第07讲 不等式的基本性质（2个知识点+7大题型）（讲义+精练）-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第07讲 不等式的基本性质 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 知识点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 题型一：用不等式（组）表示不等关系 【例1】4位同学要完成100米的接力跑，要求每个人跑的路程不超过其他任一同学所跑路程的3倍，若某一同学所跑路程为米，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意知，该同学所跑的路程为米， 若最小，则其他3位同学所跑的路程最大者，应满足，解得； 若最大，则其他3位同学所跑的路程最小者，应满足，解得； 综上可得，的取值范围是. 故选：D. 【变式1-1】一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得现在工厂每天加工的商品数为件，则该工厂30天加工的商品数为件， 所以题中关系表示为. 故选：B. 【变式1-2】下列不等式中可以用来表示“的2倍比的平方的相反数小”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因的2倍为的平方的相反数为， 则不等式为：. 故选：D. 【变式1-3】在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得. 故选：D 题型二：作差法比较两数（式）的大小 【例2】已知，，设，，则与的大小关系为 ． 【答案】 【解析】．因为，，所以，，，所以，所以． 【变式2-1】若，设，则的大小关系是 ．（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空） 【答案】＞； 【解析】因为， 所以， 所以 ， ， 则，即， 故答案为：＞ 【变式2-2】若，设，，则M，N的大小关系是 ． 【答案】 【解析】， 因为，所以，，所以， 所以. 故答案为： 【变式2-3】若，设，则M，N的大小关系是 ． 【答案】 【解析】， 因为， 所以， 所以，即， 故答案为： 题型三：利用不等式的性质判断命题真假 【例3】（2025·高一·云南昭通·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对A，举例，满足，但，故A错误； 对B，举例，满足，但，故B错误； 对C，若，即，故C错误， 对D，，因为，则， 则，即. 故选：D. 【变式3-1】（2025·高一·广东深圳·期末）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】A 【解析】对于A，，因，则， 又，则，故A错误； 对于B，由不等式同向可加性可知，当时，，故B正确； 对于C，，因，则，又， 则，故C正确； 对于D，，因，则， ，则， 故D正确． 故选：A 【变式3-2】若，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【解析】对于A，若，满足，则，所以A错误， 对于B，因为，，所以，即得，又因为， 则，所以B正确， 对于C，若，满足，则，所以C错误， 对于D，若，则，所以D错误， 故选：B. 【变式3-3】（2025·高一·湖南衡阳·期末）已知实数，且．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，所以，故A错误； 因为，所以，又，所以， 所以，所以，故B正确； 当时，，故C错误； 因为，且，所以，所以， 又，所以，所以，故D错误． 故选：B. 题型四：利用不等式的性质证明不等式 【例4】（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【解析】（1）因为，所以．又，所以，则，所以，即．又，所以． （2）要证，只需证，即证，即证，即证，即证，显然成立，所以． 【变式4-1】（2025·高一·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【解析】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 【变式4-2】设，，，证明：． 【解析】由题意知，，， 则有，，，① ，，， 所以． 又根据①的结论可知，，， 所以． 综上所述，. 【变式4-3】（2025·高一·甘肃兰州·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 【解析】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 题型五：利用不等式的性质比较大小 【例5】（多选题）（2025·高一·浙江·期中）已知，，，，则下列叙述中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【答案】AB 【解析】对于A：因为，， 因为，两边同乘以，不等号的方向不变，得， 所以，故A正确； 对于B：因为，，所以，所以， ，两边同乘以并化简得， 所以，故B正确； 对于C： 方法一：若，此时分母无意义，不能比较，故C错误. 方法二：时不等式左边无意义，不能比较. 当时做如下分析： ， 符号不确定，故结论不确定，故C错误; 对于D： 若，则，故D错误. 故选：AB 【变式5-1】（多选题）下列不等式正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．，则 【答案】AD 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，当，时，显然不成立，故B错误； 对于C，， 因为，，所以，所以成立，故C错误； 对于D， ，由则，故D正确． 故选：AD． 【变式5-2】（多选题）（2025·高一·云南玉溪·期中）若，则下列命题中错误的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】ABD 【解析】对于A，因为且，则，但不确定的正负，当时，，故A错误； 对于B，，因为且，所以，则即，故B错误； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，则则故D错误. 故选：ABD. 【变式5-3】（多选题）（2025·高一·安徽·开学考试）下列命题是假命题的有（    ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 【答案】ABD 【解析】对于A，当时，不等式不成立，A为假命题； 对于B，不等式不成立，B为假命题； 对于C，不等式成立，C为真命题； 对于D，不等式不成立，D为假命题； 故选： 题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 【例6】（2025·高一·河南·期中）已知实数x，y满足，，则的范围为 ． 【答案】 【解析】设，则，解得， ∴ ∵，∴， ∵，∴ ∴． 故答案为： 【变式6-1】（2025·高一·广东惠州·期中）已知，，则的范围是 ． 【答案】 【解析】， 故答案为： 【变式6-2】若，，则的范围是 ，的范围是 ． 【答案】 【解析】因为，所以， 由可得， 所以， 由可得， 因为，所以， 所以的范围是，的范围是， 故答案为：；. 【变式6-3】（2025·高一·山东济宁·期末）已知，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设， 得，解得：， 所以， 因为，，所以，， 所有的范围是. 故选：C 题型七：作商法比较两数（式）的大小 【例7】设，且，比较：与的大小 【解析】 ，， ，， ， 故 【变式7-1】（1）比较与的大小； （2）已知，试比较和的大小. 【解析】（1）， 当时，则，则； 当时，则，则； 当时，则，则； （2），则，， ， ， ，所以，， 因此，. 【变式7-2】已知，求证：． 【解析】． ，，，，，，． ，同理得，，． 又，． 【变式7-3】设，． （1）证明：介于与之间； （2）判断，哪个更接近于，并说明理由． 【解析】（1）证：∵， ∴介于，之间； （2）∵， ， 更接近于． 1．（2025·高一·浙江·期中）设，若，则下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，则，则，A选项正确； 因为，则，则，B选项正确； 因为，则，则，C选项正确； 取，所以，D选项错误； 故选：D. 2．（2025·高一·云南临沧·期中）下列说法中正确的是（   ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】B 【解析】项，若，，此时，但不满足，故A项错误； B项，根据不等式性质，可由推导出，故是的必要条件，故B项正确； C项，若，，此时，但不满足，故C项错误； D项，若，，此时，但是不满足，故D项错误． 故选：B 3．（2025·高一·重庆·期中）已知：，；：，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．就不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】当时，，，但， 则由不能得到；当，时，，，则由可得到, 故是的充分不必要条件. 故选：A 4．（2025·高一·北京·期中）若，，为非零实数，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，，则，， 因为此时，故A不成立； ，故B不成立； ，故D不成立； 根据不等式的基本性质：，，故C成立. 故选：C 5．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，但，故A错误； ，但，故B错误； 因为，所以，所以，又，所以， 所以，故C正确； ，但，故D错误. 故选：C. 6．（2025·高一·甘肃平凉·期末）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【解析】对于A选项，当时不满足，故A错误； 对于B选项，由不等式性质知，两边同时乘以，可得，故B错误； 对于C选项，若，则，，，， 故，即，故C正确； 对于D选项，取，，可得，故D错误． 故选：C 7．（2025·高一·广东惠州·开学考试）某校高一年级男生人数多于女生人数，在选科后选报物理方向的人数多于历史方向的人数，则（    ） A．物理方向的男生多于物理方向的女生 B．历史方向的女生多于历史方向的男生 C．物理方向的女生多于历史方向的男生 D．物理方向的男生多于历史方向的女生 【答案】D 【解析】根据已知条件，设分科后选报物理方向的女生数为，男生数为，选报历史方向的女生数为，男生数为， 根据题意可得，所以， 即，故物理方向的男生多于历史方向的女生. 故选：D. 8．若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对A：若，，则有，， 此时，故A错误； 对B：若，，则有，， 此时，故B错误； 对C：， 由，故，，，故， 即，故C正确； 对D：若，，则，， 此时，故D错误. 故选：C. 9．（多选题）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 【答案】ABC 【解析】因为实数、满足：，由不等式的可加性可得，解得，A对； 由题意可得，由不等式的可加性可得，解得，B对； 设，则，解得， 所以，， 因为，由不等式的可加性可得，C对D错. 故选：ABC. 10．（多选题）设，则P，Q，R的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】因为，所以． 因为， 又，所以，所以． 11．（多选题）下列不等式，其中恒成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】由，知A正确；由，知B错误；由，知C错误；由，知D正确． 12．（2025·高一·浙江·期末）已知，，则的范围是 ，的范围是 ． 【答案】 【解析】，，两个不等式相加可得，解得， 设， 所以，，解得，， 因为，， 由不等式的基本性质可得. 故答案为：；. 13．（2025·高一·四川眉山·期末）已知，，，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】令，则，即， 由，即，可得，则. 故答案为：. 14．设，则M与N的大小关系是 ． 【答案】 【解析】因为，所以． 15．（2025·高一·上海·期末）已知是正实数，那么“”是“”的 条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）. 【答案】充要 【解析】因为是正实数， 所以，, 所以“”是“”的充要条件. 故答案为：充要 16．（2025·高一·北京东城·期末）已知，命题：若，则．能说明为假命题的一组a，b，c的值为 ， ， ． 【答案】 1（答案不唯一，满足即可） 0（答案不唯一，满足即可） （答案不唯一，满足即可） 【解析】因为，则， 若，则； 若，则，可得； 综上所述：. 所以对于任意，命题均为假命题， 例如. 故答案为：1；0；（答案不唯一，满足即可）. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第07讲 不等式的基本性质 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一、符号法则与比较大小 实数的符号： 任意，则（为正数）、或（为负数）三种情况有且只有一种成立． 两实数的加、乘运算结果的符号具有以下符号性质： ①两个同号实数相加，和的符号不变 符号语言：； ②两个同号实数相乘，积是正数 符号语言：； ③两个异号实数相乘，积是负数 符号语言： ④任何实数的平方为非负数，0的平方为0 符号语言：，． 比较两个实数大小的法则： 对任意两个实数、 ①； ②； ③． 对于任意实数、，，，三种关系有且只有一种成立． 知识点诠释：这三个式子实质是运用实数运算来比较两个实数的大小关系．它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据． 知识点二、不等式的性质 不等式的性质可分为基本性质和运算性质两部分 基本性质有： （1）对称性： （2）传递性： （3）可加性：（c∈R） （4）可乘性：a>b， 运算性质有： （1）可加法则： （2）可乘法则： 知识点诠释：不等式的性质是不等式同解变形的依据． 知识点三、比较两代数式大小的方法 作差法： 任意两个代数式、，可以作差后比较与0的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 作商法： 任意两个值为正的代数式、，可以作商后比较与1的关系，进一步比较与的大小． ①； ②； ③． 中间量法： 若且，则（实质是不等式的传递性）．一般选择0或1为中间量． 题型一：用不等式（组）表示不等关系 【例1】4位同学要完成100米的接力跑，要求每个人跑的路程不超过其他任一同学所跑路程的3倍，若某一同学所跑路程为米，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】一个工厂原来每天可以加工件商品，经过工艺改革后该工厂每天可以加工的商品比原来多件，且天加工的商品将超过件，这一关系可用不等式表示为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列不等式中可以用来表示“的2倍比的平方的相反数小”的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】在某校新生军训考核评比中，甲班的分数大于乙班的分数，甲班和乙班的分数之和大于170，且不大于190.设甲班和乙班的分数分别为，则用不等式组表示为（    ） A． B． C． D． 题型二：作差法比较两数（式）的大小 【例2】已知，，设，，则与的大小关系为 ． 【变式2-1】若，设，则的大小关系是 ．（用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”、“=”填空） 【变式2-2】若，设，，则M，N的大小关系是 ． 【变式2-3】若，设，则M，N的大小关系是 ． 题型三：利用不等式的性质判断命题真假 【例3】（2025·高一·云南昭通·期中）下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3-1】（2025·高一·广东深圳·期末）下列命题是假命题的为（   ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【变式3-2】若，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式3-3】（2025·高一·湖南衡阳·期末）已知实数，且．下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型四：利用不等式的性质证明不等式 【例4】（1）已知，，，求证：； （2）证明：． 【变式4-1】（2025·高一·海南省直辖县级单位·期中）已知，． (1)求证：； (2)求证：． 【变式4-2】设，，，证明：． 【变式4-3】（2025·高一·甘肃兰州·期中）（1）比较与的大小； （2）已知，求证：. 题型五：利用不等式的性质比较大小 【例5】（多选题）（2025·高一·浙江·期中）已知，，，，则下列叙述中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若，则 【变式5-1】（多选题）下列不等式正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．，则 【变式5-2】（多选题）（2025·高一·云南玉溪·期中）若，则下列命题中错误的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 【变式5-3】（多选题）（2025·高一·安徽·开学考试）下列命题是假命题的有（    ） A．若则 B．若则 C．若则 D．若则 题型六：利用不等式的基本性质求代数式的取值范围 【例6】（2025·高一·河南·期中）已知实数x，y满足，，则的范围为 ． 【变式6-1】（2025·高一·广东惠州·期中）已知，，则的范围是 ． 【变式6-2】若，，则的范围是 ，的范围是 ． 【变式6-3】（2025·高一·山东济宁·期末）已知，，则的范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：作商法比较两数（式）的大小 【例7】设，且，比较：与的大小 【变式7-1】（1）比较与的大小； （2）已知，试比较和的大小. 【变式7-2】已知，求证：． 【变式7-3】设，． （1）证明：介于与之间； （2）判断，哪个更接近于，并说明理由． 1．（2025·高一·浙江·期中）设，若，则下列不等式中不正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·高一·云南临沧·期中）下列说法中正确的是（   ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的必要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 3．（2025·高一·重庆·期中）已知：，；：，，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．就不充分又不必要条件 4．（2025·高一·北京·期中）若，，为非零实数，且，，则（    ） A． B． C． D． 5．已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·高一·甘肃平凉·期末）若，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（2025·高一·广东惠州·开学考试）某校高一年级男生人数多于女生人数，在选科后选报物理方向的人数多于历史方向的人数，则（    ） A．物理方向的男生多于物理方向的女生 B．历史方向的女生多于历史方向的男生 C．物理方向的女生多于历史方向的男生 D．物理方向的男生多于历史方向的女生 8．若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 9．（多选题）若实数、满足：，则下列叙述正确的是（    ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的范围是 D．的范围是 10．（多选题）设，则P，Q，R的大小关系是（   ） A． B． C． D． 11．（多选题）下列不等式，其中恒成立的有（   ） A． B． C． D． 12．（2025·高一·浙江·期末）已知，，则的范围是 ，的范围是 ． 13．（2025·高一·四川眉山·期末）已知，，，则的取值范围是 . 14．设，则M与N的大小关系是 ． 15．（2025·高一·上海·期末）已知是正实数，那么“”是“”的 条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）. 16．（2025·高一·北京东城·期末）已知，命题：若，则．能说明为假命题的一组a，b，c的值为 ， ， ． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$