第02讲 数轴、相反数和绝对值（知识清单+6大题型+好题必刷） -【暑假预习】2025年新七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第02讲 数轴、相反数和绝对值（知识清单+6大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 用数轴上的点表示有理数 题型二 相反数的定义 题型三 绝对值的几何意义 题型四 求一个数的绝对值 题型五 数轴上两点之间的距离 题型六 化简多重符号 知识清单 知识点1．数轴 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 知识点2．相反数 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． （3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． （4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 知识点3．绝对值 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0） 知识点4．非负数的性质：绝对值 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 题型方法 【题型一】用数轴上的点表示有理数 【例1】（七年级上·安徽阜阳·阶段练习）点在数轴上表示，点离的距离是3，那么点表示的数为（   ） A． B． C．或 D．或1 【答案】C 【知识点】数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴，注意数轴上到一个点距离相等的点有两个，要考虑全面． 数轴上与 距离为3的点有两个，一个在左，一个在右，可得点表示的数． 【详解】解：， ， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）地球自西向东自转，太阳在天空中的位置看起来从东往西移动，东边的地区会更早看到太阳升起，时间更早，西边相对较晚．比如日本比中国更靠东，所以北京时间为早上时时，东京已经是早上时了．如图用数轴表示了五个国家首都的国际标准时间（单位：时），若今年春节联欢晚会将于北京时间年月日时开场，此时应是 （   ）    A．华盛顿时间年月日时 B．伦敦时间年月日时 C．巴黎时间年月日时 D．东京时间年月日时 【答案】C 【知识点】用数轴上的点表示有理数、正负数的实际应用 【分析】本题考查了数轴，根据数轴判断出各地与伦敦的时差是解题的关键，要注意一天24小时的限制．根据数轴以及一天有24小时，分别求出东京，巴黎，伦敦，华盛顿的时间，然后利用排除法求解即可． 【详解】解：A、北京时间：年月日时， 一天有24小时， 华盛顿时间年月日7时，故本选项错误； B、北京时间：年月日时， 一天有24小时， ∴伦敦时间年月28日12时，故本选项错误； C、北京时间：年月日时， 一天有24小时， ∴巴黎时间年月日时，故本选项正确； D、北京时间：年月日时， 一天有24小时， 东京时间年月28日21时，故本选项错误． 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有 个． 【答案】7 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了有理数与数轴，根据数轴找到所有被盖住的整数即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，被盖住的整数有，共7个整数， 故答案为：7． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）画出数轴并标出表示下列各数的点． 【答案】见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查在数轴上表示有理数、化简多重符号、绝对值的性质，熟练掌握用在数轴上表示有理数的方法是解题的关键．先根据化简多重符号的方法和绝对值的性质进行化简，进而在数轴上表示即可． 【详解】解：， 如图，在数轴上表示各数如下： 【题型二】相反数的定义 【例2】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）的相反数是（   ） A． B． C．0.6 D．6 【答案】D 【知识点】相反数的定义、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了相反数的定义，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可得． 【详解】解： 与6只有符号不同， 所以的相反数是6， 故选D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法正确的是（   ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．若，则a为正数 C．一定是负数 D．一个有理数不是整数就是分数 【答案】D 【知识点】相反数的定义、绝对值的几何意义、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类、绝对值的性质、相反数的定义，根据有理数的分类、绝对值的性质、相反数的定义逐项分析即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、有理数包括正有理数、负有理数和0，故原说法错误，不符合题意； B、若，则a为正数或，故原说法错误，不符合题意； C、当时，，故原说法错误，不符合题意； D、一个有理数不是整数就是分数，故原说法正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）有理数的相反数是，则 ． 【答案】/ 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义．根据相反数的定义作答即可，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【详解】解：∵有理数的相反数是， ∴， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号内： 正数集合: { }； 负数集合: { }； 整数集合: { }； 分数集合: { }； 非负整数集合：{ } 【答案】；；；； 【知识点】求一个数的绝对值、相反数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握正数，负数，非负整数，分数，整数的概念是解题关键，注意0既不是正数，也不是负数，是非负数，在有理数分类时，能化简的要化简． 根据正数，负数，非负整数，分数，整数的定义分类即可． 【详解】解：，，， ∴正数有， 负数有， 整数有， 分数有， 非负整数有， 故答案为：；；；；． 【题型三】绝对值的几何意义 【例3】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）有理数的绝对值是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了绝对值的定义，解答本题的关键熟练掌握绝对值的性质； 绝对值是指一个数在数轴上所对应点到原点的距离，用来表示；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，据此直接解答即可． 【详解】解：因为是负数，的相反数是5， 所以． 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图所示，根据有理数a，b在数轴上的位置，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义、相反数的定义、根据点在数轴的位置判断式子的正负、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了数轴，绝对值，有理数的大小比较，相反数，熟练掌握知识点是解题的关键． 由数轴得，，再依次判断各选项即可． 【详解】解：由数轴得，， ∴A、，原说法错误，不符合题意； B、错误，应为，故不符合题意； C、，原说法错误，不符合题意； D、，正确，符合题意， 故选：D． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为 ； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是 ． 【答案】 5或1 6 【知识点】绝对值方程、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要考查了绝对值的定义，数轴上两点间的距离等知识， （1）根据数轴上两点之间的距离公式计算即可； （2）分、、分别化简，结合x的取值范围确定代数式值的范围，从而求出代数式的最大值； 熟练掌握绝对值的定义是解决此题的关键． 【详解】（1）由绝对值的几何意义知：表示在数轴上x表示的点到3的距离等于2， ∴，或， ∴或1； 故答案为：5或1； （2）当时，即表求x的点在的左侧时， 当时，即表求x的点在和5之间时， ∴， 当时，即表求x的点在5的右侧时， ∴的最大值为6， 故答案为：6． 3．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求x的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则x的值为__________． (2)已知，则x的值为__________． (3)已知x是有理数，当x取不同数时，式子的值也会发生变化，问式子是否有最小值？若有，请求出最小值，若没有，请说出理由． (4)当时，则的最大值为__________． 【答案】(1) (2)2或 (3)8 (4)13 【知识点】数轴上两点之间的距离、绝对值的几何意义 【分析】本题考查了非负数的性质及数轴上两点间距离、绝对值的意义，读懂并理解题目材料，会利用绝对值的几何意义是解决本题的关键． （1）根据表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，求解即可； （2）根据，表示在数轴上与的距离为3的点对应的数，求出答案； （3）表示在数轴上表示数x的点到表示数2与表示数的距离之和，因此当x在2与之间时，这个距离之和最小，最小值为2与之间的距离8， （4）根据题意得到，，然后将，代入求解即可． 【详解】（1）解：，数轴上表示数x的点到原点的距离为3， 因此或， 故答案为：； （2）解：，在数轴上与的距离为3的点对应的数2或， 故答案为：2或； （3）解：表示在数轴上表示数x的点到表示数2与表示数的距离之和， 因此当时，这个距离之和最小，最小值就是2与之间的距离，为8， 故有最小值，是8； （4）解：∵表示在数轴上表示数x的点到表示数与表示数2的距离之和， ∴由（3）可得，当时，有最小值3 ∵表示在数轴上表示数y的点到表示数1与表示数3的距离之和， ∴由（3）可得，当时，有最小值2 ∵ ∴只有当且时等式成立 ∴， ∴当，时，有最大值，即． 【题型四】求一个数的绝对值 【例4】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）有理数的绝对值是（   ）． A． B． C．5 D． 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题考查了求一个数的绝对值；根据正数的绝对值为它本身，零的绝对值为零，负数的绝对值为它的相反数计算即可． 【详解】解：； 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）的值是（   ） A．2024 B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，根据绝对值的意义，进行求解即可，解题的关键是熟练掌握绝对值的意义． 【详解】解：． 故选：A． 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）定义：在数轴上，表示数的点到表示数1的点的距离，叫作数关于1的绝对值． （1）数关于1的绝对值是 ； （2）若数关于1的绝对值是2023，则数的值为 ． 【答案】 2 或 【知识点】求一个数的绝对值、绝对值的几何意义 【分析】（1）直接利用绝对值的性质求解； （2）利用绝对值的性质列式，计算即可求解． 【详解】解：（1）数关于1的绝对值是； 故答案为：2； （2）由题意得， 解得或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了新定义，理解数关于1的绝对值的定义是解题的关键． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）把下列各数分别填入相应的横线上： ，0，，，，，， 正有理数：______． 非负整数：______． 分数：______． 并用数轴上的点表示以上非正整数，用“”把这些非正整数连接起来． 【答案】见解析 【知识点】有理数的分类、利用数轴比较有理数的大小、求一个数的绝对值 【分析】本题考查了数轴、相反数、绝对值、有理数大小比较，根据正有理数、非负整数的概念求解可得，将数轴上的点表示以上非正整数，结合数轴即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：，，，， 正有理数：，，； 非负整数：0，； 分数：，，； 用数轴上的点表示以上非正整数如图所示： ， 由数轴可得：． 【题型五】数轴上两点之间的距离 【例5】（24-25七年级上·安徽六安·期中）下列数轴上仅有两点表示的数绝对值相等，这两点是（    ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 【答案】D 【知识点】绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了数轴上的点表示的数及绝对值的意义，两点表示的数绝对值相等，则这两点到原点的距离相等，观察数轴图可知到原点距离相等的点为点和点． 【详解】解：观察数轴图可知到原点距离相等的点为点和点，即点和点表示的数的绝对值相等， 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）在数轴上，有理数，的位置如图，将a与b的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为，，，，，且，．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】绝对值的几何意义、根据点在数轴的位置判断式子的正负、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查数轴，绝对值的定义．根据数轴表示数以及绝对值的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：，， ，且距离原点比较远，，且距离原点比较近， 中点所表示的数在原点的左侧， ，①正确； 由数轴所表示的数可知，可能大于0，也可能小于0， 符号不确定，②不正确； ， 表示数的点到表示数的点距离既可以表示为，也可以表示为， ，③正确； 在原点的左侧，而在原点右侧， 表示数的点到表示数的点距离为， 到的距离为， 即：，④正确； 故选：C． 2．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）在数轴上，若点分别表示互为相反数的两个数，并且这两个点的距离是8，点在原点的左侧，则点表示的数为 ． 【答案】 【知识点】相反数的定义、数轴上两点之间的距离 【分析】本题考查了相反数与数轴的关系，只有符号不同的两个数叫做互为相反数；相反数分为两类：一、0的相反数为0，二、可以是一个正数与一个负数，但它们的绝对值相等，即这两点到原点的距离相等，掌握相反数与数轴的关系是解题的关键． 根据相反数的概念得和是一个正数和一个负数，且距离为8；由相反数到原点的距离相等，所以可以得出两点所表示的数，即可得到结果． 【详解】解：， 在原点的左侧， 表示的数为． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般的，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． (1)点在数轴上分别表示有理数． ①点到点的距离可表示为______（用含绝对值的式子表示）； ②若，则______； (2)利用数轴探究的最小值，并说出你发现的规律． 【答案】(1)①；②或2 (2)1；在数轴上，有理数对应的点处于在数轴上对应的两点之间时，取最小值 【知识点】带有字母的绝对值化简问题、绝对值的几何意义、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题主要考查了绝对值的应用、数轴上两点之间的距离等知识，解题关键是运用数形结合的思想分析问题． （1）①根据数轴上两点之间距离公式，即可获得答案；②由，可知其几何意义是表示在数轴上对应的两点之间的距离为3，然后结合数轴即可获得答案； （2）根据数轴上两点之间距离公式，可知的几何意义是表示在数轴上对应的两点之间的距离与表示在数轴上对应的两点之间的距离之和，然后分，，三种情况，逐一分析计算，即可获得答案． 【详解】（1）解：①点到点的距离可表示为； ②∵， ∴其几何意义是表示在数轴上对应的两点之间的距离为3， ∴或2． 故答案为：①；②或2； （2）的几何意义是表示在数轴上对应的两点之间的距离与表示在数轴上对应的两点之间的距离之和， 当时，如下图， 则， 当时，如下图， 则， 当时，如下图， 则． 综上所述，的最小值为1， 即在数轴上，有理数对应的点处于在数轴上对应的两点之间时，取最小值． 【题型六】化简多重符号 【例6】（24-25七年级上·安徽·假期作业）计算：（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】化简多重符号 【分析】本题主要考查了化简多重符号，熟练掌握相反数的定义是解题关键．根据相反数的定义，化简多重符号即可． 【详解】解：． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列各数中，属于负有理数的是（   ） A． B．0 C． D． 【答案】A 【知识点】化简多重符号、有理数的分类 【分析】本题考查了有理数的分类，化简多重符号，根据负理数的定义逐项分析判断，即可． 【详解】解：A．是负有理数，符合题意； B．0是整数，不是负有理数，不符合题意； C．是正分数，不是负有理数，不符合题意； D．是正分数，不是负有理数，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）已知点 O，A，B，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，，，若点 C 所表示的数为 m，则点 A 所表示的数为 ．（用含 m 式子表示） 【答案】 【知识点】化简多重符号、数轴上两点之间的距离、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．根据题意和数轴可以用含m的式子表示出点B表示的数，本题得以解决． 【详解】解∶∵O为原点，，，点C所表示的数为m， ∴点B表示的数为， ∴点A表示的数为：． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）把下列各数的序号填入相应的括号内： ①，②16，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨0． 正有理数：{_________}；非负数：{_________}；整数：{_________}；分数：{_________}． 【答案】②③⑦；②③⑦⑨；②⑤⑨；①③④⑥⑦⑧ 【知识点】有理数的分类、化简多重符号、求一个数的绝对值 【分析】本题主要考查了有理数的分类，分别根据正有理数、非负数、整数、分数的定义进行解答即可． 【详解】解：；；． 正有理数集合：{②③⑦…}； 非负数集合：{②③⑦⑨…}； 整数集合：{②⑤⑨…}； 分数集合：{①③④⑥⑦⑧…}． 好题必刷 一、单选题 1．的相反数是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【知识点】相反数的定义 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数进行求解即可． 【详解】解：的相反数是， 故选：B． 【点睛】此题主要考查相反数，解题的关键是熟知实数的性质． 2．的相反数是（    ） A． B． C．2025 D． 【答案】C 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键． 只有符号不同的两个数互为相反数，由此即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：C ． 3．，则（    ） A．为 B．为正数 C．为负数 D．为或 【答案】A 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数，根据相反数是它本身的数是即可解答，掌握相反数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵， 即该数的相反数是它本身， ∴该数是， 故选： ． 4．今天是2025年1月10日，其中数据“2025”的相反数为（   ） A． B． C．2025 D． 【答案】B 【知识点】相反数的定义 【分析】本题考查了相反数的定义，根据只有符号不同的两个数互为相反数进行解答即可得． 【详解】解：“2025”的相反数为， 故选：B． 5．下列各数中，互为相反数的有(    ) ①－(－5)与－|－5|；②|－3|与－|＋3|； ③－(－4)与|－4|；④－|－2|与|－(－2)|. A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【知识点】求一个数的绝对值、相反数的定义 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案. 【详解】解:①－(－5)=5, －|－5|=-5,5和-5互为相反数,故正确; ②|－3|=3, －|＋3|=-3, 3和-3互为相反数,故正确; ③－(－4)=4, |－4|=4,两数相同,故错误; ④－|－2|=-2, |－(－2)|=2, 3和-3互为相反数,故正确. 综上,正确的有3组, 故选C. 【点睛】本题考查了绝对值的性质,相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“-”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0. 6．在①与；②与；③与；④与中，互为相反数的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】C 【知识点】相反数的定义 【分析】根据只有符号不同的两数叫做互为相反数，即可求解． 【详解】解：①，，所以，故不是相反数； ②，，所以，故不是相反数； ③，，与是相反数，故是互为相反数； ④，，与是相反数，故是互为相反数； 故选：C. 【点睛】本题考查了相反数的定义，理解定义是解题的关键． 7．下面两个数互为相反数的是(　　) A．－(＋9)与＋(－9) B．－0.5与－(＋0.5) C．－1.25与 D．＋(－0.01)与－(－) 【答案】D 【知识点】相反数的定义 【详解】解：A． －(＋9)与＋(－9)相等； B． －0.5与－(＋0.5)相等； C． －1.25与 不是相反数； D． ＋(－0.01)= －0.01，－(－)=0.01，故＋(－0.01)与－(－)互为相反数． 故选D． 8．如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（    ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 【答案】B 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【解析】把每段的整数写出来即可得到答案． 【详解】解：由数轴每段的端点可以得到： 段①的整数为-2，段②的整数为-1，0，段③的整数为1，段④的整数为2， 故选B．　 【点睛】本题考查用数轴表示数的应用，熟练掌握有理数在数轴上的排列规律是解题关键． 9．如图所示，点在数轴上，则将m、n、0、、从小到大排列正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，掌握利用数轴比较有理数的大小的方法是解题的关键． 先用数轴上的点表示出和n，再根据数轴左边点表示的数总小于右边点表示的数，求解即可． 【详解】解：将n，用数轴 上的点表示如图所示， ∴． 故选：D． 10．如图，数轴上点表示的数是2，点，到点的距离均为4个单位长度，则数轴上表示的点落在（   ） A．点左侧 B．线段上 C．线段上 D．点右侧 【答案】A 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数，解题的关键是用数形结合的思想去解题． 先计算出点A、B表示的数，再与比较大小，即可得出答案． 【详解】解：由题可知，数轴上点C表示的数是2，点A，B到点C的距离均为4个单位长度， ∴点A表示的数为，点，B表示的数为， ∵， ∴数轴上表示的点落在点A左侧， 故选：A． 二、填空题 11．在数轴上，到原点的距离等于3的点所表示的数是 ． 【答案】3或-3 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义 【分析】根据在数轴上，点到原点的距离是该点对应数的绝对值即可求解； 【详解】解：∵， ∴在数轴上，到原点的距离等于3的点所表示的数有3或-3； 故答案为：3或-3． 【点睛】本题主要考查求数轴上的点到原点的距离，掌握在数轴上，点到原点的距离是该点对应数的绝对值是解题的关键． 12．a、b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如下图所示，把a、a、0、b、b按照从小到大并用“＜”连接为 ． 【答案】 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、相反数的定义、绝对值的几何意义 【分析】先根据a，b两点在数轴上的位置判断出其符号，进而可得出结论． 【详解】解：∵由图可知，a＜0＜b，|a|＜|b|， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大的特点是解答此题的关键． 13．下列各组式子：①a﹣b与﹣a﹣b，②a+b与﹣a﹣b，③a+1与1﹣a，④﹣a+b与a﹣b，互为相反数的有 ． 【答案】②④ 【知识点】相反数的定义 【分析】直接利用互为相反数的定义分析得出答案． 【详解】解：①a-b与-a-b=-（a+b），不是互为相反数， ②a+b与-a-b，是互为相反数， ③a+1与1-a，不是相反数， ④-a+b与a-b，是互为相反数． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了互为相反数，正确把握相反数的定义是解题的关键． 14．如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有 个．    【答案】7 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】分别得出原点左边、右边盖住的整数，进而得出答案． 【详解】原点左边盖住的整数有，原点右边盖住的数有因此共有7个； 故答案为：7． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义，理解数轴上数的特点和规律是关键． 三、解答题 15．写出下列各数的绝对值： ． 【答案】6，8，3.9，，，100，0 【知识点】求一个数的绝对值 【分析】根据绝对值的定义，即绝对值是数轴上点到原点的距离，即可求解． 【详解】解： ； ； ； ； ； ； ． 【点睛】本题主要考查了绝对值的定义，熟练掌握绝对值是数轴上点到原点的距离是解题的关键． 16．在数轴上（每一格代表单位长度）表示出数，1，0，， 【答案】见详解 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数：先化简，再根据正负数的定义在数轴上表示出来，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则把各数表示在数轴上如下， ． 17．指出数轴上各点分别表示的有理数，并用“<”将它们连接起来． 【答案】点A表示，点B表示3.5，点C表示2，点D表示0，点E表示0.5；． 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数 【分析】先根据数轴写出各点表示的有理数，再根据数轴上左边的数总小于右边的数比较大小即可． 【详解】解：由数轴上各点的位置可知：点A表示，点B表示3.5，点C表示2，点D表示0，点E表示0.5， ∴﹣3＜0＜0.5＜2＜3.5． 【点睛】本题考查的是数轴和有理数的大小比较，熟知数轴上左边的数总小于右边的数是解答此题的关键． 18．画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： ，2.5，3，，0，，． 【答案】见解析 【知识点】用数轴上的点表示有理数 【分析】本题考查了数轴上表示有理数，关键是正确在数轴上表示各数，（1）画数轴必须具备“三要素”，三者缺一不可；单位长度必须一致，不能长短不一；正方向向右；（2）用数轴上的点表示数时，注意数的符号和该数到原点的距离． 根据有理数的大小，在数轴上表示出各点即可． 【详解】解：如图： 19．用数轴上的点表示下列各有理数，并比较大小． ，，，， 【答案】图见解析， 【知识点】用数轴上的点表示有理数、利用数轴比较有理数的大小 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数、利用数轴表示数的大小，先将各数表示在数轴上，再结合数轴即可得出答案． 【详解】解：将各数表示在数轴上如图所示： ， 由图可得：． 20．已知，是整数，求的值，并在数轴上表示求得的数． 【答案】0，，，，，，，数轴见解析 【知识点】绝对值的几何意义、用数轴上的点表示有理数 【分析】根据绝对值的概念可得x的取值范围，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴−2π＜x＜2π， 则x＝−6，−5，−4，−3，−2，−1，0，1，2，3，4，5，6； 将解表示在数轴上如下： 【点睛】本题主要考查绝对值的意义以及数轴，掌握画数轴的三要素，是解题的关键． 21．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”号将这些数按从小到大的顺序连接起来：，，，，， 【答案】＜＜＜0＜，数轴表示见解析 【知识点】利用数轴比较有理数的大小、用数轴上的点表示有理数、求一个数的绝对值 【分析】根据数轴是表示数的一条直线，可把数在数轴上表示出来，根据数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，可得答案． 【详解】数轴表示为： 由小到大排列为：＜＜＜0＜ 【点睛】本题考查了有理数大小比较，利用数轴上的点表示的数右边的总比左边的大是解题关键． 22．若且都不为零，还满足．请把这四个数的大致位置在数轴上表示出来，并把这八个数按从小到大的顺序排列，用“<”号连接． 【答案】数轴见解析， 【知识点】用数轴上的点表示有理数、绝对值的几何意义、利用数轴比较有理数的大小 【分析】根据绝对值性质判断出a、b、c、d的符号以及相对原点的位置，再根据数轴上右边的数总大于左边的数比较大小即可． 【详解】解：因为，且都不为零， 所以为负数，为正数． 又因为， 所以．所以． 因为， 所以数轴上表示的点到原点的距离数轴上表示的点到原点的距离数轴上表示的点到原点的距离数轴上表示的点到原点的距离． 所以这四个数在数轴上的大致位置如图．   ． 【点睛】本题考查数轴、绝对值的意义、用数轴比较有理数的大小，理解绝对值的意义，判断出各数在数轴上与原点的相对位置是解答的关键． 23．阅读材料并回答问题： 对于数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离之间恰好满足倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点，，表示的数分别为，，，点与点的距离是，点与点的距离是，此时点是点，的“关联点”． (1)若点表示，点表示．，，，对应的点分别是，，，，则其中哪几个点是点，的“关联点”？ (2)点表示的数是，点表示的数是，为数轴上一个动点．若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，则点表示的数是____________． 【答案】(1)，； (2)或或． 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、数轴上两点之间的距离、动点问题（一元一次方程的应用）、用数轴上的点表示有理数 【分析】（）根据题意求得与的关系，然后逐一判断即可； （）设表示的数为，则由题意得，则，，然后分当时，即，当时，即，解出方程即可； 本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，解题的关键是理解“关联点”的概念，读懂题意并根据题意列出方程． 【详解】（1）解：∵，， ∴不是点，的“关联点”， ∵，， ∴， ∴是点，的“关联点”， ∵，， ∴ ∴是点，的“关联点”， ∵，， ∴不是点，的“关联点”， 综上可知：，是点，的“关联点”； （2）设表示的数为，则由题意得， ∴，， ∵点是点，的“关联点”， ∴当时，即， 则或， 解得：或； 当时，即， 则或， 解得：或（不合题意，舍去）； 综上可知：点表示的数是或或， 故答案为：或或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 数轴、相反数和绝对值（知识清单+6大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 用数轴上的点表示有理数 题型二 相反数的定义 题型三 绝对值的几何意义 题型四 求一个数的绝对值 题型五 数轴上两点之间的距离 题型六 化简多重符号 知识清单 知识点1．数轴 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴． 数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 知识点2．相反数 （1）相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． （2）相反数的意义：掌握相反数是成对出现的，不能单独存在，从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． （3）多重符号的化简：与“+”个数无关，有奇数个“﹣”号结果为负，有偶数个“﹣”号，结果为正． （4）规律方法总结：求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“﹣”，如a的相反数是﹣a，m+n的相反数是﹣（m+n），这时m+n是一个整体，在整体前面添负号时，要用小括号． 知识点3．绝对值 （1）概念：数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值． ①互为相反数的两个数绝对值相等； ②绝对值等于一个正数的数有两个，绝对值等于0的数有一个，没有绝对值等于负数的数． ③有理数的绝对值都是非负数． （2）如果用字母a表示有理数，则数a 绝对值要由字母a本身的取值来确定： ①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a； ②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a； ③当a是零时，a的绝对值是零． 即|a|＝{a（a＞0）0（a＝0）﹣a（a＜0） 知识点4．非负数的性质：绝对值 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为0时，则其中的每一项都必须等于0． 题型方法 【题型一】用数轴上的点表示有理数 【例1】（七年级上·安徽阜阳·阶段练习）点在数轴上表示，点离的距离是3，那么点表示的数为（   ） A． B． C．或 D．或1 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽黄山·期末）地球自西向东自转，太阳在天空中的位置看起来从东往西移动，东边的地区会更早看到太阳升起，时间更早，西边相对较晚．比如日本比中国更靠东，所以北京时间为早上时时，东京已经是早上时了．如图用数轴表示了五个国家首都的国际标准时间（单位：时），若今年春节联欢晚会将于北京时间年月日时开场，此时应是 （   ）    A．华盛顿时间年月日时 B．伦敦时间年月日时 C．巴黎时间年月日时 D．东京时间年月日时 2．（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）如图所示，小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，墨迹盖住的整数共有 个． 3．（24-25七年级上·安徽蚌埠·开学考试）画出数轴并标出表示下列各数的点． 【题型二】相反数的定义 【例2】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期中）的相反数是（   ） A． B． C．0.6 D．6 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）下列说法正确的是（   ） A．一个有理数不是正数就是负数 B．若，则a为正数 C．一定是负数 D．一个有理数不是整数就是分数 2．（24-25七年级上·安徽阜阳·期中）有理数的相反数是，则 ． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）把下列各数填入相应的大括号内： 正数集合: { }； 负数集合: { }； 整数集合: { }； 分数集合: { }； 非负整数集合：{ } 【题型三】绝对值的几何意义 【例3】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）有理数的绝对值是（   ） A． B． C．5 D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽六安·期末）如图所示，根据有理数a，b在数轴上的位置，下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·安徽六安·期中）若点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离表示为 （1）若，这样的数x为 ； （2）结合数轴探究：存在x的值，使式子有最大值，这个最大值是 ． 3．（24-25七年级上·安徽淮南·期中）阅读下列材料： 我们知道的几何意义是在数轴上数x对应的点与原点的距离，即，也就是说，表示在数轴上数x与数0对应点之间的距离，这个结论可以推广为表示在数轴上数，对应点之间的距离，在解题中，我们会常常运用绝对值的几何意义； 例1：已知，求x的值． 解：在数轴上与原点距离为2的点对应的数为，即． 例2：已知，求x的值． 解：的几何意义是：在数轴上表示数x的点与表示数1的点之间的距离为2．在数轴上与表示数1的点的距离为2的点对应的数为，3，即或． 参考阅读材料，解答下列问题： (1)已知，则x的值为__________． (2)已知，则x的值为__________． (3)已知x是有理数，当x取不同数时，式子的值也会发生变化，问式子是否有最小值？若有，请求出最小值，若没有，请说出理由． (4)当时，则的最大值为__________． 【题型四】求一个数的绝对值 【例4】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）有理数的绝对值是（   ）． A． B． C．5 D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽宣城·期末）的值是（   ） A．2024 B． C． D． 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）定义：在数轴上，表示数的点到表示数1的点的距离，叫作数关于1的绝对值． （1）数关于1的绝对值是 ； （2）若数关于1的绝对值是2023，则数的值为 ． 3．（24-25七年级上·安徽合肥·期中）把下列各数分别填入相应的横线上： ，0，，，，，， 正有理数：______． 非负整数：______． 分数：______． 并用数轴上的点表示以上非正整数，用“”把这些非正整数连接起来． 【题型五】数轴上两点之间的距离 【例5】（24-25七年级上·安徽六安·期中）下列数轴上仅有两点表示的数绝对值相等，这两点是（    ） A．点和点 B．点和点 C．点和点 D．点和点 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽淮北·期中）在数轴上，有理数，的位置如图，将a与b的对应点间的距离六等分，这五个等分点所对应的数依次为，，，，，且，．下列结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）在数轴上，若点分别表示互为相反数的两个数，并且这两个点的距离是8，点在原点的左侧，则点表示的数为 ． 3．（24-25七年级上·安徽阜阳·阶段练习）认真阅读下面的材料，完成有关问题． 材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何意义，如表示5，3在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示在数轴上对应的两点之间的距离；，所以表示5在数轴上对应的点到原点的距离．一般的，点在数轴上分别表示有理数，那么之间的距离可表示为． (1)点在数轴上分别表示有理数． ①点到点的距离可表示为______（用含绝对值的式子表示）； ②若，则______； (2)利用数轴探究的最小值，并说出你发现的规律． 【题型六】化简多重符号 【例6】（24-25七年级上·安徽·假期作业）计算：（　　） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）下列各数中，属于负有理数的是（   ） A． B．0 C． D． 2．（24-25七年级上·安徽宣城·期中）已知点 O，A，B，C 在数轴上的位置如图所示，O 为原点，，，若点 C 所表示的数为 m，则点 A 所表示的数为 ．（用含 m 式子表示） 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）把下列各数的序号填入相应的括号内： ①，②16，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨0． 正有理数：{_________}；非负数：{_________}；整数：{_________}；分数：{_________}． 好题必刷 一、单选题 1．的相反数是（    ） A． B． C．3 D． 2．的相反数是（    ） A． B． C．2025 D． 3．，则（    ） A．为 B．为正数 C．为负数 D．为或 4．今天是2025年1月10日，其中数据“2025”的相反数为（   ） A． B． C．2025 D． 5．下列各数中，互为相反数的有(    ) ①－(－5)与－|－5|；②|－3|与－|＋3|； ③－(－4)与|－4|；④－|－2|与|－(－2)|. A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 6．在①与；②与；③与；④与中，互为相反数的是（　　） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 7．下面两个数互为相反数的是(　　) A．－(＋9)与＋(－9) B．－0.5与－(＋0.5) C．－1.25与 D．＋(－0.01)与－(－) 8．如图，在数轴上，注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（    ） A．段① B．段② C．段③ D．段④ 9．如图所示，点在数轴上，则将m、n、0、、从小到大排列正确的是（   ） A． B． C． D． 10．如图，数轴上点表示的数是2，点，到点的距离均为4个单位长度，则数轴上表示的点落在（   ） A．点左侧 B．线段上 C．线段上 D．点右侧 二、填空题 11．在数轴上，到原点的距离等于3的点所表示的数是 ． 12．a、b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如下图所示，把a、a、0、b、b按照从小到大并用“＜”连接为 ． 13．下列各组式子：①a﹣b与﹣a﹣b，②a+b与﹣a﹣b，③a+1与1﹣a，④﹣a+b与a﹣b，互为相反数的有 ． 14．如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有 个．    三、解答题 15．写出下列各数的绝对值： ． 16．在数轴上（每一格代表单位长度）表示出数，1，0，， 17．指出数轴上各点分别表示的有理数，并用“<”将它们连接起来． 18．画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： ，2.5，3，，0，，． 19．用数轴上的点表示下列各有理数，并比较大小． ，，，， 20．已知，是整数，求的值，并在数轴上表示求得的数． 21．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”号将这些数按从小到大的顺序连接起来：，，，，， 22．若且都不为零，还满足．请把这四个数的大致位置在数轴上表示出来，并把这八个数按从小到大的顺序排列，用“<”号连接． 23．阅读材料并回答问题： 对于数轴上的三个点，若其中一个点与其他两个点的距离之间恰好满足倍的数量关系，则称该点是其他两个点的“关联点”．例如：如图，数轴上点，，表示的数分别为，，，点与点的距离是，点与点的距离是，此时点是点，的“关联点”． (1)若点表示，点表示．，，，对应的点分别是，，，，则其中哪几个点是点，的“关联点”？ (2)点表示的数是，点表示的数是，为数轴上一个动点．若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，则点表示的数是____________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$