精品解析：2025河南省鲁山县西北七校九年级4月联考中考数学模拟试卷

名校之约——2025河南省中招考试模拟试卷 数学（三） 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上，答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键． 只有符号不同的两个数互为相反数，由此即可求解． 【详解】解：的相反数是， 故选：C ． 2. 2024年4月25日20时58分57秒在酒泉卫星发射中心成功发射神舟十八号载人飞船，神舟十八号载人飞船与长征二号遥十八运载火箭组合体，总重量400000多千克，总高度近60米．将400000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数，由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：C． 3. 2022年12月4日神舟十四号飞船安全返回，为了表达对神舟十四号上面三名航天员的欢迎，将“欢迎航天英雄”这六个汉字分别写在某正方体的六个表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“航”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 航 B. 天 C. 英 D. 雄 【答案】D 【解析】 【分析】通过正方体展开图形找相对面时，首先在同层中隔一面寻找，再在异层中隔两面寻找． 【详解】解：由图可得：“航”字所在面相对的面上的汉字是“雄”， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了正方体的展开图的相对面，解题的关键的掌握通过正方体展开图形找相对面时，首先在同层中隔一面寻找，再在异层中隔两面寻找． 4. 如图，用一副三角尺拼出的角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的拼组．解决问题的关键是熟练掌握一副三角尺中各个角的角度的大小． 一副三角尺有以下几个角度：，，，；．本题给出的图形是将的角和的角拼在一起，利用加法求解即可． 【详解】． 故选：B． 5. 在4，3，2，1，0，﹣，中，能使不等式3x﹣2＞2x成立的数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】直接解不等式，进而得出符合题意的个数． 【详解】解：3x﹣2＞2x， 解得：x＞2， 故符合题意的有：4，3共2个． 故选：B． 【点睛】此题考查求不等式的解集，正确解不等式是解题关键． 6. 如图，是直径，，则（　　） A. 70° B. 55° C. 35° D. 25° 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据题意得到，然后根据圆周角定理求解即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 【点睛】此题考查了圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理． 7. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根据判别式判断方程的根的情况，将方程转化为一般形式，利用根的判别式进行判断即可． 【详解】解：，整理，得：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根； 故选A． 8. 2025年央视春晚的主题为“巳巳如意，生生不息”“ 巳巳如意”寓意事事如意．将分别印有“巳”“巳”“如”“意”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“巳”的概率为（ ） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了树状图或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 先画出树状图得到所有等可能性的结果数， 再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：将“巳”“巳”“如”“意”分别用1、2、3、4表示， 画树状图如下： 由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“巳”的结果数有8种， ∴抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“巳”的概率是， 故选：A． 9. 如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂，已知，使用时，以点为支撑点，笔芯端点可绕点旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径长度为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先作交于点，然后根据等腰三角形的性质和锐角三角函数即可表示出． 【详解】解：作交于点， ， 平分，点是的中点， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了解直角三角形、等腰三角形的性质，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键． 10. 如图，在平面直角坐标系中，在第一象限，且轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，的面积为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查动点问题的函数图象，平行四边形的性质，勾股定理，根据函数图象中的数据可以分别求得平行四边形的边的长，然后根据平行四边形的面积求得边上的，然后解等腰直角三角形即可求得，得到的值，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：过作于点，分别过，作直线的平行线，交于，如图所示， 由图象和题意可得，，， ∴， ∵平行四边形的面积为， ∴， ∵直线平行直线， ∴， ∴由勾股定理得：，即的值为， 故选：． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. “”可以表示的含义很多比如可以表示：“每个小组有8人，x个小组一共有人，”你认为它还可以表示：______ ． 【答案】小明每秒跑米，x秒一共跑了米答案不唯一 【解析】 【分析】此题考查了用代数式表示实际问题的能力，根据实际问题间的数量关系列式即可求解． 【详解】由题意得，“”可以表示：小明每秒跑米，x秒一共跑了米， 故答案为：小明每秒跑米，x秒一共跑了米答案不唯一． 12. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的同学是_____．（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”） 【答案】丁 【解析】 【分析】本题考查根据方差判断稳定性，方差越小，成绩越稳定的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先分别对甲、乙、丙、丁四名同学方差作比较，找到较小的，然后即可求解； 【详解】解：∵甲、乙、丙、丁成绩的平均数相同，且， ∴成绩最稳定的同学是丁， 故答案为：丁； 13. 设A（－2，），B（1，），C（2，）是抛物线上的三点，则，，的大小关系_______（用<符号连接） 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x=-1，然后比较三个点离直线x=-1的远近得到、、的大小关系． 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线x=-1， 由A（-2，）、B（1，）、C（2，）可知点C离直线x=-1最远，点A离直线x=-1最近， 抛物线开口向下， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．对于二次函数 (a，h，k为常数，a≠0)，当a>0时，抛物线开口向上，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，此时函数有最小值；当a<0时，抛物线开口向下，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小，此时函数有最大值．其顶点坐标是(h，k)，对称轴为直线x=h． 14. 如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了不规则图形面积计算，勾股定理的逆定理，解直角三角形，先由勾股定理的逆定理得到，再解直角三角形得到，由直角三角形的性质得到，则，再根据列式求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值是_____，最小值是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】连接，过A作于M；由题意得，则可求得的长，从而由勾股定理求得；由三角形中位线定理得，当G与C重合时，最长；当G与M重合时，最短，从而可求得的最大值与最小值的差． 【详解】解：如图，连接，过A作于M； 则； ∵四边形是平行四边形，且， ∴， ∴； ∴； ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 由勾股定理得； ∵点为的中点，点为的中点， ∴； 当G与C重合时，最长且为，此时； 当G与M重合时，最短且为，此时； 故答案为：；． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，垂线段最短，三角形中位线定理．连接利用三角形中位线定理是关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，二次根式的乘法计算和负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法和零指数幂，再计算乘方和绝对值，最后计算加减法即可得到答案； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 17. 学校为了让同学们走向操场、积极参加体育锻炼，启动了“学生阳光体育运动”，张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组．在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题： 平均数 中位数 方差 张明 李亮 （1）张明第2次的成绩为_____秒； （2）张明成绩的平均数为_____秒，李亮成绩的中位数为_____秒； （3）现在从张明和李亮中选择一名成绩优秀的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理由． 【答案】（1） （2）； （3）选择张明，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了平均数，中位数，方差的意义．平均数表示一组数据的平均程度；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；方差是用来衡量一组数据波动大小的量． （1）根据统计图给出的数据可直接得出答案； （2）利用平均数的计算公式可得出张明成绩的平均数；先将李亮的成绩按照从小到大排列，然后即可得到这组数据的中位数； （3）在平均数、中位数相同的情况下，再根据方差越小数据越稳定，即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据统计图可知，张明第2次的成绩为秒， 故答案为：； 【小问2详解】 张明成绩的平均数为：（秒）； 李亮的成绩是：13.2，13.4，13.1，13.5，13.3， 把这些数从小到大排列为：，，，，， 则李亮成绩的中位数是：秒； 故答案为：，； 【小问3详解】 解：李亮的方差为： ， ∵， ∴选择张明参加比赛，因为张明和李亮成绩的平均数、中位数都相同，但张明成绩的方差小于李亮成绩的方差，张明成绩比李亮成绩稳定． 18. 如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积； （3）直接写出当时，关于的不等式的解集． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例的解析式为 （2）4 （3）或 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． （1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据的面积即可以解决问题； （3）根据图象即可解决问题． 【小问1详解】 解：将，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 将代入，得， ∴反比例的解析式为； 【小问2详解】 解：对于， 当时， ∴点D的坐标为， 由，解得或， ∴点B的坐标为， ∴的面积； 小问3详解】 解：观察图象，当时，关于x的不等式的解集是或． 19. 学习了平行四边形后，小明同学进行了拓展性研究．他发现，平行四边形相对的两个顶点到另外两个顶点所连对角线的距离相等．他的解决思路是通过证明两条垂线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点C作的垂线，垂足为F．(只保留作图痕迹) 已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，与点E． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴① ∵， ∴②． ∴③ ∴． 【答案】作图见详解；，， 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，过一点作已知直线的垂线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据过一点作已知直线的垂线的画法作图，再推理证明即可并得到结论． 【详解】解：作图如下图： 证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，，． 20. 如图1是某公司电梯安装一款人脸识别门禁（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2是其侧面示意图，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头离地面高度cm，人站在电梯内与识别门禁摄像头最远的水平距离为．即．小王的身高，当小王直立站在点处时，请通过计算说明这时小王能被识别吗？若不能，则小王最少需要下蹲多少厘米才能被识别？（参考数据：，，） 【答案】不能，小王最少需要下蹲才能被识别 【解析】 【分析】本题考查三角函数的实际应用，过点作于点，交于点，于点，于点，可得矩形和直角三角形．通过解求出，再比较与小王的身高的关系即可． 【详解】解：小王不能被识别． 理由：过点作于点，交于点，于点，于点．可得矩形和直角三角形． ，， ，． ， ． ． ∵， ∴小王不能被识别； ∵， ∴小王最少需要下蹲才能被识别． 21. 【情境探究】小明和小强做弹力球游戏．游戏规则如下：小明抛出弹力球，弹力球落地后弹起再落下，小强在某个位置放置一块接球板，若弹力球在第二次落地前碰到接球板则小强胜（球与接球板触碰），否则小明胜． 【数学建模】弹力球两次运动轨迹均可近似看成抛物线，如图所示．一次游戏过程中：小明站在起点O处抛弹力球，以O为坐标原点，水平方向直线和竖直方向直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，弹力球从离地面2米的A处抛出，第一次落地前，球在距离起点O水平距离为2m处，达到飞行最大高度为3.6m，弹力球在B处落地后再次弹起，第二次飞行的水平距离米，且飞行的最大高度为第一次的一半． 【问题解决】 （1）求弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式； （2）小强在距起点8米处放置接球板，垂直地面于点E，且m，请通过计算判断谁会获胜． 【答案】（1）； （2）小明获胜，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，掌握待定系数法是关键 （1）设弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式：，利用待定系数法求解即可； （2）先求出B坐标，再求出弹力球第二次着地前抛物线的函数表达式：，把代入，求得y的值与比较大小即可 【小问1详解】 解：由题意：设弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式：， 把代入，得：， 解得：， ∴； 小问2详解】 解：令，得，解得：， ∴， ∵，且飞行的最大高度为第一次的一半． ∴设弹力球第二次着地前抛物线的函数表达式：， 把代入得：，解得：， ∴， 把代入，得， ∵， ∴小强的接球板没有触碰到球，小明获胜 22. 根据以下素材，探索完成任务. 奶茶销售方案制定问题 素材1 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需53元． 素材2 两款奶茶配料表如下： 芝士杨梅 配料 芝士/杯 茉莉清茶/杯 杨梅肉 多肉 满杯杨梅 配料 茉莉清茶/杯 杨梅肉 多肉 素材3 5月27日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材4 由于芝士保质期将至，为了去库存，5月28日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于3500mL，配制的17500mL茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决 任务1 确定奶茶的售价 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？ 任务2 确定奶茶的成本 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是多少？（） 任务3 拟定最优方案 为了使5月28日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？ 【答案】（1）“芝士杨梅”的定价为19元，“满杯杨梅”的定价为17元；（2）“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本均为9元/杯；（3）当利润最大时，两种奶茶共制作42杯 【解析】 【分析】（1）设“芝士杨梅”的售价为x元/杯，“满杯杨梅”的定价为y元/杯，根据题意列方程求解即可； （2）设“满杯杨梅”成本为a元/杯，则“满杯杨梅”利润为元/杯，根据素材3列方程求解即可； （3）设制作m杯“芝士杨梅”和n杯“满杯杨梅”，根据素材4列方程求解正整数解，再结合获利最大即可求解． 【详解】（1）设“芝士杨梅”的售价为x元/杯，“满杯杨梅”的定价为y元/杯， 由题意得：， 解得， 答：“芝士杨梅”的定价为19元，“满杯杨梅”的定价为17元， （2）设“满杯杨梅”成本为a元/杯，则“满杯杨梅”利润为元/杯， 则“芝士杨梅”利润为元/杯， 由题意 ， 解得， 经检验满足题意， 芝士杨梅成本：（元/杯）， 答：“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本均为9元/杯； （3）设制作m杯“芝士杨梅”和n杯“满杯杨梅”， 由题意得：，变形得， ∵芝士配料不低于， ∴且m是5的倍数， ∴解得， ∵“芝士杨梅”每杯减4元则每杯利润6元，“满杯杨梅”每杯利润8元， 当时，总利润为266元， 当时，总利润为264元， ∴当利润最大时，两种奶茶共制作42杯． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、二元一次方程组及二元一次方程的应用．找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 23. 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． （1）如图1，在邻余四边形中，，则________； （2）如图2，在中，，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； （3）如图3、图4，在邻余四边形中，为中点，， ①如图3，当时，判断四边形的形状并证明你的结论； ②如图4，当，时，求的长． 【答案】（1） （2）详见解析 （3）①平行四边形，详见解析；② 【解析】 【分析】本题是四边形的综合题，涉及勾股定理，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用这些知识． （1）根据邻余四边形的定义即可求解； （2）根据垂直平分线的定义可得，，根据勾股定理可得，进而求出，再根据勾股定理的逆定理可得，推出，即可证明； （3）①由，可得，推出，根据邻余四边形的定义得到，进而得到，推出，证明，得到，即可证明；②延长到点，使，连接，，证明，得到，，根据邻余四边形的定义分两种情况讨论：当时，当时，即可求解． 【小问1详解】 解：在邻余四边形中，，且，， ， ， 故答案为：； 【小问2详解】 证明：垂直平分， ， ，， ， 在中，由勾股定理得：， ， ， ， ， ， ， 四边形是邻余四边形； 【小问3详解】 ①四边形是平行四边形，证明如下： ， ， ， ， ， ， 在邻余四边形中，， ， ， ， ， 为中点， ， 在和中， ， ， ， 由， 四边形是平行四边形； ②如下图，延长到点，使，连接，， 为中点，， 是的垂直平分线， ，， ， ， ，， 在邻余四边形中，， 可分两种情况讨论： 当时， 则， ； 当时， 则， ，与矛盾， 此种情况不存在； 综上，的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 名校之约——2025河南省中招考试模拟试卷 数学（三） 注意事项： 1．本试卷共4页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用蓝色、黑色钢笔或圆珠笔直接答在试卷上，答卷前请将密封线内的项目填写清楚． 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2025 D. 2. 2024年4月25日20时58分57秒在酒泉卫星发射中心成功发射神舟十八号载人飞船，神舟十八号载人飞船与长征二号遥十八运载火箭组合体，总重量400000多千克，总高度近60米．将400000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 2022年12月4日神舟十四号飞船安全返回，为了表达对神舟十四号上面三名航天员的欢迎，将“欢迎航天英雄”这六个汉字分别写在某正方体的六个表面上，如图是它的一种展开图，则在原正方体中，与“航”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A. 航 B. 天 C. 英 D. 雄 4. 如图，用一副三角尺拼出的角的度数为（ ） A B. C. D. 5. 在4，3，2，1，0，﹣，中，能使不等式3x﹣2＞2x成立的数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 如图，是的直径，，则（　　） A. 70° B. 55° C. 35° D. 25° 7. 一元二次方程根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 2025年央视春晚的主题为“巳巳如意，生生不息”“ 巳巳如意”寓意事事如意．将分别印有“巳”“巳”“如”“意”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“巳”的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是一把圆规的平面示意图，是支撑臂，是旋转臂，已知，使用时，以点为支撑点，笔芯端点可绕点旋转作出圆．若支撑臂与旋转臂的夹角，则圆规能画出的圆的半径长度为( ) A. B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，在第一象限，且轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被截得的线段长度与直线在轴上平移的距离的函数图象如图所示，的面积为，则的值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. “”可以表示的含义很多比如可以表示：“每个小组有8人，x个小组一共有人，”你认为它还可以表示：______ ． 12. 甲、乙、丙、丁四名同学参加立定跳远训练，他们成绩的平均数相同，方差如下：，，，，则成绩最稳定的同学是_____．（填“甲”或“乙”或“丙”或“丁”） 13. 设A（－2，），B（1，），C（2，）是抛物线上的三点，则，，的大小关系_______（用<符号连接） 14. 如图，在中，，，，点为的中点，以为圆心，为半径画弧，交于点，则图中阴影部分的面积是_____． 15. 如图，在中，，，点，分别是边，上的动点，连接，，点为的中点，点为的中点，连接，则的最大值是_____，最小值是_____． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 学校为了让同学们走向操场、积极参加体育锻炼，启动了“学生阳光体育运动”，张明和李亮在体育运动中报名参加了百米训练小组．在近几次百米训练中，教练对他们两人的测试成绩进行了统计和分析，请根据图表中的信息解答以下问题： 平均数 中位数 方差 张明 李亮 （1）张明第2次成绩为_____秒； （2）张明成绩的平均数为_____秒，李亮成绩的中位数为_____秒； （3）现在从张明和李亮中选择一名成绩优秀的去参加比赛，若你是他们的教练，应该选择谁？请说明理由． 18. 如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． （1）分别求一次函数与反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积； （3）直接写出当时，关于的不等式的解集． 19. 学习了平行四边形后，小明同学进行了拓展性研究．他发现，平行四边形相对的两个顶点到另外两个顶点所连对角线的距离相等．他的解决思路是通过证明两条垂线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空： 用直尺和圆规，过点C作的垂线，垂足为F．(只保留作图痕迹) 已知：如图，四边形是平行四边形，是对角线，与点E． 求证：． 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∴① ∵， ∴②． ∴③ ∴． 20. 如图1是某公司电梯安装的一款人脸识别门禁（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2是其侧面示意图，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头离地面高度cm，人站在电梯内与识别门禁摄像头最远的水平距离为．即．小王的身高，当小王直立站在点处时，请通过计算说明这时小王能被识别吗？若不能，则小王最少需要下蹲多少厘米才能被识别？（参考数据：，，） 21. 【情境探究】小明和小强做弹力球游戏．游戏规则如下：小明抛出弹力球，弹力球落地后弹起再落下，小强在某个位置放置一块接球板，若弹力球在第二次落地前碰到接球板则小强胜（球与接球板触碰），否则小明胜． 【数学建模】弹力球两次运动轨迹均可近似看成抛物线，如图所示．一次游戏过程中：小明站在起点O处抛弹力球，以O为坐标原点，水平方向直线和竖直方向直线分别为x轴和y轴建立平面直角坐标系，弹力球从离地面2米的A处抛出，第一次落地前，球在距离起点O水平距离为2m处，达到飞行最大高度为3.6m，弹力球在B处落地后再次弹起，第二次飞行的水平距离米，且飞行的最大高度为第一次的一半． 【问题解决】 （1）求弹力球第一次着地前抛物线的函数表达式； （2）小强在距起点8米处放置接球板，垂直地面于点E，且m，请通过计算判断谁会获胜． 22. 根据以下素材，探索完成任务. 奶茶销售方案制定问题 素材1 当下年轻人喜欢喝奶茶，在入夏之际某知名奶茶品牌店推出两款爆款水果茶“满杯杨梅”和“芝士杨梅”．每杯“芝士杨梅”的售价比“满杯杨梅”贵2元，购买1杯“芝士杨梅”和2杯“满杯杨梅”共需53元． 素材2 两款奶茶配料表如下： 芝士杨梅 配料 芝士/杯 茉莉清茶/杯 杨梅肉 多肉 满杯杨梅 配料 茉莉清茶/杯 杨梅肉 多肉 素材3 5月27日当天销售“芝士杨梅”共获利润400元，“满杯杨梅”获利润480元，其中每杯“芝士杨梅”的利润是每杯“满杯杨梅”的倍，“满杯杨梅”比“芝士杨梅”多卖20杯． 素材4 由于芝士保质期将至，为了去库存，5月28日决定对“芝士杨梅”每杯降价4元促销，并要求当天芝士消耗量不少于3500mL，配制的17500mL茉莉清茶全部用于制作“芝士杨梅”和“满杯杨梅”． 问题解决 任务1 确定奶茶的售价 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的售价是多少？ 任务2 确定奶茶成本 每杯“芝士杨梅”和“满杯杨梅”的成本是多少？（） 任务3 拟定最优方案 了使5月28日这两种奶茶获利最大，需制做“芝士杨梅”和“满杯杨梅”共多少杯？ 23. 定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形． （1）如图1，在邻余四边形中，，则________； （2）如图2，在中，，，垂直平分交于点，垂足为，且，，为上一点，求证：四边形是邻余四边形； （3）如图3、图4，在邻余四边形中，为中点，， ①如图3，当时，判断四边形的形状并证明你的结论； ②如图4，当，时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$