复习专题01 锐角的正弦、余弦、正切、余切及任意角（4重点+9题型+1易错+复习提升）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（沪教版2020）

复习专题01 锐角的正弦、余弦、正切、余切及任意角 如图，将直角三角形中中（其中）、的对边边长分别记作．在初中我们已经知道，锐角的正弦、余弦、正切、余切的定义分别为 由简单的比值关系以及勾股定理，还有如下结论： 1.角在数学中有两种定义： （1）静态定义： 具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。例如，我们日常生活中看到的三角板的各个角，就是由两条从同一顶点出发的射线构成的。这种定义直观地描述了角的几何形态，让我们能通过观察图形明确角的构成要素。 （2）动态定义： 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。比如，时钟的指针旋转，指针从一个时刻位置转到另一个时刻位置，就形成了角。这种定义从运动变化的角度进一步深化了对角的理解，能更好地解释角的大小变化以及角在不同情境下的形成过程。 2.角的分类： 习惯上规定：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的；按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的．特别地，当一条射线没有旋转时，我们也认为形成了一个角，称为零角．零角的始边与终边重合．这样，我们可将角的概念推广到任意角，包括正角、负角与 零角，也包括超过的角． 设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成． 角的相等 如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称． 相反角 我们把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为． 角的加法 把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是． 角的减法 像实数减法的＂减去一个数等于加上这个数的相反数＂一样，我们有． 1.象限角与轴线叫的定义 为了便于研究角及与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中，使得角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合:此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限.如图，60°和420°都是第一象限的角，135°和-225°都是第二象限的角.当角的终边在坐标轴上时，就不说这些角属于哪一象限. 为简单起见，在不引起混淆的前提下， ＂角＂或＂＂可简记作＂＂． 我们可以把所有与角α的终边重合的角(包括角α本身)的集合表示为 2.象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 3.轴线角的集合表示 角的终边位置 角的集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 终边落在x轴的非正半轴上 终边落在x轴上 终边落在y轴的非负半轴上 终边落在y轴的非正半轴上 终边落在y轴上 终边落在坐标轴上 角 角的集合表示 锐角 0°~90°的角 小于 90°的角 第一象限角 题型一、特殊角的三角函数值 1．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在中，，，，则的长是 .    2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若为锐角，，则 . 题型二、任意角的概念 3．（24-25高一上·上海·期末）经过5分钟，分针的转动角为（     ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·期末）在平面直角坐标系中，两个角与的终边重合，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·期末）给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③若，则是第一象限的角；④小于的角是锐角．其中错误的序号是 ． 题型三、找出终边相同的角 6．（24-25高一下·上海·阶段练习）以下四个命题中，正确的是（   ）. A．若，则与的终边相同 B． C．若与的始边与轴正半轴重合，终边互相垂直，则 D．第四象限角的集合为 7．（24-25高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，是第 象限角. 8．（24-25高一下·上海青浦·期中）下列说法正确的是 . ①两个角的终边相同，则它们的大小相等； ②若角为第二象限角，则是第三象限角； ③第一象限角都是锐角； ④终边在直线上的角的集合是. 题型四、根据图形写出角范围 9．（24-25高一上·天津红桥·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·上海·课后作业）已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，用弧度制分别写出下列条件下的角的集合. (1)终边在射线上； (2)终边在直线上. 题型五、轴线角 12．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．角和角是终边相同的角 B．第三象限角的集合为 C．终边在y轴上角的集合为 D．第二象限角大于第一象限角 13．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）请用集合表示终边位于轴的角的集合 . 14．（23-24高一·上海·课堂例题）分别用集合的形式表示终边位于第三象限的所有角和终边位于轴正半轴上的所有角． 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）分别写出角的终边在x轴正半轴、x轴负半轴、y轴正半轴、y轴负半轴、y轴、x轴、坐标轴上角的集合． 题型六、确定已知角所在象限 16．（24-25高一下·上海青浦·期中）是第 象限的角． 17．（24-25高一下·上海·阶段练习）若是第四象限角，则是第 象限角. 18．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知的顶点位于坐标原点，始边与x轴正半轴重合，若，则是第 象限角. 19．（24-25高一上·上海·期末）已知角，则的终边在第 象限 题型七、由已知角所在的象限确定某角的范围 20．（23-24高一·上海·课堂例题）如果是锐角，那么是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．小于180°的正角 D．钝角 21．（22-23高一上·上海宝山·期末）下列命题中真命题是（    ） A．第一象限的角为锐角 B．钝角是第二象限的角 C．小于的角是锐角 D．终边在轴负半轴上的角既是第二象限角又是第三象限角 22．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）“一个角是第二象限角”是“这个角是钝角”的 条件. 23．若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角． 题型八、确定n倍角所在象限 24．（2025高一下·湖南郴州·学业考试）下列说法正确的是（   ） A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则是第一象限角 C．大于的角一定是钝角 D．若是锐角，则是第二象限角 25．（24-25高一·上海·课堂例题）若是第一象限的角，则是第几象限的角？是第几象限的角？ 26．（2025高三·全国·专题练习）若，，试确定是第几象限角． 题型九、确定n分角所在象限 27．（24-25高一·上海·阶段练习）已知为第三象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第三象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 28．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）已知是第二象限角，那么 为第 象限角 29．（23-24高一·上海·课堂例题）如果是第三象限的角，判断是哪个象限的角． 例1 在直角坐标系内，角，的顶点均在坐标原点，始边均与轴非负半轴重合，其终边在同一直线上，则角与的关系为　　 A． B． C． D． 【分析】由已知分与的终边重合、与的终边方向相反写出与的关系，则答案可求． 【解答】解：当与的终边重合时，有； 当与的终边方向相反时，有． 综上，有． 故选：． 【点评】本题考查终边相同角的概念与表示法，是基础题． 例2 若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合，中的角的终边在图中的位置（阴影部分）是　　 A． B． C． D． 【分析】先看当取偶数时，角的终边所在的象限，再看当取奇数时，角的终边所在的象限，把二者的范围取并集． 【解答】解：当取偶数时，比如时，，故角的终边在第一象限． 当取奇数时，比如时，，故角的终边在第三象限． 故选：． 【点评】本题考查象限角、轴线角的表示方法，体现了数形结合、分类讨论的数学思想． 1．（根据图形写出角（范围））用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 2．（确定已知角所在象限）的角是第 象限角． 3．（确定n分角所在象限）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第二或第四象限角 4．（确定n分角所在象限）（23-24高三上·上海静安·期末）设是第一象限的角，则所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 5. 与角终边相同的角可以表示为　　 A．， B．， C．， D．， 6．下列终边相同的角是　　 A．与， B．与， C．与， D．与， 1．已知角与终边相间，求角． （1），； （2），； （3），； （4）， 2．（确定n倍角所在象限、确定n分角所在象限）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．已知为第三象限的角，讨论角，，的终边的位置. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复习专题01 锐角的正弦、余弦、正切、余切及任意角 如图，将直角三角形中中（其中）、的对边边长分别记作．在初中我们已经知道，锐角的正弦、余弦、正切、余切的定义分别为 由简单的比值关系以及勾股定理，还有如下结论： 1.角在数学中有两种定义： （1）静态定义： 具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角。这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边。例如，我们日常生活中看到的三角板的各个角，就是由两条从同一顶点出发的射线构成的。这种定义直观地描述了角的几何形态，让我们能通过观察图形明确角的构成要素。 （2）动态定义： 一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形叫做角。所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边。比如，时钟的指针旋转，指针从一个时刻位置转到另一个时刻位置，就形成了角。这种定义从运动变化的角度进一步深化了对角的理解，能更好地解释角的大小变化以及角在不同情境下的形成过程。 2.角的分类： 习惯上规定：一条射线绕端点按逆时针方向旋转所形成的角为正角，其度量值是正的；按顺时针方向旋转所形成的角为负角，其度量值是负的．特别地，当一条射线没有旋转时，我们也认为形成了一个角，称为零角．零角的始边与终边重合．这样，我们可将角的概念推广到任意角，包括正角、负角与 零角，也包括超过的角． 设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成． 角的相等 如果它们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称． 相反角 我们把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角的相反角记为． 角的加法 把角的终边旋转角，这时终边所对应的角是． 角的减法 像实数减法的＂减去一个数等于加上这个数的相反数＂一样，我们有． 1.象限角与轴线叫的定义 为了便于研究角及与其相关的问题，可将角置于平面直角坐标系中，使得角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合:此时角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，或者说这个角属于第几象限.如图，60°和420°都是第一象限的角，135°和-225°都是第二象限的角.当角的终边在坐标轴上时，就不说这些角属于哪一象限. 为简单起见，在不引起混淆的前提下， ＂角＂或＂＂可简记作＂＂． 我们可以把所有与角α的终边重合的角(包括角α本身)的集合表示为 2.象限角的集合表示 象限角 角的集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 3.轴线角的集合表示 角的终边位置 角的集合表示 终边落在x轴的非负半轴上 终边落在x轴的非正半轴上 终边落在x轴上 终边落在y轴的非负半轴上 终边落在y轴的非正半轴上 终边落在y轴上 终边落在坐标轴上 角 角的集合表示 锐角 0°~90°的角 小于 90°的角 第一象限角 题型一、特殊角的三角函数值 1．（24-25高一上·上海·课后作业）如图，在中，，，，则的长是 .    【答案】 【知识点】特殊角的三角函数值 【分析】直接由锐角三角函数即可求解. 【详解】由题意. 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若为锐角，，则 . 【答案】60° 【知识点】特殊角的三角函数值、已知三角函数值求角 【分析】根据特殊角的余切求角即可. 【详解】因为且， 所以. 故答案为：. 题型二、任意角的概念 3．（24-25高一上·上海·期末）经过5分钟，分针的转动角为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】任意角的概念 【分析】根据任意角的概念计算可得； 【详解】经过5分钟，则分针顺时针转过，则分针转动角为. 故选：B. 4．（24-25高一上·上海·期末）在平面直角坐标系中，两个角与的终边重合，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】任意角的概念、找出终边相同的角 【分析】根据已知有，即可判断可能值. 【详解】由题设，可得， 所以各选项中只有满足. 故选：B 5．（24-25高一上·上海·期末）给出下列说法：①终边相同的角不一定相等；②第二象限的角大于第一象限的角；③若，则是第一象限的角；④小于的角是锐角．其中错误的序号是 ． 【答案】②④ 【知识点】确定已知角所在象限、找出终边相同的角、任意角的概念 【分析】根据角的定义和象限角的概念得到答案. 【详解】①终边相同的角不一定相等，比如终边相同，①正确； ②第二象限的角可能小于第一象限的角，比如，，②错误； ③若，则是第一象限的角，③正确； ④不妨考虑，小于，但不是锐角，④错误. 故选：②④ 题型三、找出终边相同的角 6．（24-25高一下·上海·阶段练习）以下四个命题中，正确的是（   ）. A．若，则与的终边相同 B． C．若与的始边与轴正半轴重合，终边互相垂直，则 D．第四象限角的集合为 【答案】BC 【知识点】确定已知角所在象限、找出终边相同的角 【分析】对于A，，则与的终边相同或即可判断，对于B，即可判断，对于C，与的始边与轴正半轴重合，终边互相垂直，则即可判断，对于D，第四象限的集合为即可判断. 【详解】对于A：若，则与的终边相同或，故A错误； 对于B：，所以 ，故B正确； 对于C：若与的始边与轴正半轴重合，终边互相垂直，则，故C正确； 对于D：第四象限的集合为，故D错误. 故选：BC. 7．（24-25高一下·上海·期中）在平面直角坐标系中，是第 象限角. 【答案】三 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限 【分析】根据任意角定义找到对应的最小正角，即可得. 【详解】由，而为第三象限角， 所以是第三象限角. 故答案为：三 8．（24-25高一下·上海青浦·期中）下列说法正确的是 . ①两个角的终边相同，则它们的大小相等； ②若角为第二象限角，则是第三象限角； ③第一象限角都是锐角； ④终边在直线上的角的集合是. 【答案】②④ 【知识点】找出终边相同的角、确定已知角所在象限、用弧度制表示角的集合 【分析】①③举反例即可；②与的终边关于轴对称即可判断；④分别写出终边在直线上，在第二象限和第四象限的角的集合，再求集合的并集即可. 【详解】对于①，与终边相同，但它们的大小不相等，故①不正确； 对于②，因为与的终边关于轴对称，故②正确； 对于③，第一象限角不都是锐角，比如为第一象限角，但不是锐角，故③不正确； 对于④，若终边在直线上的角在第二象限，则集合是 ； 若终边在直线上的角在第四象限，则集合是， 综上，终边在直线上的角的集合是，故④正确. 故选：②④. 题型四、根据图形写出角范围 9．（24-25高一上·天津红桥·期末）集合中的角所表示的范围（阴影部分）是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】对按奇偶分类讨论可得． 【详解】当时，， 此时的终边和的终边一样， 当时，， 此时的终边和的终边一样． 故选：C． 10．（24-25高一上·上海·课后作业）已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】直接利用所给角，表示出范围即可. 【详解】图（1）中角x组成的集合为； 图（2）中角x组成的集合为 或 . 11．（24-25高一上·上海·课堂例题）如图，用弧度制分别写出下列条件下的角的集合. (1)终边在射线上； (2)终边在直线上. 【答案】(1)； (2). 【知识点】根据图形写出角（范围） 【分析】（1）将角度改为弧度，再加周期，写成集合形式即可. （2）写出终边在和上角的集合，再取并集即可. 【详解】（1）由任意角的定义得， 终边在射线上的角为. （2）由任意角的定义得， 终边在射线上的角为， 化简得， 所以终边在直线上的角为. 题型五、轴线角 12．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．角和角是终边相同的角 B．第三象限角的集合为 C．终边在y轴上角的集合为 D．第二象限角大于第一象限角 【答案】C 【知识点】任意角的概念、轴线角、找出终边相同的角、由已知角所在的象限确定某角的范围 【分析】根据角的定义判断． 【详解】，因此的解与角的终边相同，A错； 第三象限角的集合为，B错； 终边在y轴上角，终边可能在轴正半轴，， 终边在轴负半轴，，其中，终合为，C正确； 是第二象限角，是第一象限角，但，D错． 故选：C． 13．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）请用集合表示终边位于轴的角的集合 . 【答案】 【知识点】轴线角 【分析】写出落在x轴上的角，再根据终边相同的角写出所有的角即可. 【详解】在内,终边在x轴上的角有两个,即和,与这两个角终边相同的角组成的集合依次为,. 为简便起见,我们把集合和的表示方法改为, , 因为, 即集合是终边在x轴上的角的集合. 故答案为： 14．（23-24高一·上海·课堂例题）分别用集合的形式表示终边位于第三象限的所有角和终边位于轴正半轴上的所有角． 【答案】答案见解析 【知识点】轴线角、找出终边相同的角 【分析】根据象限角和轴线角的特点进行求解. 【详解】第三象限的所有角： 轴正半轴上的所有角： 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）分别写出角的终边在x轴正半轴、x轴负半轴、y轴正半轴、y轴负半轴、y轴、x轴、坐标轴上角的集合． 【答案】答案见解析 【知识点】轴线角、找出终边相同的角 【分析】由终边相同角的性质求解． 【详解】解：终边在x轴的正半轴上：； 终边在x轴的负半轴上：； 终边在y轴的正半轴上：； 终边在y轴的负半轴上：； 终边在y轴上：； 终边在x轴上：； 终边在坐标轴上：． 题型六、确定已知角所在象限 16．（24-25高一下·上海青浦·期中）是第 象限的角． 【答案】一 【知识点】确定已知角所在象限 【分析】由确定终边相同的最小正角所在象限，即可得. 【详解】由，即与的终边相同，故为第一象限角. 故答案为：一 17．（24-25高一下·上海·阶段练习）若是第四象限角，则是第 象限角. 【答案】三 【知识点】确定已知角所在象限 【分析】利用坐标轴依次找到角、、的终边即可. 【详解】在坐标系中标出角的终边，关于轴对称得到角，再逆时针旋转得到的终边在第三象限. 故答案为：三 18．（24-25高一下·上海·阶段练习）已知的顶点位于坐标原点，始边与x轴正半轴重合，若，则是第 象限角. 【答案】二 【知识点】确定已知角所在象限 【分析】弧度转化成角度，即可判断. 【详解】，是第二象限角. 故答案为：二 19．（24-25高一上·上海·期末）已知角，则的终边在第 象限 【答案】一 【知识点】确定已知角所在象限 【分析】把角化成到间角表示即可求出所在象限. 【详解】，即角与角终边相同，而角是第一象限， 所以的终边在第一象限. 故答案为：一 题型七、由已知角所在的象限确定某角的范围 20．（23-24高一·上海·课堂例题）如果是锐角，那么是（    ） A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．小于180°的正角 D．钝角 【答案】C 【知识点】由已知角所在的象限确定某角的范围 【分析】根据条件得到，再结合选项，即可求出结果. 【详解】因为是锐角，即，所以， 故选：C. 21．（22-23高一上·上海宝山·期末）下列命题中真命题是（    ） A．第一象限的角为锐角 B．钝角是第二象限的角 C．小于的角是锐角 D．终边在轴负半轴上的角既是第二象限角又是第三象限角 【答案】B 【知识点】确定已知角所在象限、由已知角所在的象限确定某角的范围 【分析】根据象限角和锐角和钝角的定义判断依次判断各选项即可. 【详解】对于选项A，若，则为第一象限角，但不是锐角，A错误； 对于选项B，若为钝角，则，所以为第二象限角，B正确； 对于选项C，若，则，但不是锐角，C错误； 对于选项D，终边在轴负半轴上的角既不是第二象限角也不是第三象限角，D错误； 故选：B. 22．（22-23高一下·上海浦东新·阶段练习）“一个角是第二象限角”是“这个角是钝角”的 条件. 【答案】必要不充分条件 【知识点】确定已知角所在象限、由已知角所在的象限确定某角的范围 【分析】写出第二象限角的范围以及钝角的范围，再按照充分必要条件的定义判断. 【详解】第二象限上的角满足，当时，这个角不是钝角，故不满足充分性， 钝角满足，这个角必在第二象限，满足必要性， 故“一个角在第二象限上”是“这个角为钝角”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分条件. 23．若角是第二象限角，试确定角，是第几象限角． 【答案】可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角；可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角 【知识点】由已知角所在的象限确定某角的范围、确定n倍角所在象限、确定n分角所在象限 【分析】根据象限角的表示方法，得到和的表示，进而判定其象限，得到答案. 【详解】因为是第二象限角，所以， 可得， 所以可能是第三象限角、第四象限角或终边在轴非正半轴上的角． 又由 ， 当时，，此时是第一象限角； 当时，，此时是第二象限角； 当时，，此时是第四象限角． 综上所述，可能是第一象限角、第二象限角或第四象限角． 题型八、确定n倍角所在象限 24．（2025高一下·湖南郴州·学业考试）下列说法正确的是（   ） A．第一象限角一定是锐角 B．若是钝角，则是第一象限角 C．大于的角一定是钝角 D．若是锐角，则是第二象限角 【答案】B 【知识点】确定n分角所在象限、确定n倍角所在象限、由已知角所在的象限确定某角的范围、确定已知角所在象限 【分析】对于ACD：举反例说明即可；对于B：根据可得的取值范围，即可分析判断. 【详解】对于选项A：例如为第一象限角，但不是锐角，故A错误； 对于选项B：若是钝角，则， 可得，所以是第一象限角，故B正确； 对于选项C：例如，但不是钝角，故C错误； 对于选项D：例如为锐角，则不是第二象限角，故D错误； 故选：B. 25．（24-25高一·上海·课堂例题）若是第一象限的角，则是第几象限的角？是第几象限的角？ 【答案】是第一象限或第三象限的角，是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上. 【知识点】确定n倍角所在象限、确定n分角所在象限 【分析】由的范围，求出的范围，分类讨论可得到角的象限． 【详解】因为是第一象限角， 所以， 所以， 当时，，在第一象限； 当时，，在第三象限； 所以是第一象限或第三象限的角． 因为， 所以是第一象限或第二象限的角或在y轴的非负半轴上. 26．（2025高三·全国·专题练习）若，，试确定是第几象限角． 【答案】为第一象限角 【知识点】确定n倍角所在象限 【分析】根据已知求得，即可判断所在象限． 【详解】由得：， 为第一象限角． 题型九、确定n分角所在象限 27．（24-25高一·上海·阶段练习）已知为第三象限角，则所在的象限是（    ） A．第一或第三象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 【答案】C 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】用不等式表示第三象限角，再利用不等式的性质求出满足的不等式，从而确定所在的象限. 【详解】由为第三象限角，得, 则, 当，此时在第二象限； 当，此时在第四象限. 故是第二或第四象限角. 故选：C. 28．（22-23高一下·上海金山·阶段练习）已知是第二象限角，那么 为第 象限角 【答案】一或三 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】根据题意推得，再对是偶数或奇数分类讨论即可得解. 【详解】因为是第二象限，所以，得， 当为偶数时，是第一象限角，当为奇数时，是第三象限角. 故答案为：一或三 29．（23-24高一·上海·课堂例题）如果是第三象限的角，判断是哪个象限的角． 【答案】第二或第四 【知识点】确定n分角所在象限 【分析】根据条件得到，再对分类讨论，分和，即可求出结果. 【详解】因为是第三象限的角，所以， 得到， 当时，，此时是第二象限的角， 当时，，此时是第四象限的角， 所以是第二或第四象限的角. 例1 在直角坐标系内，角，的顶点均在坐标原点，始边均与轴非负半轴重合，其终边在同一直线上，则角与的关系为　　 A． B． C． D． 【分析】由已知分与的终边重合、与的终边方向相反写出与的关系，则答案可求． 【解答】解：当与的终边重合时，有； 当与的终边方向相反时，有． 综上，有． 故选：． 【点评】本题考查终边相同角的概念与表示法，是基础题． 例2 若角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则集合，中的角的终边在图中的位置（阴影部分）是　　 A． B． C． D． 【分析】先看当取偶数时，角的终边所在的象限，再看当取奇数时，角的终边所在的象限，把二者的范围取并集． 【解答】解：当取偶数时，比如时，，故角的终边在第一象限． 当取奇数时，比如时，，故角的终边在第三象限． 故选：． 【点评】本题考查象限角、轴线角的表示方法，体现了数形结合、分类讨论的数学思想． 1．（根据图形写出角（范围））用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 【答案】(1)； (2). 【知识点】 【分析】结合图形，由终边相同的角的集合，即可得到结果. 【详解】（1）因为的终边相同，，所以阴影部分所表示的区域位于与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为. （2）因为，，阴影部分所表示的区域由两部分组成，所以终边落在阴影部分的角的集合为 . 2．（确定已知角所在象限）的角是第 象限角． 【答案】二 【分析】根据象限角的定义可得出结论. 【详解】因为，且为第二象限角，故的角是第二象限角. 故答案为：二. 3．（确定n分角所在象限）若是第二象限角，则（    ） A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角 C．是第二象限角 D．是第二或第四象限角 【答案】B 【分析】根据第二象限角的范围确定半角的范围即可. 【详解】由题意可知， 当为偶数时，终边为第一象限角平分线，终边为纵轴正半轴， 当为奇数时，终边为第三象限角平分线，终边为纵轴负半轴， 即的终边落在直线及轴之间，即第一或第三象限. 故选：B. 4．（确定n分角所在象限）（23-24高三上·上海静安·期末）设是第一象限的角，则所在的象限为（    ） A．第一象限 B．第三象限 C．第一象限或第三象限 D．第二象限或第四象限 【答案】C 【分析】根据是第一象限的角，求出的范围判断即可得解. 【详解】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 故选：C 5. 与角终边相同的角可以表示为　　 A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】变换，得到答案． 【解答】解：因为， 所以与角终边相同的角可以表示为，． 故选：． 【点评】本题主要考查了终边相同的角的定义，属于基础题． 6．下列终边相同的角是　　 A．与， B．与， C．与， D．与， 【答案】 【分析】根据奇数与偶数的表示法即可得出． 【解答】解：与都表示奇数， 与，表示终边相同的角． 故选：． 【点评】本题考查了奇数与偶数的表示法、终边相同的角，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 1．已知角与终边相间，求角． （1），； （2），； （3），； （4）， 【分析】根据终边相同角的关系进行求解即可． 【解答】解：（1）与终边相同的角为， ， 当时，． （2）与终边相同的角为， ， 当时，． （3）与终边相同的角为， ， 当时，． （4）与终边相同的角为， ， 当时，． 【点评】本题主要考查终边相同角的应用，记住与终边相同角的关系为，． 2．（确定n倍角所在象限、确定n分角所在象限）已知角α的终边在第四象限，确定下列各角终边所在的象限： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)的终边在第二或第四象限 (2)的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上 (3)的终边在第二､第三或第四象限 (4)的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上 【分析】由为第四象限角可知，根据不等式的性质可得，，，角终边所在区域，对分类讨论可得角终边所在的位置. 【详解】（1）由于为第四象限角，所以， 所以， 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第四象限， 所以的终边在第二或第四象限； （2）由（1）得， 所以的终边在第三或第四象限，也可在轴的负半轴上. （3）由（1）得， 当时，，终边在第二象限， 当时，，终边在第三象限， 当时，，终边在第四象限， 所以的终边在第二､第三或第四象限； （4）由（1）得，即， 所以的终边在第二或三或第四象限，也可在轴的负半轴上. 3．已知为第三象限的角，讨论角，，的终边的位置. 【答案】答案见解析. 【分析】根据所在象限得出的取值范围，再分别计算出，，的范围，即可判断出所在象限. 【详解】∵是第三象限的角， ∴（）， ∴（）， ∴（）， ∴是第四象限的角. ∵（）， ∴（）， ∴是第一象限的角或第二象限的角或y轴正半轴上的角. ∵（）， ∴（）. 若（）， 则（）， ∴是第一象限的角； 若（）， 则（）， ∴是第三象限的角； 若（）， 则（）， ∴是第四象限的角， ∴是第一象限的角、第三象限的角或第四象限的角. 综上所述，结论是：是第四象限的角，是第一象限的角或第二象限的角或y轴正半轴上的角，是第一象限的角、第三象限的角或第四象限的角. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$