衔接点04 几何图形（培优讲义）-2025年小升初数学无忧衔接（通用版）

衔接点04 几何图形 小学阶段 初中阶段 小学阶段，学生主要学习常见的平面几何图形（如三角形、四边形、圆）的周长与面积，以及基本的立体图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥）的表面积与体积.这一阶段的学习重点在于建立图形的直观表象，理解基本特征和简单的计算方法. 进入初中后，几何图形的学习则更加注重逻辑推理与证明.学生不再满足于通过实验得出的结论，而是需要从理论上进行严格的论证.例如，“三角形的内角和等于180°”这一结论，在小学阶段可能通过测量得到，而在初中则必须通过演绎推理来证明.这一转变要求学生具备较强的逻辑思维能力和抽象思维能力. 衔接指引 为了帮助学生顺利从小学过渡到初中的几何学习，以下是一些有效的策略和方法： 巩固基础知识：在进入初中之前，学生应确保熟练掌握小学阶段的所有几何图形的基本特征和计算公式.可以通过做练习题和复习笔记来巩固这些知识.  培养几何直观与空间观念：通过观察和操作实际图形，培养学生的几何直观和空间观念.例如，可以使用模型、拼图等工具进行实际操作，增强对图形的理解. 提前预习初中内容：利用暑假时间预习初中的几何内容，了解将要学习的知识点和难点，做好心理准备.可以参考相关的预习资料和在线课程.  注重逻辑推理训练：通过解决简单的逻辑推理题，培养学生的逻辑思维能力.可以从小规模、简单的证明开始，逐步增加难度，让学生适应几何证明的要求.  多做综合练习题：通过做综合性的几何练习题，提高解题能力和思维灵活性.特别是涉及多种方法和思路的题目，可以帮助学生深入理解几何知识. 1、基本公式 正方形：；. 长方形：；. 平行四边形：. 三角形：. 梯形：. 圆：；. 正方体 表=； 长方体 表； 圆柱体、圆锥体 （:高；：底面积；:底面半径） 圆柱侧面积：；圆柱表面积：；圆柱体积：；圆锥体积： 2、求几何图形面积常见方法及运用： 1）割补法求面积（平移、对称、旋转等）；2）和差法求面积；3）等积变换（化线段比为面积比）；4）运用整体思想；5）差不变；6）容斥原理（韦恩图）等. 公式法：所求面积的图形是规则图形，如扇形、特殊三角形、特殊四边形等，可直接利用公式计算. 割补法：就是从割和补两种不同角度认识同一个面积.还有的是从不同的角度认识某个长方形面积的一半.通过对面积问题的训练可以打开思维.特别是结合算两次的思想能让我们的思维理念得到很大提升.最后我写了算两次解决面积问题，来诠释前面的理论. 和差法：所求面积的图形是不规则图形，可通过转化变成规则图形面积的和或差，这是求阴影部分面积最常用的方法. 等积变换法：以线段比为对象运用两个面积比表示同一个面积比，有的是运用整体与局部思想整体由各个局部合成.有的抓住面积不变，从两个不同的底和高来表示同一个三角形的面积或随便求出直角边的平方. 差不变思想（原理）：即利用等式的性质来求面积，若S甲=S乙，则S甲+S空白=S乙+S空白，S甲-S空白=S乙-S空白. 容斥原理：即重叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积. 考点一： 割补法求面积--平移与对称 1．（2024·四川绵阳·小升初真题）已知大正方形边长为2厘米，阴影部分的面积是( )平方厘米. 2．（2022·河北石家庄·小升初真题）求如图阴影部分的面积. 3．（2024·山东潍坊·小升初真题）求阴影部分的面积.（单位：cm） 4．（2024·四川巴中·小升初真题）求图中阴影部分的面积.（π取3.14） 5．（23-24六年级下·辽宁·课后作业）已知正方形ABCD的面积为16平方厘米，你能结合我们学过的图形运动求出涂色部分的面积吗？ 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 1．（2024·浙江宁波·小升初真题）如图，正方形ABCD的边长为4厘米，EF垂直于AB，求阴影部分的面积. 2．（22-23五年级下·江苏扬州·期末）下图中阴影部分的面积是( )平方厘米. 3．（22-23六年级下·云南昭通·期末）图形探索. 情境描述：五（1）班的小雪在纸上画了一个梯形和一个圆，并给其中的两个部分涂成阴影，如图.接着，她提出一个数学问题：“阴影部分的面积是多少？”.经过深入思考，可她还是不能解决.假如小雪向你请教，你能帮她解决吗？    （1）我向小雪这样介绍思路： （2）我指导小雪这样列式计算： 4．（2024·全国·小升初模拟）求下列图形中阴影部分的面积.     考点二： 割补法求面积--旋转 1．（23-24五年级下·河南洛阳·期末）如图所示，三个同心圆中的最大圆的两条直径互相垂直，最大的圆的半径是6cm，第二大圆的半径是4cm，最小圆的半径是2cm.阴影部分的面积是( ). 2．（2023·四川成都·小升初真题）求图中阴影部分的面积.（单位：厘米）（取） 3．（21-22五年级下·山西大同·期末）计算涂色部分的面积. 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 1．（2021·江苏扬州·小升初真题）如图，两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上.旋转其中一个正方形如图所示，重叠部分的面积是5平方厘米，正方形的面积是( ) 平方厘米. 2．（2023·全国·小升初模拟）求阴影部分面积.（单位：cm，π取3.14） （1）    （2） 考点三： 和差法求面积 1．（2024·江苏扬州·小升初真题）一个零件横截面的形状如图.这个零件横截面（涂色部分）的面积是多少平方厘米？ 2．（2024六年级下·江苏·专题练习）求下面各图涂色部分的面积. 3．（24-25六年级上·河南周口·期中）求下面图形涂色部分的面积. 4．（2024五年级·全国·课后作业）如图，长方形ABCD中， AB=24cm，BC=26cm，E是BC的中点，F、G分别是AB、CD的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分面积． 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 1．（20-21六年级上·吉林·期末）如图，三角形ABC是等腰直角三角形，，弧AD是以CA为半径的圆的一部分，，求图中阴影部分的面积. 2.（20-21六年级上·广东深圳·期中）如图，三角形是等腰直角三角形，为直角，是的中点，厘米，圆弧、的圆心分别在、两点，求图中阴影部分的面积.（单位：厘米） 3．（2023六年级·全国·竞赛）如图，直角扇形的半径为7厘米，正方形的边长为4厘米，则阴影部分的面积为( )平方厘米.（取） 4．（2023·四川成都·小升初真题）如图，在长方形中，厘米，厘米，扇形的半径厘米，扇形的半径厘米，则图中阴影部分的面积为( )平方厘米.（结果保留，不取近似值） 5．（2021·浙江·小升初真题）数学思考. 如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中点，求空白部分的面积.（单位：平方厘米） 考点四： 整体代换法 1．（2024·全国·小升初真题）在三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝10厘米，A为扇形AEF的圆心，且阴影部分①与②面积相等，求扇形所在圆的面积。 2．（2023五年级·全国·课后作业）如图：阴影部分的面积是50平方厘米，求图中圆环的面积． 3．（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，长方形的长为12厘米，宽为5厘米。阴影部分甲的面积比乙的面积大15平方厘米。求DE的长。 步骤： 1.识别整体：首先，识别题目中的某个部分或结构，这个部分可以是一个图形、一个长度、一个面积或一个体积，它能够被看作一个整体. 2.设定变量：将这个整体用一个变量（如a、b、x、y等）来表示.这个变量将代表整个部分的未知值. 3.建立关系：根据题目中的条件，建立这个变量与其他已知量或未知量之间的关系. 4.代入求解：将变量代入到相关的公式或方程中，进行求解. 5.回代验证：求出变量的值后，如果需要，可以回代到原问题中，验证解的正确性. 【解题技巧】有些参数（如圆的半径）直接求很困难，但是可以直接求的半径的平方，采用设而不求，整体代换即可. 1．（2020·湖北十堰·小升初真题）下图中，已知圆的周长是25.12厘米，圆的面积与长方形的面积相等，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 2．（23-24六年级上·河南周口·期末）如图，大正方形的面积比小正方形的面积多平方厘米，求阴影部分的面积。 3．（2025六年级下·全国·竞赛）如图，阴影部分的面积是25平方米，求圆环面积是多少平方米？ 4．（23-24六年级上·辽宁·期中）如图，如果直角三角形的面积是25平方厘米，那么圆内空白部分的面积是( )平方厘米。 考点五： 等积变化法求面积（体积） 1．（2025六年级下·西藏·专题练习）如图是一个平行四边形，且AB＝BC＝CD，DE＝EF。则甲、乙两个三角形的面积比是( )∶( )。 2．（2022·安徽黄山·小升初真题）如图，三角形的面积27cm2，，，三角形的面积是( )cm2。 3．（2023·四川·小升初真题）如图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，，M是CD的中点，H是弦CD的中点，若N是OB上的一点，半圆面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是多少？ 4．（22-23六年级下·山东菏泽·期中）巧求饮料体积：一个饮料瓶（如图），瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积为250毫升，当瓶子正放时，瓶内饮料液面高为8厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米，请你算一算，瓶内饮料的体积是多少毫升？ 5．（22-23六年级上·浙江温州·期末）如图，已知有一块四边形花圃ABCD，其中E，F分别为AB，AG上的点，且BE＝2AE，G，H分别是DF，BC上的点，且BH＝HC，FG＝GD，连接EF，BF，BG，HD，将花圃分成五块，图中阴影部分种兰花，三角形AEF的面积是25平方米，三角形BFG的面积是150平方米，三角形HCD的面积是90平方米。空白部分种郁金香，那么郁金香的面积为多少平方米？ 【介绍】等积变换法在小学几何中是一种重要的解题技巧，它通过保持图形面积不变的前提下，改变图形的形状或位置，从而简化问题的求解过程. 【解题技巧】合理使用边、高的比求面积的比例，灵活掌握边、高、面积之间的关系. 1．（23-24六年级下·广西河池·期末）如图，平行四边形的面积是84平方厘米。 （1）阴影部分的面积是多少平方厘米？ （2）丙三角形的面积是甲三角形面积的几分之几？（列式计算） 2．（2015·全国·小升初真题）对角线把梯形ABCD分﹣成四个三角形．已知两个三角形的面积分别是5和20．求梯形ABCD的面积是多少． 3．（2017·四川成都·小升初真题）如图，点E在AC上，点D在BC上，且AE：EC=2：3，BD:DC=1：2，AD与BE交于点F，四边形DFEC的面积为22cm2，则三角形ABC的面积是多少？ 4．（24-25五年级下·湖南岳阳·期中）如图，一个无盖的长方体玻璃容器，长和宽都是3分米，高是5分米。（容器壁厚度忽略不计） （1）如果在它的各条棱上贴防撞条（底面的4条棱不贴），至少需要多长的防撞条？（接头处忽略不计） （2）容器中的水面原来高3分米，放入一块假山石后（完全浸没），水面升高到了4.5分米，这块假山石的体积是多少？ 5．学习与思考：实践应用。 如图，已知有一块六边形花圃ABCDEF， 其中G、H、M、N 分别为AB、BC、DE、EF 上的点，且BG＝2AG，BH＝2CH，ME＝2MD，NE＝2NF。连接GF、BN、HE、CM，将花圃分成五块，图中标出的三块区域种植花草，其余两块为观赏区。三块种植区的面积由上至下分别为90m2、640m2、75m2，求观赏区的面积。 考点六： 差不变原理 1．（22-23六年级上·湖南永州·期末）如图：已知直角三角形ABC的底与半圆的直径完全重合，阴影部分甲比乙多22.88平方厘米，BC长8厘米，求AB的长？ 2．（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，在平行四边形ABCD中，BC长10厘米，直角三角形BCE的直角边CE长8厘米，已知两块阴影部分的面积和比三角形EFG的面积大10平方厘米，EF长多少厘米？ 3．（23-24五年级下·辽宁·假期作业）如图，四边形ABCD是边长为8厘米的正方形，三角形ADF的面积比三角形CEF的面积大10平方厘米，则涂色部分的面积为( )平方厘米。 【解题技巧】差不变思想，即利用等式的性质来求面积，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可. 1．（2023·福建莆田·小升初真题）如图，直径AB＝20厘米，阴影部分Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积大7平方厘米，求BC的长？ 2．（2024·四川绵阳·小升初真题）如图：直角三角形ABC的直角边AB＝6厘米，BC＝4厘米，以AB为直径画半圆，则阴影部分①的面积比阴影部分②的面积大( )平方厘米。（圆周率π取3） 考点七： 容斥定理 1．（22-23六年级上·四川乐山·期末）如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AC＝4厘米，BC是半圆的直径，A为扇形ADC的圆心，求阴影部分的面积是多少平方厘米。（结果用π表示） 2．（2021六年级·全国·竞赛）三个面积均为平方厘米的圆纸片放在桌面上（如图），三个纸片共同重叠的面积是平方厘米。三个纸片盖住桌面的总面积是平方厘米。问：图中阴影部分面积之和是多少？ 3．（2021六年级·全国·竞赛）如图所示，、、分别是面积为、、的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为。若与、与的公共部分的面积分别为、，、、这三张纸片的公共部分为。求与公共部分的面积是多少？ 4．（22-23六年级上·吉林长春·期末）求下图阴影部分的面积。（单位：米。）    1.在几何中，容斥原理主要用于解决与重叠相关的图形的面积. 有些组合图形是通过相互重叠而形成的，求这类图形的面积用一般的解题方法是比较繁杂的，而借助容斥原理来求解却非常简便.教师要引导学生认真观察，辨明图形的特征，理解图形的构成，正确地运用容斥原理解题.我们要构建完整的组合图形知识体系，能够根据不同的情况选择最合理的解法. 2.重叠图形计算在几何图形中，当两个或多个图形有部分重叠时，直接相加它们的面积或周长会导致重复计算.这时，可以利用容斥原理，先分别计算每个图形的面积或周长，然后减去重叠部分的面积或调整周长计算方式，从而得到准确的总面积或总周长.例如，计算两个相交圆的面积时，需先分别计算两个圆的面积，再减去相交部分的面积. 3.简单图形组合通过容斥原理，学生可以更好地理解复杂图形是由哪些简单图形组合而成的，并学会如何计算这些组合图形的面积或周长.比如，一个由两个正方形拼接而成的“L”形图形，其面积是两个正方形面积之和减去它们共同边线所在的小矩形的面积. 1．（22-23六年级下·河北张家口·期中）如图，两阴影部分的面积分别是S1、S2，S1－S2＝2.44平方厘米。求图中扇形所在圆的半径。 2．（24-25六年级下·河南郑州·开学考试）已知等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4厘米，以AC为直径作圆，又以点B为圆心，BC为半径画弧，交BA于点D，如下图所示，计算图中阴影部分的面积之和（π取3）。 3．（2025六年级下·全国·竞赛）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片。它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，1，2，3三部分的面积和为80，3张纸片共同重叠的面积是阴影部分，求阴影部分的面积？ 4．（2022·湖南怀化·小升初真题）探究。 如图：已知大小正方形边长分别为5cm，2cm，两正方形空白处的面积之差是( )cm2。 考点八： 平面图形的拼接重组问题 1．（2024·山东济南·小升初真题）将等腰三角形ABC沿虚线对折，折下来的部分恰好拼成了一个长方形（如图），已知这个长方形的长是6cm，宽是4cm，三角形ABC的面积是（    ）cm2。 A．48 B．24 C．12 D．96 2．（2021·浙江台州·小升初真题）在一次数学实践活动课中，老师让同学们用同一种直角三角形拼图形，小明拼了一个梯形，小红拼了一个大正方形，梯形的面积是( )cm2，大正方形的面积是( )cm2。 3．（2022·海南省直辖县级单位·小升初真题）将一个平行四边形沿高剪拼成一个长方形（如下图），剪拼成的长方形和原来的平行四边形相比，（    ）。 A．周长不变，面积也不变 B．周长不变，面积变了 C．周长变了，面积不变 D．周长变了，面积也变了 4．（22-23六年级下·浙江·期末）长方形的长10cm，宽4.8cm，沿对角线对折后，得到如图的几何图形，阴影部分的周长是( )cm。 【解题技巧】平面图形的拼接裁剪是小升初比较常考的图形变化问题，从知识综合与难度层次方面来看，与圆形相关的拼切裁剪问题是主要考察点，其次是特殊四边形的拼接裁剪，一般来讲，拼接裁剪造成的图形变化，相对容易理解，可以尝试画出示意图再观察变化特点. 1．（2024·甘肃定西·小升初真题）如图，将一张长方形纸折叠形成一个梯形。这个梯形的面积是（    ）cm2。 A．48 B．96 C．104 D．128 2．（2021·江苏南通·小升初真题）折叠一张长方形纸ABCD，如图，折叠时，C点和A点重合，产生折痕为EF。量得AE长22厘米，如果长方形的宽是20厘米，折叠后图形的面积比原来长方形面积少了( )平方厘米。 3．（22-23五年级上·江苏苏州·期末）聪聪把梯形ABCD按照下图的方法转化成平行四边形EBHG，且面积保持不变。已知梯形ABCD的面积是45平方厘米，则平行四边形EBHG的高是( )厘米。 4．（20-21六年级下·辽宁·单元测试）做一做，剪一剪。 （1）用剪刀沿着“莫比乌斯带”的中线剪开，你有什么发现？ （2）如果沿着“莫比乌斯带”边缘的一宽度的地方一直剪下去，你有什么发现？ 考点九： 立体图形的拼接重组问题 1．（2024·河南三门峡·小升初真题）如下图所示，赵磊把一个底面直径是4dm，高为3dm的圆柱分割成大小完全相等的两部分，则（    ）。（圆周率取3） A．方法一表面积增加的多 B．方法二表面积增加的多 C．两种方法表面积增加的一样多 D．无法确定 2．（2024·江西吉安·小升初真题）一个圆柱沿底面半径等分切开后，拼成一个近似的长方体，则（    ）。 A．体积不变，表面积不变 B．体积变小，表面积不变 C．体积不变，表面积变大 D．体积不变，表面积变小 3．（2024·河北邯郸·小升初真题）如果把一个圆柱体的木料沿着与底面平行的方向截成两部分，表面积就增加6.28平方分米；如果沿着直径截成两部分，表面积就增加8平方分米。圆柱的体积是 立方分米。 4．（2023·四川成都·小升初真题）如图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长＞宽＞高。将这个长方体平切两刀，竖切两刀，得到9个小长方体，这9个小长方体表面积之和比原来长方体表面积多624平方厘米。求原来长方体的体积。 几何体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化. 1．（2020·江苏无锡·小升初真题）如图，把一个三角形剪成一个小三角形和一个梯形，且使它们的高相等，小三角形和原三角形的面积比是( )∶( )；从一个圆锥顶部切下一个小圆锥，如果小圆锥的高是原来圆锥高的，小圆锥与剩余部分的体积比是( )∶( )。 2．（2025六年级下·全国·竞赛）如图所示：（单位：厘米）一个棱长为5厘米的正方体，分别在它的前、后、左、右、上、下各面的中心挖一个横截面是边长为2厘米的正方形的长方体。（都和对面打通）求这物体的表面积？ 3．（2021·江苏苏州·小升初真题）如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜卷的直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.02厘米，则薄膜展开后的长度是多少米？ 4．（20-21六年级下·河南新乡·期末）游泳健身中心的室内泳池（如下图）长50米，宽25米。最浅处水深1.2米，最深处水深1.6米。    （1）“泳池的容积是多少立方米？”对这一数学问题以下两位同学展开了讨论。请根据他们的思考过程解决问题。 聪聪：“它不是一个长方体，但可以通过割去如上图（1）中箭头所指的部分，变成一个较小的长方体或补上如上图（2）中箭头所指的部分，变成一个较大的长方体，所以它的容积大小范围就在较小的长方体和较大的长方体之间，也就是（       ）立方米和（       ）立方米之间。” 明明：“两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体（如下图）。这样就能计算出它的容积啦。”    （2）请根据明明的方法计算该泳池的容积。 1．（2024·河南驻马店·小升初真题）把一个棱长是6cm的正方体木块加工成一个最大的圆锥体，体积比原来减少了（    ）cm3。 A．216 B．169.56 C．159.48 D．46.44 2．（2024·江苏南通·小升初真题）观察如图实验过程：在大杯中放入三个圆柱和一个与圆柱等底等高的圆锥。推理并计算每个圆柱的体积是（    ）。 A．8 B．20 C．50 D．24 3．（2024·湖北襄阳·小升初真题）“转化”是一种重要的数学思想方法，在学习中经常用到。如图四幅图中，运用了“转化”策略的一共有（    ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（2024·福建厦门·小升初真题）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝10厘米，且S1、S2两部的面积相等，那么圆A（A为圆心）的面积是（    ）平方厘米。 A．157 B．200 C．314 D．400 5．（2024·浙江杭州·小升初真题）有一张正方形的彩纸，边长20cm，王老师从纸上剪下4个大小相等且最大的圆片，那这张正方形彩纸的利用率是（    ）。 A．78.5% B．80% C．75% D．85% 6．（2024·重庆涪陵·小升初真题）一个药瓶如图所示。它的容积是26.4cm3瓶子正放时，瓶内药水液面高6cm，瓶子倒放时，空余部分高2cm，则瓶内药水的体积是（    ）cm3。 A．26.4 B．19.8 C．6.6 D．无法确定 7．（2024·山东德州·小升初真题）如图中长方形面积是40平方厘米，下面说法正确的有（    ）句。 （1）三角形面积等于长方形面积。 （2）平行四边形面积最小。 （3）圆的面积最大。 A．0 B．1 C．2 D．3 8．（2024·山东滨州·小升初真题）如图，把底面半径为r，高为h的圆柱沿着它的高切成若干等份后，那么这个近似长方体的几何体表面积比原来圆柱的表面积增加了（    ）。 A．2πr2h B．2πr2 C．2πrh D．2rh 9．（2024·浙江宁波·小升初真题）如图，三角形a边上的高是b，c边上的高是d。下面式子中不成立的是（    ）。 A．a∶c＝b∶d B．a∶d＝c∶b C．ab＝cd D．d∶a＝b∶c 10．（2022·四川绵阳·小升初真题）下图（梯形）中，两个阴影部分的三角形面积比较（    ）。 A．甲＞乙 B．甲＝乙 C．甲＜乙 D．无法比较 11．（2021·北京西城·小升初真题）如图中有一个圆和一个等腰直角三角形，阴影部分的面积是（    ）cm2。 A．25 B．50 C．75 D．100 12．（2024·浙江杭州·小升初真题）如图ABCD是一个梯形，AE＝ED，F是ED的中点。则阴影部分与空白部分的面积比是( )∶( )。 13．（2024·河南南阳·小升初真题）如图，已知AB＝40cm，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成，那么阴影部分的面积是( )cm2。（π取3.14） 14．（2024·河北邯郸·小升初真题）一个药瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图所示，瓶内药水的体积为25.2立方厘米。瓶子正放时，瓶内药水液面高7厘米，瓶子倒放时，空余部分高2厘米。这个瓶子的容积是( )。 15．（2024·江苏常州·小升初真题）长方形ABCD的宽是2厘米，分别以点B、C为圆心，以2厘米为半径画两段圆弧相交于点M，图中两块阴影部分的面积相等，长方形的面积是( )平方厘米。 16．（2024·山东滨州·小升初真题）如图，有一个两层水箱。 (1)这个水箱下层的容积是 立方米。 (2)注满下层需要9.6分钟，照这样的流速，注满整个水箱需要 分钟。 (3)从水箱底部注水，在注满整个水箱的过程中，注水的高度随着时间的延长而增加，下面 号图能正确表示注水情况。 17．（2024·河南郑州·小升初真题）四边形ABCD为正方形，求阴影部分的周长和面积（π取3.14）。 18．（2025六年级下·全国·竞赛）如图，AB是以点0为圆心的半圆的直径，C、D是弧AB的三等分点，点E是线段AB上的任意点，已知圆0的半径为3，那么图中阴影部分的面积是多少？ 19．（23-24五年级下·山东德州·期末）淄博是齐文化的发源地，琉璃文化源远流长，底蕴深厚，淄博琉璃始于汉代，兴于元代，盛于清朝，逐步发展成为世界琉璃产销中心，业界素有“世界琉璃看中国，中国琉璃看淄博”之说。假期，明明去淄博旅游，带回一个漂亮的琉璃镇尺，他想测量出这个镇尺的体积，于是他找来一个棱长10厘米的正方体容器，里面装有一些水，将这个高8厘米的长方体镇尺竖直放入水中（镇尺底面与容器底面平行），镇尺浸没6厘米时，水就满了。这个镇尺的体积是多少？（容器厚度忽略不计） 20．（2024·河南三门峡·小升初真题）在一个底面直径是8厘米的圆柱体玻璃杯中装入适量的水，量得水面的高度是5厘米；将一枚鸡蛋放入水中，再次测量水面的高度是6.2厘米。如果玻璃的厚度忽略不计，这枚鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？ 21．（2024·重庆垫江·小升初真题）推导圆柱的体积。 将圆柱如图切分后拼成一个近似的长方体。切拼前后，圆柱的体积没有发生改变，表面积增加了。 （1）切拼后，长方体的底面积等于原圆柱（    ）的面积；长方体的高等于原圆柱的（    ）。 因为：长方体的体积＝底面积×高 所以：圆柱的体积＝（               ）。 （2）如果圆柱的底面半径为2厘米，高为6厘米，那么拼成的长方体的表面积是多少平方厘米？ 22．（2024·河南郑州·小升初真题）在去伏羲山的路上，他们看到了一块平行四边形的玫瑰花田。 （1）观察如图，请你简要写出平行四边形面积计算公式产生的过程。 在数学学习中，经常运用“转化”思想变未知为已知。请你应用转化的思想解决下列问题。 （2）在学习三角形的内角和时，可把三角形折成长方形，三个内角就拼成了一个（    ）角。我们也可以用这种方法推导三角形的面积计算公式。将折成的长方形与原来的三角形比较，长是底的一半，宽是（        ），面积是（        ），这样通过求出长方形的面积就可以得到三角形的面积。如果折成的长方形的面积是12平方厘米，则原来三角形的面积是（      ）。 （3）伏羲山悬崖酒店准备新建一个游泳池，泳池长25米，宽11米，由分道线分成5个泳道（如图a）。游泳池底部有一定的倾斜度，使游泳池由1.2米深的浅水区自然过渡到1.6米深的深水区（如图b）。 淘淘根据平行四边形、三角形、梯形、圆形的面积计算公式及圆柱、圆锥的体积计算公式推导方法，设计了一个计算游泳池容积的研究模型，（如图c示意图）。 ①说一说他是怎么研究的？ ②根据这个研究模型，试着算一算这个游泳池的容积是多少？ ③至少要购进多少米的分道线，才能保证5个泳道的分道？（只列式，不计算） 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衔接点04 几何图形 小学阶段 初中阶段 小学阶段，学生主要学习常见的平面几何图形（如三角形、四边形、圆）的周长与面积，以及基本的立体图形（如长方体、正方体、圆柱、圆锥）的表面积与体积.这一阶段的学习重点在于建立图形的直观表象，理解基本特征和简单的计算方法. 进入初中后，几何图形的学习则更加注重逻辑推理与证明.学生不再满足于通过实验得出的结论，而是需要从理论上进行严格的论证.例如，“三角形的内角和等于180°”这一结论，在小学阶段可能通过测量得到，而在初中则必须通过演绎推理来证明.这一转变要求学生具备较强的逻辑思维能力和抽象思维能力. 衔接指引 为了帮助学生顺利从小学过渡到初中的几何学习，以下是一些有效的策略和方法： 巩固基础知识：在进入初中之前，学生应确保熟练掌握小学阶段的所有几何图形的基本特征和计算公式.可以通过做练习题和复习笔记来巩固这些知识.  培养几何直观与空间观念：通过观察和操作实际图形，培养学生的几何直观和空间观念.例如，可以使用模型、拼图等工具进行实际操作，增强对图形的理解. 提前预习初中内容：利用暑假时间预习初中的几何内容，了解将要学习的知识点和难点，做好心理准备.可以参考相关的预习资料和在线课程.  注重逻辑推理训练：通过解决简单的逻辑推理题，培养学生的逻辑思维能力.可以从小规模、简单的证明开始，逐步增加难度，让学生适应几何证明的要求.  多做综合练习题：通过做综合性的几何练习题，提高解题能力和思维灵活性.特别是涉及多种方法和思路的题目，可以帮助学生深入理解几何知识. 1、基本公式 正方形：；. 长方形：；. 平行四边形：. 三角形：. 梯形：. 圆：；. 正方体 表=； 长方体 表； 圆柱体、圆锥体 （:高；：底面积；:底面半径） 圆柱侧面积：；圆柱表面积：；圆柱体积：；圆锥体积： 2、求几何图形面积常见方法及运用： 1）割补法求面积（平移、对称、旋转等）；2）和差法求面积；3）等积变换（化线段比为面积比）；4）运用整体思想；5）差不变；6）容斥原理（韦恩图）等. 公式法：所求面积的图形是规则图形，如扇形、特殊三角形、特殊四边形等，可直接利用公式计算. 割补法：就是从割和补两种不同角度认识同一个面积.还有的是从不同的角度认识某个长方形面积的一半.通过对面积问题的训练可以打开思维.特别是结合算两次的思想能让我们的思维理念得到很大提升.最后我写了算两次解决面积问题，来诠释前面的理论. 和差法：所求面积的图形是不规则图形，可通过转化变成规则图形面积的和或差，这是求阴影部分面积最常用的方法. 等积变换法：以线段比为对象运用两个面积比表示同一个面积比，有的是运用整体与局部思想整体由各个局部合成.有的抓住面积不变，从两个不同的底和高来表示同一个三角形的面积或随便求出直角边的平方. 差不变思想（原理）：即利用等式的性质来求面积，若S甲=S乙，则S甲+S空白=S乙+S空白，S甲-S空白=S乙-S空白. 容斥原理：即重叠、分层思路，把图形中不规则的阴影部分看作几个规则图形用不同的方法重叠的结果，利用分层把重叠部分分出来，组成重叠图形各个规则图形的面积总和减去分掉的那面积，就是剩下所求那部分面积. 考点一： 割补法求面积--平移与对称 1．（2024·四川绵阳·小升初真题）已知大正方形边长为2厘米，阴影部分的面积是( )平方厘米. 【答案】2 【分析】如下图，把图形左边的两个阴影移补到右边空白部分，这样阴影部分组合成一个长等于正方形的边长，宽等于正方形边长一半的长方形，根据长方形的面积＝长×宽，代入数据计算，即可求出阴影部分的面积. 【详解】2×（2÷2） ＝2×1 ＝2（平方厘米） 阴影部分的面积是2平方厘米. 2．（2022·河北石家庄·小升初真题）求如图阴影部分的面积. 【答案】4cm2 【分析】如图： 三角形是等腰直角三角形，所以圆内左边的阴影部分图形等于右边虚线围成的空白弧形部分，所以，阴影部分的面积也就是整个三角形面积的一半，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，把数据代入公式解答. 【详解】4×4÷2÷2 ＝16÷2÷2 ＝8÷2 ＝4（cm2） 阴影部分的面积是4cm2. 3．（2024·山东潍坊·小升初真题）求阴影部分的面积.（单位：cm） 【答案】13.5cm2 【分析】 如图：，把右边阴影部分移动左边，阴影部分等于长是6cm，宽是3cm的长方形面积，减去底是3cm，高是3cm的三角形面积，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答. 【详解】6×3－3×3÷2 ＝18－9÷2 ＝18－4.5 ＝13.5（cm2） 阴影部分面积是13.5cm. 4．（2024·四川巴中·小升初真题）求图中阴影部分的面积.（π取3.14） 【答案】6cm2 【分析】如下图，把上方的两个阴影移补到箭头所示的空白处，这样阴影部分的面积＝梯形的面积－三角形的面积；根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解. 【详解】2＋2＝4（cm） （4＋6）×2÷2－4×2÷2 ＝10×2÷2－4×2÷2 ＝10－4 ＝6（cm2） 阴影部分的面积是6cm2. 5．（23-24六年级下·辽宁·课后作业）已知正方形ABCD的面积为16平方厘米，你能结合我们学过的图形运动求出涂色部分的面积吗？ 【答案】6.28平方厘米 【分析】 如图所示，以点O所在的水平直线为对称轴，可将下方的两个涂色部分通过轴对称变换到上方，则涂色部分可转化为半个圆环.连接OA，OB得到三角形AOB，因为三角形AOB的面积＝大圆的半径×大圆的半径÷2＝×正方形ABCD的面积，据此求出大圆半径的平方；根据小圆的直径＝正方形的边长求出小圆的半径，利用半个圆环的面积＝（大圆的面积－小圆的面积）÷2，求出半个圆环的面积也就是涂色部分的面积，据此解答. 【详解】 把大圆的半径看作R 在三角形AOB中，有 正方形ABCD的面积为16平方厘米，则正方形ABCD边长为4厘米. 4÷2＝2（厘米），因此小圆的半径为2厘米. 3.14×（8－22）÷2 ＝3.14×（8－4）÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（平方厘米） 答：涂色部分的面积是6.28平方厘米. 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 1．（2024·浙江宁波·小升初真题）如图，正方形ABCD的边长为4厘米，EF垂直于AB，求阴影部分的面积. 【答案】6.56平方厘米 【分析】 如上图割补，则阴影部分的面积＝大扇形的面积－梯形BCEF的面积；大扇形的面积等于半径是4厘米的圆面积÷4，梯形的上底和高都等于正方形边长÷2，根据S圆＝πr2，S梯形＝（a＋b）h÷2解答即可. 【详解】4÷2＝2（厘米） 3.14×42÷4－（2＋4）×2÷2 ＝3.14×16÷4－6×2÷2 ＝12.56－6 ＝6.56（平方厘米） 答：阴影部分的面积是6.56平方厘米. 2．（22-23五年级下·江苏扬州·期末）下图中阴影部分的面积是( )平方厘米. 【答案】144 【分析】观察图形可知，右面的扇形和左面空白的扇形完全相同，把阴影部分的扇形填补到左面，两个阴影部分组成一个正方形.正方形的面积＝边长×边长，据此解答. 【详解】12×12＝144（平方厘米），则图中阴影部分的面积是144平方厘米. 【点睛】把两个阴影部分组成一个正方形进行计算是解题的关键. 3．（22-23六年级下·云南昭通·期末）图形探索. 情境描述：五（1）班的小雪在纸上画了一个梯形和一个圆，并给其中的两个部分涂成阴影，如图.接着，她提出一个数学问题：“阴影部分的面积是多少？”.经过深入思考，可她还是不能解决.假如小雪向你请教，你能帮她解决吗？    （1）我向小雪这样介绍思路： （2）我指导小雪这样列式计算： 【答案】（1）见详解； （2）4×4＝16（平方厘米） 【分析】（1）如图：把圆中右边的阴影部分对称到左边，这样就把所有阴影部分变成一个底为4厘米，高为4厘米的平行四边形.通过平行四边形的面积公式即可求出阴影部分的面积. （2）根据平行四边形的面积＝底×高，代入数据即可列式求出阴影部分的面积. 【详解】（1）我向小雪这样介绍思路：通过对称，把阴影部分的面积转化成一个平行四边形的面积，利用平行四边形的面积公式即可得解. （2）我指导小雪这样列式计算： 4×4＝16（平方厘米） 答：阴影部分的面积是16平方厘米. 【点睛】此题主要考查阴影部分的面积，通过轴对称，巧妙的运用平行四边形的面积公式解决问题. 4．（2024·全国·小升初模拟）求下列图形中阴影部分的面积.     【答案】18.24平方厘米；平方厘米 【分析】（1）连接CD、DB发现ABDC是一个正方形，根据箭头的方向将阴影部分移动到扇形里面.则阴影部分的面积＝扇形面积－正方形面积，其中扇形是一个圆心角为90°，半径为8厘米的扇形，则扇形的＝.正方形的面积＝边长×边长，但是本题不知道边长的长度，可以将正方形看成两个直角三角形的面积和.则直角三角形ACD面积＝底×高×＝直径×半径×，则正方形的面积＝直径×半径××2＝直径×半径. （2）连接CO，则阴影部分面积平行四边形的面积－扇形面积－三角形面积.平行四边形的面积＝底×高；三角形BOC是一个等腰三角形，则两个底角都是30°，则顶角就是120°即∠BOC＝120°，∠BOC和∠AOC合在一起是平角，为180°，则∠AOC＝60°.则扇形AOC的圆心角是60°.扇形AOC面积＝＝，半径是平行四边形底的一半.三角形面积＝底×高×，底是半径，高是平行四边形的高. 【详解】（1）连接CD、DB， ＝ ＝ ＝ ＝18.24（平方厘米） 则阴影部分的面积是18.24平方厘米. （2）（平方厘米） ＝180°－（180°－60°） ＝180°－120° ＝60° ＝ ＝ （平方厘米） （平方厘米） ＝ ＝（平方厘米） 则阴影部分的面积是3.16平方厘米. 考点二： 割补法求面积--旋转 1．（23-24五年级下·河南洛阳·期末）如图所示，三个同心圆中的最大圆的两条直径互相垂直，最大的圆的半径是6cm，第二大圆的半径是4cm，最小圆的半径是2cm.阴影部分的面积是( ). 【答案】28.26cm2 【分析】将阴影部分旋转后可得： 由图可知：原阴影部分的面积等于大圆面积÷4，将数据带入圆的面积公式计算即可. 【详解】3.14×62÷4 ＝3.14×9 ＝28.26（cm2） 【点睛】本题主要考查含圆的组合图形面积的计算. 2．（2023·四川成都·小升初真题）求图中阴影部分的面积.（单位：厘米）（取） 【答案】平方厘米 【分析】如图，通过割补可知阴影部分面积等于半径为6厘米圆面积的.根据，代入数据计算即可. 【详解】（平方厘米） 即阴影部分面积是平方厘米. 3．（21-22五年级下·山西大同·期末）计算涂色部分的面积. 【答案】32平方厘米 【分析】由图可知，①和③面积相等，把涂色部分①转化为③，②和④面积相等，把涂色部分②转化为④，此时所有涂色部分组成一个三角形，三角形的面积是整个正方形面积的一半，据此解答. 【详解】8×8÷2 ＝64÷2 ＝32（平方厘米） 所以，涂色部分的面积是32平方厘米. 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 1．（2021·江苏扬州·小升初真题）如图，两个同样大的正方形，把其中一个正方形的顶点固定在另一个正方形的中心点上.旋转其中一个正方形如图所示，重叠部分的面积是5平方厘米，正方形的面积是( ) 平方厘米. 【答案】20 【分析】标注字母并做出辅助线，根据正方形的性质可得OA＝OC，△AOB和△COD形状大小完全相同，可以将△COD割补到△AOB的位置，因此阴影部分面积就是正方形面积的，正方形面积就是重叠部分的面积×4，即可解答. 【详解】 5×4＝20（平方厘米） 【点睛】本题考查正方形的特征，利用割补法将阴影部分不规则的图形转化为学过的图形进行解答. 2．（2023·全国·小升初模拟）求阴影部分面积.（单位：cm，π取3.14） （1）    （2） 【答案】（1）16平方厘米；（2）22平方厘米 【分析】（1）将右半部分的不规则阴影部分绕圆心顺时针旋转90°然后再平移，阴影部分的面积相当于底是8厘米、高是4厘米的平行四边形面积的一半，根据平行四边形的面积公式：平行四边形的面积＝底×高，用8×（8÷2）÷2即可求出阴影部分的面积. （2）将左上部分阴影填补到中间空白处，那么阴影部分的面积恰好是上底为4，下底为7，高为4的梯形的面积，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2. 【详解】（1）8×4÷2 ＝32÷2 ＝16（平方厘米） 阴影部分的面积是16平方厘米. （2）（4＋7）×4÷2 ＝44÷2 ＝22（平方厘米） 阴影部分的面积是22平方厘米. 考点三： 和差法求面积 1．（2024·江苏扬州·小升初真题）一个零件横截面的形状如图.这个零件横截面（涂色部分）的面积是多少平方厘米？ 【答案】50.24平方厘米 【分析】观察图形可知，涂色部分的面积＝大半圆的面积－小圆的面积，根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解. 【详解】16÷2＝8（厘米） 8÷2＝4（厘米） 3.14×82÷2－3.14×42 ＝3.14×64÷2－3.14×16 ＝100.48－50.24 ＝50.24（平方厘米） 答：这个零件横截面（涂色部分）的面积是50.24平方厘米. 2．（2024六年级下·江苏·专题练习）求下面各图涂色部分的面积. 【答案】44dm2；9.435dm2 【分析】（1）用大正方形面积加上小正方形的面积，然后减去底为（8＋6）dm，高为8dm的三角形的面积即可； （2）用上底为3dm，下底为4dm，高为（3＋4）dm梯形的面积减去半径为3dm圆的，再减去底和高都为4dm的三角形的面积即可求出涂色部分的面积. 【详解】8×8＋6×6－（6＋8）×8÷2 ＝64＋36－14×8÷2 ＝100－112÷2 ＝100－56 ＝44（dm2） 3．（24-25六年级上·河南周口·期中）求下面图形涂色部分的面积. 【答案】10.99cm2；20.52m2 【分析】涂色部分的面积为内直径是6cm，外直径是8cm的圆环的面积的一半； 如下图，空白部分①和②面积相等，等于边长是6m的正方形面积减去半径是6m的圆的面积，那么涂色部分的面积为边长是6m的正方形面积减去空白部分①、②的面积，据此解答. 【详解】 （cm2） 故涂色部分面积是10.99cm2. （m2） 故涂色部分面积是20.52m2. 4．（2024五年级·全国·课后作业）如图，长方形ABCD中， AB=24cm，BC=26cm，E是BC的中点，F、G分别是AB、CD的四等分点，H为AD上任意一点，求阴影部分面积． 【答案】234平方厘米 【详解】试题分析：此题是求图中组合图形的面积，可以利用辅助线将它转换成规则图形，如图，连接BH，将阴影部分分成了三个三角形，求出这三个三角形面积和即可解决问题．利用三角形面积公式进行解决． 解：如图，连接BH， AB=CD=24厘米，BC=AD=26厘米， 因为F、G分别是四等分点， 所以BF=AB==6（厘米）， DG=24=6（厘米）， S△BFH+S△DHG， =BF×AHDG×HD， =， =3×AH+3×DH， =3×（AH+DH）， =3×AD， =3×26， =78（平方厘米）， 因为E是BC的中点，BE=13厘米， S△BEH=×13×24=156（平方厘米）， 78+156=234（平方厘米）， 答：阴影部分的面积为234平方厘米． 点评：组合图形的面积计算，转化成规则图形的面积计算时解题的关键． 【解题技巧】常见模型 图形 转化后的图形 秘籍计算方法 1．（20-21六年级上·吉林·期末）如图，三角形ABC是等腰直角三角形，，弧AD是以CA为半径的圆的一部分，，求图中阴影部分的面积. 【答案】18.24平方厘米 【分析】观察可知，阴影部分的面积有一部分是重合的，阴影部分的面积＝直径8厘米的半圆面积＋弧AD半径CA的扇形面积－三角形面积. 【详解】3.14×（8÷2）²÷2＋3.14×8²×－8×8÷2 ＝3.14×16÷2＋3.14×64×－32 ＝25.12＋25.12－32 ＝18.24（平方厘米） 2.（20-21六年级上·广东深圳·期中）如图，三角形是等腰直角三角形，为直角，是的中点，厘米，圆弧、的圆心分别在、两点，求图中阴影部分的面积.（单位：厘米） 【答案】 【分析】由于三角形ABC是等腰直角三角形，则∠CAB＝∠CBA＝45°，圆弧GE和圆弧HF的半径相等，则这两部分能够组成一个半径是20÷2＝10厘米，圆心角是90°的扇形，根据扇形的面积公式：S＝×πr2，把数代入即可求解，圆弧ED和圆弧FB中的空白部分能够组成一个正方形，圆弧ED和圆弧FD能够组合成一个半径是10厘米，圆心角是90°的扇形，用这两个圆弧的面积减去正方形的面积即可求出三角形内阴影部分的面积，知道正方形的对角线的长度，则面积＝对角线×对角线÷2，之后两部分的阴影部分面积相加即可. 【详解】3.14×（20÷2）2× ＝3.14×100× ＝314× ＝78.5（平方厘米） 78.5＋（78.5－10×10÷2） ＝78.5＋28.5 ＝107（平方厘米） 答：图中的阴影部分面积是107平方厘米. 【点睛】本题主要考查扇形的面积公式以及正方形的面积公式，要注意正方形的面积可以用两条对角线相乘除以2即可. 3．（2023六年级·全国·竞赛）如图，直角扇形的半径为7厘米，正方形的边长为4厘米，则阴影部分的面积为( )平方厘米.（取） 【答案】32.5 【分析】 阴影部分的面积＝扇形的面积＋正方形的面积－空白部分的面积.扇形是一个直角扇形，则扇形的面积＝×圆的面积＝.正方形的面积＝边长×边长，直角三角形是一条直角边是正方形的边长为4厘米，另外一条直角边是正方形的边长与扇形半径长之和，则直角三角形的面积＝两条直角边的乘积÷2. 【详解】××72＋4×4－（7＋4）×4÷2 ＝ ＝ ＝ ＝32.5（平方厘米） 则阴影部分的面积为32.5平方厘米. 4．（2023·四川成都·小升初真题）如图，在长方形中，厘米，厘米，扇形的半径厘米，扇形的半径厘米，则图中阴影部分的面积为( )平方厘米.（结果保留，不取近似值） 【答案】 【分析】长方形的面积－扇形CBF的面积＝不规则图形ABFD，阴影部分的面积＝扇形ABE－不规则图形ABFD.长方形的面积＝长×宽，圆的面积＝.注意：结果保留，不取近似值. 【详解】扇形CBF的面积：＝＝4（平方厘米） 不规则图形ABFD：4×6－4＝（24－4）平方厘米 扇形ABE面积：＝＝9（平方厘米） 阴影部分的面积： ＝ ＝（）平方厘米 则图中阴影部分的面积是为（13π－24）平方厘米. 【点睛】因为长方形的四个角都是90°，扇形CBF的圆心角为90°，即它的面积是以半径为4厘米的圆的，同理扇形ABE的面积是以半径为6厘米的圆.求扇形的面积要先求出所在圆的面积. 5．（2021·浙江·小升初真题）数学思考. 如图是一个正方形和半圆所组成的图形，其中P为半圆周的中点，Q为正方形BC边上的中点，求空白部分的面积.（单位：平方厘米） 【答案】87.5平方厘米 【分析】如下图所示；连接PB，P点为半圆周的中点，作三角形PAB的高PG，则G是AB的中点，所以PG的长度为正方形的边长加半圆的半径，正方形的边长是10厘米，半圆的直径是10厘米，所以PG的长度是10＋10÷2＝15厘米，所以三角形PAB的面积是10×15÷2＝75平方厘米；Q点为正方形一边的中点，所以三角形PBQ的面积是5×5÷2＝12.5平方厘米，据此列式解答即可. 【详解】10×15÷2 ＝150÷2 ＝75（平方厘米） 5×5÷2 ＝25÷2 ＝12.5（平方厘米） 75＋12.5＝87.5（平方厘米） 答：空白部分的面积是87.5平方厘米. 【点睛】此题考查了三角形、正方形和圆的面积公式的综合应用，连接BP，找出这两个白色三角形的高是解决本题的关键. 考点四： 整体代换法 1．（2024·全国·小升初真题）在三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝10厘米，A为扇形AEF的圆心，且阴影部分①与②面积相等，求扇形所在圆的面积。 【答案】400平方厘米 【分析】根据题意，三角形ABC为等腰直角三角形，所以∠A＝∠B＝45°，因为阴影部分①与②面积相等，所以扇形AEF的面积就等于三角形ABC的面积，整个圆面积的圆心角为360°，可用扇形AEF的面积除以∠A占整个圆心角的几分之几即可得到答案。 【详解】10×10÷2÷ ＝100÷2÷ ＝50÷ ＝400（平方厘米） 答：扇形所在的圆的面积为400平方厘米。 【点睛】解答此题的关键是利用等量代换计算扇形的面积，然后再用扇形的面积除以扇形的圆心角占整个圆心角的分率即是扇形所在圆的面积。 2．（2023五年级·全国·课后作业）如图：阴影部分的面积是50平方厘米，求图中圆环的面积． 【答案】157平方厘米 【详解】试题分析：由图意可知：圆环的面积=大圆的面积﹣小圆的面积，因此只要求得大圆与小圆的半径的关系，问题即能得解；又因阴影部分的面积等于大等腰直角三角形的面积减小等腰直角三角形的面积，从而可以求得大小圆半径的平方之差，从而问题得解． 解：设大圆的半径为R，小圆的半径为r， 则：2R×R÷2﹣2r×r÷2=50， R2﹣r2=50（平方厘米）； 圆环的面积：πR2﹣πr2， =π×（R2﹣r2）， =3.14×50， =157（平方厘米）； 答：圆环的面积是157平方厘米． 点评：解答此题的关键是：利用已知条件求出大小圆半径的平方之差，再据圆环面积等于大圆面积减小圆面积，即可求解． 3．（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，长方形的长为12厘米，宽为5厘米。阴影部分甲的面积比乙的面积大15平方厘米。求DE的长。 【答案】2.5厘米 【分析】已知“甲的面积－乙的面积＝15平方厘米”，那么如图，（甲的面积＋丙的面积）－（乙的面积＋丙的面积）＝15平方厘米，可得等量关系：长方形ABCD的面积－三角形BCE的面积＝15平方厘米，即：三角形的面积＋15＝长方形的面积。设DE的长为未知数，根据等量关系列方程，再根据等式的性质解方程。其中，长方形面积＝长×宽，三角形面积＝底×高÷2。 【详解】解：设DE的长是x厘米， 12（x＋5）÷2＋15＝12×5 6x＋30＋15＝60 6x＝60－45 6x＝15 x＝15÷6 x＝2.5 答：DE的长是2.5厘米。 【点睛】能够结合图示，把甲乙两部分面积的差，转化为长方形与三角形面积之差，是解题关键。 步骤： 1.识别整体：首先，识别题目中的某个部分或结构，这个部分可以是一个图形、一个长度、一个面积或一个体积，它能够被看作一个整体. 2.设定变量：将这个整体用一个变量（如a、b、x、y等）来表示.这个变量将代表整个部分的未知值. 3.建立关系：根据题目中的条件，建立这个变量与其他已知量或未知量之间的关系. 4.代入求解：将变量代入到相关的公式或方程中，进行求解. 5.回代验证：求出变量的值后，如果需要，可以回代到原问题中，验证解的正确性. 【解题技巧】有些参数（如圆的半径）直接求很困难，但是可以直接求的半径的平方，采用设而不求，整体代换即可. 1．（2020·湖北十堰·小升初真题）下图中，已知圆的周长是25.12厘米，圆的面积与长方形的面积相等，图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ 【答案】37.68平方厘米 【分析】从图中看出，阴影部分的面积＝长方形的面积－圆的面积×，其中长方形的面积＝圆的面积＝πr2，圆的半径＝圆的周长÷π÷2 【详解】25.12÷3.14÷2＝4（厘米） 42×3.14＝50.24（平方厘米） 50.24－50.24× ＝50.24－12.56 ＝37.68（平方厘米） 答：阴影部分的面积是37.68平方厘米。 【点睛】“等量代换”是解数学题时常用的一种思考方法，即两个相等的量，长方形的面积与圆的面积可以互相代换。 2．（23-24六年级上·河南周口·期末）如图，大正方形的面积比小正方形的面积多平方厘米，求阴影部分的面积。 【答案】5.7平方厘米 【分析】设大正方形的边长是a，利用大正方形与小正方形面积的关系求a2的值，然后利用圆的面积减去小正方形的面积，求阴影部分的面积。 【详解】设大方形的边长是a a2－a2＝10 a2＝10 a2÷＝10÷ a2÷＝10÷ a2＝10×2 a2＝20 阴影部分的面积： 3.14×20×－×20 ＝62.8×－10 ＝15.7－10 ＝5.7（平方厘米） 答：阴影部分的面积是5.7平方厘米。 【点睛】本题主要考查组合图形的面积，关键把组合图形转化成规则图形，利用规则图形面积公式计算。 3．（2025六年级下·全国·竞赛）如图，阴影部分的面积是25平方米，求圆环面积是多少平方米？ 【答案】157平方米 【分析】观察图形可知，圆环面积无法直接根据公式求出，题中给出的信息为阴影部分面积，阴影部分面积利用整体减空白部分来求。利用△AOB面积－△DOC面积，即＝25，可得＝50，观察图形AO为大圆半径，DO为小圆半径。圆环面积公式，即3.14×50＝157（平方米） 【详解】25×2＝50（平方米） 3.14×50＝157（平方米） 4．（23-24六年级上·辽宁·期中）如图，如果直角三角形的面积是25平方厘米，那么圆内空白部分的面积是( )平方厘米。 【答案】132 【分析】直角三角形的面积＝底×高÷2，刚好底和高都是圆的半径，则三角形的面积可以表示为r×r÷2＝25，圆的面积＝πr2，求出圆的面积减去阴影部分的面积即可求出空白部分的面积。 【详解】解：设圆的半径是r。 r×r÷2＝25 r2＝25×2 r2＝50 圆的面积： ＝πr2 3.14×50 ＝157（平方厘米） 空白部分的面积： 157－25＝132（平方厘米） 空白部分的面积是132平方厘米。 【点睛】此题考查不规则图形面积的计算方法，利用圆的面积公式求出圆的面积是解题的关键。 考点五： 等积变化法求面积（体积） 1．（2025六年级下·西藏·专题练习）如图是一个平行四边形，且AB＝BC＝CD，DE＝EF。则甲、乙两个三角形的面积比是( )∶( )。 【答案】 3 2 【分析】连接平行四边形的对角线，如图：，由此可知，甲的面积＝×平行四边形面积的一半，即××平行四边形，即×平行四边形面积；乙的面积＝×平行四边形面积的一半，即××平行四边形，即×平行四边形面积；再根据比的意义，进而求出甲、乙两个三角形的面积比。 【详解】根据分析可知，甲三角形面积＝×平行四边形面积；乙三角形面积＝×平行四边形面积。 甲∶乙＝（×平行四边形面积）∶（×平行四边形面积） ＝∶ ＝（×12）∶（×12） ＝3∶2 甲、乙两个三角形的面积比是3∶2。 2．（2022·安徽黄山·小升初真题）如图，三角形的面积27cm2，，，三角形的面积是( )cm2。 【答案】12 【分析】由图可知，三角形和三角形等高，且，则，三角形的面积是三角形面积的，三角形和三角形等高，且，则，三角形的面积是三角形面积的，由此求出三角形的面积占三角形面积的分率，最后用乘法求出三角形的面积。 【详解】因为，则，所以三角形的面积＝×三角形面积＝×27＝18（cm2）； 因为，则，所以三角形的面积＝×三角形面积＝×18＝12（cm2）； 由上可知，三角形的面积是12cm2。 【点睛】根据三角形底边的关系找出三角形的面积关系是解答题目的关键。 3．（2023·四川·小升初真题）如图所示，AB是半圆的直径，O是圆心，，M是CD的中点，H是弦CD的中点，若N是OB上的一点，半圆面积等于12平方厘米，则图中阴影部分的面积是多少？ 【答案】2平方厘米 【分析】如下图所示，连接OC、OD、OH，则扇形AOC、COD、DOB的面积相等，都等于半圆面积的，又因为三角形COH与三角形CNH等底等高，则二者的面积相等，所以阴影部分的面积等于扇形COD面积的一半，从而可以求出阴影部分的面积。 【详解】12×× ＝4× ＝2（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积是2平方厘米。 【点睛】解答本题的关键是作出合适的辅助线，得到阴影部分与半圆的面积的关系。 4．（22-23六年级下·山东菏泽·期中）巧求饮料体积：一个饮料瓶（如图），瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积为250毫升，当瓶子正放时，瓶内饮料液面高为8厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米，请你算一算，瓶内饮料的体积是多少毫升？ 【答案】200毫升 【分析】因为饮料瓶的容积不变，饮料的体积也不变，所以正放和倒放时空余部分的体积相等；将正放与倒放的空余部分交换一下位置，可以看出饮料瓶的容积相当于底面积不变，高为8＋2＝10厘米的圆柱的体积，那么瓶中的饮料占整个饮料瓶容积的＝，根据求一个数的几分之几是多少，用整个饮料瓶的容积乘，即可求出瓶内饮料的体积。 【详解】8÷（8＋2） ＝8÷10 ＝ 250×＝200（毫升） 答：瓶内饮料的体积是200毫升。 【点睛】关键是明白饮料瓶的两种放法，空白部分的容积是不变的，用倒放时的空白部分替换掉正放时的空白部分，转化成圆柱体，进而求出瓶中的饮料占整个饮料瓶容积的几分之几，再根据分数乘法的意义求解。 5．（22-23六年级上·浙江温州·期末）如图，已知有一块四边形花圃ABCD，其中E，F分别为AB，AG上的点，且BE＝2AE，G，H分别是DF，BC上的点，且BH＝HC，FG＝GD，连接EF，BF，BG，HD，将花圃分成五块，图中阴影部分种兰花，三角形AEF的面积是25平方米，三角形BFG的面积是150平方米，三角形HCD的面积是90平方米。空白部分种郁金香，那么郁金香的面积为多少平方米？ 【答案】440平方米 【分析】连接BD，如图所示： 三角形面积＝底×高÷2，三角形AEF和三角形BEF高相等，并且BE＝2AE，那么三角形BEF的面积是三角形AEF面积的2倍； FG＝GD，那么三角形BGD和三角形BFG等底等高，那么这两个三角形的面积相等； 同理，BH＝HC，那么三角形BHD和三角形HCD等底等高，面积相等。 将空白部分的面积相加，求出种植郁金香的面积即可。 【详解】25×2＝50（平方米） 50＋150＋150＋90＝440（平方米） 答：郁金香的面积是440平方米。 【点睛】本题考查了三角形的面积、组合图形的面积，熟记并灵活运用三角形的面积公式，并掌握割补法求组合图形的面积是解题的关键。 【介绍】等积变换法在小学几何中是一种重要的解题技巧，它通过保持图形面积不变的前提下，改变图形的形状或位置，从而简化问题的求解过程. 【解题技巧】合理使用边、高的比求面积的比例，灵活掌握边、高、面积之间的关系. 1．（23-24六年级下·广西河池·期末）如图，平行四边形的面积是84平方厘米。 （1）阴影部分的面积是多少平方厘米？ （2）丙三角形的面积是甲三角形面积的几分之几？（列式计算） 【答案】（1）18平方厘米 （2） 【分析】（1）将平行四边形面积看作单位“1”，乙丙的面积是平行四边形面积的，平行四边形面积×乙丙对应分率＝乙丙的面积；再将乙丙的面积看作单位“1”，乙丙合起来的大三角形和乙三角形等高，三角形的面积＝底×高÷2，因此乙的底÷乙丙合起来的大三角形的底＝乙的面积占乙丙面积的几分之几，乙丙的面积×乙的对应分率＝乙的面积，即阴影部分的面积； （2）将甲的面积看作单位“1”，甲的面积＝乙丙的面积，1－乙的面积占乙丙面积的几分之几＝丙三角形的面积是甲三角形面积的几分之几。 【详解】（1）6÷（6＋8） ＝6÷14 ＝ 84×× ＝42× ＝18（平方厘米） 答：阴影部分的面积是18平方厘米。 （2）1－＝ 答：丙三角形的面积是甲三角形面积的。 【点睛】关键是确定单位“1”，并明确乙的对应分率。 2．（2015·全国·小升初真题）对角线把梯形ABCD分﹣成四个三角形．已知两个三角形的面积分别是5和20．求梯形ABCD的面积是多少． 【答案】梯形的面积是45 【详解】试题分许：由蝴蝶定理得，S2=S4，再由共高定理得S1×S3=S2×S4，求得 S2=10，据此即可解答问题． 解答：解：根据题干分析可得：由蝴蝶定理得，S2=S4， 再由共高定理得S1×S3=S2×S4， 5×20=S2×S4， S2×S4=100， 所以S2=S4=10， 则梯形的面积总和：5+10+10+20=45， 答：梯形的面积是45． 点评：此题主要考查利用蝴蝶定理和共高定理解决实际问题的灵活应用． 3．（2017·四川成都·小升初真题）如图，点E在AC上，点D在BC上，且AE：EC=2：3，BD:DC=1：2，AD与BE交于点F，四边形DFEC的面积为22cm2，则三角形ABC的面积是多少？ 【答案】三角形ABC的面积是45 cm2． 【详解】连接CF，如图 设△ABC面积为s（cm2）．因为AE：EC=2：3，所以， 因为BD:DC=1：2，所以， 因为四边形DEFC的面积为22cm2，所以=（）=s-33 =（）=-44 因为+=，所以s-33+-44=22，所以s=45（cm2） 答：三角形ABC的面积是45 cm2． 本体利用比例关系，推导出相应的三角形面积比，最终求出答案． 4．（24-25五年级下·湖南岳阳·期中）如图，一个无盖的长方体玻璃容器，长和宽都是3分米，高是5分米。（容器壁厚度忽略不计） （1）如果在它的各条棱上贴防撞条（底面的4条棱不贴），至少需要多长的防撞条？（接头处忽略不计） （2）容器中的水面原来高3分米，放入一块假山石后（完全浸没），水面升高到了4.5分米，这块假山石的体积是多少？ 【答案】（1）32分米 （2）13.5立方分米 【分析】（1）求至少需要防撞条的长度，就是求这个长方体8条棱长的和，即求4条5分米的棱长与4条3分米的棱长总和，据此解答。 （2）水面升高部分的体积就是假山石的体积，根据长方体体积公式：体积＝长×宽×水面上升的高度，代入数据，即可解答。 【详解】（1）5×4＋3×4 ＝20＋12 ＝32（分米） 答：至少需要32分米防撞条。 （2）3×3×（4.5－3） ＝9×1.5 ＝13.5（立方分米） 答：这块假山石的体积是13.5立方分米。 5．学习与思考：实践应用。 如图，已知有一块六边形花圃ABCDEF， 其中G、H、M、N 分别为AB、BC、DE、EF 上的点，且BG＝2AG，BH＝2CH，ME＝2MD，NE＝2NF。连接GF、BN、HE、CM，将花圃分成五块，图中标出的三块区域种植花草，其余两块为观赏区。三块种植区的面积由上至下分别为90m2、640m2、75m2，求观赏区的面积。 【答案】650平方米 【分析】如图，连接BF，BE，CE，三角形AFG的面积是90平方米，且BG＝2AG，可以求出三角形BFG的面积；在四边形BCEF中，三角形BEN的面积是三角形BFN的2倍，三角形BEH的面积是三角形CEH的2倍，可以求出四边形BCEF中空白部分的面积；三角形CDM的面积是75平方米，且ME＝2MD，那么三角形CEM的面积是三角形CDM的面积的2倍。 【详解】如图所示：连接BF，BE，CE； （平方米） （平方米） （平方米） （平方米） 答：观赏区的面积是650平方米。 【点睛】本题求不规则图形的面积，首先用到了分割的方法，然后应用等高模型，当三角形高相同时，面积比等于对应的底边长度之比。 考点六： 差不变原理 1．（22-23六年级上·湖南永州·期末）如图：已知直角三角形ABC的底与半圆的直径完全重合，阴影部分甲比乙多22.88平方厘米，BC长8厘米，求AB的长？ 【答案】12厘米 【分析】从图中可以看出阴影部分乙加上空白部分的面积是半圆的面积，阴影部分甲加上空白部分的面积是三角形ABC的面积，又已知甲的面积比乙的面积多22.88平方厘米，故三角形ABC的面积比半圆的面积多22.88平方厘米，求出半圆面积，再加上22.88即为三角形的面积，再根据三角形的面积公式解答即可。 【详解】半圆的面积： 3.14×（8÷2）2÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（平方厘米） 三角形ABC的面积： 25.12＋22.88＝48（平方厘米） AB的长： 48×2÷8 ＝96÷8 ＝12（厘米） 答：AB的长是12厘米。 【点睛】此题主要考查圆的面积公式、三角形的面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 2．（23-24五年级上·全国·课后作业）如图，在平行四边形ABCD中，BC长10厘米，直角三角形BCE的直角边CE长8厘米，已知两块阴影部分的面积和比三角形EFG的面积大10平方厘米，EF长多少厘米？ 【答案】3厘米 【分析】根据题意：如图，已知两块阴影部分的面积和比三角形EFG的面积大10平方厘米，则三角形EFG的面积＋10平方厘米＋梯形BCFG的面积＝平行四边形ABCD的面积，又因为三角形EFG的面积＋梯形BCFG的面积＝三角形BCE的面积，所以三角形BCE的面积＋10平方厘米＝平行四边形ABCD的面积；CF是平行四边形的高，根据平行四边形的面积＝底×高，则高CF＝平行四边形的面积÷底，EF＝CE－CF。 【详解】10×8÷2 ＝80÷2 ＝40（平方厘米） 40＋10＝50（平方厘米） 50÷10＝5（厘米） 8－5＝3（厘米） 答：EF的长是3厘米。 3．（23-24五年级下·辽宁·假期作业）如图，四边形ABCD是边长为8厘米的正方形，三角形ADF的面积比三角形CEF的面积大10平方厘米，则涂色部分的面积为( )平方厘米。 【答案】22 【分析】正方形的面积＝边长×边长，根据题意可知，三角形ADF的面积比三角形CEF的面积大10平方厘米，所以三角形ADF与三角形AFC的面积和比三角形CEF与三角形AFC的面积和大10平方厘米。三角形ADF与三角形AFC的面积和是正方形面积的一半，据此可求出三角形CEF与三角形AFC的面积和，即涂色部分的面积；据此解答。 【详解】由分析可知： 8×8÷2－10 ＝64÷2－10 ＝32－10 ＝22（平方厘米） 所以涂色部分的面积为22平方厘米。 【解题技巧】差不变思想，即利用等式的性质来求面积，如果S甲=S乙，那么S甲+S空白=S乙+S空白，反之亦可. 1．（2023·福建莆田·小升初真题）如图，直径AB＝20厘米，阴影部分Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积大7平方厘米，求BC的长？ 【答案】15厘米 【分析】根据图可知Ⅲ是半圆和三角形ABC的公有部分，阴影部分Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积大7平方厘米，也就是说半圆比三角形ABC的面积大7平方厘米，又因为已知直径，可求出半圆的面积，用半圆面积减去7平方厘米就是三角形的面积，最后根据三角形的面积公式可以求出BC的长。 【详解】由题意可知： 半圆面积＝π÷2 ＝3.14×102÷2 ＝3.14×100÷2 ＝157（平方厘米） 由图可知，Ⅰ＋Ⅲ＝半圆面积，Ⅱ＋Ⅲ＝SABC，又因为阴影部分Ⅰ的面积比阴影Ⅱ的面积大7平方厘米， 所以：SABC＝157－7＝150（平方厘米） SABC＝BC×AB÷2 150＝BC×20÷2 BC＝15（厘米） 答：BC的长为15厘米。 【点睛】此题考查了组合图形的面积和转化的思想。 2．（2024·四川绵阳·小升初真题）如图：直角三角形ABC的直角边AB＝6厘米，BC＝4厘米，以AB为直径画半圆，则阴影部分①的面积比阴影部分②的面积大( )平方厘米。（圆周率π取3） 【答案】1.5 【分析】 由图可知，阴影部分②的面积＋空白部分③的面积＝直角三角形ABC的面积；阴影部分①的面积＋空白部分③的面积＝半圆的面积；根据三角形的面积＝底×高÷2，圆的面积＝πr2，代入相应数值，分别计算出三角形面积和半圆的面积，即可比较阴影部分②的面积和阴影部分①的面积，据此解答。 【详解】三角形ABC面积：6×4÷2 ＝24÷2 ＝12（平方厘米） 半圆面积：3×（6÷2）2÷2 ＝3×32÷2 ＝3×9÷2 ＝27÷2 ＝13.5（平方厘米） 因为空白面积③是相等的，所以13.5－12＝1.5（平方厘米）。 因此阴影部分①的面积比阴影部分②的面积大1.5平方厘米。 考点七： 容斥定理 1．（22-23六年级上·四川乐山·期末）如图所示，在等腰直角三角形ABC中，AC＝4厘米，BC是半圆的直径，A为扇形ADC的圆心，求阴影部分的面积是多少平方厘米。（结果用π表示） 【答案】（4π－8）平方厘米 【分析】如图： 通过图形可知，①＋②＝一个半径是4厘米，圆心角是45°的扇形面积，②＋③＋④＝一个直径是4厘米的半圆面积，①＋②＋③＝底和高都是4厘米的等腰直角三角形面积，阴影部分面积＝②＋④，（①＋②）＋（②＋③＋④）－（①＋②＋③）＝②＋④，通过推算可知，阴影部分的面积＝一个半径是4厘米，圆心角是45°的扇形面积＋一个直径是4厘米的半圆面积－底和高都是4厘米的等腰直角三角形面积，根据扇形面积＝πr2×，圆面积＝πr2，三角形的面积＝底×高÷2，用π×42×＋π×（4÷2）2×－4×4÷2即可求出阴影部分的面积。 【详解】π×42×＋π×（4÷2）2×－4×4÷2 ＝π×42×＋π×22×－4×4÷2 ＝π×42×＋π×22×－4×4÷2 ＝π×16×＋π×4×－4×4÷2 ＝2π＋2π－8 ＝（4π－8）平方厘米 阴影部分的面积是（4π－8）平方厘米。 【点睛】明确阴影部分的面积可以由哪些规则图形计算得出是解答本题的关键。 2．（2021六年级·全国·竞赛）三个面积均为平方厘米的圆纸片放在桌面上（如图），三个纸片共同重叠的面积是平方厘米。三个纸片盖住桌面的总面积是平方厘米。问：图中阴影部分面积之和是多少？ 【答案】30平方厘米 【分析】三个纸片共同重叠的面积是10平方厘米计算3次，阴影部分计算2次，三个纸片的面积之和减去阴影部分的面积，再减去2个10平方厘米，得到所覆盖的面积。 【详解】将图中的三个圆标上、、。根据包含排除法，三个纸片盖住桌面的总面积＝（圆面积圆面积圆面积）－（与重合部分面积与重合部分面积与重合部分面积）＋三个纸片共同重叠的面积，得：（与重合部分面积与重合部分面积与重合部分面积）＋10，得到、、三个圆两两重合面积之和为：平方厘米，而这个面积对应于圆上的那三个纸片共同重叠的面积的三倍与阴影部分面积的和，即：阴影部分面积，则阴影部分面积为：（平方厘米）。 答：图中阴影部分面积之和是30平方厘米。 【点睛】本题考查的是三个量的容斥问题，首先要搞清楚图中每一部分分别计算了几次。 3．（2021六年级·全国·竞赛）如图所示，、、分别是面积为、、的三张不同形状的纸片，它们重叠在一起，露在外面的总面积为。若与、与的公共部分的面积分别为、，、、这三张纸片的公共部分为。求与公共部分的面积是多少？ 【答案】6 【分析】三张纸覆盖的总面积是38，可以设A与C公共部分的面积为未知数，表示出覆盖的总面积，解出未知数即可。 【详解】解：设与公共部分的面积为，由包含与排除原理可得： （1）先“包含”：把图形、、的面积相加：，那么每两个图形的公共部分的面积都重复计算了次，因此要排除掉。 （2）再“排除”：，这样一来，三个图形的公共部分被全部减掉，因此还要再补回。 （3）再“包含”：，这就是三张纸片覆盖的面积。 根据上面的分析得：，解得：。 答：A与C公共部分的面积是6。 【点睛】本题实质上考查的是三个量的容斥问题，首先明确每一块所计算的次数，这是求解问题的关键。 4．（22-23六年级上·吉林长春·期末）求下图阴影部分的面积。（单位：米。）    【答案】6平方米 【分析】观察图形可知，阴影部分面积＝直径是3米的圆的面积一半＋直径是4米的圆的面积一半＋底是3米，高是4米的三角形面积－直径是5米的圆的面积一半，根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，三角形面积公式：面积＝底×高÷2，代入数据，即可解答。 【详解】3.14×（3÷2）2÷2＋3.14×（4÷2）2÷2＋3×4÷2－3.14×（5÷2）2÷2 ＝3.14×1.52÷2＋3.14×22÷2＋12÷2＋3.14×2.52÷2 ＝3.14×2.25÷2＋3.14×4÷2＋6＋3.14×6.25÷2 ＝3.5325＋6.28＋6－9.8125 ＝6（平方米） 阴影部分的面积是6平方米。 1.在几何中，容斥原理主要用于解决与重叠相关的图形的面积. 有些组合图形是通过相互重叠而形成的，求这类图形的面积用一般的解题方法是比较繁杂的，而借助容斥原理来求解却非常简便.教师要引导学生认真观察，辨明图形的特征，理解图形的构成，正确地运用容斥原理解题.我们要构建完整的组合图形知识体系，能够根据不同的情况选择最合理的解法. 2.重叠图形计算在几何图形中，当两个或多个图形有部分重叠时，直接相加它们的面积或周长会导致重复计算.这时，可以利用容斥原理，先分别计算每个图形的面积或周长，然后减去重叠部分的面积或调整周长计算方式，从而得到准确的总面积或总周长.例如，计算两个相交圆的面积时，需先分别计算两个圆的面积，再减去相交部分的面积. 3.简单图形组合通过容斥原理，学生可以更好地理解复杂图形是由哪些简单图形组合而成的，并学会如何计算这些组合图形的面积或周长.比如，一个由两个正方形拼接而成的“L”形图形，其面积是两个正方形面积之和减去它们共同边线所在的小矩形的面积. 1．（22-23六年级下·河北张家口·期中）如图，两阴影部分的面积分别是S1、S2，S1－S2＝2.44平方厘米。求图中扇形所在圆的半径。 【答案】4厘米 【分析】根据图形可知，两个阴影部分的面积分别是S1，S2，由于S1－S2＝2.44平方厘米；说明上面阴影部分面积比下面阴影部分面积多2.44平方厘米，由于空白部分加上S2是扇形的面积，空白部分加S1是长方形面积，那么可知长方形面积比扇形面积多了2.44平方厘米，根据长方形面积公式：面积＝长×宽；代入数据，求出长是3厘米，宽是5厘米的长方形的面积；再用长方形的面积减去2.44平方厘米，求出扇形的面积，再乘4，就是这个扇形所在圆的面积，再根据圆的面积公式：面积＝π×半径2，即可求半径。 【详解】（3×5－2.44）×4÷3.14 ＝（15－2.44）×4÷3.14 ＝12.56×4÷3.14 ＝50.24÷3.14 ＝16（平方厘米） 4×4＝16，扇形所在圆的半径是4厘米。 答：图中扇形所在圆的半径是4厘米。 【点睛】解答本题的关键明确长方形面积减去两个阴影部分的面积的差就是扇形的面积，再根据长方形面积公式和圆的面积公式进行解答。 2．（24-25六年级下·河南郑州·开学考试）已知等腰三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4厘米，以AC为直径作圆，又以点B为圆心，BC为半径画弧，交BA于点D，如下图所示，计算图中阴影部分的面积之和（π取3）。 【答案】10平方厘米 【分析】通过观察可知，阴影部分的面积相当于直径为AC的圆面积＋扇形BCD的面积－三角形ABC的面积；已知AC为4厘米，则半径是（4÷2）厘米，根据圆面积公式：S＝πr2（π取3），代入数据即可求出直径为AC的圆面积；因为等腰三角形ABC的∠ABC为45°，所以扇形BCD的面积相当于半径为BC的圆面积的，根据圆面积公式，代入数据求出半径为BC的圆面积；再根据分数乘法的意义，用半径为BC的圆面积乘即可求出扇形BCD的面积；然后根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据求出等腰三角形ABC的面积；最后即可求出阴影部分的面积。 【详解】3×（4÷2）2 ＝3×22 ＝3×4 ＝12（平方厘米） 3×42× ＝3×16× ＝3×16× ＝6（平方厘米） 4×4÷2＝8（平方厘米） 12＋6－8＝10（平方厘米） 答：图中阴影部分的面积之和是10平方厘米。 【点睛】本题主要考查了容斥原理和平面几何的综合应用，关键是明确这个图形由哪两个图形拼成，减去了哪个图形。 3．（2025六年级下·全国·竞赛）在桌面上放置3个两两重叠、形状相同的圆形纸片。它们的面积都是100平方厘米，盖住桌面的总面积是144平方厘米，1，2，3三部分的面积和为80，3张纸片共同重叠的面积是阴影部分，求阴影部分的面积？ 【答案】38平方厘米 【分析】根据题意和容斥原理可知，从三个圆片的总面积里去掉盖住桌面的总面积以及三部分的面积和，然后除以2（因为是两个重叠在一起，所以要除以2），由此即可求出答案。 【详解】（100×3－144－80）÷2 ＝（300－144－80）÷2 ＝（156－80）÷2 ＝76÷2 ＝38（平方厘米） 答：阴影部分的面积是38平方厘米。 4．（2022·湖南怀化·小升初真题）探究。 如图：已知大小正方形边长分别为5cm，2cm，两正方形空白处的面积之差是( )cm2。 【答案】21 【分析】两个正方形空白处均为不规则图形，在大、小正方形中，空白处面积与阴影面积的和分别是25 cm2和4 cm2。关系式中都有阴影面积，通过消去法，两个式子相减正好得到两个正方形的面积差就是两正方形空白处面积之差。 【详解】大正方形空白面积＋阴影面积＝5×5＝25 cm2① 小正方形空白面积＋阴影面积＝2×2＝4 cm2② ①式－②式，大正方形空白面积＋阴影面积－（小正方形空白面积＋阴影面积）＝25－4 整理得，大正方形空白面积－小正方形空白面积＝21 cm2 【点睛】本题用消去法求两个图形的面积差，首先把面积的关系式一一表示出来，通过分析比较，两式相减即可求解，从而得到了解题的捷径。 考点八： 平面图形的拼接重组问题 1．（2024·山东济南·小升初真题）将等腰三角形ABC沿虚线对折，折下来的部分恰好拼成了一个长方形（如图），已知这个长方形的长是6cm，宽是4cm，三角形ABC的面积是（    ）cm2。 A．48 B．24 C．12 D．96 【答案】A 【分析】根据题意，将等腰三角形ABC沿虚线对折，折下来的部分恰好拼成了一个长方形，长方形的长等于三角形ABC底的一半，宽等于三角形ABC高的一半；根据三角形的面积＝底×高÷2，长方形的面积＝长×宽，可知长方形的面积等于三角形ABC面积的一半，或者说三角形ABC的面积等于长方形的2倍，据此解答。 【详解】6×4×2 ＝24×2 ＝48（cm2） 将等腰三角形ABC沿虚线对折，折下来的部分恰好拼成了一个长方形（如图），已知这个长方形的长是6cm，宽是4cm，三角形ABC的面积是48cm2。 故答案为：A 2．（2021·浙江台州·小升初真题）在一次数学实践活动课中，老师让同学们用同一种直角三角形拼图形，小明拼了一个梯形，小红拼了一个大正方形，梯形的面积是( )cm2，大正方形的面积是( )cm2。 【答案】 22.5 34 【分析】小明拼的是一个梯形，梯形的上底是3cm，下底是（3＋3）cm，高是5cm，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数据计算即可； 小红拼的是一个大正方形，从图中可知，大正方形的面积＝4个小直角三角形的面积＋中间小正方形的面积；其中直角三角形的面积＝底×高÷2，小正方形的边长是（5－3）cm，正方形的面积＝边长×边长，代入数据计算即可。 【详解】梯形的面积： （3＋3＋3）×5÷2 ＝9×5÷2 ＝45÷2 ＝22.5（cm2） 大正方形的面积： 3×5÷2×4＋（5－3）×（5－3） ＝15÷2×4＋2×2 ＝30＋4 ＝34（cm2） 【点睛】本题考查组合图形面积的计算，掌握三角形的面积、梯形的面积、正方形的面积公式是解题的关键。 3．（2022·海南省直辖县级单位·小升初真题）将一个平行四边形沿高剪拼成一个长方形（如下图），剪拼成的长方形和原来的平行四边形相比，（    ）。 A．周长不变，面积也不变 B．周长不变，面积变了 C．周长变了，面积不变 D．周长变了，面积也变了 【答案】C 【分析】把平行四边形剪拼成长方形，平行四边形的底相当于长方形的长，平行四边形的高相当于长方形的宽，平行四边形底边的邻边大于底边上的高，利用平行四边形和长方形的周长和面积公式分别表示出它们的周长和面积，最后比较大小，据此解答。 【详解】假设平行四边形的底边为a，底边的邻边为b，高为h。 平行四边形的面积：ah 长方形的面积：ah 所以，平行四边形的面积＝长方形的面积。 平行四边形的周长：（a＋b）×2 长方形的周长：（a＋h）×2 因为b＞h，则（a＋b）×2＞（a＋h）×2，所以平行四边形的周长＞长方形的周长。 故答案为：C 【点睛】分析平行四边形底与高和长方形长与宽的对应关系是解答题目的关键。 4．（22-23六年级下·浙江·期末）长方形的长10cm，宽4.8cm，沿对角线对折后，得到如图的几何图形，阴影部分的周长是( )cm。 【答案】29.6 【分析】如下图，由题意可知：△ABD折叠后落在△A′BD的位置，即A′D＝AD＝4.8cm，A′B＝AB＝10cm，阴影部分的周长＝A′D＋A′B＋DC＋BC，即阴影部分的周长＝（长＋宽）×2，把长方形长、宽的数据代入计算即可。    【详解】（10＋4.8）×2 ＝14.8×2 ＝29.6（cm） 所以阴影部分的周长是29.6cm。 【解题技巧】平面图形的拼接裁剪是小升初比较常考的图形变化问题，从知识综合与难度层次方面来看，与圆形相关的拼切裁剪问题是主要考察点，其次是特殊四边形的拼接裁剪，一般来讲，拼接裁剪造成的图形变化，相对容易理解，可以尝试画出示意图再观察变化特点. 1．（2024·甘肃定西·小升初真题）如图，将一张长方形纸折叠形成一个梯形。这个梯形的面积是（    ）cm2。 A．48 B．96 C．104 D．128 【答案】C 【分析】梯形的面积＝长方形面积－三角形的面积，根据公式长方形面积＝长×宽求出长为16 cm，宽为8 cm的长方形面积；根据三角形面积＝底×高÷2求出底为8cm，高为6cm的三角形面积，最后相减即可。 【详解】16×8－6×8÷2 ＝128－24 ＝104（cm2） 所以这个梯形的面积是104cm2。 故答案为：C 2．（2021·江苏南通·小升初真题）折叠一张长方形纸ABCD，如图，折叠时，C点和A点重合，产生折痕为EF。量得AE长22厘米，如果长方形的宽是20厘米，折叠后图形的面积比原来长方形面积少了( )平方厘米。 【答案】220 【分析】折叠后图形减少的面积等于三角形CEF面积，三角形CEF底边长度等于AE长度、三角形CEF的高是长方形的宽；据此解答即可。 【详解】20×22÷2 ＝440÷2 ＝220（平方厘米） 【点睛】本题考查了图形的折叠问题，动手折一折能更直观的看出减少部分面积就是三角形CEF面积，三角形CEF底边长度等于AE长度、三角形CEF的高是长方形的宽。 3．（22-23五年级上·江苏苏州·期末）聪聪把梯形ABCD按照下图的方法转化成平行四边形EBHG，且面积保持不变。已知梯形ABCD的面积是45平方厘米，则平行四边形EBHG的高是( )厘米。 【答案】3 【分析】看图可知，按图中方式将梯形转化成平行四边形，平行四边形的面积＝梯形的面积，平行四边形的底＝梯形的上底＋下底，根据平行四边形的高＝面积÷底，直接用梯形面积÷梯形上下底的和＝平行四边形的高，据此列式计算。 【详解】45÷（5＋10） ＝45÷15 ＝3（厘米） 平行四边形EBHG的高是3厘米。 4．（20-21六年级下·辽宁·单元测试）做一做，剪一剪。 （1）用剪刀沿着“莫比乌斯带”的中线剪开，你有什么发现？ （2）如果沿着“莫比乌斯带”边缘的一宽度的地方一直剪下去，你有什么发现？ 【答案】（1）纸带会变成一个更大的细纸环。 （2）一个小环套着一个大环。 【分析】通过动手进行实际操作，发现： （1）如果沿着莫比乌斯环的中间剪开，将会形成一个比原来的莫比乌斯环空间大一倍的、具有正反两个面的环，而不是形成两个莫比乌斯环或两个其它形式的环； （2）如果沿着“莫比乌斯带”边缘的一宽度的地方一直剪下去，就会出现一个小环套着一个大环。 【详解】（1）用剪刀沿着“莫比乌斯带”的中线剪开， 发现：纸带会变成一个更大的细纸环。 （2）如果沿着“莫比乌斯带”边缘的一宽度的地方一直剪下去， 发现：一个小环套着一个大环。 【点睛】本题考查图形的剪拼的问题，同时考查学生的动手和操作能力，做此类题目，亲自动手做一做最直观。 考点九： 立体图形的拼接重组问题 1．（2024·河南三门峡·小升初真题）如下图所示，赵磊把一个底面直径是4dm，高为3dm的圆柱分割成大小完全相等的两部分，则（    ）。（圆周率取3） A．方法一表面积增加的多 B．方法二表面积增加的多 C．两种方法表面积增加的一样多 D．无法确定 【答案】C 【分析】圆柱的表面积＝2个底面面积＋侧面面积，把圆柱按照平行于高的方向切割（方法一），增加两个长方形面积，长方形的长是底面直径，宽是圆柱的高。把圆柱按照平行于底面的方向切割（方法二），增加两个底面面积。根据S长方形＝ab，S圆＝πr2解答。 【详解】方法一表面积增加： 4×3×2 ＝12×2 ＝24（dm2） 方法二表面积增加： 3×（4÷2）2×2 ＝3×22×2 ＝3×4×2 ＝24（dm2） 所以两种方法增加的表面积一样多。 故答案为：C 2．（2024·江西吉安·小升初真题）一个圆柱沿底面半径等分切开后，拼成一个近似的长方体，则（    ）。 A．体积不变，表面积不变 B．体积变小，表面积不变 C．体积不变，表面积变大 D．体积不变，表面积变小 【答案】C 【分析】由于近似长方体是由圆柱拼成的，所以体积不变。拼成的近似长方体的底面积和圆柱的底面积相等，高也和圆柱的高相等，近似长方体的前面、后面和圆柱的侧面积相等。那么，近似长方体表面积比圆柱多出了左右两个面的面积，即表面积变大。 【详解】根据分析，一个圆柱沿底面半径等分切开后，拼成一个近似的长方体，则体积不变，表面积变大。 故答案为：C 3．（2024·河北邯郸·小升初真题）如果把一个圆柱体的木料沿着与底面平行的方向截成两部分，表面积就增加6.28平方分米；如果沿着直径截成两部分，表面积就增加8平方分米。圆柱的体积是 立方分米。 【答案】6.28 【分析】把一个圆柱体木料沿着与底面平行的方向截成两部分，增加的表面积是圆柱的2个底面积，用增加的表面积除以2，即可求出圆柱的底面积；然后根据S底＝πr2，得出圆柱的底面半径。 把这个圆柱体木料沿着直径截成两部分，增加的表面积是2个以底面直径和高分别为长、宽的长方形，用增加的表面积除以2，求出一个截面的面积，再除以直径，即可求出圆柱的高。 最后根据圆柱的体积公式V＝Sh，代入数据计算，求出这个圆柱的体积。 【详解】圆柱的底面积：6.28÷2＝3.14（平方分米） 底面半径的平方：3.14÷3.14＝1（平方分米） 因为1＝1×1，所以圆柱的底面半径是1分米。 圆柱的底面直径：1×2＝2（分米） 圆柱的高：8÷2÷2＝2（分米） 圆柱的体积：3.14×2＝6.28（立方分米） 所以圆柱的体积是6.28立方分米。 【点睛】掌握圆柱切割的特点，明确不同的切割方式，增加的表面积不相同，找出表面积增加的是哪些面的面积，以此为突破口，利用公式列式计算。 4．（2023·四川成都·小升初真题）如图，一个长方体的长、宽、高的长度都是质数，且长＞宽＞高。将这个长方体平切两刀，竖切两刀，得到9个小长方体，这9个小长方体表面积之和比原来长方体表面积多624平方厘米。求原来长方体的体积。 【答案】455立方厘米 【分析】已知1刀增加2个切面，平切两刀增加4个（长×宽）的长方形面积，竖切两刀增加4个（长×高）的长方形面积，增加的总面积是624平方厘米，所以长×宽×4＋长×高×4＝624，4×长×（宽＋高）＝624，先把624分解质因数，624＝2×2×2×2×3×13，已知长是质数且最大，则长为13厘米，宽＋高＝12，又已知宽和高也是质数，且宽＞高，则把12拆分成2个质数相加，也就是12＝5＋7，据此得出长方体的长、宽、高，进而根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据解答即可。 【详解】624＝2×2×2×2×3×13 长＞宽＞高 长是13厘米， 2×2×3＝12 12＝5＋7 宽为7厘米，高为5厘米， 13×7×5＝455（立方厘米） 答：这个长方体的体积是455立方厘米。 【点睛】本题主要考查了质数的认识、长方体体积公式的灵活应用，要熟练掌握相关公式。 几何体的表面积增减变化问题主要有三种，一是切片问题，表面积会相应增加，二是是拼接问题，表面积会相应减少，三是高的变化引起的表面积变化. 1．（2020·江苏无锡·小升初真题）如图，把一个三角形剪成一个小三角形和一个梯形，且使它们的高相等，小三角形和原三角形的面积比是( )∶( )；从一个圆锥顶部切下一个小圆锥，如果小圆锥的高是原来圆锥高的，小圆锥与剩余部分的体积比是( )∶( )。 【答案】 1 4 1 7 【分析】（3）根据题意可知，把一个三角形剪成一个小三角形和一个梯形，且使它们的高相等，说明小三角形的高：大三角形的高＝1∶2，小三角形的底∶大三角形的底＝1∶2，又因为三角形的面积＝底×高÷2，所以小三角形和原三角形的面积比＝1∶（2×2）＝1∶4 （2）小圆锥的高∶大圆锥的高＝1∶2，则小圆锥底面半径：大圆锥底面半径＝1∶2，即小圆锥底面积∶大圆锥底面面积＝1∶4，又因为圆锥的体积＝底面积×高×，所以小圆锥体积∶大圆锥的体积＝1∶（2×4）＝1∶8，据此可以求出小圆锥与剩余部分的体积比。 【详解】（1）小三角形的高：大三角形的高＝1∶2 小三角形的底∶大三角形的底＝1∶2 因为三角形的面积＝底×高÷2 所以小三角形和原三角形的面积比＝1∶（2×2）＝1∶4 （2）小圆锥的高∶大圆锥的高＝1∶2 小圆锥底面半径：大圆锥底面半径＝1∶2 则小圆锥底面积∶大圆锥底面面积＝（π×）∶（π×）＝1∶4 因为圆锥的体积＝底面积×高× 所以小圆锥体积∶大圆锥的体积 ＝（1×1×）∶（4×2×） ＝ ＝1∶8 小圆锥与剩余部分的体积比＝1∶（8－1）＝1∶7 【点睛】根据比的意义找出剪切后图形与原来的图形的对应边长的倍数关系是解决此题的关键，利用高或底的比推算出面积比，掌握三角形面积和圆锥体积的计算公式。 2．（2025六年级下·全国·竞赛）如图所示：（单位：厘米）一个棱长为5厘米的正方体，分别在它的前、后、左、右、上、下各面的中心挖一个横截面是边长为2厘米的正方形的长方体。（都和对面打通）求这物体的表面积？ 【答案】198平方厘米 【分析】根据题意可知表面积减少了6个边长为2厘米正方形的面积，即减少的面积为：6×（2×2）＝24平方厘米；同时表面积也增加了12个长5厘米宽2厘米的长方形的面积，再从中去掉两个棱长2厘米的正方体的表面积，即增加的表面积为：12×（5×2）－6×（2×2）平方厘米；据此进行解答。 【详解】正方体木块上面： 减少了的面积：6×（2×2）＝24（平方厘米） 增加了的面积：12×（5×2）－2×6×（2×2）＝120－48＝72（平方厘米） 5×5×6－24＋72 ＝150－24＋72 ＝198（平方厘米） 答：这个物体的表面积是198平方厘米。 3．（2021·江苏苏州·小升初真题）如图，有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜卷的直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，已知薄膜的厚度为0.02厘米，则薄膜展开后的长度是多少米？ 【答案】131.88米 【分析】由题图可知，缠绕在一起的塑料薄膜是空心圆柱形，已知底面外直径是20cm，底面内直径是8cm，高是100cm，根据圆柱的体积公式即可求出塑料薄膜的体积。塑料薄膜卷展开后为长方体，它的厚度即是长方体的高，空心圆柱的高即是长方体的宽，要求塑料薄膜卷展开后的长度，就是求长方体的长。因为塑料薄膜卷展开前、后的体积是不变的，所以根据“长方体的长＝长方体的体积÷长方体的宽÷长方体的高”就可以求出塑料薄膜卷展开后的长度。 【详解】20÷2＝10（厘米） 8÷2＝4（厘米） 塑料薄膜的体积：（即展开后长方体的体积） 3.14×（102－42）×100 ＝3.14×（100－16）×100 ＝3.14×84×100 ＝263.76×100 ＝26376（立方厘米） 26376÷100÷0.02 ＝263.76÷0.02 ＝13188（厘米） 13188厘米＝131.88米 答：薄膜展开后的长度是131.88米。 【点睛】本题考查了圆柱体和长方体认识。了解薄膜展开后的长方体的宽就是圆柱的高100厘米，，长方体的高就是薄膜的厚度0.02厘米，再利用长方体的体积除以宽除以高得薄膜展开后的长是解答本题的关键。 4．（20-21六年级下·河南新乡·期末）游泳健身中心的室内泳池（如下图）长50米，宽25米。最浅处水深1.2米，最深处水深1.6米。    （1）“泳池的容积是多少立方米？”对这一数学问题以下两位同学展开了讨论。请根据他们的思考过程解决问题。 聪聪：“它不是一个长方体，但可以通过割去如上图（1）中箭头所指的部分，变成一个较小的长方体或补上如上图（2）中箭头所指的部分，变成一个较大的长方体，所以它的容积大小范围就在较小的长方体和较大的长方体之间，也就是（       ）立方米和（       ）立方米之间。” 明明：“两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体（如下图）。这样就能计算出它的容积啦。”    （2）请根据明明的方法计算该泳池的容积。 【答案】（1）1500；2000；（2）1750立方米 【分析】（1）割去一部分是指使该泳池变成高为泳池最浅处水深1.2米的长方体，底面积不变；则该长方体体积为50×25×1.2＝1500（立方米） 补上一部分是指使该泳池变成高为泳池最深处水深1.6米的长方体，底面积不变；则该长方体体积为50×25×1.6＝2000（立方米） 泳池体积最小为：被割去一部分之后的体积，最大为：被补上一部分之后的体积，所以它的容积大小范围就在1500立方米和2000立方米之间。 （2）两个完全一样的泳池可以拼成一个大长方体，则该长方体的高为1.6＋1.2＝2.8米，底面积不变；则该长方体体积为50×25×2.8＝3500（立方米），再用长方体的体积除以2即可求出泳池的容积。 【详解】（1）50×25×1.2＝1500（立方米） 50×25×1.6＝2000（立方米） 即它的容积大小范围就在较小的长方体和较大的长方体之间，也就是1500立方米和2000立方米之间。 （2）1.6＋1.2＝2.8（米） 50×25×2.8＝3500（立方米） 3500÷2＝1750（立方米） 答：泳池的容积是1750立方米。 【点睛】本题的解题关键是灵活运用长方体的体积（容积）公式解决实际问题。 1．（2024·河南驻马店·小升初真题）把一个棱长是6cm的正方体木块加工成一个最大的圆锥体，体积比原来减少了（    ）cm3。 A．216 B．169.56 C．159.48 D．46.44 【答案】C 【分析】把这个正方体木块加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，根据正方体的体积公式：V＝a3，圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式求出正方体与圆锥的体积差即可。 【详解】6×6×6－×3.14×（6÷2）2×6 ＝216－×3.14×32×6 ＝216－×3.14×9×6 ＝216－56.52 ＝159.48（cm3） 体积比原来减少了159.48 cm3。 故答案为：C 2．（2024·江苏南通·小升初真题）观察如图实验过程：在大杯中放入三个圆柱和一个与圆柱等底等高的圆锥。推理并计算每个圆柱的体积是（    ）。 A．8 B．20 C．50 D．24 【答案】D 【分析】等底等高的圆柱和圆锥，圆柱体积是圆锥体积的3倍，将圆锥体积看作1份，则每个圆柱体积是3份，根据长方体体积＝长×宽×高，求出排出的水的体积，即3个圆柱和1个圆锥的体积和，体积和÷总份数＝一份数，一份数×3＝每个圆柱的体积。 【详解】5×4×4÷（3＋3＋3＋1） ＝80÷10 ＝8 8×3＝24 每个圆柱的体积是24。 故答案为：D 3．（2024·湖北襄阳·小升初真题）“转化”是一种重要的数学思想方法，在学习中经常用到。如图四幅图中，运用了“转化”策略的一共有（    ）。 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】转化法就是把所要解决的问题转化为另一个较易解决的问题或已经解决的问题。根据转化法的含义逐一判断各项。 【详解】①求平行四边形面积时，作其底边上的高，然后延高线分开，把左边梯形形补到右边，把其转化成面积相等的长方形进行求解，符合转化法； ②计算小数乘法时，先把两个小数扩大转化为整数，求出整数的积，然后再相应缩小进而求出原小数的乘积，小数乘法的计算运用了“转化”的策略； ③计算＋＋＋时通过图形将分数加法转化为1－的减法，异分母分数加减法运用了“转化”的策略； ④求圆柱体积时，将圆柱切割拼接转化为体积相等的长方体，通过长方体体积求相应圆柱体积，圆柱体积公式的推导运用了“转化”的策略。 所以①②③④都运用了转化法。 故答案为：D 4．（2024·福建厦门·小升初真题）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝10厘米，且S1、S2两部的面积相等，那么圆A（A为圆心）的面积是（    ）平方厘米。 A．157 B．200 C．314 D．400 【答案】D 【分析】已知等腰直角三角形的底和高都是10厘米，根据“三角形面积＝底×高÷2”计算出三角形ABC的面积；因为S1、S2两部的面积相等，所以扇形ADE的面积等于三角形ABC的面积；由于三角形ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝45°，所以扇形ADE的圆心角∠DAE＝45°，所以扇形ADE面积是圆A面积的，计算圆A的面积就是用扇形面积除以所占分率。 【详解】10×10÷2 ＝100÷2 ＝50（平方厘米） 50÷ ＝ ＝50×8 ＝400（平方厘米） 所以圆A（A为圆心）的面积是400平方厘米。 故答案为：D 5．（2024·浙江杭州·小升初真题）有一张正方形的彩纸，边长20cm，王老师从纸上剪下4个大小相等且最大的圆片，那这张正方形彩纸的利用率是（    ）。 A．78.5% B．80% C．75% D．85% 【答案】A 【分析】已知正方形彩纸的边长20cm，根据正方形的面积公式S＝a2，求出这张彩纸的面积； 从纸上剪下4个大小相等且最大的圆片，从图中可知，圆的半径是（20÷2÷2）cm；根据圆的面积公式S＝πr2，求出一个圆的面积，再乘4，即是4个圆的面积之和； 用4个圆的面积之和除以彩纸的面积，即是这张正方形彩纸的利用率。 【详解】正方形的面积：20×20＝400（cm2） 4个圆的面积： 3.14×（20÷2÷2）2×4 ＝3.14×52×4 ＝3.14×25×4 ＝314（cm2） 利用率： 314÷400×100% ＝0.785×100% ＝78.5% 这张正方形彩纸的利用率是78.5%。 故答案为：A 6．（2024·重庆涪陵·小升初真题）一个药瓶如图所示。它的容积是26.4cm3瓶子正放时，瓶内药水液面高6cm，瓶子倒放时，空余部分高2cm，则瓶内药水的体积是（    ）cm3。 A．26.4 B．19.8 C．6.6 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据药瓶的体积是26.4cm3，由图可知，药水部分和倒放的空白部分，刚好拼成一个高为（6＋2）cm的圆柱，根据V÷h＝S，求出药瓶的底面积，再根据V＝Sh求出药水的体积。 【详解】26.4÷（6＋2）×6 ＝26.4÷8×6 ＝3.3×6 ＝19.8（立方厘米） 所以，瓶内药水的体积是19.8立方厘米。 故答案为：B 7．（2024·山东德州·小升初真题）如图中长方形面积是40平方厘米，下面说法正确的有（    ）句。 （1）三角形面积等于长方形面积。 （2）平行四边形面积最小。 （3）圆的面积最大。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】（1）根据长方形的面积＝长×宽，那么宽＝面积÷长，据此求出长方形的宽，然后根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，分别求出它们的面积，再比较，即可解答； （2）、（3）平行四边形的面积公式：S＝ah，圆的面积公式：S＝πr2，把数据代入公式计算出圆的面积，再和其它图形的面积比较。 【详解】40÷5＝8（厘米） （1）10×8÷2 ＝80÷2 ＝40（平方厘米） 所以三角形的面积等于40平方厘米，三角形面积等于长方形面积。 原题说法正确。 （2）（3）4×8＝32（平方厘米） 8÷2＝4（厘米） 3.14× ＝3.14×16 ＝50.24（平方厘米） 50.24＞40＞32 所以平行四边形的面积最小，圆的面积最大。 所以说法正确的有3句。 故答案为：D 8．（2024·山东滨州·小升初真题）如图，把底面半径为r，高为h的圆柱沿着它的高切成若干等份后，那么这个近似长方体的几何体表面积比原来圆柱的表面积增加了（    ）。 A．2πr2h B．2πr2 C．2πrh D．2rh 【答案】D 【分析】根据题意，拼成的近似长方体后表面积比圆柱的表面积增加了2个以圆柱的高为长，圆柱的底面半径为宽的长方形的面积，根据长方形的面积＝长×宽，求出一个切面的面积，再乘2，即是增加的表面积。 【详解】h×r×2＝2rh 这个近似长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了2rh。 故答案为：D 9．（2024·浙江宁波·小升初真题）如图，三角形a边上的高是b，c边上的高是d。下面式子中不成立的是（    ）。 A．a∶c＝b∶d B．a∶d＝c∶b C．ab＝cd D．d∶a＝b∶c 【答案】A 【分析】根据三角形的面积公式：三角形的面积＝底×高÷2，因为是同一个三角形，用两种方法计算，结果是相等的，据此找到等量关系ab÷2＝cd÷2，再根据比例的基本性质把各比例式转化为乘积式，据此解答。 【详解】因为ab÷2＝cd÷2，所以ab＝cd； A．a∶c＝b∶d，即ad＝cb，和ab＝cd不相等，所以不成立； B．a∶d＝c∶b，即ab＝cd，成立； C．ab＝cd，成立； D．d∶a＝b∶c，即ab＝cd，成立。 故答案为：A 10．（2022·四川绵阳·小升初真题）下图（梯形）中，两个阴影部分的三角形面积比较（    ）。 A．甲＞乙 B．甲＝乙 C．甲＜乙 D．无法比较 【答案】B 【分析】如图所示，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，则三角形ABD和三角形ABC等底等高，则两个三角形的面积相等，甲三角形的面积＋三角形AOB的面积＝三角形ABD的面积，乙三角形的面积＋三角形AOB的面积＝三角形ABC的面积，所以两个阴影部分三角形的面积相等，据此解答。 【详解】 分析可知，三角形ABD的面积＝三角形ABC的面积。 三角形ABD的面积＝甲三角形的面积＋三角形AOB的面积 三角形ABC的面积＝乙三角形的面积＋三角形AOB的面积 甲三角形的面积＋三角形AOB的面积＝乙三角形的面积＋三角形AOB的面积 所以，甲三角形的面积＝乙三角形的面积。 故答案为：B 【点睛】本题主要考查面积大小的比较，理解等底等高的三角形面积相等是解答题目的关键。 11．（2021·北京西城·小升初真题）如图中有一个圆和一个等腰直角三角形，阴影部分的面积是（    ）cm2。 A．25 B．50 C．75 D．100 【答案】B 【分析】 如图所示，阴影①、②与空白③、④的面积相等，将阴影①、②移到空白③、④的位置，则这个等腰直角三角形被4等分，阴影部分占2份，所以阴影部分的面积就变成了原来等腰直角三角形的面积的一半，利用三角形的面积公式即可求解。 【详解】20×（5×2）×× ＝200× ＝50（cm2） 故答案为：B 【点睛】解答此题的关键是明白：阴影部分的面积是原来等腰直角三角形的面积的一半。 12．（2024·浙江杭州·小升初真题）如图ABCD是一个梯形，AE＝ED，F是ED的中点。则阴影部分与空白部分的面积比是( )∶( )。 【答案】 1 5 【分析】 如图所示，分别取AE、BC的中点G、H，分别连接CG，AC，AH，因为F是ED的中点，所以三角形CFD的面积等于三角形CEF的面积，三角形CEF的面积等于三角形CEG的面积，也就是梯形ABCD被分成6个面积相等的三角形；其中阴影部分的面积有1份，空白部分的面积有5份，据此得到阴影部分与空白部分的面积比。 【详解】根据分析可知：梯形ABCD被分成6个面积相等的三角形，阴影部分的面积有1份，空白部分的面积有5份。 因此阴影部分与空白部分的面积比是1∶5。 13．（2024·河南南阳·小升初真题）如图，已知AB＝40cm，图中的曲线是由半径不同的三种半圆弧平滑连接而成，那么阴影部分的面积是( )cm2。（π取3.14） 【答案】628 【分析】观察图形可知，4个空白部分完全相同，把每个空白部分中的空白小半圆和阴影小半圆的位置对调，即可看出每个空白部分是一个直径为（40÷2）cm的半圆； 那么阴影部分的面积＝半径为（40÷2）cm大圆的面积－4个直径为（40÷2）cm空白半圆的面积；根据圆的面积公式S＝πr2，代入数据计算求解。 【详解】3.14×（40÷2）2－3.14×（40÷2÷2）2÷2×4 ＝3.14×202－3.14×102÷2×4 ＝3.14×400－3.14×100÷2×4 ＝1256－628 ＝628（cm2） 阴影部分的面积是628cm2。 14．（2024·河北邯郸·小升初真题）一个药瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如图所示，瓶内药水的体积为25.2立方厘米。瓶子正放时，瓶内药水液面高7厘米，瓶子倒放时，空余部分高2厘米。这个瓶子的容积是( )。 【答案】32.4毫升 【分析】因为药瓶的瓶身呈圆柱形，且药水体积已知，根据“圆柱体积＝底面积×高”，由正放时药水液面高7厘米和药水体积25.2立方厘米，可先算出药瓶的底面积。观察图形可知，瓶子的容积等于药水体积加上倒放时空余部分的体积。而倒放时空余部分也是圆柱形，其高为2厘米，底面积与药水部分的底面积相同。所以可先算出底面积，再根据圆柱体积＝底面积×高算出空余部分体积，最后将药水体积与空余部分体积相加，得到瓶子的容积，再进行单位换算（1立方厘米＝1毫升）。 【详解】25.2÷7×（7＋2） ＝3.6×9 ＝32.4（立方厘米） 32.4立方厘米＝32.4毫升 这个瓶子的容积是32.4毫升。 15．（2024·江苏常州·小升初真题）长方形ABCD的宽是2厘米，分别以点B、C为圆心，以2厘米为半径画两段圆弧相交于点M，图中两块阴影部分的面积相等，长方形的面积是( )平方厘米。 【答案】6.28 【分析】 由图可知，长方形被分成四个部分，其中②和④的面积相等，还知①和②、②和③的面积正好都为一个四分之一圆的面积，那么①和④也为一个四分之一圆的面积，这样①和④、②和③正好是两个四分之一圆的面积，也就是一个半径为2厘米半圆的面积，所以长方形的面积＝半圆的面积，根据半圆的面积＝πr2÷2，代入数据求解即可。 【详解】3.14×22÷2 ＝3.14×4÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（平方厘米） 长方形的面积是6.28平方厘米。 【点睛】本题主要考查了组合图形的面积，解题的关键是明确长方形的面积＝半圆的面积。 16．（2024·山东滨州·小升初真题）如图，有一个两层水箱。 (1)这个水箱下层的容积是 立方米。 (2)注满下层需要9.6分钟，照这样的流速，注满整个水箱需要 分钟。 (3)从水箱底部注水，在注满整个水箱的过程中，注水的高度随着时间的延长而增加，下面 号图能正确表示注水情况。 【答案】(1)24 (2)14.4 (3)3 【分析】（1）根据长方体的体积（容积）公式：V＝abh，把数据代入公式解答。 （2）首先求出平均每分钟注水多少立方米，然后用整个水箱的容积除以每分钟注入水的体积即可。 （3）因为上下层水箱的高相等，下层水箱的底面积大，所以开始时水面上升的慢，当把下层水箱注满后，水面上升的就快。据此根据图像判断即可。 【详解】（1）（1）4×3×2 ＝12×2 ＝24（立方米） 答：这个水箱下层的容积是24立方米。 （2）（2）（2×2×3＋24）÷（24÷9.6） ＝（12＋24）÷2.5 ＝36÷2.5 ＝14.4（分钟） 答：注满整个水箱需要14.4分钟。 （3）因为上下层水箱的高相等，下一层水箱的底面积大，所以开始时水面上升的慢，当把下一层注满后，水面上升的快。因此可知，3号图表示正确的注水情况。 17．（2024·河南郑州·小升初真题）四边形ABCD为正方形，求阴影部分的周长和面积（π取3.14）。 【答案】47.1；78.5 【分析】阴影部分的周长等于直径为10的圆的周长加上以10为半径的圆周长的，根据圆的周长＝×直径＝2×半径，代入数据求出直径为10的周长，再求出以10为半径的圆周长，再乘求出以10为半径的圆周长的。 把右面阴影部分半圆形逆时针旋转90°可以发现，阴影部分的面积等于半径为10的圆的面积的，根据圆的面积＝×半径的平方求出半径为10的圆的面积，再乘即可解答。 【详解】3.14×10＋2×3.14×10× ＝31.4＋6.28×10× ＝31.4＋62.8× ＝31.4＋15.7 ＝47.1 3.14×× ＝3.14×100× ＝314× ＝78.5 18．（2025六年级下·全国·竞赛）如图，AB是以点0为圆心的半圆的直径，C、D是弧AB的三等分点，点E是线段AB上的任意点，已知圆0的半径为3，那么图中阴影部分的面积是多少？ 【答案】9.42 【分析】连接CD、OC、OD，观察图形，根据题意，AB∥CD，所以△OCD与△ECD等底等高，所以，根据图形可知，阴影部分面积＝半圆面积－扇形OCD的面积。因为C、D是弧AB的三等分点，所以，所以阴影部分面积为半圆面积。 【详解】3.14×÷2＝14.13 19．（23-24五年级下·山东德州·期末）淄博是齐文化的发源地，琉璃文化源远流长，底蕴深厚，淄博琉璃始于汉代，兴于元代，盛于清朝，逐步发展成为世界琉璃产销中心，业界素有“世界琉璃看中国，中国琉璃看淄博”之说。假期，明明去淄博旅游，带回一个漂亮的琉璃镇尺，他想测量出这个镇尺的体积，于是他找来一个棱长10厘米的正方体容器，里面装有一些水，将这个高8厘米的长方体镇尺竖直放入水中（镇尺底面与容器底面平行），镇尺浸没6厘米时，水就满了。这个镇尺的体积是多少？（容器厚度忽略不计） 【答案】400立方厘米 【分析】根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，求出正方体容器的容积，正方体容器的底面积×水面高度＝水的体积，正方体容器的容积－水的体积＝高6厘米的镇尺体积。高6厘米的镇尺体积÷6＝镇尺底面积，镇尺底面积×镇尺高＝镇尺体积，据此列式解答。 【详解】10×10×10－10×10×7 ＝1000－700 ＝300（立方厘米） 300÷6＝50（平方厘米） 50×8＝400（立方厘米） 答：这个镇尺的体积是400立方厘米。 【点睛】关键是先求出镇尺底面积，掌握并灵活运用长方体和正方体体积公式。 20．（2024·河南三门峡·小升初真题）在一个底面直径是8厘米的圆柱体玻璃杯中装入适量的水，量得水面的高度是5厘米；将一枚鸡蛋放入水中，再次测量水面的高度是6.2厘米。如果玻璃的厚度忽略不计，这枚鸡蛋的体积大约是多少立方厘米？ 【答案】60.288立方厘米 【分析】本题可根据排水法求不规则物体（鸡蛋）的体积，鸡蛋的体积等于放入鸡蛋后上升的水的体积，而这部分水的形状是圆柱体，已知底面直径是8厘米可算出半径，放入鸡蛋后水的高度从5厘米上升到了6.2厘米，所以水面上升的高度是6.2－5＝1.2（厘米），最后可根据圆柱体积公式计算，据此解答即可。 【详解】8÷2＝4（厘米） 6.2－5＝1.2（厘米） 3.14×42×1.2 ＝3.14×16×1.2 ＝50.24×1.2 ＝60.288（立方厘米） 答：这枚鸡蛋的体积大约是60.288立方厘米。 21．（2024·重庆垫江·小升初真题）推导圆柱的体积。 将圆柱如图切分后拼成一个近似的长方体。切拼前后，圆柱的体积没有发生改变，表面积增加了。 （1）切拼后，长方体的底面积等于原圆柱（    ）的面积；长方体的高等于原圆柱的（    ）。 因为：长方体的体积＝底面积×高 所以：圆柱的体积＝（               ）。 （2）如果圆柱的底面半径为2厘米，高为6厘米，那么拼成的长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）底面；高；底面积×高 （2）124.48平方厘米 【分析】（1）把圆柱切拼成一个近似的长方体，长方体的底面积等于圆柱的底面积，长方体的高等于圆柱的高。 （2）如果圆柱的底面半径为2厘米，则拼成的长方体的宽为2厘米，拼成的长方体的长等于圆柱底面周长的一半，拼成长方体的高等于圆柱的高；根据圆的周长＝2πr，计算出长方体的长，再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入相应数值计算，据此解答。 【详解】（1）切拼后，长方体的底面积等于原圆柱底面的面积；长方体的高等于圆柱的高。 因为长方体的体积＝底面积×高 所以圆柱的体积＝底面积×高 （2）长方体的长：2×3.14×2÷2 ＝6.28×2÷2 ＝12.56÷2 ＝6.28（厘米） （6.28×2＋6.28×6＋2×6）×2 ＝（12.56＋37.68＋12）×2 ＝62.24×2 ＝124.48（平方厘米） 答：拼成的长方体的表面积是124.48平方厘米。 22．（2024·河南郑州·小升初真题）在去伏羲山的路上，他们看到了一块平行四边形的玫瑰花田。 （1）观察如图，请你简要写出平行四边形面积计算公式产生的过程。 在数学学习中，经常运用“转化”思想变未知为已知。请你应用转化的思想解决下列问题。 （2）在学习三角形的内角和时，可把三角形折成长方形，三个内角就拼成了一个（    ）角。我们也可以用这种方法推导三角形的面积计算公式。将折成的长方形与原来的三角形比较，长是底的一半，宽是（        ），面积是（        ），这样通过求出长方形的面积就可以得到三角形的面积。如果折成的长方形的面积是12平方厘米，则原来三角形的面积是（      ）。 （3）伏羲山悬崖酒店准备新建一个游泳池，泳池长25米，宽11米，由分道线分成5个泳道（如图a）。游泳池底部有一定的倾斜度，使游泳池由1.2米深的浅水区自然过渡到1.6米深的深水区（如图b）。 淘淘根据平行四边形、三角形、梯形、圆形的面积计算公式及圆柱、圆锥的体积计算公式推导方法，设计了一个计算游泳池容积的研究模型，（如图c示意图）。 ①说一说他是怎么研究的？ ②根据这个研究模型，试着算一算这个游泳池的容积是多少？ ③至少要购进多少米的分道线，才能保证5个泳道的分道？（只列式，不计算） 【答案】（1）见详解 （2）平；高的一半；三角形面积的一半；24平方厘米 （3）①见详解 ②385立方米 ③25×（5－1） 【分析】（1）如图，把平行四边形沿高剪下一个小直角三角形，然后平移到右边，把平行四边形转化成长方形。这两个图形的面积相等，找出平行四边形的底、高与长方形的长、宽的关系，根据长方形的面积公式推导出平行四边形的面积。 （2）如图，把三角形折成长方形，三个内角拼成了一个平角，将折成的长方形与原来的三角形比较，找出长方形的长、宽与三角形的底、高的关系，进而得出长方形的面积与三角形面积的关系，求出原来三角形的面积。 （3）①从图c可以看出，淘淘把两个完全一样的游泳池模型叠放一起，让两个斜面重合，拼成一个长25米，宽11米，高（1.2＋1.6）米的长方体模型，那么游泳池的容积等于这个长方体模型容积的一半。 ②根据长方体的体积（容积）＝长×宽×高，求出长方体模型的容积，再除以2，即是这个游泳池的容积。 ③因为有5个泳道，所以需要（5－1）条分道线，每条分道线的长度与游泳池的长相等，据此列式。 【详解】（1）把平行四边形转化成长方形，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，利用长方形的面积＝长×宽可知，平行四边形的面积＝底×高。 （2）12×2＝24（平方厘米） 在学习三角形的内角和时，可把三角形折成长方形，三个内角就拼成了一个（平）角。我们也可以用这种方法推导三角形的面积计算公式。将折成的长方形与原来的三角形比较，长是底的一半，宽是（高的一半），面积是（三角形面积的一半），这样通过求出长方形的面积就可以得到三角形的面积。如果折成的长方形的面积是12平方厘米，则原来三角形的面积是（24平方厘米）。 （3）①把两个完全一样的游泳池模型拼成一个长是25米，宽是11米，高是（1.2＋1.6）米的长方体模型，那么游泳池的容积等于这个长方体模型容积的一半。 ②25×11×（1.2＋1.6）÷2 ＝25×11×2.8÷2 ＝385（立方米） 答：这个游泳池的容积385立方米。 ③25×（5－1） ＝25×4 ＝100（米） 答：至少要购进25×（5－1）米的分道线，才能保证5个泳道的分道。 【点睛】本题考查转化思想在数学中的应用，明白转化过程中，转化后的平面图形面积与原平面图形面积相等，进而推导出原平面图形的面积公式。利用转化思想把不规则的立体图形转化成规则立体图形，通过学过的立体图形的体积公式求出不规则立体图形的体积。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$