精品解析：安徽省合肥市第八中学2025届高三下学期名校名师模拟卷（九）数学试题

2025届名校名师模拟卷（九） 数学 考生注意： 1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求对数函数的定义域、解一元二次不等式得到集合，再由集合的交运算求结果. 【详解】集合，故． 故选：B 2. 已知复数，其中虚数单位，则（ ） A B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的除法运算及共轭复数、复数模的定义求解. 【详解】因为， 所以． 故选：C． 3. 已知是三条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】指出结论不成立的情况，可判断ABC；根据线面平行的判定定理可判断D. 【详解】对于A，若，则两平面可能相交，A不正确； 对于B，若，因为直线不一定相交，根据面面平行的判定定理知两平面平行不一定成立，B不正确； 对于C，若，则与有可能相交，C不正确； 对于D，若，由线面平行的判定定理可知，D正确． 故选：D． 4. 如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，从而得到，结合已知有，应用三角形面积公式得，最后由向量数量积的运算律、基本不等式求向量模长的最值. 【详解】设，则， 所以，解得， ，则， ，当且仅当时，等号成立， 的最小值为． 故选：C 5. 设事件为两个随机事件，已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式及对立事件概率公式计算求解即可. 【详解】， 因， 故． 故选:A． 6. 已知为锐角，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系结合角的范围求出，再由角的变换及两角和的正余弦公式求解即可. 【详解】已知为锐角，， 根据，可算出， 因为为锐角，且， 又， ， ， 所以． 故选：C． 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为．若的角平分线交轴于点，且，则双曲线的离心率的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线的方程解出，再由角平分线定理得到，然后用表示此式，得到离心率的齐次式化简可得. 【详解】 设双曲线的左、右焦点分别为，其中， 双曲线的一条渐近线方程为（即）， 点到渐近线的距离为， 由于垂直渐近线，所以的方程为,即 联立渐近线方程和的方程，,解得， 由角平分线定理知，即， 代入和的距离公式：， 两边平方后化简：， 代入,整理得, 即, 解得, 所以 故选：D． 8. 已知，则大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，由导数得出单调性即可得出，构造，由导数得出单调性，即可得出． 【详解】构造函数， 当时，，故在上单调递增， 所以， 构造函数， 则， 当在单调递增， 所以，即， 所以. 故选：B． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象求出函数解析式判断D，由解析式及诱导公式，利用奇偶性的定义判断AB，再由诱导公式及余弦函数的单调性判断C. 【详解】由函数的部分图象可得， 可得，又函数图象过点，可得，解得， 令，可得，所以，故D正确； 由是奇函数，故A正确； 由是偶函数，故B正确； 由， 所以， 因为函数，在上单调递减， 所以，所以，故C错误． 故选：ABD 10. 对于给定数列，如果存在常数使得对于任意都成立，我们称数列是“数列”．下列说法正确的有（ ） A. 若，则数列是“数列” B. 若，则数列是“数列” C. 若数列是“数列”，则数列是“数列” D. 若数列满足为常数，则数列前2024项的和为 【答案】AC 【解析】 【分析】由“数列”的定义代入计算，即可判断ABC，由分组求和以及等比数列的求和公式代入计算，即可判断D. 【详解】对于A，因为，所以， 由“数列”的定义知，数列是“数列”，故A正确； 对于B，因为，所以， 所以数列是“数列”，故B错误； 对于C，因为数列“”，所以存在常数使得对于任意都成立， 显然对于任意都成立， 所以对于任意都成立， 数列是“数列”，故C正确； 对于D，因为， 所以， 所以数列前2024项的和为 ，故D错误． 故选：AC． 11. 切比雪夫不等式表明：对任意正实数，有．现有随机变量，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 若，则取最大值时 D. 若要求以不低于的概率保证，则的最小整数值为200 【答案】BC 【解析】 【分析】由二项分布概率计算公式、期望、方差的计算公式逐个判断即可. 【详解】对于A：当时， ， ， 求和得，故A错误； 对于B：，故B正确； 对于C：， 即， 由，解得：， 故时概率最大，故C正确； 对于D：要求，即，取，方差， 代入不等式：，故D错误． 故选：BC 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数为49，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】先求出展开式的通项公式，再根据通项公式求出展开式中的系数，进而求得的值. 【详解】因为的二项展开式为， 令，可得； 令，可得； 可得， 所以，解得：． 故答案为：2． 13. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】分和讨论，当时，分的取值化简，利用奇偶性画出函数图象，数形结合解不等式可得. 【详解】时，显然符合； 时， 当时，， 当时，， 当时，． 画出其图象，由于函数是定义在上的奇函数，即可画出时的图象，与时的图象关于原点对称． ，由图象可知．解得， 实数的取值范围为． 故答案为：． 14. 已知球的表面积为，正四面体的顶点均在球的表面上，球心为的外心，棱与球面交于点．若平面平面，平面平面且与之间的距离为同一定值，棱，分别与交于点，，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】结合球的表面积公式，根据正三角形外接圆的性质求得边长，利用三点共线及数量积的运算律求得，然后利用平行平面的性质求得，再利用余弦定理求得，即可求解的周长. 【详解】设与之间的距离为，球的半径为， 则由题意得，解得，所以， 所以，所以， 由三点共线，故存在实数，使得， 所以， 所以，即，解得（舍）， 所以，所以，所以， 又且与之间的距离为同一定值， 则，所以， 所以， 易得，又， 为正三角形，，所以的周长为． 故答案为：． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 高考临近，合肥一六八中学全体老师对高三的一部分学生进行了针对性的辅导．年级为了解辅导与成绩进步明显有无关系，对高三（1）班的50名同学进行了问卷调查，得到如下表数据： 成绩进步明显 成绩进步不明显 合计 辅导 25 5 没有辅导 15 合计 50 （1）是否有99.9%的把握认为成绩进步明显与老师对学生针对性辅导有关？ （2）现从高三（1）班成绩进步明显的学生中任选3人，记选出的3人中被老师针对性辅导的人数记为，求的分布列及期望． 临界值表： 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 参考公式： ，其中． 【答案】（1）有99.9%的把握认为成绩进步明显与老师对学生针对性辅导有关，零假设：成绩进步明显与老师对学生的针对性辅导无关． ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即有的把握认为成绩进步明显与老师对学生针对性辅导有关； （2） 0 1 2 3 ， 【解析】 【分析】（1）完善列联表，零假设：成绩进步明显与老师对学生的针对性辅导无关．计算出卡方，与10.828比较后推断不成立，得到结论； （2）求出的可能取值和对应的概率，得到分布列，利用期望公式求出答案. 【小问1详解】 列联表如下： 成绩进步明显 成绩进步不明显 合计 辅导 25 5 30 没有辅导 5 15 20 合计 30 20 50 零假设：成绩进步明显与老师对学生的针对性辅导无关． ， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即有的把握认为成绩进步明显与老师对学生针对性辅导有关； 【小问2详解】 随机变量的取值：0，1，2，3． ． 0 1 2 3 ． 16. 已知函数． （1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，求证：对恒成立． 【答案】（1） （2）设， 所以函数在区间单调递减， ， 所以， 设， 令 ， 令 ， 当，，，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在上为增函数， 在上为增函数， ，所以命题得证． 【解析】 【分析】（1）由，构造，求导，确定最值即可求解； （2）由，得到，构造函数，通过三次求导确定其单调性，即可求证. 【小问1详解】 由题知， 设， 令，则，所以在上单调递增， 所以，故，所以在上单调递增， 所以； 【小问2详解】 略 17. 记的内角的对边分别为．已知，点在边上，． （1）证明：； （2）若，求． 【答案】（1）在中，①， ②， 联立①②得，即， ，． （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及已知条件即可证明； （2）根据平面向量线性运算，数量积运算律及余弦定理得出或，再根据余弦定理分别求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 若，则， 又， ， 化简得：，又，即或， 若时，， 则， 若，则（舍）． 综上：． 【点睛】 18. 设双曲线的右顶点为，其焦距为． （1）求双曲线的方程； （2）过点作斜率为的直线与双曲线右支相交于两个不同点，其中点在轴上方，连接分别交直线于两点，求证：为定值． 【答案】（1） （2）证明如下： 如图所示： 设过点的直线的方程为：， 联立双曲线方程：， 化简得：， 因直线与双曲线右支相交于两个不同点， 连接分别交直线于两点， 所以，设， 则， 当时，因为三点共线， 所以，则， 同理，， ， 其中， ， 将， 代入得： ， 又， 将， 代入得：， ， 所以为定值1． 【解析】 【分析】（1）根据右顶点为，得到，再由焦距为得到求解； （2）设过点的直线的方程为：，与双曲线方程联立，由三点共线，得到，从而，同理，代入韦达定理求解； 【小问1详解】 由右顶点为，得， 其焦距为得，所以， 所以双曲线的方程为：； 【小问2详解】 略 19. 在中，为的中点，，将沿翻折至，此时． （1）证明：平面平面； （2）求三棱锥外接球的表面积； （3）若为空间中的点，且满足，当四面体的体积最大时，求平面与平面夹角的正切值． 【答案】（1）由题意，知为的中点，，所以为等腰三角形， 又，所以，过点作于点， 连接，则，又， 所以，又平面SAB，， 所以平面， 又平面，所以平面平面； （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）过点作于点，连接，通过勾股定理得到，即可求证； （2）设外接圆的圆心为外接圆的圆心为，设四面体外接球的球心为，连接，取的中点，连接，由即可求解； （3）法一：建系求得平面法向量，代入夹角公式即可，法二：确定点的轨迹在所在的平面内为圆，通过平面时，四面体的体积最大，确定二面角的平面角，进而求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，知为等腰三角形，， 设外接圆的圆心为外接圆的圆心为，由（1），知平面平面， 设四面体外接球的球心为，连接， 取的中点，连接， 则，所以，又， 所以，所以； 【小问3详解】 方法一：由题意，知，所以，如图，在所在平面内建立如图所示直角坐标系， 设， 因为， 所以，所以， 化简，得， 所以点的轨迹在所在的平面内为圆， 因为点为空间中的点，所以点在以点为球心，2为半径的球面上，当平面时，四面体的体积最大， 以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 则即令，得， 所以平面的一个法向量为，易知平面的一个法向量为，设二面角的平面角为，则， 所以，所以平面与平面夹角的正切值为4． 方法二：由题意，知，所以，如图，在所在平面内建立如图所示直角坐标系， 设，因为， 所以，所以， 化简，得， 所以点的轨迹在所在的平面内为圆， 因为点为空间中的点，所以点在以点为球心，2为半径的球面上， 当平面时，四面体的体积最大， 过点作于点，过点作于点， 易得，所以， 所以二面角的补角正切值为， 所以平面与平面夹角的正切值为4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届名校名师模拟卷（九） 数学 考生注意： 1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟. 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效.考试结束后只交答题卡. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，其中虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知是三条不重合的直线，是三个不重合的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（ ） A 2 B. 4 C. D. 5. 设事件为两个随机事件，已知，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知为锐角，，则值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为．若的角平分线交轴于点，且，则双曲线的离心率的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 是奇函数 B. 是偶函数 C. D. 10. 对于给定数列，如果存在常数使得对于任意都成立，我们称数列是“数列”．下列说法正确的有（ ） A. 若，则数列是“数列” B. 若，则数列是“数列” C. 若数列是“数列”，则数列是“数列” D. 若数列满足为常数，则数列前2024项的和为 11. 切比雪夫不等式表明：对任意正实数，有．现有随机变量，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. C. 若，则取最大值时 D. 若要求以不低于的概率保证，则的最小整数值为200 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的系数为49，则的值为______． 13. 已知函数是定义在上奇函数，当时，．若，则实数的取值范围为______． 14. 已知球的表面积为，正四面体的顶点均在球的表面上，球心为的外心，棱与球面交于点．若平面平面，平面平面且与之间的距离为同一定值，棱，分别与交于点，，则的周长为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 高考临近，合肥一六八中学全体老师对高三的一部分学生进行了针对性的辅导．年级为了解辅导与成绩进步明显有无关系，对高三（1）班的50名同学进行了问卷调查，得到如下表数据： 成绩进步明显 成绩进步不明显 合计 辅导 25 5 没有辅导 15 合计 50 （1）是否有99.9%把握认为成绩进步明显与老师对学生针对性辅导有关？ （2）现从高三（1）班成绩进步明显的学生中任选3人，记选出的3人中被老师针对性辅导的人数记为，求的分布列及期望． 临界值表： 0.10 0.05 0.01 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 参考公式： ，其中． 16. 已知函数． （1）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围； （2）当时，求证：对恒成立． 17. 记的内角的对边分别为．已知，点在边上，． （1）证明：； （2）若，求． 18. 设双曲线的右顶点为，其焦距为． （1）求双曲线的方程； （2）过点作斜率为的直线与双曲线右支相交于两个不同点，其中点在轴上方，连接分别交直线于两点，求证：为定值． 19. 在中，为的中点，，将沿翻折至，此时． （1）证明：平面平面； （2）求三棱锥外接球的表面积； （3）若为空间中的点，且满足，当四面体的体积最大时，求平面与平面夹角的正切值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $