精品解析：河北省保定市两校2024-2025学年高一3+1下学期5月期中考试数学试题

2025级高一3+1数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. 不存在，使 C. ，使 D. ，使 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. “幂函数在上单调递减”是“”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 5. 函数的图象为（　　） A. B. C. D. 6. 函数的图象恒过定点，若点的坐标满足关于的方程，则的最小值为（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中正确的有（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 与表示同一函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 10. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是函数的最大值 C. 当时， D. 不等式的解集是 11. 已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域是____________. 13. 若“”是假命题，则实数的最大值为__________. 14. 已知函数的值域为，则的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）计算； （3）已知，求的值. 16. 已知全集，，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 17. 中华茶文化博大精深，实践表明，室温下用的水泡茶，等到茶水温度降至时，有最佳饮用口感，茶水温度适放置时间分钟的活数关系式为，由测试可知，经过1分钟后茶水的温度为 （1）求常数k的值； （2）在室温下，刚泡的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？参考数据：， 18. 已知定义域为R的函数是奇函数． （1）求a，b的值． （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围． 19. 已知函数． （1）当时，求关于的不等式的解； （2）若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一3+1数学试题 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两集合中元素的特征，判断集合中的任意一个元素都是集合中的元素，从而可得答案. 【详解】集合中的元素是所有奇数， 集合中的元素是所有被4整除余1的数， 因为任意一个被4整除余1的数都是奇数， 即集合中的任意一个元素都是集合中的元素，所以，， A选项错误，D选项正确； 且，C选项错误； ，B选项错误. 故选：D. 2. 命题“，使”的否定是（ ） A. ，使 B. 不存在，使 C. ，使 D. ，使 【答案】D 【解析】 【分析】由存在命题的否定是全称命题即可得出答案. 【详解】命题“，使”的否定是，使. 故选：D. 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】通过举反例可排除A，B，C；利用作差法可推得D正确. 【详解】对于A，因，取，则，有，故A是假命题； 对于B，当时，，故B是假命题； 对于C，取，，满足，但，故C是假命题； 对于D，由，由，所以，故D是真命题. 故选：D. 4. “幂函数在上单调递减”是“”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的性质求解参数，再判断必要性和充分性即可. 【详解】若是幂函数，则， 解得或，当时，， 由反比例函数性质得在上单调递减， 当时，， 由幂函数性质得在上单调递减， 故在上单调递减时，或， 即当在上单调递减时，无法推出，充分性不成立， 当时，可以推出在上单调递减，必要性成立， 综上，在上单调递减是的必要不充分条件，故C正确. 故选：C 5. 函数的图象为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分析的奇偶性，然后根据的取值正负判断出对应选项. 【详解】因为，且定义域为关于原点对称， 所以是偶函数，图象关于y轴对称，排除B、D， 又，排除A，所以C正确. 故选：C. 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 6. 函数的图象恒过定点，若点的坐标满足关于的方程，则的最小值为（     ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数的图象恒过定点求出点坐标，代入，再利用基本不等式可得答案. 【详解】若函数的图象恒过定点，则， 所以， 因为，所以，当且仅当时取等号， 整理得， 解得，或舍去， 由解得， 即当时，取得最小值为6. 故选：C. 7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数的单调性有在上单调递减，结合二次函数的性质求参数范围. 【详解】由题设，函数在上单调递增， 易知在上单调递减， 当时，满足题设， 当时，或， 综上，. 故选：B. 8. 若存在，且，使不等式能成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先将不等式恒成立转化为求的最小值，利用“1”的变换，展开后利用基本不等求最小值. 【详解】因为能成立，所以. 又因为，所以. 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以，即，所以或. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中正确的有（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 与表示同一函数 C. 函数的值域为 D. 定义在上的函数满足，则 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A选项判断条件关系，分别看“”能否推出“”和“”能否推出“”，发现都推不出，所以是既不充分也不必要条件.对于B选项：判断两函数是否相同，看定义域和对应法则，定义域是，定义域是，定义域不同，不是同一函数.对于C选项：求函数值域，用换元法把设为，转化为二次函数，根据二次函数性质求值域为.对于D选项：已知等式用代替得到新等式，两式联立消去求出. 【详解】判断“”是“”的什么条件，需要分别判断充分性和必要性. 充分性：当，时，满足，但，，此时， 所以由不能推出，充分性不成立.  必要性：当时，即，则有或， 也就是或，所以由不能推出，必要性不成立. 因此，“”是“”的既不充分也不必要条件，选项错误.   判断两个函数是否为同一函数，需要判断它们的定义域和对应法则是否都相同. 函数，其定义域为，当时，；当时，. 函数，其定义域为. 两个函数的定义域不同，所以它们不是同一函数，选项错误.  求函数的值域，可通过换元法将函数转化为二次函数来求解. 令，则，. 那么可转化为，这是一个二次函数，对称轴为. 当时，取得最大值，. 所以函数的值域为，C选项正确.  已知 ①，用代替可得 ②. 由①②消去可得：  ， 即， 所以选项正确. 故选：CD. 10. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 是函数的最大值 C. 当时， D. 不等式的解集是 【答案】AD 【解析】 【分析】根据奇函数性质判断A；举例判断B；根据时函数的解析式，结合函数的奇偶性判断C；写出函数的完整解析式为一个分段函数，分两种情况解不等式就可求解. 【详解】因为函数的定义域为，所以时，函数有意义，所以，A正确； 因为函数为奇函数，所以，所以， 而，所以不是函数的最大值，B错误； 设，则，所以， 又为奇函数，，所以， 所以时，，C错误； 根据以上结果，有，所以， 有，解得，或，解得， 所以不等式的解集是，D正确. 故选：AD 11. 已知是上的奇函数，是上的偶函数，且当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 最小正周期为 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用函数奇偶性的定义推导出，进一步可推导出，结合函数周期性的定义可判断A选项；利用函数解析式以及函数周期性可判断BCD选项. 【详解】因为是偶函数， 所以， 又因为是奇函数，所以，所以， 所以， 所以，所以的周期为，故A错误； 又当时，， 所以，选项B正确； ，选项C正确； ，选项D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若函数的定义域为，则函数的定义域是____________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，解得即可. 【详解】因为函数的定义域为， 则对于函数，令，解得， 所以函数的定义域是． 故答案为： 13. 若“”是假命题，则实数的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定由不等式恒成立计算可得结果. 【详解】因为“”为假命题，所以它的否定“”为真命题， 所以对恒成立，即，所以. 即实数的最大值为. 故答案为： 14. 已知函数的值域为，则的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可先确定时的值域，再利用函数的值域为，得到时，函数的单调性及端点函数值的范围即可求. 【详解】因为时，，所以， 又的值域为，所以时，的值域至少要取到， 则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）计算； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】运用指数对数运算性质逐个化简计算即可. 【详解】（1）计算：根据指数运算法则，可得，即. 计算：可得. 计算：设，根据对数的定义可得，即，则，解得. 计算：. 将以上结果相加：. （2）计算： ，则. 又，所以. 计算：，，则. 将两部分结果相加：. （3）对两边平方，可得，即，所以. 对两边平方，可得，即，所以. 将，代入，可得. 16. 已知全集，，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）先求得集合A，B再由集合的补集运算和交集运算可求得答案；（2） 根据集合之间的关系建立不等式（组），可求得所求的范围. 【小问1详解】 ,, ， ； 【小问2详解】 由（1）得， ， ， 实数的取值范围为. 17. 中华茶文化博大精深，实践表明，室温下用的水泡茶，等到茶水温度降至时，有最佳饮用口感，茶水温度适放置时间分钟的活数关系式为，由测试可知，经过1分钟后茶水的温度为 （1）求常数k的值； （2）在室温下，刚泡的该茶大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？参考数据：， 【答案】（1） （2）分钟． 【解析】 【分析】根据已知求出解析式即可． 结合指数和对数的关系以及对数的运算和第一问所求判断求解即可． 【小问1详解】 因为，所以， 根据题意可知：当，， 代入到， 可得， 解得 【小问2详解】 结合知，， 结合题意，此时， 即， 即， 因为根据已知，， 所以分钟． 18. 已知定义域为R的函数是奇函数． （1）求a，b的值． （2）判断函数的单调性，并用定义证明． （3）当时，恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1），． （2）在上为减函数，证明：由（1）知， 任取，设，则， 因为函数在R上是增函数，，∴．又， ∴，即，∴在上为减涵数． （3）． 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的性质，由，，建立方程，结合奇函数定义，可得答案； （2）根据单调性的定义，利用作差法进行证明，结合指数函数的单调性，可得答案； （3）利用函数奇偶性与单调性，化简不等式，根据参变分离，利用函数求最值，可得答案. 【小问1详解】 因为在定义域为R上是奇函数，所以，即， ∴，又∵，即，∴． 则，由， 则当，原函数为奇函数． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因是奇函数，从而不等式：， 等价于， 因为减函数，由上式推得：． 即对一切有：恒成立，设， 令，则有， ∴， ∴，即k的取值范围为． 19. 已知函数． （1）当时，求关于的不等式的解； （2）若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用二次函数的性质及得到，解一元二次不等式及指数函数的单调性求解集； （2）问题化为，上，应用基本不等式及分类讨论求函数的最值，进而求参数范围. 【小问1详解】 由题设，则在上单调递增， 由，且，即， 所以，可得，故， 所以不等式的解集为； 【小问2详解】 由题意，，上， 在上，， 当且仅当时取等号，故， 在上，的开口向上且对称轴为， 当时，在上单调递增，则， 此时，不符合前提； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 则， 此时，故； 当时，在上单调递减，则， 此时恒成立，即； 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $