专题03 图形的变换（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版2024新教材）

专题03 图形的变换 【考点1轴对称图形的识别】★ 【考点2 根据成轴对称图形的特征进行求解】★★ 【考点3台球桌面上的轴对称问题】★★ 【考点4轴对称中的光线反射问题】★★ 【考点5折叠问题】★★ 【考点6利用平移的性质求解平移】★★ 【考点7利用平移解决实际问题】★★ 【考点8找旋转中心、旋转角和旋转点】★ 【考点9利用旋转的性质求解】★★ 知识点1：轴对称 轴对称与轴对称图形 轴对称 轴对称图形 图形 定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴. 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 区别 1）轴对称是指两个图形折叠重合. 2）轴对称对称点在两个图形上. 3）轴对称只有一条对称轴. 1）轴对称图形是指本身折叠重合. 2）轴对称图形对称点在一个图形上. 3）轴对称图形至少有一条对称轴. 联系 1) 定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合. 2) 如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形；反过来, 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称. 性质 1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. 2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线. 判定 1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称. 2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线. 常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形等. 做轴对称图形的一般步骤： 1）作某点关于某直线的对称点的一般步骤： ①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长； ②在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点. 2）作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤： ①找.在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点） ②作.作各个特殊点关于已知直线的对称点 ③连.按原图对应连接各对称点 折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等． 知识点2：图形的平移 平移的概念：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小． 平移的三大要素：1）平移的起点，2）平移的方向，3）平移的距离． 平移的性质： 1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. 2）平移前后对应线段平行且相等、对应角相等. 3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离. 作图步骤： 1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离； 2）找出原图形的关键点； 3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形． 知识点3：图形的平移 定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角． 三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 性质： 1）对应点到旋转中心的距离相等； 2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3）旋转前后的图形全等． 作图步骤： 1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2）找出原图形的关键点； 3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 【考点1轴对称图形的识别】★ 1．深圳地铁14号线及16号线开通后，极大方便了坪山人民的日常出行．下列地铁图标中，是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义，进行判断即可．熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键． 【详解】解：A、不是轴对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形，符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意； 故选C 2．下列平面图形中，是轴对称图形且只有一条对称轴的图形是（   ） A．正方形 B．平行四边形 C．矩形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义，结合图形找出对称轴是关键． 根据轴对称图形的定义“指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴”，结合图形分析即可． 【详解】解：A、正方形有4条对称轴，不符合题意； B、平行四边形没有对称轴，不符合题意； C、矩形有2条对称轴，不符合题意； D、等腰三角形只有1条对称轴，符合题意； 故选：D ． 3．下列图形中是轴对称图形的是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念求解即可．熟知如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键． 【详解】解：A、图形不是轴对称图形，不符合题意； B、图形是轴对称图形，符合题意； C、图形不是轴对称图形，不符合题意； D、图形不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 【考点2 根据成轴对称图形的特征进行求解】★★ 1．如图，与关于直线对称，连接，其中分别交于点，下列结论：① ；②；③直线垂直平分；④直线与的交点不一定在直线上．其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是轴对称的性质，熟知如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线是解题的关键．根据轴对称的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：和关于直线对称， ，故①正确， 和关于直线对称，点与点是关于直线对称的对称点， ，故②正确； 和关于直线对称， 线段被直线垂直平分， 直线垂直平分，故③正确； 和关于直线对称， 线段、所在直线的交点一定在直线上，故④错误， 正确的有①②③，共3个 故选：C． 2．如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，直接利用轴对称的性质得出，，，再用周长公式计算即可得出答案，熟练掌握轴对称的性质并能正确得出对应线段是解决此题的关键． 【详解】解：和关于直线l对称，直线l与相交于点O， ，，． ，，， ，，． 五边形的周长为：． 故选：． 3．如图，所在直线是 的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质．通过观察可以发现是轴对称图形，且阴影部分的面积为全面积的一半，根据轴对称图形的性质求解．其中看出三角形与三角形关于对称，面积相等是解决本题的关键．根据和关于直线对称，得出，根据图中阴影部分的面积是求出即可． 【详解】解：关于直线对称， 、关于直线对称， ∴ 和关于直线对称， ， 的面积是：， 图中阴影部分的面积是． 故选：B． 4．如图，与关于直线l对称，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成轴对称图形的特征，由题意得：，推出，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ， ， 故选：C． 5．如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质得出，根据线段间的数量关系，得出答案即可． 【详解】解：由轴对称可知：，， ∴， ∴， 故答案为：． 【考点3台球桌面上的轴对称问题】★★ 1．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 则球最后落入的球袋是2号袋． 故选：B． 2．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 3．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    【答案】 【分析】本题考查了台球桌上的轴对称问题，根据图形得出的度数，即可求出的度数．利用数形结合的思想解决问题是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【考点4轴对称中的光线反射问题】★★ 1．如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和性质，反射角等于入射角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先得出，，根据反射角等于入射角，即得． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为， ∴， 故选：C． 2．如图，镜面与水平桌面的夹角，光线经平面镜反射到水平天花板，与反射光线的夹角，则光线与天花板所形成的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，角度的计算，理解反射原理，掌握角度的计算方法是关键． 如图所示，过点作，作，可得，，根据反射原理，可得，根据垂直的定义得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作，作， ∵水平桌面与天花板平行， ∴， ∴，， 根据反射原理，可得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 3．如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是本题的关键． 先根据平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即要得出结果． 【详解】解：， ， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过第二次反射后的反射光线与第一次反射的入射光线平行， ； 故选：A． 4．光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即 ，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相交线，垂线等知识，作出法线是解题的关键．过点F，作，求出，从而得出，继而得解． 【详解】解：过点F，作，则， 依题意得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【考点5折叠问题】★★ 1．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则的值是（   ）（用含的代数式表示） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质． 先根据平行线的性质得到，，再由折叠的性质得到，则，根据三角形内角和定理得到，则． 【详解】解：∵， ∴，， ∵纸带沿折叠后，点C、D分别落在H、G的位置， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 2．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A、D两点分别与、对应，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键． 根据题意得出，，，再由平角得出，然后即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 故选：B． 3．将纸条按如图所示的方式折叠，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 4．如图，将一张长方形纸片进行折叠，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，轴对称的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用．由题意可得，则有，结合所给的条件可求得，再由平行线的性质得，由折叠的性质可得，根据平行线的性质，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴，，， ∵， ∴， 解得：， 由折叠可得， ∴， ∵ ∴． 故选：C． 5．如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则 【答案】 【分析】本题考查图形的翻折变换以及平行线的性质．先根据翻折性质得出，再得到角的等量关系，求解． 【详解】解： 沿翻折到的位置， ． 将沿翻折到的位置， ， ． ， ． 故答案为：． 【考点6利用平移的性质求解平移】★★ 1．如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连结，若，，则的长为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，正确的识别图形是解题的关键． 由平移的性质得到，又由即可求解． 【详解】解：∵的是直角三角形沿着斜边的方向平移后得到的， ， ， ∴， 故选：C． 2．如图，沿直线向右平移，得到，若，则的长度为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． 利用平移的性质，得到，即可解答． 【详解】解： ∵沿直线向右平移，得到， ∴， ∴． 故选C． 2．如图，将沿射线平移得到，连接．若的周长为，则四边形的周长为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．根据平移的性质可得，，得到四边形的周长等于的周长与的和，计算即可得解． 【详解】解：将沿射线平移得到， ∴， 的周长为 ， 四边形的周长 ． 故答案为：21． 3．如图，将直角三角形沿方向向右平移得到直角三角形与交于点．若 ，，阴影部分的面积为，则平移的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质．解题的关键在于正确表示阴影部分的面积．根据，计算求解即可． 【详解】解：由平移的性质可得，， ， ∴， ∵， ∴， 即． ∴ 即平移的距离为： 故答案为：． 4．如图将沿方向平移得到，若点，之间的距离为，＝，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平移的性质．根据平移的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵将沿方向平移到， A，D之间的距离为， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 5．如图，在中，．将沿向右平移，得到，与交于点D，连接．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】18 【分析】本题考查了平移的性质．利用平移的性质得到，，，则，所以 ，然后根据梯形的面积公式计算． 【详解】解：∵将沿向右平移，得到， ∴，，， ∴，即， ∴ ， 故答案为：18． 【考点7利用平移解决实际问题】★★ 1．如图，在一块长、宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为，宽为的矩长方形，然后根据长方形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：， 绿化区的面积是， 故选：C． 2．如图所示是某酒店门前的台阶，现该酒店经理要在台上铺上一块红地毯，问这块红地毯长至少需要（   ） A．23米 B．18米 C．15米 D．13米 【答案】B 【分析】此题主要考查了利用平移解答实际问题，解决此题的关键是要利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算．根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形形的两边，求出地毯的长度即可． 【详解】解：利用平移线段，把楼梯的横竖向上向右平移，构成一个长方形的两边，长方形的两条边长分别为10米，8米， 故地毯的长度至少为（米）． 故选：B． 3．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有两条宽都为的纵，横相交的小路，这块草地的面积为 ． 【答案】200 【分析】此题考查了生活中的平移现象，正确平移道路是解题的关键． 根据平移的性质得出草地的长和宽，然后相乘即可． 【详解】解：由平移得到，草地的长为，宽为， ∴这块草地的面积为． 故答案为：200． 4．如图是青湖公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长米．宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么王华沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 米． 【答案】104 【分析】本题考查平移的性质，利用平移的性质可得，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为的长加上的长，即可得出结果． 【详解】解：由图可知，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为米； 故答案为：104． 5．如图，某园林内，在一块长，宽的长方形土地上，有两条长方形交叉的小路，其余地方种植花卉进行绿化．已知小路的出路口均为，则绿化地的面积为 ． 【答案】640 【分析】本题考查了图形平移，有理数的乘法运算的运用，理解题意，掌握图形平移，有理数的乘法运算是关键． 【详解】解：根据题意，绿化的长为，宽为， ∴绿化面积为， 故答案为：640 ． 【考点8找旋转中心、旋转角和旋转点】★ 1．如图，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点、的对应点分别为点、，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了旋转的性质，解题的关键是掌握对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角． 根据绕点按顺时针方向旋转后得到，从而即可求出旋转角的度数． 【详解】解：∵将绕点按顺时针方向旋转后得到， ∴， 故选：． 2．如图，在正方形网格中，将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，则下列说法错误的是（   ） A．为旋转角，大小为 B．为旋转角，大小为 C． D．旋转中心为点A 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，理解旋转角成为解题的关键．根据旋转的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形， ∴旋转角为：，，旋转中心为点A， 根据网格可知：， ∴，故A、B、D正确，不符合题意； ∵， ∴，故C错误，符合题意． 故选：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均为格点（网格线的交点），将绕某点顺时针旋转，得到（点均为格点），则旋转中心的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化—旋转，由旋转的性质可得的对应点为，的对应点为，的对应点为，同时旋转中心在和的垂直平分线上，进而求出旋转中心坐标，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得的对应点为，的对应点为，的对应点为， ∴交点在和的垂直平分线上，如图， ∴旋转中心的坐标为， 故答案为：． 【考点9利用旋转的性质求解】★★ 1．如图是由一个弯月绕某点旋转若干次而生成的，每次旋转的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了旋转，根据图形由一个弯月绕旋转中心旋转6次而生成的即可求出每次旋转的度数． 【详解】解：如图，是由一个弯月绕旋转中心旋转6次而生成的， ∴每次旋转的度数可以为． 故选：B． 2．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若绕点按逆时针方向旋转到的位置，则旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，熟记性质以及旋转角的确定是解题的关键．根据旋转的性质，对应边的夹角即为旋转角． 【详解】解：∵绕点O按逆时针方向旋转到的位置， ∴对应边的夹角即为旋转角， 而． ∴旋转的角度为． 故选：B． 3．风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则的值不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查旋转对称图形的概念：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，该图形被平分成三部分，因而每部分被分成的圆心角是，并且圆具有旋转不变性，因而旋转的整数倍，就可以与自身重合，由此即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：由图可得：该图形被平分成三部分，每份的度数为， 旋转的整数倍，就可以与自身重合， 的值不可能的是， 故选：A． 4．如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质．先利用旋转的性质得到，，再利用，计算即可． 【详解】解：∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 故选：B． 5．如图，已知，，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使得、、在同一条直线上．那么旋转的最小角度是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键．由题意得，结合旋转的性质可得旋转的最小角度是． 【详解】解：、、在同一条直线上， ， 绕点顺时针方向旋转到的位置， 旋转的最小角度是． 故答案为：． 6．将绕点A按逆时针方向旋转得到．若，则 ． 【答案】70 【分析】本题考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 由旋转得，再根据可得答案． 【详解】解：由旋转得， ， ∵， ∴． 故答案为：70． 一、单选题 1．窗棂是中国传统木构建筑的框架结构．下列各样式的窗棂图案中，可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：由平移只改变位置，不改变大小，形状和方向可知，四个选项中只有C选项中的图案可以有平移得到， 故选：C． 2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴．根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项符合题意； 故选：D． 3．如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，即可求解． 【详解】解：将绕点顺时针旋转一定的角度得到， ， ， 故选：B． 二、填空题 4．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕．，则 度． 【答案】56 【分析】本题主要考查了折叠的性质，根据折叠的性质得到，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∴， 故答案为：56． 5．如图，将木条与c钉在一起，，木条a以每秒2°的速度绕点A顺时针方向旋转一周，当木条a与b垂直时，旋转时间为 秒． 【答案】50或140 【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的判定，垂直的定义，由旋转的性质和平行线的性质以及垂直的定义可求解． 【详解】解：如图，设的邻补角为，则， 当时，， ∴要使木条与垂直，木条旋转的度数至少是或， ∴旋转时间为或， 故答案为：50或140． 6．如图的三角形纸片中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了折叠的性质，掌握折叠的性质得到，，是解题的关键． 根据折叠的性质得到，，，由的周长为，即可求解． 【详解】解：∵沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处， ∴，， ∴， ∴的周长为， 故答案为：6 ． 7．如图，把沿着射线方向平移得到，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等．根据平移的性质得到，据此求解即可． 【详解】解：由平移的性质可得， ∵， ∴， 故答案为：6． 8．如图，已知线段与直线的夹角，点是直线的一个动点，平移线段，使点移到点的位置，得到线段，连接，再将沿折叠，点落在点处，若平分，则 度． 【答案】50或70 【分析】本题考查角平分线的定义、平移的性质、轴对称的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论是解题的关键． 分两种情况讨论，一是点D在点B的右侧，由平分，得，由折叠得，则，而，所以；二是点D在点B的左侧，则，，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点D在点B的右侧， ∵平分， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处， ∴， ∵， ∴， ∵平移线段，得到线段， ∴， ∴； 如图2，点D在点B的左侧， ∵平分， ∴， ∵将沿折叠，点D落在点F处， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：50或70． 9．如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯．已知这种地毯每平方米售价元，主楼梯道宽，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元． 【答案】2800 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 利用平移的性质求出大厅主楼梯上铺设红色地毯的长，然后求出面积进行计算，即可解答． 【详解】解：由题意得： ， (元)，购买地毯至少需要元， 故答案为：． 三、解答题 10．如图，已知是绕点顺时针方向旋转（）后所得的图形，点的对应点点恰好在上，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质．熟练掌握旋转后对应边相等，旋转角相等，是解题的关键．根据，求出的度数，利用旋转的性质，得到，再利用，即可求出的度数． 【详解】解： ， ． 是绕点顺时针方向旋转后所得的图形， ， ， ． 11．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将平移得到，连接，． (1)根据题意，补全图形； (2)图中和的数量关系是 ； (3)在上画出一点P，使得． 【答案】(1)图见解析 (2)互补 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平移（作图），平移的性质，平行线的性质等知识点，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据的位置，确定平移规则，据此画出，再连接，即可； （2）根据平移的性质即可作答； （3）根据网格特点，过点 作，交于点P，则点P即为所求作． 【详解】（1）解：如图，，，即为所求作； （2）解：由平移的性质可知：， ∴， 即：和互补， 故答案为：互补； （3）解：如图，根据网格特点，过点作，交于点P，则点P即为所求作， 理由如下： ∵， ∴， 由平移的性质可知：， ∴． 12．如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到． (1)补全，利用网格点和直尺画图； (2)图中AC与的关系是：　　　　　　； (3)平移过程中，线段扫过的面积是 ． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等； (3)28 【分析】本题考查了作图﹣平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形． （1）把点都水平向右平移4个单位得到； （2）根据平移的性质求解； （3）线段扫过的面积是平行四边形的面积，再利用网格求解即可． 【详解】（1）如图，为所作； （2）与的关系为平行且相等； 故答案为：平行且相等； （3）线段扫过的面积是平行四边形的面积． 12．如图，长方形中，，E为边上一点，将长方形沿折叠（为折痕），使点B与点F重合，平分交于点G，过点G作交于点H．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】（1）根据折叠的性质得，根据角平分线定义及垂直的定义得，最后由平行的判定可得结论； （2）由余角的性质得，然后根据平行线的性质可得答案． 【详解】（1）证明：∵长方形沿折叠， ∴， ∵平分交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵长方形中，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了折叠问题及平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 图形的变换 【考点1轴对称图形的识别】★ 【考点2 根据成轴对称图形的特征进行求解】★★ 【考点3台球桌面上的轴对称问题】★★ 【考点4轴对称中的光线反射问题】★★ 【考点5折叠问题】★★ 【考点6利用平移的性质求解平移】★★ 【考点7利用平移解决实际问题】★★ 【考点8找旋转中心、旋转角和旋转点】★ 【考点9利用旋转的性质求解】★★ 知识点1：轴对称 轴对称与轴对称图形 轴对称 轴对称图形 图形 定义 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴. 如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.这条直线就是它的对称轴. 区别 1）轴对称是指两个图形折叠重合. 2）轴对称对称点在两个图形上. 3）轴对称只有一条对称轴. 1）轴对称图形是指本身折叠重合. 2）轴对称图形对称点在一个图形上. 3）轴对称图形至少有一条对称轴. 联系 1) 定义中都有一条直线,都要沿着这条直线折叠重合. 2) 如果把轴对称的两个图形看成一个整体,那么它就是一个轴对称图形；反过来, 如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分(即看成两个图形),那么这两个图形就关于这条直线成轴对称. 性质 1）关于某条直线对称的两个图形是全等形. 2）两个图形关于某直线对称那么对称轴是对应点连线的垂直平分线. 判定 1）两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称. 2）两个图形关于某条直线成轴对称,那么对称轴是对折重合的折痕线. 常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形等. 做轴对称图形的一般步骤： 1）作某点关于某直线的对称点的一般步骤： ①过已知点作已知直线（对称轴）的垂线，标出垂足，并延长； ②在延长线上从垂足出发截取与已知点到垂足的距离相等的线段，那么截点就是这点关于该直线的对称点. 2）作已知图形关于某直线的对称图形的一般步骤： ①找.在原图形上找特殊点（如线段的端点、线与线的交点） ②作.作各个特殊点关于已知直线的对称点 ③连.按原图对应连接各对称点 折叠的性质：折叠的实质是轴对称，折叠前后的两图形全等，对应边和对应角相等． 知识点2：图形的平移 平移的概念：在平面内，一个图形由一个位置沿某个方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．平移不改变图形的形状和大小． 平移的三大要素：1）平移的起点，2）平移的方向，3）平移的距离． 平移的性质： 1）平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置，因此平移前后的两个图形全等. 2）平移前后对应线段平行且相等、对应角相等. 3）任意两组对应点的连线平行（或在同一条直线上）且相等，对应点之间的距离就是平移的距离. 作图步骤： 1）根据题意，确定平移的方向和平移的距离； 2）找出原图形的关键点； 3）按平移方向和平移距离平移各个关键点，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到平移后的图形． 知识点3：图形的平移 定义：在平面内，一个图形绕一个定点沿某个方向(顺时针或逆时针)转过一个角度，这样的图形运动叫旋转．这个定点叫做旋转中心，转过的这个角叫做旋转角． 三大要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度． 性质： 1）对应点到旋转中心的距离相等； 2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3）旋转前后的图形全等． 作图步骤： 1）根据题意，确定旋转中心、旋转方向及旋转角； 2）找出原图形的关键点； 3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点； 4）按原图形依次连接对应点，得到旋转后的图形． 【考点1轴对称图形的识别】★ 1．深圳地铁14号线及16号线开通后，极大方便了坪山人民的日常出行．下列地铁图标中，是轴对称图形的是（   ） A．B．C．D． 2．下列平面图形中，是轴对称图形且只有一条对称轴的图形是（   ） A．正方形 B．平行四边形 C．矩形 D．等腰三角形 3．下列图形中是轴对称图形的是（   ） A．B．C．D． 【考点2 根据成轴对称图形的特征进行求解】★★ 1．如图，与关于直线对称，连接，其中分别交于点，下列结论：① ；②；③直线垂直平分；④直线与的交点不一定在直线上．其中正确的个数有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（ ） A． B． C． D． 3．如图，所在直线是 的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（   ） A． B． C． D． 4．如图，与关于直线l对称，，，则（    ） A． B． C． D． 5．如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为 ． 【考点3台球桌面上的轴对称问题】★★ 1．如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 2．如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 3．数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，，若，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证为 ．    【考点4轴对称中的光线反射问题】★★ 1．如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，镜面与水平桌面的夹角，光线经平面镜反射到水平天花板，与反射光线的夹角，则光线与天花板所形成的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 4．光的反射定律为：入射光线、反射光线和法线(垂直于反射面的直线)都在同一平面内，且入射光线和反射光线分别位于法线的两侧，入射光线与法线的夹角入射角等于反射光线与法线的夹角反射角，兴趣小组想让太阳光垂直射入水井，运用此原理，如图，在井口放置一面平面镜以改变光的路线，当太阳光线与水平线的夹角时，要使太阳光线经反射后刚好竖直射入井底即 ，则调整后平面镜与水平线的夹角为（    ） A． B． C． D． 【考点5折叠问题】★★ 1．如图，已知长方形纸带，将纸带沿折叠后，点，分别落在，的位置，若，则的值是（   ）（用含的代数式表示） A． B． C． D． 2．如图，为一长条形纸带，，将沿折叠，A、D两点分别与、对应，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．将纸条按如图所示的方式折叠，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，将一张长方形纸片进行折叠，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，沿翻折到的位置，然后将沿翻折到的位置，且，则 【考点6利用平移的性质求解平移】★★ 1．如图，将直角沿边的方向平移到的位置，连结，若，，则的长为（   ） A．3 B． C．4 D． 2．如图，沿直线向右平移，得到，若，则的长度为（   ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．如图，将沿射线平移得到，连接．若的周长为，则四边形的周长为 ． 3．如图，将直角三角形沿方向向右平移得到直角三角形与交于点．若 ，，阴影部分的面积为，则平移的距离为 ． 4．如图将沿方向平移得到，若点，之间的距离为，＝，则的长为 ． 5．如图，在中，．将沿向右平移，得到，与交于点D，连接．若，，则图中阴影部分的面积为 ． 【考点7利用平移解决实际问题】★★ 1．如图，在一块长、宽的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移就是它的右边线，则绿化区的面积是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．如图所示是某酒店门前的台阶，现该酒店经理要在台上铺上一块红地毯，问这块红地毯长至少需要（   ） A．23米 B．18米 C．15米 D．13米 3．如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有两条宽都为的纵，横相交的小路，这块草地的面积为 ． 4．如图是青湖公园里一处长方形风景欣赏区ABCD，长米．宽米，为方便游人观赏，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为2米，那么王华沿着小路的中间，从出口A到出口B所走的路线（图中虚线）长为 米． 5．如图，某园林内，在一块长，宽的长方形土地上，有两条长方形交叉的小路，其余地方种植花卉进行绿化．已知小路的出路口均为，则绿化地的面积为 ． 【考点8找旋转中心、旋转角和旋转点】★ 1．如图，将绕点按顺时针方向旋转后得到，点、的对应点分别为点、，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形网格中，将三角形绕点A逆时针旋转一定角度后得到三角形，则下列说法错误的是（   ） A．为旋转角，大小为 B．为旋转角，大小为 C． D．旋转中心为点A 3．如图，在平面直角坐标系中，的顶点均为格点（网格线的交点），将绕某点顺时针旋转，得到（点均为格点），则旋转中心的坐标为 ． 【考点9利用旋转的性质求解】★★ 1．如图是由一个弯月绕某点旋转若干次而生成的，每次旋转的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，点A，B，C，D，O都在方格纸的格点上，若绕点按逆时针方向旋转到的位置，则旋转的角度为（    ） A． B． C． D． 3．风力发电机可以在风力作用下发电，如图，该叶片图案绕中心旋转后能与原来的图案重合，则的值不可能的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，已知，，，将绕点顺时针方向旋转到的位置，使得、、在同一条直线上．那么旋转的最小角度是 ． 6．将绕点A按逆时针方向旋转得到．若，则 ． 一、单选题 1．窗棂是中国传统木构建筑的框架结构．下列各样式的窗棂图案中，可以看作由一个“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 3．如图，将绕点A顺时针旋转一定的角度得到，此时点恰在边上，若，则的长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 4．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，、为折痕．，则 度． 5．如图，将木条与c钉在一起，，木条a以每秒2°的速度绕点A顺时针方向旋转一周，当木条a与b垂直时，旋转时间为 秒． 6．如图的三角形纸片中，，，，沿过点的直线折叠这个三角形，使点落在边上的点处，折痕为，则的周长为 ． 7．如图，把沿着射线方向平移得到，，则 ． 8．如图，已知线段与直线的夹角，点是直线的一个动点，平移线段，使点移到点的位置，得到线段，连接，再将沿折叠，点落在点处，若平分，则 度． 9．如图，某酒店重新装修后，准备在大厅主楼梯上铺设红色地毯．已知这种地毯每平方米售价元，主楼梯道宽，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要 元． 三、解答题 10．如图，已知是绕点顺时针方向旋转（）后所得的图形，点的对应点点恰好在上，，求的度数． 11．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，将平移得到，连接，． (1)根据题意，补全图形； (2)图中和的数量关系是 ； (3)在上画出一点P，使得． 12．如图，在方格纸内将水平向右平移4个单位得到． (1)补全，利用网格点和直尺画图； (2)图中AC与的关系是：　　　　　　； (3)平移过程中，线段扫过的面积是 ． 12．如图，长方形中，，E为边上一点，将长方形沿折叠（为折痕），使点B与点F重合，平分交于点G，过点G作交于点H．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$