于点，若，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 数学活动课上，课代表嘉嘉同学设计了一款游戏，如图，用，，三张卡片分别表示一种运算： （1）淇淇同学将数字4经过的顺序运算，请你列出算式并求出计算结果； （2）若实数经过顺序运算后，计算结果小于7，求的取值范围． 18. 如图，老师在黑板上书写了一个正确的计算题目，题目被污染了一部分： （1）若被污染的部分是一个代数式，求这个代数式； （2）若被污染的部分是常数1，求的值． 19. 实践小组在同样的条件下培养同一种农作物的两种秧苗，现随机抽取两种秧苗各7株并对它们的高度进行测量，并将测量数据制成如下统计表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 甲种秧苗的高度（mm） 70 85 86 88 95 96 96 乙种秧苗的高度（mm） 80 84 86 90 90 92 94 （1）求抽取的7株乙种秧苗的平均高度； （2）若再抽取1株甲种秧苗，测量其高度为（取整数），并与原来7株甲种秧苗的高度数据合并成一组新数据，发现新数据中位数比原数据的中位数大，求的最小值； （3）从编号为5，6，7的甲种秧苗中随机抽取两株，请用列表法或画树状图法求抽到的两株甲种秧苗高度均为的概率． 20. 如图，在平行四边形中， （1）尺规作图：作对角线的中点（保留作图痕迹，不写作图过程）； （2）过点作直线分别交，于点，， ①求证：； ②连接，若的外心在上，的周长为24，求平行四边形的周长． 21. 某车间接到一批总量为800个零件的加工任务，计划安排20名工人一天完成，零件分为大、中、小三种型号，其中每名工人每天可以加工30个大型零件，或40个中型零件或50个小型零件，已知每名工人只能加工同一种型号的零件，在整个过程中，每个零件的平均成本如条形统计图所示． 设加工大型零件的工人为名，加工中型零件的工人为名， （1）求与的函数关系式； （2）若加工这批零件的总成本为9050元，求加工小型零件的工人人数． 22. 如图1是某风力发电机实物图，图2是它在某一时刻太阳光线下平面示意图，其中，，表示三个风叶，每个风叶长均为米，任意两风叶之间的夹角相等，风力发电机的柱高为米，，为太阳光线，表示三个风叶在太阳光线下的影长．（其中所有点、线均在同一平面内，，，在同一条直线上） （1）当地面时，求的长； （2）若太阳光线与地面的夹角与（1）相同，则的最大值是________米． 23. 如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，顶点为；抛物线与抛物线相交于点，顶点为． （1）直接写出的值； （2）说明抛物线恒过定点； （3）连接，当时，求的长； （4）设是实数，连接，，，的面积为，若，直接写出的取值范围． 24. 如图，在矩形中，是对角线中点，是边上一点（不与点，重合），过，，三点作交于点，，． （1）连接，求最小值； （2）若与相切，求的长；（结果保留） （3）直接写出长的取值范围． （参考数据：，，．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $