专题05 一元一次不等式与一元一次不等式组（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年七年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版2024新教材）

专题05 一元一次不等式与一元一次不等式组 【考点1】不等式﹑一元一次不等式（组）的定义★ 【考点2】不等式的性质★ 【考点3】在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集★版权所有 【考点4】解一元一次不等式组★★ 【考点5】根据一元一次不等式解集求参数★★★ 【考点6】不等式组和方程组的结合问题★★★ 【考点7】一元一次不等式组的应用★★★ 知识点1：不等式的定义 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 知识点2：不等式的基本性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 知识点3：一元一次不等式（组）的概念 （1） 一元一次不等式：只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． （2） 一元一次不等式组：由几个含有同一个 未知数的 一元一次不等式组成的不等式组。 知识点4：解一元一次不等式（组) 1.解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 2.一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集； （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集 （3） 不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设a>b）（重难点） 不等式组 图示 解集 （同大取大） （同小取小） （大小交叉取中间） 无解（大小分离解为空） 【考点1】不等式﹑一元一次不等式（组）的定义★ 1．下列不等式中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考了不等式的定义，熟知不等式成立的条件是解题的关键． 根据不等式的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A、当时不成立，故本选项不符合题意； B、当时不成立，故本选项不符合题意； C、不论x为何值，不等式均不成立，故本选项不符合题意； D、不论x为何值，不等式均成立，故本选项符合题意． 故选：C． 2．下列式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题主要考查了不等式的定义，正确理解不等式的定义是解决问题的关键．根据不等式的定义对题目中所给出的式子逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：①；②；⑤，是不等式，共3个， ③是等式，④是代数式． 故选：B． 3．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式，据此判断即可求解． 【详解】解：、不含未知数，不是一元一次不等式，该选项不合题意； 、含2个未知数，不是一元一次不等式，该选项不合题意； 、是一元一次不等式，该选项符合题意； 、未知数最高次数为2，不是一元一次不等式，该选项不合题意； 故选：． 4．语句“与的的差是非负数”表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了列一元一次不等式，解题关键是正确理解题意，抓住关键词，列出不等式． 首先表示出与的的差，再表示出非负数表示为：，列出一元一次不等式即可 【详解】解：由题意得： 故选：C． 5．下列各式是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键. 根据一元一次不等式组的定义逐项判断即可 【详解】解：A、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； B、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； C、 是一元一次不等式组，故该选项符合题意； D、 不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； 故选：C 6．如图是青岛市2024年6月6日的天气，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为，则的变化范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的定义．根据气温为，可得的范围是． 【详解】解：图中温度为：，则， 故选：D． 7．一个数m的2倍与数n的差不小于5，写出这个不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查列不等式．理解题意，找出数量关系是解题关键．根据题意列出不等式即可． 【详解】解：根据题意可列不等式为：． 故答案为：． 8．若是关于x的一元一次不等式，则 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的特点是解题的关键．根据一元一次不等式的定义可知，从而可求得m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得：． 故答案为：． 【考点2】不等式的性质★ 1．若，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了不等式的性质，首先由得到，然后根据不等式的性质逐项求解分析即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴，故A正确； ∴，故B，C错误； ∴ ∴，故D错误． 故选：A． 2．若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查的是不等式的性质，①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．直接根据不等式的性质进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴，，故A，B错误， ∴，，故C正确，D错误， 故C符合题意， 故选：C． 3．实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，有理数的加减运算法则，根据点在数轴的位置判断式子的正负．解题的关键在于从数轴上获取正确的信息． 由数轴得，然后对各选项进行判断即可． 【详解】解：由数轴得， ，，∴、 错误，故不符合要求； ∵， ∴，∴C正确，故符合要求； ∵， ∴，∴错误，故不符合要求； 故选：C． 4．下列说法中，一定正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐项判断解答即可． 【详解】解：A.当时，，原说法不成立； B.当时，，原说法不成立； C..当时，，原说法不成立； D.由可知，即可得到，原说法成立； 故选：D． 5．已知，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．本题主要利用若，，则，依次进行判断即可． 【详解】解：A中，由，，则不一定成立，故选项A错误，不符合题意； B中，由，，则不一定成立，故选项B错误，不符合题意； C中，由，，则不一定成立，故选项C错误，不符合题意； D中，由，，则成立，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 6．若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：∵ ∴，， 当时，， 而一定成立， 所以选项A，B，D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 【考点3】在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集★版权所有 1．不等式在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据解不等式的基本步骤解答即可． 本题考查了解不等式，不等式解集表示在数轴上，熟练掌握解不等式的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：， 故， 解得． 数轴表示为， 故选：A． 2．如图，天平右盘中每个砝码的质量都是，则物体A的质量的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用数轴表示不等式的取值范围，根据天平的图片得到的取值范围，在数轴上表示的取值，问题得解． 【详解】解：由图可知，， ∴的取值范围在数轴上表示如图： 故选：A． 【考点4】解一元一次不等式组★★ 1．解不等式组：，并在数轴上表示出解集． 【答案】，在数轴上表示见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组的求解，熟练掌握解一元一次不等式的方法是解题的关键； 先求出每个不等式的解集，再取其解集的公共部分，然后在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为； 不等式组的解集在数轴上表示如下： 2．解不等式（组） (1)解不等式 (2)解不等式组 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式及一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式的步骤． （1）利用解不等式的步骤进行求解即可； （2）利用解不等式组的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 解不等式①得； 解不等式②得； ∴该不等式组的解集为． 3．按题目要求解不等式或不等式组 (1)解不等式：，并把解集表示在数轴上． (2)解不等式组． 【答案】(1)，数轴表示见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式和解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示出不等式的解集即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】（1）解： 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 4．（1）解不等式：，并写出所有负整数解． （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；负整数解为：，，，；（2）；图见解析． 【分析】本题考查了一元一次不等式的运算及不等式组的运算，数轴上表示不等式的解集，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）按照去括号、移项、合并同类项、系数化1计算即可． （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再表示在数轴上即可． 【详解】（1）解：， 去分母得， 去括号得， 移项合并得， 解得； ∴不等式的负整数解为：，，，； （2）解：， 解可得：， 解可得：， ∴不等式组的解集为：， ∴在数轴上表示为： . 5．解下列不等式或不等式组． (1)解不等式：． (2)解不等式组，并将解集表示在所给的数轴上． 【答案】(1) (2)；数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式或不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点． （1）先去括号，然后再移项，合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先求出两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后将解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解： 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：． （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 将不等式组的解集表示在数轴上，如图所示： 【考点5】根据一元一次不等式解集求参数★★★ 1．若关于x的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查不等式组无解的情况，解题的关键是熟知不等式组的解集．先依次求出不等式的解集，再根据不等式组无解进行求解． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∵该不等式组无解， ∴， 故选：B． 2．对a，b定义一种新运算“⊗”，规定：．若关于x的不等式组有且只有一个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式，定义新运算的题目，弄清题中的新定义是解本题的关键．已知不等式组利用题中的新定义化简，根据不等式组有且只有一个整数解，确定出m的范围即可． 【详解】解：根据题意，原不等式组化为， 解①得：， 解②得：， 关于的不等式组有且只有一个整数解， ， 解得：． 故选：B． 3．若不等式组的解集为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组中的含参问题，熟练掌握找不等式组的解集是解题的关键． 先求出原不等式组中每一个不等式的解集，再根据已知的不等式组的解集为，确定的范围． 【详解】解：， 由①得：，由②得：， ∵原不等式组的解集为， ∴， 故答案为：． 21．若关于x的不等式组恰有3个整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组的应用，先求出不等式组中每个不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整数解进而求得m的取值范围． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 则不等式组的解集是：， 不等式组有3个整数解，则整数解是4，5，6， 则． 故答案为：． 4．若不等式组无解，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查由不等式组解集情况求参数，涉及不等式组的解法，先解不等式组，再由不等式组无解，分类讨论即可得到答案．掌握不等式组的解法，分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：， 由①得； 由②得③； 不等式组无解， 当时，，解③得，则不等式组一定有解，不符合题意； 当时，，解③得为任意实数，则不等式组一定有解，不符合题意； 当时，，解③得，则，解得； 综上所述，的取值范围为， 故答案为：． 5．若关于x的一元一次不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先求出不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组只有3个整数解建立关于a的不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解； 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的一元一次不等式组，恰有3个整数解， ∴， 解得， 故答案为：． 【考点6】不等式组和方程组的结合问题★★★ 1．若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组和方程组相结合的问题，先解方程组得到，再根据方程组的解为正数，得到，据此求出，则满足条件的所有整数a有4、5、6，据此求和即可． 【详解】解： 得：， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为， ∵方程组的解为正数， ∴， 解得， ∴满足条件的所有整数a有4、5、6， ∴满足条件的所有整数a的和为， 故答案为：． 2．若关于、的二元一次方程组， (1)若、满足方程，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组和解一元一次不等式，解题的关键：（1）正确找出等量关系列出关于的一元一次方程，（2）根据不等量关系列出关于的一元一次不等式组． （1）用加减消元法得出用含有的式子a表示，代入，求出的值即可， （2）用含有的式子表示， 代入，得到关于的一元一次不等式组，解之即可． 【详解】（1）解：， 解得：， 代入得：， 解得：， 故的值为； （2）解：， ∴， ∴， 把，代入得：， 解得：， 故的取值范围为：． 3．已知关于，的方程组，其中为非负数，为正数，求的整数解． 【答案】，，，， 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，解方程组得到含a的表示x和y的代数式，是解题的关键．首先对方程组进行化简即可求得含a的表示x和y的代数式，根据方程的解满足x为非负数，y为正数，得到不等式组，解不等式组就可以得出的取值范围，最后求出其整数解即可． 【详解】解： ， 得：， 解得：； 得， 解得：， ∴ ， ∵x为非负数，y为正数， ∴， 解得：, ∴a的整数解为，，，，． 4．已知：关于x，y的方程组的解为负数，求m的最大负整数值． 【答案】 【分析】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式组，先利用加减消元法，用含m的代数式表示出x和y，再根据解为负数，列关于m的一元一次不等式组，求出不等式组的最大负整数解即可． 【详解】解：解方程组， 得，， 由解为负数可得：， 解得， 所以m的最大负整数值为． 【考点7】一元一次不等式组的应用★★★ 1．为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 【答案】全班至少有25人，至多有27人 【分析】本题考查的是二元一次方程与不等式组的应用，设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得，再进一步解题即可． 【详解】解：设全班有人，每包有颗巧克力，根据题意，得 由①得：， 将代入②，得， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∵是正整数， ∴全班至少有25人，至多有27人． 2．2025年上期，郴州市某学校为落实国家教育“双减”政策，增加学生的体育活动，决定购买一批体育用品．若购买100个足球和40个篮球需要4000元，购买50个足球和90个篮球需要5500元． (1)求每个足球、篮球的价格是多少元？ (2)如果需要购买足球、篮球共40个，且足球的个数不少于32个，总费用达到或超过980元，请问有几种购买这两种体育用品的方案？ 【答案】(1)每个足球和篮球的价格分别是20元、50元 (2)共有三种购买方案，他们分别是：方案一：购买32个足球和8个篮球；方案二：购买33个足球和7个篮球；方案三：购买34个足球和6个篮球． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个足球和篮球的价格分别是元、元，根据“购买100个足球和40个篮球需要4000元，购买50个足球和90个篮球需要5500元”列出方程组，进一步求解即可得出答案； （2）设其中购买足球个，则购买足球个，根据“足球的个数不少于32个，总费用达到或超过980元”列不等式组求出的范围，结合为正整数可得答案． 【详解】（1）解：设每个足球和篮球的价格分别是元、元，依题意得： ， 解得：， ∴每个足球和篮球的价格分别是20元、50元． （2）解：设其中购买足球个，则购买足球个， 根据题意得：， 解得：， 由题意得：取整数， ∴的值为32、33或34， ∴共有三种购买方案，他们分别是： 方案一：购买32个足球和8个篮球； 方案二：购买33个足球和7个篮球； 方案三：购买34个足球和6个篮球． 3．某中学组织学生参与校园手工制作与义卖实践活动，同学们负责制作并售卖手工艺品纸艺花和手工编织挂件，已知纸艺花每个成本15元，每个售价20元，手工编织挂件每个成本8元，每个售价14元．在第一次义卖活动中，学生共卖出了150件手工艺品，总收入为2496元． (1)请求出纸艺花和手工编织挂件各销售了多少个？ (2)学校计划筹备第二次义卖活动，需制作纸艺花和手工编织挂件共80件，要求总成本不超过885元，且纸艺花的数量不低于手工编织挂件数量的．请为第二次义卖活动设计一种利润最大的方案． 【答案】(1)纸艺花销售了66个，手工编织挂件销售了84个 (2)制作纸艺花34件，手工编织挂件46件，利润最大 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用； （1）设纸艺花销售了x个，手工编织挂件销售了y个，根据卖出了150件手工艺品，总收入为2496元．再建立方程组解题即可； （2）设制作纸艺花m件，则制作手工编织挂件件，根据总成本不超过885元，且纸艺花的数量不低于手工编织挂件数量的建立不等式组求解的范围，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设纸艺花销售了x个，手工编织挂件销售了y个， 由题意得： 解得： 答：纸艺花销售了66个，手工编织挂件销售了84个． （2）解：设制作纸艺花m件，则制作手工编织挂件件， 由题意得： 解得： ∴ ∵m是整数   ∴，35 当时，，利润是元 当时，，利润是元 ∵ 方案：制作纸艺花34件，手工编织挂件46件； 答：制作纸艺花34件，手工编织挂件46件，利润最大． 4．据灯塔专业版数据，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元；且每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多5元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)因销售效果不错，某玩具店决定购进、两种哪吒玩偶共100个，且种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？ 【答案】(1)每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元； (2)一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意建立方程和不等式组求解是解题的关键． （1）设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元，根据购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元建立方程求解即可； （2）设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个，根据种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元建立不等式组求出y的取值范围，进而求出y的正整数解，再算出对应方案下的费用即可得到答案． 【详解】（1）解：设每个种娃娃的进价为x元，则每个B种娃娃的进价为元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：每个种娃娃的进价为20元，则每个B种娃娃的进价为25元； （2）解：设购买A种娃娃y个，则购买B种娃娃个． 根据题意，得， 解得， ∵y为正整数， ∴y的值可以为48或49或50， 当时，，此时费用为元， 当时，，此时费用为元， 当时，，此时费用为元， ∵， ∴一共有3种方案：购买A种娃娃48个，购买B种娃娃52个或购买A种娃娃49个，购买B种娃娃51个或购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个，其中购买A种娃娃50个，购买B种娃娃50个这种方案最省钱． 5．为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，彰显学校体育特色，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球．已知购买7个甲种品牌的足球和6个乙种品牌的足球共需要1600元；购买2个甲种品牌足球和3个乙种品牌的足球共需要650元． (1)求每个甲种品牌的足球和每个乙种品牌的足球的价格分别为多少元？ (2)学校计划购买甲、乙两种品牌的足球共50个，总花费不超过6500元，且购买的乙种品牌足球不少于28个，求学校有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每个甲种品牌的足球的价格为100元，每个乙种品牌的足球的价格为150元 (2)有3种购买方案，分别为：方案一：购买甲种品牌的足球20个，则购买乙种品牌的足球30个；方案二：购买甲种品牌的足球21个，则购买乙种品牌的足球29个；方案三：购买甲种品牌的足球22个，则购买乙种品牌的足球28个 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设每个甲种品牌的足球的价格为元，每个乙种品牌的足球的价格为元，根据“购买7个甲种品牌的足球和6个乙种品牌的足球共需要1600元；购买2个甲种品牌足球和3个乙种品牌的足球共需要650元”建立方程组求解； （2）设购买甲种品牌的足球个，则购买乙种品牌的足球个，根据“总花费不超过6500元，且购买的乙种品牌足球不少于28个”建立一元一次不等式组求解． 【详解】（1）解：设每个甲种品牌的足球的价格为元，每个乙种品牌的足球的价格为元，根据题意，得： ， 解方程组得， 答：每个甲种品牌的足球的价格为100元，每个乙种品牌的足球的价格为150元； （2）解：设购买甲种品牌的足球个，则购买乙种品牌的足球个， 根据题意得： 解得： 取正整数为20，21，22． 所以有3种购买方案，分别为： 方案一：购买甲种品牌的足球20个，则购买乙种品牌的足球30个． 方案二：购买甲种品牌的足球21个，则购买乙种品牌的足球29个； 方案三：购买甲种品牌的足球22个，则购买乙种品牌的足球28个． 6．某乡村合作社为了提升农业生产效率，现计划购置甲、乙两种农业设备共60台．已知购置一台甲种设备比购置一台乙种设备的进价少2万元，购置2台甲种设备和3台乙种设备需要11万元． (1)甲、乙两种农业设备每台进价分别是多少万元？ (2)若合作社预计投入资金不超过150万元，且购置乙种设备超过42台，那么有哪些可行的购置方案？哪种方案投入资金最少？ 【答案】(1)甲种农业设备每台进价是1万元，则乙种农业设备每台进价是3万元 (2)有3种方案，具体如下：①购买甲种农业设备15台，购买乙种农业设备45台；②购买甲种农业设备16台，购买乙种农业设备44台；③购买甲种农业设备17台，购买乙种农业设备43台；方案③投入资金最少 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，不等式组的应用，解题的关键是： （1）甲种农业设备每台进价是x万元，根据“购置2台甲种设备和3台乙种设备需要11万元”列方程求解即可； （2）设购买甲种农业设备y台，根据“投入资金不超过150万元，且购置乙种设备超过42台”列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设甲种农业设备每台进价是x万元，则乙种农业设备每台进价是万元， 根据题意，得， 解得， ∴， 答：甲种农业设备每台进价是1万元，则乙种农业设备每台进价是3万元； （2）解：设购买甲种农业设备y台，则购买乙种农业设备台， 根据题意，得， 解得， 所以整数y的值为15，16，17， ∴有3种方案，具体如下： ①购买甲种农业设备15台，购买乙种农业设备台； ②购买甲种农业设备16台，购买乙种农业设备台； ③购买甲种农业设备17台，购买乙种农业设备台； ①投入资金为万元； ②投入资金为万元； ③投入资金为万元； ∵， ∴方案③投入资金最少． 7．根据以下素材，探索完成任务 如何设计采购方案？ 素材1 三坊七巷文创商店近期推出了许多新的文创产品，以更好地宣传三坊七巷的历史文化．其中，有景点书签、标志景观冰箱贴、“爱心树”钥匙扣、严复贺卡等，已知1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元． 素材2 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元． 素材3 临近期末考试，某老师打算提前给学生准备奖品，他准备用1000元在本店同时购买书签和冰箱贴两种商品若干件． 问题解决 任务1 求1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元． 任务2 该老师打算购买书签和冰箱贴共25件，最多能买几套书签？ 任务3 【拟定购买方案】 在任务2的条件下，该老师要求购买的书签比冰箱贴多，且书签不超过13套，求出购买费用． 【答案】任务1：1套书签的售价为46元，1个冰箱贴的售价为28元；任务2：最多能买16套书签；任务3：934元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一元一次不等式组的应用，解题关键是读懂题意，列出方程和不等式（组）； 任务1：设1套书签的售价为元，则1个冰箱贴的售价为元，根据等量关系列出方程组，求出解即可； 任务2：设该老师购买套书签，则购买个冰箱贴，，再根据总费用列出不等式，求出解集，可得答案； 任务3：先购买的书签比冰箱贴多，且书签不超过13套求出x的取值范围，得出购买13套书签，12个冰箱贴．在计算费用即可． 【详解】解：任务1：设1套书签的售价为元，则1个冰箱贴的售价为元， 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元， ， 解得， ， 套书签的售价为46元，1个冰箱贴的售价为28元； 任务2：设该老师购买套书签，则购买个冰箱贴， 根据题意得， 解得， 为整数， 最大值为16， 最多能买16套书签； 任务要求购买的书签比冰箱贴多，且书签不超过13套 ， 解得， 为整数， 的值为13， （元）， 要使所需费用最省，则购买13套书签，12个冰箱贴，所需费用为934元． 8．为了响应我市政府发布的《城市污水处理提质三年行动方案》，环保部门委托我县某治污公司购买18台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如表．经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买一台A型设备和一台B型设备共用20万元． 污水处理设备型号 A型 B型 价格（万元/台） m n 处理污水量（吨/月） 300 250 (1)求m、n的值． (2)经我县审计局预算：该治污公司购买污水处理设备的资金不得超过156万元，若每月要求处理污水量不低于4600吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案并求出该方案的购买资金． 【答案】(1) (2)应购买A型设备2台，B型设备16台，购买资金为万元 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次方程组的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式组是解题的关键． （1）根据购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买一台A型设备和一台B型设备共用20万元列出方程组求解即可； （2）设购买A型设备x台，则购买B型设备台．根据购买污水处理设备的资金不得超过156万元，若每月要求处理污水量不低于4600吨列出不等式组求出x的值，再讨论不同x的值下的费用即可得到结论． 【详解】（1）解；根据题意得， 解得：； （2）解：设购买A型设备x台，则购买B型设备台． 由题意得，， 解得：， ∵x取非负整数， 或， 当时，购买资金为（万元） 当时，购买资金为（万元） ∴为了结约资金，应购买A型设备2台，B型设备16台． 一、单选题 1．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式，据此判断即可求解． 【详解】解：、不含未知数，不是一元一次不等式，该选项不合题意； 、含2个未知数，不是一元一次不等式，该选项不合题意； 、是一元一次不等式，该选项符合题意； 、未知数最高次数为2，不是一元一次不等式，该选项不合题意； 故选：． 2．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质．“0”是很特殊的一个数，因此，解答不等式的问题时，应密切关注“0”存在与否，以防掉进“0”的陷阱．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变．（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质，可得答案． 【详解】A、若，则，正确，不符合题意； B、若，且时，则或，原说法错误，符合题意； C、若，则，正确，不符合题意； D、若，则，正确，不符合题意； 故选：B． 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，在数轴上表示一元一次不等式组的解集，熟知实心圆点与空心圆点的区别是解答此题的关键．分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集并在数轴上表示出来即可． 【详解】解： 由解得，， 由解得，， 故此不等式组的解集为， 把此不等式组的解集在数轴上表示为： 故选：A． 4．下面是两位同学在讨论一个不等式．根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解不等式，用数轴表示不等式．根据两位同学的对话进行判断即可． 【详解】解：由左边同学的对话可知，讨论的不等式的未知数的系数是负数； 由右边同学的对话可知，讨论的不等式的解集为， 综上，不等式符合他们的讨论． 故选：C 5．在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者的通过预选赛，至少要答对多少道题才能通过预选赛？ 【答案】至少答对12道题才能通过预选赛． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．设答对道题可以通过预选赛，则答错或不答道题，利用得分答对题目数答错或不答题目数，结合得分不少于80分，可列出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论． 【详解】解：设答对道题可以通过预选赛． 由题可知：， 解得：， 答：至少答对12道题才能通过预选赛． 6．已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式组的两个不等式，根据其整数解的个数得出，解之可得． 本题主要考查不等式组的整数解问题，根据不等式组的整数解的个数得出关于的不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， 不等式组有4个整数解， ， 解得：． 故选：A． 7．运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，读懂题目信息，理解运行程序并列出不等式组是解题的关键． 根据运行程序，第一次运算结果小于等于，第二次运算结果大于列出不等式组，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， 的取值范围是， 故选：B． 二、填空题 8．不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，按照去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可得到答案． 【详解】解： 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 故答案为：． 9．一部电梯的额定载重量为，某人用这部电梯把一批相同质量的货物从底层搬到顶层．该人体重为，每箱货物的质量为．那么每次最多能搬运多少箱货物？设每次搬运箱货物，依题意可列不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，设每次搬运箱货物，根据题意列出不等式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设每次搬运箱货物， 由题意得，， 故答案为：． 10．不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组．先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定公共部分即可得答案． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， ∴原不等式组的解集为：． 故答案为：． 11．随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．如图，小明在距离某站牌处拿出手机查看了公交车到站情况，发现最近一辆公交车还有到达该站牌处．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明的最小平均速度为 ． 【答案】0.8 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，设小明的平均速度为，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】解：设小明的平均速度为，根据题意得： ， 解得，， 所以，小明的最小平均速度为． 故答案为：0.8． 三、解答题 12．解不等式（组）： (1)解不等式； (2)解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解不等式以及解不等式组，解题的关键是掌握不等式的解法． （1）根据去分母、去括号，移项合并同类项，化系数为，即可求解； （2）先分别求出每个不等式的解集，再求出解集的公共部分，最后把解集表示在数轴上即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： 解不等式①： ， 解不等式②： ， 不等式组的解集为， 该不等式组的解集在数轴上表示如下： 13．2025年3月14日，北京市数学节在日坛中学隆重开幕，各区中小学陆续开展数学节系列活动，3月28日，房山区“数启智慧，学创未来”数学节正式启动．为激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极参与数学学习，开展数学探究活动，某校购入A，B两种规格的书架用于布置数学图书角．经市场调查发现，若购买A种书架2个，B种书架3个，共需资金1500元；若购买A种书架4个，B种书架1个，共需资金1100元． (1)A，B两种规格的书架单价分别是多少元？ (2)若该校计划购买这两种规格的书架共30个，总费用不能超过10000元，则B种规格的书架最多可以购买多少个？ 【答案】(1)A种规格的书架单价是元，B种规格的书架单价是元 (2)B种规格的书架最多可以购买个 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设A种书架的单价是x元，B种书架的单价是y元，根据购买A种书架2个，B种书架3个，共需资金1500元；若购买A种书架4个，B种书架1个，共需资金1100元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买B种书架m个，则购买A种书架个，根据总费用不能超过10000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可求解． 【详解】（1）解：设A种书架的单价是x元，B种书架的单价是y元，根据题意得： ， 解得：， 答：A种规格的书架单价是元，B种规格的书架单价是元； （2）解：设购买B种书架m个，则购买A种书架个，根据题意： ， 解得：， 答：B种规格的书架最多可以购买个． 14．为助力珠海打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同型号白匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元． (1)求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？ (2)由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克球拍匹克球数量之和为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．求满足件的采购方案有哪些？ 【答案】(1)匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元 (2)①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44个 【分析】本题考查了二元一次方程组组的应用，一元一次不等式的应用，正确列出二元一次方程组和不等式是解答本题的关键． （1）设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元，根据购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元列方程组求解即可； （2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个，根据匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设匹克球拍的单价为x元，匹克球的单价为y元 由题意得： 解得： 答：匹克球拍的单价为160元，匹克球的单价为10元． （2）设购买匹克球拍m副，则购买匹克球个． 由题意得：， 又取正整数， 可取5，6 当时，匹克球数量为：个； 当时，匹克球数量为：个． 答：满足条件的采购方案有两种：①购买匹克球拍5副，匹克球45个；②购买匹克球拍6副，匹克球44个． 15．定义一种新运算：，若，． (1)求、的值； (2)若关于的不等式组有解，求实数的取值范围； (3)若的解集为，求的解集． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出m，n的值； （2）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出a与b的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵，若，， ∴， 解得； （2）解：关于的不等式组， 整理得， 解得， 解得， ∵关于的不等式组有解， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 整理得， ∵的解集为， ∴且， 整理得， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得， 将代入得， ∵， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 一元一次不等式与一元一次不等式组 【考点1】不等式﹑一元一次不等式（组）的定义★ 【考点2】不等式的性质★ 【考点3】在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集★版权所有 【考点4】解一元一次不等式组★★ 【考点5】根据一元一次不等式解集求参数★★★ 【考点6】不等式组和方程组的结合问题★★★ 【考点7】一元一次不等式组的应用★★★ 知识点1：不等式的定义 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2）常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 知识点2：不等式的基本性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 知识点3：一元一次不等式（组）的概念 （1） 一元一次不等式：只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． （2） 一元一次不等式组：由几个含有同一个 未知数的 一元一次不等式组成的不等式组。 知识点4：解一元一次不等式（组) 1.解一元一次不等式的一般步骤是：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1；⑥其中当系数是负数时，不等号的方向要改变。 （1）去分母：根据不等式的性质2和3，把不等式的两边同时乘以各分母的最小公倍数，得到整数系数的小等式。 （2）去括号：根据上括号的法则，特别要注意括号外面是负号时，去掉括号和负号，括号里面的各项要改变符号。 （3）移项：根据不等式基本性质1，一般把含有未知数的项移到不等式的左边，常数项移到不等式的右边。 （4）合并同类项。 （5）将未知数的系数化为1：根据不等式基本性质2或3，特别要注意系数化为1时，系数是负数，不等号要改变方向。 （6）有些时候需要在数轴上表示不等式的解集。 2.一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集； （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集 （3） 不等式组解集的确定方法，可以归纳为以下四种类型（设a>b）（重难点） 不等式组 图示 解集 （同大取大） （同小取小） （大小交叉取中间） 无解（大小分离解为空） 【考点1】不等式﹑一元一次不等式（组）的定义★ 1．下列不等式中，一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子：①；②；③；④；⑤，其中不等式有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 4．语句“与的的差是非负数”表示正确的是（   ） A． B． C． D． 5．下列各式是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 6．如图是青岛市2024年6月6日的天气，这天的最高气温是，最低气温是，设当天某一时刻的气温为，则的变化范围是（    ） A． B． C． D． 7．一个数m的2倍与数n的差不小于5，写出这个不等式 ． 8．若是关于x的一元一次不等式，则 ． 【考点2】不等式的性质★ 1．若，则下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下列说法中，一定正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 5．已知，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 6．若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【考点3】在数轴上表示一元一次不等式（组）的解集★版权所有 1．不等式在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，天平右盘中每个砝码的质量都是，则物体A的质量的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【考点4】解一元一次不等式组★★ 1．解不等式组：，并在数轴上表示出解集． 2．解不等式（组） (1)解不等式 (2)解不等式组 3．按题目要求解不等式或不等式组 (1)解不等式：，并把解集表示在数轴上． (2)解不等式组． 4．（1）解不等式：，并写出所有负整数解． （2）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 5．解下列不等式或不等式组． (1)解不等式：． (2)解不等式组，并将解集表示在所给的数轴上． 【考点5】根据一元一次不等式解集求参数★★★ 1．若关于x的不等式组无解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．对a，b定义一种新运算“⊗”，规定：．若关于x的不等式组有且只有一个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若不等式组的解集为，则a的取值范围是 ． 21．若关于x的不等式组恰有3个整数解，则m的取值范围是 ． 4．若不等式组无解，则的取值范围为 ． 5．若关于x的一元一次不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【考点6】不等式组和方程组的结合问题★★★ 1．若关于x，y的二元一次方程组的解为正数，则满足条件的所有整数a的和为 ． 2．若关于、的二元一次方程组， (1)若、满足方程，求的值； (2)若，求的取值范围． 3．已知关于，的方程组，其中为非负数，为正数，求的整数解． 4．已知：关于x，y的方程组的解为负数，求m的最大负整数值． 【考点7】一元一次不等式组的应用★★★ 1．为筹备元旦联欢会，张老师想在网上商城购买巧克力分发给全班同学．他购买了5包颗数相同的巧克力，计划每人分20颗，这样会剩余80颗．后来因为网店存货不足，所以少买了2包，于是改成每人分14颗，当分到最后一名同学时，发现只有这名同学拿不到14颗，但是至少拿到7颗．全班至少有多少人？至多有多少人？ 2．2025年上期，郴州市某学校为落实国家教育“双减”政策，增加学生的体育活动，决定购买一批体育用品．若购买100个足球和40个篮球需要4000元，购买50个足球和90个篮球需要5500元． (1)求每个足球、篮球的价格是多少元？ (2)如果需要购买足球、篮球共40个，且足球的个数不少于32个，总费用达到或超过980元，请问有几种购买这两种体育用品的方案？ 3．某中学组织学生参与校园手工制作与义卖实践活动，同学们负责制作并售卖手工艺品纸艺花和手工编织挂件，已知纸艺花每个成本15元，每个售价20元，手工编织挂件每个成本8元，每个售价14元．在第一次义卖活动中，学生共卖出了150件手工艺品，总收入为2496元． (1)请求出纸艺花和手工编织挂件各销售了多少个？ (2)学校计划筹备第二次义卖活动，需制作纸艺花和手工编织挂件共80件，要求总成本不超过885元，且纸艺花的数量不低于手工编织挂件数量的．请为第二次义卖活动设计一种利润最大的方案． 4．据灯塔专业版数据，截至2025年4月6日，《哪吒之魔童闹海》总票房达亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，商家推出、两种类型的哪吒纪念娃娃．已知购进50件种娃娃和40件种娃娃的费用共2000元；且每个种娃娃的进价比每个种娃娃的进价多5元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)因销售效果不错，某玩具店决定购进、两种哪吒玩偶共100个，且种娃娃的数量不多于种娃娃数量，且购买资金不超过2260元．请问共有几种购买方案？哪一种方案最省钱？ 5．为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，彰显学校体育特色，某学校计划购买甲、乙两种品牌的足球．已知购买7个甲种品牌的足球和6个乙种品牌的足球共需要1600元；购买2个甲种品牌足球和3个乙种品牌的足球共需要650元． (1)求每个甲种品牌的足球和每个乙种品牌的足球的价格分别为多少元？ (2)学校计划购买甲、乙两种品牌的足球共50个，总花费不超过6500元，且购买的乙种品牌足球不少于28个，求学校有哪几种购买方案？ 6．某乡村合作社为了提升农业生产效率，现计划购置甲、乙两种农业设备共60台．已知购置一台甲种设备比购置一台乙种设备的进价少2万元，购置2台甲种设备和3台乙种设备需要11万元． (1)甲、乙两种农业设备每台进价分别是多少万元？ (2)若合作社预计投入资金不超过150万元，且购置乙种设备超过42台，那么有哪些可行的购置方案？哪种方案投入资金最少？ 7．根据以下素材，探索完成任务 如何设计采购方案？ 素材1 三坊七巷文创商店近期推出了许多新的文创产品，以更好地宣传三坊七巷的历史文化．其中，有景点书签、标志景观冰箱贴、“爱心树”钥匙扣、严复贺卡等，已知1套书签的售价比1个冰箱贴的售价高18元． 素材2 小明在本店购买了1套书签和4个冰箱贴，一共花费了158元． 素材3 临近期末考试，某老师打算提前给学生准备奖品，他准备用1000元在本店同时购买书签和冰箱贴两种商品若干件． 问题解决 任务1 求1套书签和1个冰箱贴的售价分别是多少元． 任务2 该老师打算购买书签和冰箱贴共25件，最多能买几套书签？ 任务3 【拟定购买方案】 在任务2的条件下，该老师要求购买的书签比冰箱贴多，且书签不超过13套，求出购买费用． 8．为了响应我市政府发布的《城市污水处理提质三年行动方案》，环保部门委托我县某治污公司购买18台污水处理设备．现有A、B两种型号的设备，其中每台的价格、月处理污水量如表．经调查：购买一台A型设备比购买一台B型设备多4万元，购买一台A型设备和一台B型设备共用20万元． 污水处理设备型号 A型 B型 价格（万元/台） m n 处理污水量（吨/月） 300 250 (1)求m、n的值． (2)经我县审计局预算：该治污公司购买污水处理设备的资金不得超过156万元，若每月要求处理污水量不低于4600吨，为了节约资金，请你为治污公司设计一种最省钱的购买方案并求出该方案的购买资金． 一、单选题 1．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 4．下面是两位同学在讨论一个不等式．根据上面对话提供的信息，他们讨论的不等式可能是（　　） A． B． C． D． 5．在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，总得分不少于80分者的通过预选赛，至少要答对多少道题才能通过预选赛？ 6．已知关于x的不等式组有四个整数解，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．运行程序如图所示，从“输入实数x”到“结果是否>5”为一次程序操作．若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．不等式的解集是 ． 9．一部电梯的额定载重量为，某人用这部电梯把一批相同质量的货物从底层搬到顶层．该人体重为，每箱货物的质量为．那么每次最多能搬运多少箱货物？设每次搬运箱货物，依题意可列不等式 ． 10．不等式组的解集是 ． 11．随着科技的进步，我们可以通过手机实时查看公交车到站情况．如图，小明在距离某站牌处拿出手机查看了公交车到站情况，发现最近一辆公交车还有到达该站牌处．若要保证小明不会错过这辆公交车，则小明的最小平均速度为 ． 三、解答题 12．解不等式（组）： (1)解不等式； (2)解不等式组，并把它的解集表示在数轴上． 13．2025年3月14日，北京市数学节在日坛中学隆重开幕，各区中小学陆续开展数学节系列活动，3月28日，房山区“数启智慧，学创未来”数学节正式启动．为激发学生的学习兴趣，鼓励学生积极参与数学学习，开展数学探究活动，某校购入A，B两种规格的书架用于布置数学图书角．经市场调查发现，若购买A种书架2个，B种书架3个，共需资金1500元；若购买A种书架4个，B种书架1个，共需资金1100元． (1)A，B两种规格的书架单价分别是多少元？ (2)若该校计划购买这两种规格的书架共30个，总费用不能超过10000元，则B种规格的书架最多可以购买多少个？ 14．为助力珠海打造活力之城，丰富市民的业余文体生活，珠海某社区计划采购一批相同型号白匹克球拍（单位：副）和匹克球（单位：个）．若购买2副匹克球拍和5个匹克球，共花费370元；若购买4副匹克球拍和9个匹克球，共花费730元． (1)求匹克球拍与匹克球的单价分别是多少元？ (2)由于社区参与文体活动的居民人数变化，采购需求有所调整．现需一次性购买匹克球拍匹克球数量之和为50，匹克球拍不少于5副，同时购买的总费用不能超过1500元．求满足件的采购方案有哪些？ 15．定义一种新运算：，若，． (1)求、的值； (2)若关于的不等式组有解，求实数的取值范围； (3)若的解集为，求的解集． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$