专题05 二次根式（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题05 二次根式 【考点1】二次根式有意义的条件★ 【考点2】利用二次根式的性质化简．★★ 【考点3】最简二次根式的判定★ 【考点4】同类二次根式的相关概念★ 【考点5】二次根式的混合运算★★ 【考点6】二次根式的化简求值★★ 【考点7】二次根式的实际应用★★ 【考点8】分母有理化★★ 知识点1：二次根式的相关概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 知识点2：二次根式的性质 （1） 双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 知识点3：二次根式的乘除法法则 1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 知识点4：最简二次根式及化简 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 知识点5： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点6：二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点7：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【考点1】二次根式有意义的条件★ 1．函数的自变量取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的自变量取值范围．根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：根据题意得：，解得：． 故选：C． 2．当 时，式子有意义． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件，正确计算．根据二次根式有意义的条件得，得出，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得：， ∴当时，式子有意义． 故答案为：（答案不唯一）． 3．已知，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式的求值，根据二次根式有意义的条件，得到，进而求出分式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【考点2】利用二次根式的性质化简．★★ 1．已知，化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了化简绝对值，二次根式的性质，因为，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C 2．已知，则计算的正确结果是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式以及绝对值的化简，根绝未知数的值化简是解决本题的关键．根据的取值范围，判断，的正负，进行化简，合并同类项，得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 3．已知实数在数轴上的对应点如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，数轴上的点表示实数，理解并运用二次根式的性质是解题的关键．根据数轴可得到，，，再根据所给的二次根式的性质即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ； 故选：C． 4．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了化简二次根式，根据和计算即可. 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：. 1．如图，数轴上点表示的数为，化简 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简和化简绝对值，利用数轴表示数的方法得到，再利用完全平方公式和二次根式的性质化简原式，然后去绝对值后合并即可． 【详解】解：根据数轴点表示的数得， 所以， ． 故答案为：1． 2．已知，化简 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握成为解题的关键． 先运用完全平方公式对被开方数因式分解，然后再根据二次根式的性质化简即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：1． 3．数在数轴上表示如图，则化简的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是利用数轴比较数的大小，化简绝对值，二次根式的化简.由数轴可得，判断，再化简二次根式与绝对值，然后合并即可. 【详解】解：由题意可得：，， ∴， ∴ 故答案为：． 【考点3】最简二次根式的判定★ 1．下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查最简二次根式．根据最简二次根式的条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数是分数，不是最简二次根式，故选项A不符合题意； B、满足最简二次根式的定义，是最简二次根式，故此选项符合题意； C、可以化简，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、可以化简，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的定义逐项分析即可得解． 【详解】解：A、中被开方数中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合意义； B、属于最简二次根式，符合题意； C、中被开方数的因数不是整数，故不是最简二次根式，不符合意义； D、中被开方数的因数不是整数，故不是最简二次根式，不符合意义； 故选：B． 3．若与最简二次根式能合并，则m的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先将化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得． 【详解】解：， 与最简二次根式能合并， ， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键． 4．若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 5．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 ． 【答案】2 【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：当时，，不是最简二次根式， 当时，，是最简二次根式， ∴二次根式是最简二次根式，最小的正整数a为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 6．若最简二次根式 与 可以合并，则a的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查最简二次根式，同类二次根式．若两个最简二次根式能够合并，则它们的被开方数相等，据此求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式 与 可以合并， ∴， ∴， 故答案为：1． 7．与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，掌握知识点是解题关键．先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到，然后解方程即可． 【详解】解： ， 又 与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故答案为：． 8．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查同类二次根式以及最简二次根式，解题的关键是正确理解同类二次根式以及最简二次根式的概念，本题属于基础题型．把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式． 【详解】解：由题意可知：， ， 故答案为：4． 【考点4】同类二次根式的相关概念★ 1．下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键，先将各项进行化简，再利用同类二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，此项错误； B、，与是同类二次根式，此项正确； C、，与不是同类二次根式，此项错误； D、，与不是同类二次根式，此项错误； 故选：B． 2．下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再看被开方数是否相同，判断即可，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：、，与是同类二次根式，不合题意； 、，与不是同类二次根式，符合题意； 、，与是同类二次根式，不合题意； 、，与是同类二次根式，不合题意； 故选：． 【考点5】二次根式的混合运算★★ 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先算乘除法以及去括号，再计算加减，即可作答． （2）先根据完全平方公式，平方差公式展开，再计算加减，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则以及平方差公式． （1）先将化简，再利用平方差公式计算，最后将两部分结果相加； （2）利用乘法分配律展开式子，然后分别计算各项二次根式的乘法． 【详解】（1） （2） 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法公式的计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 4．计算： (1)； (2) 【答案】(1)1 (2)4 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）先进行乘法运算和化简，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法和乘方运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点6】二次根式的化简求值★★ 1．已知，， (1)求及的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)7 【分析】本题考查了分母有理化、二次根式的化简求值的知识，掌握分母有理化、二次根式的运算法则是关键． （1）先求出 再代入求值即可； （2）先计算，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：， 将 代入得： 2．已知，求下列式子的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分式的加法、完全平方公式，正确对所求的式子进行变形是关键． （1）首先把所求的式子利用完全平方公式变形，然后代入数值计算即可求解． （2）首先把已知的式子进行变形，变形成的形式，然后代入数值计算即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ． 3．已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)36 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式化简求值，因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）先根据完全平方公式进行因式分解，然后再代入求值即可； （2）先根据平方差公式进行因式分解，然后再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ． 4．先化简，再求值： ，其中 【答案】； 【分析】本题主要考查分式的混合运算和二次根式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可 【详解】解： ； 当时，原式 5．若，，求： (1)； (2)求． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值： （1）先求出，，再根据进行求解即可； （2）先求出，，再把所求式子变形为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴ ． 【考点7】二次根式的实际应用★★ 1．如图，在长方形中，无重叠放入面积分别为27和12的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查二次根式的运算及应用，由两张正方形纸片面积分别为和，则两张正方形纸片边长分别为和，然后利用面积公式即可求解，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 【详解】解：∵两张正方形纸片面积分别为和， ∴两张正方形纸片边长分别为和， ∴剩余部分的面积为， 故答案为：． 2．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查二次根式的应用； （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【详解】（1）解：长方形的周长 答：长方形的周长是． （2）铺地砖的面积 故购买地砖的花费为(元) 答：购买地砖需要花费元． 3．如图，从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，求剩余部分（阴影部分）的面积． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的应用，先分别求出两个小正方形的边长，得到大正方形的边长，即可得到阴影部分的面积，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，两个小正方形的边长分别为，， ∴大正方形的边长为， ∴剩余部分的面积是． 4．某小区有一块长方形绿地，长为米，宽为米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为米，宽为米． (1)求长方形绿地的周长； (2)除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？ 【答案】(1)米 (2)3080元 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【详解】（1）解：(米）， ∴长方形的周长为米． （2）解：(平方米)， 则(元)， ∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费3080元． 【考点8】分母有理化★★ 1．像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：① ．② ． (2)计算 (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1)①，② (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）①根据，再计算求解即可；②根据，再计算求解即可； （2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可； （3）由题意得，同理：，，则，进而可得． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②解：， 故答案为：； （2）解： ． （3）解：；理由如下； ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴． 2．观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； ；… 利用发现的规律解决下列问题． (1)化简式子______； (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：（n为正整数）． 【答案】(1)； (2)2023； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，式子规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的式子，总结规律，即可作答． （2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答． （3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：； （2）解： ． 故答案为：2023， （3）解：依题意， ． 一、单选题 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了最简二次根式的定义，被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式即为最简二次根式，根据最简二次根式的定义依次判断即可． 【详解】解：A、不是最简二次根式，故不符合题意； B、，不是最简二次根式，故不符合题意； C、是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，故不符合题意； 故选：C． 2．式子在实数范围有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：式子在实数范围有意义， ， 故选：B ． 3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式、二次根式的性质与化简，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，由此判断即可． 【详解】解：A：被开方数为，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； B：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意； C：，与是同类二次根式，故此选项符合题意； D：，与不是同类二次根式，故此选项不合题意． 故选：C ． 4．下列各式中运算正确的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质与化简，立方根等知识，解题的关键是掌握二次根式的性质．利用二次根式的性质一一判断即可． 【详解】A、，本选项错误，不符合题意； B、，本选项错误，不符合题意； C、，本选项错误，不符合题意； D、，正确，符合题意． 故选：D． 5．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式应用，将和，代入关系式，求出的值，再进行计算即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴； 故选C． 6．如图所示，小雅同学将一张正方形彩纸剪成四个部分，用其中的面积为和的两个小正方形分别做了纸飞机，原正方形边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的应用，解题的关键是数形结合，计算出两个小正方形的边长即可求解． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 两个小正方形的边长为：，， 原正方形边长为：， 故选：B． 7．已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C．6 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，代数式求值．掌握被开方数为非负数是解题关键．根据二次根式有意义的条件可求出，从而可求出，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴且， 解得：， 当时，， ∴． 故选C． 8．实数和在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质，绝对值的意义，数轴的定义，由数轴可得到，根据和绝对值的性质，即可得到答案．解题的关键是掌握所学的知识，正确得到． 【详解】解：根据题意，则， ∴，， ∴ = = =； 故选：B． 二、填空题 9． ．（选填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的大小的比较，解题关键是灵活运用比较两个实数的大小的方法，如作差法、取近似值法等．首先把两个数平方，由于两数均为正数，所以该数的平方越大数越大． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 10．若能与最简二次根式合并同类项，则x的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．由题意得，与最简二次根式是同类二次根式，据此即可求出x的值． 【详解】解：能与最简二次根式合并同类项，， ， 解得：． 故答案为：4． 11．计算： ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的乘法，利用平方差公式乘开，再合并即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式和最简二次根式．先求出，再根据同类二次根式的定义得出，再求出答案即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴． 故答案为：3． 13．已知，则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的化简求值，求代数式的值，先把已知条件变形得到，两边平方可得到，然后利用整体代入的方法计算的值．掌握相应的运算法则、性质及公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故答案为：． 14．当时，化简代数式 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的化简以及绝对值的化简，整式的混合运算，根据，可得出，，然后化简二次根式以及绝对值即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：2． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式先化简二次根式，再合并同类二次根式即可得到答案； （2）原式先将括号内的进行化简，合并，再进行乘法计算即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 16．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，完全平方公式，分母有理化等知识点，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键． 先通分计算括号内的部分，然后将除法运算转化为乘法运算，约分化简得出结果后，再代入的值求值即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 17．阅读材料： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)计算： ； (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握分母有理化的方法是解题的关键． （1）原式的分子和分母都乘以解答即可； （2）先将每一项分母有理化，再计算加减即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ． 18．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，3，3 (2)①无解，②不能，理由见解析 【分析】本题是阅读理解题，解题的关键是读懂题意、把带根号的方程转化为整式方程． （1）根据题意可直接进行求解； （2）①先移项，然后方程两边同时平方得到一元一次方程，进而问题可求解； ②先设，根据题意中的方法解该方程，根据方程的解的情况即可解答． 【详解】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解， ∴代数式的值不能等于7． 19．像，…．这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：， 再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)若，则______，______． (2)化简：①______，②______ (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 【答案】(1)5，6 (2)①；② (3)46或14 【分析】本题考查完全平方式的应用、二次根式的性质，理解题中运算方法是解答的关键． （1）利用完全平方公式得到，进而可得a、b的值； （2）①②模仿题中运算方法和完全平方式的特点，结合二次根式的性质求解即可； （3）利用完全平方公式得到，然后根据a，m，n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 故答案为：5，6； （2）解：① ； ② ； （3）解：∵， ∴，即， ∵a，m，n为正整数， ∴或， ∴或， 故a的值为46或14． 20．【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是： ∵ ∴当时， 原式 ． 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 (1)请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题：已知，求的值； (2)请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，代数式求值，掌握整体代入法是解题的关键． （1）仿照小明的做法时，先计算出的值；仿照小丽的做法时，将原式变形为； （2）仿照小明的做法，计算出的值，的值，再将原式变形为，代入求解即可． 【详解】（1）解：仿照小明的做法： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 仿照小丽的做法： ∵ ∴当时， 原式 ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 二次根式 【考点1】二次根式有意义的条件★ 【考点2】利用二次根式的性质化简．★★ 【考点3】最简二次根式的判定★ 【考点4】同类二次根式的相关概念★ 【考点5】二次根式的混合运算★★ 【考点6】二次根式的化简求值★★ 【考点7】二次根式的实际应用★★ 【考点8】分母有理化★★ 知识点1：二次根式的相关概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 知识点2：二次根式的性质 （1） 双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 知识点3：二次根式的乘除法法则 1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 知识点4：最简二次根式及化简 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 知识点5： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点6：二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点7：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【考点1】二次根式有意义的条件★ 1．函数的自变量取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．当 时，式子有意义． 3．已知，则的值为 ． 【考点2】利用二次根式的性质化简．★★ 1．已知，化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 2．已知，则计算的正确结果是（    ） A． B．1 C． D． 3．已知实数在数轴上的对应点如图所示，则（    ） A． B． C． D． 4．计算： ． 1．如图，数轴上点表示的数为，化简 ． 2．已知，化简 ． 3．数在数轴上表示如图，则化简的结果是 ． 【考点3】最简二次根式的判定★ 1．下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．若与最简二次根式能合并，则m的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 4．若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．若二次根式是最简二次根式，则最小的正整数a为 ． 6．若最简二次根式 与 可以合并，则a的值是 ． 7．与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 8．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【考点4】同类二次根式的相关概念★ 1．下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【考点5】二次根式的混合运算★★ 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1)； (2) 【考点6】二次根式的化简求值★★ 1．已知，， (1)求及的值； (2)求的值． 2．已知，求下列式子的值： (1) (2) 3．已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 4．先化简，再求值： ，其中 5．若，，求： (1)； (2)求． 【考点7】二次根式的实际应用★★ 1．如图，在长方形中，无重叠放入面积分别为27和12的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为 ． 2．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 3．如图，从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，求剩余部分（阴影部分）的面积． 4．某小区有一块长方形绿地，长为米，宽为米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为米，宽为米． (1)求长方形绿地的周长； (2)除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱 【考点8】分母有理化★★ 1．像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：① ．② ． (2)计算 (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 2．观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； ；… 利用发现的规律解决下列问题． (1)化简式子______； (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：（n为正整数）． 一、单选题 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．式子在实数范围有意义，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式中运算正确的是（） A． B． C． D． 5．高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间t（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从75 m高空抛物到落地所需时间为．从100 m高空抛物到落地所需时间为，则的值是（   ） A． B． C． D． 6．如图所示，小雅同学将一张正方形彩纸剪成四个部分，用其中的面积为和的两个小正方形分别做了纸飞机，原正方形边长为（    ） A． B． C． D． 7．已知，则的值为（    ） A．0 B．1 C．6 D． 8．实数和在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9． ．（选填“”“”或“”） 10．若能与最简二次根式合并同类项，则x的值为 ． 11．计算： ． 12．若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 13．已知，则代数式的值为 ． 14．当时，化简代数式 ． 三、解答题 15．计算： (1)； (2)． 16．先化简，再求值：，其中． 17．阅读材料： 像两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如，与、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 根据以上阅读材料回答下列问题： (1)计算： ； (2)计算：． 18．类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 19．像，…．这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如：， 再如：．请用上述方法探索并解决下列问题： (1)若，则______，______． (2)化简：①______，②______ (3)若，且a，m，n为正整数，求a的值． 20．【阅读材料】问题：已知，求的值． 小明的做法是： ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 小明的做法是将已知条件适当的变形，再整体代入所求代数式进行解答． 小丽的做法是： ∵ ∴当时， 原式 ． 小丽的做法是将结论中代数式适当的变形，再已知条件代入变形式进行解答． 【解决问题】 (1)请你仿照“小明的做法”或“小丽的做法”，解决问题：已知，求的值； (2)请你参考“小明的做法”和“小丽的做法”，运用恰当的方法解决问题：已知，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$