专题03 解三角形（2重点+11题型+复习提升）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（苏教版2019）

专题03 解三角形 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：余弦定理与正弦定理 1、正、余弦定理与变形 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝ 【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 2、解三角形中的常用结论 （1）三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. （2）三角形中的三角函数关系 ①sin(A＋B)＝sin C； ②cos(A＋B)＝－cos C； ③sin ＝cos ； ④cos ＝sin . （3）三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. （4）三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 3、三角形常用面积公式 （1）S＝a·ha(ha表示边a上的高)； （2）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； （3）S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 知识点2：余弦定理与正弦定理的应用 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角 方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西) 例：(1)北偏东α：(2)南偏西α： 【注意】（1）方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述． （2）将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况． 【题型1 正（余）弦定理解三角形】 高妙技法 解三角时，正余弦定理的选择： （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理． 1．（24-25高一下·山东泰安·期中）的内角的对边分别为．已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·湖北·月考）在中，角的对边分别为，若，则 . 4．（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知三角形的角A， B， C的对边分别为a，b， c， ，，. (1)求角的大小； (2)求的值； (3)求的值. 【题型2 正（余）弦定理边角互化的应用】 高妙技法 边化角是正弦定理齐次比例关系非常重要的应用，其主要特点是将混有边角关系的条件问题转化为三角恒等变换问题,并从角的角度来审视三角形的特征，要熟练掌握边化角的三角形考题的特征． 一般来说,当条件中含有特殊数,如(往往和特殊角有关)或者齐次特征明显时，常进行边化角处理对于正弦定理与三角恒等变换的综合问题，大多是基于三角形内角和定理展开的，故一般有两种类型： 一是利用相应半角的互余关系、角的互补关系研究三角恒等变换,进而达到减元的目的,也就可以盯着目标进行三角恒等变换； 二是利用正弦定理求得相应的角或者寻找相应的边角关系，进而运用三角恒等变换转化为一个角的三角函数问题． 5．（24-25高一下·浙江·月考）在中，角的对边分别为，若，则 ． 6．（2025·福建福州·模拟预测）已知分别为的三个内角的对边，若，则（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·重庆万州·月考）中，三边之比，则等于（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一下·湖北·月考）（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B的大小为（    ） A． B． C． D． 【题型3 判断三角形解的个数问题】 高妙技法 1、从代数上来说，可由“大边对大角”来判断； 2、从几何上来说，已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题） 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 当为锐角时： 当为钝角时 仅有一个解 无解 9．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）在中，角的对边分别为，若，，，则此三角形（    ） A．无解 B．有两解 C．有一解 D．解的个数不确定 10．（24-25高一下·河北沧州·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则满足下列选项的三角形有两解的是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一下·安徽芜湖·月考）在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高一下·甘肃白银·期中）已知的内角的对边分别为，且有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型4 判断三角形的形状】 满分技法 1、角化边：利用正(余)弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断； 2、边化角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断． 13．（2025·内蒙古赤峰·三模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定的 14．（24-25高一下·重庆·期中）已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 15．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 16．（24-25高一下·河北承德·期中）在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则一定是（    ） A．三边不全相等的锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【题型5 三角形的周长与面积】 高妙技法 1、三角形面积公式的使用原则：对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是使用哪一个角就使用哪一个公式； 2、与面积有关的问题：一般要用到正弦定理和余弦定理进行边角互化； 3、三角形的周长问题：一般是利用余弦定理和公式a2+b2=(a+b)2-2ab将问题转化为求两边之和的问题． 17．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且，则的周长为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 18．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）在中，，则的面积是 . 19．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）在中，其内角的对边分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一下·广东惠州·期中）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知：. (1)求A； (2)若，，求的面积. 【题型6 三角形的外接圆问题】 高妙技法 利用正弦定理：可求解三角形外接圆的半径. 若要求三角形外接圆半径的范围，一般将用含角的式子表示，再通过三角函数的范围来求半径的范围． 21．（24-25高一下·重庆·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为，已知且，则外接圆面积为 . 22．（24-25高一下·甘肃庆阳·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的外接圆的半径为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 23．（24-25高一下·安徽·期中）在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 24．（24-25高一下·河南·月考）在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)已知的周长为，外接圆的面积为，求的面积. 【题型7 三角形的中线问题】 高妙技法 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则. 2、中线向量化：由（核心技巧）得（结论）. 3、邻角互补应用： 核心技巧： 在中有：； 在中有：. 25．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知的内角，，的对边分别为，，，向量，，且. (1)求； (2)若，，求边上的中线的长. 26．（24-25高一下·甘肃榆中·月考）已知中，． (1)求的大小； (2)设为的中点，且，求的面积． 27．（24-25高一下·吉林长春·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角B； (2)若，且边AC边上的中线长，求的面积； 28．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且. (1)求； (2)若的面积为，E为BC的中点，且，求底边BC上中线AE的长. 【题型8 三角形的角平分线问题】 高妙技法 如图，在中，平分，角，，所对的边分别为 （1）利用角度的倍数关系： （2）内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。 （3）等面积法：因为，所以， 所以，整理的：（角平分线长公式） 29．（24-25高一下·吉林长春·期中）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，的平分线交边BC于点D，则线段AD的长度为 . 30．（24-25高一下·山东淄博·月考）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，面积为，D为边AB上一点，CD是的角平分线，则（    ） A． B．1 C． D． 31．（23-24高一下·四川绵阳·月考）在中，内角所对的边分别为，若且； (1)求； (2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长． 32．（24-25高一下·云南昆明·期中）在中，角的对边分别是，且． (1)求角的大小； (2)若，D为AC边上的一点，，且BD是的平分线，求的面积． 【题型9 多三角形中的解三角形】 高妙技法 在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中利用正、余弦定理，特别时涉及到公共边时，要利用公共边来过渡，即利用公共边创造互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程. 33．（24-25高一下·广东东莞·月考）如图，在直角中，，为上的点，为上的点，若，，，，则 ． 34．（24-25高一下·广东中山·月考）如图，在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的大小； (2)若D为BC边上一点，，求AB的长. 35．（24-25高一下·重庆·期中）在锐角中，的面积为S，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：， (1)求角A的大小； (2)作（A，D位于直线BC异侧），使得四边形ABDC满足 ，BD=，设，试用表示AC，并求AC的最大值. ， 36．（24-25高一下·海南海口·月考）如图，在中，，，，为内一点，且． (1)若，求的长； (2)若，求． 【题型10 解三角形中的最值与范围问题】 高妙技法 三角形中的最值与范围问题处理方法 法一：利用基本不等式求最值-化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件. 法二：转为三角函数求最值-化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决. 要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边. 37．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 38．（24-25高一下·江苏·月考）在中，分别为内角所对的边，已知.设为边BC上一点，若，且，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 39．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在中，已知，，则周长最大值为（    ） A．4 B．6 C． D． 40．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知锐角的内角的对边分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若，求周长的取值范围． 【题型11 解三角形在实际中的应用】 高妙技法 正、余弦定理在解决实际问题中的应用，本质上还是正、余弦定理在解决几何图形（主要是三角形与四边形）问题中的应用，因此利用几何图形本身及实际问题中涉及到的术语（如方位角等）构建恰当的三角形，在三角形中运用正弦定理或余弦定理即可. 41．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）被誉为“苏北黄鹤楼”的泗水阁位于泗阳运河风光带上，建成于2012年，建筑面积约5800平方米，是四面五层仿唐汉风格的建筑.某同学为测量泗水阁的高度，在泗水阁旁边找到一座建筑物，高约为，在底面上的点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，泗水阁顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则泗水阁的高度约为（   ） A． B． C． D． 42．（24-25高一下·福建莆田·月考）如图所示，福建莆田广化寺东侧的释迦文佛塔是一座古老的五层石塔.某数学兴趣小组成员为测量释迦文佛塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的三处进行测量，如图2已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则根据该测量方案可测得释迦文佛塔的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 43．（24-25高一下·黑龙江·月考）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为（    ）（单位：米） A． B． C． D． 44．（24-25高一下·安徽滁州·月考）高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山遂道，现已测得三条线段的长度分别为，则隧道的长度为 . 提升专练 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏镇江·期中）在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·山西·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D是上靠近A的三等分点，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·广东·期中）如图，在中，分别是AC上的三等分点，记，则（    ） A． B．3 C． D．2 二、多选题 4．（24-25高一下·甘肃庆阳·期中）（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形或直角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则符合条件的有两个 5．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）（多选）在中，，点D为边上一动点，则（    ） A． B．当为边上的高线时， C．当为边上的中线时， D．当为角A的角平分线时， 6．（24-25高一下·江苏南京·月考）（）偶选的下列命题正确的是（    ） A．在中，是的充要条件 B．在中，角所对的边分别为，若，则 C．在中，角所对的边分别为，若三角形有两解，则的取值范围为 D．在中，，则为锐角三角形 三、填空题 7．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的取值范围为 ． 8．（24-25高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，三内角的对边分别为，且，则的最小值为 ． 9．（24-25高一下·江苏镇江·月考）如图，已知在东西走向上有两座发射塔，且，一辆测量车在塔底的正南方向的点处测得发射塔顶的仰角为，该测量车向北偏西方向行驶了后到达点，在点处测得发射塔顶的仰角为，经计算，则两发射塔顶之间的距离为 四、解答题 10．（24-25高一下·四川德阳·期中）已知中角，，的对边分别是，，，且. (1)求； (2)若，，求的面积. 11．（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，，． (1)求角； (2)求角； (3)求的面积． 12．（24-25高一下·河北石家庄·月考）在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)已知为边上的一点，若，求的长． 真题感知 1．（24-25高一下·新疆哈密·期中）在中，已知，则这个三角形的最大角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广东佛山·期中）在中，角的对边分别是，且，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定的 3．（24-25高一下·湖北恩施·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，边BC上一点D满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线、高线、角平分线长分别是，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·广东茂名·月考）（多选）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则有一解 B．若，则无解 C．若，则有一解 D．若，则有两解 6．（24-25高一下·广东深圳·期中）（多选）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即，现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是（    ） A． B．周长为 C．外接圆直径为 D．的边上的中线的长为 7．（24-25高一下·四川遂宁·期中）在锐角中，角的对边分别为，已知，点在上，是的平分线，则的取值范围为 ． 8．（24-25高一下·安徽·月考）如图，为了测量一条大河两岸之间的距离，无人机升至米的空中沿水平方向飞行至点进行测量，在同一铅垂平面内.在点测得的俯角为，则 . 9．（24-25高一下·广西南宁·月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)若，求△ABC面积的最大值； (2)若的角平分线交AC于点D，且，，求BD边的长度. 10．（24-25高一下·江苏江阴·期中）如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,. (1)求的大小; (2)若,求的面积. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 解三角形 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点1：余弦定理与正弦定理 1、正、余弦定理与变形 定理 正弦定理 余弦定理 内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； (2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (3)＝＝2R cos A＝； cos B＝； cos C＝ 【注意】若已知两边和其中一边的对角，解三角形时，可用正弦定理．在根据另一边所对角的正弦值确定角的值时，要注意避免增根或漏解，常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题． 2、解三角形中的常用结论 （1）三角形内角和定理：在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－. （2）三角形中的三角函数关系 ①sin(A＋B)＝sin C； ②cos(A＋B)＝－cos C； ③sin ＝cos ； ④cos ＝sin . （3）三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B. （4）三角形中的大角对大边：在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B. 3、三角形常用面积公式 （1）S＝a·ha(ha表示边a上的高)； （2）S＝absin C＝acsin B＝bcsin A； （3）S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)． 知识点2：余弦定理与正弦定理的应用 名称 意义 图形表示 仰角与俯角 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线方的叫做仰角，目标视线在水平视线方的叫做俯角 方位角 从某点的指方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的范围是0°≤θ<360° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的角，通常表达为北(南)偏东(西) 例：(1)北偏东α：(2)南偏西α： 【注意】（1）方位角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述． （2）将三角形的解还原为实际问题时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况． 【题型1 正（余）弦定理解三角形】 高妙技法 解三角时，正余弦定理的选择： （1）已知两角及一边，求其余的边或角，利用正弦定理； （2）已知两边及其一边的对角，求另一边所对的角，利用正弦定理； （3）已知两边及其夹角，求第三边，利用余弦定理； （4）已知三边求角或角的余弦值，利用余弦定理的推论； （5）已知两边及其一边的对角，求另一边，利用余弦定理． 1．（24-25高一下·山东泰安·期中）的内角的对边分别为．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由余弦定理可得， 所以（负值舍去）.故选：A 2．（24-25高一下·江苏南通·期中）在中，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，则，所以， 又，可得.故选：C 3．（24-25高一下·湖北·月考）在中，角的对边分别为，若，则 . 【答案】 【解析】由正弦定理，可得：，可得：， 因为，所以，则，所以，所以B为锐角， 所以 4．（24-25高一下·天津滨海新·期中）已知三角形的角A， B， C的对边分别为a，b， c， ，，. (1)求角的大小； (2)求的值； (3)求的值. 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由余弦定理， 又，所以； （2）由（1）知， 由正弦定理，则. （3）由，所以，所以为锐角，故， 所以， 所以， 所以. 【题型2 正（余）弦定理边角互化的应用】 高妙技法 边化角是正弦定理齐次比例关系非常重要的应用，其主要特点是将混有边角关系的条件问题转化为三角恒等变换问题,并从角的角度来审视三角形的特征，要熟练掌握边化角的三角形考题的特征． 一般来说,当条件中含有特殊数,如(往往和特殊角有关)或者齐次特征明显时，常进行边化角处理对于正弦定理与三角恒等变换的综合问题，大多是基于三角形内角和定理展开的，故一般有两种类型： 一是利用相应半角的互余关系、角的互补关系研究三角恒等变换,进而达到减元的目的,也就可以盯着目标进行三角恒等变换； 二是利用正弦定理求得相应的角或者寻找相应的边角关系，进而运用三角恒等变换转化为一个角的三角函数问题． 5．（24-25高一下·浙江·月考）在中，角的对边分别为，若，则 ． 【答案】 【解析】 ， 又当且仅当，即时等号成立， 且当即时，， 所以只能与同时成立， ， 所以故． 6．（2025·福建福州·模拟预测）已知分别为的三个内角的对边，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据已知条件，得， ， ，,故选：C. 7．（24-25高一下·重庆万州·月考）中，三边之比，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】中，三边之比，设， 则由正弦定理得，故选：D 8．（23-24高一下·湖北·月考）（多选）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角B的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】因为， 所以，即， 因为，所以或，故选：AC 【题型3 判断三角形解的个数问题】 高妙技法 1、从代数上来说，可由“大边对大角”来判断； 2、从几何上来说，已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题） 在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下： 当为锐角时： 当为钝角时 仅有一个解 无解 9．（24-25高一下·陕西咸阳·期中）在中，角的对边分别为，若，，，则此三角形（    ） A．无解 B．有两解 C．有一解 D．解的个数不确定 【答案】B 【解析】由正弦定理可知，，即，得， 因为，所以或， 所以此三角形的个数为2个.故选：B 10．（24-25高一下·河北沧州·月考）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则满足下列选项的三角形有两解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对A：根据三角形全等的判定方法，满足条件的三角形只有一解，故A不符合题意； 对B：因为，所以，又为钝角，所以C不存在， 所以满足条件的三角形不存在，故B不符合题意； 对C：因为，即.所以满足条件的三角形有2解，故C满足题意； 对D：，所以，所以满足条件的三角形只有1解，故D不符合题意.故选：C 11．（24-25高一下·安徽芜湖·月考）在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中利用正弦定理得，则， 若有且仅有一个，则或，或， 则边长的取值范围是.故选：C 12．（24-25高一下·甘肃白银·期中）已知的内角的对边分别为，且有两解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为有两解，得，得．故选：B. 【题型4 判断三角形的形状】 满分技法 1、角化边：利用正(余)弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断； 2、边化角：通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断． 13．（2025·内蒙古赤峰·三模）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，则的形状是（   ） A．等腰三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不确定的 【答案】A 【解析】由余弦定理可得，则. 因为，所以，所以是等腰三角形.故选：A 14．（24-25高一下·重庆·期中）已知三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】因为，故， 整理得， 即，故， 故或，故三角形为等腰或直角三角形，故选：D. 15．（24-25高一下·江苏盐城·期中）在中，角A、B、C所对边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【解析】由，则， 所以，可得，不能确定是否成立， 所以一定是直角三角形.故选：B 16．（24-25高一下·河北承德·期中）在中，内角，，的对边分别为，，．若，，则一定是（    ） A．三边不全相等的锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【解析】在中，，又，故． 由余弦定理得， 结合，得，解得， 所以一定是等边三角形．故选：D． 【题型5 三角形的周长与面积】 高妙技法 1、三角形面积公式的使用原则：对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是使用哪一个角就使用哪一个公式； 2、与面积有关的问题：一般要用到正弦定理和余弦定理进行边角互化； 3、三角形的周长问题：一般是利用余弦定理和公式a2+b2=(a+b)2-2ab将问题转化为求两边之和的问题． 17．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，，且，则的周长为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 【答案】B 【解析】在中，由，得，而，则， 由，得， 由正弦定理得，则，， 由正弦定理得， 由余弦定理得，整理得， 而，解得，所以的周长为18.故选：B 18．（24-25高一下·安徽阜阳·月考）在中，，则的面积是 . 【答案】 【解析】在中，， 由余弦定理得，则， 所以的面积为. 19．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）在中，其内角的对边分别为，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在中，， 所以的面积为.故选：D 20．（24-25高一下·广东惠州·期中）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知：. (1)求A； (2)若，，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为，由正弦定理得， 因,故， 故，即， 又，故. （2）由正弦定理可得， 则,可得，即， 由（1） 根据余弦定理可得， 则，即，可得， 所以的面积 【题型6 三角形的外接圆问题】 高妙技法 利用正弦定理：可求解三角形外接圆的半径. 若要求三角形外接圆半径的范围，一般将用含角的式子表示，再通过三角函数的范围来求半径的范围． 21．（24-25高一下·重庆·月考）在中，内角A，B，C所对的边分别为，已知且，则外接圆面积为 . 【答案】 【解析】在中，由及余弦定理可得： ， ∴. ，. 设外接圆半径为，则由正弦定理可知：，即. ∴外接圆面积为. 22．（24-25高一下·甘肃庆阳·期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的外接圆的半径为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【解析】设所求为，由题意， 在三角形中，解得.故选：A. 23．（24-25高一下·安徽·期中）在中，分别为角所对的边，且，若的外接圆直径为.则的值为（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【解析】因为， 所以由正弦定理得， ， 又在中，，， ，， 的外接圆直径为，.故选：B. 24．（24-25高一下·河南·月考）在中，内角的对边分别为，且. (1)求角的大小； (2)已知的周长为，外接圆的面积为，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为， 所以，因为，所以, 所以，因为，所以. （2）设外接圆的半径为，由，得， 又因为， 因为的周长为，所以， ，得， 所以的面积为. 【题型7 三角形的中线问题】 高妙技法 1、中线长定理：在中，是边上的中线，则. 2、中线向量化：由（核心技巧）得（结论）. 3、邻角互补应用： 核心技巧： 在中有：； 在中有：. 25．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知的内角，，的对边分别为，，，向量，，且. (1)求； (2)若，，求边上的中线的长. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由题意得， 由正弦定理得， 因为，所以，则，得， 又，所以. （2）由题意得，则， 两边平方得， 所以，所以. 26．（24-25高一下·甘肃榆中·月考）已知中，． (1)求的大小； (2)设为的中点，且，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由，得． 由，得，故，所以． （2）由正弦定理得，，即． 由余弦定理得，， 即，解得或（舍）． 所以， 故． 27．（24-25高一下·吉林长春·期中）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求角B； (2)若，且边AC边上的中线长，求的面积； 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在中，由及正弦定理，得， 则，即， 整理和，是，因此，又， 所以. （2）由及余弦定理得，解得， 由是边边上的中线，得，两边平方得， 则，而，解得， 所以的面积. 28．（24-25高一下·甘肃兰州·期中）已知的内角A，B，C的对边为a，b，c，且. (1)求； (2)若的面积为，E为BC的中点，且，求底边BC上中线AE的长. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由题设，则，整理得， 所以，故，则； （2）由题设，可得，又，则， 由，则. 【题型8 三角形的角平分线问题】 高妙技法 如图，在中，平分，角，，所对的边分别为 （1）利用角度的倍数关系： （2）内角平分线定理：为的内角的平分线，则. 说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。 （3）等面积法：因为，所以， 所以，整理的：（角平分线长公式） 29．（24-25高一下·吉林长春·期中）设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，，的平分线交边BC于点D，则线段AD的长度为 . 【答案】 【解析】在中，由面积公式得， 又， 故，解得 30．（24-25高一下·山东淄博·月考）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，，面积为，D为边AB上一点，CD是的角平分线，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【解析】在中，，由余弦定理可得， 所以，所以， 又面积为，所以，所以， 所以，所以， 因为CD是的角平分线，，所以， 因为，所以， 所以， 所以，所以，所以.故选：B. 31．（23-24高一下·四川绵阳·月考）在中，内角所对的边分别为，若且； (1)求； (2)已知直线为的平分线，且与交于点，若，求的周长． 【答案】(1)；(2)12． 【解析】（1）根据题意可得， 由正弦定理得， 又， 故，因为，所以，所以， 因为所以，所以，所以， 因为，所以． （2）因为， 所以， 又平分，所以， 所以，则， 由余弦定理得，即， 所以，解得（负值舍去）， 故的周长为12． 32．（24-25高一下·云南昆明·期中）在中，角的对边分别是，且． (1)求角的大小； (2)若，D为AC边上的一点，，且BD是的平分线，求的面积． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， 由正弦定理，可得， ∴． ∵，∴，∴， 又，∴． （2）由（1）可知， 而，由BD平分得：， ∴，即． 在中，，由余弦定理得， 则， 联立，得，解得， ∴. 【题型9 多三角形中的解三角形】 高妙技法 在面对几何图形时，关键是寻找相应的三角形，并在三角形中利用正、余弦定理，特别时涉及到公共边时，要利用公共边来过渡，即利用公共边创造互补或互余关系列式，其本质是构建关于角的关系的方程. 33．（24-25高一下·广东东莞·月考）如图，在直角中，，为上的点，为上的点，若，，，，则 ． 【答案】 【解析】由题意，， 所以有， 一方面在中运用正弦定理得，即， 另一方面由以及， 得，又， 所以; 又在中运用正弦定理得， 即，所以； 注意到， 所以有. 故答案为： 34．（24-25高一下·广东中山·月考）如图，在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知． (1)求角B的大小； (2)若D为BC边上一点，，求AB的长. 【答案】(1)；(2). 【解析】（1）由正弦定理，得， 即，即． ∵，则． ∴，即， 又，∴． （2）在中，，，， ∴， ，∴． 在中，，，， 由正弦定理，得，可得. 35．（24-25高一下·重庆·期中）在锐角中，的面积为S，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：， (1)求角A的大小； (2)作（A，D位于直线BC异侧），使得四边形ABDC满足 ，BD=，设，试用表示AC，并求AC的最大值. 【答案】(1)；(2)， 【解析】（1）根据正弦定理可知：， 则，所以， 又，化简得， 故，因为，所以； （2）因为，所以，， 在中，由正弦定理得可得， ， 在中，由正弦定理得：可得， ， 因为是锐角三角形，所以， 所以， 当时，可得的最大值是. 36．（24-25高一下·海南海口·月考）如图，在中，，，，为内一点，且． (1)若，求的长； (2)若，求． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）在中，， 则， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以； （2）设，则， 在中，因为， 所以, 在中，, 所以，即， 所以，即. 【题型10 解三角形中的最值与范围问题】 高妙技法 三角形中的最值与范围问题处理方法 法一：利用基本不等式求最值-化角为边 余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件. 法二：转为三角函数求最值-化边为角 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决. 要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边. 37．（23-24高一下·浙江宁波·期末）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，且，则， 由余弦定理可得，所以， 即，由正弦定理可得， 其中，则，所以， 又， 化简可得， 且为锐角三角形，则， 所以， 即， 解得或（舍）， 所以，当且仅当时，等号成立， 则的最大值为.故选：B 38．（24-25高一下·江苏·月考）在中，分别为内角所对的边，已知.设为边BC上一点，若，且，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由正弦定理可得, 又 所以， 由两角和正弦公式可得，， 又，所以，所以，即， 又，所以，所以即， 设，则， ∵，， ∴， 即，化简得，即， 又，解得或（舍去）， 所以， 又， 所以， 即，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以，即面积的最小值为.故选：A 39．（24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期中）在中，已知，，则周长最大值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】B 【解析】在中，由及正弦定理， 得，整理得，而， 因此，解得，当且仅当时取等号， 所以当时，周长取得最大值6.故选：B 40．（24-25高一下·广东佛山·月考）已知锐角的内角的对边分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）∵，∴由正弦定理有：， 又∵， ∴， 又∵，∴，∴，∴， 又∵，∴； （2）解法一：由正弦定理得：， ∴， 又∵， ∴， ∵为锐角三角形， ∴，∴， ∴，∴， ∴，故周长的取值范围是； 解法二 由余弦定理得：，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，当且仅当时取等号， 又∵，∴， ∵， ∴当或时， 有或， 此时有， 因为为锐角三角形， 故周长的取值范围是. 【题型11 解三角形在实际中的应用】 高妙技法 正、余弦定理在解决实际问题中的应用，本质上还是正、余弦定理在解决几何图形（主要是三角形与四边形）问题中的应用，因此利用几何图形本身及实际问题中涉及到的术语（如方位角等）构建恰当的三角形，在三角形中运用正弦定理或余弦定理即可. 41．（24-25高一下·江苏宿迁·期中）被誉为“苏北黄鹤楼”的泗水阁位于泗阳运河风光带上，建成于2012年，建筑面积约5800平方米，是四面五层仿唐汉风格的建筑.某同学为测量泗水阁的高度，在泗水阁旁边找到一座建筑物，高约为，在底面上的点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，泗水阁顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则泗水阁的高度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在中，，所以， 在中，， 则， 由正弦定理得，即，解得， 在中，.故选：C. 42．（24-25高一下·福建莆田·月考）如图所示，福建莆田广化寺东侧的释迦文佛塔是一座古老的五层石塔.某数学兴趣小组成员为测量释迦文佛塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的三处进行测量，如图2已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则根据该测量方案可测得释迦文佛塔的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【解析】在直角三角形中，，，可设； 在直角三角形中，，，可得； 在直角三角形中，，，可得. 在中，根据余弦定理，， 在中，根据余弦定理，， 又，则，即， 解得，即.故选：B 43．（24-25高一下·黑龙江·月考）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，米，在点测得塔顶的仰角，则塔高为（    ）（单位：米） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意，在中，， 由正弦定理可知. 在中，， 于是.故选：D 44．（24-25高一下·安徽滁州·月考）高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水.如图所示，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山遂道，现已测得三条线段的长度分别为，则隧道的长度为 . 【答案】 【解析】过作于，如图所示： 设， 由题意可知设， 则有，, 所以，解得， 所以， 在中，， 所以， 所以. 提升专练 一、单选题 1．（24-25高一下·江苏镇江·期中）在中，已知角，，的对边分别为，，，且，，，若有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知，，，由正弦定理可得： ，即. 因为，所以. 要使有两解，则，且，此时的取值范围是. 由，且，可得.得到. 的取值范围是，故选：B. 2．（24-25高一下·山西·期中）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D是上靠近A的三等分点，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为D是上靠近A的三等分点，所以， 所以， 在中，由余弦定理得， 即，则， 即，当且仅当时等号成立， 又在中，, 因此，即， 所以的取值范围为.故选：C. 3．（24-25高一下·广东·期中）如图，在中，分别是AC上的三等分点，记，则（    ）    A． B．3 C． D．2 【答案】B 【解析】由题设，，， 令，又，， 所以，，即， ，，即， 所以， 又，则，即，故.故选：B 二、多选题 4．（24-25高一下·甘肃庆阳·期中）（多选）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则如下判断正确的是（    ） A．若，则 B．若，则为等腰三角形或直角三角形 C．若，则是锐角三角形 D．若，则符合条件的有两个 【答案】ABD 【解析】对于A：由，则当时，， 当时，由可知，所以，A正确； 对于B：由，，，得：或， 即或，所以为等腰三角形或直角三角形，B正确； 对于C：由正弦定理可将转化为， 则，所以，但无法判断A，B的范围，C错误. 对于D：由，根据正弦定理得： ，∴，且， 所以满足条件的三角形有两个，D正确.故选：ABD. 5．（24-25高一下·辽宁沈阳·期中）（多选）在中，，点D为边上一动点，则（    ） A． B．当为边上的高线时， C．当为边上的中线时， D．当为角A的角平分线时， 【答案】ACD 【解析】对于A，由余弦定理，可得， 所以，所以A正确； 对于B，由正弦定理，可得， 而，故，所以B错误； 对于C，如图所示，取的中点，连接，则， 可得， 在中，由余弦定理，可得 ，可得，所以C正确； 对于D，因为为角的平分线，设， 由，可得， 可得，所以D正确.故选：ACD. 6．（24-25高一下·江苏南京·月考）（）偶选的下列命题正确的是（    ） A．在中，是的充要条件 B．在中，角所对的边分别为，若，则 C．在中，角所对的边分别为，若三角形有两解，则的取值范围为 D．在中，，则为锐角三角形 【答案】AC 【解析】对于A中，在中，由得，可得，可得， 反之，由得，即，则，所以A正确； 对于B中，在中，，由正弦定理知， 即，得或.故B不正确； 对于C，在中，，若三角形有两解， 则即故C正确； 对于D，在中，， 由正弦定理得，则，根据余弦定理知, 所以是钝角，故D不正确.故选：AC. 三、填空题 7．（24-25高一下·浙江宁波·期中）在锐角中，内角所对的边分别为，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】由余弦定理得，又， 则，即，于是， 由正弦定理得， 即， 在锐角中，，，而正弦函数在上递增， 则，即，此时，，，， ， 令，函数在上递减，在上递增， 当时，，当时，， 所以的取值范围为. 8．（24-25高一下·湖北武汉·期中）在锐角中，三内角的对边分别为，且，则的最小值为 ． 【答案】8 【解析】根据正弦定理由，可得， 所以， 即可得， 又因为，可得， 因此， 所以， 因为为锐角三角形，所以，即， 令，可知， 所以， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值为8. 9．（24-25高一下·江苏镇江·月考）如图，已知在东西走向上有两座发射塔，且，一辆测量车在塔底的正南方向的点处测得发射塔顶的仰角为，该测量车向北偏西方向行驶了后到达点，在点处测得发射塔顶的仰角为，经计算，则两发射塔顶之间的距离为 【答案】或 【解析】在中，，，所以， 连接，在中，， 又，所以为等边三角形，得到，， 在中，因为，，则， 在中，，，， 由余弦定理，得到， 解得或，过作于，则， 当时，， 当时，， 所以两发射塔顶之间的距离是或． 四、解答题 10．（24-25高一下·四川德阳·期中）已知中角，，的对边分别是，，，且. (1)求； (2)若，，求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）， 由余弦定理， 而为三角形内角，. （2）,，, . 11．（24-25高一下·广东深圳·期中）在中，角所对的边分别为，，． (1)求角； (2)求角； (3)求的面积． 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）因为， 所以，整理为． 由余弦定理可得， 因为，所以． （2）因为，所以， 因为，所以． （3）由（1）知， 所以，解得或（舍去）， 所，即． 12．（24-25高一下·河北石家庄·月考）在中，角所对的边分别为，且． (1)求； (2)已知为边上的一点，若，求的长． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）由正弦定理可得，即， 化简可得， 由余弦定理可得，且，所以. （2）设，则， 在中，由余弦定理可得 ，即， 由正弦定理可得，即， 则， 又， 则， 又，所以 ， 在中，由正弦定理可得， 即. 真题感知 1．（24-25高一下·新疆哈密·期中）在中，已知，则这个三角形的最大角的弧度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，令，则角最大， 由余弦定理得， 又，则，所以这个三角形的最大角的弧度数为.故选：A 2．（24-25高一下·广东佛山·期中）在中，角的对边分别是，且，，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不确定的 【答案】A 【解析】在中，由余弦定理得， 因为，可得， 代入上式，整理得，即，所以， 所以，所以为等腰三角形.故选：A. 3．（24-25高一下·湖北恩施·期中）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，边BC上一点D满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由， 根据正弦定理得，， 则，即，所以， 又，所以， 因为，即，故为角的平分线，且， 由，则， 故，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为.故选：C． 4．（23-24高一下·浙江·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边上的中线、高线、角平分线长分别是，，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A：设为的中线，由 可得，即，所以A正确； B中，设，设为的角平分线，所以， 由三角形等面积法可得， 可得， 所以，即，所以B正确； 设为边上的高，由等面积法可得， 所以，因为，由余弦定理可得， 所以， 所以， 即，所以C正确； D中，由C可得，所以D不正确．故选：D． 5．（24-25高一下·广东茂名·月考）（多选）已知的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则有一解 B．若，则无解 C．若，则有一解 D．若，则有两解 【答案】ABD 【解析】A选项，因为，所以，故， 则是边长为2的等边三角形，有一解，故A正确； B选项，若，由正弦定理得，即， 解得，无解，故B正确； C选项，若，由大边对大角可知，此时三角形中有2个钝角， 不可能，则无解，故C错误； D选项，若，由正弦定理得， 即，解得，因为，所以或， 所以有两解，D正确.故选：ABD. 6．（24-25高一下·广东深圳·期中）（多选）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九韶的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求积”中提出了已知三角形三边，，求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完全等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积.”若把以上这段文字写成公式，即，现有满足，且的面积，请运用上述公式判断下列命题正确的是（    ） A． B．周长为 C．外接圆直径为 D．的边上的中线的长为 【答案】ABC 【解析】，则， 设，，， 面积为， ，解得， ，，， 对于A，， ，，故A正确； 对于B，，故B正确； 对于C，设外接圆半径为，由正弦定理得：， ，故C正确； 对于D，中线，， ， ，故D错误.故选：ABC. 7．（24-25高一下·四川遂宁·期中）在锐角中，角的对边分别为，已知，点在上，是的平分线，则的取值范围为 ． 【答案】 【解析】因为是的平分线，由角平分线定理得 ，设，则，所以. 因为为锐角三角形，则， 由余弦定理得，解得； ，解得恒成立； ，解得. 综上，. 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 所以， 整理得. 8．（24-25高一下·安徽·月考）如图，为了测量一条大河两岸之间的距离，无人机升至米的空中沿水平方向飞行至点进行测量，在同一铅垂平面内.在点测得的俯角为，则 . 【答案】 【解析】由条件知，过作垂直于直线，垂足为， 在中，，在中，， 所以. 9．（24-25高一下·广西南宁·月考）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)若，求△ABC面积的最大值； (2)若的角平分线交AC于点D，且，，求BD边的长度. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因，即，由余弦定理可知， 又，则；又因为， 故（当且仅当时等号成立） 所以△ABC面积的最大值为 （2）由已知的角平分线交AC于点D，则， 又在△ABC中，，即， 即，解得. 10．（24-25高一下·江苏江阴·期中）如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,. (1)求的大小; (2)若,求的面积. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为是的角平分线,所以, 在中,根据余弦定理得, 所以, 则, 因为,所以. （2）因为,所以, 在中,由正弦定理得, 在四边形中,, 所以, 则. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$