专题11 一元一次不等式（组）中含参数问题的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材苏科版七年级下册

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题11一元一次不等式（组）中含参数问题的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 类型三、利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 类型四、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 类型五、根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 类型六、整式方程（组）与一元一次不等式结合求参数的问题 类型七、整式方程（组）与一元一次不等式组结合求参数的问题 压轴专练 典例详解 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 方法总结 1.紧扣定义：一元一次不等式必须满足：①只含一个未知数；②未知数次数为1；③是整式不等式。 2.列式求解：根据未知数指数为1且系数不为0，列出关于参数的方程与不等式求解。 解题技巧 1.系数非零：含未知数项的系数（含参数）必须满足不等于0，此为易忽略条件。 2.化简先行：若不等式含分母或括号，先化为最简形式，再对照定义列条件。 例1.(25-26七年级下.全国周测)若(m-1)xm-+3>0是关于x的一元一次不等式，则m的值为 【变式1-1】(24-25七年级下·黑龙江哈尔滨月考)若3x2+3-9>6是关于x的一元一次不等式，则 a= 【变式1-2】(24-25七年级下.北京昌平.期中)己知(m-1x+6>0是关于x的一元一次不等式，则m的值 为」 【变式1-3】(24-25七年级下，全国课后作业)若(m+1xm-4>0是关于x的一元一次不等式，则m的值 为 1/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 方法总结 1. 解表参数：将不等式的解集用含参数的代数式表示（如x〉多）。 2.对比定参：将所得解集与已知解集（如x>3)进行对比，建立关于参数的方程或不等式求解。 解题技巧 1. 系数化1定方向：注意系数含参时，化1步骤需讨论参数正负，确定不等号是否反向。 2.端点代入验证：求出参数后，将解集端点值代入原不等式检验等号是否成立，避免遗漏。 例2.(25-26八年级上浙江杭州期中)关于x的不等式2m-x<6的解集为x>3,则m的值 为 【变式2-1】(25-26八年级下全国周测)关于x的一元一次不等式m,2x≤-2的解集为x≥4，则 3 m3-2025的值为一 【变式22】(25-26八年级下全国课后作业)若不等式+1_2红-5之1的解都能使不等式4r<2x+a+1成 64 立，则实数a的取值范围是 【变式2-3】(25-26八年级上四川成都月考)已知关于x的方程2(x-3)=2x+a)的解适合不等式 -3x+1>2a,则a的取值范围为 类型三、利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 方法总结 1. 先解含参不等式：将不等式解集用含参数a的代数式表示（如x<些）。 2.数轴定界：根据已知整数解的个数（如恰好有3个负整数解），在数轴上定位参数的取值范围，建立不 等式组求解。 解题技巧 1.画数轴定位：在数轴上标出已知整数解的位置，反向推断参数所在区间边界。 2.端点单独验：参数范围的端点值需单独代入验证，检查是否恰好满足整数解个数（含等号时是否多解 或少解)。 例3.(24-25七年级下·湖南郴州期末)已知关于x的不等式1+2x≤a的最大整数解是3，则a的取值范围 是 【变式3-1】(24-25七年级下湖北十堰期末)己知，不等式2x-1>2a+3恰有1个负整数解，则a的取值 范围为 【变式3-2】(24-25七年级下·安徽合肥期中)若不等式2x+3<m有三个非负整数解，则m的取值范围 2/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 是 【变式3-3】(24-25六年级下·上海期末)关于x的不等式-k-x+6>0的解集中恰有四个非负整数，则k的 范围为 类型四、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 方法总结 1.解表参数：解含参不等式组，用参数表示解集（如m〈≤n)。 2.数轴定界：根据整数解的个数，在数轴上定位参数的取值范围，建立关于参数的不等式组求解。 解题技巧 1.画数轴定位：在数轴上标出整数解位置，反向推断参数的边界范围。 2.端点验证：参数范围的端点值需单独代入验证，检查是否恰好满足整数解个数（含等号时是否多解或 少解)。 例4.(25-26九年级上广东深圳开学考试)若不等式组 1+2x≤7有4个整数解，则m的取值范围是 x-m>0 1-2x>x-2 【变式4-1】(24-25七年级下·河南商丘期末)已知关于x的不等式组 恰好有三个整数解，则 x-m>0 m的取值范围是 【变式4-2】(25-26九年级上·黑龙江佳木斯期中)关于x的不等式组 x+152x+3 2 的最大整数解和最小整 4x+1≥a 数解的差是3，则满足条件α所有的整数解的和是_ 3x-6≤-2x+4 【变式4-3】(24-25七年级下·安徽准南·期末)若关于x的不等式组{ m-3x,1的解集中仅有2个整数 -≤x 4 2 解，则m的整数解之和为 类型五、根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 方法总结 1. 解表参数：解含参不等式组，用参数表示解集（如x>a、x≤b)。 2.情况对应：根据解集情况（如无解、有解、解集为特定范围）建立关于参数的不等式（组）求解。 解题技巧 1. 数轴分析：在数轴上标出已知解集范围或“空集”条件，反向推断参数的边界。 2.端点检验：涉及“≥”“≤”时，端点单独代入验证，确定是否包含等号。 例5.(25-26九年级上陕西西安·开学考试)若不等式组 x+m>2 n-x>-4 的解集为1<x<2,则(4m+n的值 3/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 为 【变式5-1】(24-25八年级下·河南焦作期中)若关于x的不等式组： [5-2x<x-1 无解，则a的取值范围 x-a<3 是」 x<3a+2 【变式5-2】(24-25七年级下·四川广元期末)如果不等式组{ <2a-的解集是x<2a-1,则a的取值范 围是 【变式5-3】(24-25八年级上浙江金华.月考)关于x的方程3-2x=3k-2)的解是自然数，且关于x的不 x-2(x-1)≥4 等式组 无解，则符合条件的整数k的值的积为 (2k+x)≤x 类型六、整式方（组细与一元一次不等式结合求参数的问题 方法总结 1.先解整式方程：将方程（组）的解用参数表示。 2.再列不等式：根据解的范围条件（如x>0、y≤2），建立关于参数的一元一次不等式（组）求解。 解题技巧 1.代入转化：将解表达式直接代入不等关系，转化为只含参数的不等式。 2.双验防错：求出参数范围后，回代原方程验证解的存在性（如分母不为0、系数非零）。 例6.(25-26八年级下.全国·期中)若方程5x-2a=8的解是非负数，则a的取值范围是 【变式6-1】(24-25七年级上·四川眉山期中)关于x的方程3+k(x-2)-4x=k(x+3)的解为负数，则k的 取值范围是」 4x+2y=2k+5 【变式6-2】(24-25七年级下辽宁营口期末)已知关于x,y的方程组 x-y=-k+2，方程组的解x与y 的和不小于4，则k的取值范围为」 x+2y=-7+m 【变式6-3】(2024宁夏银川一模)己知关于x,y的方程组 2x+y=2m+4,若此方程组的解满足 x+y≥2，则m的取值范围是 类型七、整式方程（组与一元一次不等式组结合求参数的问题 方法总结 1.先解整式方程：解方程（组），用参数表示未知数。 2.再列不等式组：将解代入题目给出的多个不等条件（如x>0、y<2),建立关于参数的一元一次不等 式组求解。 4/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 解题技巧 1.代入转化：把参数表达式直接代入每个不等关系，转化为纯参数不等式。 2.求交集：解出每个参数不等式的解集后，取公共部分，并结合方程实际意义（如分母不为0）确定最 终范围。 例7.(25-26七年级上江苏苏州月考)关于x的方程2(x-@)=a+5的解是整数，且关于y的不等式组 5(0y一)<y+“有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为 0≤y-2 [x+2x 【变式7-1】(25-26八年级上·重庆江北月考)若数k使关于x的不等式组 321无解，且使关于y x-k≥-1 的方程2_二=1的解为整数，则符合条件的所有整数k的和为， 62 x-4 【变式7-2】(25-26八年级上重庆渝中.开学考试)如果关于x的不等式组 x<4」 3 的解集为x>4, x-m>0 12x+y=8 且整数m使得关于x,y的二元一次方程组 3x+y=1 的解为整数(x,y均为整数)，则符合条件的所有 整数n的和为一· x-m>0 3 【变式7-3】(24-25八年级下·江西南昌·期末)如果关于x的不等式组 的解集为x>-1,且整数 x+1 -x<1 2 m使得关于x、y的二元一次方程组 r+y=4 的解为整数(x、y均为整数)，则符合条件的整数m的值 2x-y=1 有」 2x+y=2m+1① 【变式7-4】(24-25七年级下·湖北宜昌期末)己知关于x,y的方程组 (m是常数) x+2y=m-7② (1)若x+y=3,求m的值； (2)若5≤x-y<12,求m的取值范围； (3)在(2)的条件下，当m为何整数时，不等式3mx+2x>3m+2解集为x<1. 压轴专练 一、单选题 1.(24-25七年级下·河南焦作·月考)关于x的一元一次不等式xm-+4>2中，m的值应为() 5/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.0 B.1 C.2 D.0或2 2.(25-26八年级上浙江温州·期中)已知关于x,y的方程组 2x-y=1,若x-y>0,则m的取值范围 [x-2y=m 是() A.m>1 B.m>-1 C.m<1 D.m<-1 x-1<2x-3 3.(25-26八年级上山东菏泽·月考)如果不等式组{ 的解集为x>2,那么m的取值范围是() x>m A.m<2 B.m≤2 C.m=2 D.m≥2 4.(2025八年级上·重庆.专题练习)关于x的方程3-2x=3(k-2)的解是自然数，且关于x的不等式 x-2(x-1)≥5 2k+x≤无解，则不符合条件的整数k的值(】 A.-1 B.1 C.3 D.-3 x-3-5<2 5.(25-26八年级上浙江杭州期中)已知关于x的不等式组{2 下列四个结论：①若它的解集 2x-a≤-1 是1<x≤3，则a=7;②当a=3时，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则a的取值范围是 9≤a<11;④若不等式组有解，则a>3.其中正确的结论是() A.①②③ B.①③④ C.②③④ D.①②④ 二、填空题 6.(25-26七年级上江苏苏州月考)已知关于x的不等式(m-1)xm<2025是一元一次不等式，那么 1m= 7.(25-26八年级上·四川成都期中)已知关于x的不等式x-a<0的正整数解恰是1,2,3，则a的取值范 围是 2(x-1)>0 8.(25-26七年级上吉林期中)关于x的不等式 x+1>2a 的解集在数轴上的表示如图所示，则α取值范 围 -3-2-10i23→ 3.x-4y=0 9.(24-25八年级上·重庆期中)若关于x,y的二元一次方程组 mx+4y=g的解为整数，且关于1的不等式 (m+2)t>m+2的解集为t<1,则所有满足条件的整数m的积为 6/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3x-1<x+1 10.(25-26八年级上·重庆铜梁期中)若关于x的不等式组{2 有且仅有4个整数解，则所有 2(x+1)≥-x+a 满足条件的整数a的值之和」 三、解答题 11.(24-25七年级下·广西梧州期中)已知关于x的不等式3x-m<4x+1). (1)当m=2025时，该不等式的解集为； (2)若该不等式的负整数解有且只有3个，求m的取值范围。 x>m+2的解集是x>-1.求m的值。 x>m-1 12.(25-26七年级下·全国课后作业)(1)已知关于x的不等式组 (2)已知关于x的不等式组 x-a>0 无解.求a的取值范围， 6-2x≥0 x+y=-7-m 13.(25-26八年级上浙江金华·月考)已知方程组 的解满足x为非正数，y为负数. x-y=1+3m (1)求m的取值范围； (2)在(1)的条件下，若不等式(2m+1x-2m<1的解为x>1.求整数m的值. 14.(24-25七年级下·湖南长沙期末)对x,y定义一种新运算T, 规定：T(x,y)=ax+2by-1（其中a、b均为非零常数)，这里等式右边是通常的四则运算，例如： T(0,1=a×0+2bx1-1=2b-1. (1)已知T(1,-1=-6,T(4,2)=3. ①求a,b的值； T(2m,5-4m)≤1 ②若关于m的不等式组 恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； Tm,3-2m)>p (2)若T(x,y)=T(y,x)对任意实数x,y都成立（这里T(x,y)和T(y,x)均有意义），则a,b应满足怎样的关系 式？ 15.(2025八年级上全国·专题练习)新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则 x-1>1 称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程x-1=3的解为x=4,而不等式组 x-2<3 的解集为 2<x<5,不难发现x=4在2<x<5的范围内，所以方程x-1=3是不等式组 x-1>1,的相依方程， x-2<3 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2x+3≤x+11 (1)请判断4x-1-1=3(x-2)是否是不等式组 2x+5-1>4-X 的“相依方程”，并说明理由； 3 3x+1<m+2 ②法关于x的方程4xm=2 m-x 是关于x的不等式组 x,18 的“相依方程”，且此时不等 +1 12+43 ≥1 式组有且只有2个整数解，求m的取值范围； kx-4 >x (3)若关于x的方程x+k=2x-1是关于x的不等式组{ 2 的“相依方程”，求k的取值范围. x+1、2x-1 -1 2 3 8/8 专题11 一元一次不等式（组）中含参数问题的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 类型三、利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 类型四、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 类型五、根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 类型六、整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 类型七、整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 压轴专练 类型一、根据一元一次不等式的定义求参数的值 方法总结 1. 紧扣定义：一元一次不等式必须满足：①只含一个未知数；②未知数次数为1；③是整式不等式。 2. 列式求解：根据未知数指数为1且系数不为0，列出关于参数的方程与不等式求解。 解题技巧 1. 系数非零：含未知数项的系数（含参数）必须满足不等于0，此为易忽略条件。 2. 化简先行：若不等式含分母或括号，先化为最简形式，再对照定义列条件。 例1．（25-26七年级下·全国·周测）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】3 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解. 【详解】解：由题意，得 且 ， 解 ，得 或 ， 当 时，，不符合题意；当 时，，符合题意. 故答案为：3. 【变式1-1】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·月考）若是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，正确把握定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义可得，求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：， 故答案为：． 【变式1-2】（24-25七年级下·北京昌平·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1次的不等式叫一元一次不等式是解题的关键． 根据一元一次不等式的定义得且，求解即可． 【详解】解：由题意，得且， 解得：． 故答案为：． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解题关键． 利用一元一次不等式的定义列示求解即可． 【详解】解：由题意，得且， ． 故答案为：1． 类型二、根据一元一次不等式的解集求参数 方法总结 1. 解表参数：将不等式的解集用含参数的代数式表示（如 x > ）。 2. 对比定参：将所得解集与已知解集（如x > 3）进行对比，建立关于参数的方程或不等式求解。 解题技巧 1. 系数化1定方向：注意系数含参时，化1步骤需讨论参数正负，确定不等号是否反向。 2. 端点代入验证：求出参数后，将解集端点值代入原不等式检验等号是否成立，避免遗漏。 例2．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）关于x的不等式的解集为，则m的值为 ． 【答案】 【分析】题目主要考查根据不等式的解集求参数，通过解不等式得到关于 的解集表达式，令其与给定解集相等，建立方程求解 即可． 【详解】解：解不等式 ， 移项得 ， 两边同乘 （不等号方向改变）得 ， 由于解集为 ， 因此 ， 解得 ， ， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26八年级下·全国·周测）关于的一元一次不等式的解集为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法和根据解集求参数的方法，掌握系数化为 1 时，若系数为负数，不等号方向要改变的性质是解题的关键． 通过解不等式求出的值，再代入表达式计算． 【详解】解：解不等式 ， 两边同乘以得 ， 移项得 ， 两边同除以得 ． 由解集为 ，得 ， 解得 ． 代入 得 ． 故答案为：． 【变式2-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）若不等式的解都能使不等式成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，解集的包含关系，掌握解两个不等式，通过解集的包含关系建立新不等式求参数是解题的关键． 先解不等式 得到解集 ，再解不等式 得到解集 ，根据题意，第一个不等式的所有解都满足第二个不等式，因此 ，解此不等式即可得到 的取值范围． 【详解】解：解不等式 ， 去分母得 ， 化简得 ， 解得 ； 解不等式 ， 移项得 ， 解得 因为不等式 的解都能使不等式 成立， 所以 ， 解得 故答案为 ． 【变式2-3】（25-26八年级上·四川成都·月考）已知关于x的方程的解适合不等式，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，一元一次不等式的解，解题的关键是先求解关于的方程． 先求出方程的解，代入不等式求解即可． 【详解】解：∵， 解得：， ∵方程的解适合不等式， ∴将 代入不等式， 得 ， 解得 ， 故答案为：． 类型三、利用一元一次不等式的整数解求参数的取值范围 方法总结 1. 先解含参不等式：将不等式解集用含参数a的代数式表示（如x < ）。 2. 数轴定界：根据已知整数解的个数（如恰好有3个负整数解），在数轴上定位参数的取值范围，建立不等式组求解。 解题技巧 1. 画数轴定位：在数轴上标出已知整数解的位置，反向推断参数所在区间边界。 2. 端点单独验：参数范围的端点值需单独代入验证，检查是否恰好满足整数解个数（含等号时是否多解或少解）。 例3．（24-25七年级下·湖南郴州·期末）已知关于的不等式的最大整数解是3，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式的解的情况求参，熟练掌握解一元一次不等式（组）是解题的关键． 先解不等式，求得，再根据不等式的最大整数解是3，得出，求解即可． 【详解】解：解不等式得， ∵不等式的最大整数解是3， ∴， 解得：． 故答案为：． 【变式3-1】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）已知，不等式恰有1个负整数解，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先不等式的解集，后确定整数解即可． 本题考查了一元一次不等式的解法，整数解的确定，熟练进行不等式求解是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴不等式的解集为， ∵不等式恰有1个负整数解，为， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式3-2】（24-25七年级下·安徽合肥·期中）若不等式有三个非负整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，整理得，根据不等式的解集得出，再解出，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式有三个非负整数解， ∴， 即， 解得， 故答案为： 【变式3-3】（24-25六年级下·上海·期末）关于的不等式的解集中恰有四个非负整数，则的范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，将k看做已知数求出不等式的解集，根据不等式的解集中恰有四个非负整数，确定出k的范围即可． 【详解】解∶解不等式，得， ∵不等式的解集中恰有四个非负整数， ∴四个非负整数为0，1，2，3， ∴， ∴， 故答案为：． 类型四、利用一元一次不等式组的整数解求参数的取值范围 方法总结 1. 解表参数：解含参不等式组，用参数表示解集（如 m < x≤ n）。 2. 数轴定界：根据整数解的个数，在数轴上定位参数的取值范围，建立关于参数的不等式组求解。 解题技巧 1. 画数轴定位：在数轴上标出整数解位置，反向推断参数的边界范围。 2. 端点验证：参数范围的端点值需单独代入验证，检查是否恰好满足整数解个数（含等号时是否多解或少解）。 例4．（25-26九年级上·广东深圳·开学考试）若不等式组有4个整数解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，由不等式组解集的情况求参数，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求出不等式组的解集，再根据它有4个整数解，求出m的取值范围． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 所以不等式组的解集为， 因为不等式组有4个整数解， 所以这4个整数解只可能是3，2，1，0， 所以， 故答案为：． 【变式4-1】（24-25七年级下·河南商丘·期末）已知关于的不等式组恰好有三个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解，根据整数解的个数得出关于的解题的关键．求出不等式组的解集，再根据该不等式组恰好有3个整数解，即可得出的取值范围． 【详解】解不等式组 得：， ∵该不等式组恰好有3个整数解， ∴该不等式组的整数解为，0． ∴． 【变式4-2】（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解的差是3，则满足条件a所有的整数解的和是 ． 【答案】94 【分析】本题主要考查了不等式组的整数解， 先求出不等式组的解集，再根据题意得出最小整数解，进而得出关于a的不等式组，然后求出整数解，并求和即可. 【详解】解：不等式组， 解不等式①，得； 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是. ∴不等式组的最大整数解是9. ∵不等式组的最大整数解和最小整数解的差为3， ∴最小整数解是6， ∴， 解得， ∴， 则. 故答案为：94. 【变式4-3】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）若关于的不等式组的解集中仅有2个整数解，则的整数解之和为 ． 【答案】14 【分析】本题考查了一元一次不等式组．熟练掌握解一元一次不等式组是解题关键． 先解不等式组，求出解集，再根据“仅有2个整数解”，得m的不等式组，求出m的范围，取其中整数，求和即得． 【详解】解： ， 解①，得， 解②，得， ∴， ∴， ∵不等式组的解集中仅有2个整数解， ∴， ∴， 解得， ∵取整数， ∴， ∴的整数解之和为． 故答案为：14． 类型五、根据一元一次不等式组的解集的情况求参数的取值范围 方法总结 1. 解表参数：解含参不等式组，用参数表示解集（如x > a、x≤b）。 2. 情况对应：根据解集情况（如无解、有解、解集为特定范围）建立关于参数的不等式（组）求解。 解题技巧 1. 数轴分析：在数轴上标出已知解集范围或“空集”条件，反向推断参数的边界。 2. 端点检验：涉及“≥”“≤”时，端点单独代入验证，确定是否包含等号。 例5．（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）若不等式组的解集为， 则的值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解，根据不等式组的解集得出故m，n的值，进而解答即可． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵不等式组的解集为， ∴，， 解得， ． 故答案为：8． 【变式5-1】（24-25八年级下·河南焦作·期中）若关于x的不等式组：无解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式组的解集情况求参数的范围，先求出每个不等式的解集，根据不等式组无解，得到关于a的不等式，进行求解即可． 【详解】解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∵该不等式组无解， ∴，解得． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级下·四川广元·期末）如果不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查由一元一次不等式组解集求参数，由不等式组解集求法“同小取小”得到，解不等式即可得到答案．熟记一元一次不等式（组）的解法是解决问题的关键． 【详解】解：不等式组的解集是， ， 解得， 故答案为：． 【变式5-3】（24-25八年级上·浙江金华·月考）关于的方程的解是自然数，且关于的不等式组无解，则符合条件的整数的值的积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键．先把方程的解用表示出来，再求出不等式组每个不等式的解集，根据不等式组无解求出的取值范围，结合方程的解为自然数确定整数的具体整数值，最后求出它们的积． 【详解】解：解方程， ， 为自然数， ，且为的倍数，为奇数 ， 解不等式组， 解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组无解， ， ，即或或， 当 时，， 当时，， 当时，， ， 故答案为：． 类型六、整式方程(组)与一元一次不等式结合求参数的问题 方法总结 1. 先解整式方程：将方程（组）的解用参数表示。 2. 再列不等式：根据解的范围条件（如x > 0、y ≤2），建立关于参数的一元一次不等式（组）求解。 解题技巧 1. 代入转化：将解表达式直接代入不等关系，转化为只含参数的不等式。 2. 双验防错：求出参数范围后，回代原方程验证解的存在性（如分母不为0、系数非零）。 例6．（25-26八年级下·全国·期中）若方程的解是非负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题综合考查了一元一次方程的解与解一元一次不等式．解题的关键是，直接求解，再令解大于等于，转化为一个一元一次不等式求解集的问题． 解方程得到的表达式，根据解是非负数列出不等式求解即可． 【详解】解：解方程， 移项得， 两边除以得． 由于方程的解是非负数，即， ． 去分母得， 移项得， 解得． 故答案为：． 【变式6-1】（24-25七年级上·四川眉山·期中）关于的方程的解为负数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次不等式，先解一元一次方程得出，根据题意列出不等式，解不等式，即可求解． 【详解】解：解关于的方程 得 为负数， 解得： 故答案为：． 【变式6-2】（24-25七年级下·辽宁营口·期末）已知关于x，y的方程组，方程组的解x与y的和不小于4，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式及解二元一次方程组，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．先用表示出的值，再由x与y的和不小于4得出关于k的不等式，求出k的取值范围即可． 【详解】解：， ，得， ， ， ， 故答案为：． 【变式6-3】（2024·宁夏银川·一模）已知关于x，y的方程组，若此方程组的解满足，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解及其解法、解一元一次不等式，先利用加减消元法求得，再根据已知得到关于m的不等式，然后解不等式即可求解． 【详解】解：将关于x，y的方程组中的两个方程相加，得， ∴， ∵此方程组的解满足， ∴，解得， 故答案为：． 类型七、整式方程(组)与一元一次不等式组结合求参数的问题 方法总结 1. 先解整式方程：解方程（组），用参数表示未知数。 2. 再列不等式组：将解代入题目给出的多个不等条件（如x > 0、y < 2），建立关于参数的一元一次不等式组求解。 解题技巧 1. 代入转化：把参数表达式直接代入每个不等关系，转化为纯参数不等式。 2. 求交集：解出每个参数不等式的解集后，取公共部分，并结合方程实际意义（如分母不为0）确定最终范围。 例7．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数a的和为 ． 【答案】28 【分析】本题主要考查解二元一次方程和解不等式组，利用参数表示方程的解和不等式的解集是解题的关键． 首先解方程得到，由解为整数可知为奇数，再解不等式组，得到解集为，再由有且仅有3个整数解确定a的取值范围，结合为奇数，得到或，最后求和即可． 【详解】解：解方程，得：， ∵解为整数， ∴为偶数，即a为奇数， 解不等式组，得：， ∵关于的不等式组有且仅有3个整数解， ∴， ∴，解得：， ∵a为整数，且a为奇数， ∴或， ∴满足条件的整数a和为， 故答案为：28． 【变式7-1】（25-26八年级上·重庆江北·月考）若数k使关于x的不等式组无解，且使关于y的方程的解为整数，则符合条件的所有整数k的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、一元一次方程的解，解不等式组求得其解集，根据不等式组无解得出k的取值范围，解方程得出，由方程的解为整数得出k的取值，综合两者所求最终确定k的范围,据此可得答案． 【详解】解：， 解不等式①，得： 解不等式②，得：， ∵不等式组无解， ， ， 解方程，得， ∵关于y的方程的解为整数，且， 或4或2或1或或或， 或7或5或4或2或1或， 则符合条件的所有整数k的和为， 故答案为： 【变式7-2】（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）如果关于x的不等式组的解集为，且整数使得关于，的二元一次方程组的解为整数（，均为整数），则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组． 根据不等式组的解集，可得，解二元一次方程组，结合解为整数，可得或或，从而可得符合条件的所有整数的和． 【详解】解：， 由得， 由得， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， 解关于，的二元一次方程组， 得， ∵，均为整数， ∴或或或， ∴或或或， ∵， ∴或或， ∴符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 【变式7-3】（24-25八年级下·江西南昌·期末）如果关于x的不等式组的解集为，且整数m使得关于x、y的二元一次方程组的解为整数（x、y均为整数），则符合条件的整数m的值有 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并能根据x、y均为整数确定整数的值； 先解不等式组，结合其解集得出，再解方程组得出其解，结合解均为整数和确定m的最终取值． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 不等式组的解集为， ， 解方程组，得， 为整数，为整数， 可取， 可取， 满足且为整数的的值为． 故答案为：． 【变式7-4】（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）已知关于x，y的方程组（是常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围； (3)在（2）的条件下，当为何整数时，不等式解集为． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将得，求出，结合题意计算即可得解； （2）将得，结合题意可得，计算即可得解； （3）由不等式的性质可得，从而结合题意求出，即可得解． 【详解】（1）解：将得：， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：将得：， ∵， ∴， 解得； （3）额：由不等式解集为可知：， 解得：， 综合可得：， 符合条件的整数为：或或． 一、单选题 1．（24-25七年级下·河南焦作·月考）关于x的一元一次不等式中，m的值应为（    ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【答案】D 【分析】根据一元一次不等式的定义：“含有一个未知数，且含未知数的项的次数为1的不等式”，得到，求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：或0； 故选：D． 2．（25-26八年级上·浙江温州·期中）已知关于，的方程组，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组，解一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键，将方程组的两个方程相加，求得，再根据列出关于m的不等式，即可求出m的取值范围． 【详解】解：， 由得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴ 的取值范围是 ， 故选：B 3．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）如果不等式组的解集为，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解集，熟练掌握“同大取大”的不等式组解集确定规则是解题的关键．先解第一个不等式，再结合不等式组的解集规则（同大取大）确定的范围． 【详解】解：解不等式得 ∵不等式组的解集为， ∴ 故选：B． 4．（2025八年级上·重庆·专题练习）关于的方程的解是自然数，且关于的不等式无解，则不符合条件的整数的值（　　） A． B．1 C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，正确计算是解题的关键． 首先从方程解出关于的表达式，根据为自然数（包括0）确定的范围和奇偶性；然后解不等式组，根据无解条件得到的范围；最后综合得出不符合条件的整数的值． 【详解】解：∵方程得， 且为自然数， ，且为偶数， ，且为奇数， 解不等式组 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组无解， ， ，且为奇数， ， 验证：时；时；时，均为自然数， ∴符合条件的整数的值为， 故不符合条件的整数的值为， 故选：D． 5．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）已知关于的不等式组，下列四个结论：①若它的解集是，则；②当时，不等式组有解；③若它的整数解仅有3个，则的取值范围是；④若不等式组有解，则．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式组的解求参数等．根据题意先解出不等式组，再逐一分析序号进行判断即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵它的解集是，即， 解得：，故①正确， ∵当时，，此时不等式组的解集为， ∴不等式组无解，故②错误， ∵它的整数解仅有3个， ∴， ∴a的取值范围是，故③正确， ∵若不等式组有解，即， ∴，故④正确； 综上分析可知：正确的有①③④． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26七年级上·江苏苏州·月考）已知关于的不等式是一元一次不等式，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式的定义，正确记忆含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键． 根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1且系数不为0，据此求解即可． 【详解】解：由题意可得：且， 解得：， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·四川成都·期中）已知关于x的不等式的正整数解恰是1，2，3，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解集情况求参数，先求出不等式的解集，再根据正整数解求解即可． 【详解】解不等式，得． ∵正整数解恰是1，2，3， ∴． 故答案为：． 8．（25-26七年级上·吉林·期中）关于x的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则a取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示解集．解题的关键在于对知识熟练掌握与灵活运用． 解不等式组得，由数轴可知，得出原不等式组的解集为，则，计算求解即可． 【详解】解：解不等式组， 得， 由数轴可知，原不等式组的解集为， ∴， 解得． ∴a的取值范围为， 故答案为： 9．（24-25八年级上·重庆·期中）若关于的二元一次方程组的解为整数，且关于的不等式的解集为，则所有满足条件的整数的积为 ． 【答案】20 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的解法、二元一次方程组的整数解，熟练掌握“根据不等式解集的符号确定系数的范围，结合方程组的整数解条件分析未知数的取值”是解题的关键． 先根据不等式的解集确定的范围，再解方程组得到的表达式，结合解为整数的条件确定的可能值，最后计算这些的积． 【详解】解：∵ 不等式的解集为， ∴， 解得， 解方程组，得，， ∵ 方程组的解为整数， ∴ 是整数，且是整数，故是4的倍数 ∵ ， ∴ ，即是负整数， 又∵ 是整数且为4的倍数， ∴ 是8的负约数，且是4的倍数， 当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件， 当时，，（是4的倍数），（整数），符合条件， 当时，，（不是4的倍数），舍去， 当时，，（不是4的倍数），舍去， ∴符合条件的整数为、， ∴ 它们的积为， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·重庆铜梁·期中）若关于x的不等式组有且仅有4个整数解，则所有满足条件的整数a的值之和 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组解的情况求参数，解不等式组得到解集为 ，根据有且仅有4个整数解，得到，解得，整数的值为，，，求和即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， 故不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有4个整数解， ∴整数解为，，，， ∴， 解得：， ∴整数的值为，，， ∴和为， 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·广西梧州·期中）已知关于的不等式． (1)当时，该不等式的解集为_____； (2)若该不等式的负整数解有且只有个，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)的取值范围是． 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式、不等式组，掌握知识点的应用是解题的关键． （）将代入，然后解不等式即可； （）先解不等式，然后根据该不等式的负整数解有且只有个，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ∵该不等式的负整数解有且只有个， ∴这三个整数解为，，， ∴， ∴， ∴的取值范围是． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）（1）已知关于x的不等式组的解集是．求m的值． （2）已知关于x的不等式组无解．求a的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了根据不等式组的解集情况求参数，熟练掌握不等式组的解法是解答本题的关键． （1）根据解集为列方程求解即可； （2）先求出不等式组两个不等式的解集，再根据解集为列不等式求解即可． 【详解】解：（1）∵关于x的不等式组的解集是，且， ， 解得：； （2）， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∵关于x的不等式组无解， ， 解得：． 13．（25-26八年级上·浙江金华·月考）已知方程组的解满足为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若不等式的解为．求整数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组相结合的问题，不等式的性质，求不等式组的整数解，熟知相关知识是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据方程组的解的情况建立不等式组求解即可； （2）根据不等式的性质可得，求出该不等式的解集，结合（1）所求得到m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； ∵方程组的解满足为非正数，为负数， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵不等式的解为， ∴不等式的两边同时除以时，不等号的方向发生了改变， ∴， ∴， ∴， 又∵m为整数， ∴． 14．（24-25七年级下·湖南长沙·期末）对x，y定义一种新运算T， 规定：（其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对任意实数x，y都成立（这里和均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？ 【答案】(1)①，② (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法以及一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确理解新定义运算法则以及整式的加减运算与乘除运算法则． （1）①根据新定义得到；，解方程组即可得到答案；②根据新定义得到，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有2个整数解进行求解即可； （2）根据新定义得到，进而得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：①根据题意得： ， 解得：， ②由题意得：， 则可以化为， 解得：， 恰有2个整数解， 故 解得 （2）∵对任意实数x，y都成立 即对任意实数都成立 即 15．（2025八年级上·全国·专题练习）新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)请判断是否是不等式组的“相依方程”，并说明理由； (2)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有且只有2个整数解，求m的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，求k的取值范围． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2) (3)或 【分析】（1）先求一元一次方程的解为，再求不等式组的解集为，根据定义即可判断； （2）先求一元一次方程的解为，根据不等式组有两个整数解，可得，解得，再由方程是不等式组的“相依方程”，可得，最后求出； （3）先求一元一次方程的解为，不等式组的解集分情况讨论：①时，，根据题意可得，，此情况下k的取值为；②当时，，根据题意可得，，此情况下k的取值为；③当时，无解，不合题意，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：不是不等式组的“相依方程”，理由如下： ， ， 解得， ， 由①得：， 解得，， 由②得：， ， ， ， ， ∴， ∵不在的范围内， ∴不是不等式组的“相依方程”； （2）解：， ， ， ， ， 解不等式组：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有两个整数解， ∴， 解得， ∵方程是不等式组的“相依方程”， ∴， 解得， ∴； （3）解：， 解得， ， 由①得， 由②得， ①当时，， ∴， ∵方程是关于x的不等式组的“相依方程”， ∴， 解得或； ∴此情况下k的取值为， ②当时，， 此时，即或， 不等式组的解集为， ∴， 解得或， ∴此情况下k的取值为， ③当时，无解，不合题意， 综上所述：或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $