第03讲 两条直线的平行与垂直（七大题型+思维导图+知识梳理+课后作业）-【暑假预科讲义】2025年新高二数学暑假精品课（高一升高二）（苏教版2019选择性必修第一册）

第03讲 两条直线的平行与垂直 【苏教版2019】 模块一 两条直线平行、垂直的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与 x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【题型1 两条直线平行的判定】 【例1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）下列直线中，与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 【变式1-2】（24-25高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 【变式1-3】（24-25高二·江西·课后作业）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） ①的斜率为2，过点，； ②经过点，，平行于轴，但不经过点； ③经过点，，经过点，． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【题型2 已知两直线平行求参数】 【例2】（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）已知直线与平行，则实数（    ） A．0 B． C．0或 D．0或 【变式2-1】（24-25高二上·安徽马鞍山·期中）已知直线：，：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】（24-25高二下·山西吕梁·开学考试）已知直线与平行，则（    ） A．2 B．3 C． D．2或 【变式2-3】（24-25高二上·湖北荆州·期末），，若，则（    ） A．1 B．1或2 C．1或3 D．3 【题型3 两条直线垂直的判定】 【例3】（24-25高二上·湖南邵阳·阶段练习）若直线的倾斜角为45°，直线经过点P（-2，-1），Q（3，-6），则直线与的位置关系是（  ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合 【变式3-1】（23-24高二下·山东济南·期末）直线与直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合 【变式3-2】（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 【变式3-3】（24-25高二下·上海杨浦·期中）下列各组直线中，互相垂直的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【题型4 已知两直线垂直求参数】 【例4】（2025·陕西西安·二模）已知点，，且直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【变式4.1】（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-2】（24-25高二上·全国·课前预习）已知直线经过，，直线经过点，．如果，求的值． 【变式4-3】（24-25高二上·贵州·开学考试）已知直线经过，直线经过点. (1)若 ，求的值； (2)若，求的值. 模块二 两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【题型5 求与已知直线平行的直线方程】 【例5】（2025·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高二上·广东江门·期末）过点与平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线过点且与直线平行，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知点，，则经过线段AB的中点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【题型6 求与已知直线垂直的直线方程】 【例6】（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025高三·全国·专题练习）已知点A(－1，0)，B(5，2)，直线l经过AB的中点且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则l的方程是（    ） A．3x＋2y－8＝0 B．3x－2y－4＝0 C．2x－3y－1＝0 D．2x＋3y－7＝0 【变式6-2】（24-25高二上·广西南宁·开学考试）已知的三个顶点，，，求： (1)边上的高所在直线的方程； (2)的垂直平分线所在直线的方程． 【变式6-3】（24-25高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 【题型7 直线平行、垂直在几何中的应用】 【例7】（24-25高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【变式7-1】（2025高一·全国·课后作业）设，，，问是否存在正实数m，使为直角三角形? 【变式7-2】（24-25高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明． 【变式7-3】（24-25高二·全国·课后作业）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 2．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知，若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．或1 3．（24-25高二上·江苏连云港·期末）过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线，，若，则实数（    ） A． B．1 C．3 D．1或3 6．（24-25高二上·福建福州·期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 8．（24-25高二上·江苏常州·期末）若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（24-25高二上·陕西榆林·期末）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数a的值为（    ） A．1 B．3 C．0 D．4 10．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线，则下列说法正确的是（    ） A．若 ，则或 B．若 ，则 C．若，则 D．若，则 11．（24-25高二上·河南安阳·期末）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 三、填空题 12．（24-25高二上·江苏苏州·期末）若直线与垂直，则 ． 13．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）经过点，且垂直于直线的直线的方程是 ． 14．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线，若且，则的值为 . 四、解答题 15．（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线：，直线：. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 16．（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求m的值； (2)若直线与直线垂直，求m的值. 17．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知点，直线. (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)若点在直线上，且，求点的坐标. 18．（24-25高二上·全国·课后作业）已知平面内两点． (1)求过点且与直线平行的直线的点斜式方程； (2)求过点且与直线垂直的直线的点斜式方程． 19．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知的三个顶点是，，． (1)求BC边上的高的直线方程； (2)求平分的面积且过点C的直线的方程． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 两条直线的平行与垂直 【苏教版2019】 模块一 两条直线平行、垂直的判定 1．两条直线(不重合)平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 α1＝α2≠90° α1＝α2＝90° 对应关系 l1∥l2⇔k1＝k2 l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在 图示 2．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1 l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2 【注】判断两条直线是否垂直时： 在这两条直线都有斜率的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1即可，但应注意有一条直线与 x轴垂直，另一条直线与x轴平行或重合时，这两条直线也垂直． 【题型1 两条直线平行的判定】 【例1】（24-25高二上·浙江绍兴·期末）下列直线中，与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据两直线的位置关系的判定方法，逐项判定，即可求解. 【解答过程】对于A中，可得，根据两直线的位置关系，可得两直线相交，不符合题意； 对于B中，可得，根据两直线的位置关系，可得两直线平行，符合题意； 对于C中，可得，根据两直线的位置关系，可得两直线相交，不符合题意； 对于D中，可得，根据两直线的位置关系，可得两直线相交，不符合题意； 故选：B. 【变式1-1】（24-25高二上·全国·课后作业）过点和点的直线与直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．重合 D．以上都不对 【解题思路】先求出直线方程，再结合斜率直接判断两直线位置关系即可. 【解答过程】过点和点的直线方程为，斜率为0， 又因为直线斜率为0，所以两直线平行. 故选：B. 【变式1-2】（24-25高一上·全国·假期作业）下列各对直线互相平行的是（    ） A．直线经过点，直线经过点 B．直线经过点，直线经过点 C．直线经过点，直线经过点 D．直线经过点，直线经过点 【解题思路】根据斜率公式求出各直线的斜率，判断直线的斜率是否相等或不存在，进而可得出结论. 【解答过程】对于A，因为，所以，故A对； 对于B，因为，所以直线不平行，故B错； 对于C，由直线经过点，，直线经过点，， 得直线的斜率都不存在，且两直线重合，故C错； 对于D，因为直线经过点，，所以直线直线的斜率不存在， 而，所以直线不平行，故D错. 故选：A. 【变式1-3】（24-25高二·江西·课后作业）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） ①的斜率为2，过点，； ②经过点，，平行于轴，但不经过点； ③经过点，，经过点，． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【解题思路】从斜率是否相等以及直线是否重合两个角度逐项分析即可. 【解答过程】根据两点间的斜率公式知①中的斜率为2，但是不能保证，有可能两条直线重合； ②③中的两条直线斜率相等但不重合，可以保证． 故选：B. 【题型2 已知两直线平行求参数】 【例2】（24-25高二上·重庆渝中·阶段练习）已知直线与平行，则实数（    ） A．0 B． C．0或 D．0或 【解题思路】根据两直线平行要求，若直线与平行,则满足计算即可. 【解答过程】因为直线与平行， 所以，解得或， 经检验时两直线重合. 故选：A. 【变式2-1】（24-25高二上·安徽马鞍山·期中）已知直线：，：，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】首先根据公式求两直线平行时的值，再判断充分，必要条件. 【解答过程】当时，，解得：， 验证：当时，，，两直线平行， 当，，，两直线平行， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高二下·山西吕梁·开学考试）已知直线与平行，则（    ） A．2 B．3 C． D．2或 【解题思路】由直线平行的条件求解即可. 【解答过程】因为，所以，解得或． 当时，与重合．故． 故选：A. 【变式2-3】（24-25高二上·湖北荆州·期末），，若，则（    ） A．1 B．1或2 C．1或3 D．3 【解题思路】利用直线平行的性质求解即可. 【解答过程】因为，，， 当，即时，，此时与不平行； 当，即时，有，解得， 经检验，当时，， 所以. 故选：D. 【题型3 两条直线垂直的判定】 【例3】（24-25高二上·湖南邵阳·阶段练习）若直线的倾斜角为45°，直线经过点P（-2，-1），Q（3，-6），则直线与的位置关系是（  ） A．垂直 B．平行 C．重合 D．平行或重合 【解题思路】由倾斜角可得直线的斜率，由斜率公式可得直线的斜率，可判断垂直关系. 【解答过程】由题可知直线的斜率为，直线的斜率为，所以直线与垂直 故选：A. 【变式3-1】（23-24高二下·山东济南·期末）直线与直线的位置关系是（    ） A．垂直 B．相交且不垂直 C．平行 D．平行或重合 【解题思路】分和讨论，其中时，写出两直线斜率，计算其乘积即可判断. 【解答过程】当时，直线，直线，此时两直线垂直， 当时，直线的斜率，直线的斜率， 因为，则两直线垂直， 综上两直线位置关系是垂直， 故选：A. 【变式3-2】（24-25高二上·山东潍坊·期末）已知两直线的斜率分别为，且是方程的两根，则与的位置关系为（    ） A．平行 B．相交且垂直 C．重合 D．相交且不垂直 【解题思路】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得． 【解答过程】由题意，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交． 故选：B． 【变式3-3】（24-25高二下·上海杨浦·期中）下列各组直线中，互相垂直的一组是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【解题思路】分别求出两直线的斜率，根据斜率之积为两直线垂直，即可判断. 【解答过程】对于A：直线的斜率为，直线的斜率为， 故两直线平行，故A错误； 对于B：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积不为，即两直线不垂直，故B错误； 对于C：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积不为，即两直线不垂直，故C错误； 对于D：直线的斜率为，直线的斜率为， 斜率之积为，即两直线垂直，故D正确； 故选：D. 【题型4 已知两直线垂直求参数】 【例4】（2025·陕西西安·二模）已知点，，且直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【解题思路】借助垂直直线斜率的关系计算即可得. 【解答过程】由题意可得，解得. 故选：A. 【变式4.1】（24-25高二上·安徽马鞍山·期末）“”是“直线与直线垂直”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解题思路】根据直线垂直求a，进而结合充分、必要条件分析判断. 【解答过程】若直线与直线垂直， 则，解得或， 因为是的真子集， 所以“”是“直线与直线垂直”的充分不必要条件. 故选：A. 【变式4-2】（24-25高二上·全国·课前预习）已知直线经过，，直线经过点，．如果，求的值． 【解题思路】分析两直线的斜率是否存在，再根据直线垂直判断斜率之间的关系求出a. 【解答过程】因为直线经过点，，且， 所以的斜率存在，设斜率为， 当时，直线斜率不存在，，则，此时与垂直． 当时，，此时直线斜率存在． 由，得．解得． 综上，的值为或． 【变式4-3】（24-25高二上·贵州·开学考试）已知直线经过，直线经过点. (1)若 ，求的值； (2)若，求的值. 【解题思路】（1）易得直线的斜率存在，则根据，可得两直线斜率相等，再结合斜率公式即可得解； （2）分直线的斜率等于零和直线的斜率存在且不为0，两种情况讨论，再结合斜率公式即可得解. 【解答过程】（1）由题可知直线的斜率存在且， 若则直线的斜率也存在， 由， 得，即解得或， 经检验，当或时，； （2）若，当时，此时斜率存在，不符合题意， 当时，直线的斜率存在且不为0，则直线的斜率也存在，且， 即，即， 解得或， 所以当或时，. 模块二 两条直线的位置关系 1．两条直线的位置关系 斜截式 一般式 方程 l1:y=k1x+b1 l2 :y=k2x+b2 相交 k1≠k2 （当时，记为） 垂直 k1·k2=-1 （当时，记为） 平行 k1=k2且b1≠b2 或 （当时，记为） 重合 k1=k2且b1=b2 A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2 (λ≠0) （当时，记为） 2．平行的直线的设法 平行：与直线Ax+By+n=0平行的直线方程可设为Ax+By+m=0. 3．垂直的直线的设法 垂直：与直线Ax+By+n=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0. 【题型5 求与已知直线平行的直线方程】 【例5】（2025·山东·二模）已知直线与直线平行，且在轴上的截距是，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】依题意设直线的方程为，代入求出参数的值，即可得解. 【解答过程】因为直线平行于直线，所以直线可设为， 因为在轴上的截距是，则过点，代入直线方程得， 解得，所以直线的方程是. 故选：C. 【变式5-1】（24-25高二上·广东江门·期末）过点与平行的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线与平行设出直线方程，根据过点即可求解. 【解答过程】设直线方程为，因为直线过点， 所以，所以直线方程为. 故选C. 【变式5-2】（24-25高二上·江苏扬州·阶段练习）已知直线过点且与直线平行，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据直线平行，令直线为，再由所过的点求参数，即可得方程. 【解答过程】令直线为，且过点， 所以，即，故直线的方程为. 故选：C. 【变式5-3】（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知点，，则经过线段AB的中点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】求出线段AB中点的坐标，根据直线间的平行关系设所求直线方程，代入所过点坐标求得参数，即得答案. 【解答过程】由点，，得线段AB中点的坐标为， 故过点且与直线平行的直线的方程可设为， 代入点，可得，故所求直线方程为， 故选：B. 【题型6 求与已知直线垂直的直线方程】 【例6】（24-25高二上·云南临沧·阶段练习）已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据垂直关系设出直线的方程，代入点求出答案. 【解答过程】直线与直线垂直， 设直线的方程是 将代入直线中，，解得， 故直线的方程为. 故选：D. 【变式6-1】（2025高三·全国·专题练习）已知点A(－1，0)，B(5，2)，直线l经过AB的中点且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则l的方程是（    ） A．3x＋2y－8＝0 B．3x－2y－4＝0 C．2x－3y－1＝0 D．2x＋3y－7＝0 【解题思路】根据垂直关系，即可求出结果. 【解答过程】 由题意，直线l经过AB的中点且与直线2x＋3y＋1＝0垂直， 则直线l的斜率为， 又AB的中点为(2，1)， 所以直线l的方程为y－1＝ (x－2)，即3x－2y－4＝0. 故选：B. 【变式6-2】（24-25高二上·广西南宁·开学考试）已知的三个顶点，，，求： (1)边上的高所在直线的方程； (2)的垂直平分线所在直线的方程． 【解题思路】(1)由斜率公式易知，由垂直关系可得直线的斜率，代入点斜式易得方程； (2)根据可得，再由中点坐标公式可得线段的中点，可得方程． 【解答过程】（1）由斜率公式易知，直线的斜率． 又直线过点，代入点斜式得直线的方程为：． （2），．又线段的中点为， 所在直线的方程为， 整理得所求的直线方程为：． 【变式6-3】（24-25高二上·广东珠海·期末）已知的三个顶点是，，． (1)求边上的中线的直线方程； (2)求边上的高的直线方程 (3)求AC边的垂直平分线 【解题思路】（1）求出中点，则可得到中线的直线方程； （2）根据直线垂直得到高的斜率，则得到边上的高的直线方程； （3）求出AC的中点，再根据斜率垂直则得到斜率，即可得到直线方程. 【解答过程】（1），，由中点坐标公式得中点为， 又，由直线方程的两点式得边上的中线的直线方程为， 整理得：. （2），，则，所以边上的高的直线的斜率为， 又，则边上的高的直线方程为， 整理得：． （3）因为，，则其中点坐标为， 而，则AC边的垂直平分线的斜率为1，其方程为：， 即. 【题型7 直线平行、垂直在几何中的应用】 【例7】（24-25高二上·全国·课前预习）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.    【解题思路】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状. 【解答过程】由已知可得边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率. 因为，，所以，. 因此四边形是平行四边形. 【变式7-1】（2025高一·全国·课后作业）设，，，问是否存在正实数m，使为直角三角形? 【解题思路】由分别为直角求解（相应直线斜率乘积为）可得． 【解答过程】要使为直角三角形，则角A，B，C中需有一个为直角.由题意知，直线AB，BC，AC的斜率都存在． 当A为直角时，则AC⊥AB，所以，即，解得，舍去； 当B为直角时，，； 当C为直角时，，或（舍去）. 综上所述，存在正实数或，使为直角三角形. 【变式7-2】（24-25高二·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，四边形的顶点按逆时针顺序依次是，，，，其中，试判断四边形的形状，并给出证明． 【解题思路】根据题意，结合直线斜率的坐标计算公式，分别判断直线是否平行与垂直即可. 【解答过程】四边形是矩形．证明如下： 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 边所在直线的斜率， 所以，，所以，， 所以四边形是平行四边形． 又， 所以，所以四边形是矩形． 又，， 令，即，无解， 所以与不垂直，故四边形是矩形． 【变式7-3】（24-25高二·全国·课后作业）已知，，. （1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标； （2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形. 【解题思路】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解，即可； （2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为，即可. 【解答过程】（1）由题意得， ，，设. 若四边形是平行四边形，则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 若四边形是平行四边形， 则，， 即，解得，即. 综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）. （2）若的坐标为（-1，6）， 因为，， 所以，所以， 所以平行四边形为菱形. 若的坐标为（7，2）， 因为，， 所以，所以平行四边形不是菱形. 若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形. 因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形. 一、单选题 1．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知直线与直线垂直，则（    ） A． B． C．或 D．或 【解题思路】根据两直线方程垂直，分类求解的值. 【解答过程】若则直线与垂直，满足题意， 若则,则. 综上所述，则或. 故选：C. 2．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知，若，则a的值为（   ） A． B． C．1 D．或1 【解题思路】根据两直线平行的公式求解即可. 【解答过程】若，则，即，解得或. 当时，满足； 当时，重合； 故. 故选：C. 3．（24-25高二上·江苏连云港·期末）过点且与直线垂直的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程. 【解答过程】根据题意，设所求直线的方程为， 将点的坐标代入所求直线方程得，解得， 因此，过点且与直线垂直的直线的方程为. 故选：A. 4．（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知平面直角坐标系内两点，，则过点且与直线垂直的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【解题思路】利用两点确定直线的斜率，再利用两垂直直线间的斜率关系，可求出，最后利用点斜式方程可得解. 【解答过程】由题意知，，则直线的斜率, 因为直线与直线垂直，根据两直线垂直，若存在斜率，则两斜率乘积为， 所以直线的斜率，再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为， 即， 故选：A. 5．（24-25高二上·江苏苏州·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知直线，，若，则实数（    ） A． B．1 C．3 D．1或3 【解题思路】根据平行的判定公式求解. 【解答过程】根据，则， 即，得或，但时两直线重合， 故. 故选：B． 6．（24-25高二上·福建福州·期末）经过点，且与直线平行的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】两直线平行，斜率相等，所以与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可以设为Ax＋By＋＝0，代入经过的点，即可求出﹒ 【解答过程】令与直线平行的直线方程为， 由题意可得，点在直线上，所以 解得， 所以所求直线的方程为： 故选：B. 7．（24-25高二上·江苏南通·期末）以为顶点的三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【解题思路】求出直线和的斜率，判断出，进而可得结果. 【解答过程】因为 ， 所以 , 故 因此该三角形为直角三角形. 故选：B. 8．（24-25高二上·江苏常州·期末）若的三个顶点为，则边上的高所在直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【解题思路】根据垂直关系，以及点斜式直线方程，即可求解. 【解答过程】，所以边上的高所在直线的斜率为， 所以边上的高所在直线的方程为，即. 故选：A. 二、多选题 9．（24-25高二上·陕西榆林·期末）若直线的斜率，直线经过点，，且，则实数a的值为（    ） A．1 B．3 C．0 D．4 【解题思路】利用直线垂直的充要条件列出方程，计算即得. 【解答过程】因，且，则的斜率必存在， 故，即， 化简得，解得或． 故选：AB． 10．（24-25高二上·广东阳江·阶段练习）直线，则下列说法正确的是（    ） A．若 ，则或 B．若 ，则 C．若，则 D．若，则 【解题思路】应用直线平行、垂直的判定列方程求参数，注意验证即可得答案. 【解答过程】已知直线， 若 ，则，求得或， 经检验或都满足条件，故A正确，B不正确. 若，则，得，故C不正确，D正确. 故选：AD. 11．（24-25高二上·河南安阳·期末）已知直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．始终过定点 B．若，则 C．若，则或2 D．当时，始终不过第三象限 【解题思路】根据定点判断A，根据直线垂直及重合求参判断B，结合直线的定点及斜率判断D. 【解答过程】过定点，故选项A正确； 当时，重合，故选项B错误； 由，得或2，故选项C正确； 当时，始终过，斜率为负，不会过第三象限，故选项D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（24-25高二上·江苏苏州·期末）若直线与垂直，则 1 ． 【解题思路】利用两直线垂直的充要条件计算即可求得的值. 【解答过程】直线与垂直， 所以，解得. 故答案为：. 13．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）经过点，且垂直于直线的直线的方程是 ． 【解题思路】利用垂直直线系可求直线方程. 【解答过程】设所求直线方程为，代入点得， 故所求直线方程为， 故答案为：. 14．（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线，若且，则的值为 5 . 【解题思路】由直线一般式下两条直线垂直与平行的性质求解即可. 【解答过程】因为，，所以， 因为，所以，解得， 所以. 故答案为：. 四、解答题 15．（24-25高二上·广西·开学考试）已知直线：，直线：. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的值. 【解题思路】（1）根据两条直线平行公式计算即可求参，再检验是否重合； （2）根据两条直线垂直公式计算即可求参. 【解答过程】（1）因为 ，所以， 整理得 解得或. 当时，重合； 当时，，符合题意. 故. （2）因为，所以 解得或. 16．（24-25高二上·上海·期中）已知平面直角坐标系中，，，， (1)若直线与直线平行，求m的值； (2)若直线与直线垂直，求m的值. 【解题思路】（1）根据可求出结果； （2）根据可求出结果. 【解答过程】（1）因为直线AC与直线BD平行，所以， 所以，经检验两直线不重合， 所以 （2）因为直线AC与直线BC垂直，两直线斜率均存在， 所以， 所以， 17．（24-25高二上·江苏宿迁·期中）已知点，直线. (1)求过点且与直线平行的直线的方程； (2)若点在直线上，且，求点的坐标. 【解题思路】（1）根据题意，设所求直线的方程为，将点的坐标代入所求直线的方程，求出的值，即可得出所求直线的方程； （2）根据题意，设点，根据，可得出，求出的值，即可得出点的坐标. 【解答过程】（1）设所求直线方程为， 将点的坐标代入得，所以， 所以所求直线方程为. （2）因为点在直线上，设点， 因为，且直线的斜率为，故，解得， 所以点的坐标为. 18．（24-25高二上·全国·课后作业）已知平面内两点． (1)求过点且与直线平行的直线的点斜式方程； (2)求过点且与直线垂直的直线的点斜式方程． 【解题思路】（1）求出直线的斜率，由平行关系得到，由点斜式求出直线方程； （2）在（1）的基础上，由垂直关系得到，由点斜式求出直线方程. 【解答过程】（1）因为，所以． 因为直线与直线平行，所以． 又直线过点， 所以直线的点斜式方程为． （2）由（1）知． 因为直线与直线垂直，所以， 又直线过点， 所以直线的点斜式方程为． 19．（24-25高二上·江苏常州·阶段练习）已知的三个顶点是，，． (1)求BC边上的高的直线方程； (2)求平分的面积且过点C的直线的方程． 【解题思路】（1）利用高线与BC边垂直，求得斜率，又高线过点，点斜式求直线方程； （2）所求直线即为边AB的中线所在的直线，由线段AB的中点坐标和点坐标求直线方程. 【解答过程】（1）由题意可得：直线BC的斜率， 则BC边上的高所在直线的斜率，又这条直线过点， 所以直线方程为，即． （2）由题意可知：所求直线即为边AB的中线所在的直线， 则线段AB的中点为，可得直线CD的斜率， 所以直线CD的方程为，即． 第 1 页 共 23 页 学科网（北京）股份有限公司 $$