预备衔接专题01 乘法公式（3重点+复习提升）-【暑假自学课】2025年新高一数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

专题01 乘法公式 初中阶段，我们学习了完全平方公式： ，将公式左边的指数变为 3 时，则有： 因此得到和的立方公式或完全立方和公式 将公式中的 全部改为 ，又得到差的立方公式或完全立方差公式 将上述两个公式称为完全立方公式，它们可以合写为 常用乘法公式是多项式运算中经常会用到的公式,高一上学期要学习的不等式中的比较大小、函数的单调性中用定义证明或判断函数单调性时的作差环节等经常会用到平方差、立方差等公式. 由完全立方和公式可得 ，即 由此可得立方和公式 将立方和公式中的 改为 ，得到立方差公式 通过将完全平方和公式 中的指数 2 推广到 3 ，我们得到完全立方和公式．类似地，我们也可以从项数的角度进行推广，将两项和的平方推广到三项和的平方 灵活应用等式 ，可以为代数式运算带来方便． 例1 （运用完全立方公式化简）化简： ． 例2 （完全平方公式分类讨论）若 ，则 A．4 B． C． D． 例3 （运用立方和差公式化简）化简 ： ． 例4 （完全平方公式求代数式）已知 ，则 _________． 例5 （运用立方和差公式比大小）对任意实数 ，试比较 与 1 的大小． 例6 （运用完全立方公式证明）已知 ，求证： ． 例7 （运用三数和平方公式求代数式的值）已知 ，求下列各式的值： （1） ； （2） ． 1．若 ，则 （ ）． A． 128 B． 464 C． 496 D．512 2．若 ，则 （ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 3．设 ，则对任意的 与 的大小关系为 ． A． B． C． D． 4．_____________． 5．观察下列各式的规律： 可得到 _____________．（其中 为正整数）． . 7．已知 ，求： （1）； （2）． 8．已知为非零实数， ，求证：. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 乘法公式 初中阶段，我们学习了完全平方公式： ，将公式左边的指数变为 3 时，则有： 因此得到和的立方公式或完全立方和公式 将公式中的 全部改为 ，又得到差的立方公式或完全立方差公式 将上述两个公式称为完全立方公式，它们可以合写为 常用乘法公式是多项式运算中经常会用到的公式,高一上学期要学习的不等式中的比较大小、函数的单调性中用定义证明或判断函数单调性时的作差环节等经常会用到平方差、立方差等公式. 由完全立方和公式可得 ，即 由此可得立方和公式 将立方和公式中的 改为 ，得到立方差公式 通过将完全平方和公式 中的指数 2 推广到 3 ，我们得到完全立方和公式．类似地，我们也可以从项数的角度进行推广，将两项和的平方推广到三项和的平方 灵活应用等式 ，可以为代数式运算带来方便． 例1 （运用完全立方公式化简）化简： ． 【解】 ． 例2 （完全平方公式分类讨论）若 ，则 A．4 B． C． D． 【思路分析】观察已知条件，将 两边平方与 联立得到 ，进而得到 或 ，将 代人 得到 的值，可以求得结果；同样将 代人 得到 的值，可以求得结果． 【解析】 ∵ ，即 或 ． 当 时， ，则 ； 当 时， ，则 ．故选 C． 【答案】C 例3 （运用立方和差公式化简）化简 ： ． 【思路分析】将此代数式分组结合，就会出现立方和与立方差公式，再应用平方差公式即可求解．或者先应用平方差公式再应用立方差公式也可求解． 【解】方法一：原式 ． 方法二：原式 ． 例4 （完全平方公式求代数式）已知 ，则 _________． 【思路分析】将已知等式按照 分别配方，利用等式性质求出 的值，代人即得答案． 【解析】由 配方得， ， 因为 ，故必须满足 所以 ． 【答案】 1 例5 （运用立方和差公式比大小）对任意实数 ，试比较 与 1 的大小． 【分析】观察 的结构特点，可运用立方和 （差）公式将其化简。 【解】 因为 ，对任意实数 ，所以 当且仅当 时等号成立． 例6 （运用完全立方公式证明）已知 ，求证： ． 【证明】证法 1： 由已知得 ，故 ．因此， 证法 2： 例7 （运用三数和平方公式求代数式的值）已知 ，求下列各式的值： （1） ； （2） ． 【分析】将（1）与已知联系，联想已知中的等式，发现可将 用 和 表示后即可得解．由于 ，由（1）得到启发，如果知道 的值，就能得解． 【解】（1） ． 由上式和已知，得 ，即 ． （2）由 ，得 ． 因为 ，所以 ． 再由（1）的结论，得 ． 因此 ． 1．若 ，则 （ ）． A． 128 B． 464 C． 496 D．512 【解析】已知 ，将其两边平方可得 ，又因为 ，所以 ，把 代入可得 .接着根据立方和公式求 的值，已知 ， ，则 ，所以 ，答案选 B . 2．若 ，则 （ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】本题涉及完全平方公式 的应用.我们可以先将 展开，然后把已知条件代入，从而求出 的值. 3．设 ，则对任意的 与 的大小关系为 ． A． B． C． D． 【分析】要比较 与 的大小，采用作差法：先利用立方和公式展开 ，得 ；再计算 ，化简后为 ；提取公因式3，结合完全平方公式（因 ，将 拆为 拆为 ），变形为 。由于平方数具有非负性，故 ，即 ，因此 （当且仅当 时取等号），答案选. 【解析】 已知 ，作差化简： 平方数具有非负性，即 ，因此： （当且仅当 时，等号成立.）. 4．_____________． 【分析】利用立方差公式 来计算. 【详解】，根据立方差公式 ，所以 故本题的答案是 . 5．观察下列各式的规律： 可得到 _____________．（其中 为正整数）． 【分析】通过观察给出的三个等式，发现等式左边是 乘以一个由 的降幂和 的升幂排列组成的多项式，等式右边是 的更高次幂减去 的更高次幂。我们可以通过对前面的式子进行分析和归纳，来推导一般情况下的规律。 【详解】第一个等式 ，左边是 乘以 和 的一次式，右边是 的二次幂减去 的二次幂。第二个等式 ，左边是 乘以 的二次式和 的二次式，右边是 的三次幂减去 的三次幂。第三个等式 ，左边是 乘以 的三次式和 的三次式，右边是 的四次幂减去 的四次幂。通过观察可以发现，等式左边 乘以的多项式中， 的最高次幂依次为 的最高次幂依次为 ,3 ，且项数依次为 .等式右边 和 的幂次总是比左边多项式中 和 的最高次幂大 1 .所以对于 ，其结果应该是 .故本题的答案是 . 【分析】本题涉及到函数的最值问题。首先需要将给定的函数展开化简，得到一个二次函数的形式，然后根据二次函数的性质来求其最大值。二次函数 ，当 时，函数在 处取得最大值。 【解析】将函数展开化简 ，对于二次函数 ，其中 .根据二次函数求最值的公式 ，可得 .将 代入函数 中，可得： 7．已知 ，求： （1）； （2）． 【分析】本题主要涉及完全平方公式以及立方和公式 的运用.通过对已知条件进行变形，利用这些公式来求解问题. 【解析】（1） .已知 ，所以 ，即 ，那么. . 因为 ，所以 ，则 . （2）.已知 ，所以 . 8．已知为非零实数， ，求证：. 【解析】由已知得 即 ． 因为 ， 所以 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$