专题03 正弦+余弦·定理·应用（十六大高频考点）（期末复习专项训练）数学苏教版高一必修第二册

**基本信息** 聚焦正余弦定理的系统性应用，覆盖基础计算、综合拓展及实际测量，以题型分层构建“定理应用—变式探究—实践建模”逻辑链，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定理基础应用|题型1-8（32题）|涵盖定理解三角形、边角互换、形状判定等基础题型，标注重点与常考点|从定理直接应用到边角关系转化，构建“概念—性质—判定”推导链条| |综合拓展应用|题型9-12（16题）|涉及最值范围、几何图形计算、与三角函数综合，突出难点突破|以定理为工具，结合函数思想与几何性质，提升综合解题能力| |实际测量应用|题型13-16（16题）|包含距离、高度、角度测量及内部有线问题，强调应用意识|从数学模型到实际问题解决，体现数学语言描述现实世界的价值|

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题03正弦+余弦·定理·应用 题型归纳·内容导航 题型1余弦定理解三角形 题型9求三角形中边长或周长的最值或范围（难点） 题型2余弦定理涉及边角互换 题型10求三角形面积的最值与范围（重点） 题型3正弦定理解三角形（重点） 题型11几何图形中的计算（常考点） 题型4判定三角形解的个数（重点） 题型12正余弦定理与三角函数的综合（常考点） 题型5正弦定理涉及边角互换（常考点） 题型13距离测量问题 题型6射影定理的应用（结论） 题型14高度测量问题 题型7正余弦定理判定三角形的形状 题型15角度测量问题（重点） 题型8证明三角形中的恒等式（重点） 题型16解三角形内部有线问题（难点） 题型通关·靶向提分 题型1余弦定理解三角形（共4小题） 1.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=4,b=5,cos∠4CB= (1)求c. (2)设CD平分∠ACB,且CD与AB交于点D. (i)证明：AD=CD (i)若CA=2CE-CB,求DE的长. 2.已知钝角三角形ABC的三边分别为k,k+1,k+2,则实数k的取值范围为() A.（0,3 B.(1,3 c.[2,3 D.（2,6 3.(多选)在三角形ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足a2+b2-c2)c2+b2-a2)≤0则以下叙述 正确的是（) A.三角形ABC一定不是锐角三角形 B.AB.BC一定为负值 C.若角C是锐角且a=2b,则cosC≥} D.若三角形ABC是直角三角形且A=2B,则B= 4记ABC的内角4，B,C的对边分别为a,,c,若cosC-名，则am8的最大值为（ 1/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A,1 B.3 C.5 D.3 题型2余弦定理涉及边角互换（共4小题） 5.在48C中，若cos4-名则此三角形一定是() A.直角三角形B.锐角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 6.在ABC中的角4B.C的商边分别为a6,c,且cos-“,则ABC的形状为( A.等腰三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.直角或等腰三角形 7.在ABC中，若b2+c2-a2=bc,则A=() A. C.2x D. 6 8. 3 6 8.在钝角ABC中，b=8,c=7,C=60°，则a=() A.2 B.3或5 C.5 D.3 题型3正弦定理解三角形（共4小题）（重点) 9.(多选)在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C,则下列说法正确的是(） A.若A>B,则sinA>sinB B.若b=6,c=5,C=兀，则满足这组条件的三角形有两个 3 C.若sin2A>sin2B+sin2C,则ABC是钝角三角形 D.若sin2A=sin2B,则ABC为等腰的三角形 10.在ABC中，A=60°，AC=4,BC=2√6，则B=() A.30° B.45° C.60° D.90° 1在8c中，1B.C所对的边分别为a6c,已a+b-3且a号0。：若48C面积为4.则 tan C= 12.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,B=30°，bsinA=1,则a=(） A.1 B.2 C.3 D.4 题型4判定三角形解的个数（共4小题）（重点) 13.(多选)若有一个ABC,下面说法正确的是() A.在ABC中，若sin2A=sin2B,则ABC为等腰直角三角形 B.在ABC中，a=x,b=2,∠B=45°，若此三角形恰有两解，则实数x的取值范围是2<x<22 C.在ABC中，三边之比为3：5：7，则此三角形的最大内角为120° D.在ABC中，A=60°，且最大边与最小边是方程3x2-27x+32=0的两个实根，则ABC的外接圆 2/12 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 7W5 半径R外= 3 4.已知ABC的内角A,B,C的边分别为a,b,c,若满足0=9snB三的4BC有两解，则h的 取值范围为() A.（6,9 B.[6,9 C.(9,12 D.[9,12 15.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、C,若满足1-tanA)(1-tanB)=2和c=4v2的三角形 有且仅有两个，则边b的取值范围是 16.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=15,b=18,A=30°，则此三角形解的个数 为() A.0 B.1 C.2 D.不能确定 题型5正弦定理涉及边角互换（共4小题）（常考点） 17.在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,己知acosA=bcosB,则ABC的形状为() A,等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 18.已知4BC的内角A,B,C的对边为a,b,G,且a-b_sinC-sinB c sinA+sinB (1)求tanA; (2)若ABC的面积为√5，求内角A的角平分线AD长的最大值. 19.ABC中，acosC+asinC=b,则A= 20.已知4BC的内角4，B,C的对边分别为a,6,。,且面积为s.若a=1,C=普且 4S=acosB+bcosA,B=() A.Sn B.7π C. D.π 6 12 6 题型6射影定理的应用（共4小题）（结论） 21.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示ABC的面积，若ccos B+bcosC=2 a sin A ，5=3 ab.cosC,则∠B=() 2 A.309 B.90° C.45° D.60° 2.在ABC中，2sim=c-b(a,b,c分别为角A,8,C的对边，则ABC是() A.等边三角形B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等腰三角形 3/12 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 23.在aABC中，角A,B,C所对的边分别为a,hc,且asinC+csin2A=3ac 2 22(a+b+c (1)求角B的大小； (2)设D是边AC上一点，满足AD=2DC,且BD平分∠ABC,若a=2,求△ABC的面积. 24.(多选)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为Q,b,C,则下列结论正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB B.若sinA+sinB>sin2C,则ABC是锐角三角形 C.若b=8,c=10,B=30°，则符合条件的ABC有两个 D.若a3=b3+c3,则ABC是锐角三角形 题型7正余弦定理判定三角形的形状（共4小题） 25.已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(sinA-sinB)>csinC,则ABC的形状 是() A.锐角三角形B.钝角三角形 C.直角三角形 D.无法确定的 25.在ABC中，ac分别是肉角《，8.C的对边，若Sc=a+-c),且 BC BA ·AC=0, sin A sin C 则ABC的形状是() A.等边三角形 B.等腰直角三角形 C.有一个角是30的直角三角形 D.有一个角是30的等腰三角形 27.(多选)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是() A.若A>B,则sinA>sinB ®.已知b=3B-子若48C有两解，则4的取值范国是(3,3 c.若 AB AC ABI IAC 8C=0,耳A治元=：则ABC为等题角形 D.若tanA+tanB+tanC>0,则ABC可以是钝角三角形 28.(多选)（多选题）在ABC中，已知a2tanB=b2tanA,则ABC的形状可能是(） A.锐角三角形B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 题型8证明三角形中的恒等式（共4小题）（重点） 29.(多选)三角形ABC中，角A,B,C的对边是a,b,C,动点P为BC上一点，LCAP=0,当O变 化时，O与三角形ABC的边和角之间的等量关系是() A.csin0 asin(A-0)+bsin(C+)B.bsin0 csin(0-A)+asin(0+C) C.ccose asin(A-0)+bsin(C+0)D.bcos0 ccos(0-A)+acos(0+C) 30.（多选)在锐角ABC,内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sinA=sin Bsin C,则下列说法 4/12 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 正确的是() A.tan B tan C tan B tan C B.sinB sinc 有最大值√ sin C sin B C.a>b D.a'sbe 5 31.在48C中，角4，B,C的对边分别为a,b,c,sin24+sin产B-sinC=25si -sin Asin B sin C. 3 (1)证明：sinC= 5(c2-a2-b2） 2ab (2)求C: B若c=),边AB上的中线CD=5,求边a,b的长 2 32.(多选)在ABC中，角4，B,C所对的边分别为ab,c,A=,a=4,则下列结论正确的是（) 3 A.ccosB+bcosC =4 B.若c=7,则符合条件的三角形有两个 C.b2+c2≤32 cosB 题型9求三角形中边长或周长的最值或范围（共4小题）（难点） 33.在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c, (1)若b2+c2-a2=8V5,4ABC的面积为2.求角A: 2)若ABC为锐角三角形，A=,且外接圆半径为2，求2c+50的取值范围 6 ac 34.记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知csinB+√3 bcosC=0. (1)求C; (2)设V5(a+b)=2c,且AB边上的高为1，求ABC的周长。 35.在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,C, sin24+cos2B+cos2C=2+sinBsinC. (1)求角A的大小： (2)若a=25,∠BAC的角平分线交BC于点D,求线段AD长度的最大值 36.钝角ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,满足a=b1anA,则+C的取值范围为() a2 A.(0,1) B.(1,+0】 c.「4N2-5,+o）D.[22-5,+∞ 题型10求三角形面积的最值与范围（共4小题）（重点） 5/12 画学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 37.在ABC中，角A,B,C的对边分别为Q,b,C,且满足 (a+b+c (sin A+sin B-sin C)=a sin B+2bsin A. (1)求角C的大小； (2)若c=√5，求ABC面积的最大值. 38.己知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=bcosA,b=6,则ABC面积的最大值为() A.9 B.18 c.18 D.6 39.在四边形0ABC中，BC=1,BA=2,∠AOC=120°，∠ABC=60°，则△A0C的面积的最大值为() A.3 B.3V5 c.3 2 D.5 4 4 40.已知锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、C,且满足cosB=a-C 2c (1)求证：B=2C: (2)若b=1,求a的取值范围； (3)若a=2,求三角形ABC面积的取值范围 题型11几何图形中的计算（共4小题）（常考点） 41.ABC中，BC=2,AC=2V5,∠ACB=90°，D为线段CB的中点，点E,F分别在线段BA,AC上. 若aDEF为正三角形，则△DEF的面积为 C D 42.如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处√3-1海里的B处有一艘走私船.在A处北偏西75°方 向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以10√3海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里 /小时的速度，从B处向北偏东30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需 时间 北 30 B 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 43.在平面四边形ABCD中，已知AC=2√7，CD=2,AD=4. D B (1)求∠ADC; (2)若AD⊥AB,BC⊥CD,求BD 44.如图，在ABC中，AB=2,3 acosB-bcosC=ccosB,点D在线段BC上 D )若∠ADC,求AD的长， (2)若BD=2DC, ABC的面积为45，求如<BD的值 3 sin∠CAD 题型12正余弦定理与三角函数的综合（共4小题）（常考点） 45.在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知V3sinB+cosB=2,且acosC+ccosA=4V3cosB ,AC的中点为M (1)求B: (2)若ABC为锐角三角形，求BM的取值范围. 46.在△4BC中，三内角A、B、C的对边分别为a、h、G,满足anB=cos(C-B) sin A+sin(C-B)' (1)证明：△ABC为直角三角形； (2)若b=4,c=3,∠BAC的平分线交BC于D,求线段AD的长： )当a=2,B=x时，设y=+C+!表示成y=f(x的形式，求y=x到的最值. bc 47.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a+b+c)b+c-a)=3bc, 5cosB-8cosC_cos4,且 8c-5b a △ABC的面积S=10V3,则AB.BC+BC.CA+CAAB=() A.64 B.84 C.-69 D.-89 48.记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,ABC外接圆的半径为√6，且 7/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 bcosC+acosA=3asinA-ccosB. (1)求a: (2)角A的平分线交BC于点D,且AD=√5，求ABC的周长 题型13距离测量问题（共4小题） 49.为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型.若 AC=40√2米，BC=50米，∠MCA=45°，∠NCB=60°，∠MCN=120°，则塔尖MN之间的距离为() 米. A.80 B.120 C.20√6 D.2067 50.如图，位于点A处的渔船观测到点C处的灯塔在渔船的北偏东53°方向上，当渔船沿着正东方向航行 14海里后，观测到灯塔在渔船的北偏东37°方向上，则此时渔船与灯塔的距离为（参考数据：取$i血37°= 5 )() ò A.25海里 B.30海里 C.40海里 D.45海里 51.盘山是中国著名的5A级景区，它有五大主峰.以主峰挂月峰为中心，其余四峰（紫盖峰、自来峰、九华 峰、舞剑峰)环绕，合称“五峰攒簇”如图，工作人员要测量舞剑峰M,九华峰N之间的距离，P,G,M, N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P,G两点进行测量，途中在点P测得∠GPM=75°， ∠GPN=30°，在点G测得∠PGM=45°，∠MGN=75°，测得PG=V6km· G (1)求点P和点M之间的距离； (2)求两主峰M,N间的距离. 52.如图，为了测量河对岸的塔高AB,某测量队选取与塔底B在同一水平面内且相距20米的两个测量基 8/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 点C与D.现测量得∠BCD=30°，在点C,D处测得塔顶A的仰角分别为45°，60°，若河宽至少12米，则塔 高AB=米. 题型14高度测量问题（共4小题） 53.云外楼（图1）是铁山坪森林公园的标志性建筑，位于山顶的云岭广场，登顶后可以俯瞰长江和铜锣峡 的壮丽景色.我校某数学兴趣小组成员为测量云外楼的高度，在与塔底O位于同一水平面上共线的A,B, C三处进行测量，如图2，己知在A处测得塔顶P的仰角为30°，在B处测得塔顶P的仰角为45°，在C处测 得塔顶P的仰角为60°，AB=BC=50米，则云外楼的高度OP=() A B 图1 图2 A.182米 B.18√6米 C.25W2米 D.25V6米 54.中国古代四大名楼鹊雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》 而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹊雀楼的正东方向找到一座建筑物AB,高约为 37m,在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A,鹳雀楼顶部M的仰角分别为30°和 45°，在A处测得楼顶部M的仰角为15°，则鹳雀楼的高度约为() 15 45> 30 B A.64m B.74m C.52m D.91m 55,如图所示，为测量河对岸的塔高AB,选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得 tan∠ACB=0.6,CD=40米，∠BCD=62.71°，∠BDC=64.16°，则塔高AB≈ 米（结果保留整数）. 9/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (参考数据sin64.16°≈0.9，sin62.71°≈0.89，sin53.13°≈0.8) B 56.重庆某校内“木铎金声钟”雕塑，该雕塑钟原型为北京师范大学本部“木铎金声一百年”的纪念雕塑，木铎 金声，寓意传播知识、启迪心智、匡正风气，承载着“为民族复兴办教育”的担当，更与学校“本德宗道、兼 济天下”的校训一脉相承，也寄寓着对京师学子治学修身、以德立身、心怀家国的殷切期许、某同学为了测 量木铎钟高度，设木铎钟加底座高为AB,在与点B同一水平面旁边小路上且共线的三点C,D,E处分别 测得顶点A的仰角为30°，45°，60°，且CD=DE=6m,则木铎金声钟的高AB约为()（参考数据： √6≈2.449,3≈1.732，√2≈1.414) 30>C E A.7.20m B.7.35m C.8.20m D.8.35m 题型15角度测量问题（共4小题）（重点) 57.如图，某港口0要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上在小艇出发时，轮船位于港口0北 偏西30°方向且与该港口相距30海里的A处，正在沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以10√6海里 /小时的速度匀速行驶，经过1.5小时后与轮船相遇.则小艇的航行方向为() 309 A.沿正北方向B.北偏东45°方向C.北偏东60°方向D.北偏东75°方向 58.如图所示，某巡逻艇在A处发现北偏东30相距3海里的B处有一艘走私船，正沿东南方向以2海里 10/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以3海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1小时后，巡逻艇 到达C处，走私船到达D处，此时走私船才发现了巡逻艇，立即改变航向，以3海里/小时的速度向正东 方向逃窜，巡逻艇立即加速以4海里/小时的速度沿着直线追击， B D 309 4 2-------F 东 (1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里？（结果精确到0.1海里） (2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船？（结果精确到01） 59.海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在P处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面9处， 有一艘A舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协 调在P处的B舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东50°+0方向与A舰艇对接并进行横向液货补给.若B舰 艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则sin0=· 北 709 50 60.某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”.如图，在坡脚A处测得坡顶一建筑物CD的顶 端C对于山坡的倾斜程度为30°，沿土坡前进50m到达E处，测得C对于山坡的倾斜度为60°，己知CD=45 m,BC⊥AB,设土坡对于平面的坡角为O,则cos0=() 60D A 30°10 E B A.V3-1 B.√2-1 c.52 D.55 8 9 题型16解三角形内部有线问题（共4小题）（难点） ABC中，边BC上的中线为m,证明：m)2 (2)已知△PQM面积为62，tang=2√2，tanM=√，求QM的长， (3)在AEFG中，EF=EG,边FG上的高线长为√5，H为EG的中点，求cOs∠EFH的最小值， 11/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 62.ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.AD为BC边上的中线，点E,F分别为边AB,AC上动 点，EF交AD于G.已知c=1,且asin A-bsin B=2 asin Ccos B-c csin B. 4 F D (1)求b: 2)设0=AB,AC,若c05∠BAD=2四，求c0s9: 19 (3)在(2)的条件下，若SA4Bc=2SA4EF,求AG.EF的取值范围。 2b=c. 63.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosB- (1)求角A的大小： (2)若ABC边BC上的中线AD的长度为2，求ABC面积的最大值 64.在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且(sinC+V3 cosC)sinB=bsinA,b=V3. (1)求B. (2)若a+c=2,求边AC上的角平分线BD长： (3)求边AC上的中线BE的取值范围. 12/12 专题03 正弦+余弦·定理·应用 题型1 余弦定理解三角形 题型9 求三角形中边长或周长的最值或范围（难点） 题型2 余弦定理涉及边角互换 题型10 求三角形面积的最值与范围（重点） 题型3 正弦定理解三角形（重点） 题型11 几何图形中的计算（常考点） 题型4判定三角形解的个数（重点） 题型12 正余弦定理与三角函数的综合（常考点） 题型5 正弦定理涉及边角互换（常考点） 题型13 距离测量问题 题型6 射影定理的应用（结论） 题型14 高度测量问题 题型7 正余弦定理判定三角形的形状 题型15 角度测量问题（重点） 题型8 证明三角形中的恒等式（重点） 题型16 解三角形内部有线问题（难点） 题型1 余弦定理解三角形（共4小题） 1．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，． (1)求c． (2)设平分，且与交于点D． （ⅰ）证明：． （ⅱ）若，求的长． 【答案】(1)(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】（1）利用余弦定理求解边长即可； （2）（ⅰ）要证明线段相等，可转化为证明对应角相等.结合角平分线性质、二倍角公式，分别推导与的余弦值，利用锐角三角函数唯一性证明两角相等，进而根据等角对等边证得线段相等；（ⅱ）先通过向量关系式变形，利用向量中点公式判定点为线段中点，得到长度；再结合三角形角平分线定理求出的长度，最后根据线段位置关系，通过作差运算求得的长度. 【详解】（1）因为，，， ， 所以. （2）（ⅰ）如图，作出符合题意的图形， ， 平分，， ， ，即，. （ⅱ）如图，作出符合题意的图形， ，， 是 边上的中点，, 而平分，由角平分线定理得到， 且 ， 由（ⅰ）知，故. 2．已知钝角三角形的三边分别为，，，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形三边长关系，结合余弦定理列不等式组即可得解. 【详解】由题意可知钝角三角形的三边分别为，，， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 3．（多选）在三角形中，角的对边分别为，满足则以下叙述正确的是（    ） A．三角形一定不是锐角三角形 B．一定为负值 C．若角是锐角且，则 D．若三角形是直角三角形且，则 【答案】ABC 【分析】利用余弦定理得出，中有一个是直角或钝角，可判断A，然后再结合余弦定理判断BC，由是直角求得，进而判断D. 【详解】对A，由余弦定理得， 又， 所以，即， 所以中有一个是直角或钝角，三角形不是锐角三角形，A正确； 对B，由选项A分析知中有一个是直角或钝角，一定是锐角， 所以，B正确； 对C，若角是锐角，则，由选项A知，即， 又，所以，， 所以，C正确； 对D，由选项A知中有一个是直角或钝角， 现在是直角三角形， 若，又，则，不是，D错误. 4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的最大值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】由已知结合余弦定理得到，设，求出的范围得到，求出，求出，令 ， 则 ，令 ，则 ，由的范围得的范围，则转化为函数，令，函数转化为， 利用二次函数的图像和性质得到，即的最大值， 从而得到的最大值. 【详解】因为， 所以， 解得：，即：， 又，则， 则， 设 （边长比值为正），则 ， 将其代入得： ，即， 又， 则，即， 即，即，即，故， 将 、代入表达式， 得到， ， ， 即， 由正切定义（，，比值符号为正）， 故：， 令 ， 因为，， ， 设， 令 ，则 ，由得， 则转化为函数， 拆分化简：， 令，由得， 函数转化为， 该二次函数开口向下，对称轴为，且 ， 在定义域内可取到最大值， 将代入得：， 即的最大值为，又因为三角形内角， ， 故的最大值为. 故选项B正确. 题型2 余弦定理涉及边角互换（共4小题） 5．在中，若，则此三角形一定是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】根据题意，利用余弦定理，化简求得，得到，即可求解. 【详解】因为，由余弦定理得，整理得， 因为，所以，所以为等腰三角形. 6．在中的角的对应边分别为，且，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．直角或等腰三角形 【答案】B 【分析】将已知条件中的半角余弦表达式转化为边长关系，通过代数运算推导出角为直角. 【详解】因为，所以， 即， 所以， 即， 整理得， 角为直角，为直角三角形. 7．在中，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由余弦定理结合题意可得结果. 【详解】由余弦定理得. ∵，∴. 8．在钝角中，，，，则（    ） A．2 B．3或5 C．5 D．3 【答案】D 【分析】根据余弦定理求解即可. 【详解】在钝角中，，，， 则，即， 解得或. 当 时：，为钝角，符合要求； 当 时：，为锐角，此时三角形为锐角三角形，不符合要求. 故. 题型3 正弦定理解三角形（共4小题）（重点） 9．（多选）在中，内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，，，则满足这组条件的三角形有两个 C．若，则是钝角三角形 D．若，则为等腰的三角形 【答案】AC 【详解】若，则，由正弦定理得，故A正确； 因为，满足这组条件的三角形不存在，故B错误； 若，由正弦定理得， 由余弦定理得，则角为钝角，则是钝角三角形，故C正确； 若，而为三角形内角， 则或，即或， 故为等腰三角形或直角三角形，D错误． 10．在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据正弦定理求出另一边所对角的正弦值，再结合大边对大角以及三角形内角的取值范围确定角的大小即可. 【详解】根据正弦定理知， 因为，，， 所以， 又因为，所以，所以． 11．在中，所对的边分别为，已知且，若面积为4，则__________. 【答案】/ 【分析】利用正弦定理，余弦定理，正切二倍角公式以及两角和的正弦公式分析求解即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 由正弦定理可得：，又，所以， 因为面积为4，所以，① 由余弦定理可得：， 所以，② ①②可得：，即， 所以. 12．在中，角，，所对的边分别为，，，，，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】结合题干和正弦定理建立方程求解. 【详解】在中由正弦定理，可得： 已知，则，且， 代入上式：，解得. 题型4判定三角形解的个数（共4小题）（重点） 13．（多选）若有一个，下面说法正确的是（   ） A．在中，若，则为等腰直角三角形 B．在中，，，，若此三角形恰有两解，则实数的取值范围是 C．在中，三边之比为，则此三角形的最大内角为 D．在中，，且最大边与最小边是方程的两个实根，则的外接圆半径 【答案】BCD 【分析】由，可得或，即可判断A；利用正弦定理即可判断B；根据大边对大角结合余弦定理即可判断C；利用韦达定理结合余弦定理求出边，再利用正弦定理即可判断D. 【详解】对于A，因为，， 所以或，所以或， 所以为等腰三角形或直角三角形，故A错误； 对于B，因为恰有两解， 所以，即，解得，故B正确； 对于C，不妨设三边的长分别为， 则对应的角最大，设为， 则， 所以，即三角形的最大内角为，故C正确； 对于D，设所对的边分别为， 因为最大边与最小边是方程的两个实根，易知两根不相等， 故不是等边三角形. 若为最大角，则， 若为最小角，则，所以角既不是最大角也不是最小角， 即边既不是最大边也不是最小边， 因为最大边与最小边是方程的两个实根， 所以， 由余弦定理得，所以， 所以的外接圆半径，故D正确. 14．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，的有两解，则b的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦定理得到边与角的关系，再结合三角形有两解的条件来确定b的取值范围. 【详解】在中，，， 由正弦定理可得： ， 因为，且时，时， 要使有两解， 则的取值有两个，一个锐角，一个钝角， 由于，且为三角形内角， 所以的取值范围是， 同时有两解时的取值要满足， 由，可得， 又因为，可得， 综上，的取值范围为. 15．在中，角、、的对边分别为、、，若满足和的三角形有且仅有两个，则边的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据给定条件，逆用和角的正切公式求出，再利用正弦定理求解. 【详解】由，得，显然， 在中，，而，则， 由正弦定理，得，由三角形有且仅有两个， 得，则，所以边的取值范围是. 16．在中，角，，的对边分别为，，，，，，则此三角形解的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据和的关系确定正确答案. 【详解】由于， 所以， 所以三角形解的个数为. 题型5 正弦定理涉及边角互换（共4小题）（常考点） 17．在中，角的对边分别为，已知，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 【答案】D 【分析】由正弦定理把换成,代入化简得,结合三角形内角范围,得或,故三角形为等腰三角形或直角三角形. 【详解】在中，由正弦定理，为外接圆半径. 得，. 将其代入已知条件，可得. 化简得，因为，所以. 因此有两种情况： ①，即，此时为等腰三角形； ②，即，则，此时为直角三角形. 综上，的形状为等腰三角形或直角三角形. 18．已知的内角，，的对边为，，，且． (1)求； (2)若的面积为，求内角的角平分线长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理求出角即可得解； （2）利用三角形面积公式结合基本不等式即可求解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， 因为，所以，所以. （2）因为为角的角平分线，所以， 由于，所以， 所以，所以， 因为，当且仅当时等号成立， 所以，即，当且仅当时等号成立， 所以的最大值为. 19．中，，则________． 【答案】 【分析】利用正弦定理边化角，再利用三角函数恒等变换得，从而得解. 【详解】根据题意，， 由正弦定理得， 即， 则， 因为，则， 所以，则， 因为，则. 20．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且面积为．若，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用余弦定理、三角形面积公式及正弦定理边化角求解． 【详解】在△ABC中，，而， 由，得，又，，则， 由正弦定理得，解得，由，得， 所以． 题型6 射影定理的应用（共4小题）（结论） 21．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示的面积，若，，则（    ） A．30° B．90° C．45° D．60° 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用三角形射影定理及三角形面积公式分别求出即可. 【详解】在中，由三角形面积公式及，得， 则，而，解得，， 由三角形射影定理得，而， 则，又，解得，解得， 所以. 故选：B 22．在中，（，，分别为角，，的对边），则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用二倍角公式及三角形射影定理判断得解. 【详解】由，得，整理得， 在中，由射影定义得，则， 而，因此，又，则， 所以是直角三角形. 故选：B 23．在中，角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)设是边上一点，满足，且平分，若，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 利用降幂公式和射影定理对已知条件化简，再利用余弦定理即可. （2） 利用三角形内角平分线的性质，即可得线段长度，将数值代入面积公式即可. 【详解】（1）在中， ， 因为，所以， 化简得 由余弦定理得，又，所以. （2）由题意，，又，所以 则. 24．（多选）在中，角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是（     ） A．若，则 B．若，则是锐角三角形 C．若，，，则符合条件的有两个 D．若，则是锐角三角形 【答案】ACD 【详解】三角形中，大角对大边，若，则，由正弦定理， 则，即，故A正确； 由正弦定理， 已知，则， 由余弦定理，说明是锐角，无法确定是否是锐角， 故三角形不一定是锐角三角形，故B错误； 已知，，，则， ， ，， 可能是大于的锐角或钝角，即符合条件的有两个，C正确； ， ，由大角对大边可知为最大角， 要证是锐角三角形，只需证， 由三角形的性质知， ， ，令，则，， ， 即， ， ，故是锐角三角形，故D正确． 题型7 正余弦定理判定三角形的形状（共4小题） 25．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，则的形状是（    ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．无法确定的 【答案】B 【分析】通过正弦定理将角化为边得，再结合余弦定理即可得结果. 【详解】由，可得，则， 则，则A为钝角， 故的形状是钝角三角形. 26．在中，分别是内角的对边，若，且，则的形状是（） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．有一个角是的直角三角形 D．有一个角是的等腰三角形 【答案】B 【分析】由三角形面积公式和余弦定理化简可得，由正弦定理化简得，结合平面向量线性运算、数量积运算和平面几何知识可得，从而可得是等腰直角三角形. 【详解】根据余弦定理，则. 根据三角形面积公式，则， 化简得，即.因为是三角形内角，所以. 又，由，可得. 则. 如图所示，在边上分别取点，使， 以为邻边作平行四边形，则四边形为菱形， 连接，且，， . 又，且，，即. 又，所以，进而，所以是等腰直角三角形. 27．（多选）的内角的对边分别为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．已知，若有两解，则的取值范围是 C．若，且，则为等边三角形 D．若，则可以是钝角三角形 【答案】ABC 【分析】对于A选项，因为三角形中大角对大边，所以由得，再结合正弦定理即可判断；对于B选项，如果三角形有两解，那么需满足且，解不等式即可得到的范围；对于C选项，因为是角平分线上的向量，它与点积为0，所以角的平分线与边垂直，可得，再根据单位向量点积公式求出角的大小，即可判断三角形形状；对于D项，利用三角形内角和为，推导得到，再结合已知不等式判断三个角的正切符号，即可确定三角形的类型. 【详解】对于A项，在中，由得，由正弦定理得，所以，故A正确； 对于B项，已知，由正弦定理， 即，解得 ， 若有两解，则，解得：，所以的取值范围是，故B正确 C选项，和分别表示与和同方向的单位向量， 以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形， 又由结合菱形性质知的角平分线与垂直， 所以是等腰三角形且， 又因为，且， 所以，所以是等边三角形，故C正确； 对于D项，因为， 所以， 所以， 即， 因为，所以， 又因为， 所以，所以是锐角三角形，故D错误； 28．（多选）（多选题）在中，已知，则的形状可能是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】BD 【详解】将，（为外接圆的半径）代入已知条件， 得，则． 因为，所以， 所以，所以或， 所以或，故为等腰三角形或直角三角形． 题型8 证明三角形中的恒等式（共4小题）（重点） 29．（多选）三角形中，角，，的对边是，，，动点为上一点，，当变化时，与三角形的边和角之间的等量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】在及中，借助正弦定理结合计算即可得B；借助向量线性运算及数量积公式计算可得D；举出反例可得A、C. 【详解】由，则、、； 对A：在中，由正弦定理可得， 在中，由正弦定理可得， 则， 故， 即， 即，故B正确； 对D：由，设，则， 即有，故D正确； 对A、C：取、、、、、、， 则、， 则， 又、， 此时、，故A、C错误. 30．（多选）在锐角，内角，，的对边分别是，，，已知，则下列说法正确的是（    ） A． B．有最大值 C． D． 【答案】AD 【分析】选项A利用公式将条件化成齐次式进而化简；选项B将代数式消元成只剩角A的三角函数，进而用辅助角公式求最值；选项C由正弦函数值域易证；选项D用换元法进行消元求证 【详解】因为，所以， 故， 因为是锐角三角形，所以，故， 即，选项A正确； ， 由辅助角公式得，其中，，， 当时，取最大值， 此时， 所以， 化简得， 即，解得或， 因是锐角三角形的内角，所以，即， ，满足条件， 但由余弦定理得，，代入求得，即为钝角， 与锐角三角形矛盾，故无法取最大值，选项B错误； 因为，，所以， 设的外接圆半径为，则，即，选项C错误； 由于，所以，，故， 要证，等价于证明， 因为， 所以，当且仅当时等号成立 ， 当且仅当时等号成立， 因为该三角形为锐角三角形，所以，故选项D正确. 31．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，. (1)证明：； (2)求C； (3)若，边上的中线，求边a，b的长. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，或， 【分析】（1）由正弦定理边角互化得，再整理即可证明； （2）由（1）可得，进而得到即可求解； （3）根据余弦定理可得，再利用双余弦得到，再解方程组即可． 【详解】（1）证明：由正弦定理得：， 即； （2）解：因为， 即. 则， 因为， 所以； （3）解：因为，由余弦定理知：， 即， ，， 即， ，， 故， 解得：，或，. 32．（多选）在中，角所对的边分别为，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则符合条件的三角形有两个 C． D．， 【答案】ACD 【分析】代入余弦定理计算判断A；利用正弦定理判断B；利用余弦定理及基本不等式判断C；先利用两角和余弦公式得，然后利用正切函数性质求解即可判断D. 【详解】A，由余弦定理，得，故A正确. B，由正弦定理得，，解得，故符合条件的三角形不存在，故B错误. C，由余弦定理得，即， ，当且仅当时，等号成立，故C正确. D，. 且， ， ， 即，故D正确. 题型9 求三角形中边长或周长的最值或范围（共4小题）（难点） 33．在中，内角的对边分别为， (1)若的面积为2.求角； (2)若为锐角三角形，，且外接圆半径为2，求的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用余弦定理结合三角形面积公式可得，进而可求角； （2）由为锐角三角形，先求得，再利用正弦定理可得，然后化简式子，根据对勾函数的性质求范围即可． 【详解】（1）解：由余弦定理，得①， 由面积公式，得②. ②÷①，得，即. 由，得. （2）由题意，得外接圆的直径为4， 则由正弦定理，得， 所以. 因为是锐角三角形， 所以解得， 所以，则， 所以， 由对勾函数的性质，得在上单调递减， 所以的取值范围为. 34．记的内角的对边分别为，已知． (1)求； (2)设，且边上的高为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件并结合正弦定理可得，再由角的范围可得所求角的值； （2）先由等面积法可得，再由余弦定理及条件可得，再代入余弦定理得，从而可得三角形周长. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， ，，，， ，． （2）因为边上的高为，所以， 由（1）知，所以， 因此，即①. 又由余弦定理，，，② 又因为，得代入②，， 所以，，解得或（舍去）. 再由②和①得， 因此，所以. 的周长为． 35．在中，内角，，的对边分别为，，， 若． (1)求角的大小； (2)若，的角平分线交于点，求线段长度的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系，将原式转化为正弦形式，进而结合正弦定理将正弦值转化为对应边的关系，再利用余弦定理即可求出，进而得到角的大小. （2）利用三角形面积关系，建立与、的等式，再结合余弦定理得到、关系，进而利用基本不等式求出的范围，再构造函数，利用函数单调性求解的最大值. 【详解】（1）由， 整理得：. 由，得， 所以. 由正弦定理，得：. 结合余弦定理，可得：， 因为，故. （2）由, 可得， 由（1）知，又，所以， 则，得，当且仅当时等号成立， 又因为 ，所以. ， 因为在上递增， 所以，即线段长度的最大值为 1. 36．钝角的内角，，的对边分别为，，，满足，则的取值范围为（    ） A．（0，1） B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正弦定理将条件 转化为角的关系，结合钝角三角形的限制，推出 的取值范围，再将目标式 转化为关于 的函数，最后结合函数单调性求出取值范围即可. 【详解】因为，由正弦定理得，， 即，中，故， 由及为钝角三角形可得，， 由正弦定理得， ， 由各内角大于0，即，可得，故， 对勾函数在上单调递减，且， 所以，的取值范围为. 题型10 求三角形面积的最值与范围（共4小题）（重点） 37．在中，角，，的对边分别为，，，且满足． (1)求角的大小； (2)若，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理角化边，再根据余弦定理求角； （2）根据（1）和余弦定理可得 ，再利用三角形的面积公式和基本不等式求解. 【详解】（1）在中，由正弦定理，得 ，整理得， 由余弦定理，得， 又，所以． （2）由（1）及余弦定理知，， 故，当且仅当时等号成立， 即面积的最大值为． 38．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则面积的最大值为（    ） A．9 B．18 C． D．6 【答案】A 【分析】根据正弦定理和三角形内角和关系，确定是直角三角形，由勾股定理及基本不等式求得面积最大值. 【详解】由题设 及正弦定理可得 ， 又， 故，化简得， 因为，所以，即 ， 是直角三角形，直角在 ，   由勾股定理，直角在 ，故 ， 的面积 ，根据基本不等式 ，得： ， 因此 ，当且仅当 时取等号，即面积最大值为 . 39．在四边形中，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在中，利用余弦定理求出，在中，利用余弦定理结合基本不等式求出的最大值，结合三角形的面积公式可求得面积的最大值. 【详解】如图，连接，在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得 ， 所以，当且仅当时，取等号， 所以. 所以面积的最大值为. 40．已知锐角三角形中，角、、的对边分别为、、，且满足. (1)求证：； (2)若，求的取值范围； (3)若，求三角形面积的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角形内角和与三角恒等变换证明. （2）根据锐角三角形限制确定角的取值范围，通过正弦定理将转化为关于的三角函数，推导三倍角公式化简后，用单调性定义判断函数单调性，进而求得的取值范围. （3）将三角形面积转化为关于角的三角函数，用单调性定义判断单调性，进而求得面积的取值范围. 【详解】（1）∵ ，由正弦定理（为外接圆半径）， 得，， 代入得，即. ∵ 在中，，∴ ， ∴ 代入上式得， 整理得，即. ∵ 为锐角三角形，∴ ，，∴ ， ∴ 若， 则或 （后者得 ，不符合三角形内角要求，舍去）， ∴ ，得证. （2）为锐角三角形， ∴ ，解得. 由正弦定理，，得. ∵ ，∴ ，，， . ∴ ，，且， ∴ . ∵ ，代入得. 令，∵ ，∴ ，则. 任取， 则. ∵ ，∴ ，又，∴ ， ∴ ，即，∴ 在上单调递增. ∴ 当时，； 当时，， ∴ . （3）三角形面积，由正弦定理，，， ∴ ，又，， ∴ . 代入， ， ∴ . 令，由得，则， ∴ ，， 则. 令，，则， 该二次函数开口向上，对称轴为，故在上单调递增， 当； 当 ∴ ，又，故， 即三角形ABC面积的取值范围为. 题型11 几何图形中的计算（共4小题）（常考点） 41．中，，，，D为线段的中点，点E，F分别在线段，上．若为正三角形，则的面积为________． 【答案】/ 【分析】设，根据角度关系与正弦定理可得，结合与可得，进而由求得的面积． 【详解】在中，，，， 设，则， 在中，，， 在中，，，则， ， 又，为正三角形， 则，即， ，则， ， 的面积为． 42．如图，在海岸A处发现北偏东方向，距A处海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B处向北偏东方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间． 【答案】缉私船应沿北偏东的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时 【详解】设缉私船应沿方向行驶t小时，才能最快截获（在D点）走私船，则海里，海里， 在中，由余弦定理，有． 海里．又， ， ，∴B点在C点的正东方向上， ， 在中，由正弦定理，得， ． ，∴缉私船沿北偏东的方向行驶． 又在中，，，， ，即． 小时． ∴缉私船应沿北偏东的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要小时． 43．在平面四边形中，已知，，. (1)求； (2)若，，求. 【答案】(1) (2) 【详解】（1） 在中，由余弦定理得：， 因为，所以． （2） 因为，，所以， 在四边形中，， 设，在中，， 在中，， 因为，所以。 即 整理得，解得 在中，． 44．如图，在中，，，点在线段上． (1)若，求的长； (2)若，的面积为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边转化为对应角的正弦，化简求解的值，进而得到的值，再结合正弦定理即可求解的长度； （2）结合已知的面积、长度和，求解的长度，再根据得到、的长度，进而分别在和中使用正弦定理，结合与互补、正弦值相等的性质求解正弦比值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得：， 即， 因为，则，故，则为锐角， 所以， 因为，则， 在中，由正弦定理得， 所以，解得． （2），则 由，得，. 由余弦定理可得： . 在中，由正弦定理可得， 故， 在中，由正弦定理可得， 故， 因为， 所以． 题型12 正余弦定理与三角函数的综合（共4小题）（常考点） 45．在中，角所对的边分别为，已知，且，的中点为M. (1)求； (2)若为锐角三角形，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得，根据的范围求值； （2）由正弦定理得，，由，利用向量运算结合三角恒等变换可得，求出的范围结合三角函数性质得解. 【详解】（1）由，得， 又，所以， 所以，. （2）由，且可得， 又，为外接圆半径） 所以，又，所以， 在中，由正弦定理得， 所以，. 由的中点为M，得， 所以 . 因为为锐角三角形，所以，得， 则，所以，， 则， 故的取值范围是. 46．在△ABC中，三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足. (1)证明：△ABC为直角三角形； (2)若，，的平分线交BC于D，求线段AD的长； (3)当，时，设表示成的形式，求的最值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）依题意，利用三角恒等变换可得，进而可得； （2）利用等面积法结合条件计算即可； （3）由（1）知，解直角三角形可得，，利用换元法及辅助角公式可将函数变形，再次换元结合单调性可得结果. 【详解】（1）依题意得， 则， 又， 所以，从而， 又有意义，所以，即， 故为直角三角形. （2）由（1）知，，而的平分线交BC于D， 得， 因为， 即， 所以 所以． 故线段AD的长为. （3）由（1）知，在中，，则， 所以，， 故，. 令， 由得，且，则. 令，则， 则， 显然在上单调递增，则在上单调递减， 所以当时，即，即时，. 47．在中，角的对边分别为，若，，且的面积，则（  ） A．64 B．84 C． D． 【答案】C 【详解】 即 已知，展开并化简得 ， 由余弦定理得 又，所以，. 由正弦定理，代入得 整理得， 又，，所以， 所以 整理得，即 又，所以，所以， 所以 ， 又三角形面积，代入得 ， 由正弦定理得， 所以，解得 所以 所以原式. 48．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且. (1)求； (2)角的平分线交于点，且，求的周长. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换，特殊角的三角函数值得到，由正弦定理可得； （2）根据三角形面积和余弦定理可得方程组，联立可得，求出三角形周长 【详解】（1）， 由正弦定理得， 即， ， 又，，， 所以，，， 因为，所以，故，解得， 外接圆的半径为，由正弦定理得， 所以， （2），故， 由三角形面积公式可得， ，， ，即，， 在中，由余弦定理可得， 即，故， 因为，所以，解得或（舍去）， 故的周长为. 题型13 距离测量问题（共4小题） 49．为了测量垂直于地面的两座塔塔尖之间的距离，某数学建模活动小组构建了如图所示的几何模型．若米，米，，，，则塔尖之间的距离为（    ）米． A．80 B．120 C． D． 【答案】C 【分析】先求，再利用余弦定理求得. 【详解】由题得到米，米， 所以由余弦定理得到， 即， 所以米. 50．如图，位于点A处的渔船观测到点C处的灯塔在渔船的北偏东53°方向上，当渔船沿着正东方向航行14海里后，观测到灯塔在渔船的北偏东37°方向上，则此时渔船与灯塔的距离为（参考数据：取）（    ） A．25海里 B．30海里 C．40海里 D．45海里 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，利用方位角求出三角形的相关角度，通过作辅助线构造直角三角形，利用三角函数定义列方程求解即可. 【详解】设渔船航行路程为，所以海里，由已知，所以， ，延长，过点作延长线于，所以， 设，因为，所以，，，， ，所以，，所以，，所以，解得， ，所以（海里），此时渔船与灯塔的距离为海里. 51．盘山是中国著名的5A级景区，它有五大主峰.以主峰挂月峰为中心，其余四峰（紫盖峰、自来峰、九华峰、舞剑峰）环绕，合称“五峰攒簇”.如图，工作人员要测量舞剑峰M，九华峰N之间的距离，P，G，M，N四点在同一铅垂平面内，飞机沿水平方向在P，G两点进行测量，途中在点P测得，，在点G测得，，测得． (1)求点P和点M之间的距离； (2)求两主峰M，N间的距离． 【答案】(1)2km； (2). 【分析】（1）利用三角形内角和定理求出第三个角，然后运用正弦定理解出所求边长； （2）先通过正弦定理求出另一条边的长度，再在包含目标线段的三角形中，使用余弦定理计算该线段的长. 【详解】（1）根据题意得，，， 所以， 在△PMG中，根据正弦定理， 得，解得PM，所以点P和点M之间的距离为. （2）在中，， ，所以 由正弦定理得，解得， 在中，， 由余弦定理得 ，解得. 综上所述，两主峰M、N之间的距离为． 52．如图，为了测量河对岸的塔高，某测量队选取与塔底在同一水平面内且相距20米的两个测量基点与．现测量得，在点处测得塔顶的仰角分别为，若河宽至少12米，则塔高______米．    【答案】 【分析】根据余弦定理结合几何关系求出，结合河宽至少12米进一步判断即可. 【详解】由题意知，平面，，，，. 因为平面，所以，. 在中，，所以. 在中，，所以. 在中，由余弦定理得，， 即，整理得， 即，解得或. 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 故. 题型14 高度测量问题（共4小题） 53．云外楼（图1）是铁山坪森林公园的标志性建筑，位于山顶的云岭广场，登顶后可以俯瞰长江和铜锣峡的壮丽景色．我校某数学兴趣小组成员为测量云外楼的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2，已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则云外楼的高度（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】设，用表示，再利用余弦定理，列式计算即得. 【详解】设，依题意，，，， 在中，由余弦定理得， 在中，由余弦定理得， 由， 可得： 解得： 54．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点处（，，三点共线）测得建筑物顶部，鹳雀楼顶部的仰角分别为和，在处测得楼顶部的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题可得、、，再利用正弦定理计算即可得解. 【详解】，， ，则， 由正弦定理可得， 即， 则. 55．如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得米，，则塔高__________米（结果保留整数）.（参考数据） 【答案】27 【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在直角中，利用正切函数的定义，求得的长即得答案． 【详解】因为米，， 所以． 由正弦定理，，可得， 在直角中，因为，所以， 即塔高为. 56．重庆某校内“木铎金声钟”雕塑，该雕塑钟原型为北京师范大学本部“木铎金声一百年”的纪念雕塑，木铎金声，寓意传播知识、启迪心智、匡正风气，承载着“为民族复兴办教育”的担当，更与学校“本德宗道、兼济天下”的校训一脉相承，也寄寓着对京师学子治学修身、以德立身、心怀家国的殷切期许、某同学为了测量木铎钟高度，设木铎钟加底座高为，在与点同一水平面旁边小路上且共线的三点，，处分别测得顶点的仰角为30°，45°，60°，且，则木铎金声钟的高约为（   ）（参考数据：，，） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，通过仰角分别得到，再通过，结合余弦定理代入数据求解即可. 【详解】设木铎钟总高 ，因为 水平面， 在 点仰角：， 在 点仰角：， 在 点仰角：， 又，即，是中点， 在中，， 在中，， 因为，所以， 则， 即，又， 得， 化简可得： ， 代入各表达式：， 化简计算：， 因此木铎金声钟的高约为 . 题型15 角度测量问题（共4小题）（重点） 57．如图，某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上.在小艇出发时，轮船位于港口北偏西30°方向且与该港口相距30海里的处，正在沿正东方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以海里/小时的速度匀速行驶，经过1.5小时后与轮船相遇.则小艇的航行方向为（   ） A．沿正北方向 B．北偏东45°方向 C．北偏东60°方向 D．北偏东75°方向 【答案】B 【详解】设小艇沿直线方向以海里/小时的速度航行1.5小时后，到达点， 路程为海里，即海里， 由题意得海里，， 在中，由正弦定理得， 即，， 又，故，故， 即小艇的航行方向为北偏东45°方向. 58．如图所示，某巡逻艇在处发现北偏东相距 3 海里的处有一艘走私船，正沿东南方向以 2 海里/小时的速度向我海岸行驶， 巡逻艇立即以 3 海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，1 小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船才发现了巡逻艇，立即改变航向，以 3 海里/小时的速度向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以 4 海里/小时的速度沿着直线追击． (1)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里？(结果精确到 0.1 海里） (2)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船？(结果精确到 ) 【答案】(1)海里 (2)巡逻艇应该沿北偏东的方向去追 【分析】（1）利用余弦定理即可求解； （2）设经过小时巡逻艇追上走私船，利用正弦定理列式进行求解. 【详解】（1）根据题意得：，， 所以为等边三角形，所以， 又，所以， ， 在中，由余弦定理得：， 所以， 解得（海里）； （2）因为，所以， 根据正弦定理可得，即， 解得，即， ， 因为，所以， 设经过小时巡逻艇追上走私船，所以， 根据正弦定理可得，即， 解得，即， ，该方向与正东方向夹角为， 因此北偏东，即巡逻艇应该沿北偏东的方向去追，才能最快追上走私船. 59．海军某登陆舰队在一次海上训练中，雷达兵在处发现在北偏东50°方向，相距30公里的水面处，有一艘舰艇发出液货补给需求，它正以每小时50公里的速度沿南偏东70°方向前进，这个雷达兵立马协调在处的舰艇以每小时70公里的速度，沿北偏东方向与舰艇对接并进行横向液货补给．若舰艇要在最短的时间内实现横向液货补给，则______． 【答案】/ 【详解】 如图，设舰艇经过小时后在处与舰艇汇合，则. 根据余弦定理得， 解得或（舍去）， 故.由正弦定理得， 解得 60．某校学生参加课外实践活动，“测量一土坡的倾斜程度”．如图，在坡脚处测得坡顶一建筑物的顶端对于山坡的倾斜程度为，沿土坡前进50m到达处，测得对于山坡的倾斜度为，已知m，，设土坡对于平面的坡角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件得到为等腰三角形，得出，根据正弦定理得出，因为，所以为直角三角形，所以. 【详解】已知，则. 所以，即为等腰三角形. 所以. 根据正弦定理：. 因为，所以，为直角三角形. 所以. 故选：D. 题型16 解三角形内部有线问题（共4小题）（难点） 61．（1）在中，边上的中线为，证明：； （2）已知面积为，，，求的长． （3）在中，，边上的高线长为，为的中点，求的最小值. 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3） 【分析】(1)利用补角余弦值互为相反数求解； (2)作高拆分底边的几何思路，利用正切定义求出未知数表示出高与底边两段的长度，再代入面积公式列方程求解； (3)利用等腰三角形性质与中线公式得到三边边长，再用余弦定理表示目标角余弦值，通过换元法转化为单变量函数，最后利用配凑分式求最值. 【详解】（1）由得，，化简得， ． （2）作于， 设，则，． ， 解得，． （3）设，则，， 由（1）得，， ， 令，， ， 当时，．此时． 62．中，角所对的边分别为．为边上的中线，点，分别为边上动点，交于．已知，且． (1)求； (2)设，若，求； (3)在（2）的条件下，若，求的取值范围． 【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）由正弦定理角化边，再结合余弦定理得出，即可求解； （2）由平面向量的线性运算及数量积的运算律列出关于的方程即可求解； （3）设，由三点共线，得，由平面向量数量积的运算律得出，根据及三角形面积公式得出，再结合的范围即可求解． 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理， 由余弦定理 因为，所以． （2）因为为中点，所以， 所以 所以， 即， 解得或， 又，所以，所以的余弦值为． （3）设 ， ， 由三点共线，得， ， ， 所以 ， ， 所以，所以． 所以． 所以的取值范围为． 63．在中，内角所对的边分别为，且. (1)求角的大小； (2)若边上的中线的长度为2，求面积的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式计算可得； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到，再由均值不等式求出的最大值，即可得解. 【详解】（1）因为， 由正弦定理得， 则， 即， ，则， . （2）因为是中点，所以. 两边平方得. 所以，即， 又由均值不等式得， 所以，当且仅当时等号成立， 所以，即面积的最大值为. 64．在中，内角所对的边分别是，且． (1)求． (2)若，求边上的角平分线长； (3)求边上的中线的取值范围． 【答案】(1)(2)(3). 【分析】（1）先把已知条件中的用展开，约去后可直接求得再由正弦定理得到外接圆直径为，从而 （2）由结合正弦定理得到，，的值，由边上的角平分线为，利用三角形面积公式得到，得到由余弦定理结合得到从而得到的值. （3）由为边上的中线得到，将此式子两边平方得到，由和余弦定理得到，利用正弦定理求出和且结合两角差的正弦公式通过计算得到，又结合正弦函数的图像和性质得到的取值范围，从而得到的取值范围. 【详解】（1）由已知 又所以 而 故 代入得 展开后可得 消去相同项，得 因为三角形内角满足所以 从而即 又因为所以 （2）由小问（1）知 由正弦定理得 故且 已知，边上的角平分线为， 则， 即，即，因此 由余弦定理即 又因为所以 代入上式得从而 所以 （3）由为边上的中线，得到， 则 因为，由余弦定理 即. 所以，即， 因为，所以， 可知且 所以 因为 所以，所以， 所以，因此 因为，于是故 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $