专题02 正数与负数-2025年小升初数学无忧衔接（苏科版2024）

专题02 正数与负数 预习目标……………………………………………………………………………………………………………..1 新课轻松学…………………………………………………………………………………………………………..2 新知速通……………………………………………………………………………………………………………..3 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..3 题型1、正数、负数、零的概念辨析 4 题型2、正数、负数的分类 5 题型3、正负数表示相反意义的量 6 题型4、正负数的应用1-时差（时间）、温差的相关运算 7 题型5、正负数的应用2-用正负数表示允许偏差 8 题型6、正负数的应用3-基准量的相关计算 9 题型7、有理数的相关概念辨析 10 题型8、有理数的分类 10 题型9、有理数中的新定义集合 12 基础通关 15 拓展提优 19 1.通过生活实例认识正数和负数； 2.认识0的特殊性； 3.会用正负数表示相反意义的量； 4.会用正负数表示允许偏差及相关运算； 5.知道有理数的定义；会判断一个数是否为有理数；会对有理数进行分类； 6.本节内容主要培养学生的符号意识、应用意识、创新意识等。 图1 图2 【思考1】请同学们分组讨论，图1中的“+”，“-”是什么意思？ 【思考2】请同学们分组讨论，图2中的“±”是什么意思？ 【思考3】请同学们分组讨论，0除了可以表示没有，还可以表示些什么呢？ 【思考4】截至到目前我们已经学习过那些数？有限小数和循环小数能否写成分数形式呢？ 【课外阅读】 负数的历史可以追溯到古代中国。据史料记载，早在两千多年前，中国就有了正负数的概念，并掌握了正负数的运算法则。在著名的中国古代数学著作《九章算术》中，首次正式引入了负数及其加减运算法则，并给出了名为“正负术”的算法。三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献，他首先给出了正负数的定义，还规定了区分正负数的方法，即使用不同颜色的算筹来表示正数和负数。 负数在国外得到认识和被承认，较之中国要晚得多。印度最早使用负数的是婆罗摩笈多，他在公元628年完成的《婆罗摩修正体系》中给出了正负数的四则运算法则。 然而，在欧洲，由于负数难以被很快赋予现实意义，所以当时许多欧洲人都抵制负数的引入，让负数在欧洲的接受过程变得“寸步难行”。直到公元1545年，意大利数学家卡当写下了一本关于负数概念的《大法》，负数才正式开始在欧洲流传开来。到了公元1637年，法国数学家笛卡尔在几何学中沿用了负数的概念，使得负数能够直观全面地被解释开来。总的来说，负数是人类在数学领域的一项重要发明，它的出现极大地丰富了数学语言，使得人们能够更准确地描述和解决实际问题。 1.正数与负数 1）正数：像8 848.86，4，+40 000，1.7，这样大于的数叫做正数，正数都大于。 2）负数：像-80.97，-6，-10 000，-0.6这样的数叫做负数，负数都小于。 3）符号：一个数前面的“”，“”号叫做它的符号。“”读作“正”，如：“”读作“正三分之二”。“”读作“负”，如：“-80.97”读作“负八十点九七”。 注意： 1）正数前面的“”号可以省略，注意与表示是同一个正数；负数前面的“” 号不可省略。 2）不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义判别。如：不一定表示负数，若为正数，则表示负数；若为负数，则表示正数；若为0，则表示0。 2.“0”的特殊性 1）0既不是正数，也不是负数；2）0是正数与负数的分界；3）0是自然数； 4）0的意义：0有时表示没有，比如文具盒中有0支铅笔，表示没有铅笔；0有时是一个数，比如是一个确定的温度；0有时也作为基准，比如海拔高度为0m表示的是海平面的平均高度。 3.有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 其中：正整数和零称为自然数。 2）分数：有限小数和循环小数可化为分数，所以它们也是分数。分数也可按正负分类：即正分数、负分数。 3）有理数：整式和分数统称为有理数。 4.有理数的两种分类 5.常用数学概念的含义 1）正整数：既是正数，又是整数 2）负整数：既是负数，又是整数 3）正分数：既是正数，又是分数 4）负分数：既是负数，又是分数 5）非正数：负数和0 6）非负数：正数和0 7）非正整数：负整数和0 8）非负整数：正整数和0 题型1、正数、负数、零的概念辨析 【解题技巧】熟悉正负数的相关概念，特别注意是0的特殊性。 例1．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法中正确的是（　　） A．不带“”的数都是正数 B．不存在既不是正数，也不是负数的数 C．如果a是正数，那么一定是负数 D．一个数不是正数就是负数 例2．（24-25七年级上·湖南湘西·期中）下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 变式1．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）0的发现被称为人类伟大的发现之一．0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（   ） A．是一个确定的温度 B．海拔表示没有海拔 C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D．在二进制中，0是基本的数字表示 变式2．（24-25七年级上·福建南平·阶段练习）下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 变式3．（2024·河南开封·二模）北京冬季里某一天的气温为，的含义是 . 题型2、正数、负数的分类 【解题技巧】大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”、“﹣”号叫做它的符号。0既不是正数也不是负数。0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 例1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）在，，，，，这些数中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 变式1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）在，，，中，负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 变式2．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）在五个数中，正数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，，纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是（   ） A． B． C． D． 题型3、正负数表示相反意义的量 【解题技巧】一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示。 例1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利60元，记作“元”，那么亏损10元，记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 变式1．（23-24七年级上·江苏常州·期中）我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将钟表的分针顺时针旋转一周记作“”，则分针逆时针旋转一周半可记作（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在足球比赛中，如果甲队进球3个，记作，那么甲队失2个球，记作（   ） A． B． C．1 D． 题型4、正负数的应用1-时差（时间）、温差的相关运算 【解题技巧】对于两个具有相反意义的量，究竟哪个为正，哪个为负，并不是固定的，而是人们在实际生活和生产中根据情况规定的。 在地理计算中，在通常将某一城市的时间定为标准时间0，比它早的时间用正数表示，比它晚的时间用负数表示。例如：纽约比北京时间晚13小时，如果将北京时间定位标准时间，因此纽约的时差为-13小时。 温差是指某一地点最高温度与最低温度的差值。通常将零摄氏度作为温度的基准，零上的温度规定为正数，零下的温度规定为负数。例如：某地气温记录为-3℃至7℃，温差为10℃。 例1．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，下表是几个城市与北京的时差（两个地区地方时之间的差别）：（带“”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数） 城市 纽约 伦敦 巴黎 首尔 时差 奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是（   ）． A．伦敦时间7月26日18时30分 B．北京时间7月27日3时30分 C．纽约时间7月26日14时30分 D．首尔时间7月27日5时30分 变式1．（2024·湖北十堰·七年级统考期末）如图是丹江口市2024年12月7日气象预报截图，预报显示当天最高气温6℃，最低气温-4℃，这一天我市的温差是______℃． 变式2．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）： 城市 悉尼 纽约 时差/时 当北京10月9日23时，悉尼、纽约的时间分别是（    ） A．10月10日1时；10月9日10时 B．10月10日1时；10月8日10时 C．10月9日21时；10月9日10时 D．10月9日21时；10月10日12时 题型5、正负数的应用2-用正负数表示允许偏差 【解题技巧】M±n的意义：最大值M+n，最小值：M-n。（注意M和n均为非负数）。 例1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）一种大米的质量标识为“千克”，则下列大米质量合格的是（   ） A．24.50千克 B．25.40千克 C．25.71千克 D．24.80千克 变式1．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位，其中不合格的是（    ）    A． B． C． D． 变式2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）某种零件，标明要求是（表示直径：单位：毫米），经检查，一个零部件的直径为是，该零件 （填“合格”或“不合格”）． 题型6、正负数的应用3-基准量的相关计算 【解题技巧】如果把两个具有相反意义的量中的一个规定为正，那么另一个就必须规定为负，决不能把两个具有相反意义的量同时规定为正的，或者同时规定为负的。在实际生活和生产中，人们习惯把上升几米，零上几摄氏度，前进几米，收入多少元，盈利多少元，高于海平面多少千米等规定为正的，而把与这些量具有相反意义的量：下降几米，零下几摄氏度，后退几米，支出多少元，亏损多少元，低于海平面多少千米等规定为负的。 例1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）某项科学研究，以1小时为1个时间单位，并记每天上午为0，以前记为负，以后记为正，如上午记为，上午记为等．以此类推，上午应记作 （   ） A． B． C． D． 变式1．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记做，那么小东跳出了3.85米，记作（　　） A． B． C． D． 变式2．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）某项科学研究，以25分钟为一个时间单位，并记每天上午8时为0，8时以前记为负，8时以后记为正．例如：记为，记为1等等，以此类推，上午应记为 ． 题型7、有理数的相关概念辨析 【解题技巧】正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数。 例1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）在（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 例2．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 变式1．（24-25七年级上·天津·阶段练习）对于，下列说法不正确的是（   ） A．是非正数 B．是分数 C．是有理数 D．是非负整数 变式2．（24-25七年级上·重庆·期末）在、、0、、2、3、4中，非负整数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 变式3．（24-25七年级上·辽宁阜新·期末）下列说法正确的是（    ） A．正整数和负整数统称为整数 B．整数和分数统称为有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．零表示不存在，所以零不是有理数 题型8、有理数的分类 【解题技巧】 正整数：像1，2，3，4等这样的数叫作正整数；负整数：像－1，－2，－3等这样的数叫作负整数； 正分数：像，0.24等这样的数叫作正分数； 负分数：像－，－3.56等这样的数叫作负分数； 整数：正整数、0、负整数统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数； 有理数：整数和分数统称为有理数。 例1．（24-25七年级上·江苏常州·期中）下列说法正确的是（   ） A．正整数和负整数统称为整数 B．零表示不存在，所以零不是有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．整数和分数统称为有理数 例2．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下列7个数：、、、0、、（每两个1之间依次多一个4），，其中有理数有（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 例3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）将下列各数的序号填入相应的集合中：①，②0，③，④，⑤，⑥3.01，⑦，⑧，⑨，⑩． 有理数集合：{                  …}；负有理数集合：{                     …}； 非正分数集合：{                  …}；非负整数集合：{                     …}． 变式1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）在      中，有理数共有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 变式2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）在下列数中：0，，，，3.14，，负分数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式3．（24-25七年级上·江苏南通·期末）下列各数中，属于正整数的是（    ） A．0 B． C． D．2 变式4．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 整数集合______________…；正分数集合______________…；非正数集合______________…． 题型9、有理数中的新定义集合 【解题技巧】所谓新定义问题，就是在题目中给出一个从未接触过的新概念，要求我们通过认真阅读，现学现用，是近年来中考数学的新亮点、新题型，解决此类问题步骤如下：1）读懂题意（最关键）；2）根据新定义进行运算、推理、迁移。 例1．（2024·浙江·七年级校考阶段练习）我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数． (1)对于是不是有理数呢？我们不妨设，则，即，故，即，解得，由此得：无限循环小数 　 　有理数（填“是”或“不是”）； (2)请仿照（1）的做法，将写成分数的形式（写出过程）； (3)在中，属于非负有理数的是 　 　． 变式1．（2024七年级上·浙江·专题练习）阅读以下材料：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．例如0.666…的循环节是“6”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如0.1333…、0.2456456456…的循环节是“3”“456”，它们可以写作、，像这样的循环小数称为混循环小数． 阅读材料回答下列问题：（1）是 循环小数（填“纯”或“混”）；（2）的循环节是 ． 变式2．（24-25七年级上·山东日照·期末）如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视．在验光时，验光师经常以“××D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”等，通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼睛进行视力矫正．下列是4位同学的验光记录，需要持续佩戴眼镜的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·山东临沂·期中）小明同学的微信钱包部分账单明细如图所示，表示收入元，下列说法正确的是（   ） A．表示收入元 B．表示支出元 C．表示支出元 D．收支总和为元滴滴出行 2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）关于“0”的说法中不正确的是（   ） A．0是最小的自然数 B．0是非负数 C．0是正数也是有理数 D．0既不是正数，也不是负数 3．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）从踏入学校的那一刻起，我们就认识和使用数学，为了表示物体的个数或者顺序，产生了整数1、2、3…；为了表示“没有”引入了数0；为了表示具有相反意义的量，我们又引进了（    ） A．分数 B．有理数 C．负数 D．自然数 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）在，，中，有理数共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 5．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）下列各数：，，，0，，，11，其中负分数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在数，，，，2023，，，0，中，负整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）在有理数，0，，，，中，非负数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 8．（24-25七年级上·江苏常州·期中）四个数，0，3，2，其中负数是（　　） A． B．0 C．3 D．2 9．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）面粉包装袋上有的标识，则下面几袋面粉重量不合格的是（  ） A． B． C． D． 10．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）某地的国际标准时间是指该地与格林尼治的时差，以下同一时刻4个城市的国际标准时间（“＋”表示当地时间比格林尼治时间早，“－”表示当地时间比格林尼治时间晚）：则这四个城市中最先进入2024年的城市是（    ） 城市 东京 北京 多伦多 纽约 国际标准时间 A．东京 B．北京 C．多伦多 D．纽约 11．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列说法正确的是（    ） A．是负分数 B．是负数，但不是整数 C．0是正数 D．是分数但不是正数 12．（23-24七年级上·云南德宏·期末）一袋糖果包装上印有“总质量克”的字样，小红拿去称了一下，发现质量为498克，则该糖果厂家 （填“有”或“没有”）欺诈行为． 13．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）把下列各数分别填在相应的集合内： ，，，，，，，， 正分数集合：{                   }； 负数集合：{                   }； 整数集合：{                   }； 自然数集合：{                   }； 非正整数集合：{                   }． 14．（2024七年级上·江苏·专题练习）将下列各数填入适当的括号内： π，5，，，，，，，，0， 正数集合：{                                 …} 负数集合：{                                 …} 整数集合：{                                 …} 分数集合：{                                 …} 正整数集合：{                                 …} 负整数集合：{                                 …} 非负数集合：{                                 …}． 1．（24-25七年级上·江苏·专题练习）有一组数为：，，…找规律得到第7个数是（　　） A． B． C． D．7 2．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）下列说法正确的是（   ） ①在和之间没有正数；②在0与之间没有负数；③在和之间有很多个正分数；④在和之间没有正分数． A．③ B．④ C．①②③ D．③④ 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）祖冲之，中国南北朝时期著名的数学家、天文学家．他是世界上将圆周率精确到小数点后第七位的第一人，这一研究发现比西方早了1100多年，他将圆周率的分数近似值称为密率，称为约率．请判断：约率是（   ） A．有理数 B．整数 C．有限小数 D．无限不循环小数 4．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）《夏阳候算经》说：“满六以上，五在上方．六不积算，五不单张．”意思就是说，在用算筹计数时，1~5分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6~9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示，我国是世界上最早使用负数的国家，在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法． 如： “”表示+238，则“”表示． 那么，“”表示的数是 ． 5．（24-25七年级上·山西朔州·期中）如图是一个转盘型密码锁，每次开锁时需要把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转转盘三次．例如，按逆时针方向旋转3个小格记为“”，此时，标记线对准的数是3，再顺时针方向旋转10个小格记为“”，此时，标记线对准的数是33，再逆时针方向旋转17个小格记为“”，此时，标记线对准的数是10，锁就打开，那么开锁密码就可以记为“，，”．如果一组开锁密码为“，，”，那么锁打开时标记线对准的刻度线表示的数是 ． 6．（23-24七年级上·江苏扬州·开学考试）某袋装食品，标准净重为，把食品净重记作．如果有5袋食品的净重分别记作、、、和，那么这5袋食品中最轻的那袋实际净重 ，这5袋食品平均净重 ． 7．（24-25七年级上·浙江台州·期末）现在桌子上放着6枚一元硬币，全部正面朝上．做这样一个翻硬币游戏：每次翻转其中的4枚，最后把它们全部翻成反面朝上，则需要进行翻转的最少次数为 次． 8．（23-24七年级上·海南海口·期中）(1)把下列各数分别填入表示它所在的数集图里： ，，0，，，，，， (2)图中A区表示 数集，B区表示 数集． 9.（24-25·江阴市·七年级期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合． （1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？ （2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）． （3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合． 10．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图1，一只甲虫在的方格（每一格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负．例如：从A到B记为：；从C到D记为：其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向]． (1)填空：（___，____）；（___，____）； (2)若甲虫的行走路线为：，请计算甲虫走过的路程． (3)若这只甲虫去Q处的行走路线依次为：，请依次在图2上标出点M、N、Q的位置． 【有理数历史起源】有理数的英文是“rational number”，“rational”最常用的意思是：理性的，合乎道理的。但在《RANDOM HOUSE》（兰登辞典）中，“rational”还有另外的意思：比，“rational number”是指“可以精确地表示为两个整数之比的数”。我们2024版教材中也有类似表示：整数和分数统称有理数。分数当然是两个整数的比，整数同样也可以看成两个整数之比。 有理数这一概念最早源自西方《几何原本》，明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》，前6卷时的底本是拉丁文，他们将这个词的拉丁文( 即“logos”) 译为“理”，这个“理”在文言文中的意思是“比值”。 明末时期日本落后于我们，常常派使者来我国，这个有理数的概念也被他们拿走了，但是当时的日本学者对我国的文言文理解不够，直接将在文言文中表示“比值”的“理”直译成了“道理”的“理”，没文化真坑人呀！ 直到清朝中期我国对有理数的翻译并没有错，可是到了清末，那时候中国落后于日本，于是清朝派留学生去日本，居然又将此名词重新传回中国，并且一直沿用至今。以至于现在中日两国都用“有理数”和“无理数”这一错误的说法。所以说现在对“有理数”名称的理解的疑惑是历史原因造成的。 数学家项武义曾倡议将有理数改名为“比数”或者“可比数”，但无奈这一改名工作量实在太大，所以一直没有成行。如果数学中能说明这一名称的背景，那么学生就不会对这一名称产生疑惑了。 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02. 正数与负数 预习目标……………………………………………………………………………………………………………..1 新课轻松学…………………………………………………………………………………………………………..2 新知速通……………………………………………………………………………………………………………..3 题型探究……………………………………………………………………………………………………………..3 题型1、正数、负数、零的概念辨析 4 题型2、正数、负数的分类 5 题型3、正负数表示相反意义的量 6 题型4、正负数的应用1-时差（时间）、温差的相关运算 7 题型5、正负数的应用2-用正负数表示允许偏差 8 题型6、正负数的应用3-基准量的相关计算 9 题型7、有理数的相关概念辨析 10 题型8、有理数的分类 10 题型9、有理数中的新定义集合 12 基础通关 15 拓展提优 19 1.通过生活实例认识正数和负数； 2.认识0的特殊性； 3.会用正负数表示相反意义的量； 4.会用正负数表示允许偏差及相关运算； 5.知道有理数的定义；会判断一个数是否为有理数；会对有理数进行分类； 6.本节内容主要培养学生的符号意识、应用意识、创新意识等。 图1 图2 【思考1】请同学们分组讨论，图1中的“+”，“-”是什么意思？ 【思考2】请同学们分组讨论，图2中的“±”是什么意思？ 【思考3】请同学们分组讨论，0除了可以表示没有，还可以表示些什么呢？ 【思考4】截至到目前我们已经学习过那些数？有限小数和循环小数能否写成分数形式呢？ 【课外阅读】 负数的历史可以追溯到古代中国。据史料记载，早在两千多年前，中国就有了正负数的概念，并掌握了正负数的运算法则。在著名的中国古代数学著作《九章算术》中，首次正式引入了负数及其加减运算法则，并给出了名为“正负术”的算法。三国时期的学者刘徽在建立负数的概念上有重大贡献，他首先给出了正负数的定义，还规定了区分正负数的方法，即使用不同颜色的算筹来表示正数和负数。 负数在国外得到认识和被承认，较之中国要晚得多。印度最早使用负数的是婆罗摩笈多，他在公元628年完成的《婆罗摩修正体系》中给出了正负数的四则运算法则。 然而，在欧洲，由于负数难以被很快赋予现实意义，所以当时许多欧洲人都抵制负数的引入，让负数在欧洲的接受过程变得“寸步难行”。直到公元1545年，意大利数学家卡当写下了一本关于负数概念的《大法》，负数才正式开始在欧洲流传开来。到了公元1637年，法国数学家笛卡尔在几何学中沿用了负数的概念，使得负数能够直观全面地被解释开来。总的来说，负数是人类在数学领域的一项重要发明，它的出现极大地丰富了数学语言，使得人们能够更准确地描述和解决实际问题。 1.正数与负数 1）正数：像8 848.86，4，+40 000，1.7，这样大于的数叫做正数，正数都大于。 2）负数：像-80.97，-6，-10 000，-0.6这样的数叫做负数，负数都小于。 3）符号：一个数前面的“”，“”号叫做它的符号。“”读作“正”，如：“”读作“正三分之二”。“”读作“负”，如：“-80.97”读作“负八十点九七”。 注意： 1）正数前面的“”号可以省略，注意与表示是同一个正数；负数前面的“” 号不可省略。 2）不能简单的根据符号来判断正负，而需要根据正负数的定义判别。如：不一定表示负数，若为正数，则表示负数；若为负数，则表示正数；若为0，则表示0。 2.“0”的特殊性 1）0既不是正数，也不是负数；2）0是正数与负数的分界；3）0是自然数； 4）0的意义：0有时表示没有，比如文具盒中有0支铅笔，表示没有铅笔；0有时是一个数，比如是一个确定的温度；0有时也作为基准，比如海拔高度为0m表示的是海平面的平均高度。 3.有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 其中：正整数和零称为自然数。 2）分数：有限小数和循环小数可化为分数，所以它们也是分数。分数也可按正负分类：即正分数、负分数。 3）有理数：整式和分数统称为有理数。 4.有理数的两种分类 5.常用数学概念的含义 1）正整数：既是正数，又是整数 2）负整数：既是负数，又是整数 3）正分数：既是正数，又是分数 4）负分数：既是负数，又是分数 5）非正数：负数和0 6）非负数：正数和0 7）非正整数：负整数和0 8）非负整数：正整数和0 题型1、正数、负数、零的概念辨析 【解题技巧】熟悉正负数的相关概念，特别注意是0的特殊性。 例1．（2024七年级上·浙江·专题练习）下列说法中正确的是（　　） A．不带“”的数都是正数 B．不存在既不是正数，也不是负数的数 C．如果a是正数，那么一定是负数 D．一个数不是正数就是负数 【答案】C 【详解】A．正数是大于0的数，与带不带“”无关，故这种说法不正确； B．0既不是正数，也不是负数，故这种说法不正确； C． a是正数，那么表示a的相反数，一定是负数，正确； D．一个数可以为正数，也可以为0，也可以是负数，故这种说法不正确．故选：C 例2．（24-25七年级上·湖南湘西·期中）下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确； ②0除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误； ③0可以表示特定的意义，如，故③正确；④0既不是正数，也不是负数，故④错误， 综上所述：正确的有①③，共2个，故选：B． 变式1．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）0的发现被称为人类伟大的发现之一．0在我国古代叫做金元数字，意思是极为珍贵的数字，下列关于0在生活中的应用的说法，错误的是（   ） A．是一个确定的温度 B．海拔表示没有海拔 C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻 D．在二进制中，0是基本的数字表示 【答案】B 【详解】A．是一个确定的温度，本选项说法正确，不符合题意； B．海拔表示与海平面一样的高度‌，原选项说法错误，符合题意； C．24小时时制中，0点表示一天的开始时刻，本选项说法正确，不符合题意； D．在二进制中，0是基本的数字表示，本选项说法正确，不符合题意；故选：B． 变式2．（24-25七年级上·福建南平·阶段练习）下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【答案】A 【详解】解：0既不是正数也不是负数，是整数。故选：A． 变式3．（2024·河南开封·二模）北京冬季里某一天的气温为，的含义是 . 【答案】零下 【分析】本题考查了负数的定义，根据温度的定义，联系生活，想想我们看过的天气预报，从而想到含义． 【详解】解：含义是零下．故答案为：零下． 题型2、正数、负数的分类 【解题技巧】大于0的数叫做正数，在正数前面加负号“﹣”，叫做负数，一个数前面的“+”、“﹣”号叫做它的符号。0既不是正数也不是负数。0是正负数的分界点，正数是大于0的数，负数是小于0的数． 例1．（24-25七年级上·黑龙江绥化·阶段练习）在，，，，，这些数中，正数有( )，负数有( )，( )既不是正数也不是负数． 【答案】 ，， ， 0 【详解】解：在，，，，，这些数中， 正数有，，；负数有，；0既不是正数也不是负数． 故答案为：，，；，；0． 变式1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）在，，，中，负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：在，，，中，负数是，，共有个，故选：C． 变式2．（23-24七年级上·江苏徐州·期中）在五个数中，正数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：在五个数中，正数有，5共2个．故选：B． 变式3．（24-25七年级上·浙江金华·阶段练习）算筹是中国古代的一种计数法，摆法有纵式和横式两种，个位为纵，十位为横，百位为纵，千位为横，，纵横依次交替，零以空格表示，在个位数上画上斜线表示负数，则“”所表示的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意得：“”所表示的数是，故选：． 题型3、正负数表示相反意义的量 【解题技巧】一般地，对于具有相反意义的量，我们可以把其中一种意义的量规定为正的，并用正数来表示，把与它意义相反的量规定为负的，并用负数来表示。 例1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）中国是最早采用正负数来表示相反意义的量的国家，如果盈利60元，记作“元”，那么亏损10元，记作（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】A 【详解】解：盈利60元，记作“元”，那么亏损10元，记作“元”，故选：A． 变式1．（23-24七年级上·江苏常州·期中）我国古代数学名著《九章算术》中已经用正负数来表示相反意义的量．若将钟表的分针顺时针旋转一周记作“”，则分针逆时针旋转一周半可记作（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：若将钟表的分针顺时针旋转一周记作“”，则分针逆时针旋转一周半可记作，故选：B． 变式2．（24-25七年级上·江苏南通·期末）在足球比赛中，如果甲队进球3个，记作，那么甲队失2个球，记作（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】解：如果甲队进球3个，记作，那么甲队失2个球，记作，故选：B． 题型4、正负数的应用1-时差（时间）、温差的相关运算 【解题技巧】对于两个具有相反意义的量，究竟哪个为正，哪个为负，并不是固定的，而是人们在实际生活和生产中根据情况规定的。 在地理计算中，在通常将某一城市的时间定为标准时间0，比它早的时间用正数表示，比它晚的时间用负数表示。例如：纽约比北京时间晚13小时，如果将北京时间定位标准时间，因此纽约的时差为-13小时。 温差是指某一地点最高温度与最低温度的差值。通常将零摄氏度作为温度的基准，零上的温度规定为正数，零下的温度规定为负数。例如：某地气温记录为-3℃至7℃，温差为10℃。 例1．（24-25七年级上·山西吕梁·期末）第33届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎举行，下表是几个城市与北京的时差（两个地区地方时之间的差别）：（带“”号的数表示同一时刻该地区时间比北京时间早的小时数） 城市 纽约 伦敦 巴黎 首尔 时差 奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分，对应下列城市的时间是（   ）． A．伦敦时间7月26日18时30分 B．北京时间7月27日3时30分 C．纽约时间7月26日14时30分 D．首尔时间7月27日5时30分 【答案】A 【详解】解：奥运会开幕式的时间是巴黎时间7月26日19时30分， 因为，巴黎与北京的时差为， 所以，北京时间为7月26日19时30分小时，即7月27日2时30分，B选项错误； 因为，伦敦与北京的时差为， 所以，伦敦时间为7月27日2时30分小时，即7月26日18时30分，A选项正确； 因为，纽约与北京的时差为， 所以，纽约时间为7月27日2时30分小时，即7月26日13时30分，C选项错误； 因为，首尔与北京的时差为， 所以，首尔时间为7月27日2时30分小时，即7月27日3时30分，D选项错误；故选：A． 变式1．（2024·湖北十堰·七年级统考期末）如图是丹江口市2024年12月7日气象预报截图，预报显示当天最高气温6℃，最低气温-4℃，这一天我市的温差是______℃． 【答案】10 【详解】∵当天最高气温6℃，最低气温-4℃，∴这一天我市的温差是10（℃），故答案为:10． 变式2．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段练习）纽约、悉尼与北京的时差如下表（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数）： 城市 悉尼 纽约 时差/时 当北京10月9日23时，悉尼、纽约的时间分别是（    ） A．10月10日1时；10月9日10时 B．10月10日1时；10月8日10时 C．10月9日21时；10月9日10时 D．10月9日21时；10月10日12时 【答案】A 【详解】解：悉尼的时间：10月9日23时小时10月10日1时； 纽约的时间：10月9日23时小时10月9日10时．故选A． 题型5、正负数的应用2-用正负数表示允许偏差 【解题技巧】M±n的意义：最大值M+n，最小值：M-n。（注意M和n均为非负数）。 例1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）一种大米的质量标识为“千克”，则下列大米质量合格的是（   ） A．24.50千克 B．25.40千克 C．25.71千克 D．24.80千克 【答案】D 【详解】解：，，质量合格的取值范围是， 各选项中只有24.80千克是质量合格．故选：D． 变式1．（23-24七年级上·江苏连云港·期中）如图是加工零件的尺寸要求，现有下列直径尺寸的产品（单位，其中不合格的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴零件的直径的合格范围是：零件的直径， ∵不在该范围之内，∴不合格的是B，故选：B． 变式2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）某种零件，标明要求是（表示直径：单位：毫米），经检查，一个零部件的直径为是，该零件 （填“合格”或“不合格”）． 【答案】不合格 【详解】解：由题意可得合格零件的范围为， 则直径为的零件不合格，故答案为：不合格． 题型6、正负数的应用3-基准量的相关计算 【解题技巧】如果把两个具有相反意义的量中的一个规定为正，那么另一个就必须规定为负，决不能把两个具有相反意义的量同时规定为正的，或者同时规定为负的。在实际生活和生产中，人们习惯把上升几米，零上几摄氏度，前进几米，收入多少元，盈利多少元，高于海平面多少千米等规定为正的，而把与这些量具有相反意义的量：下降几米，零下几摄氏度，后退几米，支出多少元，亏损多少元，低于海平面多少千米等规定为负的。 例1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）某项科学研究，以1小时为1个时间单位，并记每天上午为0，以前记为负，以后记为正，如上午记为，上午记为等．以此类推，上午应记作 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，以上午为0，向前每1小时为一个“”， ∵上午与相隔4小时，∴上午应记为：，故选：B． 变式1．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）在体育课的跳远比赛中，以4.00米为标准，若小东跳出了4.22米，可记做，那么小东跳出了3.85米，记作（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：以4.00米为标准，跳出4.22米，记做，那么跳出3.85米，记作，故选：A． 变式2．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）某项科学研究，以25分钟为一个时间单位，并记每天上午8时为0，8时以前记为负，8时以后记为正．例如：记为，记为1等等，以此类推，上午应记为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得，以上午8时为0，向前每25分钟为一个“”， ∵上午与8时相隔175分钟，，∴上午应记为：，故答案为：． 题型7、有理数的相关概念辨析 【解题技巧】正整数、零和负整数统称整数；正分数和负分数统称分数；整数和分数统称有理数。 例1．（24-25七年级上·山东聊城·期末）在（每两个3之间依次增加一个2）中，有理数的个数有（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】解：是有理数，有6个．故选B． 例2．（24-25七年级上·广东肇庆·期中）下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：①可以写成分数形式的数称为有理数，故①正确； ②有理数不是正数就是负数或，故②不正确；③非负数就是正数和0，故③正确； ④没有最小的整数，故④不正确．正确的有①③；故选：C． 变式1．（24-25七年级上·天津·阶段练习）对于，下列说法不正确的是（   ） A．是非正数 B．是分数 C．是有理数 D．是非负整数 【答案】D 【详解】解：A、，非正数是指0和负数，故说法正确，不符合题意； B、是无限循环小数，是分数，故说法正确，不符合题意； C、是无限循环小数，是有理数，故说法正确，不符合题意； D、非负整数是指0和正整数，则不是非负整数，故说法错误，符合题意．故选：D． 变式2．（24-25七年级上·重庆·期末）在、、0、、2、3、4中，非负整数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解：∵非负整数有：0，2、3、4，∴共有4个，故选：C． 变式3．（24-25七年级上·辽宁阜新·期末）下列说法正确的是（    ） A．正整数和负整数统称为整数 B．整数和分数统称为有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．零表示不存在，所以零不是有理数 【答案】B 【详解】解：、正整数、、负整数统称为整数，该选项说法错误，不合题意； 、整数和分数统称为有理数，该选项说法正确，符合题意； 、非负有理数就是和正有理数，该选项说法错误，不合题意； 、零是有理数，该选项说法错误，不合题意；故选：． 题型8、有理数的分类 【解题技巧】 正整数：像1，2，3，4等这样的数叫作正整数；负整数：像－1，－2，－3等这样的数叫作负整数； 正分数：像，0.24等这样的数叫作正分数； 负分数：像－，－3.56等这样的数叫作负分数； 整数：正整数、0、负整数统称为整数； 分数：正分数、负分数统称为分数； 有理数：整数和分数统称为有理数。 例1．（24-25七年级上·江苏常州·期中）下列说法正确的是（   ） A．正整数和负整数统称为整数 B．零表示不存在，所以零不是有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．整数和分数统称为有理数 【答案】D 【详解】解：因为正整数，0，负整数统称为整数，所以A不正确； 因为0是有理数，所以B不正确； 因为非负有理数就是正有理数和0，所以C不正确； 因为整数和分数统称为有理数，所以D正确．故选：D． 例2．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）下列7个数：、、、0、、（每两个1之间依次多一个4），，其中有理数有（    ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】解：在、、、0、、（每两个1之间依次多一个4），中， 、、0、都是有理数，共4个．故选：B． 例3．（24-25七年级上·江苏宿迁·阶段练习）将下列各数的序号填入相应的集合中：①，②0，③，④，⑤，⑥3.01，⑦，⑧，⑨，⑩． 有理数集合：{                  …}；负有理数集合：{                     …}； 非正分数集合：{                  …}；非负整数集合：{                     …}． 【答案】①②③④⑤⑥⑦⑨；①④⑤；④⑤；②⑦ 【详解】解：有理数集合：{①②③④⑤⑥⑦⑨…}；负有理数集合：{①④⑤…}； 非正分数集合：{④⑤…}；非负整数集合：{②⑦…}． 变式1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）在      中，有理数共有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：是负分数，属于有理数，是有限小数，属于有理数， 是无限不循环小数，不属于有理数，综上，有理数共有2个，故选：C． 变式2．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）在下列数中：0，，，，3.14，，负分数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解： ∵， 在0，，，，3.14，中，负有理数有，，共2个，故选：B． 变式3．（24-25七年级上·江苏南通·期末）下列各数中，属于正整数的是（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】D 【详解】解∶A．0既不是负整数也不是正整数是整数，故该选项不符合题意； B．是负整数，故该选项不符合题意；C．是小数，故该选项不符合题意； D．2是正整数，故该选项符合题意；故选∶D． 变式4．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）把下列各数的序号分别填入相应的集合内：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，⑧，⑨． 整数集合______________…；正分数集合______________…；非正数集合______________…． 【答案】①④⑧；②⑤⑥⑨；①③④⑦ 【详解】负整数；3.5是小数也是分数；是负数，也是小数；0是整数；是分数；0.03是小数也是分数；是带分数，也是负数；10是正整数，是循环小数，也是有理数；即有： 整数集合：{①④⑧}；正分数集合：{②⑤⑥⑨}；非正数集合：{①③④⑦}； 故答案为：①④⑧；②⑤⑥⑨；①③④⑦ 题型9、有理数中的新定义集合 【解题技巧】所谓新定义问题，就是在题目中给出一个从未接触过的新概念，要求我们通过认真阅读，现学现用，是近年来中考数学的新亮点、新题型，解决此类问题步骤如下：1）读懂题意（最关键）；2）根据新定义进行运算、推理、迁移。 例1．（2024·浙江·七年级校考阶段练习）我们把整数和分数统称为“有理数”，那为什么叫有理数呢？有理数在英语中是“rationalnumber”，而“rational”通常的意思是“理性的”，中国近代译著者在翻译时参考了这种方法，而“rational”这个词的词根“ratio”源于古希腊，是“比率”的意思，这个词的意思就是整数的“比”，所谓有理数，就是可以写成两个整数之比的形式的数． (1)对于是不是有理数呢？我们不妨设，则，即，故，即，解得，由此得：无限循环小数 　 　有理数（填“是”或“不是”）； (2)请仿照（1）的做法，将写成分数的形式（写出过程）； (3)在中，属于非负有理数的是 　 　． 【答案】(1)是(2)(3)，0，，16.2 【详解】（1）由解题过程可知，无限循环小数是有理数，故答案为：是； （2）设，则，即，故，即，解得，即； （3）在中，属于非负有理数的是，0，，，故答案：，0，，． 变式1．（2024七年级上·浙江·专题练习）阅读以下材料：如果一个无限小数的各数位上的数字，从小数部分的某一位起，按一定顺序不断重复出现，那么这样的小数叫做无限循环小数，简称循环小数，其中重复出现的一个或几个数字叫做它的一个循环节．例如0.666…的循环节是“6”，它可以写作，像这样的循环小数称为纯循环小数．又如0.1333…、0.2456456456…的循环节是“3”“456”，它们可以写作、，像这样的循环小数称为混循环小数． 阅读材料回答下列问题：（1）是 循环小数（填“纯”或“混”）；（2）的循环节是 ． 【答案】 纯 24 【详解】解：（1）由纯循环小数和混循环小数的概念可知：是纯循环小数，故答案是：纯； （2）的循环节是24，故答案为：24． 变式2．（24-25七年级上·山东日照·期末）如果平时不注意爱护眼睛，就有可能形成近视．在验光时，验光师经常以“××D”的方式记录近视程度，例如，将近视50度记录为“”，近视100度记录为“”等，通常近视超过200度时就需要持续佩戴眼睛进行视力矫正．下列是4位同学的验光记录，需要持续佩戴眼镜的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵表示近视50度，表示近视125度， 表示近视250度，表示近视75度，∴需要持续配戴眼镜的是．故选：C． 1．（24-25七年级上·山东临沂·期中）小明同学的微信钱包部分账单明细如图所示，表示收入元，下列说法正确的是（   ） A．表示收入元 B．表示支出元 C．表示支出元 D．收支总和为元滴滴出行 【答案】C 【详解】解：∵表示收入元，“收入”用正数表示， ∴“支出”就用负数表示，∴表示支出元，故选：C． 2．（23-24七年级上·江苏盐城·阶段练习）关于“0”的说法中不正确的是（   ） A．0是最小的自然数 B．0是非负数 C．0是正数也是有理数 D．0既不是正数，也不是负数 【答案】C 【详解】解：A、0是最小的自然数，原说法正确，不符合题意； B、0是非负数，原说法正确，不符合题意；C、0不是正数，但是有理数，原说法错误，符合题意； D、0既不是正数，也不是负数，原说法正确，不符合题意；故选C． 3．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）从踏入学校的那一刻起，我们就认识和使用数学，为了表示物体的个数或者顺序，产生了整数1、2、3…；为了表示“没有”引入了数0；为了表示具有相反意义的量，我们又引进了（    ） A．分数 B．有理数 C．负数 D．自然数 【答案】C 【详解】解：为了表示具有相反意义的量，我们又引进了负数，故选：C． 4．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）在，，中，有理数共有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：是分数，是有理数，符合题意；是小数，是有理数，符合题意； 不是有理数，不符合题意；共有个，故选：． 5．（24-25七年级上·江苏·阶段练习）下列各数：，，，0，，，11，其中负分数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：，，，0，，，11中，负分数有，，有2个．故选：B． 6．（23-24七年级上·浙江金华·阶段练习）在数，，，，2023，，，0，中，负整数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【详解】解：，，因此负整数有，，共3个，故选：B． 7．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）在有理数，0，，，，中，非负数的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】解：非负数有0，，，共3个，故选：B． 8．（24-25七年级上·江苏常州·期中）四个数，0，3，2，其中负数是（　　） A． B．0 C．3 D．2 【答案】A 【详解】解：，是负数，故A选项符合题意；0既不是正数，也不是负数，故B选项不符合题意； ，是正数，故C选项不符合题意；，是正数，故D选项不符合题意；故选：A． 9．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）面粉包装袋上有的标识，则下面几袋面粉重量不合格的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：，， 质量合格的取值范围是：，所以，四个选项中只有不合格．故选：B． 10．（23-24七年级上·江苏宿迁·期中）某地的国际标准时间是指该地与格林尼治的时差，以下同一时刻4个城市的国际标准时间（“＋”表示当地时间比格林尼治时间早，“－”表示当地时间比格林尼治时间晚）：则这四个城市中最先进入2024年的城市是（    ） 城市 东京 北京 多伦多 纽约 国际标准时间 A．东京 B．北京 C．多伦多 D．纽约 【答案】A 【详解】根据正负数的意义，“”表示当地时间比格林尼治时间早，“”表示当地时间比格林尼治时间晚，，这四个城市中最先进入2024年的城市是东京，故选：A． 11．（24-25七年级上·河南驻马店·期中）下列说法正确的是（    ） A．是负分数 B．是负数，但不是整数 C．0是正数 D．是分数但不是正数 【答案】A 【详解】解：A、是负分数，原说法正确，故此选项符合题意； B、是负数，也是整数，原说法错误，故此选项不符合题意； C、0不是正数，原说法错误，故此选项不符合题意； D、是分数，也是正数，原说法错误，故此选项不符合题意；故选：A． 12．（23-24七年级上·云南德宏·期末）一袋糖果包装上印有“总质量克”的字样，小红拿去称了一下，发现质量为498克，则该糖果厂家 （填“有”或“没有”）欺诈行为． 【答案】没有 【详解】解：∵总质量克，∴食品在克，即食品在克与克之间都合格， 而产品为克，在范围内，故合格，∴厂家没有欺诈行为．故答案为：没有． 13．（24-25七年级上·江苏苏州·阶段练习）把下列各数分别填在相应的集合内： ，，，，，，，， 正分数集合：{                   }； 负数集合：{                   }； 整数集合：{                   }； 自然数集合：{                   }； 非正整数集合：{                   }． 【答案】见解析 【详解】解：正分数集合：{，，，，……}；负数集合：{，，，……}； 整数集合：{，，，……}；自然数集合：{，0，……}；非正整数集合：{，0，……}． 14．（2024七年级上·江苏·专题练习）将下列各数填入适当的括号内： π，5，，，，，，，，0， 正数集合：{                                 …} 负数集合：{                                 …} 整数集合：{                                 …} 分数集合：{                                 …} 正整数集合：{                                 …} 负整数集合：{                                 …} 非负数集合：{                                 …}． 【答案】见解析 【详解】解：正数集合：{π，5，，，19，} 负数集合：{，，，  …} 整数集合：{5，，19，，0．…} 分数集合：{，8.9，，，} 正整数集合：{5，19．…} 负整数集合：{，   …} 非负数集合：{π，5，，8.9，19，，0…} 1．（24-25七年级上·江苏·专题练习）有一组数为：，，…找规律得到第7个数是（　　） A． B． C． D．7 【答案】A 【详解】解：∵第7个数，7是奇数，∴应该是负数，即．故选A． 2．（24-25七年级上·河南驻马店·期末）下列说法正确的是（   ） ①在和之间没有正数；②在0与之间没有负数；③在和之间有很多个正分数；④在和之间没有正分数． A．③ B．④ C．①②③ D．③④ 【答案】A 【详解】解：∵在和之间有正数，例如，∴①不正确， ∵在0与之间有负数，例如，∴②不正确，∵在和之间有很多个正分数，∴③正确， ∵在和之间有正分数，例如，∴④不正确，故选：A． 3．（2024七年级上·浙江·专题练习）祖冲之，中国南北朝时期著名的数学家、天文学家．他是世界上将圆周率精确到小数点后第七位的第一人，这一研究发现比西方早了1100多年，他将圆周率的分数近似值称为密率，称为约率．请判断：约率是（   ） A．有理数 B．整数 C．有限小数 D．无限不循环小数 【答案】A 【详解】解：∵是分数，∴是有理数，故选：A． 4．（24-25七年级上·江苏连云港·阶段练习）《夏阳候算经》说：“满六以上，五在上方．六不积算，五不单张．”意思就是说，在用算筹计数时，1~5分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示，6~9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示，我国是世界上最早使用负数的国家，在《九章算术》中，记载了我国古代在算筹上面斜着放一支算筹表示负数的方法． 如： “”表示+238，则“”表示． 那么，“”表示的数是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意得：“”表示的数是，故答案为：． 5．（24-25七年级上·山西朔州·期中）如图是一个转盘型密码锁，每次开锁时需要把表示“0”的刻度线与固定盘上的标记线对齐，再按顺时针或逆时针方向旋转转盘三次．例如，按逆时针方向旋转3个小格记为“”，此时，标记线对准的数是3，再顺时针方向旋转10个小格记为“”，此时，标记线对准的数是33，再逆时针方向旋转17个小格记为“”，此时，标记线对准的数是10，锁就打开，那么开锁密码就可以记为“，，”．如果一组开锁密码为“，，”，那么锁打开时标记线对准的刻度线表示的数是 ． 【答案】25 【详解】解：∵开锁密码为“，，”， ∴需要先顺时针方向旋转10个小格，此时标记线对准的数是30，再逆时针方向旋转15个小格，此时标记线对准的数是5，然后顺时针方向旋转20个小格，此时标记线对准的数是25， 即锁打开时标记线对准的刻度线表示的数是25．故答案为：25． 6．（23-24七年级上·江苏扬州·开学考试）某袋装食品，标准净重为，把食品净重记作．如果有5袋食品的净重分别记作、、、和，那么这5袋食品中最轻的那袋实际净重 ，这5袋食品平均净重 ． 【答案】 297 301 【详解】解：5袋食品的净重分别记作、、、和，那么这5袋食品中最轻的那袋实际净重，，， 这5袋食品平均净重．故答案为：297，301． 7．（24-25七年级上·浙江台州·期末）现在桌子上放着6枚一元硬币，全部正面朝上．做这样一个翻硬币游戏：每次翻转其中的4枚，最后把它们全部翻成反面朝上，则需要进行翻转的最少次数为 次． 【答案】3 【详解】解：用“正”表示正面朝上，，用“反”表示正面朝下，开始时∶正正正正正正 第一次∶反反反反正正第二次∶反正正正反正第三次∶反反反反反反， 至少翻转3次能使所有硬币都反面朝上，故答案为∶3． 8．（23-24七年级上·海南海口·期中）(1)把下列各数分别填入表示它所在的数集图里： ，，0，，，，，， (2)图中A区表示 数集，B区表示 数集． 【答案】(1)见详解； (2) 正整数，负整数； 【详解】（1）解：由题意可得， （2）解：由（1）可得，A是正整数集，B为负整数集， 故答案为：正整数，负整数． 9.（24-25·江阴市·七年级期中）把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：{1，2，﹣3}，我们称之为集合，其中的数称其为集合的元素．如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数﹣a+10也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为和谐的集合．例如集合{10，0}就是一个和谐集合． （1）请你判断集合{1，2}，{﹣2，1，5，9，12}是不是和谐集合？ （2）请你再写出两个和谐的集合（至少有一个集合含有三个元素）． （3）写出所有和谐的集合中，元素个数最少的集合． 【解答】解：（1）若a＝1，则﹣a+10＝9不在集合{1，2}内，∴{1，2}不是和谐集合． ∵-2+12＝10，1+9＝10，5+5＝10，∴{﹣2，1，5，9，12}是和谐集合． （2）根据和谐集合的定义可知a+10﹣a＝10，只要集合中两个数之和为10即可，∵1+9＝2+8＝3+7＝4+6， ∴{2，5，8}和{1，9，2，8，3，7}是和谐集合． （3）∵5+5＝10，∴要使素个数最少，则集合{5}，满足条件． 10．（23-24七年级上·江苏苏州·阶段练习）如图1，一只甲虫在的方格（每一格边长为1）上沿着网格线运动．它从A处出发去看望B、C、D处的其它甲虫，规定：向上向右为正，向下向左为负．例如：从A到B记为：；从C到D记为：其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向]． (1)填空：（___，____）；（___，____）； (2)若甲虫的行走路线为：，请计算甲虫走过的路程． (3)若这只甲虫去Q处的行走路线依次为：，请依次在图2上标出点M、N、Q的位置． 【答案】(1)(2)16(3)见解析 【详解】（1）根据题意得出：；故答案为：． （2）∵甲虫的行走路线为：，∴甲虫走过的路程为：； （3）如图2所示： 【有理数历史起源】有理数的英文是“rational number”，“rational”最常用的意思是：理性的，合乎道理的。但在《RANDOM HOUSE》（兰登辞典）中，“rational”还有另外的意思：比，“rational number”是指“可以精确地表示为两个整数之比的数”。我们2024版教材中也有类似表示：整数和分数统称有理数。分数当然是两个整数的比，整数同样也可以看成两个整数之比。 有理数这一概念最早源自西方《几何原本》，明末数学家徐光启和学者利玛窦翻译《几何原本》，前6卷时的底本是拉丁文，他们将这个词的拉丁文( 即“logos”) 译为“理”，这个“理”在文言文中的意思是“比值”。 明末时期日本落后于我们，常常派使者来我国，这个有理数的概念也被他们拿走了，但是当时的日本学者对我国的文言文理解不够，直接将在文言文中表示“比值”的“理”直译成了“道理”的“理”，没文化真坑人呀！ 直到清朝中期我国对有理数的翻译并没有错，可是到了清末，那时候中国落后于日本，于是清朝派留学生去日本，居然又将此名词重新传回中国，并且一直沿用至今。以至于现在中日两国都用“有理数”和“无理数”这一错误的说法。所以说现在对“有理数”名称的理解的疑惑是历史原因造成的。 数学家项武义曾倡议将有理数改名为“比数”或者“可比数”，但无奈这一改名工作量实在太大，所以一直没有成行。如果数学中能说明这一名称的背景，那么学生就不会对这一名称产生疑惑了。 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $$