第03讲 等式与不等式的性质（专项训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习讲练测

第03讲 等式与不等式的性质 目录 01 常考题型过关练 题型01作差法、作商法比较两数（式）的大小 题型02 利用不等式的性质判断命题真假 题型03 利用不等式的性质证明不等式 题型04 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 题型05 不等式的综合 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 作差法、作商法比较两数（式）的大小 1．（多选）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．假设买水两次，两次买水的价格有变动，第一次a元/瓶，第二次b元/瓶，有以下两种方案买水（假设十元钱刚好能买到整数瓶水），方案一：每次买十元钱的水，买两次；方案二：每次买十瓶水，买两次．则下列说法正确的是（    ） A．用两种买水方案买水的花费一样 B．用“方案二”买水比较划算 C．用“方案一”买水比较划算 D．用哪种方案买水比较划算与a，b的大小有关 3．每次去加油站，甲选择加固定金额的油，乙选择加固定体积的油．在油价的波动情况下，哪种方式更经济呢？（    ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 4．两人共同参加一个游戏，游戏规则如下：其中一人在集合（，且）中任取2个元素并求和，剩下2个元素给另一个人并求和，和大者为胜.则先取者取下列哪2个元素能够保证先取者必胜（    ） A．， B．， C．， D．， 5．若，求证：． 02 利用不等式的性质判断命题真假 6．若，，则（   ） A． B． C． D． 7．若，，为非零实数，且，，则（    ） A． B． C． D． 8．下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 9．（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选）若，且，则（   ） A． B． C． D． 03 利用不等式的性质证明不等式 11．（多选）下列说法正确的有（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 12．（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 13．已知，． (1)求证：； (2)求证：． 14．设，，，证明：． 15．已知，且，求证： 16．已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式. (2)利用（1）的结论证明命题：“若在中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则” 04 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 17．若，则的范围为（   ） A． B． C． D． 18．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．（多选）已知且，则（   ） A． B． C． D． 20．若实数x，y满足，则的取值范围是 ；若实数x，y满足，则的取值范围是 ． 05 不等式的综合 21．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 22．设集合，若，，且，，则（   ） A． B．， C． D．， 23．（2025·浙江·模拟预测）若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D． 24．已知实数满足． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 25．求证：． 1．（多选）已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（多选）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．已知，，则 D．已知，若，，则 5．（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 6．设，则M与N的大小关系是 ． 7．（多选）若，，，则（   ） A． B． C． D． 8．已知，且． (1)求证：； (2)求证：． 9．求证：． 1．（2018·全国III卷·高考真题）设，，则 A． B． C． D． 2．（2016·全国I卷·高考真题）若，，则 A． B． C． D． 3．（2015·浙江·高考真题）设，是实数，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 学科 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 等式与不等式的性质 目录 01 常考题型过关练 题型01作差法、作商法比较两数（式）的大小 题型02 利用不等式的性质判断命题真假 题型03 利用不等式的性质证明不等式 题型04 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 题型05 不等式的综合 02 核心突破提升练 03 真题溯源通关练 01 作差法、作商法比较两数（式）的大小 1．（多选）若，那么下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，，所以，因为，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：ACD. 2．假设买水两次，两次买水的价格有变动，第一次a元/瓶，第二次b元/瓶，有以下两种方案买水（假设十元钱刚好能买到整数瓶水），方案一：每次买十元钱的水，买两次；方案二：每次买十瓶水，买两次．则下列说法正确的是（    ） A．用两种买水方案买水的花费一样 B．用“方案二”买水比较划算 C．用“方案一”买水比较划算 D．用哪种方案买水比较划算与a，b的大小有关 【答案】C 【详解】方案一：平均每瓶的价格为（元）；方案二：平均每瓶的价格为（元）．由于，故方案一比较划算． 3．每次去加油站，甲选择加固定金额的油，乙选择加固定体积的油．在油价的波动情况下，哪种方式更经济呢？（    ） A．加固定金额的方式 B．加固定体积的方式 C．两种方案一样 D．要视具体价格而定 【答案】A 【详解】设两次加油的油价分别为，（，且），乙方案每次加油的量为；甲方案每次加油的钱数为， 则乙方案的平均油价为：，甲方案的平均油价为：， 因为， 所以，即甲方案更经济． 故选：A 4．两人共同参加一个游戏，游戏规则如下：其中一人在集合（，且）中任取2个元素并求和，剩下2个元素给另一个人并求和，和大者为胜.则先取者取下列哪2个元素能够保证先取者必胜（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】若先取者取和， 则， 根据，且，不能确定大小关系，A错误； 若先取者取和， 则， 根据，且，不能确定大小关系，B错误； 若先取者取和， 则 ， 根据，且，所以上式大于0，C正确，D错误. 故选：C 5．若，求证：． 【答案】证明见解析 【详解】证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． 02 利用不等式的性质判断命题真假 6．若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，，所以，，所以，，故A正确，B错误；当时，，，故C错误，D错误． 7．若，，为非零实数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，，则，， 因为此时，故A不成立； ，故B不成立； ，故D不成立； 根据不等式的基本性质：，，故C成立. 故选：C 8．下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】A 【详解】对于A，，因，则， 又，则，故A错误； 对于B，由不等式同向可加性可知，当时，，故B正确； 对于C，，因，则，又， 则，故C正确； 对于D，，因，则， ，则， 故D正确． 故选：A 9．（多选）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A： ，又，由加法性质知，A正确, 对于B：, ,，B正确, 对于C：, ,,但是的正负号不确定, 与大小关系不确定，C错误, 对于D：,, ，又,，D正确, 故选：ABD. 10．（多选）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】B选项，， 又，故， 由可得，即， 由可得， 所以，故， 由可得，即， 所以，B正确； 不妨设，满足和， 此时，，AD错误； 两边同除以得， ，，故，即， 不等式两边同除以得， 所以，C正确； 故选：BC 03 利用不等式的性质证明不等式 11．（多选）下列说法正确的有（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【详解】A中，因为，可得，所以，所以A正确； B中，若，也可以，所以不正确，所以B不正确； C中，， 因为，，而，所以，即，所以C正确； D中，若，当时，则，则错误，所以D不正确． 故选：AC． 12．（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【详解】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以． （2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以． 13．已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 14．设，，，证明：． 【答案】证明见解析 【详解】由题意知，，， 则有，，，① ，，， 所以． 又根据①的结论可知，，， 所以． 综上所述，. 15．已知，且，求证： 【答案】证明见解析． 【详解】因为，且，可得，， 所以， 所以，可得， 又因为， 所以， 所以，所以， 因为，由不等式的性质，可得，故． 16．已知糖水中有糖（），往糖水中加入糖（），（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式. (2)利用（1）的结论证明命题：“若在中a、b、c分别为角A、B、C所对的边长，则” 【答案】(1)；证明见解析； (2)证明见解析； 【详解】（1）由题可得，； 证明：因为，，， 所以，，，从而，即 （2）由三角形三边关系，可得，而函数，为单调递增函数， ， ，， 故， 所以， 04 利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 17．若，则的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以，所以， 即的范围为. 故选：A 18．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又，，所以的取值范围是． 故选：C． 19．（多选）已知且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】∵且，∴，即，故A正确； 取，则，故B错误； 取，则，故C错误； ∵，∴，又，∴， ∴，∴， ∵，∴，又，∴， ∴，∴， 综上，，故D正确， 故选：AD. 20．若实数x，y满足，则的取值范围是 ；若实数x，y满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】若x，y满足，则，从而．若，设，所以解得，则有，所以． 05 不等式的综合 21．（2025·云南玉溪·二模）已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得， 因为，当且仅当时取等号， 所以， 因为，所以， 当时，，此时，， 这与矛盾，所以， 由，得， 所以，当且仅当时取等号， 由A选项知，当时，不符题意， 所以， 由，可得， 因为，所以， 所以， 因为，所以，所以， 由，得， 则， 因为，， 所以， 又因为，所以，所以， 综上所述，. 故选：A. 22．设集合，若，，且，，则（   ） A． B．， C． D．， 【答案】D 【详解】由，，则，， 则 又实数，，所以，即，A选项错误； 当，，此时，B选项错误； 由A选项知，，故当时，，C选项错误； D选项：1.当为奇数，为奇数时，为偶数．又，因为为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾． 2.当，为整数，且其中至少有一个为偶数，则必为偶数．又，且为奇数，所以必为偶数，这与为奇数矛盾．故，不可能都为整数，即，，选项D正确． 故选：D. 23．（2025·浙江·模拟预测）若负实数满足：对于任意，总存在，使得，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可知：对于任意，总存在， 使得， 所以的取值范围是的子集即可， ， 注意到， ， 因为，所以 故选：B 24．已知实数满足． (1)求和的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)； ． (2)证明见解析 【详解】（1）因为，所以， 因为， 所以； （2）．         因为，所以． 所以； 所以． 25．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】‌由浓度不等式，可得， 则有， 于是， ， 因此． 证明浓度不等式：，其中， 证明：， 所以. 1．（多选）已知，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】因为，， 对于A，因为，而，，故无法确定与的大小，A错； 对于B，因为，所以，B错； 对于C，由不等式的性质可得，从而，C对； 对于D，由不等式的性质可得，D对. 故选：CD. 2．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以．由于，故在不等式上同时乘以a得，即，因此，． 3．（2025·福建三明·三模）已知a，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】若，则，充分性成立； 设，则有满足， 此时有，不满足，故必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（多选）在下列四个命题中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，，则 C．已知，，则 D．已知，若，，则 【答案】CD 【详解】对于A,由，故，故A错误， 对于B，由于，所以， 又，所以， 又，故，故， 因此，故B错误， 对于C,由于，结合，， 则，故C正确， 对于D, ，由于，， 故，即，故D正确， 故选：CD 5．（2025·山西·二模）从坐标平面的四个象限中取若干点，这些点中横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少，则下列对这些点的判断一定正确的是（   ） A．第一象限点比第二象限点多 B．第二象限点比第三象限点多 C．第一象限点比第三象限点少 D．第二象限点比第四象限点少 【答案】D 【详解】设第一象限的点即横坐标为正数且纵坐标为正数的点有个， 第二象限的点即横坐标为负数且纵坐标为正数的点有个， 第三象限的点即横坐标为负数且纵坐标为负数的点有个， 第四象限的点即横坐标为正数且纵坐标为负数的点有个， 又因为横坐标为正数的点比横坐标为负数的点多，纵坐标为正数的点比纵坐标为负数的点少， 所以①，且②， 由不等式性质可知，①+②可得，即第二象限点比第四象限点少. 故选：D. 6．设，则M与N的大小关系是 ． 【答案】 【详解】因为，所以． 7．（多选）若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】，，， ， 所以， ， 所以，所以， 所以B、C、D正确，A错误. 故选：BCD 8．已知，且． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）解法1  因为且，所以，且，两边取倒数得，又，则，从而得证． 解法2  因为且，所以，且，所以，即． （2）因为且，所以，，则，，由，可得，即，所以，即．综上，． 9．求证：． 【答案】证明见解析 【详解】‌原不等式可转化为， 由浓度不等式得， 则得， 于是 两边开平方，即得． 下面证明浓度不等式，，其中， 证明：由， 所以. 1．（2018·全国III卷·高考真题）设，，则 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：求出，得到的范围，进而可得结果． 详解：. ,即 又 即 故选：B. 2．（2016·全国I卷·高考真题）若，，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】试题分析：用特殊值法，令，，得，选项A错误，，选项B错误， ，选项D错误， 因为选项C正确，故选C． 3．（2015·浙江·高考真题）设，是实数，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】本题采用特殊值法：当时，，但，故是不充分条件；当时，，但，故是不必要条件.所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D. 学科 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$