衔接点02 方程与不等式（知识衔接+5对点集训+综合演练）-2025年初升高数学无忧衔接（上海专用）

衔接点02 方程与不等式（知识衔接+5对点集训+综合演练） 初中阶段 高中阶段 1.分式方程的解法 2.一元一次不等式(组)的解法 3.一元二次方程的解法 4.一元二次方程根与系数的关系 5.二次函数与一元二次方程(不等式)的关系 6.分式不等式 分式的运算是高中数学中经常遇到的一种运算,比如分式不等式、分离常数法求函数取值范围以及指数运算中都会用到分式的运算. 一元一次不等式组的解法及其解集取公共部分的思想常被用在集合求交集、函数求自变量的取值范围中. 一元二次方程在中考中是必考题目,与一元二次函数及不等式密不可分,在高中也经常作为求解最值的工具出现在代数、几何模块中. 一元二次不等式,可以结合初中学习的一元二次方程和一元二次函数的图象与性质来求解,加深对因式分解方法和一元二次函数图象的理解. 分式不等式的解法主要涉及初中学过的符号法则,移项、通分等转化为不等式组来求解,一定要注意不等式的符号. 初中知识再现 1.解分式方程的步骤 ①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论. 注意：解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应进行如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母,若最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；若最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式方程的解.解分式方程时,一定要注意检验. 2.一元一次不等式(组)的解法 (1)一元一次不等式组的解集：组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分,叫做一元 一次不等式组的解集. (2)求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组.解一元一次不等式组的一般步骤： ①分别解不等式组中的每一个不等式； ②将每一个不等式的解集在数轴上表示出来,找出它们的公共部分； ③根据找出的公共部分写出这个一元一次不等式组的解集,若没有公共部分,说明这个不等式组无解. (3)①求几个一元一次不等式的解集的公共部分,通常是利用数轴来确定的,公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分. ②用数轴表示由两个一元一次不等式构成的不等式组的解集,一般可分为以下四种情况： 不等式 图示 解集 (大大取大) (小小取小) (大小小大中间找) 无解 (大大小小解不了) (4)解一元一次不等式(组)的注意事项 ①移项要变号.②不等式两边同乘(除以)一个正数,不等号不改变方向；不等式两边同乘(除以)一个 负数,不等号改变方向.③用数轴表示不等式组的解集时,有等号画实心圆点,无等号画空心圆圈. 3. 一元二次方程的解法 （1）一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根， 当时，方程有两个相等的实数根 当时，方程没有实数根． (2)解一元二次方程常用的方法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． （3）一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 高中相关知识 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式的解集 {x|x<x1，或x>x2} {x|x≠－} R 2.分式不等式的解法 类型 同解不等式 ＞0(其中a，b，c，d为常数) 或 ≤0 或 ＞k (其中k为非零实数) 移项通分转化为上述两种形式 对点集训一：分式方程 典型例题 例1．若分式的值为，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用分式的值为的条件以及分式有意义的条件建立方程组，即可得出答案. 【详解】因为分式的值为0，即， 所以，解得， 故选：C. 例2．关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是 . 【答案】且 【分析】解分式不等式，根据解为负得解. 【详解】由可得， 所以，解得且. 故答案为：且 例3.解关于x的方程产生增根，则常数m的值等于 . 【答案】 【分析】先通过去分母，将分式方程化为整式方程，再根据增根的定义得出的值，然后将其代入整式方程即可. 【详解】， 两边同乘以得，， 由增根的定义得，， 将代入得，. 故答案为：. 例4．解分式方程：. 【答案】. 【分析】方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再代入最简公分母检验即可. 【详解】方程两边乘以得：，解这个方程得：， 检验：当时，，是原方程的解, 所以原方程的解是：. 精练 1．为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行30公里的时间与乙匀速骑行25公里的时间相同，已知甲每小时比乙多骑行2公里，设甲每小时骑行公里，根据题意列出的方程正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列方程，可得答案. 【详解】设甲每小时骑行x公里，根据题意得：. 故选：C 2．用换元法解方程时，如果设，那么得到关于的整式方程为 ． 【答案】 【分析】将分式方程中的换为，则=，代入后去分母即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：且， 去分母得：． 故答案为：． 3．关于t的分式方程的解为负数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出方程的解，由分式方程的解是负数，即可确定出的范围即可. 【详解】由方程，去分母得，解得， 又由分式方程的解为负数，得到，且，所以. 故答案为：. 对点集训二：一元一次不等式组 典型例题 例1.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式组的解集表示在数轴上即可． 【详解】由得， 由得， 解集在数轴上表示为： 则不等式组的解集为． 故选：A． 例2．解不等式组：． 【答案】 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤解答即可． 【详解】 解不等式得：， 解不等式得：， 原不等式组的解集为：． 精练 1．已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则b的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，求得不等式组的解集为，结合不等式的整数解有3个即可求解. 【详解】由题意，不等式组的解集为， 因为原不等式组的整数解共有3个，所以其整数解为， 即. 故答案为：. 2．已知关于x的不等式组无解，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求解一元一次不等式组，根据不等式组无解，即可列出的不等式，求解即可. 【详解】解不等式，得：， 解不等式，得：， 又因为不等式组无解，∴，解得：， 所以的取值范围是. 故答案为：. 3．若关于x的一元一次不等式组的解为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】不等式待定系数的取值范围就是已知不等式或不等式组的解或特殊解，确定不等式中未知数的系数的取值范围. 【详解】由解得， 因为解为，所以. 故答案为：. 对点集训三：一元二次方程的解法及根与系数的关系 典型例题 例1．关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】讨论、，结合判别式列不等式求参数范围. 【详解】当，则，显然有实根，符合； 当，则只需，可得且， 综上，. 故选：B 例2．若关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算得解. 【详解】依题意，，所以. 故选：B 例3．用适当方法解方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）由配方法解一元二次方程即可； （2）由直接开平方法解一元二次方程即可. 【详解】（1）由原方程移项，得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 配方，得， ∴， ∴，． （2）由原方程有 则或， ∴，． 精练 1．若一元二次方程的两根分别为，则 ． 【答案】4 【分析】利用韦达定理可得结果. 【详解】由一元二次方程的两根分别为，可得， 由韦达定理知：，， . 故答案为：4. 2．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式可得，然后解不等式求出的取值即可． 【详解】关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即， 解得：． 故答案为：． 3．已知一元二次方程的两根为，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，，再整体代入到中，即可求解. 【详解】一元二次方程的两根为， ，， . 故答案为：. 4．解方程: (1)； (2). 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）运用因式分解法求解即可； （2）运用公式法求解即可. 【详解】（1）因为，则，解得，. （2）因为，则，可得， 所以原方程的解为， . 对点集训四：二次函数与一元二次方程(不等式)的关系 典型例题 例1．已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题可根据图像得出结果. 【详解】结合图像易知， 不等式的解集， 故选：A. 例2.已知函数，若关于的不等式的解为，则= ，= . 【答案】 【分析】根据题意得到方程的两个根为1和，将代入方程，求得，再结合一元二次不等式的解法，求得不等式的解集，即可求解. 【详解】由关于的不等式的解为， 可得对应方程的两个根为1和， 将代入方程可得，解得， 所以原不等式可化为，即，解得， 所以. 故答案为：；. 精练 1．不等式的解集为（    ） A． B． C．，或 D．，或 【答案】B 【分析】对于二次项系数是负数的一元二次不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解. 【详解】不等式可化为，解得. 故选：B. 2．已知二次函数的图像如图所示，那么方程的根是 ，不等式的解集是 【答案】 ，2 【解析】根据二次函数的图象与一元二次方程的根、一元二次不等式的解集的关系确定． 【详解】由图象知方程的根是和2，不等式的解集是． 故答案为：；． 3．若不等式的解集为，则 . 【答案】2 【分析】根据不等式的解集，结合韦达定理可解. 【详解】不等式的解集为， 和是方程的两根，，. 故答案为：2. 4．设方程的两根是，若不等式的解集是，则的值是 . 【答案】19 【分析】由不等式的解集即可确定，进而可求解； 【详解】由不等式的解集是可知： 的两根为，2， 所以，所以， 所以就是， 于是． 故答案为：19. 对点集训五：分式不等式的解法 典型例题 例1．分式不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分式不等式转化为整式不等式求解. 【详解】由，得， 即， 所以，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为： 例2.解下列分式不等式： （1）≤1； （2）<0. 【答案】（1）{或}；（2）{或}. 【分析】（1）将分式不等式转化为标准分式不等式，再转化为整式不等式，求解即可； （2）将分式不等式转化为整式不等式，求解即可. 【详解】（1）∵≤1，∴－1≤0，∴≤0，即≥0. 此不等式等价于(x－4)≥0且x－≠0，解得x<或x≥4. ∴原不等式的解集为 {或} （2）由<0得>0，此不等式等价于 (x－1)>0， 解得x<－或x>1， ∴原不等式的解集为或}. 【点睛】本题考查分式不等式的求解，注意转化为整式即可，属基础题. 精练 1．不等式的解集是 . 【答案】 【分析】将分式不等式化为整式不等式，即可求解. 【详解】不等式可化为，解得. 故答案为：. 2.不等式的解集为 . 【答案】 【分析】化分式不等式为一元二次不等式求解. 【详解】不等式化为：，即，则，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 3．关于x的分式不等式的解为 . 【答案】且 【分析】根据分式不等式的解法求得正确答案. 【详解】由得， ， 则，解得且， 所以原不等式的解集为且. 故答案为：且 4．解下列分式不等式： (1)； (2)． 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）将分式不等式转化为标准分式不等式，再转化为整式不等式，求解即可； （2）将分式不等式转化为标准分式不等式，再转化为整式不等式，求解即可； 【详解】（1）. 此不等式等价于，解得或. ∴原不等式的解集为或. （2）由，得， 此不等式等价于， 解得， ∴原不等式的解集为. 一、单选题 1．（上海宝山·开学考试）若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由二次根式有意义可得，解的根，解为正数解，进而确定的范围，注意增根时的值除外，再根据为整数，确定的值，即可求解 【详解】由去分母得：， 解得， 关于x的分式方程有正数解， 则，解得， 又是增根，当时，，即， 所以， 由二次根式有意义，则，解得， 因此且， 因为为整数， 所以可以为：， 所以符合条件的整数m的和是， 故选：D 2．（24-25高一上·上海·开学考试）关于的不等式的解集为，对于系数、、，有如下结论：①；②；③；④；⑤则结论正确的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由不等式解集中“大于取两边，小于取中间”的性质可得①错误；由韦达定理可得②错误，③正确；代入可得④错误；由二次函数的性质可得⑤正确； 【详解】对于①，因为不等式大于零的解集为，所以，故①错误； 对于②，因为方程的两个根分别为， 由韦达定理可得，故②错误； 对于③，由韦达定理可得，故③正确； 对于④，当时，可得，故④错误； 对于⑤，当时，由二次函数的性质开口向下，且在上，所以可得，故⑤正确； 故选：B. 3．（上海宝山·开学考试）关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；②；③.其中正确结论的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】列出两个方程的根与系数关系和判别式，判断①②的正误；再根据两个方程的根与系数关系，分别求得的表达式，证得和，由此判断③的正误. 【详解】设方程的两根为、，方程的两根为、. 由题意知，，所以，， 这两个方程的根都是负根，故①正确； 依题意，第一个方程的判别式， 第二个方程的判别式， ，故②正确； ，， ， 又因为、均为负整数，， ； ，， 又、均为负整数，， ，即； ，故③正确. 综上所述，正确的结论有3个. 故选：A 4．（22-23高一上·上海杨浦·开学考试）设、、是实数，，，，则、、中至少有一个值（    ） A．大于 B．等于 C．不大于 D．小于 【答案】A 【分析】由已知可得，假设、、推出矛盾结论，即可得答案. 【详解】由 假设x、y、z都不大于0，即，，，则，显然出现矛盾． 所以假设不成立，即原命题的结论x、y、z中至少有一个大于0． 故选：A 二、填空题 5．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）若一元二次方程的两个实数根分别是3､，则 . 【答案】 【分析】把代入方程求得，再由韦达定理求得另一根即得结论． 【详解】把代入一元二次方程，得，解得， 由根与系数的关系得，解得，所以. 故答案为：5． 6．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）有一个六位数，它乘以3后得六位数，则此六位数为 . 【答案】 【分析】设1后面的五位数为，列出方程，求出，写出此六位数. 【详解】设1后面的五位数为.则，解得， 所以这个六位数为. 故答案为： 7．（22-23高一上·上海黄浦·开学考试）若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是 【答案】 【分析】分别解不等式、，结合题意可得出实数的取值范围. 【详解】由可得，由可得，由题意可得. 故答案为：. 8．（22-23高一上·上海黄浦·开学考试）已知方程（是常数，）的解是或，那么方程（是常数，）的解是 【答案】或 【分析】将原方程变形为，根据题设可解得的值. 【详解】由可得， 即， 解方程，由题设可得或， 解得或. 故答案为：或. 9．（24-25高一上·上海·开学考试）已知方程的两根为，且满足，则实数 【答案】 【分析】根据题意利用韦达定理得出两根之和及两根之积的关系式，解方程即可得出结论. 【详解】由方程的两根为，得， 解得或； 由韦达定理可得， 所以， 整理可得，解得或（舍）. 故答案为： 10．（24-25高一上·上海静安·开学考试）若一元二次方程的两根分别为，则 【答案】 【分析】根据韦达定理以及方程的根，即可代入求解. 【详解】由于的两根分别为，故且， 故， 故答案为： 11．（24-25高一上·上海·开学考试）关于的方程的正整数解的个数 个． 【答案】1 【分析】先将原方程等号左边部分因式分解，可得，根据题意列举出两个正整数乘积为32的情况，考虑到因式分解后含有，在保证正整数集的条件下，可列出三个二元一次方程组，分别解方程组即可获得答案． 【详解】 ， 由题意可知， 列举出两个正整数乘积为32的情况，可以有以下三种（只是因数位置不同的算一种）， ，，， 因式分解后含有，在保证正整数集的条件下，则有， 又，，， 根据题意可列出方程组为或或， 解第一个方程组，得；解第二个方程组，得；解第三个方程组，得， 只有第三个方程组的解均为正整数，因此原方程的正整数解得个数为1个. 故答案为：1. 12．（24-25高一上·上海·开学考试）已知为方程的两实根，则 ． 【答案】 【分析】先由题意得，接着得，进而得，将其代入即可得解. 【详解】由题得， 所以，所以， 所以. 故答案为： 三、解答题 13．（22-23高一上·上海杨浦·开学考试）解方程：． 【答案】 【分析】方程变形为，然后按绝对值的定义分类讨论，去掉绝对值后平方求解． 【详解】由得， 当时，，所以， 所以（舍去）； 当时，，所以， 所以，又，所以． 14．（22-23高一上·上海徐汇·开学考试）解下列方程（组）： (1)； (2). 【答案】(1)或； (2). 【分析】（1）利用消元法解方程组得解； （2）化简得即得解. 【详解】（1）解：,由（1）得， 把代入（2）得， 当时，；当时，. 经检验满足题意. 所以原方程组的解为或. （2）解：. 原方程可以化为 所以. 经检验满足题意. 所以原方程的解为. 15．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）已知正实数，，满足：，且. (1)求的值. (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）已知等式化简得，求值式通分后可得结论； （2）作差后，凑配成非负数的和，即证． 【详解】（1）由等式， 去分母得， ， ， ∴，∵，∴， ∴，∴， ∴原式. （2）由（1）知，又，，为正实数， ， ∴ . 所以. 16．（22-23高一上·上海黄浦·开学考试）阅读下面的材料，然后解析问题： 我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的k倍的三角形叫做“k倍三角形”（k为正实数）． (1)请根据“k倍三角形”的定义填空（填“锐角”、“直角”或“钝角”） ① 当时，k倍三角形一定是 三角形； ② 当时，k倍三角形一定是 三角形． (2)探究：当时，已知为“k倍三角形”，且，，求所有满足条件的k值． (3)拓展：若是“k倍三角形”，且，，，．当时，求的值． 【答案】(1)① 直角；② 钝角； (2)2、3、5； (3) 【分析】（1）当，时，直接由三边平方关系判断三角形形状即可； （2）考虑或为斜边，先由勾股定理求出边长，再由k倍三角形的定义分情况求出即可； （3）由勾股定理结合k倍三角形的定义联立方程组，用表示出即可求解. 【详解】（1）设三角形的三边分别为，① 当时，可得，则k倍三角形一定是直角三角形； ② 当时，可得，则k倍三角形一定是钝角三角形； （2）当时，又为直角三角形，当为斜边时，则，即，解得， 又为“k倍三角形”，则或，解得（舍去）或； 当为斜边时，则，即，则，又为“k倍三角形”， 则或或，解得或或（舍去）； 综上：k的值为2、3、5； （3）由，，，可得，又是“k倍三角形”，， 则或，联立方程组可得或，解得或， 则或，即. 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衔接点02 方程与不等式（知识衔接+5对点集训+综合演练） 初中阶段 高中阶段 1.分式方程的解法 2.一元一次不等式(组)的解法 3.一元二次方程的解法 4.一元二次方程根与系数的关系 5.二次函数与一元二次方程(不等式)的关系 6.分式不等式 分式的运算是高中数学中经常遇到的一种运算,比如分式不等式、分离常数法求函数取值范围以及指数运算中都会用到分式的运算. 一元一次不等式组的解法及其解集取公共部分的思想常被用在集合求交集、函数求自变量的取值范围中. 一元二次方程在中考中是必考题目,与一元二次函数及不等式密不可分,在高中也经常作为求解最值的工具出现在代数、几何模块中. 一元二次不等式,可以结合初中学习的一元二次方程和一元二次函数的图象与性质来求解,加深对因式分解方法和一元二次函数图象的理解. 分式不等式的解法主要涉及初中学过的符号法则,移项、通分等转化为不等式组来求解,一定要注意不等式的符号. 初中知识再现 1.解分式方程的步骤 ①去分母；②求出整式方程的解；③检验；④得出结论. 注意：解分式方程时,去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中的分母为0,所以应进行如下检验： 将整式方程的解代入最简公分母,若最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；若最简公分母的值为0,则整式方程的解不是原分式方程的解.解分式方程时,一定要注意检验. 2.一元一次不等式(组)的解法 (1)一元一次不等式组的解集：组成一元一次不等式组的几个不等式的解集的公共部分,叫做一元一次不等式组的解集. (2)求不等式组的解集的过程,叫做解不等式组.解一元一次不等式组的一般步骤： ①分别解不等式组中的每一个不等式； ②将每一个不等式的解集在数轴上表示出来,找出它们的公共部分； ③根据找出的公共部分写出这个一元一次不等式组的解集,若没有公共部分,说明这个不等式组无解. (3)①求几个一元一次不等式的解集的公共部分,通常是利用数轴来确定的,公共部分是指数轴上被各个不等式解集的区域都覆盖的部分. ②用数轴表示由两个一元一次不等式构成的不等式组的解集,一般可分为以下四种情况： 不等式 图示 解集 (大大取大) (小小取小) (大小小大中间找) 无解 (大大小小解不了) (4)解一元一次不等式(组)的注意事项 ①移项要变号.②不等式两边同乘(除以)一个正数,不等号不改变方向；不等式两边同乘(除以)一个 负数,不等号改变方向.③用数轴表示不等式组的解集时,有等号画实心圆点,无等号画空心圆圈. 3. 一元二次方程的解法 （1）一元二次方程， 当时，方程有两个不相等的实数根， 当时，方程有两个相等的实数根 当时，方程没有实数根． (2)解一元二次方程常用的方法 直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法． （3）一元二次方程的根与系数的关系 如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a≠0， Δ≥0. 高中相关知识 1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)，不等式ax2＋bx＋c>0(a>0)的解的对应关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数的图象 方程的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 不等式的解集 {x|x<x1，或x>x2} {x|x≠－} R 2.分式不等式的解法 类型 同解不等式 ＞0(其中a，b，c，d为常数) 或 ≤0 或 ＞k (其中k为非零实数) 移项通分转化为上述两种形式 对点集训一：分式方程 典型例题 例1．若分式的值为，则的值等于（    ） A． B． C． D． 例2．关于x的分式方程的解是负数，则m的取值范围是 . 例3.解关于x的方程产生增根，则常数m的值等于 . 例4．解分式方程：. 精练 1．为了践行“绿色生活”的理念，甲、乙两人每天骑自行车出行，甲匀速骑行30公里的时间与乙匀速骑行25公里的时间相同，已知甲每小时比乙多骑行2公里，设甲每小时骑行公里，根据题意列出的方程正确的是（  ） A． B． C． D． 2．用换元法解方程时，如果设，那么得到关于的整式方程为 ． 3．关于t的分式方程的解为负数，则的取值范围是 . 对点集训二：一元一次不等式组 典型例题 例1.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 例2．解不等式组：． 精练 1．已知关于x的不等式组的整数解共有3个，则b的取值范围是 ． 2．已知关于x的不等式组无解，则m的取值范围是 ． 3．若关于x的一元一次不等式组的解为，则a的取值范围是 ． 对点集训三：一元二次方程的解法及根与系数的关系 典型例题 例1．关于的方程有实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C．且 D． 例2．若关于的一元二次方程的两个实数根分别为和，则的值是（    ） A． B． C． D． 例3．用适当方法解方程： (1) (2) 精练 1．若一元二次方程的两根分别为，则 ． 2．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的值为 ． 3．已知一元二次方程的两根为，则的值为 ． 4．解方程: (1)； (2). 对点集训四：二次函数与一元二次方程(不等式)的关系 典型例题 例1．已知二次函数的图像如图所示，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 例2.已知函数，若关于的不等式的解为，则= ，= . 精练 1．不等式的解集为（    ） A． B． C．，或 D．，或 2．已知二次函数的图像如图所示，那么方程的根是 ，不等式的解集是 3．若不等式的解集为，则 . 4．设方程的两根是，若不等式的解集是，则的值是 . 对点集训五：分式不等式的解法 典型例题 例1．分式不等式的解集为 ． 例2.解下列分式不等式： （1）≤1； （2）<0. 精练 1．不等式的解集是 . 2.不等式的解集为 . 3．关于x的分式不等式的解为 . 4．解下列分式不等式： (1)； (2)． 一、单选题 1．（上海宝山·开学考试）若二次根式有意义，且关于x的分式方程有正数解，则符合条件的整数m的和是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·开学考试）关于的不等式的解集为，对于系数、、，有如下结论：①；②；③；④；⑤则结论正确的数量为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（上海宝山·开学考试）关于的一元二次方程有两个整数根且乘积为正，关于的一元二次方程同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；②；③.其中正确结论的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 4．（22-23高一上·上海杨浦·开学考试）设、、是实数，，，，则、、中至少有一个值（    ） A．大于 B．等于 C．不大于 D．小于 二、填空题 5．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）若一元二次方程的两个实数根分别是3､，则 . 6．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）有一个六位数，它乘以3后得六位数，则此六位数为 . 7．（22-23高一上·上海黄浦·开学考试）若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围是 8．（22-23高一上·上海黄浦·开学考试）已知方程（是常数，）的解是或，那么方程（是常数，）的解是 9．（24-25高一上·上海·开学考试）已知方程的两根为，且满足，则实数 10．（24-25高一上·上海静安·开学考试）若一元二次方程的两根分别为，则 11．（24-25高一上·上海·开学考试）关于的方程的正整数解的个数 个． 12．（24-25高一上·上海·开学考试）已知为方程的两实根，则 ． 三、解答题 13．（22-23高一上·上海杨浦·开学考试）解方程：． 14．（22-23高一上·上海徐汇·开学考试）解下列方程（组）： (1)； (2). 15．（22-23高一上·上海浦东新·开学考试）已知正实数，，满足：，且. (1)求的值. (2)证明：. 16．（22-23高一上·上海黄浦·开学考试）阅读下面的材料，然后解析问题： 我们新定义一种三角形，两边的平方和等于第三边平方的k倍的三角形叫做“k倍三角形”（k为正实数）． (1)请根据“k倍三角形”的定义填空（填“锐角”、“直角”或“钝角”） ① 当时，k倍三角形一定是 三角形； ② 当时，k倍三角形一定是 三角形． (2)探究：当时，已知为“k倍三角形”，且，，求所有满足条件的k值． (3)拓展：若是“k倍三角形”，且，，，．当时，求的值． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$