专题12 对数（知识梳理+5对点集训+基础过关+拓展提优）-2025年初升高数学无忧衔接（上海专用）

专题12 对数（知识梳理+5对点集训+基础过关+拓展提优） 1.理解对数的概念及运算性质，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．(重点、难点) 2．理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．(重点) 3．理解常用对数、自然对数的概念及记法. 4．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点) 5．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点) 知识点01：对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数a的范围是a>0，且a≠1. 知识点02：常用对数与自然对数 知识点03:对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0，且a≠1)． 知识点04:对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 知识点05:对数的换底公式 若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0， 则有logab＝. 对点集训一：对数的概念判断与求值 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·课前预习）对数的性质 当，且时： ①零和负数没有对数； ② ；③ ④ ；⑤ 【答案】 0 1 【知识点】对数的概念判断与求值 例2．（24-25高一上·上海·课前预习）特殊对数 （1）常用对数：以10为底的对数称为 ，通常记为 ； （2）自然对数：以无理数（的值约为2.71828…）为底的对数称为 ，通常记为 ． 【答案】 常用对数 自然对数 【知识点】对数的概念判断与求值 例3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】利用对数的定义，列出不等式组并求解即得. 【详解】依题意，，解得且， 所以的取值范围是. 故答案为： 例4．（24-25高一上·上海·期中）关于的方程的解集为 ． 【答案】 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】整理可得，结合对数解方程即可. 【详解】因为，可得， 所以方程的解集为. 故答案为：. 精练 1．（22-23高一上·上海徐汇·期中）若，则的取值范围是 . 【答案】 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】利用对数中底数和真数的范围，可得出关于的不等式组，即可解得实数的值. 【详解】对于等式，有，解得且， 因此，的取值范围是. 故答案为：. 2．（23-24高一上·上海奉贤·期中）对数式中的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】根据题意，由条件列出不等式，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，解得，所以的取值范围为. 故答案为： 3．（22-23高一上·上海浦东新·期中）若，则 . 【答案】 【知识点】对数的概念判断与求值 【分析】由对数的概念运算求解即可. 【详解】由对数运算的定义，有 ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：. 对点集训二：指数式与对数式的互化 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 【答案】 ； ； ； . 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】运用指对互化规则，“底不变，其他换”即可解题. 【详解】运用指对互化规则，“底不变，其他换”得到. （1），指数式为； （2），指数式为； （3），对数式为； （4），对数式为. 故答案为：；；；. 例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】根据指数式和对数式的互换公式直接得出答案： 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）. 例3．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）方程的解 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】由对数式转化为指数式，解方程，可得答案. 【详解】由，则，解得. 故答案为：. 例4．（23-24高一上·上海·期中）若，则 . 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】由指对互化的公式求解即可. 【详解】将两边同时取以2为底的对数，则， 所以， 故答案为：. 例5．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，则 ． 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】利用对数与指数的互化可得出的值. 【详解】因为，则，所以，. 故答案为：. 例6．（24-25高一上·上海·期中）已知，，则的值为 . 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化、指数幂的运算 【分析】将对数式化成指数式，利用指数幂的运算计算即可. 【详解】因为，所以， 因为，所以. 故答案为: 精练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则 ． 【答案】2 【知识点】简单的对数方程、指数式与对数式的互化 【分析】由对数和指数的互化求解即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：2 2．若，则 ；若，则 . 【答案】 / 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】根据指数和对数的概念直接求解即可. 【详解】由指数和对数的概念可得若，则， 若，则， 故答案为：； 3．（24-25高一上·上海·期中）指数式化成对数式为 ． 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】根据指数式与对数式互化关系即可求解. 【详解】因为，所以. 故答案为： 4．（24-25高一上·上海·期中）已知，则实数 . 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】根据指数式与对数式的互化得解. 【详解】因为， 所以，解得或（由底数为正数，舍去）， 故答案为： 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），对数式为 ； （2），对数式为 ； （3），指数式为 ； （4），指数式为 ． 【答案】 ； ； ； . 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】运用指对互化规则，“底不变，其他换”，即可转化. 【详解】运用指对互化规则，“底不变，其他换”得到. （1），对数式为； （2），对数式为； （3），指数式为； （4），指数式为. 故答案为：；；；. 对点集训三： 对数的运算 典型例题 例1．（24-25高一上·上海金山·期末）设，，用a，b表示的结果为 . 【答案】 【知识点】对数的运算 【分析】由对数的运算性质即可得解. 【详解】. 故答案为：. 例2．（24-25高一上·上海·期末）已知，则 ． 【答案】 【知识点】对数的运算 【分析】根据对数运算求得正确答案. 【详解】依题意，，所以. 故答案为： 例3．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则用表示为 ． 【答案】 【知识点】对数的运算 【分析】由换底公式和对数的计算公式即可得到结果. 【详解】. 故答案为：. 例4．（24-25高一上·上海·随堂练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)320 (2)6 (3)3 【知识点】对数的运算 【分析】由指数和对数运算计算即可. 【详解】（1）原式． （2）原式． （3）原式 精练 1．（24-25高一上·上海虹口·期末）计算： . 【答案】 【知识点】对数的运算 【分析】根据对数的运算公式计算即可. 【详解】原式. 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·期中）已知，用含的代数式表示 ． 【答案】 【知识点】对数的运算 【分析】根据对数运算来求得正确答案. 【详解】. 故答案为： 3．（24-25高一上·上海·期中）已知，，用表示. 【答案】 【知识点】对数的运算 【分析】根据条件，利用对数的运算，即可求解. 【详解】因为，又，， 所以. 对点集训四：对数的运算性质的应用 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·课前预习） （1） ； （2） ； （3） ． 【答案】 0 1 【知识点】对数的运算性质的应用 例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则 ． 【答案】2024 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】利用对数的运算性质计算即得. 【详解】． 故答案为：2024. 例3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知（，，），且，则 ． 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】利用对数的运算性质计算即得. 【详解】由，可得； 则． 故答案为：. 精练 1．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，则 ．（用a表示） 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】利用对数的运算性质对化简即可得答案 【详解】因为， 所以． 故答案为： 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）通常情况下，和的对数不等于对数的和，如，但是否存在实数对，使呢？若存在，请写出一对符合要求的；若不存在，请说明理由． 【答案】存在无数对，如（2，2），等． 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】利用对数的运算性质将对数式化成，即可判断. 【详解】由可得，即 ，即， 只要满足的都可以． 故存在无数实数对，如（2，2），等． 对点集训五：运用换底公式化简计算 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·课前预习）对数的换底公式：当时， ． 【答案】（且） 【知识点】运用换底公式化简计算 例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则 ． 【答案】 【知识点】运用换底公式化简计算 【分析】由换底公式计算即可. 【详解】因为，所以. 故答案为： 例3．（24-25高一上·上海·单元测试）计算： ． 【答案】1 【知识点】运用换底公式化简计算 【分析】利用换底公式计算即得. 【详解】. 故答案为：1 例4．（24-25高一上·上海·课前预习）换底公式常用推论 （，，，）． 【答案】1 【知识点】运用换底公式化简计算 【分析】根据题意，利用对数的换底公式，准确运算，即可求解. 【详解】由对数的换底公式，可得. 故答案为：. 精练 1．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知，则= ． 【答案】 【知识点】运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化 【分析】先利用对数的定义可得，，代入利用对数的换底公式计算即可求值. 【详解】因为，所以，， ，所以． 故答案为：. 2．（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知，则用表示 . 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】利用换底公式和对数运算性质即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·随堂练习） ． 【答案】 【知识点】运用换底公式化简计算 【分析】根据换底公式运算即可. 【详解】. 故答案为：. 4．（23-24高一上·上海浦东新·期末）记，那么 ． 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】利用对数的换底公式计算可得答案. 【详解】因为， 所以. 故答案为：1. 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·期末）的值是 . 【答案】1 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算性质的应用 【分析】利用换底公式计算可得结果. 【详解】易知. 故答案为：1 2．（24-25高一上·上海·期末）已知，，若用，表示，则 ． 【答案】/ 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用 【分析】由指数式与对数式的互化得出，再利用对数的运算性质可得出结果. 【详解】因为，则，又因为，则. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，，则 . 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化、指数幂的运算 【分析】利用对数式与指数式的互化得出，再利用指数幂的运算性质可求得所求代数式的值. 【详解】因为，则， 又因为，则. 故答案为：. 4．（24-25高一上·上海宝山·期末）方程的解 . 【答案】 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】由对数式与指数式的互化可得出的值. 【详解】方程的解. 故答案为：. 5．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，则 . 【答案】/ 【知识点】对数的运算 【分析】直接利用对数的性质求解即可. 【详解】因为， 所以， 故答案为： 6．（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知，则 ． 【答案】/ 【知识点】指数式与对数式的互化 【分析】将对数式转化为指数式，即可得解. 【详解】依题意由，得. 故答案为：. 7．（23-24高一上·上海·期中）已知，则的值为 ． 【答案】100 【知识点】对数的运算 【分析】根据对数运算法则计算即可. 【详解】，故，解得. 故答案为：100 8．（24-25高一上·上海·期末）已知实数、满足，则的最小值为 ． 【答案】20 【知识点】对数的运算、基本不等式求和的最小值 【分析】根据对数运算和基本不等式求得正确答案. 【详解】， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：20 9．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知，则 ．（用a和b表示） 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】由题意可得，利用换底公式结合对数运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故答案为：. 10．（23-24高一上·上海·期中）已知，，则用a、b表示 . 【答案】 【知识点】运用换底公式化简计算 【分析】由对数的换底公式及对数运算法则求解． 【详解】， 故答案为：． 11．（23-24高一上·上海·阶段练习）若正实数满足，可以用的代数式表示，即 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】根据对数运算性质求解出的关系式，然后可求结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 12．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，，试用、表示 . 【答案】 【知识点】对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化 【分析】先将指数式化成对数式，利用换底公式将所求式化成以为底的对数式，运用对数的运算性质化简即得. 【详解】由可得：，即，故 . 故答案为:. 13．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习） 【答案】 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算 【分析】根据题意，利用对数的运算法则，以及对函数的换底公式，准确运算，即可求解. 【详解】由. 故答案为：. 14．（23-24高一上·上海·阶段练习）设方程，的两个实数根为a和b，则 【答案】 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算 【分析】转化为一元二次方程求出a和b，然后由对数运算求解可得. 【详解】令，则，解得或， 即或，解得或， 所以，或，， 所以. 同理可求时，结果也为， 故答案为： 15．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知，，试用，表示 ． 【答案】 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算 【分析】根据对数的运算可得答案． 【详解】因为，所以， 所以 ． 故答案为：． 16．（24-25高一上·上海松江·阶段练习） ． 【答案】 【知识点】分数指数幂与根式的互化、对数的运算、指数幂的化简、求值 【分析】根据根式与指数式的互化和指对数幂的运算法则计算即可. 【详解】由题原式 ， 故答案为：. 17．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，则“”是“”的 条件. 【答案】必要不充分 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】利用充分条件与必要条件的定义结合对数函数定义域及单调性即可求解. 【详解】充分性：由题知，，当时，可以取负实数，不满足对数函数的定义域，因此不能推出，故不充分； 必要性：时，根据对数函数的单调性可以得出，故必要； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故答案为：必要不充分 18．（24-25高一上·上海金山·阶段练习）已知，且，则实数m的值为 ． 【答案】45 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化 【分析】由指数式得到对数式，由换底公式和对数运算法则得到答案. 【详解】由，得， ， ， ． 故答案为：45. 二、解答题 19．（24-25高一上·上海·期中）已知， (1)求的值； (2)用a，b表示. 【答案】(1)108 (2) 【知识点】对数的运算性质的应用、指数幂的化简、求值、运用换底公式化简计算、指数式与对数式的互化 【分析】（1）利用幂的运算性质计算即得； （2）利用对数换底公式和对数的运算性质化简计算即得. 【详解】（1）； （2）由，，可得 则. 20．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，，试用、表示， （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【知识点】指数式与对数式的互化、运用换底公式化简计算、对数的运算性质的应用 【分析】（1）利用换底公式和对数的运算性质可得结果； （2）由指数式和对数式的互化得出，，再利用换底公式结合对数的运算性质计算可得结果. 【详解】（1）； （2）因为，则，，则，， 所以，. 一、单选题 1．（23-24高一上·上海宝山·期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且关于的二次方程有两个相等的实根，则的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】根据结合对数运算求解. 【详解】由题意可知：， 因为关于的二次方程有两个相等的实根， 则，可得， 则，即，可知角C为直角，即直角三角形. 故选：B. 2．（23-24高一上·上海长宁·期末）若与互为相反数，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】对数的运算性质的应用 【分析】运用对数性质，结合相反数性质计算． 【详解】与互为相反数，则，即，则. 故选：D. 3．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知，，则（   ）. A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】对数的运算性质的应用、指数式与对数式的互化 【分析】根据指数和对数的互化以及对数运算法则即可得出结果. 【详解】由，则，又， . 故选：A. 4．（23-24高一上·上海·期末）已知，，且，有下列不等式：①，②，③，④．其中成立的不等式的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】基本不等式求积的最大值、由基本不等式证明不等关系、基本（均值）不等式的应用、对数的运算 【分析】对于①，根据，结合即可判断；对于②，根据，，且，可得，即可判断；对于③，将式子变形利用基本不等式即可求解；对于④，可利用基本不等式求的最值，从而得出结果. 【详解】①因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立， 所以， 即，①正确； ②因为，，，所以， 所以，②正确； ③，当且仅当时等号成立，所以③错误； ④， 所以，当且仅当时等号成立，④正确； 所以有个不等式成立. 故选：. 二、填空题 5．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知正数a和b满足，用a及b表示 . 【答案】 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算、指数式与对数式的互化 【分析】令，由，可得，进而可得以现由即可得答案. 【详解】解：因为均为正数， 令， 则有，， 又因为， 所以， 所以， 所以， 所以 所以. 故答案为： 6．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，，则 【答案】 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算、指数式与对数式的互化 【分析】由指对数的关系得，再有，即可求值. 【详解】由题设，， 根据换底公式，则. 故答案为： 7．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、对数的概念判断与求值 【分析】分析可知，对任意的，且，当时，不合乎题意，进而可知，对任意的，，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】对任意的，代数式有意义， 则对任意的，且， 当时，则且，解得且，不合乎题意； 当时，由题意可知，必有，由二次函数的基本性质可知， 对任意的，，则， 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 8．（23-24高一上·上海虹口·期中）已知，，则 （用，表示） 【答案】 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算、指数式与对数式的互化 【分析】先得到，利用换底公式、对数运算等知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， ， 所以. 故答案为： 9．（24-25高一上·上海·期中）设，是方程的两根，则 . 【答案】 【知识点】运用换底公式化简计算 【分析】先由韦达定理得，然后化简求解即可. 【详解】由韦达定理可知 故答案为： 10．（24-25高一上·上海·期中）若实数，且，则 . 【答案】1 【知识点】指数式与对数式的互化、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】根据换底公式及对数式与指数式的转化即可得解. 【详解】因为，所以， 由， 解得或（舍去）， 所以，即， 所以， 故答案为：1 11．（24-25高一上·上海·期中）已知，则 (用表示) 【答案】 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算 【分析】利用对数的换底公式及运算法则计算化简即可. 【详解】， 因为，代入上式，化为. 故答案为：. 12．（24-25高一上·上海宝山·期中）设，，则 . 【答案】/ 【知识点】根式的化简求值、指数幂的化简、求值、对数的运算性质的应用、运用换底公式化简计算 【分析】结合指、对运算的性质分部求解，利用立方和公式及已知条件对化简求值；利用换底公式对化简求值；利用对数恒等式对化简求值等；再然后做加减混合运算即可得. 【详解】由式子有意义可知，且，故，且. 由，，得， 则； 又； ； ； 则原式； 故答案为：. 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 【答案】4 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值、对数的运算性质的应用 【分析】由对数运算性质化简得，借助“”的代换由基本不等式求最值可得. 【详解】由可得，，即， 因为，， 由， 当且仅当时等号成立，即当时，取得最小值为4. 故答案为：. 14．（24-25高一上·上海·阶段练习）对于方程组，其中，则方程组的解为 . 【答案】或 【知识点】对数的运算、指数幂的运算 【分析】设，，则原不等式等价于，消去可得关于的方程，解方程即可. 【详解】由题意，设，则， 因为，所以， 所以方程组等价于 即，所以，所以， 解得或 当时，，此时； 当时，，此时. 故答案为：或 三、解答题 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 【答案】（1）证明见解析；（2）8；（3）证明见解析； 【知识点】运用换底公式证明恒等式、运用换底公式化简计算 【分析】（1）由题设条件结合对数的运算证明即可； （2）利用换底公式证明即可； （3）利用换底公式证明即可. 【详解】解答：（1）证明： 设，则，化为， 又，所以； （2）解：； （3）证明： ． 所以． 16．（25-26高一上·上海·单元测试）（1）已知，，用a、b表示； （2）已知正实数a满足，求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】对数的运算性质的应用、对数的运算 【分析】（1）借助对数运算可得，，结合对数的运算法则即可用a、b表示； （2）左右同取以为底的对数后结合对数的运算法则计算即可得. 【详解】（1）由，，则，， 则； （2）易得且，由，则， 即，即，即， 则. 17．（24-25高一上·上海宝山·期中）（1）计算以下对数的值：； （2）已知，，用a、b来表示. 【答案】（1）；（2） 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算性质的应用、对数的运算 【分析】使用换底公式和对数运算性质得出答案即可. 【详解】（1） ； （2） 18．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 【答案】(1) (2) 【知识点】运用换底公式化简计算、对数的运算性质的应用、对数的运算、指数式与对数式的互化 【分析】（1）根据韦达定理列出关于和的方程，然后利用换底公式进行化简，代入计算即可； （2）将对数式转化为指数式，利用指数运算和对数运算的性质求值即可. 【详解】（1）因为、是关于x的方程的两个实数根， 所以由韦达定理得， 由得，则； 由得，所以，即， 则. （2）由，得，由，得，则； 所以，即， 故. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12 对数（知识梳理+5对点集训+基础过关+拓展提优） 1.理解对数的概念及运算性质，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．(重点、难点) 2．理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．(重点) 3．理解常用对数、自然对数的概念及记法. 4．能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．(难点) 5．会运用运算性质进行一些简单的化简与证明．(易混点) 知识点01：对数 (1)指数式与对数式的互化及有关概念： (2)底数a的范围是a>0，且a≠1. 知识点02：常用对数与自然对数 知识点03:对数的基本性质 (1)负数和零没有对数． (2)loga 1＝0(a>0，且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0，且a≠1)． 知识点04:对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么： (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 知识点05:对数的换底公式 若a>0且a≠1；c>0且c≠1；b>0， 则有logab＝. 对点集训一：对数的概念判断与求值 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·课前预习）对数的性质 当，且时： ①零和负数没有对数； ② ；③ ④ ；⑤ 例2．（24-25高一上·上海·课前预习）特殊对数 （1）常用对数：以10为底的对数称为 ，通常记为 ； （2）自然对数：以无理数（的值约为2.71828…）为底的对数称为 ，通常记为 ． 例3．（24-25高一上·上海·随堂练习）若对数有意义，则的取值范围是 ． 例4．（24-25高一上·上海·期中）关于的方程的解集为 ． 精练 1．（22-23高一上·上海徐汇·期中）若，则的取值范围是 . 2．（23-24高一上·上海奉贤·期中）对数式中的取值范围为 ． 3．（22-23高一上·上海浦东新·期中）若，则 . 对点集训二：指数式与对数式的互化 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），指数式为 ； （2），指数式为 ； （3），对数式为 ； （4），对数式为 ． 例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）将下列指数式与对数式互化． (1)； (2)； (3)； (4)． 例3．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）方程的解 例4．（23-24高一上·上海·期中）若，则 . 例5．（23-24高一上·上海浦东新·期中）若，则 ． 例6．（24-25高一上·上海·期中）已知，，则的值为 . 精练 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）若，则 ． 2．若，则 ；若，则 . 3．（24-25高一上·上海·期中）指数式化成对数式为 ． 4．（24-25高一上·上海·期中）已知，则实数 . 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）将下列指数式与对数式互化： （1），对数式为 ； （2），对数式为 ； （3），指数式为 ； （4），指数式为 ． 对点集训三： 对数的运算 典型例题 例1．（24-25高一上·上海金山·期末）设，，用a，b表示的结果为 . 例2．（24-25高一上·上海·期末）已知，则 ． 例3．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，则用表示为 ． 例4．（24-25高一上·上海·随堂练习）计算下列各式： (1)； (2)； (3)． 精练 1．（24-25高一上·上海虹口·期末）计算： . 2．（24-25高一上·上海·期中）已知，用含的代数式表示 ． 3．（24-25高一上·上海·期中）已知，，用表示. 对点集训四：对数的运算性质的应用 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·课前预习） （1） ； （2） ； （3） ． 例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则 ． 例3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知（，，），且，则 ． 精练 1．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，则 ．（用a表示） 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）通常情况下，和的对数不等于对数的和，如，但是否存在实数对，使呢？若存在，请写出一对符合要求的；若不存在，请说明理由． 对点集训五：运用换底公式化简计算 典型例题 例1．（24-25高一上·上海·课前预习）对数的换底公式：当时， ． 例2．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，则 ． 例3．（24-25高一上·上海·单元测试）计算： ． 例4．（24-25高一上·上海·课前预习）换底公式常用推论 （，，，）． 精练 1．（24-25高一上·上海闵行·期中）已知，则= ． 2．（24-25高一上·上海徐汇·期末）已知，则用表示 . 3．（24-25高一上·上海·随堂练习） ． 4．（23-24高一上·上海浦东新·期末）记，那么 ． 一、填空题 1．（24-25高一上·上海·期末）的值是 . 2．（24-25高一上·上海·期末）已知，，若用，表示，则 ． 3．（24-25高一上·上海杨浦·期末）已知，，则 . 4．（24-25高一上·上海宝山·期末）方程的解 . 5．（23-24高一上·上海普陀·期中）已知，则 . 6．（23-24高一上·上海奉贤·期中）已知，则 ． 7．（23-24高一上·上海·期中）已知，则的值为 ． 8．（24-25高一上·上海·期末）已知实数、满足，则的最小值为 ． 9．（24-25高一上·上海奉贤·期中）已知，则 ．（用a和b表示） 10．（23-24高一上·上海·期中）已知，，则用a、b表示 . 11．（23-24高一上·上海·阶段练习）若正实数满足，可以用的代数式表示，即 12．（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，，试用、表示 . 13．（23-24高一下·上海嘉定·阶段练习） 14．（23-24高一上·上海·阶段练习）设方程，的两个实数根为a和b，则 15．（24-25高一上·上海黄浦·期中）已知，，试用，表示 ． 16．（24-25高一上·上海松江·阶段练习） ． 17．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，则“”是“”的 条件. 18．（24-25高一上·上海金山·阶段练习）已知，且，则实数m的值为 ． 二、解答题 19．（24-25高一上·上海·期中）已知， (1)求的值； (2)用a，b表示. 20．（24-25高一上·上海·期中）（1）已知，，试用、表示， （2）已知，求的值. 一、单选题 1．（23-24高一上·上海宝山·期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且关于的二次方程有两个相等的实根，则的形状是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．（23-24高一上·上海长宁·期末）若与互为相反数，则有（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知，，则（   ）. A． B． C． D． 4．（23-24高一上·上海·期末）已知，，且，有下列不等式：①，②，③，④．其中成立的不等式的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 5．（22-23高一上·上海浦东新·期末）已知正数a和b满足，用a及b表示 . 6．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知，，则 7．（23-24高一上·上海徐汇·期中）若对于任意实数，代数式均有意义，则实数的取值范围是 ． 8．（23-24高一上·上海虹口·期中）已知，，则 （用，表示） 9．（24-25高一上·上海·期中）设，是方程的两根，则 . 10．（24-25高一上·上海·期中）若实数，且，则 . 11．（24-25高一上·上海·期中）已知，则 (用表示) 12．（24-25高一上·上海宝山·期中）设，，则 . 13．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，，，则的最小值为 . 14．（24-25高一上·上海·阶段练习）对于方程组，其中，则方程组的解为 . 三、解答题 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）（1）利用关系式证明换底公式：； （2）利用（1）中的换底公式求值：； （3）利用（1）中的换底公式证明：． 16．（25-26高一上·上海·单元测试）（1）已知，，用a、b表示； （2）已知正实数a满足，求的值． 17．（24-25高一上·上海宝山·期中）（1）计算以下对数的值：； （2）已知，，用a、b来表示. 18．（24-25高一上·上海杨浦·期中）对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$