专题01 幂运算（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版2024新教材）

专题01 幂运算 【考点1 幂的乘法运算】★ 【考点2 幂的乘方和积的乘方运算】★ 【考点3幂的除法运算】★ 【考点4 零指数幂】★ 【考点5 科学记数法-表示较小的数】★ 【考点6 幂的综合运算】★★ 知识点1：幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 知识点2：幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 知识点3：积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 知识点4：幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 知识点5：零指数 a0=1 (a≠0) 知识点6：科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学记数法． 知识点7：负整数幂 当n 是正整数时，（，n是正整数） 【考点1 幂的乘法运算】★ 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．若，，则的值是（    ） A．729 B．243 C．27 D．9 3．若，，则 ． 4．若，，则的值为 ． 5．如果，那么 ． 【考点2 幂的乘方和积的乘方运算】★ 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 3．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 4．计算 ． 5．若，，则 ． 6．已知，则的值为 . 7．若，，则 ． 【考点3幂的除法运算】★ 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．已知，，则的值为（　　） A． B． C． D．1 3．已知，，则等于（   ）． A．2 B．4 C．1 D．3 4．若，，则的值是（    ） A．40 B．24 C．256 D．4 5．已知，则的值为 ． 6．已知，则 ． 【考点4 零指数幂】★ 1．计算： ． 2．计算： ． 3．化简： ． 4．计算： ． 5．计算： ． 【考点5 科学记数法-表示较小的数】★ 1．“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 2．5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为，则的值是（    ） A．0.11 B．1.1 C．11 D．11000 3．光速约为米/秒，太阳光射到地球上的时间约为秒，求地球与太阳的距离，用科学记数法表示为 米． 【考点6 幂的综合运算】★★ 1．已知，，求 (1)的值； (2)的值． 2．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 3．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 4．已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 一、单选题 1．计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 2．已知，，则等于（   ） A． B． C． D．1 3．下列各式中，计算正确的是（   ） A．B． C． D． 4．已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 5．的计算结果是（   ） A． B． C． D． 6．袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径为米，将用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 7．若，，且，则x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 8．已知，则 ． 9．若，，则 ． 10．已知，，则 ． 11．若，则的结果是 ． 12．已知，则的值为 ． 三、解答题 13．计算：． 14．计算：． 15．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 幂运算 【考点1 幂的乘法运算】★ 【考点2 幂的乘方和积的乘方运算】★ 【考点3幂的除法运算】★ 【考点4 零指数幂】★ 【考点5 科学记数法-表示较小的数】★ 【考点6 幂的综合运算】★★ 知识点1：幂的乘法运算 口诀：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 am×an=a（m+n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 知识点2：幂的乘方运算 口诀：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 (m,n都为正整数) 知识点3：积的乘方运算 口诀：等于将积的每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 （m,n为正整数） 知识点4：幂的除法运算 口诀：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 am÷an=a（m-n）(a≠0,m,n均为正整数，并且m>n) 知识点5：零指数 a0=1 (a≠0) 知识点6：科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 的形式，其中 n 是正整数，1 a 10 ，这叫科学记数法． 知识点7：负整数幂 当n 是正整数时，（，n是正整数） 【考点1 幂的乘法运算】★ 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了同底数幂的乘法．根据同底数幂相乘，底数不变指数相加进行解答即可． 【详解】解：， 故选：C． 2．若，，则的值是（    ） A．729 B．243 C．27 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法的逆用，可得，即可解答，熟知同底数幂相乘，底数不变指数相加是解题的关键． 【详解】解：∵，， ， 故选：B． 3．若，，则 ． 【答案】30 【分析】本题考查同底数幂的乘法法则，根据同底数幂的乘法法则的逆用进行求解即可 【详解】解：， 故答案为：30 4．若，，则的值为 ． 【答案】30 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，逆用同底数幂的乘法是解题的关键．逆用同底数幂的乘法运算法则即可求解． 【详解】解：，， ． 故答案为：30． 5．如果，那么 ． 【答案】2 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算，根据同底数幂的乘法运算可得，再进一步可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：． 【考点2 幂的乘方和积的乘方运算】★ 1．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方，根据，即可作答． 【详解】解：， 故选：A 2．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查积的乘方和幂的乘方．根据积的乘方和幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 3．已知，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方计算，根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则可求出，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 4．计算 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和积的乘方的逆用，首先逆用同底数幂的乘法法则可得：原式，再逆用积的乘方的法则可得：原式，再根据乘方的定义和有理数的乘法法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 5．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查逆用同底数的幂的乘法，逆用幂的乘方；利用同底数幂的乘法和幂的乘方的逆用计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 6．已知，则的值为 . 【答案】4 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用． 逆用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则对所求的式子进行整理，再整体代入相应的值运算即可． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴原式． 故答案为4． 7．若，，则 ． 【答案】75 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂相乘．根据幂的乘方得，再逆用同底数幂相乘的法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：75． 【考点3幂的除法运算】★ 1．计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整数运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先进行积的乘方运算以及符合运算，然后根据幂的乘除运算法则求解即可． 【详解】解：原式． 故选：D． 2．已知，，则的值为（　　） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的除法以及幂的乘方，逆向运用同底数幂的除法法则以及利用幂的乘方运算法则计算即可，同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘． 【详解】解：∵，， ∴． 故选：B． 3．已知，，则等于（   ）． A．2 B．4 C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题考查同底数幂除法和幂的乘方法则，代数式求值．解题关键是逆用同底数幂除法和幂的乘方法则将所求代数式变形．逆用同底数幂除法和幂的乘方法则，将变形为，再把，整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B． 4．若，，则的值是（    ） A．40 B．24 C．256 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂除法的逆运算，根据即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 5．已知，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，同底数幂的除法，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据幂的乘方，同底数幂的除法，将变形得到，再将变形为求解，即可解题． 【详解】解： ， ， ； 故答案为：． 6．已知，则 ． 【答案】16 【分析】此题考查了同底数幂的除法运算，正确将原式变形是解题关键．直接利用同底数幂的除法运算法则计算得出答案． 【详解】∵ ∴． 故答案为：16． 【考点4 零指数幂】★ 1．计算： ． 【答案】2 【分析】本题考查了涉及零指数幂和负整数指数幂的运算，熟练掌握负整数指数幂的性质和零指数幂的性质是解答本题的关键．根据负整数指数幂的性质和零指数幂的性质运算即可． 【详解】解： ， 故答案为：2． 2．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了零指数幂，先计算零指数幂和绝对值，再计算加法即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 3．化简： ． 【答案】1 【分析】本题考查了零次幂的计算，理解并掌握零次幂的计算法则是关键． 根据即可求解． 【详解】解：， 故答案为： ． 4．计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了零指数幂．根据零指数幂计算即可． 【详解】解：． 故答案为： 5．计算： ． 【答案】10 【分析】本题考查了含零指数幂的运算，掌握任何非零实数的零次幂为1是解题的关键． 分别计算乘方和零次幂，再相加即可． 【详解】解：， 故答案为：10． 【考点5 科学记数法-表示较小的数】★ 1．“白色污染”的主要来源有食品包装袋、泡沫塑料填充物等．已知一个塑料快餐盒的污染面积为，如果30万名游客每人丢弃一个快餐盒，那么造成污染的最大面积用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答． 【详解】解：万． 故选：A． 【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，科学记数法表示较大的数一般形式为，其中，是正整数，正确确定的值和的值是解题的关键． 2．5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为，则的值是（    ） A．0.11 B．1.1 C．11 D．11000 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，整数位数减1即可．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：因为1亿=108，所以11000亿用科学记数法表示为1.1×104×108=1.1×1012． 故选：B． 【点睛】此题考查了科学记数法表示绝对值大于1的数．解题的关键是关键知道1亿=108，要正确确定a的值以及n的值． 3．光速约为米/秒，太阳光射到地球上的时间约为秒，求地球与太阳的距离，用科学记数法表示为 米． 【答案】 【分析】用速度乘以时间求出距离，用科学记数法进行表示即可． 【详解】解：米； 故答案为： 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【考点6 幂的综合运算】★★ 1．已知，，求 (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)288 (2) 【分析】本题考查同底数幂的除法法则逆运用、同底数幂的乘法法则逆运用和幂的乘方法则逆运用，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法法则逆运用和幂的乘方法则逆运用计算即可； （2）根据同底数幂的除法法则逆运用和幂的乘方法则逆运用计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）解：∵，， ∴． 2．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了同底幂的乘法法则，同底幂的除法法则和幂的乘方，解决此题的关键是要熟练运用各个法则． （1）根据同底幂除法法则的逆应用，即可得到答案； （2）根据同底幂的乘法法则先得到，再根据同底幂乘法的逆应用即可得到答案； 【详解】（1）解：（1）． （2）解：（2） 3．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)18 (2)63 【分析】本题考查的同底数幂的乘法，幂的乘方的逆用，熟记运算公式是解本题的关键； （1）由，再把，代入计算即可； （2）由，再把，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）∵，， ∴． 4．已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的乘法、同底数幂的除法， （1）将原式化为，再将代入计算即可； （2）将原式化为，再将，，代入计算即可； 掌握相应的运算法则和运算顺序是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵，，， ∴ ． 一、单选题 1．计算的结果是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了同底数幂的乘法运算，先化为同底数幂的乘法，然后根据同底数幂的乘法法则计算． 【详解】解：， 故选：B． 2．已知，，则等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】题主要考查同底数幂的乘法法则的逆运用，掌握是解题的关键．根据同底数幂的乘法法则，即可求解． 【详解】解：， 故选：C． 3．下列各式中，计算正确的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，掌握合并同类项法则、单项式乘单项式法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则是解决本题的关键．利用合并同类项法则、单项式乘单项式法则、同底数幂的乘法法则、幂的乘方法则逐个计算，根据计算结果得结论． 【详解】解：A选项：和不是同类项，不能合并，故A选项错误； B选项：，故B选项错误； C选项：，故C选项正确； D选项：，故D选项错误； 故选：C ． 4．已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法，幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．将变形成，即可得到答案． 【详解】解： ， ， 故选B． 5．的计算结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了有理数乘方运算，积的乘方逆运算，同底数幂乘法的逆用．根据有理数乘方运算的意义可得，再利用积的乘方逆运算法则计算即可． 【详解】解： 故选：D 6．袁枚的一首诗《苔》在《经典咏流传》的舞台被重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径为米，将用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定是解题的关键．左起第一个不为零的数为，前面有个零，故，即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 7．若，，且，则x的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法的逆用，幂的乘方的逆用等知识点，根据同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则进行计算即可得解，熟练掌握同底数幂的乘除法和幂的乘方运算法则是解决此题的关键． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴， ∴， 化简得， ∴， 故选：C． 二、填空题 8．已知，则 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了非负数的性质，负整数幂，直接利用绝对值的非负性，偶次幂的非负性得出a，b的值，进而得出答案． 【详解】解： ， ，， 解得：，， 故． 故答案为：． 9．若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，正确的进行解题． 由同底数幂除法的逆运算，幂的乘方的运算法则进行化简，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴； 故答案为：． 10．已知，，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查同底数幂的除法和幂的乘方的逆用，即 ，．利用同底数幂的除法的法则及幂的乘方的法则对式子进行变形整理，再代入相应的值运算即可． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故答案为：4． 11．若，则的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘以及幂的乘方的逆用，由题意得，根据即可求解； 【详解】解：∵， ∴， ∴ 12．已知，则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查的是幂的乘方的逆用，同底数幂的除法的逆用，逆用幂的乘方的性质先写成以2为底的幂相乘，再逆用同底数幂的除法的性质计算，然后把已知条件代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故答案为16． 三、解答题 13．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和含乘方的有理数混合计算，先计算零指数幂，负整数指数幂和乘方，再去绝对值，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 14．计算：． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，合并同类项，掌握相应的运算法则是关键． 先进行积的乘方，幂的乘方运算，同底数幂乘法，最后合并同类项即可． 【详解】解： ． 15．已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)20 (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法的逆用、幂的乘方的逆用，熟练掌握各运算法则是解题的关键． （1）根据，代入即可求得答案； （2）根据，代入即可求得答案． 【详解】（1）解：原式 将，代入，原式 的值为20． （2）解：原式 将，代入，原式 的值为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$