专题04 反比例函数（知识串讲+热考题型+真题训练）-2024-2025学年八年级数学下册《重难点题型•高分突破》（苏科版）

专题04 反比例函数 【考点1】反比例函数的定义 ★ 【考点2】反比例函数系数K的几何意义★★ 【考点3】反比例函数的图像★★ 【考点4】 反比例函数图像的对称性★★ 【考点5】反比例函数的性质★★ 【考点6】待定系数法求反比例函数解析式★★ 【考点7】 反比例函数的实际应用★★ 【考点8】反比例函数与一次函数的交点问题★★ 【考点9】反比例函数与一次函数的综合★★★ 知识点1: 反比例函数的概念 （1）定义：形如y＝(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式： ①y＝；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0) 知识点2: 反比例函数的图象和性质 知识点3: 反比例函数图像特征 （1）由两条曲线组成，叫做双曲线； （2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交； （3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线． 知识点4: 反比例函数中系数k的几何意义 （1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|. （2）常见的面积类型： 知识点5: 反比例函数与一次函数的综合 （1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）. 【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 知识点6: 反比例函数的实际应用 （1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 【考点1】反比例函数的定义 ★ 1．下列函数是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数定义,根据—般地，形如（k为常数，）的函数称为反比例函数，其中x是自变量，y是函数．自变最x的取值范围是不等于0的一切实数，进行判断即可． 【详解】解：根据反比例函数的定义可知为反比例函数， 故选：B． 2．下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数的一般式： （k≠0，k为常数）即可判断． 【详解】解：根据反比例函数的一般式可知 A、B、D选项均不符合反比例函数的一般式， C选项符号反比例函数一般式． 故选：C 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，解题的关键在于能正确认识反比例函数的一般形式． 3．反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，即反比例函数中，为定值依此判断即可． 【详解】解：反比例函数中，， A、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； B、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； C、，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； D、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．当时，反比例函数 的函数值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数性质，将代入反比例函数解析式计算即可． 【详解】解：当时， 故选：B． 5．若函数是反比例函数，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查反比例函数的定义：形如(为常数，)的函数就叫做反比例函数，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 根据反比例函数的定义列出关于方程或不等式，求解即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， 且， 解得：， ∴的值为2． 故答案为：2． 【考点2】反比例函数系数K的几何意义★★ 1．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使B、C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义：从反比例函数图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为．作于H，根据平行四边形的性质得，则，再根据反比例函数系数k的几何意义得到，所以有． 【详解】解：作于H，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点A是反比例函数的图象上的一点， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点若点是轴上任意一点，连接，，则的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题考查的是反比例函数系数k的几何意义，即在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所均成的三角形的面积是，保持不变．先设，由直线轴，则两点的纵坐标都为而分别在反比例函数和的图象上，可得到A点坐标为，B点坐标为，从而求出的长，然后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：设， ∵直线轴， ∴两点的纵坐标都为而点A在反比例函数的图象上， ∴当 即点Ａ的坐标为， 又∵点B在反比例函数的图象上， ∴当 ∴B点坐标为， ∴， ∴ 故答案为：3． 3．反比例函数的图像如图所示，若的面积是2，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，利用反比例函数k的几何意义即可解答． 【详解】解：设点P的坐标为（，）， 则， ∴． 又∵点P在反比例函数的图像上， ∴． 故答案为：． 4．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接，．若的面积为4，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，以及比例系数k的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴作垂线，与原点围成的三角形的面积是定值．连接，根据等底同高的三角形面积相等得到的面积为4，再结合三角形的面积是定值以及反比例函数图形性质，建立等式求解，即可解题． 【详解】解：连接， 的面积为4， 的面积为4， 轴， ， 解得， 反比例函数图象在第二象限， ， ． 故答案为：． 5．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过点A、B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D、C，那么四边形的面积是 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了反比例函数关系k的几何意义，得出矩形和矩形的面积是解题关键．根据反比例函数系数k的几何意义得出矩形的面积为：1，矩形的面积是3，则矩形的面积为：． 【详解】解：过点A作轴于点E， 点A在双曲线上，点B在双曲线上， 矩形的面积为：1，矩形的面积是3， 矩形的面积为：， 故答案为：2． 【考点3】反比例函数的图像★★ 1．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数和一次函数的图像综合判断，分和先判断反比例函数和一次函数的图像所在的象限，再结合一次函数图像与坐标轴的交点即可求解． 【详解】解：当时，一次函数的图像经过第一、二、三象限，且经过点；反比例函数的图像在第一、三象限，没有选项中的图像符合题意； 当时，一次函数的图像经过第二、三、西象限，且经过点，反比例函数的图像在第二、四象限，选项C中图像符合题意，选项A、B、D中图像不符合题意， 综上，选项C符合题意， 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质．根据图中的点的坐标结合反比例函数的解析式即可判断． 【详解】解：反比例函数经过点，则由图知，第④个符合题意， 故选：D． 3．如果，那么函数与在同一坐标系中的图象是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象、正比例函数的图象，根据得到反比例函数的图象、正比例函数的图象所在的象限即可求解． 【详解】解：∵， ∴函数的图象经过第二、四象限，函数的图象位于第二、四象限， 故选项C中图像符合题意， 故选：C． 4．一次函数y=kx－k 与反比例函数y=在同一直角坐标系内的图像大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数的性质，反比例函数的性质，分情况讨论：当时；当时，即可得． 【详解】解：当时，一次函数的图像过一、二、四象限，反比例函数图像分别在第二、四象限； 当时，一次函数的图像过一、三、四象限，反比例函数图像分别在第一、三象限， 故选D． 【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，反比例函数的图像与性质，解题的关键是掌握这些知识点． 5．请你根据以前学习函数的经验，研究函数的图象和性质并解决相关问题． (1)由数想形：该函数图象关于________对称；与坐标轴的交点为________； (2)描点画图： ①列表：下表是与的几组对应值，其中________；________； … 0 1 2 4 5 6 7 … … 2 3 6 6 3 2 … ②描点：根据表中各组对应值，在平直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你把图象补充完整． (3)观察你所画的函数图象，解答下列问题：若点，为该函数图象上不同的两点，则________； (4)直接写出当时，的取值范围为________． 【答案】(1)y轴，（0，-2） (2)①，-2；②见解析；③见解析 (3)0 (4)x＜-3或x=0或x＞3 【分析】（1）根据函数解析式可得函数的图象关于y轴对称；图象与y轴的交点为（0，-2）； （2）①分别把x=7，x=0代入解析式，即可求解；②在平直角坐标系中描出各点，即可求解；③用平滑的曲线顺次连接各点，即可求解； （3）观察函数图象得到函数的图象关于y轴对称，而点A与点B关于y轴对称，所以a与b互为相反数； （4）观察函数图象，找出函数值大于或等于-2所对应的自变量的值或取值范围． 【详解】（1）解：由数想形：该函数图象关于y轴对称； 当x=0时，， ∴与坐标轴的交点为（0，-2）； 故答案为：y轴，（0，-2）； （2）解：①当x=7时，， ∴， 当x=0时，， ∴b=-2， 故答案为：，-2； ②描点：根据表中各组对应值，在平直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接备点，补全图象，如下： （3）解：根据题意得：函数关于y轴对称， ∵点，为该函数图象上不同的两点， ∴； 故答案为：0 （4）解：观察图象得：当时，的取值范围为x＜-3或x=0或x＞3． 故答案为：x＜-3或x=0或x＞3 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质；会利用描点法画反比例函数图象，数形结合是解题的关键． 【考点4】 反比例函数图像的对称性★★ 1．若一次函数的图像与反比例函数的图像的一个交点的横坐标为2，则另一个交点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两函数图象的一个交点横坐标为2，将代入正比例求得，则正比例函数与反比例函数交点，利用反比例函数的中心对称性即可求得另一个交点的坐标． 【详解】解： 一个交点的横坐标为2， 将代入得：， 交点为， 反比例函数与正比例函数的图象的一个交点为， 另一个交点为． 故选：B． 【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，以及反比例函数的图象与性质，求得第一个交点坐标是解题的关键． 2．如图，双曲线与直线相交于A、两点，点坐标为，则A点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 【详解】解：点A与关于原点对称， 点的坐标为． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性，解题的关键是熟练掌握横纵坐标分别互为相反数． 3．如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为（－1，3），则它们的另一个交点坐标是（    ） A．（1，3） B．（3，1） C．（1，－3） D．（－1，3） 【答案】C 【分析】根据反比例函数的图象关于原点对称即可得出答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象关于原点对称，直线经过原点， ∴它们的另一个交点坐标是（1，－3） 故答案为：C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是掌握反比例函数的图象关于原点对称． 4．反比例函数与正比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，即可求解. 【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象的中心对称性，根据已知得出反比例函数与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称是解题关键． 5．如图，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝图象相交于A、B两点，若点A的坐标是（3，2），则点B的坐标是 ． 【答案】（﹣3，﹣2） 【分析】由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出B点坐标即可． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称， ∴A、B两点关于原点对称， ∵A的坐标为（3，2）， ∴B的坐标为（﹣3，﹣2）． 故答案为：（﹣3，﹣2）． 【点睛】本题主要考查了关于原点对称点的坐标关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 【考点5】反比例函数的性质★★ 1．已知点都在反比例函数的图像上，则之间的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键．根据题意易得反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，由此问题可求解． 【详解】解：∵， ∴该函数图像在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点都在反比例函数的图像上，， ∴． 故选：D． 2．下列关于反比例函数的说法中，错误的是（    ） A．点在函数图象上 B．函数图象位于第二、四象限 C．当时， D．函数值y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质． 分别根据反比例函数图象上点的坐标特征、函数图象所在象限、自变量取值范围内函数值的范围以及函数的增减性来判断各选项． 【详解】解：解：A、当时，，故点在函数图象上，选项说法正确，不符合题意； B、，故反比例函数图象在第二，四象限，选项说法正确，不符合题意； C、当时，，选项说法正确，不符合题意； D、在每个象限内，函数值随的增大而增大，选项说法错误，符合题意． 故选：D． 3．在下列函数中，函数值y随自变量x的增大而减小的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质，是解题的关键． 根据一次函数和反比例函数的性质，逐项分析即可得到答案． 【详解】解：A、随的增大而增大，不符合题意； B、    ，随的增大而增大，不符合题意； C、，在每个象限内，随的增大而减小，不符合题意； D、随的增大而减小，符合题意； 故选：D． 4．若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比较反比例函数自变量的大小．正确计算反比例函数自变量的值是解题的关键． 分别计算、、的值，然后比较大小即可． 【详解】解：∵点、、都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：B． 【考点6】待定系数法求反比例函数解析式★★ 1．如果反比例函数的图像经过点，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，根据反比例函数图像上的点的坐标满足函数解析式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴， 故答案为：． 2．反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 把点代入中得， ∴， ∴反比例函数解析式为， 故答案为：． 3．若点关于原点的对称点在反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征和关于原点对称坐标的特征； 先求出点关于原点的对称点，再代入反比例函数即可求解． 【详解】点关于原点的对称点是 把代入得： ∴该反比例函数的解析式为 故答案为：． 4．如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（蜡烛到小孔的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．则关于的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出函数表达式即可； 【详解】（1）解：由题意设：， 把，代入，得． ∴y关于x的函数表达式为； 故答案为：． 【点睛】此题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【考点7】 反比例函数的实际应用★★ 1．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ） A．水温从加热到，需要4min B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．在一个加热周期内水温不低于的时间为 D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，熟练掌握待定系数法确定函数解析式、灵活运用所学知识解决问题是解题的关键．根据题意和图象，先求得函数的解析式，进而反比例函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵开机加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，所需时间为：，故A选项说法正确，不合题意； B、由题可得，在反比例函数图象上， 设反比例函数解析式为， 代入点可得，， ∴水温下降过程中，y与x的函数关系式是，故B选项说法正确，不合题意； C、当水温升至时，用时， 当水温降至时，，解得：， ∴在一个加热周期内水温不低于的时间为，故C选项说法错误，符合题意； D、在中，令，则， 即：每20分钟，饮水机重新加热， ∴上午10点接通电源，当天时饮水机是第二次加热， 把代入，得：， 即：时的水温为，不低于，故D选项说法正确，不合题意； 故选：C． 2．电学知识告诉我们：用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）及用电器的电阻R（单位∶Ω）有如下关系： ．现有一个电阻可调节的用电器，其范围为．已知电压为，这个用电器的电路图如图所示．    (1)写出功率P关于电阻R的函数关系式． (2)这个用电器功率的范围是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入中，即可得P与 R的函数关系式为； （2）根据R的范围，将R的最小值和最大值分别代入中，即可求出P的最大值和最小值，由此可得P的范围． 本题主要考查了反比例函数的定义和性质，利用反比例函数解决实际问题．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解∶根据电学知识，当时，由得． （2）解：将电阻的最小值代入， 得 ． 将电阻的最大值代入， 得． 所以用电器功率的范围是． 3．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高y（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：）的反比例函数，当时，，请你解答下列问题． (1)求y关于x的函数表达式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 【答案】(1) (2)小孔到蜡烛的距离为 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．熟练掌握反比例函数的图象和性质，待定系数法求解析式，是解决问题的关键． （1）设．把，代入，求得k的值，即得； （2）把代入，求得x值即可． 【详解】（1）根据题意，设． 把，代入， 得， ∴y关于x的函数表达式为． （2）把代入， 得． 故小孔到蜡烛的距离为． 4．小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？ 【答案】(1) (2) (3)饮水机内水温约为，共有6次达到 【分析】本题考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可得出答案； （2）先求出反比例函数解析式进而得出的值即可得出答案； （3）先求出总时间，再利用每40分钟图象重复出现一次，即可得出答案． 【详解】（1）解：由图象可知，当时是一次函数， 设将代入得： ， 解得， ∴水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为：； （2）在水温下降过程中，设水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式为， 依据题意得：，解得， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， 解得：； （3）由（2），结合图象，可知每分钟图象重复出现一次， 经历时间为分钟， ， ∴当时，， 答：饮水机内水温约为，共有6次达到． 5．心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示． (1)开始学习后第5分钟时与第40分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (2)某校博雅课堂学习大致可分为三个环节：即“自学自测展素养，研学随练展收获，检学综练展成效”．其中重点环节“研学随练展收获”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由． 【答案】(1)第40分钟时更集中 (2)合理，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，此题属于分段函数，根据实际情况，结合图象，求出相对应的函数解析式，计算出数值，代入相应的函数解析式解决问题． （1）从图象上看，表示的函数为一次函数，是平行于轴的线段，为双曲线的一部分，设出解析式，代入数值可以解答，把自变量的值代入相对应的函数解析式，求出对应的函数值比较得出； （2）求出相对应的自变量的值，代入相对应的函数解析式，求出注意力指标数与40相比较，得出答案． 【详解】（1）解：设，把，代入函数解析式解得，， 由图象直接得到， 设，把代入函数解析式解得； 把代入，得， 把代入，得， 因为， 所以第40分钟时学生的注意力更集中； （2）解：由题意知，注意力指数不低于40 即当在， 同时 即 即当开始上课分钟直至上课37.5分钟时学生的注意力指数均不小于40． 而， 该学习设计合理． 【考点8】反比例函数与一次函数的交点问题★★ 1．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合：一次函数与反比例函数的交点问题，结合图象信息得点A的横坐标为2，因为正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，故点B的横坐标为，即可作答． 【详解】解：∵点A的横坐标为2，且正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点， ∴点B的横坐标为， 则当时，x的取值范围是或， 故选：B 2．如图，直线 与双曲线 交于，两点，则不等式 的解为 （   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，找出一次函数图象位于反比例函数图象下方时的范围，根据交点的横坐标结合图象得出答案即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：直线关于原点对称的直线的解析式为即， ∵直线与双曲线交于，两点， ∴直线与双曲线交于点，两点， 观察图象可知， 当或时，直线在反比例函数图象的下方， ∴不等式的解为是或， 故选：． 3．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（a、b是常数，且）与反比例函数（c是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题．一次函数落在与反比例函数图象下方的部分对应的自变量的取值范围即为所求． 【详解】解：∵一次函数(k，b是常数，且) 与反比例函数 (c是常数，且) 的图象相交于，两点， ∴不等式的解集是或． 故选：C． 4．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于的不等式的解集是（    ）    A． 或B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】将代入，得，，解得，则，将代入得，，解得，即，根据不等式的解集是一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：将代入，得，，解得， ∴， 将代入得，，解得， ∴， 由图象知，不等式的解集是或， 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数解析式，图象法解不等式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 5．如图，直线与反比例函数相交于点A(－1，m)，B(5，n)．则不等式的解是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】不等式的解集的含义为坐标系中反比例函数图象在一次函数图象上方时x的取值范围，据此即可作答． 【详解】∵一次函数与反比例函数交于A(-1,m)、B(5,n)两点， 又∵不等式的含义是坐标系中反比例函数图象在一次函数图象上方时x的取值范围， ∴根据函数图象可得不等式的解集为：或者， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，理解不等式的解集的含义为坐标系中反比例函数图象在一次函数图象上方时x的取值范围是解答本题的关键． 6．若点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A． B．15 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入反比例函数关系式是解决问题的基本方法．把点代入反比例函数，计算即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， 故选：C． 【考点9】反比例函数与一次函数的综合★★★ 1．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点 (1)求这两个函数的关系式； (2)观察图象，直接写出不等式的解； (3)若有一点C与点A关于x轴对称，求的面积． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数、反比例函数解析式，轴对称的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象即可得解； （3）由轴对称的性质可得，从而可得，再由三角形面积公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵反比例函数图象过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 将代入反比例函数解析式可得：， ∴， ∴， 将，代入一次函数解析式可得：， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：由图象可得：出不等式的解为或； （3）解：∵点C与点A关于x轴对称， ∴， ∴， ∴． 2．如图，已知直线与反比例函数的图像在第一象限交于点．若，直线与轴的夹角为． (1)求点的坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)若点是y轴上的一点，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)反比例函数解析式为 (3)点P的坐标为或 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求解析式，直角三角形的性质，反比例函数的性质，熟练运用这些性质解决问题是本题的关键． （1）过点A作轴于E，由直角三角形的性质可求 ，即可求解； （2）利用待定系数法可求解； （3）分两种情况讨论，利用直角三角形的性质可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点A作轴于E， ∵， ∴， ∴，， ∴点； （2）解：∵反比例函数的图象过点A， ∴， ∴反比例函数解析式为； （3）解：如图， 当点在y轴上时，且， 又∵， ∴，， ∴点； 当点在y轴上，且， 又∵， ∴，， ∴， ∴点； 综上所述：点P的坐标为或． 3．如图，在直角坐标平面内，一个正比例函数的图像与反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作轴，垂足为点B，． (1)求正比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)存在，点的坐标为或； (3)或或或 【分析】（1）反比例函数经过点，将代入，得，可得，再将点A代入正比例函数的解析式为，即可得出答案； （2）设点的坐标为，则，，，根据勾股定理求得，根据的面积求出，再由即可列出方程，求解即可； （3）由，分，，三种情形，分别得出答案． 【详解】（1）解：， 点A的纵坐标为3， 反比例函数经过点， 当时，， ∴， ， ∵正比例函数经过点， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式为：； （2）解：轴于点，设点的坐标为， ∵，， ∴，，， ∴在中，， 过点作于，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点到直线的距离等于它到点的距离，即， ∴， ∴或， 综上所述，满足要求的点的坐标为或； （3）解：分三种情况讨论： ①当时， ∵， ∴或； ②当时， ∵， ∴， ∴； ③当时，设， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得， ∴． 综上所述：或或或． 【点睛】本题主要考查反比例函数与正比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，等腰三角形的性质，勾股定理，运用分类讨论思想是解题的关键． 一、单选题 1．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（   ） A．其图像分别位于第二、四象限 B．其图像关于原点对称 C．其图像经过点 D．若点都在图像上，且，则 【答案】D 【分析】本题考查的是反比例函数的性质；根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可 ． 【详解】解：A、反比例函数中，， 此函数的图象在二、 四象限， 故本选项说法正确，不合题意； B、反比例函数的图像是关于原点的中心对称，故本选项说法正确，不合题意； C、∵， 图象必经过点，故本选项说法正确，不合题意；   D、反比例函数中，， 此函数的图象在每一象限内随的增大而增大， ∴当，在同一象限时则，在不同象限时则， 故本选项错误，符合题意； 故选：D． 2．如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流与电阻之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（　　） A． B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象与应用，解题的关键是理解题意，掌握反比例函数的性质． 设电流与电阻之间的函数关系为，求出电流与电阻之间的函数关系为，进而逐项求解判断即可． 【详解】解：由图象可知，电流与电阻之间满足反比例函数关系， 设电流与电阻之间的函数关系为， ∵点在函数的图象上， ∴， 解得：， ∴电流与电阻之间的函数关系为，故A选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴， 由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小， ∴当时，，故B选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴，故C选项错误，不符合题意； 当时，则， ∴， 由函数图象可知，该函数在第一象限内y随x的增大而减小， ∴当时，，故D选项正确，符合题意． 故选：D． 3．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．无法计算 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义．根据反比例函数值的几何意义得到，，然后利用代数求解即可． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ， 点在反比例函数的图象上， ， ． 故选：A． 4．某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力×动力臂=阻力×阻力臂） 动力臂（/） … … 动力（/） … … 请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力是（    ） A．150N B．90N C．75N D．60N 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．依据题意，根据表中信息可知动力臂与动力成反比关系，选择利用反比例函数来解答即可得解． 【详解】解：由表可知动力臂与动力成反比的关系， 设方程为：， 从表中取一个有序数对， 可取代入， ． ． 把代入上式， ． 故选：C． 5．如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，矩形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． 由，得，，，所以，，根据，解得，即得，进而即可求得． 【详解】解：如图所示， ，， ，， ， ， 平分矩形， ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 二、填空题 6．如图，点A在函数的图像上，点B在x轴上，且，若的面积为6，则k的值为 ．    【答案】6 【分析】过点A作，交x轴于点C，根据等腰三角形的性质得出，再设点A的坐标，根据三角形的面积求出的值，进而得出答案． 【详解】过点A作，交x轴于点C，    ∵，， ∴． 设点A的坐标为， ∴，． ∵的面积为6， ∴， ∴， 即， 所以k的值为6． 故答案为：6． 【点睛】本题主要考查了求反比例函数关系式中的系数，理解k的几何意义是解题的关键． 7．当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积满足的条件是 ． 【答案】不小于 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意可知温度不变时，气球内气体的气压是气体体积的反比例函数，且过点故；故当时，可判断应满足的条件． 【详解】解：设球内气体的气压和气体体积的关系式为， ∵图象过点， ∴， ∴， 由已知得图象在第一象限内， ∴随的增大而减小， ∴当时，， ∵当气球内的气压时，气球将爆炸， ∴为了安全起见即，气球内气体体积满足的条件是，即不小于． 故答案为：不小于． 8．如图，已知正比例函数的图象与双曲线的图象交于、两点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数与正比例的交点坐标，先求出点坐标，再根据两点关于原点对称即可求出点坐标，掌握反比例函数与正比例的交点关系是解题的关键． 【详解】解：∵双曲线的图象过点， ∴， ∴， ∵点是反比例函数与正比例函数图象的交点， ∴两点关于原点对称， ∴． 故答案为： 9．已知点都在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．根据反比例函数图象上得到坐标特征解答即可． 【详解】解：，， 反比例函数在各个象限内，随的增大而增大， 点、在同在第四象限，，即． 故答案为：． 10．如图，若反比例函数与一次函数交于A、B两点，当时，x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，写出在x轴的上方，且一次函数的图象不在反比例函数的图象下方的自变量的取值范围即可． 【详解】解：观察图象可知，当时，x的取值范围是． 故答案为：． 11．如图是反比例函数，在轴上方的图像，平行四边形的面积是5，若点在轴上，点在的图像上，点在的图像上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例数的的几何意义，平行四边形的性质，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形，平行四边形的面积是5，点在的图像上，点在的图像上， ∴ ∴ 故答案为：． 12．点是反比例函数（）的图象上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若点在反比例函数的图象上，则 ．    【答案】 【分析】设，过作轴于，过A作轴于，得到，，根据全等三角形的性质得到，，再利用点在第二象限于是得到结论. 【详解】解：设，点是反比例函数（）图象上的一个点， ，，， 将线段绕点逆时针旋转得到线段， . 过作轴于，过A作轴于，   . ，， ， . 在与中 ， ，. 点在第二象限， ∴, ， 故答案为：. 【点睛】本题考查了坐标与图形变化一旋转，反比例函数图形上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键. 三、解答题 13．综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？ 如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘（点P）可以在横梁段滑动（点P不与B，C重合）．已知，，砝码的质量为．根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码质量右盘物体质量（不计托盘与横梁质量）． (1)设右侧托盘中放置物体的质量为，的长为，求y关于x的函数表达式． (2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘的点P由点C向点B滑动，向空瓶中加入的水后，发现点P移动到的长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的质量． 【答案】(1) (2)这个空矿泉水瓶的质量为 【分析】本题考查反比例函数的应用．根据杠杆平衡的条件找到相等关系并合理使用是解决本题的关键． （1）根据左盘砝码重量右盘物体重量，把相关数值代入后整理可得y与x的关系式； （2）设空瓶的质量为，加水后的质量均为，根据左盘砝码重量右盘物体重量列出一元一次方程求解即可得到空瓶的质量． 【详解】（1）解：∵左盘砝码重量右盘物体重量，右侧托盘中放置物体的质量为，的长为，砝码的质量是，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵点P可以在横梁段滑动， ∴． 即． 答：y关于x的函数表达式为：； （2）解：设空矿泉水瓶的质量为mg． 根据题意，得， 解得． 这个空矿泉水瓶的质量为． 14．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 【答案】(1)一次函数的解析式是，反比例函数的解析式是 (2) (3)8 【分析】（1）把A的坐标代入反比例函数解析式即可求得的值，进而可得反比例函数解析式，然后把代入即可求得m的值，然后利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）数形结合求解即可； （3）求出点C的坐标，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得，， ∴反比例函数解析式为， 将代入得，，即， 将，代入得，， 解得，， ∴一次函数解析式为； （2）解：由题意知，的解集为一次函数图象在反比例函数图象上方所对应的的取值范围， ∴由图象得：的解集为； （3）解：当时，，即， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，反比例函数解析式，一次函数解析式，直线与坐标轴的交点，数形结合求不等式的解集等知识，熟练掌握反比例函数与一次函数的综合，数形结合求不等式的解集是解题的关键． 15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求此反比例函数的表达式： (2)在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． (3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点；使是以为底的等腰直角三角形?若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点使是以为底的等腰直角三角形，点坐标为或，理由见详解 【分析】（1）把，两点代入一次函数，运用求自变量，函数值的方法即可得到的坐标，再运用待定系数法即可求解反比例函数解析式； （2）如图所示，作点关于轴的对称点，可得，此时的值最小，运用两点之间的距离公式即可求解； （3）根据等腰直角三角形的判定和性质，图形结合分析，分类讨论：当点在点的右侧时；当点在点的左侧时；运用三角形全等的判定和性质列式求解即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴把，两点代入一次函数得，，， ∴，即，， 把代入反比例函数得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； （2）解：如图所示，作点关于轴的对称点， ∴， ∴，此时的值最小， ∴，且， ∴， ∴的最小值为； （3）解：存在，理由如下， 设点，，且， 当点在点的右侧时，如图所示，过点作轴于点，过点作轴交的延长线于点， ∵是以为底的等腰直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， 解得，， ∴； 当点在点的左侧时，如图所示， 同理可得，，则，且，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，存在点使是以为底的等腰直角三角形，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，轴对称最短路径的计算方法，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点之间的距离公式等知识的综合是解题的关键． 16．公元前3世纪，古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”．杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．几位同学玩撬石头的游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和． (1)设动力臂为，动力为，求出与的函数表达式； (2)若小明使用的力量，他该选择动力臂为多少米的撬棍正好能撬动这块大石头？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数是解题的关键． （1）根据动力动力臂阻力阻力臂，可得出与l的 数关系式； （2）将代入可求出即可． 【详解】（1）解：，则； （2）解：当时，，则． 17．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)点A的注意力指标数是_________； (2)当时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式； (3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的实际应用，掌握待定系数法是解题关键． （1）设的解析式为：，将代入即可求解； （2）当时，设的解析式为，代入两点的坐标即可求解； （3）分别求解当时，；当时，；即可判断； 【详解】（1）解：设的解析式为：， 由得， ∴， 由图可知：点A的注意力指标数是． （2）解：当时，设的解析式为， ∴， ∴． ∴． （3）解：张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 理由：当时，，解得； 当时，反比例函数解析为， 当时，，解得． ∴当时，注意力指标数都不低于． 而， ∴张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于． 18．如图，在平面直角坐标系中，，是矩形的两个顶点，双曲线经过的中点，点是矩形与双曲线的另一个交点． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)动点在第一象限内，且满足； 若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标； 若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点的坐标． 【答案】(1)，； (2) ； 或或或． 【分析】（）根据矩形的性质得点的坐标，再利用中点坐标公式得点的坐标，从而得出的值，再将代入求出点坐标； （）首先根据求出的面积，再根据 ，得出点的横坐标，从而得出答案； 由知，点在直线上，设直线交轴于，分 ，，三种情形，分别利用菱形的性质可得答案． 【详解】（1）∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：，； （2）由题意知，， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴的坐标为； 由知，点在直线上，设直线交轴于，    当时，若点在第一象限， ∴， ∴， 当点在第四象限时，不符合题意，舍去， 当时，    同理得，，， 当时，点， 则点与关于对称， ∴，    综上，所有点的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征，菱形的性质，三角形的面积等知识，明确点在直线上运动是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 反比例函数 【考点1】反比例函数的定义 ★ 【考点2】反比例函数系数K的几何意义★★ 【考点3】反比例函数的图像★★ 【考点4】 反比例函数图像的对称性★★ 【考点5】反比例函数的性质★★ 【考点6】待定系数法求反比例函数解析式★★ 【考点7】 反比例函数的实际应用★★ 【考点8】反比例函数与一次函数的交点问题★★ 【考点9】反比例函数与一次函数的综合★★★ 知识点1: 反比例函数的概念 （1）定义：形如y＝(k≠0)的函数称为反比例函数，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数． （2）形式：反比例函数有以下三种基本形式： ①y＝；②y=kx-1; ③xy=k.(其中k为常数，且k≠0) 知识点2: 反比例函数的图象和性质 知识点3: 反比例函数图像特征 （1）由两条曲线组成，叫做双曲线； （2）图象的两个分支都无限接近x轴和y轴，但都不会与x轴和y轴相交； （3）图象是中心对称图形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线． 知识点4: 反比例函数中系数k的几何意义 （1）意义：从反比例函数y＝(k≠0)图象上任意一点向x轴和y轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为|k|,以该点、一个垂足和原点为顶点的三角形的面积为|k|. （2）常见的面积类型： 知识点5: 反比例函数与一次函数的综合 （1）确定交点坐标：【方法一】已知一个交点坐标为（a,b），则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（-a,-b）. 【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解. （3）在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k＞0和k＜0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除. （4）比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围. 知识点6: 反比例函数的实际应用 （1题意找出自变量与因变量之间的乘积关系； （2设出函数表达式； （3）依题意求解函数表达式； （4）根据反比例函数的表达式或性质解决相关问题. 【考点1】反比例函数的定义 ★ 1．下列函数是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．下列函数中，变量y是x的反比例函数的是（　　） A． B． C． D． 3．反比例函数的图象一定经过的点是（    ） A． B． C． D． 4．当时，反比例函数 的函数值为（   ） A． B． C． D． 5．若函数是反比例函数，则的值为 ． 【考点2】反比例函数系数K的几何意义★★ 1．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作平行四边形，使B、C在x轴上，点D在y轴上，则平行四边形的面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．如图所示，过轴正半轴上的任意一点作轴的平行线，分别与反比例函数和的图象交于点和点若点是轴上任意一点，连接，，则的面积为 ． 3．反比例函数的图像如图所示，若的面积是2，则k的值为 ． 4．如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接，．若的面积为4，则k的值是 ． 5．如图，点A在双曲线上，点B在双曲线上，且轴，过点A、B分别向x轴作垂线，垂足分别为点D、C，那么四边形的面积是 ． 【考点3】反比例函数的图像★★ 1．一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A．B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的一支曲线是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 3．如果，那么函数与在同一坐标系中的图象是（    ） A．  B．  C．   D．   4．一次函数y=kx－k 与反比例函数y=在同一直角坐标系内的图像大致为（    ） A．B．C． D． 5．请你根据以前学习函数的经验，研究函数的图象和性质并解决相关问题． (1)由数想形：该函数图象关于________对称；与坐标轴的交点为________； (2)描点画图： ①列表：下表是与的几组对应值，其中________；________； … 0 1 2 4 5 6 7 … … 2 3 6 6 3 2 … ②描点：根据表中各组对应值，在平直角坐标系中描出各点； ③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请你把图象补充完整． (3)观察你所画的函数图象，解答下列问题：若点，为该函数图象上不同的两点，则________； (4)直接写出当时，的取值范围为________． 【考点4】 反比例函数图像的对称性★★ 1．若一次函数的图像与反比例函数的图像的一个交点的横坐标为2，则另一个交点的坐标为（　　） A． B． C． D． 2．如图，双曲线与直线相交于A、两点，点坐标为，则A点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知直线与双曲线的一个交点坐标为（－1，3），则它们的另一个交点坐标是（    ） A．（1，3） B．（3，1） C．（1，－3） D．（－1，3） 4．反比例函数与正比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为 ． 5．如图，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝图象相交于A、B两点，若点A的坐标是（3，2），则点B的坐标是 ． 【考点5】反比例函数的性质★★ 1．已知点都在反比例函数的图像上，则之间的大小关系为（   ） A． B． C． D． 2．下列关于反比例函数的说法中，错误的是（    ） A．点在函数图象上 B．函数图象位于第二、四象限 C．当时， D．函数值y随x的增大而增大 3．在下列函数中，函数值y随自变量x的增大而减小的是（  ） A． B． C． D． 4．若点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【考点6】待定系数法求反比例函数解析式★★ 1．如果反比例函数的图像经过点，那么 ． 2．反比例函数的图象经过点，则反比例函数的表达式是 ． 3．若点关于原点的对称点在反比例函数的图象上，则该反比例函数的解析式为 ． 4．如图，根据小孔成像的原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰高度）不变时，火焰的像高（单位：）是物距（蜡烛到小孔的距离）（单位：）的反比例函数，当时，．则关于的函数表达式是 ． 【考点7】 反比例函数的实际应用★★ 1．如图所示为某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温与通电时间成反比例关系．当水温降至时，饮水机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法中错误的是（   ） A．水温从加热到，需要4min B．水温下降过程中，与的函数关系式是 C．在一个加热周期内水温不低于的时间为 D．上午10点接通电源，可以保证当天能喝到不低于的水 2．电学知识告诉我们：用电器的功率P（单位：W）、两端的电压U（单位：V）及用电器的电阻R（单位∶Ω）有如下关系： ．现有一个电阻可调节的用电器，其范围为．已知电压为，这个用电器的电路图如图所示．    (1)写出功率P关于电阻R的函数关系式． (2)这个用电器功率的范围是多少？ 3．如图，根据小孔成像的科学原理，当像距（小孔到像的距离）和物高（蜡烛火焰的高度）不变时，火焰的像高y（单位：）是关于物距（小孔到蜡烛的距离）x（单位：）的反比例函数，当时，，请你解答下列问题． (1)求y关于x的函数表达式． (2)若火焰的像高为，求小孔到蜡烛的距离． 4．小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热，此过程中水温y（）与开机时间x（分）满足一次函数关系，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降，此过程中水温y（）与开机时间x（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)当时，求水温y（）与开机时间x（分）的函数关系式； (2)求图中t的值； (3)有一天，小明在上午（水温），开机通电后去上学，中午放学回到家时间刚好，请问此时饮水机内水的温度约为多少？并求：在这段时间里，水温共有几次达到？ 5．心理学研究发现，一般情况下，在一节45分钟的课中，学生的注意力随学习时间的变化而变化．开始学习时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指标数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示． (1)开始学习后第5分钟时与第40分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ (2)某校博雅课堂学习大致可分为三个环节：即“自学自测展素养，研学随练展收获，检学综练展成效”．其中重点环节“研学随练展收获”这一过程一般需要30分钟才能完成，为了确保效果，要求学习时的注意力指标数不低于40，请问这样的课堂学习安排是否合理？并说明理由． 【考点8】反比例函数与一次函数的交点问题★★ 1．如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当时，x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 2．如图，直线 与双曲线 交于，两点，则不等式 的解为 （   ） A． B． C．或 D．或 3．如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数（a、b是常数，且）与反比例函数（c是常数，且）的图象相交于，两点，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C．或 D． 4．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于的不等式的解集是（    ）    A． 或B．或 C．或 D．或 5．如图，直线与反比例函数相交于点A(－1，m)，B(5，n)．则不等式的解是（    ） A． B．或 C． D．或 6．若点在反比例函数的图象上，则的值为（    ） A． B．15 C． D． 【考点9】反比例函数与一次函数的综合★★★ 1．如图，反比例函数与一次函数的图象交于点，点 (1)求这两个函数的关系式； (2)观察图象，直接写出不等式的解； (3)若有一点C与点A关于x轴对称，求的面积． 2．如图，已知直线与反比例函数的图像在第一象限交于点．若，直线与轴的夹角为． (1)求点的坐标； (2)求反比例函数的解析式； (3)若点是y轴上的一点，当是直角三角形时，直接写出点的坐标． 3．如图，在直角坐标平面内，一个正比例函数的图像与反比例函数图像在第一象限内的交点为点A，过点A作轴，垂足为点B，． (1)求正比例函数的解析式； (2)在直线上是否存在点C，使点C到直线的距离等于它到点B的距离？若存在，求点C的坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点P在直线上，如果是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 一、单选题 1．已知反比例函数，下列结论中不正确的是（   ） A．其图像分别位于第二、四象限 B．其图像关于原点对称 C．其图像经过点 D．若点都在图像上，且，则 2．如图1是一盏亮度可调节的台灯，通过调节总电阻R来控制电流I实现灯光亮度的变化．电流与电阻之间的函数关系如图2所示．下列结论正确的是（　　） A． B．当时， C．当时， D．当时， 3．如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象分别是和，设点P在上，轴于点A，交于点B，则的面积为（   ） A．1 B．2 C．4 D．无法计算 4．某杠杆装置如图，杆的一端吊起一桶水，阻力臂保持不变，在使杠杆平衡的情况下，小明通过改变动力臂L，测量出相应的动力F数据如表：（动力×动力臂=阻力×阻力臂） 动力臂（/） … … 动力（/） … … 请根据表中数据规律探求，当动力臂L长度为2.0m时，所需动力是（    ） A．150N B．90N C．75N D．60N 5．如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作x轴，y轴的垂线，与y轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，，，其中，若，则（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、填空题 6．如图，点A在函数的图像上，点B在x轴上，且，若的面积为6，则k的值为 ．    7．当温度不变时，某气球内的气压与气体体积成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积满足的条件是 ． 8．如图，已知正比例函数的图象与双曲线的图象交于、两点，则点的坐标为 ． 9．已知点都在反比例函数的图象上，且，则m的取值范围为 ． 10．如图，若反比例函数与一次函数交于A、B两点，当时，x的取值范围是 ． 11．如图是反比例函数，在轴上方的图像，平行四边形的面积是5，若点在轴上，点在的图像上，点在的图像上，则的值为 ． 12．点是反比例函数（）的图象上一点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，若点在反比例函数的图象上，则 ．    三、解答题 13．综合与实践：如何称量一个空矿泉水瓶的质量？ 如图是一架自制天平，支点O固定不变，左侧托盘固定在点A处，右侧托盘（点P）可以在横梁段滑动（点P不与B，C重合）．已知，，砝码的质量为．根据杠杆原理，平衡时：左盘砝码质量右盘物体质量（不计托盘与横梁质量）． (1)设右侧托盘中放置物体的质量为，的长为，求y关于x的函数表达式． (2)由于一个空的矿泉水瓶太轻无法称量，小组进行如下操作：左侧托盘放置砝码，右侧托盘的点P由点C向点B滑动，向空瓶中加入的水后，发现点P移动到的长为时，天平平衡．求这个空矿泉水瓶的质量． 14．如图，一次函数与反比例函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象直接写出时，的取值范围； (3)求的面积． 15．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求此反比例函数的表达式： (2)在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． (3)为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点；使是以为底的等腰直角三角形?若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 16．公元前3世纪，古希腊学者阿基米德发现了著名的“杠杆原理”．杠杆平衡时，阻力阻力臂动力动力臂．几位同学玩撬石头的游戏，已知阻力（石头重量）和阻力臂分别为和． (1)设动力臂为，动力为，求出与的函数表达式； (2)若小明使用的力量，他该选择动力臂为多少米的撬棍正好能撬动这块大石头？ 17．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标数y随时间x（分）变化的函数图象如图所示．当和时，图象是线段：当时，图象是双曲线的一部分，根据函数图象回答下列问题： (1)点A的注意力指标数是_________； (2)当时，求注意力指标数y随时间x（分）的函数解析式； (3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标数都不低于？请说明理由． 18．如图，在平面直角坐标系中，，是矩形的两个顶点，双曲线经过的中点，点是矩形与双曲线的另一个交点． (1)点的坐标为 ，点的坐标为 ； (2)动点在第一象限内，且满足； 若点在这个反比例函数的图象上，求点的坐标； 若点是平面内一点，使得以为顶点的四边形是菱形，请你直接写出满足条件的所有点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$