专题04 绝对值与相反数-2025年小升初数学无忧衔接（苏科版2024）

专题04.绝对值与相反数 预习目标……………………………………………………………………………………………………………..1 新课轻松学…………………………………………………………………………………………………………..2 新知速通……………………………………………………………………………………………………………..3 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..3 题型1、求已知数的绝对值 4 题型2、已知绝对值求数或未知数 4 题型3、相反数和绝对值的概念及意义辨析 6 题型4、绝对值的非负性 8 题型5、绝对值的化简求值 9 题型6、求一个数的相反数 11 题型7、相反数的性质 12 题型8、相反数的几何意义（与结合数轴） 12 题型9、多重符号化简 14 题型10、绝对值的实际应用 16 题型11、利用法则比较有理数的大小 18 题型12、绝对值的几何意义求最值 19 基础通关 22 拓展提优 26 1. 从数形两方面理解绝对值的意义（代数意义和几何意义）； 2. 会求已知数的绝对值及已知绝对值求未知数；体会分类讨论思想； 3. 运用绝对值的非负性解决问题； 4. 能利用绝对值的几何意义求最值，体会数形结合思想； 5. 能理解相反数的意义；能求出已知数的相反数；掌握相反数的几何意义和性质； 6. 能根据相反数的意义进行多重符合的化简。 【思考1】下图中点A与原点之间的距离是多少？点B与原点之间的距离是多少？ 【思考2】一个数的绝对值与这个数有什么关系? 【思考3】（1）观察下面几对数，他们各有哪些相同？哪些不同? （2）在同一条数轴上画出表示以下几对数的点，从你所画的数轴中观察，这几对点有哪些相同点？ ①8与-8 ②2.5与-2.5 ③与 【历史起源】 1）提起绝对值的起源，就需要从“现代分析学之父”的德国大数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）说起，他于1841年提出绝对值的定义，距今不到200年的历史。当然，你可能觉得这个时间已经够久远了吧，但是我可以告诉你，我们所崇拜的欧拉，生于1707年，逝于1783年，就是说，那个把无穷级数玩得贼溜，写出了数学史上最多论文的大神，一辈子都没有接触过绝对值。比照这些年份可以看出来，绝对值算是一个出现得非常晚的数学概念了。 2）首先是自然数的出现，人们为了记下羊的数目，于是出现了1，2，3.....这些数字，后来人们之间有了交换物品的需要，而且把羊当作一般等价物，但有时候有羊的一方把羊给了另一方，而另一方并没有马上把相应的物品给对方，这样有羊的一方比原来少了一些羊，于是相反数就应运而生了。 1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作。 2）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 3）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。相反数是成对出现的（0除外），0的相反数是本身。 4）相反数的几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等；故互为相反数的两个数绝对值相等。 5）绝对值的意义 几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 6）多重符号的化简 1）一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2）一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3）一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 7）有理数的大小比较方法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 注意：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 题型1、求已知数的绝对值 【解题技巧】数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，。 例1．（2025·江苏泰州·一模）我国有世界上唯一一座位于海平面以下的植物园——吐鲁番沙漠植物园，其海拔约为米，的绝对值是（    ） A．81 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：．故选：A． 变式1．（2025·江苏镇江·一模）2025的绝对值是（   ） A． B． C．2025 D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴的绝对值是，故选：C． 变式2．（2025·陕西咸阳·一模）的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，即的绝对值是，故选：D． 变式3．（23-24七年级·广东·期末）若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∴．故答案为：． 题型2、已知绝对值求数或未知数 【解题技巧】若，当时，；当时，。 根据绝对值的意义，去掉绝对值，转化为两个一元一次方程，解方程即可。 例1．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； 【答案】(1)5(2)(3)43或7 【详解】（1）解：数轴上表示3与的两点之间的距离是：，故答案为：5； （2）解：数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为：，故答案：； （3）解：表示数轴上有理数x与25所对应的两点之间的距离为18， 因此或，故答案为：43或7； 变式1．（24-25七年级上·河北保定·期末）若，则m的值为（   ） A．或 B． C．2或 D． 【答案】A 【详解】解：∵，∴∴，即m的值为或．故选A． 变式2．（24-25七年级上·北京门头沟·期末）数轴上距离1这个数两个单位的点可以表示为，则x的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 【答案】D 【详解】法1：解：由题可知，，∴或，∴或．故选：D． 法2：∵，由几何意义知：x即为数轴上与实数1距离2个单位的实数，∴或．选：D． 变式3．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【知识探索】（1）数轴上表示与的两点之间的距离是______；（2）①若，则______； ②若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，所有符合条件的整数的和为______； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （3）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则表示的点和______表示的点重合； （4）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合， ①则表示的点和______表示的点重合；②若，（在的左侧）两点之间的距离为，且，两点经折叠后重合，则点表示的数是______，点表示的数是______； 【答案】（1）；（2）①或；②；（3）；（4）①；②，； 【详解】解：（1）数轴上表示与的两点之间的距离是，故答案为：； （2）①若，则或，解得：或，故答案为：或； ②要使所表示的点到表示和的点的距离之和为，， 与的距离是，，是整数，的值为，，，，，， 所有符合条件的整数的和为，故答案为：； （3）表示的点和表示的点重合，折叠点对应的数是， 表示的点与表示的点重合，故答案为：； （4）①表示的点和表示的点重合，折叠的点表示的数是， ，表示的点和表示的点重合，故答案为：； ②设点表示的数是，则点表示的数是，，解得：， 点表示的数是，点表示的数是，故答案为：，； 题型3、相反数和绝对值的概念及意义辨析 【解题技巧】绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 相反数的表示方法：一般地，a和-a互为相反数，这里的a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是零，特别地，一个数的相反数等于它本身这个数是零。 例1．（23-24七年级上·天津滨海新·期中）下列说法不正确的是（　　） A．到原点距离相等且在原点两旁的两个点所表示的数一定互为相反数 B．所有的有理数都有相反数 C．符号相反的两个数互为相反数 D．在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数 【答案】C 【详解】解：A．∵互为相反数是到原点距离相等且在原点两旁的两个点表示的数， ∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意； B．∵所有的有理数都有相反数，∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意； C．∵只有符合不同的两个数是互为相反数，∴此选项的说法错误，故此选项符合题意； D．∵在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数，∴此选项的说法正确，故此选项不符合题意；故选：C． 例2．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：①正数和负数的绝对值一定比0大，0的绝对值等于0，故①不符合题意； ②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等，说法正确，故②符合题意； ③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数不一定相等，也可能互为相反数，故③不符合题意； ④有理数绝对值越大，离原点越远，说法正确，故④符合题意； 综上，符合题意的有②④，共个，故选：A． 变式1．（23-24七年级·上海松江·期末）以下叙述中，正确的是（    ） A．正数与负数互为相反数 B．表示相反意义的量的两个数互为相反数 C．任何有理数都有相反数 D．一个数的相反数是负数 【答案】C 【详解】A选项：1和不互为相反数，原说法错误，故不符合题意． B选项：支出1元与收入2元是两个相反意义的量，但不互为相反数，原说法错误，故不符合题意． C选项：任何有理数都有相反数，正确，故符合题意． D选项：的相反数是1，是正数，原说法错误，故不符合题意．故选C． 变式2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：A、与不是相反数，该选项错误；B、，，该选项错误； C、，，，该选项错误； D、，，和互为相反数，该选项正确；故选：D 变式3．（24-25七年级上·四川眉山·期末）如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 【答案】D 【详解】解：∵一个数的绝对值等于它的相反数，∴这个数为零或负数，故选：． 变式4．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知数满足，则不可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【详解】解：∵，∴，由选项可知A，B，C符合，D不符合，故选：D． 题型4、绝对值的非负性 【解题技巧】（1）根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0．（2）。 例1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b、c满足，则的值是 ． 【答案】 【详解】∵，∴，∴，故答案为：． 例2．（2024七年级上·江苏·专题练习）当 时，有最小值是 ． 【答案】 2 1 【详解】解：， ，当时，有最小值，最小值为1，故答案分别为：2，1． 变式1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ． 【答案】 【详解】解：，，，，，．故答案为：． 变式2．（24-25七年级上·山东威海·期末）若是有理数，则下列说法正确的是（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是负数 D．一定是正数 【答案】D 【详解】解：A．若是有理数，当时，，0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意； B．若是有理数，则，故本选项不合题意； C．若是有理数，则，故本选项不合题意； D．因为，所以，即一定是正数，故本选项符合题意．故选：D． 变式3．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①若，则，故①错误； ②，总是正数，故②正确； ③，，则的最小值为9，故③正确； ④，，则的最小值是1，故④错误； 错误的是①④，共2个 故选：B． 题型5、绝对值的化简求值 【解题技巧】绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 例1．（24-25七年级上·河南安阳·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）；(2)化简：． 【答案】(1)；；(2) 【详解】（1）解：由数轴可知，，，，且，所以，故答案为：；； （2）解：因为，，所以． 变式1．（24-25七年级上·重庆江津·期末）有理数，，的位置如图所示，化简 ． 【答案】/ 【详解】由数轴可知，，得， 则，故答案为：． 变式2．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，数轴上点分别表示有理数， (1)若点B是线段的中点，且，，则_____; (2)若点A在原点O右侧，点B，C在原点O左侧，且，化简． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵点B是线段的中点，数轴上点A，B，C，O分别表示有理数a，b，c，0， ∴b = ，故答案为：； （2）解：由数轴可得，， ∵，∴，∴，， ∴． 题型6、求一个数的相反数 【解题技巧】相反数的表示方法：一般地，a的相反数为-a，这里的a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是零，特别地，一个数的相反数等于它本身这个数是零. 例1．（2025·江苏盐城·二模）的相反数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的相反数是，故选：A． 变式1．（2025·江苏扬州·二模）的相反数等于（   ） A．4 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：的相反数等于4，故选：A． 变式2．（2025·山东泰安·一模）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．和 B．2025和 C．和2025 D．和 【答案】A 【详解】解：A、和互为相反数，符合题意； B、2025和不是相反数，不符合题意；C、，不是相反数，不符合题意； D、和不是相反数，不符合题意；故选A． 变式3．（23-24七年级·江苏·课时训练）填空： （1）2.5的相反数是 ；（2） 是的相反数； （3）是 的相反数； （4） 的相反数是； （5）8.2和 互为相反数． （6）a和 互为相反数． （7） 的相反数比它本身大， 的相反数等于它本身． 【答案】 100 1.1 负数 0 【详解】解：（1）2.5的相反数是；故答案为：；（2）100是的相反数；故答案为：100； （3）是的相反数；故答案为：；（4）1.1的相反数是；故答案为：1.1； （5）8.2和互为相反数．故答案为：；（6）a和互为相反数．故答案为：； （7）负数的相反数比它本身大，0的相反数等于它本身．故答案为：负数，0． 变式4．（2024·广东·七年级专题练习）的相反数（　　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的相反数为，故选：C． 题型7、相反数的性质 【解题技巧】利用“互为相反数的两个数和为0”计算即可。 例1．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）若a，b互为相反数，则代数式的值为 . 【答案】 【详解】解：∵a，b互为相反数，∴，∴，故答案为：； 变式1．（23-24七年级上·山东滨州·期末）若与互为相反数，则等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵与互为相反数，∴．∴．故选A． 变式2．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在数轴上，点A，B在原点O的同侧，分别表示数a，1，将点A向左平移3个单位长度，得到点C．若点C与点B互为相反数，则a的值为（    ） A．3 B．2 C． D．0 【答案】B 【详解】解：由题可知：A点表示的数为a，B点表示的数为1， ∵C点是A向左平移3个单位长度，∴C点可表示为：， 又∵点C与点B互为相反数，∴，∴．故选：B． 题型8、相反数的几何意义（与结合数轴） 【解题技巧】从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． 例1．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在数轴上，点A，B在原点O的同侧，分别表示数a，1，将点A向左平移3个单位长度，得到点C．若点C与点B互为相反数，则a的值为（    ） A．3 B．2 C． D．0 【答案】B 【详解】解：由题可知：A点表示的数为a，B点表示的数为1， ∵C点是A向左平移3个单位长度，∴C点可表示为：， 又∵点C与点B互为相反数，∴，∴．故选：B． 例2．（23-24七年级上·广东·课后作业）如图，1个单位长度表示1，观察图形，回答问题： (1)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数为_________； (2)若点A与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数是多少？ (3)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数的相反数是多少？ 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）解：∵点与点所表示的数互为相反数，且B与之间有2个单位长度， ∴可得点所表示的数为；故答案为： （2）∵点A与点所表示的数互为相反数，且它们之间距离为5，∴点D表示的数为； （3）∵点与点所表示的数互为相反数，且它们之间距离为6，∴点所表示的数为， ∵点在点F左边1个单位，∴点所表示的数是2，∴点所表示的数的相反数是． 变式1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，若，则点A表示的数为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，又∵，∴．∴． ∴，即点A表示的数为．故答案为：． 变式2．（23-24七年级上·陕西西安·期中）小明在一张纸面上画了一条数轴（原点未标出），有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，表示数a的点与表示数c的点到原点的距离相等，表示数b与的点相距30个单位长度，若表示数a的点与原点的距离是表示数b的点与原点距离的，则c的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：表示数的点与表示数的点到原点的距离相等， 与互为相反数，即原点在、之间，如图， 与互为相反数，且表示数与的点相距30个单位长度，表示数的点到原点的距离为15， 表示数的点与原点的距离是表示数的点与原点距离的， ，，故选：D． 变式3．（2024·重庆·七年级专题练习）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题： (1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？ (2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？ 【答案】(1)-1(2)点C表示的数是0.5，D表示的数是-4.5 【解析】（1）由点A、B表示的数是互为相反数可知数轴上原点的位置如图， 故点C表示的数是-1． （2）由点D、B表示的数是互为相反数可知数轴上原点的位置如图， 故点C表示的数是0.5，D表示的数是-4.5． 题型9、多重符号化简 【解题技巧】口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 例1．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）化简：① ．② ． ③ ． ④ ． 【答案】 3 【详解】解：①；②；③； ④；故答案为：；3；；． 例2．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）________；（2）________；（3）________； （4）________；（5）________； 问：①当的前面有2024个负号时，化简后的结果是________； ②当的前面有2025个负号时，化简后的结果是________；由①②你能总结出什么规律？ 【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）3.5；（5）5；①5；②；总结规律：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数；一个数的前面有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 【详解】解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）； ①当的前面有2024个负号时，化简后的结果是5； ②当的前面有2025个负号时，化简后的结果是； 总结：一个数的前面有奇数个负号时，化简后的结果等于它的相反数；一个数的前面有偶数个负号时，化简后的结果等于它本身． 变式1．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列各数：，，，，中一定是正数的（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：，，，，， ∴一定是正数的有，，由于m的符号未知，故的符号未知，故选：B． 变式2．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）化简 ． 【答案】 【详解】解：．故答案为：． 变式3．（2024七年级上·江苏·专题练习）（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） ． 【答案】 5 12 3.2 27 【详解】解：（1）；（2）；（3）； （4）；（5）； （6）． 故答案为：（1）5；（2）12；（3）3.2；（4）；（5）27；（6）． 题型10、绝对值的实际应用 【解题技巧】常见三种应用： 1）质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2）小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3）数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 例1．（2025·河北唐山·一模）一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个零件，结果如下：第一个为，第二个为，第三个为，第四个为．则这四个零件中质量最好的是（ ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 【答案】D 【详解】解：∵， ∴的误差最小，∴这四个零件中质量最差的是第四个．故选：D． 例2．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）小虫从某地点0出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次为（单位：厘米） ，问：爬行过程中，若每爬行1厘米奖励5粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？ 【答案】小虫可得到315粒芝麻 【详解】，（粒）， 答：小虫可得到315粒芝麻． 变式1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，与标准偏差最大的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，，， ∵∴与标准偏差最大的是A．故选：A． 变式2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）为加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车从出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻，若规定向南为正，向北为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地什么方向？距地多远？ (2)若巡逻车每千米耗油升，问七次巡逻行驶共耗油多少升? 【答案】(1)最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地的正南方，距地(2)七次巡逻行驶共耗油升 【详解】（1）解：， 最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地的正南方，距地； （2），，（升），七次巡逻行驶共耗油升． 变式3．（23-24七年级上·四川绵阳·期中）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，，． (1)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？(2)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)立方米；(2)元． 【详解】（1）由， ∴共消耗天然气（立方米），答：共消耗天然气立方米； （2）（元）， 答：小李这天上午共得车费元． 题型11、利用法则比较有理数的大小 【解题技巧】有理数的大小比较法则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小． 例1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意可知，，且，如图， ， 观察四个选项，选项B符合题意．故选：B． 例2．（24-25七年级上·云南昆明·期末）下列比较大小正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A，∵，，则该选项错误，不符合题意； B，∵，，则该选项错误，不符合题意； C，，∵分子相同，分母不同，且， ，，则该选项正确，符合题意； D，∵，则该选项错误，不符合题意；故选：C． 变式1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）当时， （填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∴；故答案为：． 变式2．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从数轴可知，，且， 根据相反数的性质，的相反数的相反数，所以，故选：C． 变式3．（24-25七年级上·北京·期中）比较大小： ．  （填“”、“ ” 、 “”）． 【答案】 【详解】解：∵，∴； ∵，∴；故答案为：， 题型12、绝对值的几何意义求最值 【解题技巧】几何意义：表示x到点a的距离 （1）找零点（分界点）；（2）根据零点将数轴分段；（3）利用“数形结合”思想，求解绝对值的值（几何法）；或者根据分段情况，分析绝对值内式子的正负，去绝对值（代数法）。 注：（1）一个式子中有多个绝对值式子时， x前的系数必须相同才可以用该“数形结合”的方法；（2）分段的时候，切不可遗漏数轴上的点，也不可重复讨论。 例1．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）知道式子的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离是3，则式子的最小值（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：的几何意义是数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离与数轴上表示数的点与表示数的点之间的距离之和， 当表示数x的点在表示数的点与表示数的点之间时，值最小，也即是表示数的点与表示数的点之间距离，的最小值为，故选：B． 变式1．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）的最小值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【详解】解：根据绝对值的意义可知，只有当时，有最小值， 最小值为．故选：B． 变式2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：已知代数式最小值为 . 【答案】225 【详解】解：根据数轴的定义可知，代数式表示，表示点的点到1、2、3、30的距离之和，∴当时，有最小值， 当时，． 故答案为：225． 变式3．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）同学们都知道，表示4与之差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如，的几何意义是数轴上表示有理数5的点与表示有理数的点之间的距离．根据所学知识试探索下列问题的答案． (1)若，则 ．(2)请找出符合条件的，使得． (3)由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】(1)1(2)或(3)有最小值，最小值为4 【详解】（1）解：将改写成规定形式：， 表示在数轴上找出某一点，使它到5与它到的距离相等， 根据几何意义可知，它是5和的中点，画出数轴知，； 故答案为：1； （2）解：将改写成规定形式：，表示在数轴上找出某点，使它到与它到2的距离之和为9，画出数轴如下： 观察发现：当在与2之间（包括这两点）时，到与到2的距离之和为. 所以讨论如下： 当时，是负数，也是负数，，解得； 当时，是非负数，是非正数，，无解； 当时，是正数，也是正数，，解得. 所以，或满足； （3）解：有最小值，最小值为4，理由如下：就是规定形式，的最小值表示在数轴上找出某点，使它到2的距离与它到6的距离之和最小，画出数轴如下： 观察发现：当在2与6之间时（包括这两点），到2的距离与到6的距离之和是4； 当和时，到2的距离与到6的距离之和都大于4，所以有最小值，最小值为4． 1．（2025·江苏盐城·模拟预测）2025是蛇年，寓意着“蛇”么都有，则2025的相反数的绝对值是（　　） A． B．- C．2026 D．2024 【答案】A 【详解】2025的相反数是，的绝对值是2025．故选：A． 2．（2025·山东聊城·二模）实数的绝对值是，则实数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：的绝对值是，则实数是故选：D． 3．（24-25七年级上·江苏南通·期末）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【详解】解：∵，，，，，∴与原点距离最近的是1，故选：A． 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（　　） A．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 B．有理数a的倒数是 C．一个数的绝对值一定大于或等于这个数 D．一个数的相反数一定小于或等于这个数 【答案】C 【详解】解：如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数，则A不符合题意； 当时，没有倒数，则B不符合题意；一个数的绝对值一定大于或等于这个数，则C符合题意； 的相反数是2，而，则D不符合题意；故选：C． 5．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）下列四个数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，，∴，即， ∴各数中，最小的数是，故选：． 6．（2024·陕西·校考模拟预测）下列有理数大小关系判断正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵，，∴，故本选项错误； B、∵，∴，故本选项错误； C、∵，，∴，故本选项错误； D、∵，，∴，故本选项正确；故选：D． 7．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则在这5天中最低气温的日期是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五 【答案】B 【详解】解：由五日气温为，，，，， ， ∴这5天中最低气温的日期是星期二．故选：B． 8．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）的相反数是（   ） A． B． C． D．以上都不是 【答案】B 【详解】解：的相反数是，故选：B． 9．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： x为有理数，式子存在最大值， 当时，式子最大值为，故选：A． 10．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）比较大小： （填或） 【答案】 【详解】解：，．故答案为：． 11．（2025·江苏南京·中考真题）比较大小： （填“”“”或“”） 【答案】 【详解】解：∵， ，又，∴．故答案为：． 12．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）若，则 ． 【答案】 【详解】解：，，，解得：，， ，故答案为：． 13．（23-24七年级·黑龙江·阶段练习）若，则 ． 【答案】3或 【详解】解：；；∴或．故答案为：3或. 14．（24-25七年级上·山东滨州·期末）a，b是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列为 ． 【答案】 【详解】解：由数轴可得，，，∴，故答案为：． 15．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：________．（用“、或”填空）(2)化简：． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：由数轴可得：，∴，∴； （2）解：由数轴可得：，∴，， ∴． 16．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）出租车司机小飞某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午的行程是（单位：千米）：． (1)将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？(2)若汽车耗油量为升/千米，出车时，邮箱有油升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 【答案】(1)在出发点的北边，距离出发点4千米(2)不需要加油，理由见解析 【详解】（1）解：（千米）， 答：在出发点的北边，距离出发点4千米； （2）不需要加油，理由：（千米）， （升），∵，∴不需要加油． 17．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离表示为　　；如果，那么为_____； (2)若点表示的数为，则当为　　时，与的值相等； (3)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_____． 【答案】(1)，2或(2)(3) 【详解】（1）解：数轴上表示和的两点和之间的距离表示为：， 如果，即，或，那么为或2；故答案为：，2或； （2），表示点到和2的距离相等，即点A为其中点， 若点表示的数为，则当为时，与的值相等；故答案为：； （3）如图， 若数轴上表示数的点位于与之间，由题意可得： ，的值为；故答案为：． 1．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，数轴上M，N，P，Q四个点中，有一个点是原点，其余三个点表示的数都是整数，且．表示数a的点在M，N之间，表示数b的点在P，Q之间，若，则点N表示的数是（   ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴数a的点比表示数b的点到原点的距离远． ∵，∴点P是原点，∴点N表示的数是．故选C． 2．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）a，b，c满足等式，且c是整数，则的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】C 【详解】解：∵，∴，∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∵c为整数，∴，∴，， ∴，，∴或， ∴的值为；故选：C． 3．（23-24七年级上·贵州安顺·期末）由绝对值的几何意义，我们知道表示数轴上某一点到原点的距离，同理可以得到表示数轴上某一点到表示数3的点的距离，表示数轴上某一点到表示数－2的点的距离．设，结合数轴，则下面的结论中正确的是（    ） A．S没有最小值 B．有有限个x（不止一个）使S取得最小值 C．只有一个x使S取得最小值 D．有无限个x使S取得最小值 【答案】D 【详解】解：如图，， ，，的最小值是2， 当时，都能取到最小值2，有无穷个使取最小值．故选：D． 4．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）实数a、b的相反数分别为c、d，在数轴上点A、B、C、D分别表示数a、b、c、d，我们把A、D间的距离记为， B、C间的距离记为，则的大小关系为（  ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【详解】解：实数a、b的相反数分别为c、d，， 在数轴上点A、B、C、D分别表示数a、b、c、d， A、D间的距离记为， B、C间的距离记为， ，，．故选：B． 5.（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）设表示大于的最小整数，如，则下列结论：①；②的最小值是0；③的最大值是1； ④若，则可以表示成（为整数）的形式； ⑤若整数满足，则．其中正确 （填写序号）． 【答案】①③④ 【详解】根据表示大于的最小整数可得：，结论①正确； ，则没有最小值，最大值为1，故②错误，③正确； 令，由，则可以表示成（为整数）的形式，故④正确； 若整数满足，则，则或，故⑤错误；故答案为：①③④． 6．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，如：，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素，一个集合中没有相同的元素．如果一个集合满足：只要其中有一个元素，使得也是这个集合的元素，这样的集合我们称为“条件集合”．例如集合，因为，而恰好是这个集合的元素，所以就是一个“条件集合”． (1)集合________（填“是”或“不是”）“条件集合”；(2)请说明集合是“条件集合”； (3)已知集合是“条件集合”，求出所有符合条件的的值；(4)集合是“条件集合”，__________． 【答案】(1)不是(2)见解析(3)(4) 【详解】（1），集合不是“条件集合”故答案为：不是 （2）集合是“条件集合” （3）集合是“条件集合”，当，解得：；当，解得：或 故所有符合条件的的值是或或 （4）集合是“条件集合”， 当时，，解得；当时，，方程无解故答案为： 7．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）某班数学兴趣小组探索绝对值方程的解法． 例如解绝对值方程： 解：分类讨论：当时，原方程可化为，它的解是 当时，原方程可化，，它的解是 原方程的解为或 (1)依例题的解法，方程的解是 ； (2)在尝试解绝对值方程时，小明提出想法可以继续依例题的方法用分类讨论的思想把绝对值方程转化为不含绝对值方程，试按小明的思路完成解方程过程； (3)在尝试解绝对值方程，小丽提出想法，也可以利用数形结合的思想解绝对值方程，在前面的学习中我们知道，表示数a、b在数轴上对应的两点A、B之间的距离，则表示数x与2在数轴上对应的两点之间的距离为5个单位长度，结合数轴可得方程的解是 ； (4)在理解上述解法的基础上，自选方法解关于x的方程；（如果用数形结合的思想，需要画出数轴，并加以必要说明）． 【答案】(1)或(2)或(3)或 (4)当时，方程无解；当时，方程右边无数个解；当时，或 【详解】（1）解：当时，原方程可化为，它的解是 当时，原方程可化，，它的解是 原方程的解为或 故答案为：或； （2）解：当时，原方程可化为，它的解是 当时，原方程可化，它的解是 原方程的解为或； （3）表示数x与2在数轴上对应的两点之间的距离为5个单位长度， ∴或，解得或 故答案为或 （4） 当时，，当时，解得；当时，方程无解； 当时，，∴，此时方程无数解； 当时，，当时，解得；当时，方程无解； 综上所述：原方程的解是：当时，方程无解； 当时，方程有无数解；当时，或． 8．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）对数m、n，给出定义：若，则称是的“正比数”；若，则称是的“反比数”．举例：因为，所以3是的“正比数”；因为，所以3是的“反比数”．点A、B在数轴上的点表示的数分别是、（且），点是的中点，在数轴上表示的数是．(1)①若是的“正比数”，，则______；②若是的“反比数”，，则_____； (2)若，e是的“反比数”，求；(3)若，e是a、b两数中其中一个数的“正比数”，请直接写出的值． 【答案】(1)①；② (2)0或(3)6或或或 【详解】（1）解：①∵是的“正比数”，∴， ∵，∴，∴；故答案为：； ②∵是的“反比数”，∴， ∵，∴，∴；故答案为：； （2）解：∵，e是的“反比数”，∴，解得：， ∵点A、B在数轴上的点表示的数分别是、，点是的中点，在数轴上表示的数是， ∴，即，解得：或． （3）解：∵点A、B在数轴上的点表示的数分别是、，点是的中点，在数轴上表示的数是， ∴，即，∵，∴当e是a的“正比数”时，，即，解得：， ∴，解得：或； 当e是b的“正比数”时，，即，∴，解得：或； 综上分析可知，b的值为6或或或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04.绝对值与相反数 预习目标……………………………………………………………………………………………………………..1 新课轻松学…………………………………………………………………………………………………………..2 新知速通……………………………………………………………………………………………………………..3 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..3 题型1、求已知数的绝对值 4 题型2、已知绝对值求数或未知数 4 题型3、相反数和绝对值的概念及意义辨析 6 题型4、绝对值的非负性 8 题型5、绝对值的化简求值 9 题型6、求一个数的相反数 11 题型7、相反数的性质 12 题型8、相反数的几何意义（与结合数轴） 12 题型9、多重符号化简 14 题型10、绝对值的实际应用 16 题型11、利用法则比较有理数的大小 18 题型12、绝对值的几何意义求最值 19 基础通关 22 拓展提优 26 1. 从数形两方面理解绝对值的意义（代数意义和几何意义）； 2. 会求已知数的绝对值及已知绝对值求未知数；体会分类讨论思想； 3. 运用绝对值的非负性解决问题； 4. 能利用绝对值的几何意义求最值，体会数形结合思想； 5. 能理解相反数的意义；能求出已知数的相反数；掌握相反数的几何意义和性质； 6. 能根据相反数的意义进行多重符合的化简。 【思考1】下图中点A与原点之间的距离是多少？点B与原点之间的距离是多少？ 【思考2】一个数的绝对值与这个数有什么关系? 【思考3】（1）观察下面几对数，他们各有哪些相同？哪些不同? （2）在同一条数轴上画出表示以下几对数的点，从你所画的数轴中观察，这几对点有哪些相同点？ ①8与-8 ②2.5与-2.5 ③与 【历史起源】 1）提起绝对值的起源，就需要从“现代分析学之父”的德国大数学家魏尔斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）说起，他于1841年提出绝对值的定义，距今不到200年的历史。当然，你可能觉得这个时间已经够久远了吧，但是我可以告诉你，我们所崇拜的欧拉，生于1707年，逝于1783年，就是说，那个把无穷级数玩得贼溜，写出了数学史上最多论文的大神，一辈子都没有接触过绝对值。比照这些年份可以看出来，绝对值算是一个出现得非常晚的数学概念了。 2）首先是自然数的出现，人们为了记下羊的数目，于是出现了1，2，3.....这些数字，后来人们之间有了交换物品的需要，而且把羊当作一般等价物，但有时候有羊的一方把羊给了另一方，而另一方并没有马上把相应的物品给对方，这样有羊的一方比原来少了一些羊，于是相反数就应运而生了。 1）绝对值的概念：一般地，数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，记作。 2）绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或．即：。 3）相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。相反数是成对出现的（0除外），0的相反数是本身。 4）相反数的几何意义：互为相反数的两个数在数轴上对应的点应分别位于原点两侧，且到原点的距离相等；故互为相反数的两个数绝对值相等。 5）绝对值的意义 几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 即：（1）如果，那么；（2）如果，那么；（3）如果，那么． 可整理为：，或，或。 6）多重符号的化简 1）一个正数前面不管有多少个“”号，都可以全部去掉； 2）一个正数前面有偶数个“”号，也可以把“”号全部去掉； 3）一个正数前面有奇数个“”号，则化简后只保留一个“”号。 口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。 注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 7）有理数的大小比较方法：两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 两数同号 同为正号：绝对值大的数大 同为负号：绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0：正数大于0 负数与0：负数小于0 注意：利用绝对值比较两个负数的大小的步骤：（1）分别计算两数的绝对值；（2）比较绝对值的大小；（3）判定两数的大小． 题型1、求已知数的绝对值 【解题技巧】数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，。 例1．（2025·江苏泰州·一模）我国有世界上唯一一座位于海平面以下的植物园——吐鲁番沙漠植物园，其海拔约为米，的绝对值是（    ） A．81 B． C． D． 变式1．（2025·江苏镇江·一模）2025的绝对值是（   ） A． B． C．2025 D． 变式2．（2025·陕西咸阳·一模）的绝对值是（    ） A． B． C． D． 变式3．（23-24七年级·广东·期末）若，则 ． 题型2、已知绝对值求数或未知数 【解题技巧】若，当时，；当时，。 根据绝对值的意义，去掉绝对值，转化为两个一元一次方程，解方程即可。 例1．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）阅读下面材料：如图，点在数轴上分别表示有理数，则两点之间的距离可以表示为，根据阅读材料与你的理解回答下列问题： (1)数轴上表示3与的两点之间的距离是 ； (2)数轴上有理数x与有理数7所对应两点之间的距离用绝对值符号可以表示为 ； (3)代数式可以表示数轴上有理数x与有理数所对应的两点之间的距离；若，则______； 变式1．（24-25七年级上·河北保定·期末）若，则m的值为（   ） A．或 B． C．2或 D． 变式2．（24-25七年级上·北京门头沟·期末）数轴上距离1这个数两个单位的点可以表示为，则x的值为（　　） A． B．0 C．3 D．或3 变式3．（24-25七年级上·江苏连云港·期中）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 【阅读】表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离：可以看作，表示与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【知识探索】（1）数轴上表示与的两点之间的距离是______；（2）①若，则______； ②若使所表示的点到表示和的点的距离之和为，所有符合条件的整数的和为______； 【动手折一折】小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： （3）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合，则表示的点和______表示的点重合； （4）折叠纸面，若表示的点和表示的点重合， ①则表示的点和______表示的点重合；②若，（在的左侧）两点之间的距离为，且，两点经折叠后重合，则点表示的数是______，点表示的数是______； 题型3、相反数和绝对值的概念及意义辨析 【解题技巧】绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是数轴上表示数的点与原点的距离。 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；的绝对值是。 相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 相反数的表示方法：一般地，a和-a互为相反数，这里的a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是零，特别地，一个数的相反数等于它本身这个数是零。例1．（23-24七年级上·天津滨海新·期中）下列说法不正确的是（　　） A．到原点距离相等且在原点两旁的两个点所表示的数一定互为相反数 B．所有的有理数都有相反数 C．符号相反的两个数互为相反数 D．在一个有理数前添加“-”号就得到它的相反数 例2．（24-25七年级上·辽宁丹东·期末）下列说法：①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个数相等，那么这两个数的绝对值一定相等；③如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等；④有理数绝对值越大，离原点越远．其中正确的有（    ） A．2个 B．1个 C．3个 D．4个 变式1．（23-24七年级·上海松江·期末）以下叙述中，正确的是（    ） A．正数与负数互为相反数 B．表示相反意义的量的两个数互为相反数 C．任何有理数都有相反数 D．一个数的相反数是负数 变式2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 变式3．（24-25七年级上·四川眉山·期末）如果一个数的绝对值等于它的相反数，那么这个数一定是（    ） A．正数 B．负数 C．正数或零 D．负数或零 变式4．（24-25七年级上·四川南充·期中）已知数满足，则不可能为（   ） A． B．0 C．1 D．2 题型4、绝对值的非负性 【解题技巧】（1）根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若，则=0且=0．（2）。 例1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知b、c满足，则的值是 ． 例2．（2024七年级上·江苏·专题练习）当 时，有最小值是 ． 变式1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）若，则 ． 变式2．（24-25七年级上·山东威海·期末）若是有理数，则下列说法正确的是（   ） A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是负数 D．一定是正数 变式3．（24-25七年级上·重庆万州·阶段练习）若为有理数，下列判断：①总是正数，②总是正数；③的最小值为9；④的最大值是1；其中错误的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型5、绝对值的化简求值 【解题技巧】绝对值化简步骤：①判断绝对值符号里式子的正负；②将绝对值符号改为小括号：若正数，绝对值前的正负号不变（即本身）；若负数，绝对值前的正负号改变（即相反数）；③去括号：括号前是“＋”，去括号，括号内不变； 括号前是“－”，去括号，括号内各项要变号；④化简。 注意：注意改绝对值符号时与去括号时是否需要变号，且变号的正确性。 例1．（24-25七年级上·河南安阳·期中）已知有理数，，在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：______0；______0（填“”“ ”或“”）；(2)化简：． 变式1．（24-25七年级上·重庆江津·期末）有理数，，的位置如图所示，化简 ． 变式2．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）如图，数轴上点分别表示有理数， (1)若点B是线段的中点，且，，则_____; (2)若点A在原点O右侧，点B，C在原点O左侧，且，化简． 题型6、求一个数的相反数 【解题技巧】相反数的表示方法：一般地，a的相反数为-a，这里的a表示任意一个数可以是正数、负数也可以是零，特别地，一个数的相反数等于它本身这个数是零. 例1．（2025·江苏盐城·二模）的相反数是（   ） A．- B． C． D． 变式1．（2025·江苏扬州·二模）的相反数等于（   ） A．4 B． C． D． 变式2．（2025·山东泰安·一模）下列各组数中，互为相反数的是（　　） A．和- B．2025和 C．和2025 D．-和 变式3．（23-24七年级·江苏·课时训练）填空： （1）2.5的相反数是 ；（2） 是的相反数； （3）是 的相反数； （4） 的相反数是； （5）8.2和 互为相反数． （6）a和 互为相反数． （7） 的相反数比它本身大， 的相反数等于它本身． 变式4．（2024·广东·七年级专题练习）的相反数（　　　） A． B． C． D． 题型7、相反数的性质 【解题技巧】利用“互为相反数的两个数和为0”计算即可。 例1．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）若a，b互为相反数，则代数式的值为 . 变式1．（23-24七年级上·山东滨州·期末）若与互为相反数，则等于（    ） A．0 B． C． D． 变式2．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在数轴上，点A，B在原点O的同侧，分别表示数a，1，将点A向左平移3个单位长度，得到点C．若点C与点B互为相反数，则a的值为（    ） A．3 B．2 C． D．0 题型8、相反数的几何意义（与结合数轴） 【解题技巧】从数轴上看，除0外，互为相反数的两个数，它们分别在原点两旁且到原点距离相等． 例1．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在数轴上，点A，B在原点O的同侧，分别表示数a，1，将点A向左平移3个单位长度，得到点C．若点C与点B互为相反数，则a的值为（    ） A．3 B．2 C． D．0 例2．（23-24七年级上·广东·课后作业）如图，1个单位长度表示1，观察图形，回答问题： (1)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数为_________； (2)若点A与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数是多少？ (3)若点与点所表示的数互为相反数，则点所表示的数的相反数是多少？ 变式1．（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习）图，在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，若，则点A表示的数为 ． 变式2．（23-24七年级上·陕西西安·期中）小明在一张纸面上画了一条数轴（原点未标出），有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，表示数a的点与表示数c的点到原点的距离相等，表示数b与的点相距30个单位长度，若表示数a的点与原点的距离是表示数b的点与原点距离的，则c的值为（　　） A． B． C． D． 变式3．（2024·重庆·七年级专题练习）如图，图中数轴的单位长度为1．请回答下列问题： (1)如果点A、B表示的数是互为相反数，那么点C表示的数是多少？ (2)如果点D、B表示的数是互为相反数，那么点C、D表示的数是多少？ 题型9、多重符号化简 【解题技巧】口诀“奇负偶正”，其中“奇偶”是指正数前面的“”号的个数，“负、正”是指化简的最后结果的符号。注意：此判断方法是在没有其它运算的情况下适用，如出现其它运算，要视具体情况而论。 例1．（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）化简：① ．② ． ③ ． ④ ． 例2．（2024七年级上·黑龙江·专题练习）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）________；（2）________；（3）________； （4）________；（5）________； 问：①当的前面有2024个负号时，化简后的结果是________； ②当的前面有2025个负号时，化简后的结果是________；由①②你能总结出什么规律？ 变式1．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列各数：，，，，中一定是正数的（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式2．（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）化简 ． 变式3．（2024七年级上·江苏·专题练习）（1） ；（2） ；（3） ； （4） ；（5） ；（6） ． 题型10、绝对值的实际应用 【解题技巧】常见三种应用： 1）质量问题，绝对值越小，越接近质量标准； 2）小虫爬行问题，判断小虫是否能重回原点，将所有数据相加与0相比较，求距离时是各数的绝对值，与数的正负性无关； 3）数轴上数的表示问题，点向左移动时，原数减去移动的距离；点向右移动时，原数加上移动的距离。 例1．（2025·河北唐山·一模）一批零件超过规定长度记为正数，短于规定长度记为负数，越接近规定长度质量越好．检查其中四个零件，结果如下：第一个为，第二个为，第三个为，第四个为．则这四个零件中质量最好的是（ ） A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个 例2．（23-24七年级上·湖南永州·阶段练习）小虫从某地点0出发在一直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次为（单位：厘米） ，问：爬行过程中，若每爬行1厘米奖励5粒芝麻，则小虫可得到多少粒芝麻？ 变式1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，检测4个足球，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，与标准偏差最大的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·江苏南通·阶段练习）为加强校园周边治安综合治理，警察巡逻车从出发在学校旁边的一条南北方向的公路上执行治安巡逻，若规定向南为正，向北为负，一天中七次行驶记录如下．（单位：） 第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 第六次 第七次 (1)求最后一次巡逻结束时巡逻车在出发地地什么方向？距地多远？ (2)若巡逻车每千米耗油升，问七次巡逻行驶共耗油多少升? 变式3．（23-24七年级上·四川绵阳·期中）科博会期间，出租车司机小李某天上午营运时是在九洲体育馆门口出发，沿东西走向的大街上进行的，如果规定向东为正，向西为负，他这天上午所接送位乘客的行车里程（单位：）如下：，，，，，，，． (1)若汽车消耗天然气量为，这天上午小李接送乘客，出租车共消耗天然气多少立方米？(2)若出租车起步价为元，起步里程为（包括，超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 题型11、利用法则比较有理数的大小 【解题技巧】有理数的大小比较法则：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数，其绝对值大的反而小． 例1．（24-25七年级上·山东济南·阶段练习）如图，若点A，B，C所对应的数为a，b，c，则下列大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25七年级上·云南昆明·期末）下列比较大小正确的是（　　） A． B． C． D． 变式1．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）当时， （填“”“”或“”）． 变式2．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）在数轴上，表示有理数a，b的点的位置如图所示，把个数按照从小到大的顺序排列，正确的是（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25七年级上·北京·期中）比较大小： ．  （填“”、“ ” 、 “”）． 题型12、绝对值的几何意义求最值 【解题技巧】几何意义：表示x到点a的距离 （1）找零点（分界点）；（2）根据零点将数轴分段；（3）利用“数形结合”思想，求解绝对值的值（几何法）；或者根据分段情况，分析绝对值内式子的正负，去绝对值（代数法）。 注：（1）一个式子中有多个绝对值式子时， x前的系数必须相同才可以用该“数形结合”的方法；（2）分段的时候，切不可遗漏数轴上的点，也不可重复讨论。 例1．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）知道式子的几何意义是数轴上表示数x的点与表示数3的点之间的距离是3，则式子的最小值（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式1．（24-25七年级上·湖北宜昌·期中）的最小值是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 变式2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）【知识回顾】数轴是非常重要的数学工具，它可以使代数中的推理更加直观．同时我们知道，数轴上表示的数对应的两点之间的距离为．借助数轴解决下列问题：已知代数式最小值为 . 变式3．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）同学们都知道，表示4与之差的绝对值，实际上也可以理解为4与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．例如，的几何意义是数轴上表示有理数5的点与表示有理数的点之间的距离．根据所学知识试探索下列问题的答案． (1)若，则 ．(2)请找出符合条件的，使得． (3)由以上探索猜想：对于任何有理数是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 1．（2025·江苏盐城·模拟预测）2025是蛇年，寓意着“蛇”么都有，则2025的相反数的绝对值是（　　） A． B．- C．2026 D．2024 2．（2025·山东聊城·二模）实数的绝对值是，则实数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·江苏南通·期末）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（   ） A． B．2 C． D．4 4．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）下列说法正确的是（　　） A．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 B．有理数a的倒数是 C．一个数的绝对值一定大于或等于这个数 D．一个数的相反数一定小于或等于这个数 5．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）下列四个数中，最小的数是（   ） A． B． C． D． 6．（2024·陕西·校考模拟预测）下列有理数大小关系判断正确的是（ ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如图显示了某地连续5天的日最低气温，则在这5天中最低气温的日期是（    ） A．星期一 B．星期二 C．星期三 D．星期五 8．（24-25七年级上·广东汕头·阶段练习）的相反数是（   ） A． B． C． D．以上都不是 9．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如果x为有理数，式子存在最大值，这个最大值是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）比较大小： （填或） 11．（2025·江苏南京·中考真题）比较大小： （填“”“”或“”） 12．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）若，则 ． 13．（23-24七年级·黑龙江·阶段练习）若，则 ． 14．（24-25七年级上·山东滨州·期末）a，b是有理数，它们在数轴上对应点的位置如图所示，把a，，b，按照从小到大的顺序排列为 ． 15．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： (1)比较大小：________．（用“、或”填空）(2)化简：． 16．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）出租车司机小飞某天上午营运全是在南北走向的某条大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午的行程是（单位：千米）：． (1)将最后一名乘客送达目的地时，小张距上午出发点的距离是多少千米？在出发点的什么方向？(2)若汽车耗油量为升/千米，出车时，邮箱有油升，若小张将最后一名乘客送达目的地，再返回出发地，问小张今天下午是否需要加油？若要加油至少需要加多少才能返回出发地？若不用加油，请说明理由． 17．（23-24七年级上·江苏无锡·阶段练习）先阅读，后探究相关的问题： 【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． (1)数轴上表示和的两点和之间的距离表示为　　；如果，那么为_____； (2)若点表示的数为，则当为　　时，与的值相等； (3)若数轴上表示数的点位于与之间，则的值为_____． 1．（24-25七年级上·江苏南通·期末）如图，数轴上M，N，P，Q四个点中，有一个点是原点，其余三个点表示的数都是整数，且．表示数a的点在M，N之间，表示数b的点在P，Q之间，若，则点N表示的数是（   ） A．2 B．0 C． D． 2．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）a，b，c满足等式，且c是整数，则的值为（    ） A．0 B． C． D．2 3．（23-24七年级上·贵州安顺·期末）由绝对值的几何意义，我们知道表示数轴上某一点到原点的距离，同理可以得到表示数轴上某一点到表示数3的点的距离，表示数轴上某一点到表示数－2的点的距离．设，结合数轴，则下面的结论中正确的是（    ） A．S没有最小值 B．有有限个x（不止一个）使S取得最小值 C．只有一个x使S取得最小值 D．有无限个x使S取得最小值 4．（23-24七年级上·江苏镇江·期中）实数a、b的相反数分别为c、d，在数轴上点A、B、C、D分别表示数a、b、c、d，我们把A、D间的距离记为， B、C间的距离记为，则的大小关系为（  ） A． B． C． D．不能确定 5.（23-24七年级上·江苏宿迁·期末）设表示大于的最小整数，如，则下列结论：①；②的最小值是0；③的最大值是1； ④若，则可以表示成（为整数）的形式； ⑤若整数满足，则．其中正确 （填写序号）． 6．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，如：，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素，一个集合中没有相同的元素．如果一个集合满足：只要其中有一个元素，使得也是这个集合的元素，这样的集合我们称为“条件集合”．例如集合，因为，而恰好是这个集合的元素，所以就是一个“条件集合”． (1)集合________（填“是”或“不是”）“条件集合”；(2)请说明集合是“条件集合”； (3)已知集合是“条件集合”，求出所有符合条件的的值；(4)集合是“条件集合”，__________． 7．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）某班数学兴趣小组探索绝对值方程的解法． 例如解绝对值方程： 解：分类讨论：当时，原方程可化为，它的解是 当时，原方程可化，，它的解是 原方程的解为或 (1)依例题的解法，方程的解是 ； (2)在尝试解绝对值方程时，小明提出想法可以继续依例题的方法用分类讨论的思想把绝对值方程转化为不含绝对值方程，试按小明的思路完成解方程过程； (3)在尝试解绝对值方程，小丽提出想法，也可以利用数形结合的思想解绝对值方程，在前面的学习中我们知道，表示数a、b在数轴上对应的两点A、B之间的距离，则表示数x与2在数轴上对应的两点之间的距离为5个单位长度，结合数轴可得方程的解是 ； (4)在理解上述解法的基础上，自选方法解关于x的方程；（如果用数形结合的思想，需要画出数轴，并加以必要说明）． 8．（23-24七年级上·江苏扬州·期末）对数m、n，给出定义：若，则称是的“正比数”；若，则称是的“反比数”．举例：因为，所以3是的“正比数”；因为，所以3是的“反比数”．点A、B在数轴上的点表示的数分别是、（且），点是的中点，在数轴上表示的数是．(1)①若是的“正比数”，，则____；②若是的“反比数”，，则___；(2)若，e是的“反比数”，求；(3)若，e是a、b两数中其中一个数的“正比数”，请直接写出的值． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$