精品解析：江苏省徐州市沛县2024-2025学年高一下学期第三次学情调研数学试卷

江苏省徐州市沛县2024-2025学年高一下学期第三次学情调研数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，则此圆柱的侧面积为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 2. 如果两条直线与没有公共点，那么与（ ） A. 共面 B. 平行 C. 异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线 3. 如图，正方形边长为1cm，它是水平放置一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ） A. 8cm B. C. 4cm D. 4. 已知空间3条不同的直线m，n，l和平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的内角所对的边分别为，若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 8. 已知三棱锥的底面是边长为2的正三角形，平面，，分别是，上的点，且，平面平面，三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为，则该三棱锥的体积为（ ） A. B. C. 3 D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列选项中，与的值相等的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知正方体的棱长为4，分别为棱和的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 平面 B. 平面 C. 异面直线与所成角为 D. 平面截正方体所得截面的面积为18 11. 在正三棱锥中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是 A. EF与AD所成角的正切值为 B. EF与AD所成角的正切值为 C. AB与面ACD所成角余弦值为 D. AB与面ACD所成角的余弦值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式为.该结论实际上是将圆锥体积公式中的圆周率取近似值得到的.则根据你所学知识，该公式中取的近似值为______. 13. 设向量，且，则________；＝________. 14. 如图，边长为1的菱形中，，沿将翻折，得到三棱锥，当平面平面时，异面直线与所成的角的余弦值等于______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 如图，在正方体中， （1）求证：平面； （2）求证：. 16. 如图，正方体中，分别是的中点． （1）求证：四点共面； （2）设平面与平面交于直线，求证：． 17. 在中，角、、所对的边分别为、、，若，，且. （1）求； （2）已知点在线段上，且，求长. 18. 如图，四面体中，已知，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成的角； （3）求二面角的正切值. 19. 如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，求点到平面的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省徐州市沛县2024-2025学年高一下学期第三次学情调研数学试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的4个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 圆柱的轴截面是一个边长为2的正方形，则此圆柱的侧面积为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】圆柱的轴截面是以底面直径和圆柱的高为邻边的长方形，故圆柱的底面直径和高均为2，由此可求得底面圆的周长，乘以高即为此圆柱的侧面积. 【详解】由题意可知圆柱的底面直径和高均为2，所以圆柱的底面周长为， 故圆柱的侧面积为. 故选：D. 2. 如果两条直线与没有公共点，那么与（ ） A. 共面 B. 平行 C. 是异面直线 D. 可能平行，也可能是异面直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中两条直线的位置关系，即可求解. 【详解】根据空间中两条直线的位置关系，可得如果两条直线与没有公共点，那么与可能平行，也可能是异面直线. 故选：D. 3. 如图，正方形边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原平面图形的周长是（ ） A. 8cm B. C. 4cm D. 【答案】A 【解析】 【分析】由直观图得原图形的形状，结构，得边长后可得周长． 【详解】作出原图形如下图所示： 由直观图知原图形是平行四边形，如图，，， ，， 所以平行四边形的周长是． 故选：A． 4. 已知空间3条不同的直线m，n，l和平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】C 【解析】 【分析】ABD可举出反例；C选项，利用线面平行的性质及线面垂直的性质得到答案. 【详解】A选项，若，，则或相交或异面，A错误； B选项，若，，则或，B错误； C选项，若，不妨设，则， 又，，则，所以，C正确； D选项，若，，则，或相交，D错误. 故选：C 5. 在中，内角A，B，C所对的边分别为，，.向量，.若，则角的大小为（ ） A. B. C D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，得，由余弦定理可求. 【详解】因为向量，， 因为， 所以，即， 由余弦定理可得. 因为，所以， 故选：B. 6. 正方体中，直线与平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面角定义找到直线与平面所成的角为，找到角即可求出余弦值. 【详解】连接，如图所示， 为正方体，易得平面， 为直线与平面所成的角， 令，由正方体知识可得， . 故选：D. 7. 已知的内角所对的边分别为，若，则的形状一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据边角互化得，再结合，化简整理得，进而得或，即的形状一定是等腰或直角三角形. 【详解】解：因为， 所以由正弦定理边角互化得， 因为， ， 所以， 整理得 所以， 所以或， 因为， 所以或，即形状一定是等腰或直角三角形 故选：D 8. 已知三棱锥的底面是边长为2的正三角形，平面，，分别是，上的点，且，平面平面，三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为，则该三棱锥的体积为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先通过线面垂直、面面垂直的判定定理找出相关垂直关系，进而得到在直角三角形中的线段关系；再根据三棱锥与四棱锥体积比推出相关三角形面积比，从而得到线段比例关系，求出关键线段长度，最后利用三棱锥体积公式计算体积． 【详解】如图，取的中点，连接，，， 连接，是正三角形，， 又平面，平面，， 又，平面，平面， 平面，， ，． 平面平面，且平面平面， 平面，平面， 平面，， 在中，（※）． 三棱锥的体积与四棱锥的体积之比为， ，，， 设，，代入（※）式得，，，， 三棱锥的体积， 故选：A． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 下列选项中，与的值相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】由诱导公式先求出的值，然后用三角恒等公式逐一验证即可. 【详解】由题意有， 对于A选项：因为，故A选项不符合题意； 对于B选项：因为，故B选项符合题意； 对于C选项：因为，故C选项符合题意； 对于D选项：因为，故D选项不符合题意； 故选：BC. 10. 已知正方体的棱长为4，分别为棱和的中点，则下列说法正确的有（ ） A. 平面 B. 平面 C. 异面直线与所成角为 D. 平面截正方体所得截面的面积为18 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据线面平行的判断定理，即可判断A；根据线面垂直的定义，结合垂直关系，即可判断B；根据异面直线所成角的定义，以及平行关系的转化，即可判断C，首先作出平面截正方体所得截面，再计算截面的面积. 【详解】对于A，如图，由条件可知，，平面，平面， 所以平面，故A正确；     对于B，取的中点，连结， 因为，，，所以, 则 ，不满足勾股定理， 所以不垂直于，则不垂直于平面， 所以不垂直于平面，故B错误；     对于C，连结，是等边三角形，所以直线与所成角为， 所以异面直线与所成角为，故C正确；     D.连结，所以四点共面， 四边形是平面截正方体所得截面， 如图，四边形是等腰梯形，， ， 作于，则， 所以四边形的面积，故D正确. 故选：ACD. 11. 在正三棱锥中，侧棱长为3，底面边长为2，E，F分别为棱AB，CD的中点，则下列命题正确的是 A. EF与AD所成角的正切值为 B. EF与AD所成角的正切值为 C. AB与面ACD所成角的余弦值为 D. AB与面ACD所成角的余弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】如图所示，先找出EF与AD所成角再求解，再找出AB与面ACD所成角求解. 【详解】 （1）设中点为，的中点为，连接、、、， 因为，，， 所以，， 所以就是直线与所成的角或补角， 在三角形中，，， 由于三棱锥是正三棱锥，，， 又因为平面，，所以平面， 平面，所以，所以， 所以，所以A错误B正确. （2）过点作垂直，垂足为. 因为，，平面， 所以平面，平面，所以， 因为，平面，所以平面， 所以就是与平面所成角. 由题得，所以. 所以C正确D错误. 故答案为：BC. 【点睛】本题主要考查空间异面直线所成的角的求法，考查直线和平面所成的角的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典著，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式为.该结论实际上是将圆锥体积公式中的圆周率取近似值得到的.则根据你所学知识，该公式中取的近似值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】首先求出圆锥体的体积，然后与近似公式对比，即可求出公式中取的近似值. 【详解】由题知圆锥体的体积， 因为圆锥的底面周长为， 所以圆锥的底面面积， 所以圆锥体的体积， 根据题意与近似公式对比发现， 公式中取的近似值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆锥体的体积公式，属于基础题. 13. 设向量，且，则________；＝________. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】利用向量坐标运算得到方程组，利用和角的三角公式展开化简后即可求出的值，再运用二倍角公式与和角公式化简所求式，最后化弦为切即得. 【详解】由题意，， 化简得， 由； 则 故答案为：；. 14. 如图，边长为1的菱形中，，沿将翻折，得到三棱锥，当平面平面时，异面直线与所成的角的余弦值等于______． 【答案】## 【解析】 【分析】取的中点，以为原点，建立空间直角坐标系，分别求得的坐标，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】取的中点，连接，可得， 因为平面平面，平面，且平面平面， 所以平面， 以为原点，以所在的直线分别为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 可得， 设异面直线与所成的角为， 则， 所以异面直线与所成的角的余弦值为. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 如图，在正方体中， （1）求证：平面； （2）求证：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据正方体的性质得到，即可得证； （2）根据正方体的性质得到、，即可证明平面，从而得证. 【小问1详解】 在正方体中， 又平面，平面，所以平面； 小问2详解】 连接、，在正方体中为正方形， 所以， 又平面，平面，所以， 又，平面， 所以平面，又平面，所以. 16. 如图，正方体中，分别是的中点． （1）求证：四点共面； （2）设平面与平面交于直线，求证：． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到，再证明出四边形平行四边形，得到，从而得到线线平行，得到结论； （2）由面面平行得到线线平行； 【小问1详解】 连接， 因为E，F分别是的中点， 所以， 因为，且， 所以四边形为平行四边形，故， 所以， 故四点共面； 【小问2详解】 因为平面平面， 平面平面，平面平面， 所以； 17. 在中，角、、所对的边分别为、、，若，，且. （1）求； （2）已知点在线段上，且，求长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理可得答案； （2）由余弦定理求出，平方关系求出，在中再由正弦定理可得答案. 【小问1详解】 由余弦定理可得， ，， 解得； 【小问2详解】 由（1）可得， ，， 在中，，， 解得. 18. 如图，在四面体中，已知，. （1）求证：； （2）求直线与平面所成的角； （3）求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，借助等腰三角形证得，利用线面垂直的判定定理得平面，，再利用线面垂直性质定理证明即可. （2）利用勾股定理得，利用线面垂直的判定定理得平面，利用线面角的定义得即为所求，在直角三角形中求解即可. （3）取的中点，连接，利用面面角的定义得是二面角的平面角，在三角形中求解正切值即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，因为，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以. 【小问2详解】 因为，，所以， 又，所以为等腰直角三角形，且， 又，，平面，所以平面， 所以直线与平面所成的角为，在中，， 所以，所以直线与平面所成的角为； 【小问3详解】 取的中点，连接，则，且， 因为，所以，同理， 所以，又，所以， 所以是二面角的平面角， 在中，， 即二面角的正切值为. 19. 如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使，为的中点，如图2． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面； （3）若，求点到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）证得，根据线面平行的判定定理即可证出结论； （2）证得平面，根据面面垂直的判定定理即可证出结论； （3）证得平面，即点到平面的距离等于线段的长度，在中，解三角形即可求出结果. 【详解】 （1）证明：取中点，连接，． 在中，，分别为，的中点，所以，且．由已知，，所以，且．所以四边形为平行四边形．所以．又因为平面，且平面， 所以平面． （2）证明：在正方形中，，又，，平面，∴平面，平面，∴平面平面． （3）由（2）知平面平面，且平面平面，又因为，所以平面，所以平面平面，且平面平面，过点作的垂线交于点，则平面， 所以点到平面的距离等于线段的长度， 在中，，所以点到平面的距离等于． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $