专题08 不等式的性质（知识梳理+5对点集训+基础过关+拓展提优）-2025年初升高数学无忧衔接（上海专用）

专题08 不等式的性质 （知识梳理+5对点集训+基础过关+拓展提优） 1.学生能够准确理解并阐述不等式的基本性质，包括对称性、传递性、可加性、可乘性等，清晰区分等式性质与不等式性质的差异。​ 2.熟练掌握运用不等式的性质对不等式进行变形，如移项、乘除运算等操作，能够正确求解简单不等式，并准确表示其解集。​ 3.学会利用不等式的性质证明一些简单的代数不等式，理解证明过程中的逻辑推理和依据。 知识点01：作差比较法 不等式：用不等号将两个表达式连接起来 （1）文字叙述：如果是正数，那么；如果等于零，那么； 如果是负数，那么，反过来也对； （2）符号表示：；；； 【注意】符号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p⇔q”的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推； 知识点02：不等式性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，那么； （2）加法性质 设、、均为实数，如果a>b，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数， 如果，那么；如果，那么； （4）性质 设、均为实数，如果那么a； （5）性质 设、、均为实数，如果，则a>c－b； (不等式的移项法则) （6）性质 设、、、均为实数，如果，，那么； (同向可加性) （7）性质 设均为实数，如果，，那么； （8）性质 设、均为实数，如果，那么； （9）性质 设、均为实数，如果，那么 【注意】（1）性质（5）表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边； （2）性质（6）表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向； （3）性质（8）表明， n个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向； 知识点03：不等式性质（定理） 1、有关不等式的“定理” 对任意的实数a和b，总有a2＋b2≥2ab，且等号当且仅当a＝b时成立； 2、有关不等式的“定理”的拓展 （1）算术平均值与几何平均值：给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数 称为a，b的几何平均值； （2）均值不等式：如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立； 【注意】1、两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的；前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)； 2、两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”。 对点集训一：由已知条件判断所给不等式是否正确 典型例题 例1．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】取特殊值，结合不等式性质判断. 【详解】对于A：取，，满足，但不满足，故A错误； 对于B：取，，满足，但不满足，故B错误； 对于C：因为 ，则，又，所以，故C正确； 对于D：取，则，故D错误； 故选：C 例2．（25-26高一上·上海·单元测试）如果，，那么下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】利用特殊值判断A、B、C，根据不等式的性质判断D. 【详解】对于A、B，若，，则，不成立，故AB错误； 对于C，若，，则不成立，故C错误； 对于D，因为，，所以，故D正确. 故选：D 例3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，，，则之间的大小关系是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据绝对值的定义对分类讨论，首先对有一个为0进行分析，然后按同号、异号进行分析可得． 【详解】，时，，，时，，， 同号时，，因此， 时，，时，，或，因此， 异号时，时，，时，，或， ，，因此有， 综上，， 故选：D． 例4．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）已知，有四个推理：①；②；③；④，其中所有错误的序号是 【答案】①②④ 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质或取特殊值依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于①，当时，显然不等式不成立，故①错误； 对于②，当时，满足，不满足，故②错误； 对于③，由，则，即，故③正确； 对于④，由得同号，故当时，等价于，故，故④错误. 故答案为：①②④. 精练 1．（24-25高一上·上海·期中）若，且满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】由不等式的基本性质和特殊值法即可判断结果. 【详解】当时，，A选项错误； 当，时，，，，B选项错误； ∵且，∴，C选项正确； 当时，，D选项正确. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质，对选项逐个分析即可. 【详解】对于A，取，，，，此时，， 则有，所以A错误； 对于B，若，则，，有，所以B错误； 对于C，由，有，，又因为， 从而，所以C正确； 对于D，若，若，同号，则有；若，异号，则有，所以D错误. 故选：C 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】利用特殊值法可判断ABC选项，利用不等式的基本性质可判断D选项. 【详解】对于A选项，若，不妨取，，则，A错； 对于B选项，若，不妨取，，则，B错； 对于C选项，若，不妨取，，则，C错； 对于D选项，若，则，由不等式的基本性质可得，D对. 故选：D. 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，，则下列命题哪些是正确的 ． ①若，则；②若，则；③若，则；④若，，，，则，；⑤若，，则；⑥已知且，则． 【答案】①②③⑥ 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质、函数的单调性、特殊值等知识确定正确答案. 【详解】①，若，则，所以，所以①正确. ②，若，两边平方得，所以②正确. ③，当时，函数单调递减， 所以若，则，所以③正确. ④，若，，，，则可能，所以④错误. ⑤，若，，如，有，所以⑤错误. ⑥，已知且，所以， 由两边乘以正数，得，所以⑥正确. 故答案为：①②③⑥ 对点集训二：由不等式的性质比较数（式）大小 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·期末）若，，则一定有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用不等式的基本性质即可判断． 【详解】因为，所以，又， 所以，所以：. 故选：C 例2．（24-25高一上·上海·期中）已知都是实数，则下列命题中，真命题是（   ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 【答案】D 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】特殊值验证A，B，C；不等式性质验证D. 【详解】对于A，若时，不成立，故A错误； 对于B，若时，不成立，故B错误； 对于C，若时，无意义，不成立，故C错误； 对于D，因为，所以，所以成立，故D正确. 故选：D 例3．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若，则下列结论中正确的序号是 （1） （2）    （3）    （4） 【答案】（1）（2）（3） 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的基本性质判断即可. 【详解】因为，所以， 则，，，，故（1）（2）（3）正确，（4）错误. 故答案为：（1）（2）（3）. 精练 1．（24-25高一上·上海·期中）已知、、，则下列推理中正确的是（   ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的基本性质或取特殊值依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，由，又， 所以，即，故C正确； 对于D，当时，满足，， 而，故D错误. 故选：C. 2．（24-25高一上·上海·期中）下列结论成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】由不等式的性质及特例逐个判断即可. 【详解】对于A，当时，不成立； 对于B，取，满足，显然不成立； 对于C，取，满足，显然不成立； 对于D，由，可得，所以成立. 故选：D 3．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）已知，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据特值法可排除，，，根据在上单调递增，可判断项. 【详解】当时，，故错误； 当，时，，故错误； 因为在上单调递增，且，所以，故正确； 当，时，，故错误. 综上，正确的为. 故选：. 对点集训三： 作差法比较代数式的大小 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·期中）如果，那么下列不等式恒成立的为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】根据作差法判断各选项的真假. 【详解】对A：因为，因为，所以，则，所以，故A错误； 对B：因为，因为，所以，则，所以，故B错误； 对C：，因为，所以，但，的符号均不能确定，所以的大小不确定，故C错误； 对D：因为，因为，所以，，所以，所以，故D正确. 故选：D 例2．（24-25高一上·上海·期中）若，设 ,则的大小关系为 . 【答案】 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】作差计算，根据差值即可比较大小. 【详解】由题恒成立， 所以. 故答案为：. 例3．（24-25高一上·上海·期中）设为实数，比较与的值的大小； 【答案】 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】根据作差比较法即可得解. 【详解】因为 ，当时等号成立， 所以. 精练 1．（24-25高一上·上海·期中）英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意非零实数和，若，则下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法判断各选项的准确性. 【详解】对A：因为，又，但符号不定，故未必成立，故A错误； 对B：因为，又，但符号不定，故未必成立，故B错误； 对C：因为，由，根据题意有，所以，故成立，故C成立； 对D：因为，由，但，的符号均不能确定，所以未必成立，故D错误. 故选：C 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，则的大小关系为 . 【答案】 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】借助作差法后配方即可得. 【详解】， 故. 故答案为：. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）设a、b为实数，比较与的值的大小. 【答案】 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法得到，进而即可比较. 【详解】由， 又a、b为实数，，，则， 所以. 对点集训四：由不等式的性质证明不等式 典型例题 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，．求证：． 【知识点】由不等式的性质证明不等式 【分析】利用不等式的性质求证即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 即， 即 例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，求证． 【知识点】由不等式的性质证明不等式 【分析】由不等式的性质直接证明即可. 【详解】证明：因为，，所以， 又因为，，所以， 由不等式传递性，． 例3.已知，，求证：. 【知识点】由不等式的性质证明不等式 【分析】根据条件先得到，然后将其变形为分式结构的不等式，最后化简并完成证明. 【详解】证明：∵，，∴， 又∵，∴，∴，∴. 【点睛】本题考查利用不等关系完成证明，主要考查学生灵活运用不等式性质的能力，难度较易. 例4（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 【知识点】由不等式的性质证明不等式 【分析】（1）（2）利用不等式的性质推理即得. 【详解】（1）由，得，则， 又，则，即， 不等式两边同乘，得， 而，所以． （2）由，，得，即， 又，所以． 精练 1.若，，求证：． 【知识点】由不等式的性质证明不等式 【解析】要证，只要证即可，所以利用作差法证明即可 【详解】解：因为， 所以， 因为，所以， 所以， 所以， 所以 【点睛】此题考查利用不等式的性质证明不等式，属于基础题 2．（1）已知，，求证：； （2）已知，求证：，其中为正整数. 【知识点】由不等式的性质证明不等式 【分析】（1）首先由不等式的同向同正可乘得到，，利用不等式的传递性，得. （2）上文下用，反复利用（1）的结论即可证明不等式. 【详解】（1），，由不等式的传递性，得. （2）将（1）结论中的换成，换成，就得到 结合，再次利用（1）的结论，可得，反复运用（1）的结论，最终就得到. 3．（2023高一·上海·专题练习）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 【知识点】由不等式的性质证明不等式 【分析】根据不等式的基本性质，逐项推理、运算，即可求解. 【详解】（1）因为，可得，所以， 又因为，可得. （2）因为，所以， 又因为，所以，可得， 因为，根据不等式的性质，可得，即以. （3）因为，要证，只需证明， 展开得，即，即， 又因为，所以. 对点集训五：利用不等式求值或取值范围 典型例题 例1．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，，则的范围是 . 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出范围. 【详解】由，，得. 所以的范围是. 故答案为： 例2．（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知为实数，满足，则等号成立的条件是 . 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】利用平方数的性质及已知确定等号成立条件. 【详解】由，当且仅当时等号成立， 所以等号成立的条件是. 故答案为： 例3．如果，则 （1）的取值范围是 ；（2）的取值范围是 ； （3）的取值范围是 ；（4）的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据，的范围，结合不等式的性质求出即可． 【详解】由①，②， 得：，, 由②得：③， 由①③得：， 由②得：④， 由①④得：． 故答案为：，，， 例4.已知，，求及的取值范围． 【答案】，. 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出范围即可. 【详解】由，得，又，所以； 由，，得，，所以. 精练 1．（24-25高一上·上海杨浦·期中）若实数x，y均在[-2，1]的区间内，则xy的取值范围为 . 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据的符号分类讨论，再利用不等式的性质求范围. 【详解】由题意得，； 当，时，； 当，时，，，此时； 当，时，，所以，即； 当，时，，所以，即； 当或时，； 综上所述： 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围为 . 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据不等式的性质得解. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·期中）若，，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据不等式的性质直接得出结果. 【详解】由， 得，即. 故答案为： 4.已知-2<a≤3，1≤b<2，试求下列代数式的取值范围． （1）|a|；（2）a+b；（3）a-b；（4）2a-3b． 【答案】（1）；（2）-1<a+b<5；（3）-4<a-b≤2；（4）-10<2a-3b≤3． 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】(1)利用绝对值的意义求解即得； (2)利用不等式加法法则求解即得； (3)先由不等式性质求出-b的范围，再用不等式加法法则求解即得； (4)先由不等式性质求出2a和-3b的范围，再用不等式加法法则求解即得. 【详解】（1）因-2<a≤3，则当-2<a<0时，|a|=-a∈(0，2)，当0≤a≤3时，|a|=a∈[0，3]， 所以|a|∈[0，3]； （2）因-2<a≤3，1≤b<2，由不等式加法法则知，-1<a+b<5， 所以-1<a+b<5； （3）因1≤b<2，则-2<-b≤-1，又-2<a≤3，由不等式加法法则知，-4<a-b≤2， 所以-4<a-b≤2； （4）由-2<a≤3得-4<2a≤6，由1≤b<2得-6<-3b≤-3，将两个不等式相加得，-10<2a-3b≤3， 所以-10<2a-3b≤3. 一、单选题 1．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若，则下列不等式中不成立的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】ABD选项，由不等式的性质得到；C选项，可举出反例. 【详解】A选项，因为，所以，不等式两边同加上得，故A正确； B选项，因为，所以，不等式两边同除以， 则，B正确； C选项，不妨设，则，故，C错误； D选项，因为，所以，即，D正确. 故选：C 2．（23-24高一上·上海杨浦·期末）设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式性质逐个选项判断即可. 【详解】对A，，则，即，故A错误； 对B，，则，则，故B错误； 对C，，则，故C错误； 对D，，则，故D正确. 故选：D 3．（23-24高一上·上海松江·期末）已知，设，则与的值的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当时等号成立，故. 故选：D 4．（24-25高一上·上海·期末）若下列不等式中：①；②；③； ④，成立的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质一一判断即可. 【详解】因为，所以，故①错误； ，故②正确； ，即，所以，故③错误； 因为，所以，故④错误； 故选：A 5．（24-25高一上·上海虹口·期末）设为实数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】A 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式的性质判断得解. 【详解】由，得；反之，，可以为， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 二、填空题 6．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】根据不等式的性质求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以，所以，所以， 所以的取值范围是. 故答案为： 7．（24-25高一上·上海·期末）已知是正实数，那么“”是“”的 条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）. 【答案】充要 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】由是正实数，可知，进而化简可得结果. 【详解】因为是正实数， 所以，, 所以“”是“”的充要条件. 故答案为：充要 三、解答题 8．（24-25高一上·上海·单元测试）已知且，比较与的大小． 【知识点】作差法比较代数式的大小 【分析】利用作差法比较大小，在定号时，需要进行分类讨论. 【详解】∵， ∴当时，，，则，即； 当时，，，则，即． 综上，时，；时，． 9．（24-25高一上·上海浦东新·期中）（1）对于实数x，比较与的大小； （2）对于实数x，比较与4的大小. 【答案】（1）；（2） 【知识点】作差法比较代数式的大小、分类讨论解绝对值不等式 【分析】（1）根据题意，由作差法代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，分类讨论去掉绝对值符号，即可得到大小关系. 【详解】（1）， 即； （2）， 令， 当时，， 当时，； 当时，； 当时，， 当时，； 综上所述，. 10．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）（1）已知，比较与的大小； （2）已知，，若，求证：和中至少有一个大于. 【答案】（1）；（2）证明见详解 【知识点】作差法比较代数式的大小、反证法证明 【分析】（1）运用作差比较法，结合配方法进行比较大小即可； （2）用反证法，假设，，推出矛盾，即得证. 【详解】（1）， . （2）假设，， ，，， ， 两式相加得，，这与矛盾，所以假设错误. 所以和中至少有一个大于. 一、单选题 1．（24-25高一上·上海闵行·期中）如果实数a，b，c满足且.那么下列选项中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】根据不等式的性质判断ABD成立，取特殊值及不等式性质可分析C不一定成立. 【详解】由且，可知， 因为，所以成立， 因为，，所以成立， 当时，显然不成立，当时，成立， 因为，，所以成立.\ 由以上分析知，C不一定成立，ABD成立. 故选：C 2．（24-25高一上·上海·期中）若、、，则下列条件中，使“”成立的充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、判断命题的充分不必要条件 【分析】根据不等式的性质逐项分析判断； 【详解】选项A：可以推出，充要条件，选项错误； 选项B：解得，推不出，是“”成立的必要不充分条件，选项错误； 选项C：可以推导出，但是时不成立，是“”成立的充分非必要条件，选项正确； 选项D：,当时，不成立，选项错误； 故选：C. 3．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知非零实数a、b满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小、由已知条件判断所给不等式是否正确 【分析】运用不等式的性质，结合特殊值法和作差法比较大小，对每个选项逐一分析判断其是否一定成立. 【详解】对于A选项，对于，即.当，时，，，此时，所以不一定成立.故A错误. 对于B选项，对于.当，时，满足，此时，，，所以不一定成立. 故B错误. 对于C选项，对于.因为，又恒大于，已知，即，所以，即一定成立. 故C正确. 对于D选项，对于.当，时，满足，但，，，所以不一定成立.故D错误. 故选：C. 二、填空题 4．（23-24高一上·上海·期中）已知，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】将改写成的形式，利用不等式性质即可求得其范围为. 【详解】可令， 即，解得， 所以， 又，所以， 即，可得； 所以的取值范围是. 故答案为： 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，定义：表示不小于x的最小整数，如：，，，若，则x的取值范围是 . 【答案】 【知识点】利用不等式求值或取值范围 【分析】由，得，再对进行分类讨论，解不等式即可. 【详解】由，得，即. 当时，，矛盾，舍去； 当时，，满足题意； 当时，，矛盾，舍去. 同理可知，当或时不合题意， 所以x的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题 6．（24-25高一上·上海闵行·阶段练习）解决下列问题： (1)已知、，设，．比较与的大小； (2)已知命题：如果实数、为正数，且满足，则和中至少有一个成立．判断命题是否正确，并说明理由； (3)请根据矩形图表信息，补齐不等式______．（其中，，，都为正数）并给出它的代数证明． 【答案】(1) (2)命题正确，证明见解析 (3)，证明见解析 【知识点】作差法比较代数式的大小、反证法证明 【分析】（1）利用作差法，将与比较大小，将式子化简即可； （2）利用反证法，假设都不成立，化简后和已知条件发现矛盾，即可证明； （3）利用作差法，将与比较大小，将式子化简即可. 【详解】（1）因为 ， 所以，即 （2）命题正确 用反证法证明如下： 假设和都不成立， 则且， 由已知，实数、为正数实数， 所以且， 故，可得， 与已知矛盾，故假设不成立， 所以和中至少有一个成立． （3）不等式的右侧填，证明如下： 又因为 所以 因为，，，都为正数，所以 所以， 即，原式得证. 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）解决下列问题： (1)设，比较与的大小； (2)若，，用反证法证明：和中至少有一个大于． 【答案】(1)； (2)证明见解析． 【知识点】作差法比较代数式的大小、反证法证明 【分析】（1）用作差法比较大小； （2）假设和中都不大于，即，，两个不等式分别乘以它们的公分母后相加得出与已知矛盾的结论，从而可完成证明． 【详解】（1）∵，∴， ∴ ∴； （2）假设和中都不大于，即，， 因为，所以，， 两式相加得，即，与已知矛盾， 所以假设错误，从而和中至少有一个大于． 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：，之间的大小关系，并说明理由； (3)已知正整数满足条件：对集合内的每个元素，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求的最小值. 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)4045 【知识点】集合新定义、作差法比较代数式的大小 【分析】（1）根据新定义，代入计算判断即可； （2）根据新定义得到，再利用不等式的性质利用作差法判断即可； （3）由题意得到，，进而得到，从而求出最小值. 【详解】（1）由于，不满足"下位序列"的概念，所以不是“下位序列”. （2）均为正数，由是的“下位序列”，得，即， 则，即， ，即， 所以. （3）由是的“下位序列”，得， 即，则， 由是的“下位序列”，得， 即，则， 所以， 则，又对集合内的每个均成立， 则， 所以正整数的最小值为4045. 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义“下位序列”，解题时要充分利用这个定义构造不等关系，结合不等式的性质求解. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08 不等式的性质 （知识梳理+5对点集训+基础过关+拓展提优） 1.学生能够准确理解并阐述不等式的基本性质，包括对称性、传递性、可加性、可乘性等，清晰区分等式性质与不等式性质的差异。​ 2.熟练掌握运用不等式的性质对不等式进行变形，如移项、乘除运算等操作，能够正确求解简单不等式，并准确表示其解集。​ 3.学会利用不等式的性质证明一些简单的代数不等式，理解证明过程中的逻辑推理和依据。 知识点01：作差比较法 不等式：用不等号将两个表达式连接起来 （1）文字叙述：如果是正数，那么；如果等于零，那么； 如果是负数，那么，反过来也对； （2）符号表示：；；； 【注意】符号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p⇔q”的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推； 知识点02：不等式性质 （1）传递性 设、、均为实数，如果，那么； （2）加法性质 设、、均为实数，如果a>b，那么； （3）乘法性质 设、、均为实数， 如果，那么；如果，那么； （4）性质 设、均为实数，如果那么a； （5）性质 设、、均为实数，如果，则a>c－b； (不等式的移项法则) （6）性质 设、、、均为实数，如果，，那么； (同向可加性) （7）性质 设均为实数，如果，，那么； （8）性质 设、均为实数，如果，那么； （9）性质 设、均为实数，如果，那么 【注意】（1）性质（5）表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边； （2）性质（6）表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向； （3）性质（8）表明， n个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向； 知识点03：不等式性质（定理） 1、有关不等式的“定理” 对任意的实数a和b，总有a2＋b2≥2ab，且等号当且仅当a＝b时成立； 2、有关不等式的“定理”的拓展 （1）算术平均值与几何平均值：给定两个正数a，b，数称为a，b的算术平均值；数 称为a，b的几何平均值； （2）均值不等式：如果a，b都是正数，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立； 【注意】1、两个不等式a2＋b2≥2ab与≥成立的条件是不同的；前者要求a，b是实数即可，而后者要求a，b都是正实数(实际上后者只要a≥0，b≥0即可)； 2、两个不等式a2＋b2≥2ab和≥都是带有等号的不等式，都是“当且仅当a＝b时，等号成立”。 对点集训一：由已知条件判断所给不等式是否正确 典型例题 例1．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）若，，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 例2．（25-26高一上·上海·单元测试）如果，，那么下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 例3．（24-25高一上·上海浦东新·期中）已知，，，则之间的大小关系是（   ）. A． B． C． D． 例4．（24-25高一上·上海长宁·开学考试）已知，有四个推理：①；②；③；④，其中所有错误的序号是 精练 1．（24-25高一上·上海·期中）若，且满足，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列命题是真命题的为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若且，则 D．若，则 3．（24-25高一上·上海·阶段练习）下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，，则下列命题哪些是正确的 ． ①若，则；②若，则；③若，则；④若，，，，则，；⑤若，，则；⑥已知且，则． 对点集训二：由不等式的性质比较数（式）大小 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·期末）若，，则一定有（    ） A． B． C． D． 例2．（24-25高一上·上海·期中）已知都是实数，则下列命题中，真命题是（   ） A．若，则． B．若，则． C．若，则． D．若，则． 例3．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）若，则下列结论中正确的序号是 （1） （2）    （3）    （4） 精练 1．（24-25高一上·上海·期中）已知、、，则下列推理中正确的是（   ） A． B． C．， D．， 2．（24-25高一上·上海·期中）下列结论成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．（24-25高一上·上海杨浦·阶段练习）已知，且，则下列不等式正确的是（    ） A． B． C． D． 对点集训三： 作差法比较代数式的大小 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·期中）如果，那么下列不等式恒成立的为（   ）． A． B． C． D． 例2．（24-25高一上·上海·期中）若，设 ,则的大小关系为 . 例3．（24-25高一上·上海·期中）设为实数，比较与的值的大小； 精练 1．（24-25高一上·上海·期中）英国数学家哈利奥特最先使用“”和“”符号，并逐渐被数学接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意非零实数和，若，则下列命题是真命题的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，则的大小关系为 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）设a、b为实数，比较与的值的大小. 对点集训四：由不等式的性质证明不等式 典型例题 例1．（23-24高一·上海·课堂例题）已知，．求证：． 例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，，求证． 例3.已知，，求证：. 例4（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，求证：； （2）已知，，，求证：． 精练 1.若，，求证：． 2．（1）已知，，求证：； （2）已知，求证：，其中为正整数. 3．（2023高一·上海·专题练习）（1）已知，求证：； （2）已知，求证： （3）已知，求证： 对点集训五：利用不等式求值或取值范围 典型例题 例1．（24-25高一上·上海宝山·期中）已知，，则的范围是 . 例2．（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知为实数，满足，则等号成立的条件是 . 例3．如果，则 （1）的取值范围是 ；（2）的取值范围是 ； （3）的取值范围是 ；（4）的取值范围是 . 例4.已知，，求及的取值范围． 精练 1．（24-25高一上·上海杨浦·期中）若实数x，y均在[-2，1]的区间内，则xy的取值范围为 . 2．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围为 . 3．（24-25高一上·上海·期中）若，，则的取值范围是 . 4.已知-2<a≤3，1≤b<2，试求下列代数式的取值范围． （1）|a|；（2）a+b；（3）a-b；（4）2a-3b． 一、单选题 1．（23-24高一上·上海黄浦·期中）若，则下列不等式中不成立的是（    ）. A． B． C． D． 2．（23-24高一上·上海杨浦·期末）设，则下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·上海松江·期末）已知，设，则与的值的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·期末）若下列不等式中：①；②；③； ④，成立的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 5．（24-25高一上·上海虹口·期末）设为实数，则“”是“”的（    ）条件. A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 二、填空题 6．（24-25高一上·上海·期中）已知，则的取值范围是 ． 7．（24-25高一上·上海·期末）已知是正实数，那么“”是“”的 条件（填“充要”、“充分非必要”、“必要非充分”、“既不必要也不充分”）. 三、解答题 8．（24-25高一上·上海·单元测试）已知且，比较与的大小． 9．（24-25高一上·上海浦东新·期中）（1）对于实数x，比较与的大小； （2）对于实数x，比较与4的大小. 10．（24-25高一上·上海宝山·阶段练习）（1）已知，比较与的大小； （2）已知，，若，求证：和中至少有一个大于. 一、单选题 1．（24-25高一上·上海闵行·期中）如果实数a，b，c满足且.那么下列选项中不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·期中）若、、，则下列条件中，使“”成立的充分非必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海宝山·期末）已知非零实数a、b满足，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24高一上·上海·期中）已知，则的取值范围是 ． 5．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，定义：表示不小于x的最小整数，如：，，，若，则x的取值范围是 . 三、解答题 6．（24-25高一上·上海闵行·阶段练习）解决下列问题： (1)已知、，设，．比较与的大小； (2)已知命题：如果实数、为正数，且满足，则和中至少有一个成立．判断命题是否正确，并说明理由； (3)请根据矩形图表信息，补齐不等式______．（其中，，，都为正数）并给出它的代数证明． 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）解决下列问题： (1)设，比较与的大小； (2)若，，用反证法证明：和中至少有一个大于． 8．（24-25高一上·上海·阶段练习）对于四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：，之间的大小关系，并说明理由； (3)已知正整数满足条件：对集合内的每个元素，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求的最小值. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$