专题12 锐角三角函数-【好题汇编】2025年中考数学一模试题分类汇编（辽宁专用）

专题12 锐角三角函数 题型概览 题型01 锐角三角函数 题型02 解直角三角形 ( 题型01 )锐角三角函数 1．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，把圆分成等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正n边形．如图，的半径为R，则它的外切正n边形的边长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算、切线的性质定理、互余两角三角函数的关系 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正多边形的性质，中心角的计算方法以及直角三角形的边角关系是正确解答的关键． 如图，设正n边形的边与内切圆相切于点M，连接，则，，根据求解即可． 【详解】解：如图，设正n边形的边与内切圆相切于点M，连接，则，， 由正多边形的性质可知，， ∴，， ∴， ∴ ． 故选：A． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，从原点引一条射线，设这条射线与轴的正半轴的夹角为，若，则这条射线是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求角的正弦值、写出直角坐标系中点的坐标、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了正弦的定义、勾股定理、点的坐标，由图可得，点的坐标为，由勾股定理得出，再由正弦的定义即可得解． 【详解】解：由图可得，点的坐标为， ∴， ∴， ∴这条射线是， 故选：B． 3．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】反比例函数与几何综合、用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、已知正切值求边长 【分析】过A作于D，设与y轴交于点E，设，根据正切的定义可得，根据勾股定理可得，根据菱形的性质可得，进而可得，代入反比例函数解析式即可求出，再求出矩形的面积，根据k的几何意义即可得解． 【详解】解：过A作于D，设与y轴交于点E，则， 设， ， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ， ， 顶点在反比例函数的图象上， ， 解得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，反比例函数的图象和性质，三角函数，勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 4．（2025·辽宁营口·一模）如图，在四边形中，对角线与交于点E，过点E作．于点F，连接，，，按以下步骤作图：分别以点A、点F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P和点Q，作直线，若点B，点E都在直线上，且，则 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】线段垂直平分线的性质、求角的正弦值、利用二次根式的性质化简、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查勾股定理，垂直平分线的性质，求正弦，由作图过程可知，垂直平分线段，可得，，由题意得，，，由勾股定理得，代入求出，再根据勾股定理求出，最后根据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 由作图可知垂直平分线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴中，， ∴， 故答案为：． 5．（2025·辽宁铁岭·一模）计算： 【答案】； 【难度】0.85 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查实数的运算，涉及特殊角的三角形函数值、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根等知识，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．先计算特殊角的三角形函数值、零指数幂、负整数指数幂、算术平方根，再加减运算即可求解； 【详解】解： ； 6．（2025·辽宁朝阳·一模）计算：； 【答案】； 【难度】0.85 【知识点】实数的混合运算、负整数指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】）根据算术平方根的定义、特殊角的三角函数值、零指数幂和负整数指数幂分别计算，再合并即可； 【详解】解：原式 ； 7．（2025·辽宁抚顺·一模）计算：． 【答案】7； 【难度】0.85 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 先代入特殊角的三角函数值，再利用算术平方根、绝对值、零指数幂、负整数指数幂的性质化简，再加减即可； 【详解】解： ； 8．（2025·辽宁营口·一模）计算：； 【答案】； 【难度】0.85 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查的是含特殊角的三角函数值的混合运算；先计算零次幂，代入特殊角的三角函数值，计算负整数指数幂，化简二次根式，再合并即可； 【详解】解： ； 9．（2025·辽宁本溪·一模）计算：； 【答案】 【难度】0.85 【知识点】零指数幂、特殊三角形的三角函数、负整数指数幂 【分析】本题考查了绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值．熟练掌握绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值是解题的关键．根据绝对值，零指数幂，特殊角的三角函数值的运算法则计算出各项的值； 【详解】解： 10．（2025·辽宁·一模）计算： 【答案】； 【难度】0.65 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了含特殊锐角三角函数值的实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先分别利用负整数指数幂、绝对值、二次根式、零指数幂的性质，及特殊锐角三角函数值进行计算，再计算加减即可； 【详解】解：原式 11．（2025·辽宁铁岭·一模）计算： 【答案】10 【难度】0.65 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．先计算零指数幂、绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂，再计算加减即可得解； 【详解】解： ； 12．（2025·辽宁抚顺·一模）计算：(1)； (2)． 【答案】(1)1;(2)2 【难度】0.65 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解此题的关键． （1）代入特殊角的三角函数值计算即可得解； （2）代入特殊角的三角函数值计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 13．（2025·辽宁·一模）计算：； 【答案】   【难度】0.65 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键．根据特殊角的三角函数值，代入计算解答即可； 【详解】解：原式， ， ； 14．（2025·辽宁大连·一模）计算：； 【答案】； 【难度】0.65 【知识点】二次根式的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算、零指数幂 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，零次幂，二次根式的性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据特殊角的三角函数值，零次幂，二次根式的性质化简各项，再结合实数的混合运算顺序计算，即可解题； 【详解】解：原式 ； 15．（2025·辽宁葫芦岛·一模）计算 【答案】; 【难度】0.65 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、零指数幂、负整数指数幂 【分析】本题考查含零次幂，绝对值，特殊角三角函数值，负整数指数幂等实数的运算，掌握相关的运算法则是解题的关键．先根据零次幂，绝对值，特殊角三角函数值，负整数指数幂进行计算，再进行加减计算即可； 【详解】解： ； 16．（2025·辽宁沈阳·一模）计算：； 【答案】； 【难度】0.65 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算、负整数指数幂 【分析】本题主要考查了含特殊角的锐角三角函数的实数混合运算，解题的关键是的熟练掌握以上的运算法则．先根据负整数指数幂、特殊角的锐角三角函数、零指数幂、算术平方根化简，再进行计算即可． 【详解】解： ． 17．（2025·辽宁盘锦·一模）计算： 【答案】； 【难度】0.65 【知识点】实数的混合运算、利用二次根式的性质化简、特殊三角形的三角函数 【分析】本题考查的是实数的运算，正确化简各数是解题的关键．直接利用特殊角的三角函数值、负整数指数幂的性质、零指数幂、二次根式的性质分别化简，进而得出答案； 【详解】解：原式 ； 18．（2025·辽宁丹东·一模）计算： 【答案】 【难度】0.65 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算 【分析】本题考查了特殊三角函数值、算术平方根、零指数幂，熟练掌握各运算法则是解题关键．先计算正弦、算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、化简绝对值，再计算加减法即可得． 【详解】解： ． 19．（2025·辽宁盘锦·一模）计算 【答案】 【难度】0.65 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算、实数的混合运算、负整数指数幂 【分析】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键；根据化简绝对值，零指数幂，负整数指数幂，特殊角的三角函数值，计算即可；　 【详解】解： ； 20．（2025·辽宁盘锦·一模）计算：； 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实数的混合运算、利用二次根式的性质化简、特殊三角形的三角函数 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，实数的混合计算，化简二次根式，熟知相关计算法则是解题的关键．先计算特殊角三角函数值和化简二次根式，再计算零指数幂，负整数指数幂，再去绝对值后计算加减法即可得到答案； 【详解】解： ； ( 题型02 )解直角三角形 1．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，菱形中，点O是的中点，，垂足为M，交于点N，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了解直角三角形，菱形的性质、直角三角形斜边中线等于斜边一半．连接，先由菱形性质可得对角线与交于点O，由直角三角形斜边中线等于斜边一半可得，，进而由菱形对角线求出边长，由，解三角形即可求出． 【详解】解：连接，如图， ∵菱形中，与互相垂直平分， 又∵点O是的中点， ∴A、O、C三点在同一直线上， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（2025·辽宁大连·一模）如图，小明站在与树（）相距的点C处，测得树顶A的仰角为，小明的眼睛距地面的高度，则这棵树的高度为 （结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是熟练掌握三角函数定义，过点D作于点E，根据在中，，得出，最后求出结果即可． 【详解】解：过点D作于点E，如图所示： 则四边形为矩形， ∴，， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 3．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，点A，B分别在函数图象的两支上，连接AB交x轴，y轴于点D，C，以点C为旋转中心，将线段CB逆时针旋转到，且线段轴，若函数经过点，且，则k的值是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算、反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】过C作，过作轴平行线等，构造出矩形、全等三角形，以及相似三角形， 利用三角函数，设未知数，结合点在上，求出点的坐标及相关线段长度， 依据线段旋转到的条件，证明三角形全等与相似，得出更多线段长度关系，进而得到点的坐标，最后根据点在上列方程求出参数，再根据点的坐标及在上，求出的值． 【详解】过作于，过作轴的平行线于 ， 轴 轴 设交轴于 ，交轴于 则四边形为矩形 ， 轴， 设， ，点横坐标为． 又∵点在上 ， ， ， ∵线段CB逆时针旋转到， ∴，， ， ， ， ， 又 ， ， ， ， 又在上 ， ， 又 又在上 ． 【点睛】本题考查反比例函数性质、几何图形的旋转、全等三角形、相似三角形及三角函数等知识；解题关键是通过作辅助线，利用几何图形性质建立线段与点坐标关系，结合点在反比例函数图象上的性质列方程求解． 4．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在菱形中，，，在直线上取一点，使，连接，在的右侧作，使，射线交直线于点，则的长为 ． 【答案】6或12 【难度】0.4 【知识点】用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定、解直角三角形的相关计算、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了菱形的性质、解直角三角形，勾股定理，结合图形作垂线构造直角三角形是解题的关键．根据题意，分①点在线段上；②点在延长线上2种情况讨论，作于点，根据菱形的性质和解直角三角形的相关知识即可求解． 【详解】解：①若点在线段上，如图，作于点，则， 菱形， ，， ， 在中，， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ，， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ； ②若点在延长线上，如图，作于点，则， 同理①中的方法可得，，， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， ， 点与点重合， ； 综上所述，的长为6或12． 故答案为：6或12． 5．（2025·辽宁辽阳·一模）一座辽阳城，半部东北史．在辽阳城中，巍峨耸立着一座千年辽塔——辽阳白塔．辽阳白塔因其塔檐间立壁和塔腰八面涂有白垩而得名白塔．某校九年级“综合与实践”小组开展“辽阳白塔高度的测量”实践活动，如图2，在距离白塔底部中心92米的点A 处有一坡角为的斜坡，斜坡长为10米，在斜坡上点B 处用测角仪测得白塔最高点M的仰角为，点A，B，M，N在同一平面内，测角仪高度忽略不计． (1)求点 B 到水平地面 的距离； (2)求辽阳白塔的高度．（结果精确到）（参考数据：， 【答案】(1)点到水平地面的距离为5米 (2)辽阳白塔的高度约为70.4米 【难度】0.85 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先过点作于点，再结合在中，，把数值代入计算，即可作答． （2）先过点作于点，证明四边形是矩形，先算出米，米，再根据在中，，，代入数值计算，即可作答． 【详解】（1）解：过点作于点， 根据题意，米，， 在中，， ∴（米）， 答：点到水平地面的距离为5米． （2）解：过点作于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∴米， 在中，，， ∴（米）， ∴（米） 答：辽阳白塔的高度约为70.4米． 6．（2025·辽宁沈阳·一模）数学活动小组设计了测量一棵在山坡上与水平线垂直的杨树（如图1）高度的方案．如图2，从点测得杨树底端点的仰角是长6米，在距离点4米处的点测得杨树顶端点的仰角为（图中在同一平面内，点在同一水平线上）． (1)求山坡上点距水平线的高度（精确到米）； (2)求杨树的高度（精确到米）．（参考数据：，，） 【答案】(1)约为米 (2)约为米 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）延长，交延长线于点，在中，解直角三角形可得的长，由此即可得； （2）延长，交延长线于点，先在中，解直角三角形可得的长，从而可得的长，再在中，解直角三角形可得的长，然后根据求解即可得． 【详解】（1）解：如图，延长，交延长线于点， 由题意得：，，米， ∴在中，（米）， 答：山坡上点距水平线的高度约为米． （2）解：如图，延长，交延长线于点， 由题意得：，，，米，米， 在中，米， ∴米， 在中，（米）， 由（1）已得：米， ∴（米）， 答：杨树的高度约为米． 7．（2025·辽宁沈阳·一模）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节（）时，与地面夹角，已知两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度． （参考数据：，， ） 【答案】每节拉杆长 【难度】0.65 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．设每节拉杆长为，则图1中，，图2中，，在图1中，过点作于点，利用三角函数可得；在图2中，过点作于点，利用三角函数可得，结合两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同，可得关于的方程并求解，即可获得答案． 【详解】解：设每节拉杆长为，则图1中，， 图2中，， 在图1中，过点作于点， 在中，， ， ， 在图2中，过点作于点， 在中，， ， ， ， ， 解得：． 答：每节拉杆长． 8．（2025·辽宁阜新·一模）如图，在居民楼前方有一斜坡，斜坡长为，斜坡的坡度，在C，D处测得楼顶端A的仰角分别为和． (1)求点D到地平面的距离； (2)求居民楼的高度（保留根号）． 【答案】(1) (2)居民楼的高度为 【难度】0.65 【知识点】坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角问题、坡度坡角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． （1）过点作，交的延长线于点，根据斜坡的坡度，得出，设，则，求出，根据，求出，即可得出答案； （2）过点作于，设，在中，，解得，在中，，，，求出的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点作，交的延长线于点， ∵斜坡的坡度， ∴， 在中，， 设，则， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， 解得：， ∴，， ∴点D到地平面的距离为； （2）解：如图，过点作于， 根据解析（1）可知：，， 由题意可得，， 设， 在中，， 解得， 在中，， ， ， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ． 答：居民楼的高度为． 9．（2025·辽宁沈阳·一模）单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用单摆进行相关的实验探究，并撰写实验报告如表． 实验主题\ 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，于点，，；当摆球运动至点时，，于点．（点在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长． （参考数据：，，，，，，结果精确到） 【答案】的长约4cm 【难度】0.65 【知识点】三角函数综合、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．在中，根据的长，由、，求出、的长，在中，根据，利用，求出的长，再根据，由求出的长即可． 【详解】解：在中，，，， ，， ，， ，， 在中，，，， ，即， ， ， ， 则的长约4cm． 10．（2025·辽宁大连·一模）如图1是一辆曲臂云梯消防车的实物图，图2和图3是其工作示意图．曲臂云梯消防车伸缩臂和曲臂可分别绕点A，点B在一定范围内转动，它们的张角分别为和，且当张角满足，时，才能保证消防车在伸展和旋转过程中的稳定性．已知，且，当伸缩臂和曲臂完全伸出时，长为，长为． (1)如图2，若，，求的长； (2)如图3，当达到最大角度时，云梯的顶端C升到最高处，求此时的长． （参考数据： ，结果保留整数．） 【答案】(1)的长为 (2)此时的长约为 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练运用三角函数表示边与边的关系是解题的关键． （1）分别过点作于点，作于点，可得，则可求得，再加上，即可解答； （2）分别过点作于点于点于点，解直角三角形求得和，再加上，即可解答． 【详解】（1）解：如图，分别过点作于点，作于点， ． ， ． ， ， ． 四边形为矩形． ． ， ． ， 在中，． ． ． 答：的长为． （2）解：如图，分别过点作于点于点于点， ． 由（1）得，四边形为矩形． ． ， ，在中，， ． 同理：． ． 答：此时的长约为． 11．（2025·辽宁抚顺·一模）“浪漫月牙岛，福顺中国年”．抚顺市月牙岛新春夜游季是近年来我市打造的规模最大的冰雪旅游项目，每天吸引着大量市民前来观赏游玩．如图，小澎同学想用无人机测量月牙岛造型景观舞台的高度，将无人机垂直上升到距地面的点处，测得造型景观舞台底端点的俯角为，再将无人机沿造型景观舞台的方向水平飞行至点处，测得造型景观舞台顶端点的俯角为，点，，，均在同一竖直平面内，求造型景观舞台的高度约为多少米．（结果稍确到，参考数据：，，） 【答案】造型景观舞台的高度约为14米 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—俯角仰角问题，延长，相交于点，则，先求出，再根据计算即可得解． 【详解】解：如图，延长，相交于点，则， ， 由题意知，，，，． 在中，， ． 在中， ． 答：造型景观舞台的高度约为14米． 12．（2025·辽宁·一模）综合与实践：山坡高度的测量． (1)如图，对于如图所示的山坡，已知，，，求山高（用含有，的式子表示）． (2)对于（1）中的山高，只要测出坡角和坡面长度即可求山高，但是对于一些“不太平整”的山时，求其山高便是一个不那么简单的问题（如图）． 与测量图的山高相比，测量图的山高困难在于，山坡是“曲”的，问题不能简单地归结为解一个直角三角形，如果能把“曲”转化为“直”，就可能解决问题，这便是微积分的产生． 请你根据上述材料的提示，以及图中所给出的数据，求山高（用含有，，，，，的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识是解答本题的关键． （1）根据解三角形的知识解答即可； （2）根据解三角形的知识分别求出、、，再相加即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ，， 即； （2）解：在中，，，， ，， 在中，，，， ，， 在中，，，， ，， ． 13．（2025·辽宁·一模）图1是商场的自动扶梯，图2中的是从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小王站在扶梯起点A处时，测得二楼天花板上照明灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿扶梯到达顶端B后又向正前方走了2m到达点E处（），发现照明灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯与地面的夹角，的长度为10m． (1)求点B到一楼地面的距离； (2)求照明灯C到一楼地面的距离（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，，） 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】含30度角的直角三角形、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确理解题意，构造直角三角形是解题的关键． （1）过点B作于点，根据角直角三角形性质即可求解； （2）连接并延长交于点，过点D作于点U，交于点，先解中，求出，则，再解在中，由求得，最后由即可求解． 【详解】（1）解：过点B作于点， ∵， ∴在中，， 答：点B到一楼地面的距离为； （2）解：连接并延长交于点，过点D作于点U，交于点， 由题意得，， 在中，， ∴， ∴在中，， ∴； 答：照明灯C到一楼地面的距离为． 14．（2025·辽宁大连·一模）如图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角是；后火箭到达点，此时测得仰角为，这枚火箭从到的平均速度是多少（结果取小数点后一位）？ （参考数据：，，，） 【答案】这枚火箭从到的平均速度是 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解直角三角形先求得，再求出，即可求得，即可得到速度，熟练利用三角函数表示直角三角形中边长的关系是解题的关键． 【详解】解：中，， ，， ，， 在中，， ， ， 平均速度， 答：这枚火箭从到的平均速度是． 15．（2025·辽宁大连·一模）如图，某气象小组正在测算一座垂直发射的探空气球的高度．在观测点处测得气球底端的仰角为，随后向气球方向水平移动到达观测点，测得仰角变为．已知垂直于地面，点与，共线，求探空气球的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，） 【答案】探空气球的高度约为 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．先在中，解直角三角形可得，再在中，解直角三角形可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：由题意得：，，，， 在中，， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， 解得， 答：探空气球的高度约为． 16．（2025·辽宁葫芦岛·一模）爷爷有一把躺椅，如图1所示，其侧面结构的几何示意图如图2所示，躺椅主要由座面，靠背以及支架和组成，其中座面与地面平行，，，，．（图中所示线段均在同一平面内）． (1)求座面与地面的距离； (2)求靠背最高点E与地面的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形，矩形的判定与性质，解题的关键在于作辅助线构造直角三角形． （1）过点作于点，根据求解，即可解题； （2）过点作于点，延长交延长线于点，证明四边形为矩形，求出，再根据求出，最后根据求解，即可解题． 【详解】（1）解：过点作于点， ，， ， 座面与地面的距离为； （2）解：过点作于点，延长交延长线于点， 座面与地面平行， 于点， ， 四边形为矩形， ， ，， ， ， ． 17．（2025·辽宁·一模）图1为钓鱼爱好者购买的神器“晴雨伞”的实物图，其截面示意图（图2）是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，，．（参考数据：，，，） (1)垂钓时打开“晴雨伞”，若，求遮蔽宽度的长；（结果保留根号） (2)若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得，求点下降的高度．（结果精确到） 【答案】(1);(2) 【难度】0.65 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、其他问题（解直角三角形的应用）、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）根据正切的定义求出，然后根据对称性求出即可； （2）过E作于F，证明四边形是矩形，得出，分别求出，时，对应的值，然后相减即可求解． 【详解】（1）解：由对称性知：，， ∵，， ∴， ∴， 即遮蔽宽度的长为； （2）解：过E作于F， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 由对称性知：， 当时，， 在中，， 当时，， 在中，， ∴点E下降的高度为． 18．（2025·辽宁抚顺·一模）按照中央、省市关于城市燃气管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇燃气管网老化更新改造工程．图1是改造现场一辆伸缩臂高空作业车的实物图，图2是其工作示意图（点A，，，，，，，都在同一平面内）．如图2，伸缩臂高空作业车固定不动，转轴固定不动，转动点离地面的高度为，起重臂长为，，楼高为，操作平台A在上． (1)求此时操作平台离地面的高度； (2)若起重臂可以绕点上下转动，且长度可伸缩，最长可伸长为，则操作平台A能到达楼顶吗？为什么？（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】(1)操作平台离地面的高度约为 (2)能，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、其他问题（解直角三角形的应用）、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、勾股定理等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形成为解题的关键． （1）如图：过点作，垂足为点，则四边形为矩形，，，，进而得到，再解直角三角形可得，然后根据线段的和差即可解答； （2）如图：连接，由题意可知，，最长为，再解直角三角形可得，即，再根据勾股定理可得，则即可判断． 【详解】（1）解：如图：过点作，垂足为点，则四边形为矩形，，，， ，，， ， 在中，， ， ． 答：操作平台A离地面的高度约为． （2）解：能，理由如下： 如图：连接，由题意可知，，最长为， 在中，， ， ， 在中，根据勾股定理得：，   ， ，   操作平台能到达楼顶． 19．（2025·辽宁盘锦·一模）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处，已知试管，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度；（精确到） (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且，（点在一条直线上），经测得：，，求线段的长度．（精确到）（参考数据：，，） 【答案】(1);(2) 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、根据等角对等边求边长、其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． （1）过作，根据三角函数求出，再根据矩形的性质即可得解； （2）过作，交于P，根据三角函数求出，再根据矩形的性质和等腰三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：过作，垂足为点， ， ， ， 在中，， ， ， ， 四边形是矩形， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为． （2）解：过作，交于P， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， 答：线段的长约为． 20．（2025·辽宁鞍山·一模）如图1，是鞍山市二一九公园“未来之匙”雕塑，它寓意着开启新的篇章，是对美好生活的希望和憧憬．如图2，数学兴趣小组利用测角仪对“未来之匙”开展实地测量，在公园广场上选定一点A，观察雕塑顶部，测得其顶部点M仰角为，沿雕塑底部点N与点A所在的直线后退10米到点B，测得点M的仰角为，求出该雕塑的高度．（结果精确到米；参考数据： ） 【答案】该雕塑的高度约为米 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，利用三角函数可得，，再结合，再建立方程求解即可． 【详解】解：由题意， 在中，， ，                        在中，， ，                           ， ， ， （米），                      答：该雕塑的高度约为米． 21．（2025·辽宁锦州·一模）锦州古塔，始建于辽道宗清宁三年（1057年），是辽西地区历史文化的重要载体，见证了锦州地区的历史变迁和发展．某校综合与实践小组开展“锦州古塔高度的测量”实践活动，方案如下： 活动课题 锦州古塔高度的测量 测量工具 卷尺、角度测量仪 方案示意图 测量步骤 如图2， （1）利用角度测量仪在点处测得古塔最高点的仰角是； （2）将角度测量仪从点处朝着古塔方向移动到达点处，在点处测得古塔最高点的仰角为．（点，在同一水平线上，两点间的距离可以用卷尺测得，角度测量仪的高度忽略不计） 参考数据 ． 根据以上数据，求锦州古塔的高度．（结果精确到） 【答案】锦州古塔的高度约为． 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰俯角问题，解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．本题设锦州古塔的高度为，在中，以及在中，进而列出方程求解即可． 【详解】解：设锦州古塔的高度为．根据题意得， ． 在中， ． 在中， ． ， ． 解得． 答：锦州古塔的高度约为． 22．（2025·辽宁营口·一模）土圭是中国古代用于测量日影长度的天文仪器，它的构造简单如图1，就是垂直于地面立的一根杆，通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节的变化，古代的人们发现，夏至日影子最短，冬至日影子最长，这样通过测量日影的长度得到夏至和冬至，从而确定了四季．如图2，若某地太阳光线冬至时和地面的夹角，夏至时夹角，且点A，B，C，D都在同一平面内，某数学兴趣小组测得土圭夏至日和冬至日影长的差为尺．（参考数据，，，，，，，，） (1)求土圭的高度为多少尺； (2)若春分时太阳光线和地面的夹角是，求春分时土圭的影长为多尺？ 【答案】(1)土圭的高度约尺； (2)春分时土圭的影长约为1.25尺 【难度】0.65 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题考查了解直角三角形的应用． （1）在中，利用正切函数的定义求得，在中，利用正切函数的定义求得，再根据为尺列式计算即可求解； （2）在中，利用正切函数的定义即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知：，，，设尺， ∴在中，， 在中，， ， 解得：， （尺） 答：土圭的高度约尺； （2）解：在中，，， （尺） 答：春分时土圭的影长约为尺． 23．（2025·辽宁大连·一模）如图，O，A是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到B点时，由A点观测B点，测得仰角；无人机继续竖直上升到C点，由A点观测C点，测得C点到A点的距离为45，仰角.求无人机从B点到C点的上升高度（精确到1）． （参考数据：，，，，，．） 【答案】无人机从B点到C点的上升高度约为28米 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握相关知识．利用解直角三角形得到，，进而得到，最后根据求解，即可解题． 【详解】解：由题意得，， 在中，，， ， ， ， ， 在中，，， ， ， （米）， 答：无人机从B点到C点的上升高度约为28米． 24．（2025·辽宁丹东·一模）抗美援朝纪念塔坐落在辽宁省丹东市北部的英华山上，此塔铭记着抗美援朝志愿军将士的英勇事迹．抗美援朝纪念塔分为塔身和基座两部分，如图1，小李同学想用测量仪和无人机测量抗美援朝纪念塔的总高度．如图2，小李同学先用测量仪测量基座的高度，在点C测得基座的顶部B的仰角为，，长为，点A，B，C均在同一竖直平面内． (1)求基座的高度； (2)如图3，小李同学想测量塔身的高度，他将无人机升到距地面（所在水平面）的点F处，测得抗美援朝纪念塔塔身的底部B处的俯角为，再将无人机沿纪念塔方向水平飞行至点H处，测得纪念塔的顶部G的俯角为，点A，B，F，G，H均在同一竖直平面内，且点A，B，G在同一直线上．求抗美援朝纪念塔的总高度（结果精确到）（参考数据：，，）． 【答案】(1) (2)约为 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）解求出的长即可； （2）延长交于点I，先解，求出，从而求得，再解中，求得，即可由求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 在中，，， ， 基座的高度为． （2）解：延长交于点I， 由题意得：，， 由（1）可得， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， 抗美援朝纪念塔总高度约为． 25．（2025·辽宁本溪·一模）手机普及率的提高对社会和个人产生了多方面的影响，例如在经济方面不仅推动了消费升级，还重塑了传统商业模式，由此催生的“手机直播”正逐渐演变为一种新兴社会潮流．如图1是一种常见的悬臂式手机直播支架，图2和图3是其几何示意图，手机支架的底座放置于水平地面上，立杆，支杆可绕点旋转，悬臂的长度可以调节，已知，． (1)如图2，B、C、D三点共线，先将支杆绕点顺时针旋转，再将悬臂绕点旋转，同时调节悬臂的长度（如图3），此时，求点到地面的距离； (2)在（1）的条件下，点到地面的距离为，求调节后悬臂的长．（结果精确到．参考数据：，） 【答案】(1)点到地面的距离为 (2)调节后悬臂的长约为 【难度】0.65 【知识点】其他问题（解直角三角形的应用） 【分析】本题主要考查了解直角三角形等知识，解题的关键是作辅助线构造直角三角形，再进行求解． （1）过点作于点，过点作于点，可知四边形为矩形，则，，由旋转得，得，在中，解直角三角形得，即可求解． （2）过点作，交延长线于点，求得，再求得，在中，解直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点， ， 四边形为矩形， ，， 由旋转得， ， 在中，，， ， ， ， 答：点到地面的距离为． （2）解：过点作，交延长线于点， ， ，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 答：调节后悬臂的长约为． 26．（2025·辽宁沈阳·一模）如图是小明同学测量一幢建筑物的示意图．在距离建筑物底端点10米的点处放置高度为米的测量仪，在测量仪的顶端点处测得建筑物的顶端点的仰角为；在距离建筑物底端点4米的点处放置另一个测量仪，在测量仪的顶端点处测得建筑物的顶端点的仰角为．图中点、、、、、都在同一平面内，且于点，于点，于点，点在线段上． (1)求建筑物的高度（结果保留根号）； (2)求测量仪比测量仪高多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 【答案】(1)米;(2)米 【难度】0.65 【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作出辅助线把实际问题转化为解直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点，易证四边形为矩形，然后在中利用求得，最后由即可得到答案； （2）过点作于点，同（1）可求得，最后由即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点，如图所示， ，，米，米， 四边形为矩形， 米，米， ，， （米）， （米）， 答：建筑物的高度为米． （2）解：过点作于点，如图所示， ，，米， 四边形为矩形， ，米， ，， （米）， 由（1）可知，（米） （米）， （米）， 答：测量仪比测量仪高米． 27．（2025·辽宁盘锦·一模）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量与底面垂直的两栋楼的高度之差，他们借助无人机设计了如下测量方案，如图，无人机悬停在、两楼之间上方的点O处，此时测出到楼顶部点A处的俯角为，点O到楼的距离，测出到楼顶部点C处的俯角为，已知两栋楼之间的距离．（点A，B，C，D，O在同一平面内） (1)求的长；（保留根号） (2)求两栋楼的高度之差．（结果精确到1m）（参考数据：，，，） 【答案】(1);(2) 【难度】0.65 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，等腰三角形的判定： （1）根据即可求解； （2）过C作于H，根据矩形的性质得到，解直角三角形求出，结合的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 答：的长； （2）解：过C作于H，则四边形是矩形， ∴， 在中，∵，，， ∴， 由（1）得：， ∴两栋楼与的高度之差为． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 锐角三角函数 题型概览 题型01 锐角三角函数 题型02 解直角三角形 ( 题型01 )锐角三角函数 1．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，把圆分成等份，经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形叫做这个圆的外切正n边形．如图，的半径为R，则它的外切正n边形的边长是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在平面直角坐标系中，从原点引一条射线，设这条射线与轴的正半轴的夹角为，若，则这条射线是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁锦州·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的边在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上．若，则的值为 ． 4．（2025·辽宁营口·一模）如图，在四边形中，对角线与交于点E，过点E作．于点F，连接，，，按以下步骤作图：分别以点A、点F为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧分别交于点P和点Q，作直线，若点B，点E都在直线上，且，则 ． 5．（2025·辽宁铁岭·一模）计算： 6．（2025·辽宁朝阳·一模）计算：； 7．（2025·辽宁抚顺·一模）计算：． 8．（2025·辽宁营口·一模）计算：； 9．（2025·辽宁本溪·一模）计算：； 10．（2025·辽宁·一模）计算： 11．（2025·辽宁铁岭·一模）计算： 12．（2025·辽宁抚顺·一模）计算：(1)； (2)． 13．（2025·辽宁·一模）计算：； 14．（2025·辽宁大连·一模）计算：； 15．（2025·辽宁葫芦岛·一模）计算 16．（2025·辽宁沈阳·一模）计算：； 17．（2025·辽宁盘锦·一模）计算： 18．（2025·辽宁丹东·一模）计算： 19．（2025·辽宁盘锦·一模）计算 20．（2025·辽宁盘锦·一模）计算：； ( 题型02 )解直角三角形 1．（2025·辽宁朝阳·一模）如图，菱形中，点O是的中点，，垂足为M，交于点N，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁大连·一模）如图，小明站在与树（）相距的点C处，测得树顶A的仰角为，小明的眼睛距地面的高度，则这棵树的高度为 （结果精确到，参考数据：，，）． 3．（2025·辽宁鞍山·一模）如图，点A，B分别在函数图象的两支上，连接AB交x轴，y轴于点D，C，以点C为旋转中心，将线段CB逆时针旋转到，且线段轴，若函数经过点，且，则k的值是 ． 4．（2025·辽宁抚顺·一模）如图，在菱形中，，，在直线上取一点，使，连接，在的右侧作，使，射线交直线于点，则的长为 ． 5．（2025·辽宁辽阳·一模）一座辽阳城，半部东北史．在辽阳城中，巍峨耸立着一座千年辽塔——辽阳白塔．辽阳白塔因其塔檐间立壁和塔腰八面涂有白垩而得名白塔．某校九年级“综合与实践”小组开展“辽阳白塔高度的测量”实践活动，如图2，在距离白塔底部中心92米的点A 处有一坡角为的斜坡，斜坡长为10米，在斜坡上点B 处用测角仪测得白塔最高点M的仰角为，点A，B，M，N在同一平面内，测角仪高度忽略不计． (1)求点 B 到水平地面 的距离； (2)求辽阳白塔的高度．（结果精确到）（参考数据：， 6．（2025·辽宁沈阳·一模）数学活动小组设计了测量一棵在山坡上与水平线垂直的杨树（如图1）高度的方案．如图2，从点测得杨树底端点的仰角是长6米，在距离点4米处的点测得杨树顶端点的仰角为（图中在同一平面内，点在同一水平线上）． (1)求山坡上点距水平线的高度（精确到米）； (2)求杨树的高度（精确到米）．（参考数据：，，） 7．（2025·辽宁沈阳·一模）拉杆箱是外出旅行常用工具．某种拉杆箱如图所示（滚轮忽略不计），箱体截面是矩形，的长度为，两节可调节的拉杆长度相等，且与在同一条直线上．如图1，当拉杆伸出一节（）时，与地面夹角；如图2，当拉杆伸出两节（）时，与地面夹角，已知两种情况下拉杆把手点距离地面高度相同．求每节拉杆的长度． （参考数据：，， ） 8．（2025·辽宁阜新·一模）如图，在居民楼前方有一斜坡，斜坡长为，斜坡的坡度，在C，D处测得楼顶端A的仰角分别为和． (1)求点D到地平面的距离； (2)求居民楼的高度（保留根号）． 9．（2025·辽宁沈阳·一模）单摆是一种能够产生往复摆动的装置．某兴趣小组利用单摆进行相关的实验探究，并撰写实验报告如表． 实验主题\ 探究摆球运动过程中高度的变化 实验用具 摆球，摆线，支架，摄像机等 实验说明 如图1，在支架的横杆点处用摆线悬挂一个摆球，将摆球拉高后松手，摆球开始往复运动．（摆线的长度变化忽略不计）如图2，摆球静止时的位置为点，拉紧摆线将摆球拉至点处，于点，，；当摆球运动至点时，，于点．（点在同一平面内） 实验图示 解决问题：根据以上信息，求的长． （参考数据：，，，，，，结果精确到） 10．（2025·辽宁大连·一模）如图1是一辆曲臂云梯消防车的实物图，图2和图3是其工作示意图．曲臂云梯消防车伸缩臂和曲臂可分别绕点A，点B在一定范围内转动，它们的张角分别为和，且当张角满足，时，才能保证消防车在伸展和旋转过程中的稳定性．已知，且，当伸缩臂和曲臂完全伸出时，长为，长为． (1)如图2，若，，求的长； (2)如图3，当达到最大角度时，云梯的顶端C升到最高处，求此时的长． （参考数据： ，结果保留整数．） 11．（2025·辽宁抚顺·一模）“浪漫月牙岛，福顺中国年”．抚顺市月牙岛新春夜游季是近年来我市打造的规模最大的冰雪旅游项目，每天吸引着大量市民前来观赏游玩．如图，小澎同学想用无人机测量月牙岛造型景观舞台的高度，将无人机垂直上升到距地面的点处，测得造型景观舞台底端点的俯角为，再将无人机沿造型景观舞台的方向水平飞行至点处，测得造型景观舞台顶端点的俯角为，点，，，均在同一竖直平面内，求造型景观舞台的高度约为多少米．（结果稍确到，参考数据：，，） 12．（2025·辽宁·一模）综合与实践：山坡高度的测量． (1)如图，对于如图所示的山坡，已知，，，求山高（用含有，的式子表示）． (2)对于（1）中的山高，只要测出坡角和坡面长度即可求山高，但是对于一些“不太平整”的山时，求其山高便是一个不那么简单的问题（如图）． 与测量图的山高相比，测量图的山高困难在于，山坡是“曲”的，问题不能简单地归结为解一个直角三角形，如果能把“曲”转化为“直”，就可能解决问题，这便是微积分的产生． 请你根据上述材料的提示，以及图中所给出的数据，求山高（用含有，，，，，的式子表示）． 13．（2025·辽宁·一模）图1是商场的自动扶梯，图2中的是从一楼到二楼扶梯的侧面示意图．小王站在扶梯起点A处时，测得二楼天花板上照明灯C的仰角为，此时他的眼睛D与地面的距离，之后他沿扶梯到达顶端B后又向正前方走了2m到达点E处（），发现照明灯C刚好在他的正上方．已知自动扶梯与地面的夹角，的长度为10m． (1)求点B到一楼地面的距离； (2)求照明灯C到一楼地面的距离（结果精确到0.1m）．（参考数据：，，，） 14．（2025·辽宁大连·一模）如图，一枚运载火箭从地面处发射，当火箭到达点时，从位于地面处的雷达站测得的距离是，仰角是；后火箭到达点，此时测得仰角为，这枚火箭从到的平均速度是多少（结果取小数点后一位）？ （参考数据：，，，） 15．（2025·辽宁大连·一模）如图，某气象小组正在测算一座垂直发射的探空气球的高度．在观测点处测得气球底端的仰角为，随后向气球方向水平移动到达观测点，测得仰角变为．已知垂直于地面，点与，共线，求探空气球的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，） 16．（2025·辽宁葫芦岛·一模）爷爷有一把躺椅，如图1所示，其侧面结构的几何示意图如图2所示，躺椅主要由座面，靠背以及支架和组成，其中座面与地面平行，，，，．（图中所示线段均在同一平面内）． (1)求座面与地面的距离； (2)求靠背最高点E与地面的距离．（结果保留根号） 17．（2025·辽宁·一模）图1为钓鱼爱好者购买的神器“晴雨伞”的实物图，其截面示意图（图2）是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆，用绳子拉直后系在树干上的点处，使得，，在一条直线上，，．（参考数据：，，，） (1)垂钓时打开“晴雨伞”，若，求遮蔽宽度的长；（结果保留根号） (2)若由（1）中的位置收合“晴雨伞”，使得，求点下降的高度．（结果精确到） 18．（2025·辽宁抚顺·一模）按照中央、省市关于城市燃气管网专项治理工作的部署和安排，我市正在进行城镇燃气管网老化更新改造工程．图1是改造现场一辆伸缩臂高空作业车的实物图，图2是其工作示意图（点A，，，，，，，都在同一平面内）．如图2，伸缩臂高空作业车固定不动，转轴固定不动，转动点离地面的高度为，起重臂长为，，楼高为，操作平台A在上． (1)求此时操作平台离地面的高度； (2)若起重臂可以绕点上下转动，且长度可伸缩，最长可伸长为，则操作平台A能到达楼顶吗？为什么？（结果精确到，参考数据：，，） 19．（2025·辽宁盘锦·一模）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处，已知试管，，试管倾斜角为． (1)求酒精灯与铁架台的水平距离的长度；（精确到） (2)实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且，（点在一条直线上），经测得：，，求线段的长度．（精确到）（参考数据：，，） 20．（2025·辽宁鞍山·一模）如图1，是鞍山市二一九公园“未来之匙”雕塑，它寓意着开启新的篇章，是对美好生活的希望和憧憬．如图2，数学兴趣小组利用测角仪对“未来之匙”开展实地测量，在公园广场上选定一点A，观察雕塑顶部，测得其顶部点M仰角为，沿雕塑底部点N与点A所在的直线后退10米到点B，测得点M的仰角为，求出该雕塑的高度．（结果精确到米；参考数据： ） 21．（2025·辽宁锦州·一模）锦州古塔，始建于辽道宗清宁三年（1057年），是辽西地区历史文化的重要载体，见证了锦州地区的历史变迁和发展．某校综合与实践小组开展“锦州古塔高度的测量”实践活动，方案如下： 活动课题 锦州古塔高度的测量 测量工具 卷尺、角度测量仪 方案示意图 测量步骤 如图2， （1）利用角度测量仪在点处测得古塔最高点的仰角是； （2）将角度测量仪从点处朝着古塔方向移动到达点处，在点处测得古塔最高点的仰角为．（点，在同一水平线上，两点间的距离可以用卷尺测得，角度测量仪的高度忽略不计） 参考数据 ． 根据以上数据，求锦州古塔的高度．（结果精确到） 22．（2025·辽宁营口·一模）土圭是中国古代用于测量日影长度的天文仪器，它的构造简单如图1，就是垂直于地面立的一根杆，通过观察记录这根杆正午时影子的长短变化来确定季节的变化，古代的人们发现，夏至日影子最短，冬至日影子最长，这样通过测量日影的长度得到夏至和冬至，从而确定了四季．如图2，若某地太阳光线冬至时和地面的夹角，夏至时夹角，且点A，B，C，D都在同一平面内，某数学兴趣小组测得土圭夏至日和冬至日影长的差为尺．（参考数据，，，，，，，，） (1)求土圭的高度为多少尺； (2)若春分时太阳光线和地面的夹角是，求春分时土圭的影长为多尺？ 23．（2025·辽宁大连·一模）如图，O，A是同一水平线上的两点，无人机从O点竖直上升到B点时，由A点观测B点，测得仰角；无人机继续竖直上升到C点，由A点观测C点，测得C点到A点的距离为45，仰角.求无人机从B点到C点的上升高度（精确到1）． （参考数据：，，，，，．） 24．（2025·辽宁丹东·一模）抗美援朝纪念塔坐落在辽宁省丹东市北部的英华山上，此塔铭记着抗美援朝志愿军将士的英勇事迹．抗美援朝纪念塔分为塔身和基座两部分，如图1，小李同学想用测量仪和无人机测量抗美援朝纪念塔的总高度．如图2，小李同学先用测量仪测量基座的高度，在点C测得基座的顶部B的仰角为，，长为，点A，B，C均在同一竖直平面内． (1)求基座的高度； (2)如图3，小李同学想测量塔身的高度，他将无人机升到距地面（所在水平面）的点F处，测得抗美援朝纪念塔塔身的底部B处的俯角为，再将无人机沿纪念塔方向水平飞行至点H处，测得纪念塔的顶部G的俯角为，点A，B，F，G，H均在同一竖直平面内，且点A，B，G在同一直线上．求抗美援朝纪念塔的总高度（结果精确到）（参考数据：，，）． 25．（2025·辽宁本溪·一模）手机普及率的提高对社会和个人产生了多方面的影响，例如在经济方面不仅推动了消费升级，还重塑了传统商业模式，由此催生的“手机直播”正逐渐演变为一种新兴社会潮流．如图1是一种常见的悬臂式手机直播支架，图2和图3是其几何示意图，手机支架的底座放置于水平地面上，立杆，支杆可绕点旋转，悬臂的长度可以调节，已知，． (1)如图2，B、C、D三点共线，先将支杆绕点顺时针旋转，再将悬臂绕点旋转，同时调节悬臂的长度（如图3），此时，求点到地面的距离； (2)在（1）的条件下，点到地面的距离为，求调节后悬臂的长．（结果精确到．参考数据：，） 26．（2025·辽宁沈阳·一模）如图是小明同学测量一幢建筑物的示意图．在距离建筑物底端点10米的点处放置高度为米的测量仪，在测量仪的顶端点处测得建筑物的顶端点的仰角为；在距离建筑物底端点4米的点处放置另一个测量仪，在测量仪的顶端点处测得建筑物的顶端点的仰角为．图中点、、、、、都在同一平面内，且于点，于点，于点，点在线段上． (1)求建筑物的高度（结果保留根号）； (2)求测量仪比测量仪高多少米．（结果精确到米）（参考数据：，，，） 27．（2025·辽宁盘锦·一模）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量与底面垂直的两栋楼的高度之差，他们借助无人机设计了如下测量方案，如图，无人机悬停在、两楼之间上方的点O处，此时测出到楼顶部点A处的俯角为，点O到楼的距离，测出到楼顶部点C处的俯角为，已知两栋楼之间的距离．（点A，B，C，D，O在同一平面内） (1)求的长；（保留根号） (2)求两栋楼的高度之差．（结果精确到1m）（参考数据：，，，） 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $$