精品解析：2025年内蒙古自治区初中学业水平考试数学模拟试题（七）

2025年内蒙古自治区初中学业水平考试数学模拟试题（七） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如收入20元记为元，那么支出30元记为（ ） A. 元 B. 30元 C. 元 D. 50元 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正负数的意义，理解“正”和“负”分别表示相反意义的量是解题关键．根据题意明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意即可求解． 【详解】解：收入20元记作元，那么支出30元记作元， 故选：A． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键；根据不等式的基本性质进行判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，故本选项不符合题意； B、∵，∴，故本选项不符合题意； C、∵，∴，故本选项不符合题意； D、∵，∴，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 一个几何体按如图所示水平放置，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查简单组合体的三视图，熟练掌握简单组合体的三视图的知识是解题的关键． 根据简单组合体的三视图得出结论即可． 【详解】解：由题意知，该几何体的主视图为． 故选：A． 4. 如图，直线，矩形的顶点在直线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质及平行线的性质，根据矩形的性质得出，再结合平行线的性质即可解决问题． 【详解】解：延长与直线b交于点M， ∵， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 5. 某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图如图所示，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数，根据众数和中位数的定义即可得出答案，熟练掌握众数和中位数的定义是解此题的关键． 【详解】解：由统计图可知，该班40名同学一周参加体育锻炼时间出现次数最多的是小时，故众数是9， 处在第、位的是，故中位数是， 故选：A． 6. 如图，在中，，，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了作图-基本作图、解直角三角形、勾股定理等知识定，掌握垂线的尺规作法是解题的关键． 由作图知，，运用勾股定理可得，由可得，进而求得即可． 【详解】解：由作图知，， ∵在中，，，． ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：． 故选：C． 7. 点在直线上，坐标(x，y)是二元一次方程的解，则点的位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征，解二元一次方程组等知识，联立方程组 ，求出点P的坐标即可判断． 【详解】解∶ 联立方程组， 解得， ∴P的坐标为， ∴点P在第一象限， 故选：A． 8. 如图，正方形的顶点在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，灵活运用二次函数的性质是解题的关键． 如图：过点A作轴于点M，过点C作轴于点N，先证明可得，．再根据，．得，，由列出m、n得关系式求解即可． 【详解】解：如图：过点A作轴于点M，过点C作轴于点N， ， ， ∵四边形是正方形，，， ∴， ． ∴． ∴，， ∵两点的横坐标分别为， ∴，， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ． 故选：B． 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 若与互为相反数，的倒数是，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相反数的性质、倒数的定义和代数式求值，掌握以上基本知识是解题的关键；根据相反数的性质和倒数的定义可得，再将原式变形后整体代入求值即可． 【详解】解：因为与互为相反数，的倒数是， 所以， 所以； 故答案为：． 10. 将抛物线向下平移3个单位长度后，经过点，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的平移，根据平移规律得到函数解析式，把点的坐标代入得到，再整体代入变形后代数式即可． 【详解】解：抛物线向下平移3个单位长度后得到 ， 把点代入得到，， 得到， ∴， 故答案为：5 11. 如图，在中，，，是的中点，分别以，为圆心，长为半径作弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查扇形面积的计算，根据题意得出，再将阴影部分转化为一个圆心角为，半径为的扇形面积即可解决问题．解题的关键是掌握：扇形所在圆的半径为，圆心角为的扇形面积的计算公式为：． 【详解】解：∵在中， ， ∴， 又∵，且点是的中点， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 故答案为：． 12. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为_____________（结果精确到0.1）（参考数据：，，） 【答案】38.5 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点A作，垂足为，根据垂直定义可得，再利用三角形内角和定理可得，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【详解】解：过点A作，垂足为，则， ，， ， ， 在中，， ． 点A到的距离约为38.5． 故答案为：38.5 三、解答题（共6小题，共64分） 13. （1）解不等式：； （2）若，请从小刚和小明的对话中确定的值，并对进行化简求值． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题考查的是一元一次不等式的解法，分式的化简求值，无理数的估算； （1）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）先计算括号内分式的减法，再计算除法得到化简的结果，再把，代入计算即可． 【详解】解：（1）， 去分母得：， 去括号得：， 整理得：， 解得：． （2） ， 由对话可得，且为整数， ∴， 原式． 14. 为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】 八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95． 八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】 八年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 a b 3 【分析数据】 八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表 统计量 班级 平均数 中位数 众数 方差 八年级（1）班 95 41.5 八年级（3）班 91 90 26.5 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题． （1）请补全条形统计图： （2）填空：______，______； （3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由； （4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率． 【答案】（1） 补全条形统计图如图所示： （2）91，92.5 （3） 八年级（1）班成绩较好， 理由：八年级（1）班和八年级（3）班的平均成绩相同，但八年级（1）班的中位数和众数都比八年级（3）班高，即八年级（1）班高分段人数较多．因此八年级（1）班成绩较好． （4） 【解析】 【分析】（1）由八年级（3）班20名学生成绩统计可得90分学生有7人，95分学生有6人，补全条形统即可； （2）由八年级（1）班20名学生成绩统计可得，，根据平均数和中位数的定义进行计算即可； （3）从平均数，中位数和众数综合分析得八年级（1）班成绩较好； （4）设八年级（1）班的三名100分的学生用A、B、C表示，八年级（3）班的两名100分的学生用X、Y表示，用列表法表示出所有可能结果，再从中找出2名学生恰好在同一个班级的结果数，再根据概率的计算公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由八年级（3）班20名学生成绩统计可得90分学生有7人，95分学生有6人； 【小问2详解】 解：由八年级（1）班20名学生成绩统计可得，， ∴， 一共20名学生，中位数应该为第10名与第11名的平均数， ． 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：设八年级（1）班的三名100分的学生用A、B、C表示．八年级（3）班的两名100分的学生用X、Y表示，则随机抽两名学生的所有情况如下： (1)班 　（3）班 A B C X Y A AB AC AX AY B BA BC BX BY C CA CB CX CY X XA XB XC XY Y YA YB YC YX 一共有20种情况．其中两名同学在同一个班级的有共8种， ∴所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率为： ． 【点睛】本题考查读统计表和统计图，利用统计图获取信息的能力以及中位数，众数和平均数，以及概率的计算．利用统计表获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 15. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的32万人增加到2024年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加20套，售价每套可降低80元．但最低售价不得少于900元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1） （2）200套 【解析】 【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x，根据从2022年的32万人增加到2024年的50万人列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）可求出购买的这种健身器材的套数大于100套，设当售价不低于900元时，购买的这种健身器材的套数为m套，，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；当购买的这种健身器材足够多时，每套的售价为900元，求出此时购买的数量，再根据数量求出按照优惠方案可得到的售价，再与900进行比较即可得到结论． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为x， 由题意得， 解得（不符合题意，舍去）． 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为． 【小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设当售价不低于900元时，购买的这种健身器材的套数为m套， 由题意得， 整理得， 解得， 当时，售价元，符合题意； 当时，售价元（不符合题意，故舍去）． ∴此时购买的这种健身器材的套数为200套． 当购买的这种健身器材足够多时，每套的售价为900元，此时购买了套， ∵， ∴这种情况不存在； 综上所述，购买的这种健身器材的套数为200套． 16. 在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了的内接等腰三角形，并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点A逆时针旋转得到，如图1．小明发现：与相切，请予以证明： 【实践探究】 连接，与相交于点．如图2，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值．请求出当时，长的最大值； 【问题解决】 在图2中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明． 【答案】操作发现： 证明：如图：连接并延长交于点M，连接， ∵是直径， ∴， ， 由旋转的性质得：， ∵， ∴， ∴， ∵是半径， ∴与相切． 实践探究：有最大值为； 问题解决： 证明：如图：过点E作交于点N， 由旋转的性质知：， ， ∴， ， ， 由旋转的性质得：， ， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】操作发现：如图：连接并延长交于点M，连接，根据直径所对圆周角为直角得到，根据旋转的性质得到，由圆周角定理推出以及等量代换得到，利用直角三角形的性质即可证明，即可证明结论； 实践探究：先证明得到，结合三角形外角的性质得到，易证得到，设，则得到，最后利用二次函是的性质求解即可； 问题解决：如图：过点E作交于点N，由旋转的性质知，证明，推出，由旋转的性质得：，得到，根据易证得到即可证明结论． 【详解】解：操作发现： 略 实践探究： 解：由旋转的性质得：， ∴，即：， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ， ， 设，则， ， ∴， ， ∴当时，有最大值为； 问题解决： 略 【点睛】本题主要考查圆周角定理、切线的证明、旋转的性质、三角形相似的判定与性质、二次函数最值的应用等知识点，正确作出辅助线、构造三角形相似是解题的关键． 17. 某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，且，猜想并计算的值； （2）如图2，在矩形中，，点E是上的一点，连接，且，求的值； （3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：． 【答案】（1）1 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）首先根据正方形的性质得到，，然后证明出，根据可得，由此可得得到，即可得到； （2）根据矩形的性质可得，再根据同角的余角相等可得.进而可得，由此可以求出的值． （3）过点F作，则可得四边形是矩形，根据“同角的余角相等”和“对顶角相等”可得，由此可证，进而可求出，即． 【小问1详解】 解：猜想，理由如下： 设与的交点为G， ∵四边形是正方形，， ， ， ， ，， ． 在和中 ， ， ， ； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ， ， ∴， ， ∴； 【小问3详解】 解：如图，过点F作， ∴， ， ∴四边形是矩形, ， 又， ， ∴, ， ， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握各知识点是解题的关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点． （1）求此抛物线的解析式； （2）连接，若点为轴上一点，如果直线与直线的夹角为，求线段的长度； （3）点是线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求当四边形为平行四边形时点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到三角函数值、平行四边形的性质、线段长度的表示方法． （1）由待定系数法即可求解； （2）分点D在点B上方、下方两种情况，由运用三角函数求出的值，即可求出的长度； （3）先求出线段所在直线的函数解析式，设点，则点，由，即可求解． 【小问1详解】 解∶由，则当时，． 即点B坐标为，故． ， ，． ∴点A、B、C的坐标分别为、、． 将A、C两点坐标代入， 解得 此抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：， ． 如图，当点D在点B上方时， 依题意得， ． ． ． 当点D在点B下方时， ， ， ． ． 综上所述，线段的长度为或； 【小问3详解】 解：如图所示 设所在直线的函数解析式为 、， 代入解析式得 解得 ∴线段所在直线的函数解析式为， 设点，则点， 则． 当四边形为平行四边形时， 则． 即， 解得， 则点P的坐标为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年内蒙古自治区初中学业水平考试数学模拟试题（七） 注意事项： 1．本试卷共8页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分．每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”．如收入20元记为元，那么支出30元记为（ ） A. 元 B. 30元 C. 元 D. 50元 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 一个几何体按如图所示水平放置，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，矩形的顶点在直线上．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 某班40名同学一周参加体育锻炼的时间统计图如图所示，那么该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 如图，在中，，，．以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；再分别以点和点为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，则的长为（ ） A. 5 B. C. D. 7. 点在直线上，坐标(x，y)是二元一次方程的解，则点的位置在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 如图，正方形的顶点在抛物线上，点在轴上．若两点的横坐标分别为，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共4小题，每小题3分，共12分） 9. 若与互为相反数，的倒数是，则的值为_____． 10. 将抛物线向下平移3个单位长度后，经过点，则_____． 11. 如图，在中，，，是的中点，分别以，为圆心，长为半径作弧，交于点，交于点，则图中阴影部分的面积是_____． 12. 如图，一辆自行车竖直摆放在水平地面上，右边是它的部分示意图，现测得，，，则点A到的距离为_____________（结果精确到0.1）（参考数据：，，） 三、解答题（共6小题，共64分） 13. （1）解不等式：； （2）若，请从小刚和小明的对话中确定的值，并对进行化简求值． 14. 为做好青少年安全教育工作，某校开展了主题为“珍爱生命，牢记安全”的知识竞赛（共20题，每题5分，满分100分）．该校从学生成绩都不低于80分的八年级（1）班和（3）班中，各随机抽取了20名学生成绩进行整理，绘制了不完整的统计表、条形统计图及分析表． 【收集数据】 八年级（1）班20名学生成绩：85，95，100，90，90，80，85，90，80，100，80，85，95，90，95，95，95，95，100，95． 八年级（3）班20名学生成绩：90，80，100，95，90，85，85，100，85，95，85，90，90，95，90，90，95，90，95，95． 【描述数据】 八年级（1）班20名学生成绩统计表 分数 80 85 90 95 100 人数 3 3 a b 3 【分析数据】 八年级（1）班和（3）班20名学生成绩分析表 统计量 班级 平均数 中位数 众数 方差 八年级（1）班 95 41.5 八年级（3）班 91 90 26.5 【应用数据】 根据以上信息，回答下列问题． （1）请补全条形统计图： （2）填空：______，______； （3）你认为哪个班级的成绩更好一些？请说明理由； （4）从上面5名得100分的学生中，随机抽取2名学生参加市级知识竞赛．请用列表法或画树状图法求所抽取的2名学生恰好在同一个班级的概率． 15. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2022年的32万人增加到2024年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加20套，售价每套可降低80元．但最低售价不得少于900元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 16. 在综合与实践活动课上，小明以“圆”为主题开展研究性学习． 【操作发现】 小明作出了的内接等腰三角形，并在边上任取一点（不与点，重合），连接，然后将绕点A逆时针旋转得到，如图1．小明发现：与相切，请予以证明： 【实践探究】 连接，与相交于点．如图2，小明又发现：当确定时，线段的长存在最大值．请求出当时，长的最大值； 【问题解决】 在图2中，小明进一步发现：点分线段所成的比与点分线段所成的比始终相等．请予以证明． 17. 某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是，上的两点，连接，，且，猜想并计算的值； （2）如图2，在矩形中，，点E是上的一点，连接，且，求的值； （3）如图3，在四边形中，，点E为上一点，连接，过点C作的垂线交的延长线于点G，交的延长线于点F，求证：． 18. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于，两点，交轴于点． （1）求此抛物线的解析式； （2）连接，若点为轴上一点，如果直线与直线的夹角为，求线段的长度； （3）点是线段上一点，过点作轴的平行线交抛物线于点，求当四边形为平行四边形时点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $