衔接点01 运算与技巧（培优讲义）-2025年小升初数学无忧衔接（通用版）

衔接点01 运算与技巧 小学阶段 初中阶段 【运算内容】主要学习基本的四则运算，包括整数、分数的加减乘除，以及简单的估算和计算器使用. 【运算技巧】注重运算的准确性和熟练度，通过反复练习掌握基本的运算技巧，如：凑十法、乘法口诀等. 【运算内容】在小学基础上，扩展到有理数、有理数和实数，增加了负数、无理数的概念和运算，学习乘方、开方等更复杂的运算，以及代数式的运算. 【运算技巧】强调灵活运用运算律和运算技巧，如交换律、结合律、分配律等，提高运算效率和准确性，同时注重运算过程中的逻辑性和严密性. 衔接指引 巩固基础运算能力 1.提高计算准确率与速度：在小学高年级，应重点练习整数、分数的四则运算，确保计算准确快速，为初中学习有理数、实数的运算打下坚实基础. 2.强化运算顺序：熟练掌握运算顺序，即先乘除后加减，有括号先算括号内的，避免在复杂运算中出现错误. 学习并运用运算定律 1.理解并掌握运算定律：在小学阶段，应深入学习加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律等，理解其意义并能灵活运用. 2.运用运算定律简化计算：在解决实际问题时，有意识地运用运算定律进行简便计算，提高运算效率和准确性. 培养抽象思维能力 1.从具体到抽象过渡：在小学高年级，逐渐引入用字母表示数的概念，让学生理解代数式的意义，为初中学习代数式运算做好准备. 2.解决代数问题：通过解决简单的代数问题，如解一元一次方程，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力. 学习新的运算技巧 1.预习有理数运算：在暑假期间，可以预习有理数的加减乘除运算，特别是负数的运算规则，为初中学习做好准备. 2.掌握乘方、开方运算：了解乘方、开方的概念和运算规则，通过练习掌握其计算方法. 培养良好的学习习惯 1.养成预习和复习的习惯：在小学高年级，开始培养预习和复习的习惯，为初中学习更复杂的数学知识做好准备. 2.整理错题集：将做错的题目整理成错题集，分析错误原因，避免重复犯错，提高学习效率. 1．运算定律 1）加法交换律： 加法结合律： 2）乘法交换律： 乘法结合律： 3）乘法分配律： 乘法分配律的逆用： 2．运算性质 1）减法的性质： 2）除法的性质： 3）商的“不变性”，即若，则，； 3．裂项公式（补充）：把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷. 第一类（“裂差”型运算）：或 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的. 4．数列求和公式（补充） 等差数列求和 等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2 等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1 等比数列求和 等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1） 5．乘法公式（补充） 平方差公式： 完全平方公式：， 考点一： 活用运算定律和性质（凑整思想） 1．（2024·内蒙古通辽·小升初真题）脱式计算下面各题，能简算的要简算。 7.6×2.5×4         87×        26.4－3.28－6.4－4.72 1.25×8×4×2.5        73×101             【答案】（1）76；（2）85；（3）12； （4）100；（5）7373；（6）28 【分析】（1）根据乘法结合律先计算2.5×4，再计算7.6乘（2.5×4）的积； （2）把87写成（86＋1）形式，再根据乘法分配律进行计算； （3）先将3.28与6.4交换位置，带符号移动，再根据减法的性质，连续减去两个数可以等于减去这两个数的和，把原式改写成（26.4－6.4）－（3.28＋4.72）形式进行简算； （4）根据乘法结合律，添加小括号，分别计算（1.25×8）和（4×2.5），所得积最后再相乘； （5）把101写成（100＋1）形式，再根据乘法分配律进行计算； （6）把除法改写成乘法形式，再根据乘法分配律进行简算。 【详解】（1）7.6×2.5×4 ＝7.6×（2.5×4） ＝7.6×10 ＝76 （2）87× ＝（86＋1）× ＝86× ＝85＋ ＝85 （3）26.4－3.28－6.4－4.72 ＝26.4－6.4－3.28－4.72 ＝（26.4－6.4）－（3.28＋4.72） ＝20－8 ＝12 （4）1.25×8×4×2.5 ＝（1.25×8）×（4×2.5） ＝10×10 ＝100 （5）73×101 ＝73×（100＋1） ＝73×100＋73×1 ＝7300＋73 ＝7373 （6） ＝（）×32 ＝ ＝8＋20 ＝28 2．（2024·山西吕梁·小升初真题）脱式计算，能简算的要简算。 0.25×5.32×4         【答案】5.32；1110； 【分析】（1）根据乘法交换律a×b＝b×a把0.25×5.32×4变成0.25×4×5.32，再按顺序计算； （2）把改写成，然后根据加法交换律a＋b＝b＋a，加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），把变成，再按顺序计算； （3）根据乘法交换律a×b＝b×a把变成，再按顺序计算。 【详解】（1）0.25×5.32×4 ＝0.25×4×5.32 ＝1×5.32 ＝5.32 （2） ＝10＋100＋1000 ＝1110 （3） 3．（2024·河南周口·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。     857×1.9－8.57×80－85.7      【答案】；857 3；1 【分析】（1）先计算括号里的减法，原式化为：÷＋0.8÷，再把除法换算成乘法，原式化为：×＋0.8×，再根据乘法结合律的逆运算，原式化为：（＋0.8）×，进行计算； （2）把8.57×80化为857×0.8；85.7化为857×0.1，原式化为：857×1.9＋857×0.8＋857×0.1，再根据乘法分配律逆运算，原式化为：857×（1.9－0.8－0.1），再进行计算； （3）先计算小括号里的加法，再计算中括号里的乘法，最后计算括号外的除法； （4）把分母567×345＋222中的567化为566＋1，化为：（566＋1）×345＋222，再根据乘法分配律，原式化为566×345＋1×345＋222，再根据加法结合律，原式化为：566×345＋（354＋222）；最后化为：566×345＋567，再进行计算。 【详解】（1－）÷＋（13.8－13）÷ ＝÷＋0.8÷ ＝×＋0.8× ＝（＋0.8）× ＝（0.2＋0.8）× ＝1× ＝ 857×1.9－8.57×80－85.7 ＝857×1.9－857×0.8－857×0.1 ＝857×（1.9－0.8－0.1） ＝857×1 ＝857 ÷[（＋）×] ＝÷[（＋）×] ＝÷[×] ＝÷ ＝× ＝3 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1 4．（2024·河南南阳·小升初真题）脱式计算，能简算的要简算。                                     【答案】；29； 0.75； 【分析】（1）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的除法，最后算中括号外面的乘法； （2）先交换“”和“”的位置，然后根据加法减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）把变成，再按顺序计算； （3）先把、25%变成0.25，然后根据乘法分配律a×c＋b×c＝（a＋b）×c把变成，再按顺序计算； （4）先把2024拆成2023＋1，然后根据乘法分配律计算（a＋b）×c＝a×c＋b×c把变成，再按顺序计算。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝ 凑整思想是一种广泛应用于数学计算中的方法，其核心在于通过调整数值，使其变成更容易计算的整数，从而简化运算过程，提高计算速度和准确性.如：把“一些分数（或小数）凑成整数”，把“一些整数凑成10的整倍数”，使有理数式子容易计算出结果，这一思想在小学数学教育中尤为重要，它不仅帮助学生快速掌握加减乘除的基本运算，还培养了他们的逻辑思维和解决问题的能力. 以下是凑整法在不同运算中的具体应用： 加法凑整 其基本思路是将加数凑成整数，再进行计算.例如，计算1999+198+97+8时，可以将每个加数凑成整数：1999+198+97+8=(2000−1)+(200−2)+(100−3)+8=2300−6+8=2302. 减法凑整 例如，计算2537−118−382时，可以先将减数凑成整数： 2537−118−382=2537−(118+382)=2537−500=2037 乘法凑整 1）乘法凑整通常利用乘法的交换律和结合律.例如，计算8×34×25×125×4时，可以将乘数凑成整十、整百：8×34×25×125×4=(8×125)×(25×4)×34=1000×100×34=3400000 2）利用互为倒数的特性，如计算，由于​和​互为倒数，乘积为1，所以整个表达式简化为1×5=5. 除法凑整 除法凑整可以通过将除数或被除数凑成整数，再进行计算.例如，计算316÷9+413÷9+171÷9时，可以将被除数相加，再除以相同的除数：316÷9+413÷9+171÷9=(316+413+171)÷9=900÷9=100 分数加减法的凑整 凑整法同样适用于分数运算.例如，计算，可以先将同分母的分数相加：和，最终结果为1+1=2. 1．（2024·湖南株洲·小升初真题）脱式计算，能简算的要简算。 ①864÷[（327－263）÷8]        ②85×＋15×75% ③                ④6.75－＋3.25－ 【答案】①108；②75 ③；④6 【分析】①先计算小括号里面的减法，再计算中括号里面的除法，最后计算括号外的除法； ②先将和75%化成统一小数形式，都可以化成0.75，再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c，将式子化为（85＋15）×0.75，再进行计算； ③将50%化成分数，计算小括号里面的减法，分数进行通分，再计算小括号外面的除法，最后计算加法； ④通过观察，可以发现6.75和3.25可以相加得到整数，根据加法交换律和减法的性质，将式子化为（6.75＋3.25）－（＋），再进行计算即可。 【详解】①864÷[（327－263）÷8] ＝864÷[64÷8] ＝864÷8 ＝108 ②85×＋15×75% ＝85×0.75＋15×0.75 ＝（85＋15）×0.75 ＝100×0.75 ＝75 ③＋（50%－）÷ ＝＋（－）÷ ＝＋÷ ＝＋2 ＝ ④6.75－＋3.25－ ＝（6.75＋3.25）－（＋） ＝10－4 ＝6 2．（2024·河南郑州·小升初真题）脱式计算，能简算的要简算。 （1）                  （2） （3）241×690÷339÷345×678÷241            （4） 【答案】（1）；（2）10 （3）4；（4） 【分析】（1）先算小括号里面的减法，再按照乘法分配律的逆运算进行计算； （2）先算小括号里面的加法，再算中括号里面的乘法，然后算中括号里面的减法，最后算除法； （3）根据带符号搬家，将式子中的数重新组合进行简便计算； （4）先算小括号里面的减法和加法，再按照从左到右的顺序计算。 【详解】（1） ＝×＋× ＝×（＋） ＝× ＝ （2） ＝[3.75－×]÷0.135 ＝[3.75－2.4]÷0.135 ＝1.35÷0.135 ＝10 （3）241×690÷339÷345×678÷241 ＝（241÷241）×（690÷345）×（678÷339） ＝1×2×2 ＝4 （4） ＝（＋26）÷× ＝×× ＝37× ＝ 3．（2024·四川成都·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。 （1）    （2）    （3） （4）    （5）      （6） 【答案】（1）；（2）60；（3）15；（4）0.6；（5）；（6） 【分析】（1）先算括号里面的加法，再算括号外面的乘法。括号里面是异分母分数加法，先通分将分数转化为同分母加法。分数的乘法，能约分的要先约分。 （2）分数连乘能约分的先约分。 （3）运用乘法的分配律简便运算。 （4）先算括号里面的减法，再算括号外面的乘法。括号里面是异分母分数减法，先通分将分数转化为同分母减法。分数的乘法，能约分的要先约分。 （5）分数的乘除混合运算现将分数的除法转化成分数的乘法计算。除以一个数相当于乘这个数的倒数。 （6）先算括号里面的减法，再算括号外面的乘法。括号里面是整数减分数，先将整数转化为和另外一个分数同分母的分数，再根据同分母减法计算。分数的乘法，能约分的要先约分。 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 4．（2024·四川巴中·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。                      【答案】4000；54；4 10；378；12.5 【分析】（1）根据乘法结合律（a×b）×c＝a×（b×c）进行简算； （2）先算小括号里面的减法，再算中括号里面的乘法，最后算中括号外面的除法； （3）先算，根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c进行简算，再根据加法结合律（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）进行简算； （4）先交换“”和“”的位置，再根据减法的性质a－b－c＝a－（b＋c）进行简算； （5）先算括号里面的减法，再算除法，最后算乘法； （6）根据乘法分配律的逆运算a×c＋b×c＝（a＋b）×c进行简算。 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 5．（2024·河南驻马店·小升初真题）用你喜欢的方法计算。          52×3.7＋37%×260＋0.22×370           【答案】5；370； 31.25；1.2 【分析】（1）先计算小括号里的加法，然后计算中括号里的乘法，再算中括号里的减法，最后算中括号外的除法； （2）（3）两个数的和与一个数相乘，可以先把它们分别与这个数相乘，再相加，积不变，这叫做乘法分配律，根据乘法分配律简便计算； （4）先计算两个括号里的除法和乘法，然后算前面括号里的减法，最后算除法； 【详解】（1） ＝[－]÷1.6 ＝[－]÷1.6 ＝8÷1.6 ＝5 （2）52×3.7＋37%×260＋0.22×370 ＝52×3.7＋3.7×26＋22×3.7 ＝（52＋26＋22）×3.7 ＝100×3.7 ＝370 （3）×7.4－＋3.6×3.125 ＝3.125×7.4－3.125＋3.6×3.125 ＝（7.4－1＋3.6）×3.125 ＝10×3.125 ＝31.25 （4） ＝ ＝（9.6－8.4）÷1 ＝1.2÷1 ＝1.2 考点二： 巧分组法 1.（2024·广东·小升初模拟）计算题，写出计算过程和结果。 （1） （2） 【答案】（1）；（2）2050 【分析】（1）将带分数转化为整数和真分数相加，利用加法的交换律和结合律将整数和整数相加，分数和分数相加。（2）观察数据，把整数和整数先加起来。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝25＋ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2050 2.．（2024六年级·浙江·培优）计算。 （1） （2）2023-2020+2017-2014＋2011－2008＋……＋19－16+13－10+7－4+1 【答案】（1）（2）1012 【分析】（1）根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号搬家和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可。 （2）合理分组：（2023-2020）+（2017-2014）＋（2011－2008）＋……＋（13－10）＋（7－4）＋1 每两个数为一组，结果是3；一共有337组；进行简算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2）2023-2020+2017-2014＋2011－2008＋……＋13－10＋7－4+1 =（2023-2020）+（2017-2014）＋（2011－2008）＋……＋（13－10）＋（7－4）＋1 每两个数为一组，结果是3；一共有337组； =3×337+1 =1012 3.．（2022·江苏南京·统考小升初真题）简算，并写出简算过程。 99－97＋95－93＋91－89＋…＋7－5＋3－1 【答案】50； 【分析】第四小题，通过观察，两组数字为一组，共分为25组，每组得数是2，进而计算即可； 【详解】99－97＋95－93＋91－89＋…＋7－5＋3－1 ＝（99－97）＋（95－93）＋（91－89）＋…＋（7－5）＋（3－1） ＝2＋2＋2＋…＋2＋2（25个2） ＝2×25 ＝50 4.（2024·江苏·六年级校考期中）计算： 【答案】21； 【分析】法1：把整数和整数部分相加，分数和分数部分相加，分数部分相加时，把写成1－，写成－，写成－，写成－，写成－，写成－，再进行简算即可； 法2：把整数和整数部分相加，分数和分数部分相加，分数部分相加时，添项，再减去，达到凑整的目的，再进行简算即可。 【详解】法1： ＝（1＋2＋3＋4＋5＋6）＋（） ＝21＋（1－＋－＋－＋－＋－＋－） ＝21＋（1－） ＝21＋ ＝21 【详解】法2： ＝（1＋2＋3＋4＋5＋6）＋（+－） ＝21＋（＋＋＋＋＋－） ＝21＋（＋＋＋＋－） ＝21＋（＋＋＋－） ＝21＋（＋＋－） ＝21＋（＋－） ＝21＋（1－） ＝21＋ ＝21 在数学计算中，巧分组法是一种重要的巧算技巧。它通过将算式中的若干项合理分组，使得每组的计算结果相同或便于计算，从而快速得出整个算式的答案。例如，在计算一系列连续奇数相加时，可以根据数字的符号规律，将四个数分为一组，因为每组的和为零，最终简化计算过程。这种方法尤其适用于涉及大量相近数字的加法运算，通过寻找数字间的规律和特征，进行分组处理，可以显著提高计算效率。 【解题技巧】观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算。 1．（2024六年级·全国·）计算。 【答案】 【分析】根据带分数的意义，可将算式变为，然后去掉括号，将算式变为，然后根据带符号搬家和括号的应用，将算式变为，再计算括号里面的结果，接着根据乘法的意义，将算式变为进行简算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 2．（2023·四川成都·小升初真题）计算。       【答案】； 【分析】，根据带分数的意义以及带符号搬家，将算式变为，将每个分数变为，根据，将算式变为，然后计算出，再把括号去掉，将算式变为；能相互抵消掉的分数就互相抵消，据此算式变为，进而得出结果。 ，先把所有的假分数化为带分数，然后根据减法的性质，将算式变为，再根据带符号搬家，将算式变为，据此加上括号，将算式变为，计算第一个括号的结果为8，因为，所以算式等于，也就是，据此计算出，再去掉括号，将算式变为，最后计算出结果。 【详解】 3．（2025五年级下·全国·专题练习）计算： 【答案】1 【分析】将算式重新分组并组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算，这道题可以用分组求解法求解。算式中共有2006个分数，从第二个分数开始依次往后数，每4个分数为一组，到为止，共501组，每组计算的结果都是0。 【详解】 ＝ ＝ ＝1 【点睛】这道题的关键在于发现分组求和的规律。分组求和是将数列中的项按照一定的规律分成若干组，然后逐组求和的方法。 4．（2025五年级下·全国·专题练习）计算： 【答案】0 【分析】将算式重新分组并组合，把能凑整或约分化简的部分结合在一起简算，这道题可以用分组求解法求解。算式中共有2000个分数，从第一个分数开始依次往后数，每4个分数为一组，到为止，共500组，每组计算的结果都是0。 【详解】 ＝ ＝ ＝0 考点三： 换元法 1．（2024·成都市小升初模拟）计算（写出必要的计算过程）。 【答案】 【分析】假设＝a，则原式变形为：（1＋a）×（a＋）－a×（1＋a＋），化简后即可得解。 【详解】设＝a， 原式化为：（1＋a）×（a＋）－a×（1＋a＋） ＝a＋＋a2＋－a－ a2－ ＝ 【点睛】要仔细观察算式的特点，灵活运用一些定律进行简便计算，注意解题的关键是将的和设为a。 2.（2023·广东·校考小升初模拟）用简便方法计算。 【答案】 【分析】假设，，把字母代入原式化简含有字母的式子，最后再把a和b的值代入化简后的式子求出结果，据此计算。 【详解】假设， 原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 换元法是一种在数学解题中广泛使用的方法，尤其在解决复杂问题时，能够显著简化计算步骤，使问题变得更容易处理。在小学阶段，学生们初次接触换元法，主要是为了培养他们的逻辑思维和问题解决能力。换元法的基本思想是将一个复杂的数学表达式中的某一部分用一个新变量来代替，从而将原问题转化为更容易解决的形式。例如，在解决某些代数问题时，若某个表达式重复出现，我们可以将其用一个字母（如x或y）来表示，这样就能简化计算过程。这种方法的实质是转化，通过构造新的变量（即换元），将复杂的问题标准化、简单化。 【解题技巧】从式子的整体角度考察，把部分式子用字母代替后，再进行化简求值。通过引入字母转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用。 1．（2021六年级上·辽宁·专题练习）算一算。 （1＋＋＋）×（＋＋＋）－（1＋＋＋＋）×（＋＋）               【答案】； 【分析】（1＋＋＋）×（＋＋＋）－（1＋＋＋＋）×（＋＋）可以设最短的式子为a，次短的式子为b，则设＋＋＝a；＋＋＋＝b，即原式变为：（1＋a）×b－（1＋b）×a，之后运用乘法分配律即可化简，再代入式子即可求解； 可以设＝a，＝b，即原式变为：（1＋a）×b－（1＋b）×a，之后运用乘法分配律即可化简，再代入式子即可求解； 【详解】（1＋＋＋）×（＋＋＋）－（1＋＋＋＋）×（＋＋） 设＋＋＝a；＋＋＋＝b 原式＝（1＋a）×b－（1＋b）×a ＝b＋ab－a－ab ＝b－a 将＋＋＝a；＋＋＋＝b代入得： 原式＝（＋＋＋）－（＋＋） ＝＋＋＋－－－ ＝ 设＝a，＝b 原式＝（1＋a）×b－（1＋b）×a ＝ b＋ab－a－ab ＝b－a 将＝a，＝b代入式子 原式＝－ ＝ 2．（2021六年级上·江苏南京·专题练习）计算下面各题。 【详解】 （4）设＝a，＝b，则 原式＝（b＋）a－（a＋）b ＝ab＋a－ab－b ＝×（a－b） ＝×[（）－（）] ＝× ＝ （5）设＝a，＝b，则 原式＝（b＋）a－（a＋）b ＝ab＋a－ab－b ＝×（a－b） ＝×[（）－（）] ＝× ＝ 考点四： 分数裂项计算 1．（24-25六年级上·江苏常州·期中）先观察下列等式再完成题后问题。          （1）请你猜想：________。 （2）探究并计算：。 【答案】（1）－ （2） 【分析】（1）＝－，可写成：＝－； ＝－，可写成：＝－； ＝－；可写成：＝－； … 由此可知：最前面的分数可以写成分母第一个乘数分之一减去第二个乘数分之一的形式，即＝－，据此解答。 （2）＋＋＋…＋； 把化为×；把化为，再化为：×，最后化为：×（1－）； 化为×，把化为，再化为：×，最后化为：×（－）； 化为×；把化为；再化为：×，最后化为：×（－）； … 化为：×，最后化为：×（－）； 再根据乘法分配律的逆运算，原式化为：×（1－＋－＋－＋…＋－），最后化为：×（1－），再进行计算 【详解】（1）根据分析可知， ＝ ＝－ ＝－ （2）＋＋＋…＋ ＝×＋×＋×＋…＋× ＝×（1－）＋×（－）＋×（－）＋…＋×（－） ＝×（1－＋－＋－＋…＋－） ＝×（1－） ＝× ＝ 2．（2021六年级上·辽宁·专题练习）计算。                  【答案】 【分析】，把原式×，原式化为：×（＋＋＋＋），再把化为－，化为：－，化为－，化为－，化为－，原式化为：×（－＋－＋－＋－＋－），再进行计算； ，原式化为：1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋，再化为：（1＋1＋1＋1＋1＋1）＋（＋＋＋＋＋），再把化为1－，化为－，化为－，化为－，化为－，化为－，原式化为：6＋（1－＋－＋－＋－＋－＋－），再进行计算； ，原式化为：1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋，原式化为：（1＋1＋1＋1＋1）＋（＋＋＋＋），再把（＋＋＋＋）×，原式化为：5＋×（＋＋＋＋），再把化为－，化为－，化为＋，化为－，化为－，原式化为：5＋×（－＋－＋＋＋－＋－），再进新计算； ，把原式化为：（1－）＋（1－）＋（1－）＋…＋（1－）；去掉括号，原式化为：1×99－（＋＋＋…＋），再把化为，化为，＝，……，化为，原式化为：1×99－（＋＋＋…＋），再把化为1－，化为－，化为－…化为－，原式化为：1×99－（1－＋－＋－＋…＋－），最后化为：1×99－（1－），再进行计算。 【详解】 ＝×（＋＋＋＋） ＝×（－＋－＋－＋－＋－） ＝×（－） ＝× ＝ ＝1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋ ＝（1＋1＋1＋1＋1＋1）＋（＋＋＋＋＋） ＝6＋（1－＋－＋－＋－＋－＋－） ＝6＋（1－） ＝6＋ ＝ ＝1＋＋1＋＋1＋＋1＋＋1＋ ＝（1＋1＋1＋1＋1）＋（＋＋＋＋） ＝5＋×（＋＋＋＋） ＝5＋×（－＋－＋＋＋－＋－） ＝5＋×（－） ＝5＋× ＝5＋ ＝ ＝（1－）＋（1－）＋（1－）＋…＋（1－） ＝1×99－（＋＋＋…＋） ＝1×99－（1－＋－＋－＋…＋－） ＝1×99－（1－） ＝99－ ＝ 【解题技巧】把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。利用下面的拆项公式课化简一些有理数式子的计算 第一类（“裂差”型运算）：①或 ②。 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 1．（2024·河北石家庄·小升初真题）观察下列式子：，，，…请计算＝( )。 【答案】/0.9 【分析】观察给出的分解方法，找出规律，将所求的算式中的每一个加数分解成两个分数的差的形式，然后进行计算即可得解。 【详解】 2．（2021六年级上·江苏南京·专题练习）计算下面各题。 【答案】；；；；1 【分析】（1）＝－，＝－，……，＝－，则原式＝－＋－……＋－，最后把式子进行化简即可计算。 （2）＝－，＝－，……，则原式＝－＋－…，最后把式子进行化简即可计算。 （3）＝（－）×，＝（－）×，……，则原式＝（－）×＋（－）×＋（－）×…＋（－）×，再运用乘法分配律进行简算。 （4）＝（1－）×，＝（－）×，……，则原式＝（1－）×＋（－）×＋（－）×…＋（－）×，再运用乘法分配律进行简算。 （5）已知，，，则原式＝1＋（）－（）＋（）－（），运用“去括号”和“添括号”的方法把式子进行化简即可解答。 【详解】 ＝－＋－＋……＋－ ＝－ ＝ ＝－＋－＋－＋－＋－ ＝－ ＝ ＝（－）×＋（－）×＋（－）×…＋（－）× ＝（－＋－＋…＋－）× ＝（－）× ＝× ＝ ＝（1－）×＋（－）×＋（－）×…＋（－）× ＝（1－＋－＋－…＋－）× ＝（1－）× ＝× ＝ ＝1＋（）－（）＋（）－（） ＝1＋＋－－＋＋－ ＝1＋＋（－）－（－）＋（）－ ＝2－ ＝1 3．（2024·全国·小升初模拟） 【详解】 4．（2022·浙江杭州·小升初真题）用递等式计算： 【详解】 （6） ＝＝＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋ ＝8 6．（23-24六年级下·四川成都·期末）选择适当的方法计算。 【详解】 ＝－＋－……＋－ ＝＋－（＋）＋＋－……＋＋－（＋） ＝＋－－＋＋－……＋＋－－ ＝－ ＝ 考点五： 数列求和（等差、等比数列） 1．（2020·四川成都·小升初模拟）计算。 【答案】 【分析】观察分数的分子和分母发现它们是连续的奇数，相邻的两个数相差2，那么分子里数字的个数有（2013－1）÷2＋1＝1007个数，分子的数字和是（2013＋1）×1007÷2＝2014×1007÷2，分母里的数字的个数有（4027－2015）÷2＋1＝1007个数，分母的数字和是（4027＋2015）×1007÷2＝6042×1007÷2，最后进行约分。 【详解】 ＝ ＝ ＝ 故答案为： 【点睛】此题考查的是一个特殊的计算，注意计算是有规律可循的。 【解题技巧】 等差数列求和 等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2 等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1 等比数列求和 等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1） 1．（24-25七年级上·广东惠州·期中）（1）如果欲求的值，可令①，将①式右边顺序倒置，得②，由②式+①式，得　　；　　；由结论求　　； （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； ②为了求的值，可令①，则②，由②式﹣①式，得，，即． 仿照以上推理，计算． 【答案】（1），， （2）①，；② 【分析】本题考查了含乘方的有理数的运算，数字规律探究，正确分析并仿照题目中的解题方法进行求解是解题的关键． (1)根据题目所给方法，可得，从而求得，根据上面得到的公式进行计算即可求得的值； (2)①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数2，根据此规律，可得(n为正整数) ，据此即可得答案；②根据推理进行计算即可求得的值． 【详解】解：（1）如果欲求的值，可令①， 将①式右边顺序倒置，得②， 由②式+①式，得， ， 由结论求， 故答案为：，，． （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是2． 根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么，； 故答案为：，． ②为了求的值，可令①， 则②， 由②式﹣①式，得， ， 即． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 【答案】（1）3；243；（2）；（3） 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的乘方运算，理解题意是解题的关键． （1）根据题目中给出的等比数列的定义即可求解； （2）根据公式推导过程即可求解； （3）根据例题的方法求得，然后错位相减法，即可求解． 【详解】解：（1）等比数列的公比为， 第四项为，第五项为， 故答案为：3，243； （2），，， ， 故答案为：； （3）设①， 则②， 得， ． 考点六： 运用乘法公式运算 1．（24-25七年级下·四川达州·开学考试）计算： 用简便方法计算． 解： ① ② ． （i）例题的求解过程中，第②步变形是利用 （填乘法公式的名称）； （i i）用简便方法计算：． 【详解】 （3）解：（i）由可知其符合平方差公式， 故答案为：平方差公式； （i i） ． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）简便计算：． 【答案】4 【分析】本题主要考查完全平方公式与有理数的简便计算，掌握完全平方公式的计算是关键． 根据题意，运用完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 3．（2022·四川绵阳·小升初真题）计算题。                   【详解】 【解题技巧】平方差公式： 完全平方公式：， 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)6399 (2) 【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行简便运算，将原式进行正确的变形是解题的关键． （1）利用平方差公式计算即可； （2）利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)25000 (2)1 【分析】该题考查了运用平方差公式进行简便计算． （1）根据平方差公式可以化简题目中的式子即可解答． （2）根据平方差公式可以化简题目中的式子即可解答． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）运用整式乘法公式简便计算： (1)； (2)． 【答案】(1)810000； (2)400． 【分析】本题主要考查乘法公式的应用，熟练掌握并灵活运用是解答本题的关键． （1）将转化为，再利用平方差公式计算即可； （2）将转化为，再利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 一、选择题 1．（2024·河南开封·小升初真题）计算时，用（    ）计算比较简便。 A．加法结合律 B．乘法分配律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 【答案】D 【分析】乘法结合律是指三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再同第三个数相乘，也可以先把后两个数相乘，再同第一个数相乘，结果不变；由此把和相结合，然后再进行简算即可。 【详解】 ＝ ＝ ＝ 所以计算时，用乘法结合律计算比较简便。 故答案为：D 2．（2024·山西晋中·小升初真题）张丽用计算器计算“45.7×9.9”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（    ）。 A．45.7×3.3×3 B．45.7×10－0.1 C．45.7×8.8＋45.7×1.1 【答案】B 【分析】根据题意，计算器上的键“9”坏了，只需把9.9拆成别的数，再利用乘法运算定律进行简算，即可得到正确的结果。 A．把9.9拆成3.3×3计算即可； B．把9.9拆成（10－0.1），再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c去掉括号； C．把9.9拆成（8.8＋1.1），再根据乘法分配律（a＋b）×c＝a×c＋b×c去掉括号。 【详解】A．45.7×9.9＝45.7×3.3×3，所以45.7×3.3×3能得到正确的结果； B．45.7×9.9＝45.7×（10－0.1）＝45.7×10－45.7×0.1 45.7×10－0.1≠45.7×10－45.7×0.1，所以45.7×10－0.1不能得到正确的结果； C．45.7×9.9＝45.7×（8.8＋1.1）＝45.7×8.8＋45.7×1.1，所以45.7×8.8＋45.7×1.1能得到正确的结果。 故答案为：B 3．（2023·广东深圳·小升初真题）《九章算术》是中国古代第一部数学专著。它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分，再把分子直接相除。例如：。下面（    ）是采用这种方法计算的。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A．分数化成小数，用分子除以分母即可； B．分数除法的计算法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数； C．商不变的规律：被除数和除数同时乘（或除以）一个相同的数（0除外），商不变； D．被除数、除数先通分，再把分子直接相除。 【详解】A．，是把分数转化成小数，根据小数除法的计算法则进行计算，不符合题意； B．，是根据分数除法的计算法则进行计算，不符合题意； C．，是根据商不变的规律进行计算，不符合题意； D．，先通分把变成，再用分子直接相除，符合题意。 故答案为：D 4．（2022·广西贵港·小升初真题）有一个数字键“4”坏了的计算器，用这个计算器计算24×25时，下列按键方案中（    ）合适。 A．3×8×25 B．6×4×25 C．25×25－1 D．2×2×3×25 【答案】A 【分析】当计算器中数字键坏了后，可以运用加减乘除法将不能按出的数字转换成别的算式，再进行解答。 【详解】A．25×24＝3×8×25，所以可以用A选项的方法； B．25×24＝6×4×25，有4，不可以用B选项的方法； C．25×24＝25×（25－1）＝25×25－25，不相等，所以不可以用C选项的方法； D．25×24＝2×2×6×25，不相等，所以不可以用D选项的方法。 故答案为：A 【点睛】本题考查计算器的使用，结合乘法运算定律是解题的关键。 二、填空题 5．（2024·河北石家庄·小升初真题）观察下列式子：，，，…请计算＝( )。 【答案】/0.9 【分析】观察给出的分解方法，找出规律，将所求的算式中的每一个加数分解成两个分数的差的形式，然后进行计算即可得解。 【详解】 6．（2024·浙江温州·小升初真题）计算“0.36＋”。 方法一：用分数加减法计算，和是 个相加； 方法二：用小数加减法计算，和是 个0.01相加。 【答案】 12 48 【分析】计算“0.36＋”时，可以把小数化成分数，把算式转化为＋，根据同分母分数加法的计算方法算出和，再根据和的分子是几就是几个相加解答；还可以把分数化成小数，把算式转化为0.36＋0.12，算出和，再根据分数的意义判断和是几个0.01相加。 【详解】0.36＝＝ 0.36＋＝＋＝，和是12个相加； ＝3÷25＝0.12 0.36＋＝0.36＋0.12＝0.48，和是48个0.01相加。 方法一：用分数加减法计算，和是12个相加； 方法二：用小数加减法计算，和是48个0.01相加。 7．（2022·湖南长沙·小升初真题）计算： 。 【答案】/0.9 【分析】因为1＋2＋3＋…＋n＝（1＋n）n÷2，将算式变为，然后根据分数的基本性质，将分数的分子和分母同时乘2，则算式变为，再计算出括号里面的加法，接着根据乘法分配律，将算式变为，根据，将算式变为，接着将算式化为，然后计算括号里面的减法，最后计算括号外面的乘法。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【点睛】解决本题关键是找出分母的规律，再进一步把算式进行化简。 8．（2024·江苏镇江·小升初真题）请根据①、②两题的运算方法计算第③题。 ①4×6 ＝（4×6）×（1×1） ＝24×1 ＝24×1 ②0.4×0.6 ＝（4×6）×（0.1×0.1） ＝24×0.01 ＝0.24 ③ ＝( )×( )×（） ＝( )×( ) ＝( ) 【答案】 2 3 6 /0.3 【分析】观察①②算式，先把两个因数计数单位的个数相乘，再乘两个计数单位的积，据此解答即可。 【详解】× ＝2×3×（×） ＝6× ＝ 9．（2024·山东潍坊·小升初真题）一种数学运算，规则是这样的：＝ad－bc，例如＝5×3－2×4＝7，那么＝( )。 【答案】8 【分析】根据规则＝ad－bc，可知＝4×3.25－2×2.5，据此计算出得数即可。 【详解】 ＝4×3.25－2×2.5 ＝13－5 ＝8 10．（2024·河南南阳·小升初真题）1＋…＝( ) 【答案】2 【分析】分母从1开始依次乘2，分子是1的分数相加，通过拆分消元解答。 【详解】1＋… ＝1＋（1－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）＋… ＝1＋1－＋－＋－＋－＋－＋… ＝2 所以…＝2 11．（2024六年级·全国·竞赛）计算：( )。 【答案】/ 【分析】把带分数化为假分数；算式的分子和分母分开计算，分子先算括号里面的减法，再计算括号外面的乘法；分子先算括号里面的加法，再计算括号外面的除法；然后根据分数与除法的关系，用算式的分子除以分母即可。 【详解】 【点睛】此题考查分数的四则混合运算，掌握运算顺序。 12．（2024六年级·全国·竞赛）快速计算，直接填空。 (1)（234＋342＋423）÷111＝( )； (2)×＋×＋×＝( )； (3)9.81×0.1＋0.5×98.1＋0.049×981＝( )； (4)( )； (5)( )。 【答案】(1)9 (2) (3)98.1 (4)4048 (5)4730 【分析】（1）234＋342＋423的和等于999，999可以写成9×111，再除以111即可解答。 （2）可以分成50＋，再分别乘，分成70＋，再分别与，分成90＋，再分别与，然后相加即可解答。 （3）先利用积不变规律，把0.5×98.1改写成5×9.81，把0.049×981改写成4.9×9.81，再利用乘法分配律进行简算。 （4）20242＝2024×2024＝4048×1012，再利用乘法分配律，用1013减1012，再乘4048。 （5）把5＋8＋11＋14＋…＋167加两次，变成（5＋167）＋（8＋164）＋（11＋161）＋…＋（167＋4）＝172×[（167－5）÷3＋1]，再把结果除以2。 【详解】（1）（234＋342＋423）÷111 ＝999÷111 ＝9×111÷111 ＝9 （2）×＋×＋× ＝（50＋）×＋（70＋）×＋（90＋）× ＝50×＋×＋70×＋×＋90×＋× ＝30＋1＋40＋1＋50＋ ＝122 （3）9.81×0.1＋0.5×98.1＋0.049×981 ＝9.81×0.1＋5×9.81＋4.9×9.81 ＝9.81×（0.1＋5＋4.9） ＝9.81×10 ＝98.1 （4）1013×4048 − 20242 ＝1013×4048 – 2024×2024 ＝1013×4048 – 4048×1012 ＝4048×（1013－1012） ＝4048×1 ＝4048 （5）（5＋8＋11＋14＋…＋167）＋（5＋8＋11＋14＋…＋167） ＝（5＋167）＋（8＋164）＋（11＋161）＋…＋（167＋4） ＝172×[（167－5）÷3＋1] ＝172×55 ＝9460 9460÷2＝4730 所以5＋8＋11＋14＋…＋167＝4730 13．（2014六年级·全国·竞赛）计算。 。 【答案】4 【分析】有小数、分数的四则混合运算的法则也是先算乘除，后算加减，有括号的先算括号里面的。 先将分数的除法转化为分数的乘法，除以一个分数相当于乘这个分数的倒数。即算出除法和乘法，再算减法，最后算加法。再算出分数的加减法的时候，可以同分母的分数先相加减，再计算比较简便 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝4 14．（23-24六年级上·福建莆田·期末）如果“”，那么“( )”。计算的结果是( )。 【答案】 【分析】（1）因为＝，，与互为倒数，所以的商和的商互为倒数，而C的倒数是，由此解答。 （2）先将除数，化成假分数，分子用相乘的形式表示，即，再利用乘法分配律，从而进行简便计算。 【详解】（1）如果“”，那么“” （2） ＝2016÷ ＝2016× ＝2016× ＝2016× ＝ 即的结果是。 15．（23-24五年级下·河南周口·期中）计算并填空。 ( )        ( )        ( ) 观察以上算式，我发现：( )。 按照这样的规律，我知道( )。 【答案】 在分数加法中，如果第一个加数是，并且相邻两个分数的分子都是1，后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍，那么这几个分数的和就等于1减去最后一个分数。 【分析】，把转化成1－，转化成－，原式转化成1－＋－，进行计算； ，把转化成1－，转化成－，把转化成－，原式转化成1－＋－＋－，进行计算； ，把转化成1－，转化成－，把转化成－，把转化成－，原式转化成1－＋－＋－＋－，进行计算； 由此可以发现，在分数加法中，如果第一个加数是，并且相邻两个分数的分子都是1，后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍，那么这几个分数的和就等于1减去最后一个分数，由此计算即可。 【详解】 ＝1－＋－ ＝1－ ＝ ＝1－＋－＋－ ＝1－ ＝ ＝1－＋－＋－＋－ ＝1－ ＝ ＝1－＋－＋－＋－＋－＋…＋ ＝1－ ＝ 综上所述：，，，观察以上算式，我发现：在分数加法中，如果第一个加数是，并且相邻两个分数的分子都是1，后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍，那么这几个分数的和就等于1减去最后一个分数。按照这样的规律，我知道。 16．（2011六年级下·全国·竞赛）计算。 ＝ 。 【答案】1006 【分析】先算出括号里面的加法，发现规律，前一个分数的分子可以和后面的分母约分，据此解答即可。 【详解】 三、计算题 17．（2024·河南平顶山·小升初真题）计算下面各题，能简便的用简便方法计算。 （1）10－0.34－0.66                （2） （3）             （4） 【答案】（1）9；（2）6 （3）；（4） 【分析】（1）根据减法的性质把原式化为10－（0.34＋0.66）进行简算； （2）根据乘法分配律：a×（b＋c）＝a×b＋a×c，把（＋）×8化为×8＋×8，再根据加法结合律化为5＋（＋）进行简算； （3）先算小括号里的减法，再算中括号里的除法，最后算中括号外的乘法； （4）根据分数的拆分把原式化为－＋－＋－＋－＋－＋1－，通过消项简算。 【详解】（1）10－0.34－0.66 ＝10－（0.34＋0.66） ＝10－1 ＝9 （2） ＝×8＋×8＋ ＝5＋（＋） ＝5＋1 ＝6 （3） ＝×[÷] ＝×[×8] ＝×3 ＝ （4） ＝－＋－＋－＋－＋－＋1－ ＝1－ ＝ 18．（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）计算。 （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】（1）；（2）9.25；（3）；（4）；（5）253764 【分析】（1）左边小括号的加法和右边小括号同时运算，再算左边中括号里的乘法，然后算中括号里的减法，最后算括号外的除法； （2）先计算小括号的除法和乘法，再算小括号里的减法，然后计算中括号的加法，最后计算括号外的除法； （3）先同时算分子、分母的乘法和除法，再同时算分子、分母的加法和减法，最后算乘法即可； （4）先算小括号的减法，再算中括号的乘法和除法，然后算中括号里减法，而后算括号外的乘法和除法，最后算括号外的加法； （5）先计算小括号的结果，得算式：，再改写为：。从1＋2＋3＋4＋5＋6＝（1＋6）＋（2＋5）＋（3＋4）＝7＋7＋7＝7×3＝21可知，连续的自然数相加，第一个数和最后一个数相加＝第二个数和倒数第二个数相加＝第三个数和倒数第三个数相加……，每两个数为一组，则一共有（自然数的个数÷2）组。由此即可知道公式： 连续的自然数相加的和＝（第一个数＋最后一个数）×（加数的个数÷2）。据此简便计算即可。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝× ＝× ＝× =÷× ＝×× ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （5） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ = ＝253764 【点评】本题考查了分数的简算运算方法，能够明确算式的运算顺序，运用算式呈现的规律是解决本题关键。 19．（2024·全国·小升初模拟）脱式计算。            【答案】25.4；；； 【分析】（1）利用乘法的分配律，提出25.4。 （2）减法的简便计算，减去两个数的和相当于同时减这两个数。 （3）先将带分数转化为假分数。再分数的除法转化为乘法，除以一个分数等于乘这个数的倒数。能约分的要先约分。分母的数值太大，不需要算出来，可以进行化简转化，将能约分的进行约分后进行计算。 （4）对式子观察发现，可以将式子进行转化，例：发现可以利用乘法的分配律进行简便计算。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝25.4 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 20．（2024·四川绵阳·小升初真题）计算。 9.8＋99.8＋999.8＋9999.8＋99999.8                      【答案】111109； 885 【分析】（1）将9.8写成10减去0.2，99.8写成100减去0.2，999.8写成1000减去0.2，以此类推。再根据同级运算，带符号交换数的位置。再根据减法的性质：a－b－c＝a－（b＋c）计算即可； （2）将除法写成乘法形式，再根据乘法分配律：（a＋b）×c＝a×c＋b×c，计算即可； （3）将写成1减去，写成1减去，以此类推改写算式。再根据同级运算，带符号交换数的位置，将加法放在一起，减法放在一起，再根据减法的性质计算。括号内，再根据＝1－，＝－，＝－等的规律变形，再计算； （4）根据加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），将分母相同的加数结合在一起先计算，再计算连加； （5），那么可根据乘法分配律将提出来，同理，可提出，可提出，可提出。再根据乘法分配律将（1＋＋＋）提出来，再计算。 【详解】9.8＋99.8＋999.8＋9999.8＋99999.8 ＝（10－0.2）＋（100－0.2）＋（1000－0.2）＋（10000－0.2）＋（100000－0.2） ＝10＋100＋1000＋10000＋100000－0.2－0.2－0.2－0.2－0.2 ＝111110－（0.2＋0.2＋0.2＋0.2＋0.2） ＝111110－1 ＝111109 （＋＋）÷ ＝（＋＋）× ＝×＋×＋× ＝＋＋ ＝＋＋ ＝ ＝1－＋1－＋1－＋1－＋1－＋1－＋1－＋1－＋1－ ＝1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1＋1－－－－－－－－－ ＝9－（＋＋＋＋＋＋＋＋） ＝9－（1－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋－） ＝9－（1－） ＝9－ ＝ ＝＋（＋）＋（＋＋）＋（＋＋＋）＋…＋（＋＋＋…＋） ＝＋1＋＋2＋…＋ ＝＋＋＋＋…＋ ＝ ＝ ＝885 ＝×（1＋＋＋）－×（1＋＋＋）＋×（1＋＋＋）－×（1＋＋＋） ＝（1＋＋＋）×（－＋－） ＝（＋＋＋）×（－＋－） ＝× ＝ 【点睛】本题考查了简便计算。需熟练运用乘法分配律、加法结合律、减法的性质，并能结合分数加减法的相关规律进行计算。 21．（2024·四川绵阳·小升初真题）计算下列各题（写由必要的计算过程）。 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）50；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）先将小数化为分数，然后根据乘法分配律，将算式变为，再计算括号里面的结果，然后计算括号外面的乘法，最后计算括号外面的加法； （2）根据带分数的意义，将每个带分数拆分为整数部分和真分数部分，然后根据带符号搬家，将算式变为，再将接近1的分数进行凑整，变为，去掉括号，再根据带符号搬家，将算式变为；将每个分数的分母进行拆分，变为，根据，将算式变为，然后带符号搬家，再根据算式加上一个数，再减去一个数，原来的算式不变，据此解答。 （3）根据，将算式变为，然后根据乘法分配律，将算式变为，再根据算式加上一个数，再减去一个数，原来的算式不变，将算式变为，按运算顺序，先计算小括号里面的减法，再计算中括号里面的乘法，最后计算中括号外面的乘法。 （4）先将算式变为，然后将除法部分的算式变为，减去相同的数用乘法表示，也就是，据此计算出除法部分为，可知前半部分可以抵消，除法部分变为；而算式的乘法部分，根据乘法分配律，可知，据此整个算式变为，括号的部分可以相互抵消，所以结果为。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 【点睛】本题考查了复杂的分数四则混合运算，掌握相应的解题技巧和方法是解答本题的关键，注意灵活应用。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衔接点01 运算与技巧 小学阶段 初中阶段 【运算内容】主要学习基本的四则运算，包括整数、分数的加减乘除，以及简单的估算和计算器使用. 【运算技巧】注重运算的准确性和熟练度，通过反复练习掌握基本的运算技巧，如：凑十法、乘法口诀等. 【运算内容】在小学基础上，扩展到有理数、有理数和实数，增加了负数、无理数的概念和运算，学习乘方、开方等更复杂的运算，以及代数式的运算. 【运算技巧】强调灵活运用运算律和运算技巧，如交换律、结合律、分配律等，提高运算效率和准确性，同时注重运算过程中的逻辑性和严密性. 衔接指引 巩固基础运算能力 1.提高计算准确率与速度：在小学高年级，应重点练习整数、分数的四则运算，确保计算准确快速，为初中学习有理数、实数的运算打下坚实基础. 2.强化运算顺序：熟练掌握运算顺序，即先乘除后加减，有括号先算括号内的，避免在复杂运算中出现错误. 学习并运用运算定律 1.理解并掌握运算定律：在小学阶段，应深入学习加法交换律、结合律，乘法交换律、结合律和分配律等，理解其意义并能灵活运用. 2.运用运算定律简化计算：在解决实际问题时，有意识地运用运算定律进行简便计算，提高运算效率和准确性. 培养抽象思维能力 1.从具体到抽象过渡：在小学高年级，逐渐引入用字母表示数的概念，让学生理解代数式的意义，为初中学习代数式运算做好准备. 2.解决代数问题：通过解决简单的代数问题，如解一元一次方程，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力. 学习新的运算技巧 1.预习有理数运算：在暑假期间，可以预习有理数的加减乘除运算，特别是负数的运算规则，为初中学习做好准备. 2.掌握乘方、开方运算：了解乘方、开方的概念和运算规则，通过练习掌握其计算方法. 培养良好的学习习惯 1.养成预习和复习的习惯：在小学高年级，开始培养预习和复习的习惯，为初中学习更复杂的数学知识做好准备. 2.整理错题集：将做错的题目整理成错题集，分析错误原因，避免重复犯错，提高学习效率. 1．运算定律 1）加法交换律： 加法结合律： 2）乘法交换律： 乘法结合律： 3）乘法分配律： 乘法分配律的逆用： 2．运算性质 1）减法的性质： 2）除法的性质： 3）商的“不变性”，即若，则，； 3．裂项公式（补充）：把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷. 第一类（“裂差”型运算）：或 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的. 4．数列求和公式（补充） 等差数列求和 等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2 等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1 等比数列求和 等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1） 5．乘法公式（补充） 平方差公式： 完全平方公式：， 考点一： 活用运算定律和性质（凑整思想） 1．（2024·内蒙古通辽·小升初真题）脱式计算下面各题，能简算的要简算。 7.6×2.5×4         87×        26.4－3.28－6.4－4.72 1.25×8×4×2.5        73×101             2．（2024·山西吕梁·小升初真题）脱式计算，能简算的要简算。 0.25×5.32×4         3．（2024·河南周口·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。     857×1.9－8.57×80－85.7       4．（2024·河南南阳·小升初真题）脱式计算，能简算的要简算。                        凑整思想是一种广泛应用于数学计算中的方法，其核心在于通过调整数值，使其变成更容易计算的整数，从而简化运算过程，提高计算速度和准确性.如：把“一些分数（或小数）凑成整数”，把“一些整数凑成10的整倍数”，使有理数式子容易计算出结果，这一思想在小学数学教育中尤为重要，它不仅帮助学生快速掌握加减乘除的基本运算，还培养了他们的逻辑思维和解决问题的能力. 以下是凑整法在不同运算中的具体应用： 加法凑整 其基本思路是将加数凑成整数，再进行计算.例如，计算1999+198+97+8时，可以将每个加数凑成整数：1999+198+97+8=(2000−1)+(200−2)+(100−3)+8=2300−6+8=2302. 减法凑整 例如，计算2537−118−382时，可以先将减数凑成整数： 2537−118−382=2537−(118+382)=2537−500=2037 乘法凑整 1）乘法凑整通常利用乘法的交换律和结合律.例如，计算8×34×25×125×4时，可以将乘数凑成整十、整百：8×34×25×125×4=(8×125)×(25×4)×34=1000×100×34=3400000 2）利用互为倒数的特性，如计算，由于​和​互为倒数，乘积为1，所以整个表达式简化为1×5=5. 除法凑整 除法凑整可以通过将除数或被除数凑成整数，再进行计算.例如，计算316÷9+413÷9+171÷9时，可以将被除数相加，再除以相同的除数：316÷9+413÷9+171÷9=(316+413+171)÷9=900÷9=100 分数加减法的凑整 凑整法同样适用于分数运算.例如，计算，可以先将同分母的分数相加：和，最终结果为1+1=2. 1．（2024·湖南株洲·小升初真题）脱式计算，能简算的要简算。 ①864÷[（327－263）÷8]        ②85×＋15×75% ③                ④6.75－＋3.25－ 2．（2024·河南郑州·小升初真题）脱式计算，能简算的要简算。 （1）                  （2） （3）241×690÷339÷345×678÷241            （4） 3．（2024·四川成都·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。 （1）    （2）    （3） （4）    （5）      （6） 4．（2024·四川巴中·小升初真题）计算下面各题，能简算的要简算。                      5．（2024·河南驻马店·小升初真题）用你喜欢的方法计算。          52×3.7＋37%×260＋0.22×370           考点二： 巧分组法 1.（2024·广东·小升初模拟）计算题，写出计算过程和结果。 （1） （2） 2.．（2024六年级·浙江·培优）计算。 （1） （2）2023-2020+2017-2014＋2011－2008＋……＋19－16+13－10+7－4+1 3.．（2022·江苏南京·统考小升初真题）简算，并写出简算过程。 99－97＋95－93＋91－89＋…＋7－5＋3－1 4.（2024·江苏·六年级校考期中）计算： 在数学计算中，巧分组法是一种重要的巧算技巧。它通过将算式中的若干项合理分组，使得每组的计算结果相同或便于计算，从而快速得出整个算式的答案。例如，在计算一系列连续奇数相加时，可以根据数字的符号规律，将四个数分为一组，因为每组的和为零，最终简化计算过程。这种方法尤其适用于涉及大量相近数字的加法运算，通过寻找数字间的规律和特征，进行分组处理，可以显著提高计算效率。 【解题技巧】观察所求算式特征，巧妙运用分组搭配处理，可以简化运算。 1．（2024六年级·全国·）计算 2．（2023·四川成都·小升初真题）计算。       3．（2025五年级下·全国·专题练习）计算： 4．（2025五年级下·全国·专题练习）计算： 考点三： 换元法 1．（2024·成都市小升初模拟）计算（写出必要的计算过程）。 2.（2023·广东·校考小升初模拟）用简便方法计算。 换元法是一种在数学解题中广泛使用的方法，尤其在解决复杂问题时，能够显著简化计算步骤，使问题变得更容易处理。在小学阶段，学生们初次接触换元法，主要是为了培养他们的逻辑思维和问题解决能力。换元法的基本思想是将一个复杂的数学表达式中的某一部分用一个新变量来代替，从而将原问题转化为更容易解决的形式。例如，在解决某些代数问题时，若某个表达式重复出现，我们可以将其用一个字母（如x或y）来表示，这样就能简化计算过程。这种方法的实质是转化，通过构造新的变量（即换元），将复杂的问题标准化、简单化。 【解题技巧】从式子的整体角度考察，把部分式子用字母代替后，再进行化简求值。通过引入字母转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用。 1．（2021六年级上·辽宁·专题练习）算一算。 （1＋＋＋）×（＋＋＋）－（1＋＋＋＋）×（＋＋） 2．（2021六年级上·江苏南京·专题练习）计算下面各题。 考点四： 分数裂项计算 1．（24-25六年级上·江苏常州·期中）先观察下列等式再完成题后问题。          （1）请你猜想：________。 （2）探究并计算：。 2．（2021六年级上·辽宁·专题练习）计算。                  【解题技巧】把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。利用下面的拆项公式课化简一些有理数式子的计算 第一类（“裂差”型运算）：①或 ②。 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 1．（2024·河北石家庄·小升初真题）观察下列式子：，，，…请计算＝( )。 2．（2021六年级上·江苏南京·专题练习）计算下面各题。 3．（2024·全国·小升初模拟） 4．（2022·浙江杭州·小升初真题）用递等式计算： 6．（23-24六年级下·四川成都·期末）选择适当的方法计算。 考点五： 数列求和（等差、等比数列） 1．（2020·四川成都·小升初模拟）计算 【解题技巧】 等差数列求和 等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2 等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1 等比数列求和 等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1） 1．（24-25七年级上·广东惠州·期中）（1）如果欲求的值，可令①，将①式右边顺序倒置，得②，由②式+①式，得　　；　　；由结论求　　； （2）①观察一列数2，4，8，16，32，…，发现从第二项开始，每一项与前一项之比是一个常数，这个常数是 　　；根据此规律，如果（n为正整数）表示这个数列的第n项，那么　　，　　； ②为了求的值，可令①，则②，由②式﹣①式，得，，即． 仿照以上推理，计算． 2．（24-25七年级上·全国·假期作业）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题： （1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 考点六： 运用乘法公式运算 1．（24-25七年级下·四川达州·开学考试）计算： 用简便方法计算． 解：①②． （i）例题的求解过程中，第②步变形是利用 （填乘法公式的名称）； （i i）用简便方法计算：． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）简便计算：． 3．（2022·四川绵阳·小升初真题）计算题。                   【解题技巧】平方差公式： 完全平方公式：， 1．（24-25七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1)； (2)． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）用简便方法计算： (1) (2) 3．（24-25七年级下·江苏宿迁·阶段练习）运用整式乘法公式简便计算： (1)； (2)． 一、选择题 1．（2024·河南开封·小升初真题）计算时，用（    ）计算比较简便。 A．加法结合律 B．乘法分配律 C．乘法交换律 D．乘法结合律 2．（2024·山西晋中·小升初真题）张丽用计算器计算“45.7×9.9”时，发现键“9”坏了，下面输入不能得到正确结果的是（    ）。 A．45.7×3.3×3 B．45.7×10－0.1 C．45.7×8.8＋45.7×1.1 3．（2023·广东深圳·小升初真题）《九章算术》是中国古代第一部数学专著。它介绍了分数除以分数的另一种方法：先通分，再把分子直接相除。例如：。下面（    ）是采用这种方法计算的。 A． B． C． D． 4．（2022·广西贵港·小升初真题）有一个数字键“4”坏了的计算器，用这个计算器计算24×25时，下列按键方案中（    ）合适。 A．3×8×25 B．6×4×25 C．25×25－1 D．2×2×3×25 二、填空题 5．（2024·河北石家庄·小升初真题）观察下列式子：，，，…请计算＝( )。 6．（2024·浙江温州·小升初真题）计算“0.36＋”。 方法一：用分数加减法计算，和是 个相加； 方法二：用小数加减法计算，和是 个0.01相加。 7．（2022·湖南长沙·小升初真题）计算： 。 8．（2024·江苏镇江·小升初真题）请根据①、②两题的运算方法计算第③题。 ①4×6＝（4×6）×（1×1）＝24×1＝24×1 ②0.4×0.6＝（4×6）×（0.1×0.1）＝24×0.01＝0.24 ③＝( )×( )×（）＝( )×( )＝( ) 9．（2024·山东潍坊·小升初真题）一种数学运算，规则是这样的：＝ad－bc，例如＝5×3－2×4＝7，那么＝( )。 10．（2024·河南南阳·小升初真题）1＋…＝( ) 11．（2024六年级·全国·竞赛）计算：( )。 12．（2024六年级·全国·竞赛）快速计算，直接填空。 (1)（234＋342＋423）÷111＝( )； (2)×＋×＋×＝( )； (3)9.81×0.1＋0.5×98.1＋0.049×981＝( )； (4)( )； (5)( )。 13．（2014六年级·全国·竞赛）计算。 。 14．（23-24六年级上·福建莆田·期末）如果“”，那么“( )”。计算的结果是( )。 15．（23-24五年级下·河南周口·期中）计算并填空。 ( )        ( )        ( ) 观察以上算式，我发现：( )。 按照这样的规律，我知道( )。 16．（2011六年级下·全国·竞赛）计算＝ 。 三、计算题 17．（2024·河南平顶山·小升初真题）计算下面各题，能简便的用简便方法计算。 （1）10－0.34－0.66                （2） （3）             （4） 18．（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）计算。 （1） （2） （3） （4） （5） 19．（2024·全国·小升初模拟）脱式计算。            20．（2024·四川绵阳·小升初真题）计算。 9.8＋99.8＋999.8＋9999.8＋99999.8                      21．（2024·四川绵阳·小升初真题）计算下列各题（写由必要的计算过程）。 （1） （2） （3） （4） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$