精品解析：2025届上海市松江二中高三下学期三模数学试卷

2025届松江二中高三（下）三模数学试卷 一、填空题 1. 已知集合，，且______. 【答案】 【解析】 【分析】根据并集运算的概念直接求解即可. 【详解】因为集合，，所以. 故答案为： 2. 已知数列满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到数列是公比为的等比数列，再由等比数列的性质，求得，结合，即可求得的值，得到答案. 【详解】由数列满足，可得，所以数列是公比为的等比数列， 根据等比数列的性质，可得， 因为，可得，所以. 故答案为：. 3. 使不等式（为虚数单位）成立的实数________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据不等式可知，解方程并验证即可. 【详解】由，易知， 解得或， 又时，成立； 时，，与矛盾； 故答案为：. 4. 二项式的展开式的常数项是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二项展示的通项计算可得第5项为常数项，计算即可. 【详解】设展开式中的第为常数项， 即为常数项， 令，解得； 因此常数项为. 故答案为： 5. 若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为________． 【答案】或 【解析】 【分析】直线与坐标轴的交点为和，分两种情况讨论，得到椭圆的离心率. 【详解】直线与坐标轴的交点为和， 若是椭圆的焦点，是椭圆的一个顶点， 此时椭圆的焦点在轴且，所以，离心率， 若是椭圆的焦点，是椭圆的一个顶点， 此时椭圆的焦点在轴且，所以，离心率， 所以椭圆的离心率为或， 故答案为：或. 6. 已知函数，则的值域为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数性质求出时的值域，再根据对勾函数的单调性求出时的值域，然后利用分段函数的性质即可求解． 【详解】因为， 当时，， 当时，函数单调递减，故， 综上，函数的值域为． 故答案为：． 7. 在正六棱锥中，直线过，，，，，中的两个不同的点，已知与直线所成角最小，则满足条件的直线的条数为______条. 【答案】3 【解析】 【分析】作出图形，结合题意运用正棱锥的性质、直线与平面所成角的性质，找出满足条件的直线的位置，进而可得本题答案． 【详解】设点为底面正六边形的中心，连接、，可得是直线与底面所成的角， 由直线与平面所成角的性质，可知是底面内的直线与所成角的最小值， 显然直线即为满足题意的直线， 由正六边形的性质，可知，所以、的所在直线与直线所成角都相等， 综上所述，当与所成角为最小值时，满足条件的直线有、、，共3条. 故答案为：3 8. 设定义在区间上的函数的图象与的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图象交于点，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，根据同角三角函数的基本关系转化为的方程，求出，即可得到点的纵坐标，从而得解. 【详解】设点的坐标为，则可设点的坐标为，点的坐标为， 联立，消去得，整理得， 即，即， 所以或（舍去）， 即， 所以点的纵坐标， 所以线段的长为． 故答案为： 9. 已知有5男5女共10名记者参加2021年的两会新闻报道，现从中选取8人分配到A，B两个组，每个组4人，其中A组的4人中，要求女性的人数多于男性，B组的4人中，要求至少有1名女性，则不同的分配方法数为___________. 【答案】750 【解析】 【分析】首先把分配情况分为三类，①A组3女1男，B组1女3男；②A组3女1男，B组2女2男；③A组4女0男，B组1女3男.然后再计算每一类的分配方法数. 【详解】分三类： 第一类：A组3女1男，B组1女3男，此时分配方法有：； 第二类：A组3女1男，B组2女2男，此时分配方法有：； 第三类：A组4女0男，B组1女3男，此时分配方法有：， 所以分配方法共有. 故答案为：750. 10. 若不等式对恒成立，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先分析当时，函数的对称轴，零点及函数值的变化情况，再分析二次函数的单调性与对称轴，结合不等式恒成立可得关于，的方程，求解即可． 【详解】当时，函数的对称轴为，零点为，， 且当时，，当时，，当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，且对称轴为， 所以要使不等式恒成立， 于是，，，解得，，故. 故答案为：． 11. 如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为且直径平行坝面.坝面上点满足，且长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点到小岛修建三段栈道、与，在半圆小岛上再修建栈道、以及，水面上的点在线段上，且、均与圆相切，切点分别为、，其中栈道、、和小岛在同一个平面上.设，则需要修建的栈道总长度的最小值为________百米. 【答案】 【解析】 【分析】连接CD，CE，设，建立出需要修建的栈道的函数关系式，利用导数求出最小值. 【详解】连接CD，CE，由半圆半径为1得：. 由对称性，可设，又，， 所以，， 易知，所以的长为. 又，故，故， 令且，则，， 所以. 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以栈道总长度最小值. 故答案为：. 12. 在平面中，非零向量 满足 则 的最大值为________. 【答案】2 【解析】 【分析】设，构造椭圆，利用三角换元可求最大值. 【详解】 如图，设，则为等边三角形，， 且，，故的轨迹为椭圆，其焦距为， 故短半轴长为，故椭圆方程为， 设，故 ， 故的最大值为2，, 故答案为：2. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是构造出椭圆，并结合三角函数知识求解. 二、选择题 13. 已知的面积为，若，，则“为锐角”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形面积公式，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】当为锐角时，， 而当为钝角时，亦有， 所以“为锐角”是“” 充分不必要条件，A正确. 故选：A 14. 2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（ ） A. 前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势 B. 上映前十天的票房极差为4.76（亿） C. 上映前十天的票房中位数为6.34（亿） D. 上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿） 【答案】C 【解析】 【分析】根据极差、中位线、百分位的定义计算可得. 【详解】对于A：根据折线统计图，无法预测前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势，故A错误； 对于B：上映前十天的票房极差为（亿），故B错误； 对于C：上映前十天的票房从小到大排列为、、、、、、、、、， 所以上映前十天的票房中位数为（亿），故C正确； 对于D：因为，所以上映前十天的票房第70百分位数为（亿），故D错误. 故选：C 15. 设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两个函数总存在一个是单调的函数，而的单调性是已知的，我们就对任意可能包含在时，会导致不单调，此时则需要必须单调，从而去验证在区间的单调性，从而问题可得解. 【详解】由于这两个函数都是周期为的函数，则下面只考虑在区间上进行分析研究， 因为在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 而题意要求对任意，均存在，使得函数在是单调函数， 所以只需要在区间是单调函数即可， 根据选项可知只需要满足时取值， 故， 根据余弦函数的单调性，若满足，解得， 若满足，解得， 若满足，无解， 故必满足题意，而，则ABC错误； 故选：D． 16. 在下面数表中，第行第列的数记为，其中，，，满足： ①，且； ②对任意的，有． 则该数表中的10个数之和的最小值为（ ） A. 26 B. 22 C. 20 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的信息，确定第一行各数取的最小值，第二行各数取的最小值，再求和即可得总和最小值. 【详解】由，且，不妨令，则， 由，，得，同时成立， 同时成立，同时成立， 则，； 由，，得，同时成立， 同时成立，同时成立， 则，， 因此， 所以该数表中的10个数之和的最小值为22. 故选：B 三、解答题 17. 如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为3，底面半径为2． （1）求该圆锥侧面展开图的圆心角； （2）设、为该圆锥的底面半径，且，为线段的中点，求直线与直线所成的角的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由圆锥的高和底面半径求出母线长，利用扇形圆心角公式即可求得侧面展开图的圆心角；（2）作出异面直线与所成角的平面角，即可求出直线与直线所成的角的大小. 【小问1详解】 由圆锥性质可知平面，易知高，底面半径，可得母线长， 所以圆锥的侧面展开图的圆心角大小. 【小问2详解】 取的中点为，连接，，如下图所示： 因为为线段的中点，所以，因此（或其补角）就是直线与直线所成的角， 又，即，，且，平面，，即平面， 所以平面，即； 在直角中，易知，，，，因此 即直线与直线所成的角的大小为. 18. 已知函数的图像相邻两个零点之间的距离为. （1）求的值及的解集； （2）在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 【答案】（1）2； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设有，即可得解析式，再由正弦函数的性质求解方程即可； （2）根据已知可得，应用余弦定理、三角形面积公式得、，进而可得，即可得周长. 【小问1详解】 由题设，则， 令或，， 所以或，，故解集为． 【小问2详解】 由题设，即，， 所以，，又是三角形内角，故， 由，即， 由，则，所以， 易得，所以周长为． 19. 某校高一学生周末参加社区实践活动，现从4名男学生和2名女学生中随机选取2人参加． （1）求在有女学生参加活动的条件下，恰有1名女学生参加活动的概率； （2）记参加活动的女学生的人数为，求的分布列及期望； （3）若本次实践活动有甲、乙、丙3个可选项目，每名女学生可从中选择1项或2项参加，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男学生至少从中选择2项参加，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“班级明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人的得分之和为，求的期望． 【答案】（1） （2）分布列见解析， （3）13分 【解析】 【分析】（1）由条件概率的计算公式即可求解； （2）参加活动的女学生人数为X，则X服从超几何分布，即可写出X的分布列及期望. （3）根据一名女学生和一名男学生参加活动获得分数的期望，即可得，即可求得. 【小问1详解】 设“有女学生参加活动”为事件A，“恰有一名女学生参加活动”为事件， ，，． 【小问2详解】 依题意知服从超几何分布，且， ，，， 的分布列为 0 1 2 ． 【小问3详解】 设一名女学生参加活动可获得的分数为，一名男学生参加活动可获得的分数为，则的所有可能的取值为3，6，的所有可能的取值为6，9， ，， ，， 有名女学生参加活动，有名男学生参加活动， ， ， 两个学生的得分之和的期望为13分． 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆:的右顶点为，点、分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点. （1）若是的左焦点，且，求的值； （2）设，上存在轴上方一点.若，求的坐标； （3）设，过的直线与交于、两点(、两点不重合)，与轴交于且的纵坐标，记与到直线的距离分别为、.若存在直线，满足成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据计算求参； （2）设点的坐标结合两角和正切，应用点在椭圆上计算； （3）设直线方程再联立得出韦达定理，再结合点到直线距离分类讨论计算求出参数范围. 【小问1详解】 因为与的左焦点重合，故，因此. 又因为，而， 所以，解得：(负舍). 【小问2详解】 因为，又因为， 而， 代入解得. 若在第一象限，则，故在第二象限. 设，而， 整理可得. 代入椭圆方程，可得：. 所以解得(增根舍去)，所以. 因此. 【小问3详解】 由题意可知：直线的解析式为， 设直线的解析式为()，且、. 联立， 可得，. 根据韦达定理，，. 因为、两点均在直线的左侧，故. 又因为，，因此， 代入化简可得方程. 设，又因为，故. ① 若 ，此时直线与存在两个交点. 若存在，使得， 而，故， 可得，故，因此. ② 若，而此时在的外部，，故. 若存在，使得， 而， 故，可得，故. 综上所述，的取值范围为. 【点睛】方法点睛：设直线方程再联立方程组，得出故，最后分类讨论分 和两种情况计算求参. 21. 设，函数的定义域为．若对满足的任意，均有，则称函数具有“性质”． （1）在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由； ①； ②； （2）已知，且函数具有性质，求实数的取值范围； （3）证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件． 【答案】（1）①是，②不是，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数具有性质的条件判断①；举反例可判断②； （2）原问题等价于当时，恒成立，即恒成立，得； （3）利用函数的单调性以及不等式的性质判断充分性，利用反证法判断必要性. 【小问1详解】 ①是，对任意，，符合定义； ②不是，令 ，， 故不符合题意. 【小问2详解】 显然，设， 则， 当时，取最小值， 原问题等价于当时，恒成立，即恒成立，得； 【小问3详解】 证明：充分性： 若函数为增函数，则对任意均有， 即，因此，对任意，若， 则，函数具有性质，充分性得证； 必要性： 若对任意，函数均具有性质， 假设函数不是增函数，则存在，满足，即， 而，故存在，使，且，即， 即对于，存在，但是， 与“对任意，函数均具有性质”矛盾，因此假设不成立， 即函数为增函数，必要性得证． 【点睛】新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届松江二中高三（下）三模数学试卷 一、填空题 1. 已知集合，，且______. 2. 已知数列满足，则__________. 3. 使不等式（为虚数单位）成立的实数________. 4. 二项式的展开式的常数项是_____． 5. 若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为________． 6. 已知函数，则的值域为______. 7. 在正六棱锥中，直线过，，，，，中的两个不同的点，已知与直线所成角最小，则满足条件的直线的条数为______条. 8. 设定义在区间上的函数的图象与的图象交于点，过点作轴的垂线，垂足为，直线与函数的图象交于点，则线段的长为______． 9. 已知有5男5女共10名记者参加2021年的两会新闻报道，现从中选取8人分配到A，B两个组，每个组4人，其中A组的4人中，要求女性的人数多于男性，B组的4人中，要求至少有1名女性，则不同的分配方法数为___________. 10. 若不等式对恒成立，则______. 11. 如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为且直径平行坝面.坝面上点满足，且长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点到小岛修建三段栈道、与，在半圆小岛上再修建栈道、以及，水面上的点在线段上，且、均与圆相切，切点分别为、，其中栈道、、和小岛在同一个平面上.设，则需要修建的栈道总长度的最小值为________百米. 12. 在平面中，非零向量 满足 则 的最大值为________. 二、选择题 13. 已知的面积为，若，，则“为锐角”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 14. 2025年春节档上映的动画电影《哪吒之魔童闹海》引发全民观影热潮．某数据平台实时统计了该片上映前10天的全国单日票房（单位：亿元），并生成如图所示的折线图．假设横轴为上映时间（日期），纵轴为单日票房（亿），则下列说法正确的是（ ） A. 前十日之后，随着上映时间的增加，单日票房一定会呈现下降趋势 B. 上映前十天的票房极差为4.76（亿） C. 上映前十天的票房中位数为6.34（亿） D. 上映前十天的票房第70百分位数为7.30（亿） 15. 设，．若对任意，均存在，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（ ）． A. B. C. D. 16. 在下面数表中，第行第列的数记为，其中，，，满足： ①，且； ②对任意的，有． 则该数表中的10个数之和的最小值为（ ） A. 26 B. 22 C. 20 D. 0 三、解答题 17. 如图，已知圆锥的顶点为，底面圆心为，高为3，底面半径为2． （1）求该圆锥侧面展开图的圆心角； （2）设、为该圆锥的底面半径，且，为线段的中点，求直线与直线所成的角的大小． 18. 已知函数的图像相邻两个零点之间的距离为. （1）求的值及的解集； （2）在中，为的一个内角，若满足，，且，求周长. 19. 某校高一学生周末参加社区实践活动，现从4名男学生和2名女学生中随机选取2人参加． （1）求在有女学生参加活动的条件下，恰有1名女学生参加活动的概率； （2）记参加活动的女学生的人数为，求的分布列及期望； （3）若本次实践活动有甲、乙、丙3个可选项目，每名女学生可从中选择1项或2项参加，且选择参加1项或2项的可能性均为，每名男学生至少从中选择2项参加，且选择参加2项或3项的可能性也均为，每人每参加1项活动可获得“班级明星”积分3分，选择参加几项活动彼此互不影响，记随机选取的两人的得分之和为，求的期望． 20. 在平面直角坐标系中，已知椭圆:的右顶点为，点、分别是轴负半轴、轴正半轴上的动点. （1）若是的左焦点，且，求的值； （2）设，上存在轴上方一点.若，求的坐标； （3）设，过的直线与交于、两点(、两点不重合)，与轴交于且的纵坐标，记与到直线的距离分别为、.若存在直线，满足成立，求的取值范围. 21. 设，函数的定义域为．若对满足的任意，均有，则称函数具有“性质”． （1）在下述条件下，分别判断函数是否具有性质，并说明理由； ①； ②； （2）已知，且函数具有性质，求实数的取值范围； （3）证明：“函数为增函数”是“对任意，函数均具有性质”的充要条件． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $