第05讲 充分条件、必要条件、充要条件（3个知识点+7大题型）（讲义+精练）-2025 年新高一数学暑假自学能力进阶精品讲义与演练（苏教版2019）

第05讲 充分条件、必要条件、充要条件 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：充分条件、必要条件 1、在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论，若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p能推出q，记作，读作“p推出q”；否则，称为由p推不出q，记作pq，读作“p推不出q”． 2、当时我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件． 知识点二：充要条件 一般地，如果，，则称p是q的充分不必要条件；如果pq且，则称p是q的必要不充分条件；如果且，则称p是q的充分必要条件（简称充要条件），记作，也读作“p与q等价”，“p当且仅当q”． 知识点三：充分条件、必要条件和充要条件与数学判定定理、性质定理及数学定义的关系 1、判定定理实际上给出了一个充分条件． 2、性质定理实际上给出了一个必要条件． 3、一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的充要条件． 4、判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系 （1）数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． （2）数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 题型一：充分条件、必要条件的判断 【典例1-1】“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由可得， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 【典例1-2】已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由于，所以和均不为， 所以可以推断； 取，可得，但 故由不能推出. 所以“”是“的充分不必要条件. 故选：B. 【变式1-1】（2025·高一·安徽马鞍山·开学考试）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由于，整理得，故， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确． 故选：A. 【变式1-2】“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【解析】依题意，，反之，不能推出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 【变式1-3】（2025·高一·上海静安·期末）已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】B 【解析】因为是的充分非必要条件，所以，， 又的充要条件是，所以，所以，， 所以是的必要非充分条件. 故选：B. 题型二：充分条件、必要条件的性质 【典例2-1】对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么方程成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由方程，可得或1，得， 依题意，需使选项中的范围是区间的真子集， 故成立的一个充分不必要条件是． 故选：D. 【典例2-2】“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（    ） A． B．m<1 C． D． 【答案】D 【解析】“方程至多有一个实数解”的充要条件 为，解得， 又是的充分不必要条件， 故选：. 【变式2-1】使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解析】解不等式，即，解得或， 则不等式的解集为或， 对于A，显然，即是不等式成立的一个充分不必要条件，A是； 对于B，D，集合，都不是集合的子集，BD不是； 对于C，或，或是不等式成立的充要条件，C不是. 故选：A 【变式2-2】（2025·高一·内蒙古呼伦贝尔·期末）设，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】要使得选项中的条件是的一个必要不充分条件， 即集合是选项中的对应的集合的真子集， 对于A，不是的真子集，故A错误； 对于B，不是的真子集，故B错误； 对于C，不是的真子集，故C错误； 对于D，是的真子集，故D正确； 故选：D. 【变式2-3】使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， 因此只有B是其必要条件． 故选：B． 题型三：根据充分条件求参数的范围 【典例3-1】已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，， 所以； （2）因为， 所以由，得， 当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得， 综上，，故实数的取值范围为； （3）由是的充分不必要条件，可得 ， 又， 则，且式等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围是． 【典例3-2】（2025·高一·云南玉溪·期中）已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【解析】（1）非空集合．可得：，解得： 由是的必要条件，可得：, 所以，解得：，综上实数的取值范围； （2）存在，由是的充分条件，则, 所以，解得：，所以实数的取值范围 【变式3-1】（2025·高一·新疆巴音郭楞·期末）设集合，集合，． (1)若集合是空集，求的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【解析】（1）因为集合是空集，所以， 解得，所以的取值范围为． （2）． 集合不是空集，则，解得． “”是“”的充分不必要条件等价于集合是集合的真子集， 则，等号不同时取到，解得， 故的取值范围为． 【变式3-2】（2025·高一·辽宁鞍山·期末）已知全集，集合，集合 (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【解析】（1）若，则， 因为 所以 或； （2）若是的充分条件，则， 则，解得， 所以， 即实数的取值范围为 【变式3-3】（2025·高一·浙江宁波·期末）设全集，集合，集合，其中． (1)若，求a的取值范围； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围. 【解析】（1）因为集合，集合，且， 所以或，即. （2）因为“”是“”的充分条件，所以， 集合，集合， 所以，解得，即. 题型四：根据必要条件求参数的范围 【典例4-1】（2025·高一·江西宜春·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）， 若，则集合， 所以， 则=； （2）∵命题是命题的必要不充分条件， ∴集合是集合的真子集， 当时，，解得， 当时，，或， 解得， 综上所述，实数的取值范围为． 【典例4-2】（2025·高一·广东潮州·期末）设集合，，命题，命题. (1)当时，求集合A与集合B的并集； (2)若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围. 【解析】（1）由题设，，当时，所以； （2）由题设，，且，若P是q的必要不充分条件，则 又a为正实数，即，解得， 故a的取值范围为. 【变式4-1】（2025·高一·贵州遵义·期末）已知集合，集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【解析】（1）当时，， 又 则； （2）由“”是“”的必要不充分条件， 可知， 所以或， 解得或， 综上所述， 即. 【变式4-2】（2025·高一·广东肇庆·期中）设，已知集合，. (1)①当时，求； ②当时，求实数m的范围； (2)设p：；q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的范围. 【解析】（1）①当时，， 所以， 所以或. ②由题可得，解得； （2）由题可得是的真子集， 当，则； 当，，则（等号不同时成立），解得 综上：. 【变式4-3】设全集，集合，非空集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 【解析】（1）， 或 当时，， 或. （2）“”是“”的必要不充分条件等价于非空集合是集合的真子集， 易知，即， 则有，且等号不能同时取到，解得. 故的取值范围为. 题型五：根据充要条件求参数的范围 【典例5-1】集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【答案】B 【解析】因为“”是“”的充要条件，所以， 又，，所以. 故选：B. 【典例5-2】若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】恒成立，，所以，解得． 故选：B 【变式5-1】（2025·高一·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【解析】， 由于是的充要条件，， 所以，解得， 故整数. 故选：D 【变式5-2】“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】一元二次方程有两个不相等的正实根， 设两根分别为：， 故， 解得：， 故“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是. 故选：B. 【变式5-3】（2025·高二·山东临沂·期末）方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【解析】当时，方程为有一个负实根，反之，时，则，于是得； 当时，， 若，则，方程有两个不等实根，，即与一正一负， 反之，方程有一正一负的两根时，则这两根之积小于0，，于是得， 若，由，即知，方程有两个实根，必有，此时与都是负数， 反之，方程两根都为负，则，解得，于是得， 综上，当时，方程至少有一个负实根，反之，方程至少有一个负实根，必有. 所以方程至少有一个负实根的充要条件是. 故选：C 题型六：充要条件的证明 【典例6-1】设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 【解析】为锐角三角形的充要条件为. 证明：充分性：若，则不是直角三角形. 若为钝角三角形，因为，则. 过点B作的延长线的垂线，垂足为D（如图（1））， 由勾股定理知 ，矛盾， 故为锐角三角形，充分性成立. 必要性：过点A作边的垂线，垂足为D(如图(2))， 由勾股定理知， ， 故必要性成立. 故为锐角三角形的充要条件为. 【典例6-2】（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件. 【解析】（1）根据是的必要而不充分条件， 所以命题中变量的取值集合是命题中变量取值集合的真子集， 所以可得到或， 即或； （2）证明：充分性：若，则， 方程有两个实根， 根据根与系数的关系得， 所以方程有两个异号实根； 必要性：若方程有两个异号实根， 则，即， 所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件. 【变式6-1】已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 【解析】（1）若，则，所以的所有子集为： ，，，，，，，. （2）证明：若，则，所以，故充分性成立； 若，则，因为，所以， 解得或，当时，，不满足互异性，故舍去， 当时，，满足互异性，故必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 【变式6-2】证明：“中两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 【解析】证明：充分性：在中，设边上的高为，边上的高为． 则， 因为，所以， 故为等腰三角形，充分性成立． 必要性：若为等腰三角形，设，边上的高为，边上的高为， 则根据三角形面积公式， 可得，必要性成立． 故“两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 【变式6-3】已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 【解析】证明：（充分性）将代入方程， 得，即， 解得，为整数根； 将代入方程， 得，即， 解得或，为整数根； 所以是两个方程的根都是整数的充分条件； （必要性）若方程有实根， 则，即， 若方程有实根， 则即，即， 所以上述两个方程都有实根等价于， ，， 当时，方程可化为，无整数根； 当时，方程可化为，无整数根； 当时，上述两个方程都有整数根， 所以上述两个方程都有整数根的必要条件是； 综上所述，这两个方程的根都是整数的充要条件是. 题型七：探求命题为真的充要条件 【典例7-1】关于的方程有两个负实根的充要条件是 ． 【答案】 【解析】充分性：由题意可得，即得，充分性成立； 必要性：若，则此时， 满足方程有两个负实根，必要性成立． 故关于的方程有两个负实根的充要条件是充要条件是． 故答案为： 【典例7-2】设x，，已知，则的一个充分必要条件是 . 【答案】 【解析】因为 ， 所以的一个充分必要条件是. 故答案为： 【变式7-1】写出关于，，的等式成立的一个充要条件： ． 【答案】 【解析】将等式整理得， 即，即． 故原式的等价于：． 故答案为： 【变式7-2】不等式成立的充要条件是 . 【答案】 【解析】因为，要保证分母不等于0，所以a、b不能同时为0，即 ， 所以，两边平方得，此不等式恒成立. 故答案为：． 【变式7-3】设、是任意两个集合，请写出一个“”的充分必要条件是 ． 【答案】（只需与等价即可）. 【解析】， 所以，“”的充分必要条件是“”. 故答案为：（只需与等价即可）. 1． “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若，则，但不一定相等.若，则，故“”是“”的必要不充分条件. 2．（2025·高一·甘肃甘南·期末）已知，且，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】当且时，成立，但当时，且不一定成立，如且， 所以，， 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3．下列命题为真命题的是（    ） A．“且”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“一元二次方程有实数根”的充要条件 D．“一个三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方”的充要条件是“此三角形为直角三角形” 【答案】D 【解析】对于A，由“且”得“”，但“”未必能推出“且”，如且满足，但不满足，故A是假命题；对于B，“”未必能推出“”，如，故B是假命题；对于C，如一元二次方程有实数根，但不满足“”，故C是假命题，D是真命题． 4．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由，得，由，得．当时，不一定有；当时，一定有．故“”是“”的必要不充分条件． 5．如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】如果，那么和的整数部分是相同的，所以， 即“”是“”的必要条件， 如果，那么和的整数部分不一定相同， 例如，所以“”不是“”的充分条件. 综上，“”是“的必要不充分条件. 故选：B. 6．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】因为，，，所以中的元素都是中的元素， 又因为，，，所以中的元素都是中的元素， 所以，所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 7．已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由“”是“”的充分不必要条件，则是的真子集， 当时，，解得； 当时，，前两个等号不能同时取得，解得， 综上m的取值范围是， 故选：A. 8．若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由不等式，可得（不合题意）， 要使得是的一个充分条件， 则满足，解得. 故选：D. 9．（多选题）（2025·高一·吉林·期末）已知“”是“”的充分不必要条件，则a的值可能为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】ABC 【解析】由得， 因为“”是“”的充分不必要条件， 即“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 所以，选项A、B、C中数值符合. 故选：ABC. 10．（多选题）已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为集合，集合， 所以等价于即， 对比选项，、均为的充分不必要条件. 故选：AD. 11．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．方程组的解集是 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 【答案】CD 【解析】对于A，因为，解得，所以解集为，故A错误； 对于B，当时，，解得，此时集合，满足题意； 当时，需满足，可得，因此或，故B错误； 对于C，由可知一元二次方程的判别式， 即该方程有两根，且两根之积，即两根异号，所以充分性成立； 若一元二次方程有一正一负根，可知两根之积为负， 即，也即，所以必要性成立，故C正确； 对于D，由可知是集合的子集， 所以集合可以是，，，共4个，故D正确. 故选：CD. 12．（多选题）（2025·高一·江苏扬州·期中）用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（ ）． A．； B．； C．“”是“”的充分不必要条件； D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A，当时，，此时，故A正确； 对于B，当时，，此时，故B不正确； 对于C，当时，，则，，则，所以； 当时，因为，所以或3，若，则，解得，若，因为方程的两个根和都不是方程的根，所以需满足，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确； 对于D，因为，，则或3，由C可知：或，所以，所以，故D正确； 故选：ACD. 13．已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】设集合或，或， 若是的必要条件，则， 当时，即时，此时，成立； 当时，即时，若，此时，该不等式组无解. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 14．已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由是成立的一个充分不必要条件， 可知：， 所以，解得， 所以实数的取值范围是， 故答案为： 15．（2025·高一·北京延庆·期中）已知，，且是的必要不充分条件，则的取值范围是 【答案】 【解析】因为是的必要不充分条件，则， 又，，所以， 故答案为：. 16．已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 【答案】 【解析】因为是的必要非充分条件， 设集合或，或，, 当，得时，此时成立，，成立， 当时，即时，再满足，得：，此时的取值为， 所以 故答案为： 17．已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为，所以．因为“”是“”的充分条件，所以解得，所以实数a的取值范围是． （2）因为，若“”是“”的充要条件，则解得故a不存在． 18．（2025·高一·云南大理·期末）已知全集为，集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，说明它是的什么条件（充分必要性）？ 【解析】（1）集合， 集合， 由，得，， 若，，故只需使， 所以，故实数的取值范围为， （2）由（1）可知的充要条件是， 由于， 则是的必要不充分条件 19．已知集合，集合. (1)若，求； (2)若集合A成立的充分不必要条件是集合B，求实数m的取值范围. 【解析】（1）由题意可知， 若，则， 故，则或； （2）由题意可得集合B是集合A的真子集， 当时，，解得， 当时，则有，解得， 且（等号不能同时成立），解得， 综上所述，实数m的取值范围为. 20．（2025·高一·广东广州·期中）已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【解析】（1）当时，集合， 所以或， 又， 所以. （2）因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 当时，即时，，满足是的真子集， 当时，即时， ，且不能同时取等号，解得， 综上，实数a的取值范围为或. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 充分条件、必要条件、充要条件 01 思维导图与题型归纳 02 全面梳理基础知识，夯实学习根基 03 聚焦核心题型，举一反三 04 过关测试，检验成效 知识点一：充分条件、必要条件 1、在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论，若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由p能推出q，记作，读作“p推出q”；否则，称为由p推不出q，记作pq，读作“p推不出q”． 2、当时我们称p是q的充分条件，q是p的必要条件． 知识点二：充要条件 一般地，如果，，则称p是q的充分不必要条件；如果pq且，则称p是q的必要不充分条件；如果且，则称p是q的充分必要条件（简称充要条件），记作，也读作“p与q等价”，“p当且仅当q”． 知识点三：充分条件、必要条件和充要条件与数学判定定理、性质定理及数学定义的关系 1、判定定理实际上给出了一个充分条件． 2、性质定理实际上给出了一个必要条件． 3、一个数学对象的定义实际上给出了这个对象的充要条件． 4、判定定理和性质定理与充分条件、必要条件的关系 （1）数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件． （2）数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． 题型一：充分条件、必要条件的判断 【典例1-1】“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【典例1-2】已知均为实数，则“”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（2025·高一·安徽马鞍山·开学考试）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-2】“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件 【变式1-3】（2025·高一·上海静安·期末）已知是的充分非必要条件，的充要条件是，则是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 题型二：充分条件、必要条件的性质 【典例2-1】对于实数x，规定表示不大于x的最大整数，如，，那么方程成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】“方程至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是（    ） A． B．m<1 C． D． 【变式2-1】使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A． B． C．或 D． 【变式2-2】（2025·高一·内蒙古呼伦贝尔·期末）设，则的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】使不等式成立的一个必要条件是（    ） A． B． C． D． 题型三：根据充分条件求参数的范围 【典例3-1】已知集合． (1)若，求; (2)若，求实数的取值范围； (3)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【典例3-2】（2025·高一·云南玉溪·期中）已知集合，非空集合． (1)若是的必要条件，求实数的取值范围； (2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由． 【变式3-1】（2025·高一·新疆巴音郭楞·期末）设集合，集合，． (1)若集合是空集，求的取值范围； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求的取值范围． 【变式3-2】（2025·高一·辽宁鞍山·期末）已知全集，集合，集合 (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【变式3-3】（2025·高一·浙江宁波·期末）设全集，集合，集合，其中． (1)若，求a的取值范围； (2)若“”是“”的充分条件，求a的取值范围. 题型四：根据必要条件求参数的范围 【典例4-1】（2025·高一·江西宜春·期中）已知集合，集合． (1)若，求； (2)设命题；命题，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【典例4-2】（2025·高一·广东潮州·期末）设集合，，命题，命题. (1)当时，求集合A与集合B的并集； (2)若是的必要不充分条件，求正实数的取值范围. 【变式4-1】（2025·高一·贵州遵义·期末）已知集合，集合，. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【变式4-2】（2025·高一·广东肇庆·期中）设，已知集合，. (1)①当时，求； ②当时，求实数m的范围； (2)设p：；q：，若p是q的必要不充分条件，求实数m的范围. 【变式4-3】设全集，集合，非空集合，. (1)若，求； (2)若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围. 题型五：根据充要条件求参数的范围 【典例5-1】集合，集合，若“”是“”的充要条件，则（    ） A．0 B． C．3 D．5 【典例5-2】若命题：“”是命题：“”的充要条件，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025·高一·湖南·期末）已知集合，若是的充要条件，则整数（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式5-2】“一元二次方程有两个不相等的正实根”的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 【变式5-3】（2025·高二·山东临沂·期末）方程至少有一个负实根的充要条件是（    ） A． B． C． D．或 题型六：充要条件的证明 【典例6-1】设分别是的三条边，且，则为直角三角形的充要条件是.试用边长探究为锐角三角形的一个充要条件，并证明. 【典例6-2】（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件. 【变式6-1】已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 【变式6-2】证明：“中两边上的高相等”是“为等腰三角形”的充要条件． 【变式6-3】已知，关于x的一元二次方程和，证明：是上述两个方程的根都是整数的充要条件. 题型七：探求命题为真的充要条件 【典例7-1】关于的方程有两个负实根的充要条件是 ． 【典例7-2】设x，，已知，则的一个充分必要条件是 . 【变式7-1】写出关于，，的等式成立的一个充要条件： ． 【变式7-2】不等式成立的充要条件是 . 【变式7-3】设、是任意两个集合，请写出一个“”的充分必要条件是 ． 1． “”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·高一·甘肃甘南·期末）已知，且，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列命题为真命题的是（    ） A．“且”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“一元二次方程有实数根”的充要条件 D．“一个三角形的三边长满足两边的平方和等于第三边的平方”的充要条件是“此三角形为直角三角形” 4．设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．如果对于任意实数表示不超过的最大整数，例如，那么“”是“”的（    ） A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知集合，.若“”是“”的充分不必要条件，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若不等式的一个充分条件为，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）（2025·高一·吉林·期末）已知“”是“”的充分不必要条件，则a的值可能为（   ） A． B． C．0 D．1 10．（多选题）已知集合，集合，则的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 11．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．方程组的解集是 B．若集合中只有一个元素，则 C．“”是“一元二次方程有一正一负根”的充要条件 D．已知集合，则满足条件的集合的个数为4 12．（多选题）（2025·高一·江苏扬州·期中）用表示非空集合中元素的个数，定义，已知集合，则下面正确结论正确的是（ ）． A．； B．； C．“”是“”的充分不必要条件； D．若，则 13．已知或，或，若是的必要条件，则实数的取值范围是 ． 14．已知集合，，若是成立的一个充分不必要条件，则实数的取值范围是 ． 15．（2025·高一·北京延庆·期中）已知，，且是的必要不充分条件，则的取值范围是 16．已知或，或，若是的必要非充分条件，则实数m的取值范围是 . 17．已知集合． (1)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． (2)是否存在实数a，使得“”是“”的充要条件？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由． 18．（2025·高一·云南大理·期末）已知全集为，集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，说明它是的什么条件（充分必要性）？ 19．已知集合，集合. (1)若，求； (2)若集合A成立的充分不必要条件是集合B，求实数m的取值范围. 20．（2025·高一·广东广州·期中）已知集合． (1)若，求； (2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$