精品解析：2025年安徽省合肥市部分学校九年级中考三模联考数学试卷

2025年安徽省初中学业水平考试·数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共2页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的 1. 下列各数中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 1 2. 据国家医保局消息，医保码上线五年以来，截至2024年12月，累计激活量超过12亿人．将“12亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由4个大小相同的小正方体组成的几何体，若该几何体的主视图与左视图相同，则观察该几何体的主视方向不可能是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③ 5. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是的内接正三角形，五边形是的内接正五边形，若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 7. 小军和小丽两位同学乘坐合肥地铁去参观渡江战役纪念馆，已知该地铁站共有A，B，C三个出站口，小军和小丽各自随机选一个出站口出站，那么小军和小丽恰好都是从B口出站的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，D是边的中点，E是边上一点，F是所在直线上的点，若，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 9. 已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，点E为上一动点，连接，F为中点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：_________． 12. 因式分解：_________． 13. 在平面直角坐标系中，双曲线与直线，分别交于第一象限内的点A，点B，将线段，和函数的图象在A，B之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域W．若区域W有且仅有1个整点（横坐标和纵坐标都为整数的点），则k取值范围为_________． 14. 已知在菱形中，边，对角线，点是对角线上的一个动点，连接． （1）_________； （2）若，则的长为_________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：． 16. 如图，某礼物盒的上表面为矩形，其中，．小丽打算在该礼物盒上表面贴一个正方形小卡片，要求卡片下边缘到盒子下边缘的距离比卡片上边缘到盒子上边缘的距离长，且卡片右边缘到盒子右边缘的距离等于卡片上边缘到盒子上边缘的距离，同时卡片的面积为礼物盒上表面面积的，则卡片左边缘到盒子左边缘的距离为多少？ 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形（顶点为网格线的交点）和格点． （1）画出四边形关于点中心对称的四边形； （2）若将四边形向右平移个单位，平移后点的对应点到点和点的距离相等，则的值为_________． 18. 综合与实践 【实践与操作】 数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给奋进组和探究组各一盒，开展有关“形数”的探究活动．最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案： 奋进组的同学按照图①所示的方式摆放，探究组的同学按照图②所示的方式摆放 【观察与思考】 （1）先研究特殊情况，若两组都摆放5层，则奋进组共用去棋子的数量为25枚，探究组共用去棋子的数量为_________枚； （2）再探究一般情况，若摆放n层，奋进组共用去棋子的数量为_________枚，探究组共用去棋子的数量为_________枚（用含有n的式子表示）； 【拓展探究】 若奋进组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完，探究组按照图②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8枚棋子，且比奋进组多摆了4层，请计算一盒棋子的数量为多少枚． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，点为湖中心的一座湖心亭，码头在码头的正东方向，某次小明乘坐游船从码头出发，沿正东方向航行到码头，他将沿途数据记录如下： 记录一：游船在码头处测得其位置在湖心亭的南偏西方向上． 记录二：分钟后游船到达处，此时测得游船位置在湖心亭的南偏西方向上． 记录三：游船在码头处测得其位置在湖心亭的南偏东方向上． 请你根据以上信息解决问题：已知游船在航行过程中一直是匀速航行，求游船从码头到码头一共航行了多少分钟（结果精确到）． 参考数据：，，，． 20. 如图①，已知为的弦，为的半径，，与交于点D，连接，，过A点作的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）如图②，连接并延长交切线于点M，若，求的长． 六、（本题满分12分） 21. 某农业研究机构为了提升稻米的品质，培育出了一种新型的水稻品种．研究机构对种植了该品种水稻的试验田进行了详细的调查．研究人员随机选取了株成熟的水稻植株，并统计了其每株水稻上的稻谷数量（数据均为正整数，单位：粒）．以下是根据调查数据整理的部分信息： ①每株水稻上稻谷数量的频数分布直方图如图（稻谷数量用表示，数据分成组：，，，，，，，，，，． 平均数 中位数 众数 稻谷数量（单位：粒） ②这一组的数据如下： ； ③这株成熟的水稻植株每株水稻上稻谷数量的平均数、中位数、众数如表 根据以上信息，回答下列问题： （1）的值为__________，并补全频数分布直方图； （2）经统计某块试验田共有该品种水稻植株万株且均已成熟，每千粒稻谷的总质量约为克，估计这块试验田所产稻谷的总质量为多少千克？ （3）现有下面四个结论：①的值一定在这一组；②的值可能在这一组；③的值不可能在这一组：④的值不可能在这一组．其中所有正确结论的序号是_________． 七、（本题满分12分） 22. 如图①，在平行四边形中，，点E为的中点，，连接，以为斜边向右作，且点F在下方，连接，过点E作交于点G，交于点H． （1）求证：； （2）如图②，点O为的中点，连接，且． ①求证：； ②若，求的长． 八、（本题满分14分） 23. 二次函数的图象与轴交于和两点． （1）当时，． ①求，的值； ②当时，函数最大值和最小值的差为，求的值； （2）当时，若存在实数，使得恒成立，求满足条件的的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年安徽省初中学业水平考试·数学 注意事项： 1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分．“试题卷”共4页，“答题卷”共2页． 3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的． 4．考试结束后，请将“试题卷”和“答题卷”一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的 1. 下列各数中，最大的数是（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了有理数大小比较，根据正数大于0大于负数，求解即可． 【详解】∵正数大于0大于负数， ∴最大的数是1． 故选：D． 2. 据国家医保局消息，医保码上线五年以来，截至2024年12月，累计激活量超过12亿人．将“12亿”用科学记数法可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：12亿， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键．利用单项式与单项式的乘法、单项式与单项式的除法、幂的乘方运算法则，逐一计算作出判断即可． 【详解】解：A、，故本选项计算错误，不符合题意； B、，故本选项计算错误，不符合题意； C、，、不是同类型，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意； D、，故本选项计算正确，符合题意； 故选：D． 4. 如图是由4个大小相同的小正方体组成的几何体，若该几何体的主视图与左视图相同，则观察该几何体的主视方向不可能是（ ） A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ①③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从上面看到的视图． 分别按照主视方向为①②③④去分类讨论，判断对应的左视方向，画出对应的主视图与左视图判断即可． 【详解】解：主视方向为①的话，则④为左视方向， 那么主视图和左视图都为： 故①满足主视图与左视图相同，不符合题意； 主视方向为②的话，则①为左视方向， 则主视图为： 左视图为： ， 故②不满足主视图与左视图相同，符合题意； 主视方向为③的话，则②为左视方向， 则主视图和左视图都为： 故③满足主视图与左视图相同，不符合题意； 主视方向为④的话，则③为左视方向， 则主视图为： 左视图为： 故④不满足主视图与左视图相同，符合题意； 故选：C． 5. 下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式逐项分析即可得解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解此题的关键． 【详解】解：A、，故此方程没有实数根，不符合题意； B、，故此方程有两个相等的实数根，不符合题意； C、，故此方程有两个不相等的实数根，符合题意； D、，故此方程没有实数根，不符合题意； 故选：C． 6. 如图，是的内接正三角形，五边形是的内接正五边形，若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为（ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形与圆，连接、、、，由题意可得，，，由圆周角定理计算得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：连接、、、， 由题意可得：，，， ∴， ∴若线段恰好是的一个内接正n边形的一条边，则n的值为， 故选：A． 7. 小军和小丽两位同学乘坐合肥地铁去参观渡江战役纪念馆，已知该地铁站共有A，B，C三个出站口，小军和小丽各自随机选一个出站口出站，那么小军和小丽恰好都是从B口出站的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列表法或树状图法求概率，列表法可以重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．列表得出所有等可能的结果数，再从中找到符合条件的结果数，然后再用概率公式求解即可． 【详解】解：列表得： 由表格可得，共有种等可能出现的结果，其中小军和小丽恰好都是从B口出站的情况只有种， 故小军和小丽恰好都是从B口出站的概率为， 故选：C． 8. 如图，在中，，，D是边的中点，E是边上一点，F是所在直线上的点，若，，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质．利用三角形内角和定理和三角形的外角性质求得，，推出，证明，利用勾股定理求得，再利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∴． 故选：B． 9. 已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，根据反比例函数图象确定出k是负数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标确定出函数图象，从而得解． 【详解】解：∵反比例函数图象位于第二、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数图象开口向上， 又， ∴二次函数图象与y轴的交点在y轴负半轴， 对称轴为直线， ∴对称轴在y轴左边， 纵观各选项，只有A选项符合． 故选：A． 10. 如图，在矩形中，，，点E为上一动点，连接，F为中点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查含角的直角三角形、轴对称求最短距离，熟练掌握以上知识点、会添加合适的辅助线是解题的关键．由F为中点，得，过点作交的延长线于点，过点作于点，将转化为求的最小值，过点作于点，即点运动到点时，取最小值，利用等面积法即可求的值． 【详解】解：为中点， ， ， 如图所示，过点作交的延长线于点，过点作于点， 在中， ， ， ， 如图所示，连接，过点作于点，即点运动到点时，取最小值， 在矩形中，，， ，， 在中， ， ， ， ， 在中，， ， ， 则的最小值为． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂“任何不等于0的数的0次幂都等于1”、化简绝对值，熟练掌握零指数幂是解题关键．先计算零指数幂、化简绝对值，再计算减法即可得． 【详解】解： ， 故答案为：． 12. 因式分解：_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，直接提取公因式即可得解，熟练掌握提公因式法是解此题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 在平面直角坐标系中，双曲线与直线，分别交于第一象限内的点A，点B，将线段，和函数的图象在A，B之间的部分围成的区域（不含边界）记为区域W．若区域W有且仅有1个整点（横坐标和纵坐标都为整数的点），则k取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，根据题意画出图象，结合函数图象分析即可得解，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：根据题意画出图形如解图， ∵过点，过点，若区域有且仅有1个整点，则这个整点为， 故结合图象可知，当区域有且仅有1个整点时，, 故答案为：． 14. 已知在菱形中，边，对角线，点是对角线上的一个动点，连接． （1）_________； （2）若，则的长为_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）由菱形性质得，，结合勾股定理得，结合正切值的定义即可得解； （2）先证明当点在上，设，则，结合勾股定理可得，结合题中所给的得到一元二次方程，解方程后即可得解． 【详解】解：（1）如解图，连接，与交于点， 四边形是菱形， ，， ， ． （2）如解图，当点与点重合时，， 点不可能在线段上， 当点在上时，设， 则，， 由勾股定理，得， ， ， ， 解得，（舍去）， ． 故答案为：①；②． 【点睛】本题考查的知识点是菱形性质、勾股定理、求正切值、解一元二次方程，解题关键是熟练运用菱形性质解题． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 解不等式：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解此题的关键． 【详解】解：去分母得：， 去括号得：， 移项得： 合并同类项得： 系数化为1得：． 16. 如图，某礼物盒的上表面为矩形，其中，．小丽打算在该礼物盒上表面贴一个正方形小卡片，要求卡片下边缘到盒子下边缘的距离比卡片上边缘到盒子上边缘的距离长，且卡片右边缘到盒子右边缘的距离等于卡片上边缘到盒子上边缘的距离，同时卡片的面积为礼物盒上表面面积的，则卡片左边缘到盒子左边缘的距离为多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程的运用，理解图示，找出数量关系正确列式是关键． 设卡片上边缘到盒子上边缘的距离为，则卡片下边缘到盒子下边缘的距离为，结合题意得到小卡片的边长为，由此得到卡片左边缘到盒子左边缘的距离为，即可求解． 【详解】解：设卡片上边缘到盒子上边缘的距离为，则卡片下边缘到盒子下边缘的距离为， ∵卡片的面积为礼物盒上表面面积的， ∴，且小卡片为正方形， ∴小卡片的边长为， ∴， 解得， ∴卡片上边缘到盒子上边缘的距离为， ∵卡片右边缘到盒子右边缘的距离和卡片上边缘到盒子上边缘的距离相等， ∴卡片左边缘到盒子左边缘的距离为， 答：卡片左边缘到盒子左边缘的距离为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点四边形（顶点为网格线的交点）和格点． （1）画出四边形关于点中心对称的四边形； （2）若将四边形向右平移个单位，平移后点的对应点到点和点的距离相等，则的值为_________． 【答案】（1） 如下图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查的知识点是画已知图形关于某点对称的图形、利用平移性质求解，解题关键是熟练掌握中心对称图形的画法． （1）依次找出、、、的中心对称点、、、，再依次相连即可； （2）由题意得，结合图形即可得解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将四边形向右平移个单位，平移后点的对应点到点和点的距离相等， ， 结合图形可得． 故答案为：． 18. 综合与实践 【实践与操作】 数学兴趣课上，老师拿出两盒数量相同的棋子，分给奋进组和探究组各一盒，开展有关“形数”的探究活动．最终同学们经过讨论，分别设计出如下两种方案： 奋进组的同学按照图①所示的方式摆放，探究组的同学按照图②所示的方式摆放 【观察与思考】 （1）先研究特殊情况，若两组都摆放5层，则奋进组共用去棋子的数量为25枚，探究组共用去棋子的数量为_________枚； （2）再探究一般情况，若摆放n层，奋进组共用去棋子的数量为_________枚，探究组共用去棋子的数量为_________枚（用含有n的式子表示）； 【拓展探究】 若奋进组按照图①所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后恰好用完，探究组按照图②所示的方式摆放老师所给的一盒棋子，完整摆完最后一层后还剩下8枚棋子，且比奋进组多摆了4层，请计算一盒棋子的数量为多少枚． 【答案】观察与思考：（1）15；（2），；拓展探究：一盒棋子的数量为144枚． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，数字类规律探索，列代数式，正确理解题意是解题的关键． （1）摆放5层，探究组共用去棋子的数量为枚； （2）令奋进组共用去棋子的数量为：，则，两式子相加即可得到奋进组共用去棋子的数量；探究组共用去棋子的数量为：； （拓展探究）设奋进组共摆放了层，则探究组摆放了层，由题意，得，再解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）探究组共用去棋子的数量为（枚）， 故答案为：15； （2）令奋进组共用去棋子的数量为：， 则， 两式子相加得：， ∴； 探究组共用去棋子的数量为：， 故答案为：，； （拓展探究）设奋进组共摆放了层，则探究组摆放了层， 由题意，得， 解得，（舍去）， 一盒棋子的数量为（枚）， 答：一盒棋子的数量为144枚． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图，点为湖中心的一座湖心亭，码头在码头的正东方向，某次小明乘坐游船从码头出发，沿正东方向航行到码头，他将沿途数据记录如下： 记录一：游船在码头处测得其位置在湖心亭的南偏西方向上． 记录二：分钟后游船到达处，此时测得游船位置在湖心亭的南偏西方向上． 记录三：游船在码头处测得其位置在湖心亭的南偏东方向上． 请你根据以上信息解决问题：已知游船在航行过程中一直是匀速航行，求游船从码头到码头一共航行了多少分钟（结果精确到）． 参考数据：，，，． 【答案】分钟． 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形的计算，理解数量关系，掌握锐角三角函数的计算是关键． 如解图，过点作于点，由题可得，，，，设，可得，，，，结合题意即可求解． 【详解】解：如解图，过点作于点， 由题可得，，，，设， 在中，， ∴， 在中，，， ， 在中，， ∴， ，， 游船从码头到一共航行时间为（分钟）， 答：游船从码头到码头一共航行了约分钟． 20. 如图①，已知为的弦，为的半径，，与交于点D，连接，，过A点作的切线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）如图②，连接并延长交切线于点M，若，求的长． 【答案】（1） 证明：如解图，连接， 为的切线， ， ． ， ， ． ， ， ． ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）如解图，连接，由切线得到，然后求出，然后等量代换得到； （2）如解图，连接，，首先由垂径定理得到，D为的中点，然后求出平分，推出，然后证明出为等边三角形，进而解直角三角形求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如解图，连接，． ， ，D为的中点． ， ，且， ， 平分， 由（1）知， 点为的内心， 平分， ， ， ， ， ， ，即为等边三角形， ． 在中，，则，． 【点睛】此题考查了切线的性质，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 六、（本题满分12分） 21. 某农业研究机构为了提升稻米的品质，培育出了一种新型的水稻品种．研究机构对种植了该品种水稻的试验田进行了详细的调查．研究人员随机选取了株成熟的水稻植株，并统计了其每株水稻上的稻谷数量（数据均为正整数，单位：粒）．以下是根据调查数据整理的部分信息： ①每株水稻上稻谷数量的频数分布直方图如图（稻谷数量用表示，数据分成组：，，，，，，，，，，． 平均数 中位数 众数 稻谷数量（单位：粒） ②这一组的数据如下： ； ③这株成熟的水稻植株每株水稻上稻谷数量的平均数、中位数、众数如表 根据以上信息，回答下列问题： （1）的值为__________，并补全频数分布直方图； （2）经统计某块试验田共有该品种水稻植株万株且均已成熟，每千粒稻谷的总质量约为克，估计这块试验田所产稻谷的总质量为多少千克？ （3）现有下面四个结论：①的值一定在这一组；②的值可能在这一组；③的值不可能在这一组：④的值不可能在这一组．其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】（1）， 补全频数分布直方图如下： （2）千克 （3）②④ 【解析】 【分析】本题考查了频数分布直方图，中位数、众数和平均数，掌握中位数、众数和平均数的定义是解题的关键． （）求出这一组的水稻株数，进而根据中位数的定义求出的值及补全频数分布直方图即可； （）利用平均数列式求出稻谷的总质量即可； （）由频数分布直方图可知，这组的频数是，在中一共有个数字，当每个数字出现次时，总的频数为，可得一个数据若是众数，则最少出现次，据此逐项判断即可求解； 【小问1详解】 解：由频数分布直方图可得，这一组的水稻株数为， ∵， ∴中位数在这一组， ∵将这个数据按从小到大排列后第个数据为，第个数据为， ∴中位数， 故答案为：； 【小问2详解】 解：克， 克千克， 答：估计这块试验田所产稻谷的总质量为千克； 【小问3详解】 解：由频数分布直方图可知，这组的频数是，在中一共有个数字，当每个数字出现次时，总的频数为， ∴一个数据若是众数，则最少出现次， 的值有可能在任一频数不小于的组别中， 不一定在这一组，故①错误； 可能在这一组，故②正确； 可能在这一组，故③错误； 不可能在这一组，故④正确； 综上，正确结论的序号是②④， 故答案为：②④． 七、（本题满分12分） 22. 如图①，在平行四边形中，，点E为的中点，，连接，以为斜边向右作，且点F在下方，连接，过点E作交于点G，交于点H． （1）求证：； （2）如图②，点O为的中点，连接，且． ①求证：； ②若，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是平行四边形， ． 点为的中点，， 是等腰直角三角形， ，． ， ， ． ， ，D，E，F四点共圆， ． 在和中， ， ； （2）①证明：由（1）知，， ，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即为的中点， 点为的中点， ， ， ； ② 【解析】 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得．再由点为的中点， ，可得是等腰直角三角形，从而得出，．再由，可得，再得出．由，D，E，F四点共圆，可得，再证明即可； （2）①由，可得出，，再由，可得，证明，可得，即，再证明，可得出，即，再由平行线的性质可得，即可得出结论； ②先求得，由（1）得，可得，再由四边形是平行四边形，可得，可求得，再证明，可得，即，再求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②解：由（1）得，B，D，E，F四点共圆， ， 由（1）得， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 由（2）①知， ， 在等腰中，，， ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质、四点共圆、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是准确寻找相似三角形解决问题． 八、（本题满分14分） 23. 二次函数的图象与轴交于和两点． （1）当时，． ①求，的值； ②当时，函数最大值和最小值的差为，求的值； （2）当时，若存在实数，使得恒成立，求满足条件的的取值范围． 【答案】（1）①；②当或时，函数最大值和最小值的差为； （2）． 【解析】 【分析】（1）①将代入得到，结合，解二元一次方程组即可得解； ②先结合二次函数的图象与性质得到在直线左侧，随的增大而增大；在直线右侧，随的增大而减小，分三种情况考虑：当时；当时；当，时，找到各自情况的最大值和最小值即可求出的值； （2）根据根与系数的关系得，，结合可得，利用配方法可得，要使恒成立，即可得的取值范围为． 【小问1详解】 解：①将代入中，可得，即， 联立，解得； ②由①知，抛物线表达式为，则抛物线的对称轴为直线， ， 在直线左侧，随的增大而增大；在直线右侧，随的增大而减小， 当，即时，都在对称轴左侧， 此时在处，有最小值，在处，有最大值， 代入可得：，解得； 当时，都在对称轴右侧， 此时在处，有最大值，在处，有最小值， 代入可得：， 解得； 当，，即时， 此时在处，有最大值，最大值为， 若最大值与最小值差为，则最小值为， 令，则， 解得或， 若，则不在的范围内，故舍去， 若，即，则不在的范围内，故舍去， 综上所述，当或时，函数最大值和最小值的差为． 【小问2详解】 解：由题意可知，，， ， 代入可得，， ，， ， ． 恒成立， 的取值范围为． 【点睛】本题考查的知识点是求二次函数解析式、解二元一次方程组、二次函数的图象与性质、根与系数的关系、配方法的应用，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $