衔接点03 列方程解决实际问题（培优讲义）-2025年小升初数学无忧衔接（通用版）

衔接点03 列方程解决实际问题 小学阶段 初中阶段 【方程类型】主要学习简单的一元一次方程，如 x+5=10 或3x−8=16. 【解题步骤】掌握列方程解决实际问题的一般步骤，包括设未知数、找出等量关系、列方程、解方程、检验和写答语. 【应用题类型】涉及简单的实际问题，如购物问题、行程问题等，通常只有一个未知数，且方程的解法较为直接. 【方程类型】从一元一次方程扩展到二元一次方程组、分式方程和一元二次方程，方程的形式更加复杂. 【解题步骤】学习多种解方程的方法，如代入消元法、加减消元法、公式法等，要求学生能够根据方程的特点选择合适的解法. 【应用题类型】涉及更复杂的实际问题，如工程问题、利润问题、几何问题等，可能需要多个方程联立求解. 衔接指引 【小学阶段基础回顾】 理解方程的概念：方程是含有未知数的等式，如 x+2=5x+2=5. 解简单的一元一次方程：如 x+3=7x+3=7 ， 2x=102x=10. 列方程解决实际问题：如“小明有5个苹果，小红比小明多3个苹果，小红有多少个苹果？”. 【初中阶段的变化与提升】 更复杂的方程类型：一元二次方程、分式方程等. 多步骤的问题解决：需要多个方程或多个步骤才能解决的问题. 抽象思维和逻辑推理：要求更高的抽象思维和逻辑推理能力. 【衔接策略】 巩固基础：确保熟练掌握一元一次方程的解法和应用. 理解方程的本质：方程是描述数量关系的工具，理解等式的基本性质. 逐步增加难度：从简单的问题开始，逐步过渡到更复杂的问题. 培养逻辑思维：通过逻辑推理和问题解决，提高抽象思维能力. 多做练习：通过大量的练习，巩固知识和提高解题技巧. 1．列方程解应用题 （1）列方程解应用题的优点。 先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。 （2）列方程解应用题一般步骤。 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 要点诠释： （1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，它们之间的关系，找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 2．常见的数量关系 1）公式形数量关系 生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。 长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长 2）约定型数量关系 利息问题、利润问题、质量分数问题、比例尺问题、折扣等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。 3）基本数量关系 在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。 单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量 现价÷原价＝折数 3．分析数量关系的常用方法 1）直译法分析数量关系 将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 2）列表分析数量关系 当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 3）图解法分析数量关系 用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。 考点一： 找等量关系与列方程 1．（23-24五年级上·青海海南·期末）根据“18比x的3倍少6”，下面三位同学都列出了方程，正确的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【分析】根据题干可知“18比3x少6”，也就是“3x比18多6”，分析每个选项列式的实际含义，与题干对比即可。 【详解】A．18－3x＝6表示“18比3x多6”，与题干不符； B．3x－6＝18表示“3x减去6就是18”，即“3x比18多6”，与题干相符合； C．3x－18＝6表示“3x比18多6”，与题干相符； 正确的有2个 故答案为：B 2．（2024·河南安阳·小升初真题）根据所给信息，如图图形可以用方程“x＋x＝60”来表示的有（    ）个。 A．3 B．2 C．1 【答案】B 【分析】图形1：圆柱和圆锥等底等高，所以圆锥的体积＝圆柱的体积，圆柱的体积是x立方厘米，圆柱体积＋圆锥体积＝60cm3，可得：x＋x＝60，所以图形可以用方程“”来表示； 图形2：根据三角形面积＝底×高÷2，所以高＝三角形面积×2÷底，已知三角形面积是xcm2，底边长是15cm，则高为：2x÷15＝（cm），可得阴影三角形的面积：5×÷2，两个三角形面积相加等于梯形面积60cm2，x＋5×÷2＝60，化简得：x＋x＝60，所以图形可以用方程“”来表示； 图形3：根据图示可知土地面积是60cm2，种牡丹的面积为土地面积的为xcm2，没种牡丹的面积为xcm2。根据总面积加起来是60平方厘米，列方程为x＋x＝60（cm2），所以图形不可以用方程“”来表示；据此解答。 【详解】根据分析： 图形1：等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，列式为：； 图形2：两个三角形面积相加等于梯形面积60cm2，2x÷15＝（cm），x＋5×÷2＝60，x＋×＝60，x＋x＝60，列式为：； 图形3：种蔬菜的面积是xcm2，空白地方的面积是xcm2，列式为：。 前两幅图图形可以用方程“”来表示。即只有2个图形满足题意。 故答案为：B 3．（2022·北京朝阳·小升初真题） 如果用“x”表示这周产生的可回收垃圾的质量，那么解决“这周产生的可回收垃圾的质量”这个问题，下面所列方程中不正确的是（    ）。 A．1.5x＋2＝20 B．20－1.5x＝2 C．1.5x＝20＋2 D．1.5x＝20－2 【答案】C 【分析】根据题目中的数量关系：这周产生的可回收垃圾的质量×1.5＋2＝上一周产生的可回收垃圾的质量，假设这周产生的可回收垃圾的质量是x千克，上一周产生的可回收垃圾的质量是20千克，代入列出方程，求解即可。 【详解】解：设这周产生的可回收垃圾的质量是x千克。 x×1.5＋2＝20 1.5x＋2＝20 1.5x＝20－2 1.5x＝18 x＝18÷1.5 x＝12 即这周产生的可回收垃圾的质量是12千克。 方程1.5x＋2＝20可变换成：20－1.5x＝2和1.5x＝20－2。 故答案为：C 【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把这周产生的可回收垃圾的质量设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，得到最终的结果。 4．（2024·江苏扬州·小升初真题）数量间的相等关系是列方程的根据，请先填写数量关系式，再列出方程。两艘轮船同时从南京出发，沿长江航道开往武汉。“振兴”号的速度是千米/时，“丰春”号的速度更快，是32千米/时，7.5小时后两船相距30千米。 ( ) ＝ 根据上面的数量关系式列出方程： 。 【答案】 “丰春”号的速度×时间 － “振兴”号的速度×时间 两船相距的路程 32×7.5－7.5＝30 【分析】根据“路程＝速度×时间”可得出：“丰春”号7.5小时行驶了7.5千米，“振兴”号7.5小时行驶了（32×7.5）千米，再用“丰春”号行驶的路程减去“振兴”号行驶的路程，即是7.5小时后两船相距30千米，据此先写出数量关系式，再根据数量关系式列出方程。 【详解】数量关系式：“丰春”号的速度×时间－“振兴”号的速度×时间＝两船相距的路程 根据上面的数量关系式列出方程：32×7.5－7.5＝30。 5．（2024·辽宁沈阳·小升初真题）鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，如果用a表示厘米数，鞋子的码数比厘米数的2倍少10厘米，那么表示码数的式子是 ，小明穿38码的鞋子，他的鞋子厘米数是 厘米。 【答案】 2a－10 24 【分析】根据题意可得出数量关系：鞋子的厘米数×2－a＝鞋子的码数，据此用含字母的式子表示码数； 已知小明穿38码的鞋子，即上一问的式子的值等于38，据此列出方程，根据等式的性质求出方程的解。 【详解】如果用a表示厘米数，鞋子的码数比厘米数的2倍少10厘米，那么表示码数的式子是（2a－10）； 2a－10＝38 解：2a－10＋10＝38＋10 2a＝48 2a÷2＝48÷2 a＝24 小明穿38码的鞋子，他的鞋子厘米数是24厘米。 6．（2024六年级下·江苏·专题练习）下面等量关系中，可以用3－6＝30表示的是（    ）。 A．小芳买了只水笔，每支3元，付给营业员30元，找回6元 B．黑兔有只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只 C．故事书有本，科技书有30本，科技书比故事书多6本 D．书法小组有人，舞蹈小组有30人，舞蹈小组的人数比书法小组人数的3倍少6人 【答案】D 【分析】A．等量关系：买水笔应付的钱数＋找回的钱数＝付给营业员的钱数，由此列出方程； B．等量关系：黑兔的只数－6＝白兔的只数×3，由此列出方程； C．等量关系：科技书的本数－故事书的本数＝科技书比故事书多的本数，由此列出方程； D．等量关系：书法小组人数×3－6＝舞蹈小组的人数，由此列出方程。 【详解】A．列方程为：3＋6＝30，不符合题意； B．列方程为：－6＝30×3，不符合题意； C．列方程为：30－＝6，不符合题意； D．列方程为：3－6＝30，符合题意。 故答案为：D 【找等量关系的方法】 1. 从事情变化的结果找等量关系.（分析事情变化的原因与结果，找出其中的相等关系） 2. 从关键句中找等量关系.（抓住题目中的关键句，理解其中的数量关系） 3. 从常见的数量关系中找等量关系.（利用常见的数量关系，如工作效率 × 工作时间 = 工作总量，单价 × 数量 = 总价等） 4. 从公式中找等量关系.（利用几何图形的面积、周长公式等作为等量关系） 5. 从隐蔽条件中找等量关系.（注意题目中隐藏的条件，如鸡有2条腿，兔有4条腿等） 【总结】 1. 找等量关系是列方程的关键，需要仔细分析题目中的信息，理解数量关系. 2. 列方程是将等量关系转化为数学表达式的过程，需要注意未知数的设定和方程的正确性. 3. 通过多练习，可以提高找等量关系和列方程的能力，从而更好地解决实际问题. 1．（2024·福建莆田·小升初真题）数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”。如图中，图（    ）能正确地表示出“2a＋6”的数量关系。 A．B．C． D． 【答案】B 【分析】A．根据加法的意义，表示的是2＋a＋6＝a＋8； B．根据加法的意义，表示的是a＋a＋6＝2a＋6； C．根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，列式是（6＋a）×2＝2a＋12； D．大长方形的面积＝2个小长方形的面积之和，根据长方形的面积＝长×宽，列式即可。大长方形的面积＝2a＋6a＝8a。据此解答。 【详解】A．表示的是2＋a＋6＝a＋8； B．表示的是a＋a＋6＝2a＋6； C．表示的是（6＋a）×2＝2a＋12； D．表示的是2a＋6a＝8a。 图B能正确地表示出“2a＋6”的数量关系。 故答案为：B。 2．（2020·浙江·小升初真题）合唱团有男生47人，比女生人数的3倍多2人，合唱团的女生有多少人？设合唱团的女生有人，则下面方程中，正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合题意，男生47人，比女生人数的3倍多2人，以女生数为基准量（一倍），女生人数的3倍加2人就等于男生47人。 【详解】解：设女生有人。 故答案为：D 【点睛】找准男生、女生人数的等量关系，是解答本题的关键。本题的等量关系式：女生人数的3倍＋2＝男生的47人。 3．（23-24六年级下·河北沧州·期末）下面图中的数量关系，能用方程＋x＝60的有（    ）个。 A．3 B．2 C．4 D．1 【答案】B 【分析】把60分成4份，其中1份表示x，白色部分占3份，表示为3x，深色部分占1份表示x，据此列出方程为：3x＋x＝60； 设梨树有x棵，把梨树看作单位“1”，已知杨树比梨树多，则梨树的（1＋）＝杨树的棵树，据此列出方程为：（1＋）x＝60，即x＋x＝60； 把60分成8份，其中2份表示x，剩下6份表示3x，据此列出方程为：x＋3x＝60； 等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，将圆柱体积设为xcm3，则圆锥体积为xcm3，两者体积和是60cm3，据此列出方程为：x＋x＝60；据此选择。 【详解】由分析可得：图中的数量关系，能用方程＋x＝60的有2个。 故答案为：B 4．（23-24六年级下·辽宁·课后作业）全民阅读，学习强国。周日，笑笑上午在图书馆阅读1.2小时，下午在图书馆阅读1.5小时。如果笑笑平均每小时阅读m个字，一天一共阅读了4050个字，列出方程是( )。 【答案】（1.2＋1.5）m＝4050 【分析】根据题意可得出等量关系：（笑笑上午的阅读时间＋笑笑下午的阅读时间）×笑笑平均每小时阅读的字数＝笑笑一天阅读的总字数，据此列出方程即可。 【详解】（1.2＋1.5）m＝4050 解：2.7 m＝4050 m＝4050÷2.7 m＝1500 列出方程是（1.2＋1.5）m＝4050。（答案不唯一） 5．（24-25六年级上·北京海淀·期末）星光小学篮球队、足球队和田径队的队员人数之间的关系，如下图所示。 根据图中信息，同学们列出了四个等量关系，其中正确的（    ）。 ①足球队人数篮球队人数②足球队人数田径队人数③篮球队人数田径队人数④篮球队人数田径队人数 A．只有①② B．只有③④ C．只有②③④ D．有①②③④ 【答案】C 【分析】看图可知，将篮球队人数看作单位“1”，足球队人数是篮球队的；将足球队人数看作单位“1”，田径队人数是足球队的，田径队人数是篮球队人数的，根据整体数量×部分对应分率＝部分数量，逐个进行分析。 【详解】①＝，田径队人数是篮球队人数的，足球队人数田径队人数，原等量关系错误； ②足球队人数田径队人数，等量关系正确； ③篮球队人数田径队人数，等量关系正确； ④篮球队人数田径队人数，等量关系正确。 其中正确的只有②③④。 故答案为：C 考点二： 数学文化问题 1．（2024·湖南岳阳·小升初真题）鸡兔同笼是中国古代数学名题之一，在《孙子算经》中有记载。如果鸡兔同笼，上有35个头，下有94只脚，那么鸡有( )只，兔有( )只。 【答案】 23 12 【分析】设鸡有x只，则兔有只，则鸡有2x只脚，兔有4只脚，再根据鸡脚＋兔脚＝94只，列出方程解答即可。 【详解】解：设鸡有x只，则兔有只， 兔：（只） 所以鸡有23只，兔有12只。 2．（2025六年级下·全国·专题练习）《九章算术》是我国古代一部伟大的数学名著，其中描述了这样一道题：一个人用车装米，从甲地运往乙地，装米的车日行25千米，不装米的空车日行35千米，5日往返三次。两地相距 千米。 【答案】/ 【分析】5日往返三次，则往返一次需要5÷3＝（日）。设往返一次装米的车行了x日，则不装米的车行驶了（－x）日。根据题意可得：往返一次装米的车的速度×所用时间＝不装米的车的速度×所用时间，据此可列出方程25x＝35×（－x）。解出方程求出往返一次装米的车所用的时间后，再根据速度×时间＝路程，用25乘所用的时间，即可求出两地相距的路程。 【详解】5÷3＝（日） 解：设往返一次装米的车行了x日。 25x＝35×（－x） 25x＝－35x 25x＋35x＝ 60x＝ 60x×＝× x＝ 25×＝（千米） 则两地相距千米。 【点睛】列方程解答本题比较简单。先求出往返一次所需的时间，再分别用含有字母的式子表示装米和不装米的车所行的路程，从而列方程求出所用时间是解题的关键。 3．（2024六年级下·陕西西安·学业考试）《张丘建算经》卷上第31问中有如下问题：“今有七百人造浮桥，九日成，今增五百人，问日几何？”意思是现在有700人造浮桥，9天能完成，如果增加500人，那么几天能完成？（假设每人每天的工作效率相等） 【答案】5.25天 【分析】假设每人每天的工作效率是1，设x天能完成，根据工作总量＝工作效率×工作时间，工作总量相等，列出方程解答即可。 【详解】解：假设每人每天的工作效率是1，设x天能完成。 答：5.25天能完成。 4．（23-24六年级下·辽宁·课后作业）我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》一书中有这样一道题目：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”译文：“快马每天走240里，慢马每天走150里。慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？” 【答案】20天 【分析】根据题意可得出等量关系：（快马的速度－慢马的速度）×快马行走的天数＝慢马先行的路程，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设快马天可以追上慢马。 （240－150）＝150×12 90＝1800 ＝1800÷90 ＝20 答：快马20天可以追上慢马。 5．（23-24六年级上·辽宁·课后作业）《算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，其中有一首“以碗知僧”，大意是：山上有一古寺叫都来寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗。请问都来寺里有多少个和尚。利用方程知识可以解决这个有趣的问题，我们试一下吧！ 以碗知僧 魏巍古寺在山中，不知寺内几多僧， 三百六十四只碗，恰合用尽不差争， 三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹， 请问先生能算者，都来寺内几多僧。 ——摘自（明）程大位著《算法统宗》 【答案】624个 【分析】根据题意，设都来寺里有个和尚；由“3个和尚合吃一碗饭”可知，一个和尚吃碗饭，则吃饭共用了只碗；由“4个和尚合分一碗汤” 可知，一个和尚喝碗汤，则喝汤共用了只碗； 根据“一共用了364只碗”可得出等量关系：吃饭用碗的数量＋喝汤用碗的数量＝碗的总数，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设都来寺里有个和尚。 ＋＝364 ＋＝364 ＝364 ＝364÷ ＝364× ＝624 答：都来寺里有624个和尚。 【点睛】本题考查列方程解决问题，理解“3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤”的含义，从题目中找出等量关系，根据等量关系列出方程解答。 数学文化类问题主要根据题干中找到等量关系解题即可。 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量－降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 1．（24-25六年级上·山西长治·期中）某调查组仿照《曹冲称象》的故事中所用的方法，称出一头大象重2.53t。在称的过程中，石头不够、又选了一些单人平均体重约为每筐石头的的志愿者上船，一筐石头大约重( )千克。 【答案】172.5 【分析】2.53吨＝2530千克；设一筐石头大约重x千克，12筐石头是12x千克；单人平均体重约为每筐石头的，单人平均体重为x千克，8人体重约为（8×x）千克；12筐石头的重量＋8人的重量＝大象的重量，列方程：12x＋8×x＝2530，解方程，即可解答。 【详解】解：设一筐石头的大约重是x千克。 12x＋8×x＝2530 12x＋x＝2530 x＝2530 x＝2530÷ x＝2530× x＝172.5 一筐石头大约重172.5千克。 2．（22-23五年级下·辽宁·课后作业）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托。如果1托为5尺，那么设竿子长为x尺，依据题意，可列出方程得 。 【答案】（x＋5）÷2＝x－5 【分析】根据题意可知，索比竿子长一托，也就是长5尺，设竿子长为x尺，则索长（x＋5）尺；对折索子来量竿，却比竿子短一托，也就是索子的一半比竿子短5尺，据此可知，（x＋5）÷2＝x－5，据此解出方程即可。 【详解】根据分析可知，设竿子长为x尺，依据题意，可列出方程得（x＋5）÷2＝x－5。 【点睛】本题主要考查了列方程解决问题，找到相应的关系式是解答本题的关键。 3．（2020·北京房山·小升初真题）根据题意列方程，不解答。 我国明代著名数学家程大位的《算法统宗》一书中，记载了一些诗歌形式的算题，其中有一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个， 大小和尚各几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完。试问大、小和尚各多少人？ 【答案】解：设大和尚有x人，根据题意可列方程： 【分析】首先找到题中的等量关系，为大和尚吃馒头数量＋小和尚吃馒头数量＝100。再设大和尚为x人，并用含有x的式子结合题意表示大小和尚分别吃掉的馒头数量，代入等式即可。 【详解】等量关系：大和尚吃馒头数量＋小和尚吃馒头数量＝100。因为设大和尚人数为x人，则小和尚人数为（100－x）人。再依据题中“大和尚1人分3个，小和尚3人分1个”，则大和尚吃馒头总数为3x个，小和尚吃馒头总数为，故列式为。 【点睛】鸡兔同笼问题，既可用假设法来解，也可用方程。用方程来解时，是顺向思维占主导作用。 4．（2024六年级下·全国·专题练习）《九章算术》第七章“盈不足”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。 问：人数、鸡价各几何？ 译释：几人凑钱买鸡，每人出9元，则多11元；每人出6元，则差16元。有几人？鸡的价格是多少元？ 【答案】9人；70元 【分析】根据题意可知，鸡的总价、总人数是不变的，总人数×9元－11元＝总人数×6元＋16元，设一共有x人，列方程为9x－11＝6x＋16，然后解出方程即可。 【详解】解：设一共有x人。 9x－11＝6x＋16 9x－11＋11＝6x＋16＋11 9x＝6x＋27 9x－6x＝6x＋27－6x 3x＝27 3x÷3＝27÷3 x＝9 9×9－11 ＝81－11 ＝70（元） 答：有9人；鸡的价格是70元。 【点睛】本题主要考查了盈亏问题，可用列方程解决问题，找到相应的数量关系式是解答本题的关键。 5．（23-24六年级上·辽宁·课后作业）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关。”大意是：有一个人走了378里路，第一天健步行走，第二天因脚疼，每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地。请计算此人第二天走的路程。(注：里，古代长度单位) 【答案】96里 【分析】根据题意每天行走的路程为前一天的，所以可以设第一天走的路程为，那么第二天走的路程为，第三天走的路程为的是，以此类推，六天行走的路程是378里，根据这一等量关系列方程解答即可。 【详解】1÷2＝　　  ×＝ 　　 ×＝ 　　 ×＝ 　　 ×＝ 解：设此人第一天走了 里路，则第二天走了里路。 192× ＝96（里） 答：此人第二天走了96里。 考点三： 行程问题 1．（2024·四川绵阳·小升初真题）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地。两车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象解决以下问题： （1）慢车的速度为（    ）km/h，快车的速度为（    ）km/h。 （2）求当x为多少时，两车之间的距离为500km？ 【答案】（1）80；120； （2）当x为1.1或6.25时，两车之间的距离为500km。 【分析】（1）设慢车的速度为akm/h，快车的速度为bkm/h，根据，结合题意得：3.6×（a＋b）＝720，（9－3.6）×a＝3.6×b，解方程即可。 （2）两车行驶过程中有2次两车之间的距离是500km，相遇前：（80＋120）x＝720－500，解方程即可；相遇后：点C（6，480），慢车再行驶20km两车之间的距离为500km，计算慢车行驶20km需要的时间，再加上6即可得解。 【详解】（1）解：设慢车的速度为akm/h，快车的速度为bkm/h。 （9－3.6）×a＝3.6×b 把代入关系式3.6×（a＋b）＝720 慢车的速度为80km/h，快车的速度为120km/h。 （2）相遇前：（80＋120）x＝720－500 解： 相遇后：因为点C（6，480），慢车再行驶20千米两车之间的距离为500千米。 20÷80＝0.25（时） x＝6＋0.25＝6.25（时） 答：当x为1.1或6.25时，两车之间的距离为500km。 【点睛】根据题意找出关系式，有两个未知数的，要先替换为一个未知数，解方程；相遇前两车有一次距离500km；相遇后两车又有一次距离500km；还要注意，快车已到乙地，两车距离不到500km，慢车还得再行20km。 2．（24-25五年级上·山东济南·期末）甲、乙两地相距540千米，一辆货车和一辆客车同时从两地相对开出，3小时后两车还相距135千米（未相遇）。已知客车每小时行驶72千米，货车每小时行驶多少千米？（用方程解答） 【答案】63千米 【分析】根据题意可知，设货车每时行千米，则货车速度×时间＋客车速度×时间＋135＝540，据此列出方程求解即可。 【详解】解：设货车每小时行驶x千米。 3×72＋3x＋135＝540 216＋3x＋135＝540 351＋3x＝540 3x＝540－351 3x＝189 x＝189÷3 x＝63 答：货车每小时行驶63千米。 3．（2024·河南郑州·小升初真题）如图，甲、乙两人沿着边长为70米的正方形，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度行走，乙从B以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时，是在正方形的边 （AB、BC、CD或DA）上。 【答案】DA 【分析】设乙第一次追上甲用了x分钟，则有乙行走的路程等于甲行走的路程加上70×3，根据其相等关系列方程得72x＝65x＋70×3，根据，再用甲行走的总路程除以正方形的周长，所得的余数再与AB，AB与BC的和，AB、BC与CD的和比较即可得解。 【详解】解：设乙第一次追上甲用了x分钟。 72x＝65x＋70×3 72x－65x＝65x＋210－65x 7x＝210 7x÷7＝210÷7 x＝30 65×30＝1950（米） （米） 1950÷280＝6（圈）……270（米） AB的距离是70米，AB与BC的和是（米），AB、BC与CD的和是（米） 所以，乙第一次追上甲是在DA边上。 【点睛】根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，求出乙第一次追上甲两人所用的时间，因为两人围绕正方形走了多圈，再按照周期问题找到两人相遇的位置即可。 4．（2024六年级下·四川·专题练习）明明家和学校相距2300米，每天步行上学，有一天他正以每分钟80米的速度前进着，一抬头看见路边的钟表发现要迟到，他马上改用每分钟150米的速度跑步前进，途中共用20分钟，准时到达了学校。明明在离学校多远的地方开始跑步？ 【答案】1500米 【分析】设明明以每分钟80米的速度行了x分钟，则以每分钟150米的速度行了（20－x）分钟。根据每分钟80米的速度所行的路程每分钟150米的速度所行的路程明明家到学校的路程，列方程解答。 【详解】解：设明明以每分钟80米的速度行了x分钟。 7x＝3000－2300 70x÷70＝700÷70 （米 答：明明在离学校1500米远的地方开始跑步。 【解题技巧】行程问题总公式：路程=速度×时间。不同类型问题，在求解速度时有所不同，具体如下： ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间； Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间； Ⅱ．寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 1．（2024·山西运城·小升初真题）甲、乙两地相距840千米，一辆货车和一辆客车分别从甲乙两地同时相向开出，经过6小时相遇。客车每小时比货车快14千米，两车的速度各是多少？（用方程解） 【答案】货车的速度是63千米/时；客车的速度是77千米/时 【分析】已知路程和相遇时间，以及两车速度差，通过设货车速度为x千米/时，利用客车与货车速度关系表示出客车速度；再依据相遇问题“路程＝速度和×相遇时间”这一公式列出方程求解。 【详解】解：设货车速度为x千米/时，则客车速度为（x＋14）千米/时。 （x＋x＋14）×6＝840 （2x＋14）×6＝840 （2x＋14）×6÷6＝840÷6 2x＋14＝140 2x＋14－14＝140－14 2x＝126 2x÷2＝126÷2 x＝63 x＋14＝63＋14＝77 答：货车的速度是63千米/时，客车的速度是77千米/时。 2．（23-24五年级下·辽宁·课后作业）带着小狗的小明和小兵同时从相距1200米的两地相向而行，小明每分行55米，小兵每分行65米，小狗每分跑240米。小明的小狗遇到小兵后立即返回向小明这边跑，遇到小明后再向小兵那边跑……当小明和小兵相遇时，小狗一共跑了多少米？ 【答案】2400米 【分析】根据题意可知，先设小明、小兵x分相遇，结合相遇公式：速度和×相遇时间＝全长，算出他们的相遇时间，再根据速度×时间＝路程这一公式，用相遇时间乘上小狗的速度即可算出答案。 【详解】解：设小明和小兵x分相遇。 （55＋65）x＝1200 120x＝1200 120x÷120＝1200÷120 x＝10 240×10＝2400（米） 答：小狗一共跑了2400米。 3．（2024·四川绵阳·小升初真题）A、B两市相距176千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路。甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的 （1）如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？ （2）如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？ 【答案】（1）甲队：50千米/小时，乙队：30千米/小时 （2）11小时 【分析】（1）设乙队的行进速度是x千米/小时，则甲队的行进速度是（x＋5）千米/小时。从早上7点到9点，经历了2小时，甲开工半小时后乙才到，说明乙走了2.5小时，由于受损公路长1千米，用甲、乙走的路程和＝两市相距的距离再减去受损公路长，据此即可列出方程，再求解即可。 （2）由于从上午9点到下午3点总共经历了6小时，最开始甲队工作0.5小时，完成了总量的，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，用÷0.5求出甲的效率。设乙的效率为y，由于甲队工作了6小时，乙队工作的时间是：6－0.5＝5.5（小时），根据工作效率×工作时间＝工作总量，甲队工作量＋乙队工作量＝1，据此列方程即可求出乙队的效率，再用1除以乙队的效率即可求出时间。 【详解】（1）解：设乙队的行进速度是x千米/小时，则甲队的行进速度是（x＋5）千米/小时。 9：00－7：00＝2（小时） 2小时＋0.5小时＝2.5小时 2×（x＋5）＋2.5x＝176－1 2×x＋2×5＋2.5x＝175 3x＋10＋2.5x＝175 5.5x＝175－10 5.5x＝165 x＝165÷5.5 x＝30 30×＋5 ＝45＋5 ＝50（千米/小时） 答：甲队的行进速度是50千米/小时，乙队的行进速度是30千米/小时。 （1）÷0.5＝÷＝×2＝ 解：设乙的工作效率为y。 ×6＋（6－0.5）y＝1 0.5＋5.5y＝1 5.5y＝1－0.5 5.5y＝0.5 y＝0.5÷5.5 y＝ 1÷＝11（小时） 答：乙队单独疏通这条公路的效率是11小时。 【点睛】本题主要考查工程问题，关键是掌握工程问题的公式以及找准等量关系是解题的关键。 4．（2022·重庆沙坪坝·小升初真题）一辆汽车在A，B两地之间不停地往返行驶，小刚从A去B，每小时4千米，汽车从B去A，途中相遇，30分钟后汽车由A返B追上小刚；再过70分钟后汽车由B返A的途中又与小刚相遇，再过50分钟后汽车由A返B又追上小刚。 （1）求汽车的速度； （2）求A、B两地之间的路程； （3）在前面的条件下，若人、车分别从A、B同时出发，同向行驶，汽车从B到C处后立即返回，回到B后继续朝A行驶，直至与小刚相遇，共用了5小时，求BC之间的路程。 【答案】（1）44千米/小时；（2）40千米；（3）100千米 【分析】（1）通过题意可知，从第①次相遇到第②次相遇，小刚和汽车经过的路程和相当于两个A、B两地的距离，从第①次追及到第②次追及，汽车和小刚经过的路程差也相当于两个两个A、B两地的距离，已知第①次相遇到第②次相遇经过了（30＋70）分钟，也就是小时，第①次追及到第②次追及经过了（70＋50）分钟，也就是2小时，根据速度和×相遇时间＝路程和，速度差×追及时间＝路程差；所以设汽车的速度是x千米/小时，列方程为（x－4）×2＝（x＋4）×，然后解出方程即可求出汽车的速度。 （2）从第①次相遇到第②次相遇，小刚和汽车经过的路程和相当于两个A、B两地的距离，根据速度和×相遇时间＝路程和，用汽车的速度加上小刚的速度的和乘2小时，再除以2即可求出A、B两地之间的路程。 （3）根据题意可知，从出发到相遇小刚和汽车经过的路程和相当于1个AB之间的距离加上2个BC之间的距离，根据速度和×相遇时间＝路程和，用（44＋4）×5即可求出从出发到相遇小刚和汽车经过的路程和，再减去AB之间的距离，即可求出2个BC之间的距离，最后除以2，即可求出BC之间的距离。 【详解】（1）30＋70＝100（分钟） 100分钟＝小时 70＋50＝120（分钟） 120分钟＝2小时 解：设汽车的速度是x千米/小时。 （x－4）×2＝（x＋4）× 2x－8＝x＋ 2x＝x＋＋8 2x＝x＋ 2x－x＝ x＝ x＝÷ x＝×3 x＝44 答：汽车的速度是44千米/小时。 （2）（44－4）×2÷2 ＝40×2÷2 ＝40（千米） 答：A、B两地之间相距40千米。 （3）[（44＋4）×5－40]÷2 ＝[48×5－40]÷2 ＝[240－40]÷2 ＝200÷2 ＝100（千米） 答：BC之间的路程为100千米。 【点睛】本题主要考查了复杂的相遇问题和追及问题，明确相邻两次的相遇路程和相差了2个全程，相邻两次的追及路程差相差了2个全程。 考点四： 工程问题 1．（2024·河南周口·小升初真题）一项工程，甲单独做要10天，乙单独做要15天，丙单独做要20天，三人合做期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了（    ）天假。 A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】分析题目，把这项工程看作单位“1”，用工作总量除以工作天数分别求出甲、乙、丙单独工作一天可以完成几分之几，再用加法求出乙、丙合做一天可以完成几分之几，再乘6即可求出乙、丙6天一共可以完成几分之几，再用1减去乙、丙6天一共完成了几分之几即可得到甲一共做了几分之几，再用甲完成的除以甲一天完成了几分之几即可得到甲的工作天数，最后用6减去甲的工作天数即可得到甲的请假天数。 【详解】1÷10＝ 1÷15＝ 1÷20＝ 1－（＋）×6 ＝1－×6 ＝1－ ＝ 6－÷ ＝6－×10 ＝6－3 ＝3（天） 一项工程，甲单独做要10天，乙单独做要15天，丙单独做要20天，三人合做期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了3天假。 故答案为：B 2．（2024·江苏常州·小升初真题）为进一步发挥生态优势、建设美丽乡村，溧阳某网红村要修缮一条廊桥，全长360米，第一天修了25%，再修多少米可以修完这条廊桥的？ 【答案】126米 【分析】先算出第一天修的长度，用廊桥全长乘第一天修的比例25%，再算出这条廊桥的长度，最后用廊桥的的长度减去第一天修的长度，得到还需修的长度。 【详解】360×－360×25% ＝216－360×0.25 ＝216－90 ＝126（米） 答：再修126米可以修完这条廊桥的。 3．（2024·湖南衡阳·小升初真题）在“我是城市小主人”公益墙绘活动中，阳光小学承担了400平方米的绘画任务。六（1）班单独完成需要20天，六（2）班单独完成需要25天，两个班一起画，多少天可以完成？ 【答案】天 【分析】把这项绘画任务看作单位“1”，根据工作量÷工作时间＝工作效率，六（1）班每天完成1÷20＝，六（2）班每天完成1÷25＝，根据工作总量÷工作效率＝工作时间，用1除以两个班的工作效率和可求出两个班一起画需要的天数。 【详解】1÷20＝，1÷25＝ 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（天） 答：两个班一起画，天可以完成。 我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。 工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。 1．（2024·河南郑州·小升初真题）修一条路，甲、乙两队合作12天可以完成。如果甲队单独做8天后，再由乙队单独做3天，这时甲、乙两队共同完成了全部工程的。如果这条路由乙队单独修，那么乙队多少天可以修完这条路？ 【答案】20天 【分析】甲、乙两队合作12天可以完成这条路，把工作总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，可得甲、乙两队合作的工作效率为1÷12＝，设甲队的工作效率为x，乙队的工作效率为－x，根据工作量＝工作效率×工作时间，甲队单独做8天完成的工作量为8x，乙队单独做3天的工作量为（－x）×3，根据等量关系：“甲队单独做8天完成的工作量＋乙队单独做3天的工作量＝”列方程求出甲队的工作效率，再用减去甲队的工作效率求出乙队的工作效率，再用总工作量除以乙队的工作效率。 【详解】甲、乙两队合作的工作效率为：1÷12＝ 解：设甲队的工作效率为x，乙队的工作效率为－x。 8x＋（－x）×3＝ 8x＋－3x＝ 5x＋＝ 5x＋－＝－ 5x＝－ 5x＝ ×5x＝× x＝ 1÷（－） ＝1÷（－） ＝1÷ ＝1×20 ＝20（天） 答：乙队20天可以修完这条路。 2．（2024·河北石家庄·小升初真题）一条路长360千米，若甲队单独修，12天修完；若乙队单独修，18天修完。若两队合修，9天能修完吗？解决这个问题，三位同学想到了不同的解法。 能，因为：360÷（360÷12＋360÷18） 算出7.2天就能完成。 小丽 能，因为：1÷（＋） 算出天就能完成。 小梅 能，因为：12÷2等于6天，18÷2等于9天，合作时间应该大于6天，小于9天。 小强 下面说法正确的是（    ）。 A．小丽、小梅、小强的解法都正确。 B．只有小丽和小梅的解法正确。 C．只有小梅和小强的解法正确。 D．只有小丽和小强的解法正确。 【答案】A 【分析】小丽的做法：先用这条路的全长分别除以甲队、乙队单独修的天数，求出甲队、乙队每天修的长度；再用这条路的全长除以两队每天合修的长度，即是修完这条路需要的天数，最后与9天进行比较。 小梅的做法：先把修路的工作总量看作单位“1”，根据工作效率＝工作总量÷工作时间，可知单独修，甲队12天修完，即甲队的工作效率是；乙队18天修完，则乙队的工作效率是；若两队合修，根据合作工时＝工作总量÷工作效率和，计算出两队合修的天数，再与9天比较即可。 小强的做法：分别用甲队、乙队单独修的天数除以2，那么两队合修的天数要在这两个天数之间，再与9天比较即可。 【详解】小丽的做法： 360÷（360÷12＋360÷18） ＝360÷（30＋20） ＝360÷50 ＝7.2（天） 7.2＜9 所以若两队合修，9天能修完。 小梅： 1÷（＋） ＝1÷（＋） ＝1÷ ＝1× ＝（天） ＜9 所以若两队合修，9天能修完。 小强： 12÷2＝6（天） 18÷2＝9（天） 合作时间应该大于6天，小于9天。 所以若两队合修，9天能修完。 综上所述，小丽、小梅和小强的解法都正确。 故答案为：A 3．（2024·湖南岳阳·小升初真题）一件工程，乙队先做4天，继而甲、丙两队合作6天，剩下的工程甲队独做9天完成，已知乙队完成的是甲队完成的，丙队完成的是乙队完成的2倍，甲、乙、丙三队独做各需要多少天？ 【答案】30天；24天；18天 【分析】工程问题蕴含的数量关系：工作总量＝工作效率×工作时间。 把甲队完成的工作量看作单位“1”，根据题意，可把甲完成的量看作1，那么乙完成的量就看作，丙完成的量看作，即这项工程就是＋＋1＝2。 列式：1÷2，求出甲完成这项工程的几分之几，甲工作的天数÷甲完成工作量占工程总量的分率＝甲完成单独工作所需的总天数；同理，据此再分别求出乙和丙单独完成所需天数。 【详解】甲工作天数：6＋9＝15（天） 乙工作天数：4天 丙工作天数：6天 将甲完成的量看作1，那么乙完成的量就看作，丙完成的量看作，即这项工程就是＋＋1＝2 甲完成这项工程的1÷2＝ 那么甲单独完成需要15÷＝30（天） 乙完成这项工程的÷2＝ 那么乙单独完成需要4÷＝24（天） 丙完成这项工程的÷2＝ 那么丙单独完成需要6÷＝18（天） 答：甲、乙、丙独做各需30天、24天、18天。 【点睛】解答此题的关键是要找到每人完成天数占工作总量的几分之几。 考点五： 年龄问题 1．（2024·浙江杭州·小升初真题）可可6岁时，妹妹年龄是可可的，当可可n岁时，妹妹( )岁。 【答案】n－3 【分析】可可6岁时，根据妹妹年龄是可可的，用乘法计算出妹妹的年龄，据此求出可可和妹妹的年龄差；两人的年龄差是不变的，当可可n岁时，妹妹的年龄等于可可的年龄减去两人的年龄差，据此解答。 【详解】可可6岁时，妹妹的年龄：（岁） 两人年龄差：6－3＝3（岁） 当可可n岁时，妹妹（n－3）岁。 因此当可可n岁时，妹妹（n－3）岁。 2．（2024·四川绵阳·小升初真题）爸爸对儿子说：“我像你这么大时，你才4岁。当你像我这么大时，我就79岁了。现在爸爸( )岁，儿子( )岁？” 【答案】 54 29 【分析】根据年龄差不会变这一特性，从年龄差入手，年龄差＋4＝儿子现在的年龄，年龄差＋爸爸现在的年龄＝79，所以爸爸＋儿子的年龄＝79＋4＝83，设爸爸今年岁数为x岁，则儿子的岁数是（83－x）岁，再根据年龄差＋爸爸现在的年龄＝79，列出方程解决问题。 【详解】解：设爸爸今年岁数为x岁，则儿子的岁数是79＋4－x＝（83－x）岁，根据题意可得方程： x－（83－x）＋x＝79 x－83＋x＋x＝79 3x－83＋83＝79＋83 3x＝162 3x÷3＝162÷3 x＝54 83－54＝29（岁） 现在爸爸54岁，儿子29岁。 【点睛】解决本题的关键是明确年龄差不变，再列方程解答。 3．（2023·四川·小升初真题）父亲和女儿现在年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍的时候，女儿年龄是父亲现在年龄的，女儿现在年龄是( )岁。 【答案】28 【分析】设女儿现在的年龄为x岁，则父亲现在的年龄是（91－x）岁。当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍的时候也就是父亲的年龄是2x岁。两个人跨越的年龄是一样的，当父亲2x岁时，和现在相比少了（91－x－2x）岁，则女儿也跨越了（91－x－2x）岁，则女儿这时候的年龄是[x－（91－x－2x）]也是父亲现在年龄的，也就是，列出方程求出方程的解。 【详解】设女儿现在的年龄为x岁，则父亲现在的年龄是（91－x）岁。 则女儿现在的年龄是28岁。 “年龄差不变”是隐藏在年龄问题中的已知条件，每个年龄问题都是与年龄差发生关系，找出年龄差是解题的关键。 1．（2023·四川成都·小升初真题）爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和70岁，当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁，当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁，现在三人的年龄各是多少岁？ 【答案】妹妹12岁、哥哥16岁、爸爸42岁 【分析】三人增长的岁数一样。也就是爸爸增长的岁数＝哥哥的增长岁数＝妹妹增长的岁数。当妹妹9岁时，设哥哥的年龄是x岁，爸爸的年龄是3x岁。当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁时，爸爸是增长了（34－3x）岁，妹妹和哥哥也都增长了（34－3x）岁。这时候妹妹的年龄是（9＋34－3x）岁，哥哥的年龄是（x＋34－3x）岁，根据哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍列出数量关系式：哥哥的年龄＝妹妹的年龄×2。解方程得出哥哥的年龄为13岁，这时候爸爸的年龄39岁，妹妹的年龄是9岁，三个人这时候的年龄总和是61岁，现在三个人的年龄和是70岁，相差9岁，这个相差的9岁是三个人一起增长的年龄，所以每个人增长了3岁。 【详解】解：设当妹妹9岁时，哥哥x岁，爸爸3x岁。 3×13＝39（岁） 9＋13＋39＝61（岁） （70－61）÷3 ＝9÷3 ＝3（岁） 妹妹：9＋3＝12（岁） 哥哥：13＋3＝16（岁） 爸爸：39＋3＝42（岁） 答：现在妹妹12岁，哥哥16岁，爸爸42岁。 2．（2021·四川绵阳·小升初真题）有一个四口之家，成员为父亲、母亲、女儿和儿子，今年他们的年龄加在一起为75岁，其中父亲比母亲大1岁，女儿比儿子大2岁。已知4年前，家里所有人的年龄之和是60岁，则母亲今年( )岁。 【答案】33 【分析】根据题意，4年前家里所有人的年龄之和是60岁，那么4年后，每人都长了4岁，所以4年后他们全家的年龄和是60＋4×4＝76（岁），但今年他们的年龄加在一起为75岁，说明最小的儿子4年前还没有出生，据此可以求出儿子今年的年龄，女儿今年的年龄； 用今年全家的年龄和减去今年儿子、女儿的年龄，就是父亲和母亲今年的年龄之和，已知父亲比母亲大1岁，用他俩的年龄之和减1，就是今年母亲年龄的2倍，再除以2，即可求出今年母亲的年龄。 【详解】60＋4×4 ＝60＋16 ＝76（岁） 75＜76，说明儿子4年前还没有出生； 今年儿子的年龄： 4－（76－75） ＝4－1 ＝3（岁） 今年女儿的年龄：3＋2＝5（岁） 今年母亲的年龄： （75－3－5－1）÷2 ＝66÷2 ＝33（岁） 【点睛】本题考查年龄问题，理解儿子4年前没有出生，求出儿子今年的年龄是解题的关键；再利用和差问题的解题方法，求出今年母亲的年龄。 3．（2021·河南信阳·小升初真题）王老师有个学生，当王老师像学生那么大时，学生才1岁；当学生像王老师那么大时，王老师37岁。王老师和学生现在各多少岁？ 【答案】王老师现在25岁，学生现在13岁 【分析】将学生现在的年龄设为x岁，据题意当王老师像学生那么大时，学生才1岁，那么二人的年龄差是（x－1）岁，那么王老师现在的年龄是（2x－1）岁。又根据题意当学生像王老师那么大时，王老师37岁，可知此时王老师年龄－（2x－1）＝年龄差。据此列方程解方程即可。 【详解】解：设学生现在的年龄是x岁。 37－（x＋x－1）＝x－1 37－2x＋1＝x－1 3x＝39 x＝39÷3 x＝13 13＋13－1＝25（岁） 答：王老师现在25岁，学生现在13岁。 【点睛】本题主要考查了年龄问题，关键是要认识到两人的年龄差始终不变。 考点六： 数字与日历问题 1．（2024·河北石家庄·小升初真题）一个三位数，它的个位上的数字是a，十位上的数字是b，百位上的数字是c。这个三位数是（    ）。 A．100a＋10b＋c B．100c＋10b＋a C．100abc D．abc 【答案】B 【分析】百位上的数字是几就表示几个百，十位上的数字是几就表示几个十，个位上的数字是几就表示几个一。这个百位上的数字是a，十位上的数字是b，个位上的数字是c，那么它有a个百，b个十，c个一，据此解答。 【详解】a个百是100a，b个十是10b，c个一是c 所以这个三位数是100c＋10b＋a。 故答案为：B 2．（2024·四川宜宾·小升初真题）一个两位数，十位上的数字是个位上的，把十位上数字与个位上数字调换后，新数比原数大18，则原数个位数字和十位数字之和是（    ）。 A．10 B．12 C．18 D．21 【答案】A 【分析】根据“十位上的数字是个位上的”，可以设原来数字个位上的数是，那么十位上数字是；把十位上数字与个位上数字调换后，则新数个位上数字是，十位上的数字是； 根据“新数比原数大18”可得出等量关系：新数－原数＝新数比原数大的数，据此列出方程，并求解； 求出原来个位数字与十位数字之后，再相和即可求出它们的和。 【详解】解：设原来两位数个位上的数字是，那么十位上的数字是。 （10＋）－（×10＋）＝18 －＝18 3＝18 ＝18÷3 ＝6 原来十位是：6×＝4 和是：6＋4＝10 则原来这个两位数个位与十位上数字的和是10。 故答案为：A 【点睛】明白两位数是“十位上的数字×10＋个位上的数字”组成，关键是得出原来两位数与新两位数的组成，再根据题意找出等量关系，按等量关系列出方程求解。 3．（2023·山西·小升初模拟）一个两位数，个位与十位上的数字的和是9。如果这个两位数减去27，那么得到的差正好是原来的数个位与十位数字交换。求原来的数？ 【答案】63 【详解】解：设这个两位数的十位数字和个位数字分别为x和9﹣x，得： 10x＋9﹣x﹣27＝10×（9﹣x）＋x 9x﹣18＝90﹣9x 18x＝108 x＝6 9﹣6＝3 这个两位数就是63。 4．（2023六年级下·浙江嘉兴·专题练习）观察日历找规律。 （1）观察日历中加框的4个数，你发现了什么？ （2）观察日历中加阴影的9个数，你又发现了什么？ （3）你还能在日历中找到什么规律？ 【答案】（1）如果左上的数字为x，则右上为x＋1，左下为：x＋7，右下为：x＋8。 （2）方框中9个数的和是中间数的9倍。 （3）表格每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1。 【分析】（1）根据所给日历，利用日历中各数之间的关系，发现规律：如果左上的数字为x，则右上为x＋1，左下为：x＋7，右下为：x＋8。 （2）根据所给日历，利用日历中的各数的关系，发现：中间的数为y，左面的数是y－1，右面是y＋1，上面是y－7，下面是y＋7，左上是y－8，右上是y－6；左下是y＋6，右下是y＋8，据此解答。 （3）根据表格找出正确的规律即可。每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1。 【详解】（1）利用日历中各数之间的关系，发现规律： 如果左上的数字为x，则右上为x＋1，左下为：x＋7，右下为：x＋8。 （2）10＋11＋12＋17＋18＋19＋24＋25＋26 ＝33＋54＋75 ＝162 ＝18×9 答：方框中9个数的和是中间数的9倍。 （3）我发现：表格每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻的两个数字相差1。 【点睛】本题考查了数表中的规律，月历卡中不同的和的情况要一行一行的找，再相加进行解答。 1）已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 2）日历表中的日期左右相差1，上下相差7. 1．（24-25六年级上·全国·课后作业）一个两位数，已知它的个位数字是十位数字的。如果把这个两位数的十位数字与个位数字调换位置，那么所得的新数与原数的和是154，求这个两位数是多少。 【答案】86 【分析】可设十位上的数字为未知数x，则个位上的数是，此时这个数是：；两给数位调换后，即十位上是，个位上是x，则此时的数是：。将两个数相加等于154，运用等式基本性质可得出答案。 【详解】解：设这个两位数的十位数字是x。则可列出方程： 则这个两位数是： 答：这个两位数是86。 2．（2023四年级上·全国·专题练习）一个两位数，十位上的数字是个位上数字的2倍，如果把这两个数字对调位置，组成一个新的两位数，所得新数与原数的和是132，原来的两位数是多少？ 【答案】84 【分析】设原来两位数个位上的数字是x，那么十位上的数字就是2x，这个两位数可以表示2x×10＋x，当个位和十位数字对调，这时两位数可以表示为10x＋2x，再根据两个两位数的和是132；列出方程求解。 【详解】解：设原来个位数为x，十位数为2x。 2x×10＋x ＋10x＋2x＝132 （20＋1＋10＋2）x＝132 33x＝132 33x÷33＝132÷33 x＝4 4×2＝8 答：原来的两位数是84。 【点睛】解决本题先设出数据，分别表示出两位数的个位和十位上的数字，再分别表示出原来两位数和对调后的两位数，然后找出等量关系列出方程求解。 3．（24-25六年级下·全国·课后作业）如图，在日历上任意框出6个数。如果框出的6个数的和是75，框出的6个数分别是多少？ 【答案】8，9，10，15，16，17 【分析】从图中框出的6个数发现：12是这6个数中最小的数，其它5个数分别与12的关系分别是：12＋1＝13，12＋2＝14，12＋7＝19，12＋8＝20，12＋9＝21； 据此设框出的6个数中最小的数是，那么其它5个数分别是＋1，＋2，＋7，＋8，＋9，它们的和等于75，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设这6个数分别是，＋1，＋2，＋7，＋8，＋9。 ＋＋1＋＋2＋＋7＋＋8＋＋9＝75 6＋27＝75 6＋27－27＝75－27 6＝48 6÷6＝48÷6 ＝8 其它5个数是： 8＋1＝9，8＋2＝10，8＋7＝15，8＋8＝16，8＋9＝17 答：框出的6个数分别是8，9，10，15，16，17。 考点七： 销售问题 1．（2024·重庆涪陵·小升初真题）某平台通过直播带货帮助农户线上销售农副产品。张伯伯通过此平台销售自家种植的桃子。第一次销售出了桃子总量的15%，第一次销售的量与第二次销售的量的比是3∶5，这时还有36吨没有卖出。张伯伯家今年共收桃子多少吨？ 【答案】60吨 【分析】设张伯伯家今年共收桃子x吨，第一次销售出了桃子总量的15%，即第一天销售15x吨桃子；第一次销售的量与第二次销售的量的比是3∶5，即第二天销售桃子重量是第一天的，用第一天销售桃子的重量×，即15%x×，求出第二天销售桃子的重量，用桃子的总重量－第一天销售桃子的重量－第二天销售桃子的重量＝剩下桃子的重量，列方程：x－15%x－15%x×＝36，解方程，即可解答。 【详解】解：设张伯伯家今年共收桃子x吨。 x－15%x－15%x×＝36 x－15%x－0.25x＝36 0.85x－0.25x＝36 0.6x＝36 x＝36÷0.6 x＝60 答：张伯伯家今年共收桃子60吨。 2．（2024·河南驻马店·小升初真题）一种空调，商场将进价加35%定价，然后按定价打九折出售，商场承诺交易成功的话每台空调送“出租车”费用50元，即使这样每台空调仍可获利208元，这种空调每台的进价是多少元？ 【答案】1200元 【分析】设每台空调的进价为x元，根据“将进价加35%定价”，知道定价为（1＋35%）x元，按定价打九折出售，意思是按定价的90%出售，卖价为即（1＋35%）x×90%元，由数量关系：卖价－进价－50＝208，即可列出方程解决问题。 【详解】解：设每台空调的进价为x元。 （1＋35%）x×90%－x－50＝208 1.35x×0.9－x＝258 1.215x－x＝258 0.215x＝258 x＝258÷0.215 x＝1200 答：每台空调的进价是1200元。 3．（2024·河北邯郸·小升初真题）微山岛上一大型超市在“五一”期间为了回馈新老用户，决定实行优惠活动。 优惠方案一：非会员购物所有商品价格可获得九折优惠。 优惠方案二：交纳200元会费可成为该超市会员，所有商品价格可获得八折优惠。 若用x（元）表示商品价格，请你用含有x的式子表示两种购物优惠后所花的钱数。 （1）方案一购物优惠后所花的钱数是（    ），方案二购物优惠后所花的钱数是（    ）。 （2）当商品价格为多少元时，两种优惠所花的钱数相同？ （3）若某人计划在该超市购买价格为2700元的一部手机，请你列式分析一下选择哪种优惠更省钱？可节省多少元？ 【答案】（1）0.9x元；（200＋0.8x）元； （2）2000元； （3）方案二更省钱，可节省70元 【分析】（1）方案一，九折优惠，即现价是原价的90%，把原价看作单位“1”，单位“1”已知，用原价乘90%，即是现价；方案二，交纳200元会费，商品八折优惠，即现价是原价的80%，把原价看作单位“1”，单位“1”已知，用原价乘80%，求出商品的现价，再加上会费，即是实际需付的钱数。 （2）求当商品价格为多少元时，两种优惠所花的钱数相同，即上一题两种方案用字母表示的式子相等，据此列出方程，并求解。 （3）已知购买2700元的一部手机，把2700它代入第（1）题两种方案用字母表示的式子中，计算出得数，再比较，得出哪种方案更省钱，再用减法求出节省的钱数。 【详解】（1）x×90%＝0.9x（元） 200＋80%x＝（200＋0.8x）（元） 所以方案一购物优惠后所花的钱数是0.9x元，方案二购物优惠后所花的钱数是（200＋0.8x）元。 （2）0.9x＝200＋0.8x 解：0.9x－0.8x＝200＋0.8x－0.8x 0.1x＝200 0.1x÷0.1＝200÷0.1 x＝2000 答：当商品价格为2000元时，两种优惠所花的钱数相同。 （3）方案一： 2700×0.9＝2430（元） 方案二： 200＋2700×0.8 ＝200＋2160 ＝2360（元） 2430＞2360，即方案二更省钱。 2430－2360＝70（元），即可节省70元。 答：若某人计划在该超市购买价格为2700元的一部手机，方案二更省钱，可节省70元。 此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。 实际售价＝标价×打折率 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 1．（2024·河北邢台·小升初真题）王阿姨自主创业开了一家服装店，因为进货时没有进行市场调查，在换季时积压了一批服装，为了缓解压力，王阿姨决定打折促销。若每件服装按标价的五折出售将亏20元，而按标价的八折出售将赚40元，每件衣服的标价是多少元？要保证不亏，最多能打几折？ 【答案】标价200元；六折 【分析】（1）根据题意，设每件衣服的标价是元； 根据“若每件服装按标价的五折出售将亏20元”，即此时的售价是标价的50%，会亏20元，根据“进价＝售价＋亏损”，可得出进价是（50%＋20）元； 根据“按标价的八折出售将赚40元”，即此时的售价是标价的80%，会赚40元，根据“进价＝售价－盈利”，可得出进价是（80%－40）元； 因为进价不变，据此列出方程，并求解。 （2）由上一问可知每件衣服的标价是200元，把标价看作单位“1”，若每件服装按标价的五折出售将亏20元，根据百分数乘法的意义，用标价乘50%，再加上20元，即是每件衣服的进价； 然后用进价除以标价，求出售价是标价的百分之几，再根据折扣的意义，将百分数转化成折扣即可。 【详解】（1）解：设每件衣服的标价是元。 50%＋20＝80%－40 80%－50%＝20＋40 0.3＝60 ＝60÷0.3 ＝200 （2）200×50%＋20 ＝200×0.5＋20 ＝100＋20 ＝120（元） 120÷200×100% ＝0.6×100% ＝60% 60%＝六折 答：每件衣服的标价是200元，要保证不亏，最多能打六折。 【点睛】本题考查百分数乘除法的实际应用，理解并灵活运用标价、售价、进价、亏损、盈利之间的关系是解题的关键。 2．（2024·山东德州·小升初真题）银座商场将运动衣按进价的50%加价后，写上“大酬宾，八折优惠”，结果每件运动衣仍获利40元，运动衣的进价是多少元？ 【答案】200元 【分析】根据题意，设运动衣的进价是元；已知运动衣按进价的50%加价，把进价看作单位“1”，则加价后的价格是进价的（1＋50%），即（1＋50%）元；再打八折，把加价后的价格看作单位“1”，打折后的价格是加价后的80%，即售价是（1＋50%）×80%元； 根据“结果每件运动衣仍获利40元”，可得出等量关系：售价－进价＝获利，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设运动衣的进价是元。 （1＋50%）×80%－＝40 1.5×0.8－＝40 1.2－＝40 0.2＝40 ＝40÷0.2 ＝200 答：运动衣的进价是200元。 3．（2022·陕西西安·小升初真题）甲、乙、丙三位志愿者在一次救灾募捐中积极捐款，乙的捐款数比甲的2倍少100元，丙的捐款数比甲、乙两人的捐款数的和少300元，甲的捐款数是丙的，那么甲捐款多少元？ 【答案】800元 【分析】根据题意，设甲捐款元，则乙捐款元，丙捐款元。则根据甲的捐款数是丙的，列出方程解方程即可解答。 【详解】设甲捐款元，则乙捐款元，丙捐款元。 答：甲捐款800元。 【点睛】本题考查了列方程解决问题的方法，找到等量关系解方程是解题关键。 考点八： 分段计费问题 1．（2022·河北沧州·小升初真题）为鼓励居民节约用水，自来水公司规定：每户每月用水15吨以内（含15吨）按5.2元一吨收费；超过15吨，其超出的吨数按7元一吨收费。 （1）文文家上月共交水费92元，他家上月用水多少吨？ （2）红红家上月共用水23吨，应交水费多少元？ 【答案】（1）17吨；（2）134元 【分析】（1）根据题意可知，水费分两部分，一部分是15吨（含15吨）水费是5.2元一吨，一部分是超过15吨，一吨是7元，设：文文家上月用水x吨，去掉15吨，15吨水费15×5.2元，剩下的水是x－15吨，就是1吨7元的水，剩下的水费是（x－15）×7元，一共是92元，列方程：15×5.2＋（x－15）×7＝92，解方程，即可解答。 （2）红红家上月共用水23吨，其中有15吨是5.2元一吨水费，15吨是15×5.2元，剩下的用水是23－15＝8吨水，每吨是7元，8吨是8×7元，再把15吨水费钱数和8吨水费钱数相加，就是红红家应缴的水费，即可解答。 【详解】（1）解：设文文家上月用水x吨 15×5.2＋（x－15）×7＝92 78＋（x－15）×7＝92 （x－15）×7＝92－78 （x－15）×7＝14 x－15＝14÷7 x－15＝2 x＝2＋15 x＝17 答：他家上个月用水17吨。 （2）15×5.2＋（23－15）×7 ＝78＋8×7 ＝78＋56 ＝134（元） 答：应交水费134元。 【点睛】解答本题需要两部分，一部分是15吨的价钱，一部分是超过15以后的价钱，根据题意找出相关管的量，列方程，解方程。 2．（2023·四川成都·小升初真题）某市居民生活用电基本价格为每度0.40元，若每月用电量超过a（）度，超过部分按基本价格的70%收费。 （1）某户一月份用电84度，其交电费30.72元，求a的值。 （2）该户二月份的电费平均为每度0.36元，求该户二月份用电多少度？应交电费多少元？ 【答案】（1）a＝60；（2）90度；32.4元。 【分析】根据题意可知每月用电量超过a度为m度时，电费的计算方法为：0.40a＋（m－a）×0.40×70%，利用这个关系式可把电费作为等量关系求未知的量。 【详解】（1）当m＝84时，则有： 0.40a＋（84－a）×0.40×70%＝30.72 0.40a＋84×0.40×70%－a×0.40×70%＝30.72 0.40a＋23.52－0.28a＝30.72 0.12a＋23.52－23.52＝30.72－23.52 0.12a＝7.2 0.12a÷0.12＝7.2÷0.12 a＝60 （2）设该户六月份共用电x度，则： 0.40×60＋（x－60）×0.40×70%＝0.36x 0.40×60＋0.40×70%×x－60×0.40×70%＝0.36x 24＋0.28x－16.8＝0.36x 24＋0.28x－16.8－0.28x＝0.36x－0.28x 0.08x＝7.2 0.08x÷0.08＝7.2÷0.08 x＝90 0.36x＝0.36×90＝32.40 答：二月份用电90度，应该交电费32.40元。 【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的数量关系，列出方程，再求解。此题的关键是要知道每月用电量超过a度为m度时，电费的计算方法。本题主要考查了水电费问题，这类问题中易错的是费用受到水电量的影响套用不同的公式，解此类题要分析清题意再作答。 3．（2024·山东德州·小升初真题）滴滴网约车是通过网络预约的出租车，下表是滴滴网约车各费用项计价方式。 【起步价】包含一定里程和时长 普通时段 5.00元/含2.3千米；含7分钟 00：00～09：00 17：00～00：00 6.00元/含2.3千米；含7分钟 【里程费】超出起步里程后计算 【时长费】超出起步时长后计算 普通时段 1.55元/千米 普通时段 0.30元/分钟 00：00～06：00 23：00～00：00 2.40元/千米 00：00～06：00 23：00～00：00 0.60元/分钟 说明：包含里程或包含时长任意一项超出，将在起步价基础上累加计费；超出部分计数单位以整数计，例如0.1千米为1千米，0.1分钟为1分钟。 （1）李叔叔6月3日晚上9时在滴滴出行平台预约了一辆车，里程和时长如图，李叔叔需要支付多少元？ （2）6月14日早上5：30李叔叔又在该平台预约了出行服务，时长6分钟，共支付10.8元，李叔叔本次里程最长多少千米？ 【答案】（1）14.95元 （2）4.3千米 【分析】（1）晚上9时属于17：00~00：00这个时间段，起步价是6元，先用6.5千米减去2.3千米，求出超出2.3千米的距离是6.5－2.3＝4.2千米，4.2千米按照5千米计费，用起步价加上超出4.2千米的钱数，也就是每千米1.55元，再用所用的时间减去7即可求出超出的时长，再成0.3即可求出超出时长的费用，再加上超出起步时长的费用即可。 （2）设本次里程最长x千米，起步价加上里程加数减去2.3千米乘每千米的计费标准就等于支付的钱数，列方程：6＋（x－2.3）×2.4＝10.8，解方程，即可解答。 【详解】（1）6.5－2.3＝4.2（千米） 4.2千米≈5千米 6＋5×1.55＋（11－7）×0.3 ＝6＋7.75＋4×0.3 ＝13.75＋1.2 ＝14.95（元） 答：李叔叔需要支付14.95元。 （2）设李叔叔本次里程最长x千米。 6＋（x－2.3）×2.4＝10.8 6＋（x－2.3）×2.4－6＝10.8－6 （x－2.3）×2.4＝4.8 （x－2.3）×2.4÷2.4＝4.8÷2.4 x－2.3＝2 x－2.3＋2.3＝2＋2.3 x＝4.3 答：李叔叔本次里程最长4.3千米。 【解题技巧】此类题型，收费往往因为不同的分段，标准会不一样。因此，在列写此类问题的等式方程时，需要先依据题意将路程进行合理分段，然后在按照不同分段中的收费标准列写等式方程。 常见试题背景：水费、电费、气费、车费、纳税、社保医保体系等 1．（2021·浙江·小升初真题）为倡导合理利用电资源，电力局推行了居民申请使用“峰谷”电制度，具体如下图所示。已知一个家庭使用峰谷电的某月电费为95.2元，经测算，比不使用峰谷电节约10.8元，该家庭当月使用峰电和谷电各多少千瓦时？ 8：00－22：00：每千瓦时0.56元（峰电价格） 22：00－8：00：每千瓦时0.28元（谷电价格） 不使用峰谷电：每千瓦时0.53元 【答案】峰电140千瓦时，谷电60千瓦时 【分析】根据“付电费95.2元，经测算，比不使用峰谷电节约10.8元”，求不用“峰谷”电表的钱数：95.2＋10.8＝106（元），所以用电量为：106÷0.53＝200（千瓦时）。设用“峰电”x千瓦时，则“谷电”（200－x）千瓦时，根据电费列方程求解即可。 【详解】（95.2＋10.8）÷0.53 ＝106÷0.53 ＝200（千瓦时） 解：设用峰电x千瓦时，则谷电（200－x）千瓦时。 0.56x＋0.28×（200－x）＝95.2 0.56x＋56－0.28x＝95.2 0.28x＝39.2 x＝140 200－140＝60（千瓦时） 答：该家庭当月使用峰电140千瓦时，使用谷电60千瓦时。 【点睛】解答此题的关键是：分析题意，弄清楚数量间的关系，得出等量关系式，问题即可逐步求解。 2．（2024·吉林长春·小升初真题）游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳300元会员费，每次游泳另外收费10元（一年内有效）。 （1）爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次。他选择哪种方式更划算？请写出简要的思考过程。 （2）一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？请写出简要的思考过程。 【答案】（1）年卡；过程见详解 （2）15次 【分析】（1）已知爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次，则一年游泳2×12＝24次。 方式一：单次卡，每次收费30元；根据“单价×数量＝总价”，求出办单次卡爸爸游泳一年所需的费用； 方式二：办理会员年卡，每次游泳另外收费10元，那么游泳24次需另收费24×10＝240元，再加上年卡的费用，即是办年卡爸爸游泳一年所需的费用； 再比较两种方式所需的费用，得出哪种方式更划算。 （2）根据题意，设一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等；等量关系：单次卡每次的费用×次数＝年卡的费用＋每次游泳另外的收费×次数，据此列出方程，并求解。 【详解】（1）爸爸一年游泳：2×12＝24（次） 单次卡： 30×24＝720（元） 年卡： 300＋24×10 ＝300＋240 ＝540（元） 720＞540 答：年卡更划算。 （2）解：设一年内游泳达到次时，两种付费方式所用钱数相等。 30＝300＋10 30－10＝300 20＝300 ＝300÷20 ＝15 答：一年内游泳达到15次时，两种付费方式所用钱数相等。 考点九： 其它问题 1．（2022·山西太原·小升初真题）学校购买了12张课桌和18把椅子，一共用去1728元。已知每张课桌的价钱是每把椅子的3倍，每张课桌和每把椅子各多少元？ 【答案】课桌：96元；椅子：32元 【分析】假设每把椅子的价钱是x元，则每张课桌的价钱是3x元，根据题目中的数量关系：每张课桌的价钱×课桌的数量＋每张椅子的价钱×椅子的数量＝总价钱，代入已知的数量和未知数，列出方程并解方程，即可分别求出每张课桌和每把椅子的价钱。 【详解】解：设每把椅子的价钱是x元，则每张课桌的价钱是3x元， 18×x＋12×（3x）＝1728 18x＋36x＝1728 54x＝1728 x＝1728÷54 x＝32 32×3＝96（元） 答：每张课桌96元，每把椅子32元。 【点睛】此题的解题关键是弄清题意，把每把椅子的价钱设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。 2．（2022·湖南长沙·小升初真题）王强从家里骑摩托车到火车站赶乘火车，若每小时行30千米，则早到15分钟；若每小时行20千米，则迟到5分钟。如果打算提前到5分钟，那么摩托车的速度应是多少千米/小时？ 【答案】24千米/小时 【分析】15分钟＝小时，5分钟＝小时，根据速度×时间＝路程，设正常到火车站需要x小时，路程不变，列方程为30×（x－）＝20×（x＋），然后解出方程，求出正常到火车站需要的时间，进而求出王强家到火车站的距离，最后根据速度＝路程÷时间，用王强家到火车站的路程÷（正常到火车站需要的时间－）即可求出摩托车现在的速度。 【详解】15分钟＝小时 5分钟＝小时 解：设正常到火车站需要x小时。 30×（x－）＝20×（x＋） 30x－＝20x＋ 30x－20x＝＋ 30x－20x＝ 10x＝ x＝÷10 x＝× x＝ 20×（＋） ＝20×1 ＝20（千米） 20÷（－） ＝20÷ ＝20× ＝24（千米/小时） 答：摩托车的速度应是24千米/小时。 【点睛】本题可用列方程解决问题，找到相应的数量关系式是解答本题的关键。 3．（2024·安徽阜阳·小升初真题）在辽阔的内蒙古大草原上，深秋之后，天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可以供多少头牛吃10天？ 【答案】5头 【分析】20头牛5天吃草：20×5＝100（份）：15头牛6天吃草：15×6＝90（份）；青草每天减少：（100－90）÷（6－5）＝10（份）；牛吃草前牧场有草：100＋10×5＝150（份）； 150份草吃10天本可供：150÷10＝15（头）； 但因每天减少10份草，相当于10头牛吃掉；所以只能供牛15－10＝5（头） 【详解】①青草每天减少：（20×5－90）÷（6－5） ＝（100－90）÷1 ＝10÷1 ＝10（份） ②牛吃草前牧场有草：10×5＋20×5 ＝50＋100 ＝150（份） ③150÷10－10 ＝15－10 ＝5（头） 答：可以供5头牛吃10天。 【点睛】此题属于牛吃草问题，这类题目有一定难度，对于本题而言，关键的是要求出青草每天减少的数量。 1．（2024·四川绵阳·小升初真题）山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则6小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则2小时正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？ 【答案】1.2小时 【分析】根据牛吃草问题，设每台每小时抽水1份，那么每小时泉水流入池中的水量就是（1×6－2×2）÷（6－2）＝0.5份，再计算池塘中原有的水量（1－0.5）×6，由于每小时泉水流入池中的水量相当于0.5台的抽水量，所以求出3份里面有几个（3－0.5），即可得解。 【详解】（1×6－2×2）÷（6－2） ＝2÷4 ＝0.5（份） （1－0.5）×6 ＝0.5×6 ＝3（份） 3÷（3－0.5） ＝3÷2.5 ＝1.2（小时） 答：若用三台A型抽水机同时抽，则需要1.2小时恰好把池塘中的水抽完。 2．（2022·内蒙古呼伦贝尔·小升初真题）从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意取牌。 （1）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数相同？ （2）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数不同？ （3）至少取多少张牌，保证有2张花色相同？ （4）至少取多少张牌，保证有2张红桃？ 【答案】（1）14张 （2）5张 （3）5张 （4）41张 【分析】（1）因为共有13种点数，要想保证有2张牌的点数相同，考虑最不利原则，先取的13张牌的点数都不相同，再任意取一张就有2张牌的点数相同。 （2）因为有4张相同的点数，要想保证有2张牌的点数不同，考虑最不利原则，先取的4张牌的点数都相同，再任意取一张就有2张牌的点数不同。 （3）因为有4种花色，要想保证有2张花色相同，考虑最不利原则，先取的4张牌都是不同花色的，再任意取一张就有2张牌的花色相同。 （4）因为有4种花色，每种花色都是13张，要想保证有2张红桃，考虑最不利原则，先把其它三种花色取完，再取2张就有2张牌是红桃。 【详解】（1）13＋1＝14（张） 答：至少取14张牌，保证有2张牌的点数相同。 （2）4＋1＝5（张） 答：至少取5张牌，保证有2张牌的点数不同。 （3）4＋1＝5（张） 答：至少取5张牌，保证有2张花色相同。 （4）13×3＋2 ＝39＋2 ＝41（张） 答：至少取41张牌，保证有2张红桃。 【点睛】本题考查鸽巣问题（抽屉问题），采用最不利原则进行分析是解题的关键。 3．（2024·湖南株洲·小升初真题）世界上最大的蜂鸟是巨蜂鸟，体长是230毫米，比世界上体型最小的鸟类古巴的吸蜜蜂鸟体长的4倍还多30毫米。古巴的吸蜜蜂鸟的体长约是多少毫米？ （1）下面哪幅图正确表达了题目的意思，请将正确的序号填在横线内______。 （2）请列方程解决这个问题。 【答案】（1）① （2）50毫米 【分析】（1）把吸蜜蜂鸟的体长用一个线段长表示，则巨蜂鸟的体长用四条这样的线段长还多出一截（30毫米）来表示，由此判断哪个图是正确的。 （2）把吸蜜蜂鸟的体长设为x毫米，根据“吸蜜蜂鸟的体长×4＋30毫米＝巨蜂鸟的体长”列方程解答。 【详解】（1）根据分析，图①正确表达了题目的意思。 （2）解：设吸蜜蜂鸟的体长设为x毫米，则 4x＋30＝230 4x＋30－30＝230－30 4x＝200 4x÷4＝200÷4 x＝50 答：吸蜜蜂鸟的体长是50毫米。 1．（21-22五年级上·贵州六盘水·期中）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题“今有善行者一百步，不善行者六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”。这道题的意思是：甲走路快，乙走路慢，两个人在相同时间里，甲走100步，乙走60步。现在乙先走100步，甲随后就追，甲要走多少步才能追上乙？追及问题的数量关系式是：路程差÷速度差＝追及时间，所以，甲追上乙需要的时间是： 100÷﹙100－60﹚＝100÷40＝2.5﹙个时间单位﹚在这2.5个时间单位里，甲要走的步数是：100×2.5＝250﹙步﹚甲要走250步才能追上乙。请同学们用你学到的方法解决下面的问题。 哥哥和弟弟去公园参观花展，弟弟每分钟走50米，走了5分钟后，哥哥以每分钟70米的速度去追弟弟，经过多少分钟以后哥哥可以追上弟弟？ 【答案】12.5分钟 【分析】根据速度×时间＝路程，据此求出弟弟先走的路程即需要追及的距离，然后根据路程差÷速度差＝追及时间，据此计算即可。 【详解】50×5÷（70－50） ＝250÷20 ＝12.5（分钟） 答：经过12.5分钟以后哥哥可以追上弟弟。 【点睛】本题考查追及问题，求出需要追及的路程是解题的关键。 2．（24-25六年级上·辽宁·课后作业）在《算法统宗》中有这样一题：甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方凑。玄机奥妙谁猜透？讲的是牧羊人赶着一群羊去寻找草长得茂盛的地方放牧，有一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来。他对牧羊人说：“你赶的羊大概有100只吧？”牧羊人答道：“如果这一群羊加上一倍，再加上原来这群羊的50%，又加上原来这群羊的25%，连你牵着的这只肥羊也算进去，才刚好凑满100只。”你知道牧羊人放牧的这群羊有多少只吗？ 【答案】36只 【分析】根据题意可知：甲赶的羊群只数×2＋羊群只数×50%＋羊群只数×25%＋1＝100只，设牧羊人放牧的这群羊有x只，代入数据解方程即可。 【详解】解：设牧羊人放牧的这群羊有x只。 2x＋50%x＋25%x＋1＝100 2x＋75%x＋1＝100 2.75x＋1＝100 2.75x＋1－1＝100－1 2.75x＝99 2.75x÷2.75＝99÷2.75 x＝36 答：牧羊人放牧的这群羊有36只。 【点睛】本题考查方程的实际应用，根据题目中存在的数量关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 3．（20-21六年级上·江苏淮安·期末）《算法统宗》中记有“李白沽酒”的故事，诗云：今携一壶酒，游春郊外走。逢朋加一倍，入店饮半斗。相逢三处店，饮尽壶中酒。试问能算土：如何知原有？大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉半斗（5升）酒。按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶里的酒，算一算，李白的酒壶中原有多少升酒？ 【答案】4.375升 【分析】通过题目可以知道李白到店里会将酒增加一倍，那么就变为原来的2倍，然后喝掉5升，再减去5就好，这样重复3次之后，正好喝光了壶里的酒。可以设最开始有x升，那么第一次到店喝完就是（2x－5）升，第二次到店喝完，增加一倍在（2x－5）的基础上增加一倍，也就是2×（2x－5）－5，第三次到店是在第二次喝完剩下的酒再增加一倍也就是2×[2（2x－5）－5]－5，这个时候喝完后壶里没有酒，可以列出方程并解答。 【详解】解：设壶里原来有x升酒。 2×[2（2x－5）－5]－5＝0 2×[4x－15]＝5 8x－30＝5 8x＝30＋5 8x＝35 x＝35÷8 x＝4.375 答：李白的酒壶中原有4.375升酒。 【点睛】本题主要考查了方程的应用，根据题目的含义，来列出方程，但是要注意，例如题目中2x－5是剩下的酒，那么多了一倍也就是它的2倍，要加个括号，因为（2x－5）这一个整体增加了一倍。 4．（2023·河北邯郸·小升初真题）一条小河经过A，B，C三镇，A，B两镇之间有汽船来往，汽船在静水中的速度为每小时11千米，B，C两镇之间有木船摆渡，A、C两地之间的距离为50千米，木船在静水中的速度为每小时3.5千米，水流速度为1.5千米每小时。某人从A镇上汽船顺流而下到B镇，接着乘木船又顺流而下到C镇。全程共用7小时，那么A，B两镇间的距离是 。 【答案】25千米 【分析】根据题意，汽船在顺水中的速度为12.5千米/小时，木船在顺水中的速度为5千米/小时，可以设A到B地的距离为x千米，则B地到C地的距离为（50－x）千米。根据：路程÷速度＝时间，可知A到B用时为，B到C用时为，总共用时7小时。据此列出方程即可求解。 【详解】解：设A到B地的距离为x千米，则B地到C地的距离为（50－x）千米。 所以，从A地到B地的距离为25千米。 【点睛】此题考查分段路程问题，根据：路程÷速度＝时间，找准题目中的等量关系式即可解答。 5．（2021·河北沧州·小升初真题）一个防盗门的密码由4个数字按从大到小的顺序组成，这4个数字之和是16，并且相邻的两个数字都相差2，这个密码是多少？ 【答案】7531 【分析】由于是从小到大相差2的4个数字，可设最小的数字是n，则第二个是n+2第三个是n+2+2，第四个是n+2+2，又这4个数字之和是16，由此可得：n+（n+2）+（n+2+2）+（n+2+2+2）=16，由此完成即可。 【详解】解：设最小的数字是n，可得： n+（n+2）+（n+2+2）+（n+2+2+2）=16 4n+12=16 4n=4 n=1 即最小的数字是1，所以这四个数字分别是：7531 【点睛】通过设未知数，根据题意列出等量关系式是完成本题的关键。 6．（2024·四川绵阳·小升初真题）张先生向商店订购了每件定价为100元的某种商品80件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件。”商店经理算了下，若减价5%，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元，这种商品的成本是多少元？ 【答案】70元 【分析】把商品原来每件的定件100元看作单位“1”，若减价5%，即每件商品减少的钱数占原来每件定价的5%，则每件减少了100×5%＝5元； 已知每降价1元，就多订购4件，那么减少的5元就多订了20件，加上原来订购的80件，现在一共订购100件； 根据“获得的利润反而比原来多100元”可得出等量关系：降价后每件商品的利润×降价后订购的件数－原来每件商品的利润×原来订购的件数＝降价后比原来多的利润，据此列出方程，并求解； 最后用原来每件的定价减去原来每件商品的利润，即是这种商品的成本价。 【详解】减价：100×5% ＝100×0.05 ＝5（元） 多订购的件数：5÷1×4＝20（件） 降价后共订购：80＋20＝100（件） 解：设原来每件商品的利润为元。 （－5）×100－80＝100 100－500－80＝100 20－500＝100 20＝100＋500 20＝600 ＝600÷20 ＝30 100－30＝70（元） 答：这种商品的成本是70元。 【点睛】关键是抓住降价前后利润的变化，找出等量关系，根据等量关系列方程解决问题。 7．（2024·四川成都·小升初真题）春节期间，某商店按下面两种方式促销。第一种方式：减价20元后再打八折；第二种方式：打八折再减20元。刘老师到商店买了两件不同的商品，其中一件按第一种方式促销，另一件按第二种方式促销，共花了252元。已知两件商品的原价都大于100元，而且其中一件商品的原价是另一件的整数倍（倍数大于1），那么这两件商品的原价分别是多少元？ 【答案】120元和240元 【分析】其中一件按第一种方式促销是（第一件的原价－20）×80%，另一件按第二种方式促销是第二种原件×80%－20。这两种商品共花了252元。可以设第一件商品原价x元，第二件商品原价y元。则，通过化简得出第一种商品和第二种商品的总价是360元。根据要求假设其中一件商品的原价是另一件的2倍，两件商品的原价分别120元、360元。符合要求。假设其中一件商品的原价是另一件的3倍时，两件商品的原价分别90元、270元不符合两件商品的原价都大于100元。 【详解】解：设第一件商品原价x元，第二件商品原价y元。 设其中一件商品的原价是另一件的2倍。 第一件商品原价：360÷（1＋2） ＝360÷3 ＝120（元） 第二件商品原价：120×2＝240（元） 答：这两件商品的原价分别是120元和240元。 8．（2023·四川·小升初真题）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元。 （1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？ （2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率为25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价应该是多少元？ 【答案】（1）120件；（2）150元 【分析】（1）设商家购进的第一批衬衫是x件，第二批衬衫是2x件，数量关系式：第二批衬衫的单价－第一批衬衫的单价。单价＝总价÷数量，列出方程求出方程的解。 （2）两批衬衫全部售完利润率为25%，就是售完的价格比本钱多20%，也就是售完的钱是本钱的（1＋20%）。第一批和第二批的总共购进了360件，其中的310件是按照标价卖出，50件是按照标价的80%售出，即数量关系式：310×标价＋50×标价的80%＝本钱的125%。设每件衬衫的标价应该是y元列出方程求出方程的解。 【详解】（1）解：设商家购进的第一批衬衫是x件，第二批衬衫是2x件。 答：该商家购进的第一批衬衫是120件。 （2）2×120＝240（件） 设：每件衬衫的标价应该是y元。 答：每件衬衫的标价应该是150元。 9．（2024·四川成都·小升初真题）某商店面包的成本是定价的80%，可乐的定价是10元，成本是8元。现在商店把2个面包与1杯可乐配套出售，并且按它们的定价之和的90%出售。这样每套可获得利润3元。面包的成本是多少元？ 【答案】8元 【分析】利润＝售价－成本。利润的3元＝2个面包和1杯可乐的售价－2个面包和1杯可乐的成本。以它们的定价之和的90%出售则售价＝（2×面包的定价＋1杯可乐的定价）×90%。则数量关系式：（2×面包的定价＋1杯可乐的定价）×90%－（2×面包的成本＋1杯可乐的成本）。 【详解】解：设面包的定价是x元，成本80%x元。 10×80%＝8（元） 答：面包的成本是8元。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衔接点03 列方程解决实际问题 小学阶段 初中阶段 【方程类型】主要学习简单的一元一次方程，如 x+5=10 或3x−8=16. 【解题步骤】掌握列方程解决实际问题的一般步骤，包括设未知数、找出等量关系、列方程、解方程、检验和写答语. 【应用题类型】涉及简单的实际问题，如购物问题、行程问题等，通常只有一个未知数，且方程的解法较为直接. 【方程类型】从一元一次方程扩展到二元一次方程组、分式方程和一元二次方程，方程的形式更加复杂. 【解题步骤】学习多种解方程的方法，如代入消元法、加减消元法、公式法等，要求学生能够根据方程的特点选择合适的解法. 【应用题类型】涉及更复杂的实际问题，如工程问题、利润问题、几何问题等，可能需要多个方程联立求解. 衔接指引 【小学阶段基础回顾】 理解方程的概念：方程是含有未知数的等式，如 x+2=5x+2=5. 解简单的一元一次方程：如 x+3=7x+3=7 ， 2x=102x=10. 列方程解决实际问题：如“小明有5个苹果，小红比小明多3个苹果，小红有多少个苹果？”. 【初中阶段的变化与提升】 更复杂的方程类型：一元二次方程、分式方程等. 多步骤的问题解决：需要多个方程或多个步骤才能解决的问题. 抽象思维和逻辑推理：要求更高的抽象思维和逻辑推理能力. 【衔接策略】 巩固基础：确保熟练掌握一元一次方程的解法和应用. 理解方程的本质：方程是描述数量关系的工具，理解等式的基本性质. 逐步增加难度：从简单的问题开始，逐步过渡到更复杂的问题. 培养逻辑思维：通过逻辑推理和问题解决，提高抽象思维能力. 多做练习：通过大量的练习，巩固知识和提高解题技巧. 1．列方程解应用题 （1）列方程解应用题的优点。 先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。 （2）列方程解应用题一般步骤。 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类 题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． 要点诠释： （1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，它们之间的关系，找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 2．常见的数量关系 1）公式形数量关系 生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。 长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长 2）约定型数量关系 利息问题、利润问题、质量分数问题、比例尺问题、折扣等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。 3）基本数量关系 在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。 单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量 现价÷原价＝折数 3．分析数量关系的常用方法 1）直译法分析数量关系 将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 2）列表分析数量关系 当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 3）图解法分析数量关系 用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。 考点一： 找等量关系与列方程 1．（23-24五年级上·青海海南·期末）根据“18比x的3倍少6”，下面三位同学都列出了方程，正确的有（    ）个。 A．1 B．2 C．3 2．（2024·河南安阳·小升初真题）根据所给信息，如图图形可以用方程“x＋x＝60”来表示的有（    ）个。 A．3 B．2 C．1 3．（2022·北京朝阳·小升初真题） 如果用“x”表示这周产生的可回收垃圾的质量，那么解决“这周产生的可回收垃圾的质量”这个问题，下面所列方程中不正确的是（    ）。 A．1.5x＋2＝20 B．20－1.5x＝2 C．1.5x＝20＋2 D．1.5x＝20－2 4．（2024·江苏扬州·小升初真题）数量间的相等关系是列方程的根据，请先填写数量关系式，再列出方程。两艘轮船同时从南京出发，沿长江航道开往武汉。“振兴”号的速度是千米/时，“丰春”号的速度更快，是32千米/时，7.5小时后两船相距30千米。 ( ) ＝ 根据上面的数量关系式列出方程： 。 5．（2024·辽宁沈阳·小升初真题）鞋的尺码通常用“码”或“厘米”作单位，如果用a表示厘米数，鞋子的码数比厘米数的2倍少10厘米，那么表示码数的式子是 ，小明穿38码的鞋子，他的鞋子厘米数是 厘米。 6．（2024六年级下·江苏·专题练习）下面等量关系中，可以用3－6＝30表示的是（    ）。 A．小芳买了只水笔，每支3元，付给营业员30元，找回6元 B．黑兔有只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只 C．故事书有本，科技书有30本，科技书比故事书多6本 D．书法小组有人，舞蹈小组有30人，舞蹈小组的人数比书法小组人数的3倍少6人 【找等量关系的方法】 1. 从事情变化的结果找等量关系.（分析事情变化的原因与结果，找出其中的相等关系） 2. 从关键句中找等量关系.（抓住题目中的关键句，理解其中的数量关系） 3. 从常见的数量关系中找等量关系.（利用常见的数量关系，如工作效率 × 工作时间 = 工作总量，单价 × 数量 = 总价等） 4. 从公式中找等量关系.（利用几何图形的面积、周长公式等作为等量关系） 5. 从隐蔽条件中找等量关系.（注意题目中隐藏的条件，如鸡有2条腿，兔有4条腿等） 【总结】 1. 找等量关系是列方程的关键，需要仔细分析题目中的信息，理解数量关系. 2. 列方程是将等量关系转化为数学表达式的过程，需要注意未知数的设定和方程的正确性. 3. 通过多练习，可以提高找等量关系和列方程的能力，从而更好地解决实际问题. 1．（2024·福建莆田·小升初真题）数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”。如图中，图（    ）能正确地表示出“2a＋6”的数量关系。 A．B．C． D． 2．（2020·浙江·小升初真题）合唱团有男生47人，比女生人数的3倍多2人，合唱团的女生有多少人？设合唱团的女生有人，则下面方程中，正确的是（    ）。 A． B． C． D． 3．（23-24六年级下·河北沧州·期末）下面图中的数量关系，能用方程＋x＝60的有（    ）个。 A．3 B．2 C．4 D．1 4．（23-24六年级下·辽宁·课后作业）全民阅读，学习强国。周日，笑笑上午在图书馆阅读1.2小时，下午在图书馆阅读1.5小时。如果笑笑平均每小时阅读m个字，一天一共阅读了4050个字，列出方程是( )。 5．（24-25六年级上·北京海淀·期末）星光小学篮球队、足球队和田径队的队员人数之间的关系，如下图所示。 根据图中信息，同学们列出了四个等量关系，其中正确的（    ）。 ①足球队人数篮球队人数②足球队人数田径队人数③篮球队人数田径队人数④篮球队人数田径队人数 A．只有①② B．只有③④ C．只有②③④ D．有①②③④ 考点二： 数学文化问题 1．（2024·湖南岳阳·小升初真题）鸡兔同笼是中国古代数学名题之一，在《孙子算经》中有记载。如果鸡兔同笼，上有35个头，下有94只脚，那么鸡有( )只，兔有( )只。 2．（2025六年级下·全国·专题练习）《九章算术》是我国古代一部伟大的数学名著，其中描述了这样一道题：一个人用车装米，从甲地运往乙地，装米的车日行25千米，不装米的空车日行35千米，5日往返三次。两地相距 千米。 3．（2024六年级下·陕西西安·学业考试）《张丘建算经》卷上第31问中有如下问题：“今有七百人造浮桥，九日成，今增五百人，问日几何？”意思是现在有700人造浮桥，9天能完成，如果增加500人，那么几天能完成？（假设每人每天的工作效率相等） 4．（23-24六年级下·辽宁·课后作业）我国元代数学家朱世杰所著的《算学启蒙》一书中有这样一道题目：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里。驽马先行一十二日，问良马几何追及之？”译文：“快马每天走240里，慢马每天走150里。慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？” 5．（23-24六年级上·辽宁·课后作业）《算法统宗》中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，其中有一首“以碗知僧”，大意是：山上有一古寺叫都来寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364只碗。请问都来寺里有多少个和尚。利用方程知识可以解决这个有趣的问题，我们试一下吧！ 以碗知僧 魏巍古寺在山中，不知寺内几多僧，三百六十四只碗，恰合用尽不差争， 三人共食一碗饭，四人共尝一碗羹，请问先生能算者，都来寺内几多僧。 ——摘自（明）程大位著《算法统宗》 数学文化类问题主要根据题干中找到等量关系解题即可。 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量－降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 1．（24-25六年级上·山西长治·期中）某调查组仿照《曹冲称象》的故事中所用的方法，称出一头大象重2.53t。在称的过程中，石头不够、又选了一些单人平均体重约为每筐石头的的志愿者上船，一筐石头大约重( )千克。 2．（22-23五年级下·辽宁·课后作业）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托。如果1托为5尺，那么设竿子长为x尺，依据题意，可列出方程得 。 3．（2020·北京房山·小升初真题）根据题意列方程，不解答。 我国明代著名数学家程大位的《算法统宗》一书中，记载了一些诗歌形式的算题，其中有一道趣题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个， 大小和尚各几丁？意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完。试问大、小和尚各多少人？ 4．（2024六年级下·全国·专题练习）《九章算术》第七章“盈不足”：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六。 问：人数、鸡价各几何？ 译释：几人凑钱买鸡，每人出9元，则多11元；每人出6元，则差16元。有几人？鸡的价格是多少元？ 5．（23-24六年级上·辽宁·课后作业）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关。”大意是：有一个人走了378里路，第一天健步行走，第二天因脚疼，每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地。请计算此人第二天走的路程。(注：里，古代长度单位) 考点三： 行程问题 1．（2024·四川绵阳·小升初真题）一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地。两车行驶的时间为xh，两车之间的距离为ykm，图中的折线表示y与x之间的关系，根据图象解决以下问题： （1）慢车的速度为（    ）km/h，快车的速度为（    ）km/h。 （2）求当x为多少时，两车之间的距离为500km？ 2．（24-25五年级上·山东济南·期末）甲、乙两地相距540千米，一辆货车和一辆客车同时从两地相对开出，3小时后两车还相距135千米（未相遇）。已知客车每小时行驶72千米，货车每小时行驶多少千米？（用方程解答） 3．（2024·河南郑州·小升初真题）如图，甲、乙两人沿着边长为70米的正方形，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度行走，乙从B以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时，是在正方形的边 （AB、BC、CD或DA）上。 4．（2024六年级下·四川·专题练习）明明家和学校相距2300米，每天步行上学，有一天他正以每分钟80米的速度前进着，一抬头看见路边的钟表发现要迟到，他马上改用每分钟150米的速度跑步前进，途中共用20分钟，准时到达了学校。明明在离学校多远的地方开始跑步？ 【解题技巧】行程问题总公式：路程=速度×时间。不同类型问题，在求解速度时有所不同，具体如下： ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间； Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间； Ⅱ．寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 1．（2024·山西运城·小升初真题）甲、乙两地相距840千米，一辆货车和一辆客车分别从甲乙两地同时相向开出，经过6小时相遇。客车每小时比货车快14千米，两车的速度各是多少？（用方程解） 2．（23-24五年级下·辽宁·课后作业）带着小狗的小明和小兵同时从相距1200米的两地相向而行，小明每分行55米，小兵每分行65米，小狗每分跑240米。小明的小狗遇到小兵后立即返回向小明这边跑，遇到小明后再向小兵那边跑……当小明和小兵相遇时，小狗一共跑了多少米？ 3．（2024·四川绵阳·小升初真题）A、B两市相距176千米，两市之间一处因山体滑坡导致连接这两市的公路受阻，甲、乙两个工程队接到指令，要求于早上7点，分别从A、B两地同时出发赶往滑坡地点疏通公路。甲队于9点赶到并立即开工半小时后，乙队也赶到，并立即投入抢修工作，此时甲队已完成了全部任务的 （1）如果滑坡受损公路长1千米，甲队行进的速度是乙队的倍多5千米，求甲、乙两队的行进的速度各是多少？ （2）如果下午3点两队就完成公路疏通任务，胜利会师，那么若由乙队单独疏通这段公路时，需要多少时间才能完成任务？ 4．（2022·重庆沙坪坝·小升初真题）一辆汽车在A，B两地之间不停地往返行驶，小刚从A去B，每小时4千米，汽车从B去A，途中相遇，30分钟后汽车由A返B追上小刚；再过70分钟后汽车由B返A的途中又与小刚相遇，再过50分钟后汽车由A返B又追上小刚。 （1）求汽车的速度； （2）求A、B两地之间的路程； （3）在前面的条件下，若人、车分别从A、B同时出发，同向行驶，汽车从B到C处后立即返回，回到B后继续朝A行驶，直至与小刚相遇，共用了5小时，求BC之间的路程。 考点四： 工程问题 1．（2024·河南周口·小升初真题）一项工程，甲单独做要10天，乙单独做要15天，丙单独做要20天，三人合做期间，甲因故请假，工程6天完工，则甲请了（    ）天假。 A．1 B．3 C．5 D．6 2．（2024·江苏常州·小升初真题）为进一步发挥生态优势、建设美丽乡村，溧阳某网红村要修缮一条廊桥，全长360米，第一天修了25%，再修多少米可以修完这条廊桥的？ 3．（2024·湖南衡阳·小升初真题）在“我是城市小主人”公益墙绘活动中，阳光小学承担了400平方米的绘画任务。六（1）班单独完成需要20天，六（2）班单独完成需要25天，两个班一起画，多少天可以完成？ 我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。 工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。 1．（2024·河南郑州·小升初真题）修一条路，甲、乙两队合作12天可以完成。如果甲队单独做8天后，再由乙队单独做3天，这时甲、乙两队共同完成了全部工程的。如果这条路由乙队单独修，那么乙队多少天可以修完这条路？ 2．（2024·河北石家庄·小升初真题）一条路长360千米，若甲队单独修，12天修完；若乙队单独修，18天修完。若两队合修，9天能修完吗？解决这个问题，三位同学想到了不同的解法。 能，因为：360÷（360÷12＋360÷18） 算出7.2天就能完成。 小丽 能，因为：1÷（＋） 算出天就能完成。 小梅 能，因为：12÷2等于6天，18÷2等于9天，合作时间应该大于6天，小于9天。 小强 下面说法正确的是（    ）。 A．小丽、小梅、小强的解法都正确。 B．只有小丽和小梅的解法正确。 C．只有小梅和小强的解法正确。 D．只有小丽和小强的解法正确。 3．（2024·湖南岳阳·小升初真题）一件工程，乙队先做4天，继而甲、丙两队合作6天，剩下的工程甲队独做9天完成，已知乙队完成的是甲队完成的，丙队完成的是乙队完成的2倍，甲、乙、丙三队独做各需要多少天？ 考点五： 年龄问题 1．（2024·浙江杭州·小升初真题）可可6岁时，妹妹年龄是可可的，当可可n岁时，妹妹( )岁。 2．（2024·四川绵阳·小升初真题）爸爸对儿子说：“我像你这么大时，你才4岁。当你像我这么大时，我就79岁了。现在爸爸( )岁，儿子( )岁？” 3．（2023·四川·小升初真题）父亲和女儿现在年龄之和是91，当父亲的年龄是女儿现在年龄的2倍的时候，女儿年龄是父亲现在年龄的，女儿现在年龄是( )岁。 “年龄差不变”是隐藏在年龄问题中的已知条件，每个年龄问题都是与年龄差发生关系，找出年龄差是解题的关键。 1．（2023·四川成都·小升初真题）爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和70岁，当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁，当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁，现在三人的年龄各是多少岁？ 2．（2021·四川绵阳·小升初真题）有一个四口之家，成员为父亲、母亲、女儿和儿子，今年他们的年龄加在一起为75岁，其中父亲比母亲大1岁，女儿比儿子大2岁。已知4年前，家里所有人的年龄之和是60岁，则母亲今年( )岁。 3．（2021·河南信阳·小升初真题）王老师有个学生，当王老师像学生那么大时，学生才1岁；当学生像王老师那么大时，王老师37岁。王老师和学生现在各多少岁？ 考点六： 数字与日历问题 1．（2024·河北石家庄·小升初真题）一个三位数，它的个位上的数字是a，十位上的数字是b，百位上的数字是c。这个三位数是（    ）。 A．100a＋10b＋c B．100c＋10b＋a C．100abc D．abc 2．（2024·四川宜宾·小升初真题）一个两位数，十位上的数字是个位上的，把十位上数字与个位上数字调换后，新数比原数大18，则原数个位数字和十位数字之和是（    ）。 A．10 B．12 C．18 D．21 3．（2023·山西·小升初模拟）一个两位数，个位与十位上的数字的和是9。如果这个两位数减去27，那么得到的差正好是原来的数个位与十位数字交换。求原来的数？ 4．（2023六年级下·浙江嘉兴·专题练习）观察日历找规律。 （1）观察日历中加框的4个数，你发现了什么？ （2）观察日历中加阴影的9个数，你又发现了什么？ （3）你还能在日历中找到什么规律？ 1）已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 2）日历表中的日期左右相差1，上下相差7. 1．（24-25六年级上·全国·课后作业）一个两位数，已知它的个位数字是十位数字的。如果把这个两位数的十位数字与个位数字调换位置，那么所得的新数与原数的和是154，求这个两位数是多少。 2．（2023四年级上·全国·专题练习）一个两位数，十位上的数字是个位上数字的2倍，如果把这两个数字对调位置，组成一个新的两位数，所得新数与原数的和是132，原来的两位数是多少？ 3．（24-25六年级下·全国·课后作业）如图，在日历上任意框出6个数。如果框出的6个数的和是75，框出的6个数分别是多少？ 考点七： 销售问题 1．（2024·重庆涪陵·小升初真题）某平台通过直播带货帮助农户线上销售农副产品。张伯伯通过此平台销售自家种植的桃子。第一次销售出了桃子总量的15%，第一次销售的量与第二次销售的量的比是3∶5，这时还有36吨没有卖出。张伯伯家今年共收桃子多少吨？ 2．（2024·河南驻马店·小升初真题）一种空调，商场将进价加35%定价，然后按定价打九折出售，商场承诺交易成功的话每台空调送“出租车”费用50元，即使这样每台空调仍可获利208元，这种空调每台的进价是多少元？ 3．（2024·河北邯郸·小升初真题）微山岛上一大型超市在“五一”期间为了回馈新老用户，决定实行优惠活动。 优惠方案一：非会员购物所有商品价格可获得九折优惠。 优惠方案二：交纳200元会费可成为该超市会员，所有商品价格可获得八折优惠。 若用x（元）表示商品价格，请你用含有x的式子表示两种购物优惠后所花的钱数。 （1）方案一购物优惠后所花的钱数是（    ），方案二购物优惠后所花的钱数是（    ）。 （2）当商品价格为多少元时，两种优惠所花的钱数相同？ （3）若某人计划在该超市购买价格为2700元的一部手机，请你列式分析一下选择哪种优惠更省钱？可节省多少元？ 此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。 实际售价＝标价×打折率 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 1．（2024·河北邢台·小升初真题）王阿姨自主创业开了一家服装店，因为进货时没有进行市场调查，在换季时积压了一批服装，为了缓解压力，王阿姨决定打折促销。若每件服装按标价的五折出售将亏20元，而按标价的八折出售将赚40元，每件衣服的标价是多少元？要保证不亏，最多能打几折？ 2．（2024·山东德州·小升初真题）银座商场将运动衣按进价的50%加价后，写上“大酬宾，八折优惠”，结果每件运动衣仍获利40元，运动衣的进价是多少元？ 3．（2022·陕西西安·小升初真题）甲、乙、丙三位志愿者在一次救灾募捐中积极捐款，乙的捐款数比甲的2倍少100元，丙的捐款数比甲、乙两人的捐款数的和少300元，甲的捐款数是丙的，那么甲捐款多少元？ 考点八： 分段计费问题 1．（2022·河北沧州·小升初真题）为鼓励居民节约用水，自来水公司规定：每户每月用水15吨以内（含15吨）按5.2元一吨收费；超过15吨，其超出的吨数按7元一吨收费。 （1）文文家上月共交水费92元，他家上月用水多少吨？ （2）红红家上月共用水23吨，应交水费多少元？ 2．（2023·四川成都·小升初真题）某市居民生活用电基本价格为每度0.40元，若每月用电量超过a（）度，超过部分按基本价格的70%收费。 （1）某户一月份用电84度，其交电费30.72元，求a的值。 （2）该户二月份的电费平均为每度0.36元，求该户二月份用电多少度？应交电费多少元？ 3．（2024·山东德州·小升初真题）滴滴网约车是通过网络预约的出租车，下表是滴滴网约车各费用项计价方式。 【起步价】包含一定里程和时长 普通时段 5.00元/含2.3千米；含7分钟 00：00～09：00 17：00～00：00 6.00元/含2.3千米；含7分钟 【里程费】超出起步里程后计算 【时长费】超出起步时长后计算 普通时段 1.55元/千米 普通时段 0.30元/分钟 00：00～06：00 23：00～00：00 2.40元/千米 00：00～06：00 23：00～00：00 0.60元/分钟 说明：包含里程或包含时长任意一项超出，将在起步价基础上累加计费；超出部分计数单位以整数计，例如0.1千米为1千米，0.1分钟为1分钟。 （1）李叔叔6月3日晚上9时在滴滴出行平台预约了一辆车，里程和时长如图，李叔叔需要支付多少元？ （2）6月14日早上5：30李叔叔又在该平台预约了出行服务，时长6分钟，共支付10.8元，李叔叔本次里程最长多少千米？ 【解题技巧】此类题型，收费往往因为不同的分段，标准会不一样。因此，在列写此类问题的等式方程时，需要先依据题意将路程进行合理分段，然后在按照不同分段中的收费标准列写等式方程。 常见试题背景：水费、电费、气费、车费、纳税、社保医保体系等 1．（2021·浙江·小升初真题）为倡导合理利用电资源，电力局推行了居民申请使用“峰谷”电制度，具体如下图所示。已知一个家庭使用峰谷电的某月电费为95.2元，经测算，比不使用峰谷电节约10.8元，该家庭当月使用峰电和谷电各多少千瓦时？ 8：00－22：00：每千瓦时0.56元（峰电价格） 22：00－8：00：每千瓦时0.28元（谷电价格） 不使用峰谷电：每千瓦时0.53元 2．（2024·吉林长春·小升初真题）游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳300元会员费，每次游泳另外收费10元（一年内有效）。 （1）爸爸游泳锻炼的计划是一年，每月两次。他选择哪种方式更划算？请写出简要的思考过程。 （2）一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？请写出简要的思考过程。 考点九： 其它问题 1．（2022·山西太原·小升初真题）学校购买了12张课桌和18把椅子，一共用去1728元。已知每张课桌的价钱是每把椅子的3倍，每张课桌和每把椅子各多少元？ 2．（2022·湖南长沙·小升初真题）王强从家里骑摩托车到火车站赶乘火车，若每小时行30千米，则早到15分钟；若每小时行20千米，则迟到5分钟。如果打算提前到5分钟，那么摩托车的速度应是多少千米/小时？ 3．（2024·安徽阜阳·小升初真题）在辽阔的内蒙古大草原上，深秋之后，天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可以供多少头牛吃10天？ 1．（2024·四川绵阳·小升初真题）山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间流入池中的水量相同）不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则6小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则2小时正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？ 2．（2022·内蒙古呼伦贝尔·小升初真题）从扑克牌中取出两张王牌，在剩下的52张中任意取牌。 （1）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数相同？ （2）至少取多少张牌，保证有2张牌的点数不同？ （3）至少取多少张牌，保证有2张花色相同？ （4）至少取多少张牌，保证有2张红桃？ 3．（2024·湖南株洲·小升初真题）世界上最大的蜂鸟是巨蜂鸟，体长是230毫米，比世界上体型最小的鸟类古巴的吸蜜蜂鸟体长的4倍还多30毫米。古巴的吸蜜蜂鸟的体长约是多少毫米？ （1）下面哪幅图正确表达了题目的意思，请将正确的序号填在横线内______。 （2）请列方程解决这个问题。 1．（21-22五年级上·贵州六盘水·期中）我国古代数学名著《九章算术》中有这样一道题“今有善行者一百步，不善行者六十步。今不善行者先行一百步，善行者追之，问几何步及之？”。这道题的意思是：甲走路快，乙走路慢，两个人在相同时间里，甲走100步，乙走60步。现在乙先走100步，甲随后就追，甲要走多少步才能追上乙？追及问题的数量关系式是：路程差÷速度差＝追及时间，所以，甲追上乙需要的时间是： 100÷﹙100－60﹚＝100÷40＝2.5﹙个时间单位﹚在这2.5个时间单位里，甲要走的步数是：100×2.5＝250﹙步﹚甲要走250步才能追上乙。请同学们用你学到的方法解决下面的问题。 哥哥和弟弟去公园参观花展，弟弟每分钟走50米，走了5分钟后，哥哥以每分钟70米的速度去追弟弟，经过多少分钟以后哥哥可以追上弟弟？ 2．（24-25六年级上·辽宁·课后作业）在《算法统宗》中有这样一题：甲赶群羊逐草茂，乙拽肥羊随其后，戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，若得这般一群凑，再添半群小半群，得你一只来方凑。玄机奥妙谁猜透？讲的是牧羊人赶着一群羊去寻找草长得茂盛的地方放牧，有一个过路人牵着一只肥羊从后面跟了上来。他对牧羊人说：“你赶的羊大概有100只吧？”牧羊人答道：“如果这一群羊加上一倍，再加上原来这群羊的50%，又加上原来这群羊的25%，连你牵着的这只肥羊也算进去，才刚好凑满100只。”你知道牧羊人放牧的这群羊有多少只吗？ 3．（20-21六年级上·江苏淮安·期末）《算法统宗》中记有“李白沽酒”的故事，诗云：今携一壶酒，游春郊外走。逢朋加一倍，入店饮半斗。相逢三处店，饮尽壶中酒。试问能算土：如何知原有？大意是：李白在郊外春游时，做出这样一条约定：遇见朋友，先到店里将壶里的酒增加一倍，再喝掉半斗（5升）酒。按照这样的约定，在第3个店里遇到朋友正好喝光了壶里的酒，算一算，李白的酒壶中原有多少升酒？ 4．（2023·河北邯郸·小升初真题）一条小河经过A，B，C三镇，A，B两镇之间有汽船来往，汽船在静水中的速度为每小时11千米，B，C两镇之间有木船摆渡，A、C两地之间的距离为50千米，木船在静水中的速度为每小时3.5千米，水流速度为1.5千米每小时。某人从A镇上汽船顺流而下到B镇，接着乘木船又顺流而下到C镇。全程共用7小时，那么A，B两镇间的距离是 。 5．（2021·河北沧州·小升初真题）一个防盗门的密码由4个数字按从大到小的顺序组成，这4个数字之和是16，并且相邻的两个数字都相差2，这个密码是多少？ 6．（2024·四川绵阳·小升初真题）张先生向商店订购了每件定价为100元的某种商品80件，张先生对商店经理说：“如果你肯降价，那么每降价1元，我就多订购4件。”商店经理算了下，若减价5%，则由于张先生多订购，获得的利润反而比原来多100元，这种商品的成本是多少元？ 7．（2024·四川成都·小升初真题）春节期间，某商店按下面两种方式促销。第一种方式：减价20元后再打八折；第二种方式：打八折再减20元。刘老师到商店买了两件不同的商品，其中一件按第一种方式促销，另一件按第二种方式促销，共花了252元。已知两件商品的原价都大于100元，而且其中一件商品的原价是另一件的整数倍（倍数大于1），那么这两件商品的原价分别是多少元？ 8．（2023·四川·小升初真题）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元。 （1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？ （2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完利润率为25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价应该是多少元？ 9．（2024·四川成都·小升初真题）某商店面包的成本是定价的80%，可乐的定价是10元，成本是8元。现在商店把2个面包与1杯可乐配套出售，并且按它们的定价之和的90%出售。这样每套可获得利润3元。面包的成本是多少元？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$