精品解析：云南省昆明市第八中学2024-2025学年高二下学期6月月考数学试题B

昆八中2024-025学年度下学期月考二 高二数学试卷（B卷）（答案） 一、单选题 1. 甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 9种 D. 12种 【答案】C 【解析】 【分析】甲有种选法，乙可以选一门或者选两门，有种选法，根据分步乘法计数原理计算即可． 【详解】由题意得，甲只选一门，有种选法，乙可以选一门或者选两门，有种选法， 故不同的报名学习方式有种， 故选：C． 2. 已知离散型随机变量服从二项分布，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：A 3. 某种袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且，若某超市购入2000袋这种大米，则该种袋装大米的质量的袋数约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正态分布的性质求出，再用此概率乘以2000可得答案. 【详解】因为服从正态分布，且， 所以， 所以该种袋装大米的质量的袋数约为. 故选：B 4. 对两个变量和进行回归分析,得到一组样本数据: ,…,则下列说法中不正确的是（ ） A. 由样本数据得到的回归方程必过样本中心 B. 残差平方和越小的模型,拟合的效果越好 C. 若变量和之间的相关系数为,则变量和之间具有线性相关关系 D. 用相关指数来刻画回归效果, 越小,说明模型的拟合效果越好 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归直线方程的性质，与残差平方和、相关系数与相关指数的定义与性质逐个选项辨析即可. 【详解】逐一分析所给的各个选项： A. 由样本数据得到的回归方程必过样本中心 B. 残差平方和越小的模型,拟合的效果越好 C. 若变量和之间的相关系数为,则变量和之间具有线性相关关系 D. 用相关指数来刻画回归效果,越大,说明模型的拟合效果越好，该说法错误. 故选：D 5. 一道考题有4个选项，要求学生将其中的一个正确选择出来．某考生知道正确答案的概率为，而乱猜的概率为．在乱猜时，4个都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确的概率是（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全概率公式，结合贝叶斯公式进行求解即可. 【详解】[设A＝“考生答对”，B＝“考生知道正确”， 由全概率公式： ． 又由贝叶斯公式： ． 故选：B 6 求值 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】 【分析】,选C. 7. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，且，则当取得最小值时，（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 【答案】B 【解析】 【分析】根据的关系，作差可得是等比数列，即可根据是递增数列，结合，即可求解. 【详解】由题意可得，当时，， 两式相减得，而，解得， 因此数列是等比数列，， 数列是递增的正项数列，，， 因此， 所以当取得最小值时，． 故选：B 8. 已知,则下列结论中错误的是（ ） A. B. ． C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求导确定函数最小值，再构造函数，求导确定的值域，即可判断. 【详解】定义域为，，当时，，单调递减， 同理当时，单调递增，，令， 则，令，解得，当时，，单增，当时，，单减， 故，故当且仅当时，，即，当时，，故A、B、D正确，C错误. 故选：C. 二、多选题 9. 2020年初以来，技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某公司统计了近5个月来手机的实际销量，如表所示：若（千部）与线性相关，且求得线性回归方程为，则下列说法错误的是（ ） 月份 1 2 3 4 5 销量 37 104 196 216 A. B. 与正相关 C. 与的相关系数为45 D. 7月份该手机商城的手机销量约为27.5万部 【答案】CD 【解析】 【分析】根据表中数据可求，代入方程可得，进而可求，根据系数可判断B,根据相关系数的范围可判断C，取可判断D 【详解】由表中数据得,代入得，故样本中心为，所以，故A正确；由于，故与正相关，所以B正确，相关系数介于，故C错误，当时，千部，即约为万部，故D错误. 故选：CD 10. （多选）已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数图象的对称轴方程为 B. 函数的最大值为2 C. 函数图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线平行 D. 方程的两个不同的解分别为，则的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】 根据函数的图象求出的值，写出的解析式，求出，写出的解析式，再判断题目中的选项是否正确. 【详解】根据函数的图象知， ∴． 根据五点法画图知， 当时，， ∵，∴，∴，∴， ∴， 令，解得， ∴函数图象的对称轴方程为，故选项A正确； 当时，函数取得最大值，故选项B错误； ，∵， ∴不存在点，使得在点处的切线与直线平行，故选项C错误； 方程，即，∴， ∴或， ∴方程的两个不同的解分别为时，的最小值为，故选项D正确， 故选：AD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是先求出的解析式，求导后得出 ，令，可以求出对称轴，由导数的几何意义可得即为某点切线的斜率，由，可知不存在切线与直线平行，由，可得或，即可判断的最小值为. 11. 已知抛物线C：的准线l与圆M：相切，P为抛物线C上的动点，N是圆M上的动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，抛物线C的焦点为F，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 存在两个P点，使得 C. 存在点P，当为正三角形时，圆M与直线PQ相交 D. 过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为D，E，若，则的面积为 【答案】BCD 【解析】 【分析】准线与圆相切，可知.对A，转化为，根据将军饮马理论可判断选项；对B，若，则，做中垂线，解出方程，与抛物线联立，解得个数，即可判断几个交点；对C，根据为正三角形，可得解得纵坐标，和圆与轴交点比较，即可判断；对D：利用抛物线的定义，结合，求出直线的斜率值，写出直线的方程，利用直线与抛物线方程联立求得的值，求解三角形的面积． 【详解】圆的圆心为，半径， 若抛物线的准线与圆相切，则，可得， 所以，. 对于选项A：根据可得， 可确定最小值为，故A错误； 对于选项B：若，则，做中垂线， 根据题意知，设为中点，则可得， 直线斜率，根据点斜式可确定为， 与抛物线联立得， ， 所以可知有两个解，所以存在两个P点，使得，故B正确； 对于选项C：根据为正三角形，所以，则， 且，所以可得，和圆与轴交点为， ，所以可知圆M与直线PQ相交，故C正确； 对于选项D：如图所示， 过点作，交直线于点，设， 由抛物线的定义知：，， 则，，， 可知：，所以直线的斜率为， 设直线的方程为，点，， 由，消去整理得， 则，可得， 则， 所以三角形的面积为，故D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：根据题意合理利用抛物线的定义：抛物线上点到焦点距离和到准线距离相等. 三、填空题 12. 的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】先写出的通项，然后找到和系数即可得出答案. 【详解】在的展开式中，其通项为， 所以项的系数为，项的系数为， 所以的展开式中的的系数为, 故答案为：. 13. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出甲获得冠军的概率，比赛进行了局的概率，根据条件概率公式，得到答案. 【详解】根据题意，甲获得冠军的概率为， 其中，比赛进行了局的概率为， 所以，在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为 . 故答案为. 【点睛】本题考查条件概率，相互独立事件概率公式，属于中档题. 14. 已知函数（，），若，，且在区间上单调，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数在区间 内的单调得出周期，进而求得，通过极值点和零点条件建立关于 和 的方程，结合 的范围筛选合理解，验证单调性即可得出结果. 【详解】设函数 的周期为 ，由， ， 结合正弦函数图象的特征可知， ， . 故 . 又因为 在区间上单调，所以， ，故 ， 所以 . 由 ，得 ，即且， 所以，当 时， ， ，或，舍. 当 时， ， ， ，符合条件. 所以 ， . 故答案为：. 四、解答题 15. 一机器可以按各种不同速度运转，其生产的产品有一些会有缺点，每小时生产有缺点的产品数随机器运转速度的不同而变化，下表为其试验数据： 速度（转/秒） 每小时生产有缺点的产品数（个） 其中：，，，. （1）画出散点图； （2）求机器运转速度与每小时生产有缺点的产品数之间的回归方程；（系数、用分数表示） （3）若实际生产所允许的每小时生产有缺点的产品数不超过件，那么机器的速度每秒不超过多少转？ （参考公式：） 【答案】（1）见解析；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据表格中的数据画出散点图； （2）将数据最小二乘法公式，得出系数、的值，可得出回归直线方程； （3）令，得出，解出不等式可得出的取值范围，从而对问题进行解答. 【详解】（1）散点图如下： （2），，，， 所以，回归系数，， 回归直线方程为； （3）若实际生产所允许的每小时生产有缺点的产品数不超过件，则， 即，解得， 实际生产所允许的每小时生产有缺点的产品数不超过件，那么机器的速度应每秒不超过转. 16. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角； （2）若的面积，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式化简可得，进而可得解； （2）由，及余弦定理，整理得，进而可得解. 【小问1详解】 由题意，. . 有. 【小问2详解】 由余弦定理，，有. 又，代入得：， 整理得：即.此时. . 17. 某课题组对全班45名同学的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示45名同学的饮食指数，说明：下图中饮食指数低于70的人被认为喜食蔬菜，饮食指数不低于70的人被认为喜食肉类. （1）根据茎叶图，完成下面列联表，并判断是否有90%的把握认为喜食蔬菜还是喜食肉类与性别有关，说明理由； （2）根据饮食指数在，，进行分层抽样，从全班同学中抽取15名同学进一步调查，记抽取的喜食肉类的女同学为，求的分布列和数学期望. 下面公式及临界值表仅供参考： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】 【分析】（1）列出列联表，利用已知条件的数据和公式计算相关参数，即可求解；（2）利用古典概型求得变量取到每个值的概率，即可得到分布列，从而进一步可求期望. 【详解】（1）列联表： 由公式：，因此没有90%的把握认为喜食蔬菜还是喜食肉类与性别有关； （2）因为从喜食肉类同学中抽取：人，所以可能取值有， ，， ，， 的分布列是： 0 1 2 3 数学期望． 18. 已知为坐标原点，椭圆过点 ，记线段的中点为． （1）若直线的斜率为 3 ，求直线的斜率; （2）若四边形为平行四边形，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）设出点M，N，Q的坐标，结合已知利用点差法计算作答. （2）当直线斜率存在时，设出其方程，与椭圆方程联立，借助向量表示点P坐标，再利用弦长公式建立函数关系并求出值域，直线斜率不存在时，计算作答. 【小问1详解】 设，则， 两式相减可得，，而， 则有，又直线斜率，因此 所以直线的斜率. 【小问2详解】 当直线不垂直于x轴时，设直线，， 由消去y并整理得：， ，，， 因四边形为平行四边形，即，则点， 而，即， 又点P在椭圆上，则，化简得，满足， 于是得，，， 则 ， 当直线垂直于x轴时，得点或，若点，点M，N必在直线上， 由得，则，若点，同理可得， 综上，的取值范围为． 19. 已知函数. （1）求的单调区间与极值； （2）若不等式对任意恒成立，求正实数的取值范围. 【答案】（1）单减区间为,的单增区间为,,无极大值.（2） 【解析】 【分析】（1）因为,定义域为,则,即可求得的单调区间与极值; （2）,故,将其化简可得,,由（1）知在上单增,,,即可求得正实数的取值范围. 【详解】（1） ,定义域为, 又,,,. 的单减区间为,的单增区间为 ,无极大值. （2） ,故 将化简可得: , . ,, 由（1）知在上单增, , ,即. 令, 令, 则, 在上单减,,, ,且在上,,,单增, 在上,,,单减. . 【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用和不等式恒成立问题.对于恒成立问题,通常利用导数研究函数的单调性,求出最值,进而得出相应的不等关系式.着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昆八中2024-025学年度下学期月考二 高二数学试卷（B卷）（答案） 一、单选题 1. 甲、乙两人计划分别从“围棋”，“篮球”，“书法”三门兴趣班中至少选择一门报名学习，若甲只选一门，且甲乙不选择同一门兴趣班，则不同的报名学习方式有（ ） A. 3种 B. 6种 C. 9种 D. 12种 2. 已知离散型随机变量服从二项分布，则（ ） A. B. C. D. 3. 某种袋装大米的质量（单位：）服从正态分布，且，若某超市购入2000袋这种大米，则该种袋装大米的质量的袋数约为（ ） A. B. C. D. 4. 对两个变量和进行回归分析,得到一组样本数据: ,…,则下列说法中不正确的是（ ） A. 由样本数据得到的回归方程必过样本中心 B. 残差平方和越小的模型,拟合的效果越好 C. 若变量和之间的相关系数为,则变量和之间具有线性相关关系 D. 用相关指数来刻画回归效果, 越小,说明模型的拟合效果越好 5. 一道考题有4个选项，要求学生将其中的一个正确选择出来．某考生知道正确答案的概率为，而乱猜的概率为．在乱猜时，4个都有机会被他选择，如果他答对了，则他确实知道正确的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 求值 A. B. C. D. 7. 记为数列前n项和，为数列的前n项积，且，则当取得最小值时，（ ） A. 11 B. 12 C. 13 D. 14 8. 已知,则下列结论中错误的是（ ） A. B. ． C. D. 二、多选题 9. 2020年初以来，技术在我国已经进入高速发展的阶段，手机的销量也逐渐上升，某公司统计了近5个月来手机的实际销量，如表所示：若（千部）与线性相关，且求得线性回归方程为，则下列说法错误的是（ ） 月份 1 2 3 4 5 销量 37 104 196 216 A. B. 与正相关 C. 与的相关系数为45 D. 7月份该手机商城的手机销量约为27.5万部 10. （多选）已知函数的图象如图所示，令，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 函数图象的对称轴方程为 B. 函数的最大值为2 C. 函数图象上存在点P，使得在P点处的切线与直线平行 D. 方程的两个不同的解分别为，则的最小值为 11. 已知抛物线C：的准线l与圆M：相切，P为抛物线C上的动点，N是圆M上的动点，过点P作l的垂线，垂足为Q，抛物线C的焦点为F，则下列结论正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 存两个P点，使得 C. 存在点P，当为正三角形时，圆M与直线PQ相交 D. 过焦点F的直线交抛物线C于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足为D，E，若，则的面积为 三、填空题 12. 的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 13. 甲乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中胜的概率为，且各局比赛结果相互独立，则在甲获得冠军的条件下，比赛进行了3局的概率为______． 14. 已知函数（，），若，，且在区间上单调，则________． 四、解答题 15. 一机器可以按各种不同速度运转，其生产的产品有一些会有缺点，每小时生产有缺点的产品数随机器运转速度的不同而变化，下表为其试验数据： 速度（转/秒） 每小时生产有缺点的产品数（个） 其中：，，，. （1）画出散点图； （2）求机器运转速度与每小时生产有缺点的产品数之间的回归方程；（系数、用分数表示） （3）若实际生产所允许的每小时生产有缺点的产品数不超过件，那么机器的速度每秒不超过多少转？ （参考公式：） 16. 在中，角所对的边分别为，且. （1）求角； （2）若面积，求. 17. 某课题组对全班45名同学的饮食习惯进行了一次调查，并用茎叶图表示45名同学的饮食指数，说明：下图中饮食指数低于70的人被认为喜食蔬菜，饮食指数不低于70的人被认为喜食肉类. （1）根据茎叶图，完成下面列联表，并判断是否有90%的把握认为喜食蔬菜还是喜食肉类与性别有关，说明理由； （2）根据饮食指数在，，进行分层抽样，从全班同学中抽取15名同学进一步调查，记抽取的喜食肉类的女同学为，求的分布列和数学期望. 下面公式及临界值表仅供参考： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 18. 已知为坐标原点，椭圆过点 ，记线段的中点为． （1）若直线的斜率为 3 ，求直线的斜率; （2）若四边形为平行四边形，求的取值范围． 19 已知函数. （1）求的单调区间与极值； （2）若不等式对任意恒成立，求正实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $