第03讲 等式与不等式的性质（复习讲义）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 等式与不等式的性质 目录 01 考情解码・命题预警 2 02 体系构建·思维可视 3 03 核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 两个实数大小的比较 3 知识点2 不等式的性质 4 题型破译 5 题型1 作差法、作商法比较两数（式）的大小 5 题型2 利用不等式的性质判断命题真假 6 【方法技巧】利用不等式判断正误的方法 题型3 利用不等式的性质证明不等式 8 题型4 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 10 【易错分析】利用同向相加求范围出错 题型5 不等式的综合 12 04 真题溯源·考向感知 14 05 课本典例·高考素材 15 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）理解用作差法比较两个实数大小的理论依据 （2）理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用. 单选题 多选题 填空题 解答题 / / / 考情分析： 近三年考情显示，高考对不等式性质的考查虽单独命题频率较低，但相关知识贯穿各类题型，是进行不等式变形、证明及解题的核心工具。其重要性体现在：作为数学逻辑的基础支撑，不等式性质为函数、数列、几何等模块的解题提供理论依据；同时，其应用能力直接影响考生对复杂问题的转化与分析能力，成为高考数学考查逻辑思维与运算素养的关键载体。因此，掌握不等式性质不仅是应对单一题型的需要，更是提升整体数学能力的必备基础。 复习目标： 1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质 2.能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系 3.能够利用不等式的关系表示不等式的范围 知识点1 两个实数大小的比较 作差法： 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为: _______. 作商法： 任意两个值为_______的代数式、，可以作商后比较与_______的关系，进一步比较与的大小． 则有；；． 自主检测已知，，设，，则与的大小关系为 ． 知识点2 不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 _______ 可乘性 的符号 _______ 同向可加性 _______ 同向同正可乘性 可乘方性 同正 自主检测（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，则 题型1 作差法、作商法比较两数（式）的大小 例1-1（多选）设，则P，Q，R的大小关系是（   ） A． B． C． D． 例1-2如果，比较与的大小并证明． 【变式1-1】设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【变式1-2】已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 【变式1-3·变载体】若，则与的大小关系是 ．（用“>”连接） 题型2 利用不等式的性质判断命题真假 例2-1（多选）对于实数、、，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例2-2已知x，y是实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 方法技巧 利用不等式判断正误的方法 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 【变式2-1】设，若，则下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（多选）设，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-3】下列说法中正确的是（   ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 题型3 利用不等式的性质证明不等式 例3-1若，，证明：． 例3-2已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式3-1】已知，，求证． 【变式3-2】设，求证. 【变式3-3】（1）设，求证：， （2）设，求证：， 题型4 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 例4-1已知，若，则的取值范围是 ；若，且，则的取值范围是 ． 例4-2已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 易错分析 利用同向相加求范围出错 在多次运用不等式性质时，其等号成立的条件可能有所不同，造成累积误差，结果使变量范围扩大。为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用性质时等号成立的条件是否相同；②尽可能多的使用等式 【变式4-1】如果，，则的取值范围是 . 【变式4-2】已知，，，则的取值范围是 . 【变式4-3】已知，． (1)求，的取值范围； (2)求，的取值范围． 题型5 不等式的综合 例5-1（2025·云南昆明·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 例5-2已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】设为实数，满足，则的最大值是 ． 【变式5-2】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知正数x，y，z满足或，记（M为x，y，z中最大者），则M的最小值为 ． 【变式5-3】（1）已知，且，请证明：. （2）已知，，且，请证明：与至少有一个大于. 1．（2017·北京·高考真题）能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为 . 2．（2019·全国II卷·高考真题）若a>b，则 A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 1．下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．用不等号“>”或“<”填空: (1)如果,,那么 ; (2)如果,,那么 ; (3)如果,那么 ; (4)如果,那么 . 3．比较下列各组中两个代数式的大小： （1）与； （2）与； （3）当时，与； （4）与. 4．已知，，，求证： 5．已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 6．已知，，求的范围. 26 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 等式与不等式的性质 目录 01 考情解码・命题预警 2 02 体系构建·思维可视 3 03 核心突破·靶向攻坚 3 知能解码 3 知识点1 两个实数大小的比较 3 知识点2 不等式的性质 4 题型破译 5 题型1 作差法、作商法比较两数（式）的大小 5 题型2 利用不等式的性质判断命题真假 6 【方法技巧】利用不等式判断正误的方法 题型3 利用不等式的性质证明不等式 8 题型4 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 10 【易错分析】利用同向相加求范围出错 题型5 不等式的综合 12 04 真题溯源·考向感知 14 05 课本典例·高考素材 15 考点要求 考察形式 2025年 2024年 2023年 （1）理解用作差法比较两个实数大小的理论依据 （2）理解不等式的性质，掌握不等式性质的简单应用. 单选题 多选题 填空题 解答题 / / / 考情分析： 近三年考情显示，高考对不等式性质的考查虽单独命题频率较低，但相关知识贯穿各类题型，是进行不等式变形、证明及解题的核心工具。其重要性体现在：作为数学逻辑的基础支撑，不等式性质为函数、数列、几何等模块的解题提供理论依据；同时，其应用能力直接影响考生对复杂问题的转化与分析能力，成为高考数学考查逻辑思维与运算素养的关键载体。因此，掌握不等式性质不仅是应对单一题型的需要，更是提升整体数学能力的必备基础。 复习目标： 1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质 2.能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系 3.能够利用不等式的关系表示不等式的范围 知识点1 两个实数大小的比较 作差法： 如果是正数,那么;如果等于零,那么;如果是负数,那么.反过来也对. 这个基本事实可以表示为: . 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． 则有；；． 自主检测已知，，设，，则与的大小关系为 ． 【答案】 【详解】．因为，，所以，，，所以，所以． 知识点2 不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 传递性 可加性 可乘性 的符号 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 同正 自主检测（多选）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】BC 【详解】对于A选项，若，，则，A错误； 对于B选项，若，，则，，B正确； 对于C选项，若且，则， 即，C正确； 对于D选项，若，取，，， 则，，此时，D错误. 故选：BC. 题型1 作差法、作商法比较两数（式）的大小 例1-1（多选）设，则P，Q，R的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】因为，所以． 因为， 又，所以，所以． 例1-2如果，比较与的大小并证明． 【详解】，理由如下： ， 当时等号成立，所以. 【变式1-1】设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 【变式1-2】已知克糖水中含有克糖（），再添加克糖（，假设全部溶解），糖水变甜了，将这一事实表示为一个不等式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】这一事实表示为一个不等式为． 证明：， 又，， ，即， 即. 故选： 【变式1-3·变载体】若，则与的大小关系是 ．（用“>”连接） 【答案】 【详解】方法一（作商法）：因为， 所以， 所以． 方法二（作差法）：，即． 故答案为： 题型2 利用不等式的性质判断命题真假 例2-1（多选）对于实数、、，下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【详解】对于A选项，因为，则，故，A错； 对于B选项，若，则，由不等式的基本性质可得，B对； 对于C选项，若，由不等式的基本性质可得，C对； 对于D选项，若，则， 所以，D对. 故选：BCD. 例2-2已知x，y是实数，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若，满足，此时，所以不是的充分条件， 反过来，若，满足，此时，所以也不是的必要条件，所以”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 方法技巧 利用不等式判断正误的方法 ①直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可． ②特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 【变式2-1】设，若，则下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，则，A选项正确； 因为，则，则，B选项正确； 因为，则，则，C选项正确； 取，所以，D选项错误； 故选：D. 【变式2-2】（多选）设，则下列选项中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，取满足，而不成立，B错误； 对于C，由，得，则，C正确； 对于D，由，得，则，D正确. 故选：ACD 【变式2-3】下列说法中正确的是（   ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】B 【详解】项，若，，此时，但不满足，故A项错误； B项，根据不等式性质，可由推导出，故是的必要条件，故B项正确； C项，若，，此时，但不满足，故C项错误； D项，若，，此时，但是不满足，故D项错误． 故选：B 题型3 利用不等式的性质证明不等式 例3-1若，，证明：． 【详解】∵，∴， 又∵，∴， ∴，则有：， 又∵， ∴． 例3-2已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 【变式3-1】已知，，求证． 【详解】根据不等式的性质利用综合法即可证明． 因为，所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以， 所以． 【变式3-2】设，求证. 【详解】由， 因为，可得， 所以，即，所以. 【变式3-3】（1）设，求证：， （2）设，求证：， 【详解】（1）方法一：，， ， ． 方法二：， ． （2）方法一：， ， ， ． ， . 题型4 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 例4-1已知，若，则的取值范围是 ；若，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若，则，而，所以有．设，则解得若，，则有，所以，即． 易错警示：题中的第二空易错误的利用如下解法：先由条件得出a，b的范围，再由此得出的范围，即得出的错误结果（其取值范围扩大了）. 例4-2已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，即， 所以，则， 所以.故选：D. 易错分析 利用同向相加求范围出错 在多次运用不等式性质时，其等号成立的条件可能有所不同，造成累积误差，结果使变量范围扩大。为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用性质时等号成立的条件是否相同；②尽可能多的使用等式 【变式4-1】如果，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】, , 又, , 两式相加得, 故答案为:. 【变式4-2】已知，，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】令，则，即， 由，即，可得，则. 故答案为：. 【变式4-3】已知，． (1)求，的取值范围； (2)求，的取值范围． 【详解】（1）因为， 所以，，所以． 又因为，所以. （2）由题意得，则， 得， 又因为，则，得. 题型5 不等式的综合 例5-1（2025·云南昆明·一模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，且可得，即， 则， 又，即，化简可得， 即，其中， 所以，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 综上所述，. 故选：A 例5-2已知，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 ， 若，且，则，， 可得，即； 若，且，则，， 可得，即； 若，则，即； 综上可知，对于，，，都有. 故选：C. 【变式5-1】设为实数，满足，则的最大值是 ． 【答案】32 【详解】由题设，则， 所以的最大值是32. 故答案为：32 【变式5-2】（2024·河北邯郸·模拟预测）已知正数x，y，z满足或，记（M为x，y，z中最大者），则M的最小值为 ． 【答案】 【详解】若，由，可得， 所以，即， 若，则有，所以，即， 故的最小值为． 故答案为： 【变式5-3】（1）已知，且，请证明：. （2）已知，，且，请证明：与至少有一个大于. 【详解】（1）证明：若，则，，不合题意，. 要证，只需证， 又，只需证， 即，只需证，只需证， 成立，原式成立. （2）证明：假设，，， ，与矛盾， 假设不成立，与至少有一个大于. 1．（2017·北京·高考真题）能够说明“设是任意实数,若,则”是假命题的一组整数的值依次为 . 【答案】 【详解】试题分析：，矛盾，所以−1，−2，−3可验证该命题是假命题. 2．（2019·全国II卷·高考真题）若a>b，则 A．ln(a−b)>0 B．3a<3b C．a3−b3>0 D．│a│>│b│ 【答案】C 【详解】取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C． 3．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（多选）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 1．下列命题为真命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【详解】对于A,当时，显然不成立，故A错误； 对于B，由，利用不等式的性质易得，故B正确； 对于C，当时，取，则，故C错误； 对于D，当时，，由不等式的性质，可得，故D错误. 故选：B. 2．用不等号“>”或“<”填空: (1)如果,,那么 ; (2)如果,,那么 ; (3)如果,那么 ; (4)如果,那么 . 【答案】 > < < < 【解析】根据不等式的性质依次填写即可 【详解】解析:(1),.,. (2),.,,. (3),,,,, ,即. (4),所以,.于是,即,即. ,. 故答案为:(1)>；(2)<；(3)<；(4)< 【点睛】本题考查利用不等式性质判断不等关系,熟练掌握不等式性质是解题关键 3．比较下列各组中两个代数式的大小： （1）与； （2）与； （3）当时，与； （4）与. 【详解】解：（1）因为，所以. （2）因为，所以. （3）因为，所以当时，. （4）因为，所以. 【点睛】本题主要考查了利用作差法比较大小，属于基础题. 4．已知，，，求证： 【详解】∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴. 5．已知b克糖水中含有a克糖，再添加m克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立. 【解析】根据添加后的浓度大于之前的浓度，得出，利用作差法证明不等式成立即可. 【详解】解：时，. 证明如下： ， . 【点睛】本题主要考查了利用不等式表示不等关系以及作差法证明不等式，属于中档题. 6．已知，，求的范围. 【详解】解：， ，又， . 16 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $$