衔接点03 因式分解-2025年初升高数学无忧衔接（通用版）

衔接点03 因式分解 初中阶段 高中阶段 1、熟练掌握提公因式法和公式法 2、能灵活应用十字相乘法 3、了解分组分解法 能熟练运用十字相乘法，包括不含参数的二次三项式，含参数的二次三项式，首项系数含参数或者非常数“1” 衔接指引 初中阶段考查形式：选择题，解答题信息题。 高中阶段考查形式：作为基本工具融入在代数运算中。 1、初中知识再现 1、因式分解定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种运算叫做因式分解. 2、提公因式法 （1）如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。如: （2）概念内涵: ①因式分解的最后结果应当是“积”； ②公因式可能是单项式,也可能是多项式； ③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: 3、公式法： 3.1公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明： （1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 3.2公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明： （1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 4、十字相乘法 4.1十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 特别说明： （1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则,同号(若，则,异号)，然后依据一次项系数的正负再确定,的符号 （2）若中的,为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 4.2首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明： （1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 5、分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 6、求根公式法 对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个实数根，记为：.此时对应的二次三项式可分解为：. 2、高中相关知识 1、乘法公式中的立方和、立方差公式： ① ② 2、因式分解中的立方和、立方差公式 ① ② 对点集训一：提公因式法因式分解 典型例题 例题1．（2025九年级下·全国·学业考试）分解因式： ． 例题2．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 例题3．（24-25八年级上·广东汕头·期末）（1）化简：； （2）因式分解：． 精练 1．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）若，则的值为 ． 2．（21-22八年级上·河南洛阳·期中）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（重庆市忠县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题）完成下列各题： (1)化简：； (2)分解因式：． 对点集训二：运用公式法分解因式 典型例题 例题1．（24-25八年级上·山东济宁·期末）因式分解： (1)； (2)； 例题2．（24-25八年级上·河南开封·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式…………（第一步） ……………………（第二步） …………………………（第三步） …………………（第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______； (2)该同学因式分解的结果是否彻底______（填“彻底”或“不彻底”）；若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：____________ (3)请你模仿以上方法尝试对下列多项式进行因式分解． ①； ②． 例题3．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 例题4．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 精练 1．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）因式分解 (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·山东淄博·期末）分解因式： (1)， (2)． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了______． A．提取公因式    B．平方差公式    C．完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？______（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为______． (3)请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）分解因式： (1)； (2)； (3)． 对点集训三：首项系数为“1”的二次三项式因式分解 典型例题 例题1．（24-25八年级上·山东烟台·期中）将分解因式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式，即是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．如；． 请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 例题3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 精练 1．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）分解因式： ． 2．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）睿睿自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示，仿照上述解决下列问题：    (1)因式分解：； 睿睿做了如下分析： 一次项为：，则常数项为：； 则________；________； ∴（____）（____） (2)因式分解：； 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）阅读材料：方程我们可以按下面的方法解答． 分解因式：． ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 根据乘法原理：若，则，或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得．所以原方程的解为，． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)； (3)． 对点集训四：首项系数“不为1”的二次三项式因式分解 典型例题 例题1．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知方程的两根是，，那么二次三项式分解因式得（    ） A． B． C． D． 例题2．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 例题3．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）阅读：用“十字相乘法”分解因式的方法． （1）二次项系数． （2）常数项，验算：“交叉相乘之和”．     ． （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数． 即，则． 像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 仿照以上方法，分解因式： (1) (2) (3) 例题4．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）分解因式： (1)； (2)． 精练 1．（24-25八年级上·上海松江·期末）在实数范围内分解因式： ． 2．（24-25八年级上·福建泉州·期中）因式分解： (1) (2) 3．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式： 4．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式： (1)； (2)． 对点集训五：含参数的十字相乘法 典型例题 例题1．（23-24九年级下·云南昆明·开学考试）分解因式 ． 例题2．（23-24七年级上·上海松江·期末）分解因式：= ． 例题3．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）分解因式： ． 精练 1．（2023·浙江衢州·一模）分解因式： 2．（24-25七年级上·上海青浦·期末）因式分解： 3．（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 对点集训六：十字相乘法的综合应用 典型例题 例题1．（24-25七年级上·上海松江·期末）因式分解：． 例题2．（23-24七年级上·上海宝山·期末）因式分解： 例题3．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 精练 1．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 2．（23-24七年级上·上海·单元测试）因式分解：． 3．（23-24七年级下·浙江金华·期中）因式分解 (1) (2) 对点集训七：求十字相乘法中系数 典型例题 例题1．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）若因式分解得：，则、的值为（　　） A．， B．， C．， D．， 例题2．（23-24八年级下·四川成都·期中）已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ． 例题3．（2024八年级上·全国·专题练习）（1）若关于x的二次三项式因式分解为，则的值为 ． （2）若， ， ． 精练 1．（24-25八年级上·山东东营·期中）若把多项式分解因式后含有因式，则的值为（   ） A．6 B． C． D．8 2．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 3．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知，其中k、q均为整数，则 ． 对点集训八：分组分解法（四项式，五项式，六项式等） 典型例题 例题1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列式子中，属于的因式的是（ ） A． B． C． D． 例题2．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）分解因式： ． 例题3．（24-25八年级上·浙江温州·期末）分解因式 ． 例题4．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）分解因式： ． 精练 1．（24-25七年级下·全国·周测）请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解： (1)； (2)． 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）分解因式：． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式： 4．（24-25七年级上·上海·阶段练习）分解因式：． 对点集训九：因式分解的应用 典型例题 例题1．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：学，爱，我，趣，味，数，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱学 B．爱数学 C．趣味数学 D．我爱数学 例题2．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）现在生活人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式．因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到，于是就可以把“016128”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码 ． 例题3．（2025七年级下·全国·专题练习）一个长方形的长与宽分别为．若该长方形的周长为14，面积为5，求的值． 例题4．（24-25八年级上·河南周口·期中）有3个整式：：，：，：． (1)若，请化简整式； (2)若“”可以因式分解为，求□内实数的值． 例题5．（24-25八年级上·四川乐山·期末）设是关于x的多项式，若方程有一个根为，则．所以多项式必有一个一次因式．例如，多项式，当时，，则必有一个一次因式，那么，，而，所以，，．这种因式分解的方法叫做“试根法”．解决下列问题： (1)请你用“试根法”分解因式： ①； ②； (2)若多项式（m为常数）有一个因式为，求m的值并将此多项式因式分解． 精练 1．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）利用因式分解计算等于（    ） A．1 B． C．2024 D．2025 2．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知，，则的值为 ． 3．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 利用上面提到的数学思想方法解决下列问题： 【应用】（1）数61__________“完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究】（2）已知，则__________； （3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值； 【拓展】（4）已知x、y满足，求代数式的最小值． 4．（24-25七年级下·全国·期末）浙教版数学教材七下第4章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”中这样写到：“我们把多项式及叫作完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式：原式；求代数式的最小值：，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________________________． (2)求代数式的最大值． (3)当，为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 5．（24-25八年级上·广东汕头·期末）先阅读，再解决问题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法叫分组分解法． 例如：． (1)分解因式：； (2)若，求m和n的值． 第03讲 因式分解(分层精练） A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西朔州·期末）在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）用分组分解法分解多项式时，下列分组方法正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）下列变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·广东珠海·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）已知因式分解后，其中有一个因式为，则k的值为（   ） A．6 B． C．10 D． 6．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）下列各式变形中，从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·天津南开·期末）对于任何整数m．多项式一定能（    ） A．被8整除 B．被x整除 C．被9整除 D．被整除 8．（24-25八年级上·河北承德·期末）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 二、多选题 9．（23-24八年级上·山东泰安·期中）下列代数式变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 10．（2021七年级下·全国·专题练习）下列因式分解不正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25八年级上·陕西西安·期末）若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值为 ． 12．（24-25八年级上·河南开封·期末），，则 ． 四、解答题 13．（2025七年级下·全国·专题练习）用指定的方法把下列各式分解因式： (1)（拆常数项）； (2)（拆一次项）； (3)（逆用乘法法则）． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 16．（24-25八年级上·山西朔州·期末）（1）分解因式：； （2）分解因式：； （3）利用因式分解计算：． B能力提升 一、单选题 1．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则的值为（   ） A． B． C． D．6 2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）三个超市出售同一种商品，其标价相同，年底各超市分别对该商品进行降价销售： 甲超市第一次降价，第二次降价； 乙超市第一、二次降价均为； 丙超市一次性降价． 其中a，b为不相等的正数，则降价后该商品卖的最贵的超市为（   ） A．甲超市 B．乙超市 C．丙超市 D．一样多 3．（24-25八年级上·陕西商洛·阶段练习）若，则的值为（    ） A．12 B．6 C．3 D．0 二、填空题 4．（24-25七年级下·全国·期末）如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个长方形的面积都是．，，且． （1）的长是 ； （2）若代数式，则的值是 ． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）写出公因式： （1）中分子、分母的公因式是 ； （2）中分子、分母的公因式是 ； （3）中分子、分母的公因式是 ． 6．（24-25八年级上·山东烟台·期末）将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 三、解答题 7．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图1，有正方形纸片A，B和长方形纸片C各若干张，小王用1张A纸片，2张B纸片，3张C纸片拼出了如图2所示的一个大长方形．在拼图过程中他发现，图2所示大长方形的面积可以用“拼图时用到的6张纸片的面积和”表示，也可以“按长方形面积公式长×宽”计算得出，由此他得到了一个用纸片拼图分解因式的方法． (1)结合图1、图2试着分解因式： ； (2)类比上述用纸片拼图分解因式的方法： ①请你利用图1中A，B，C三种纸片拼出面积为的一个长方形，在图3的方框中画出拼好后的图形； ②你的拼图共用了 张A纸片， 张B纸片， 张C纸片； ③结合你的拼图过程，分解因式 ． 8．（24-25八年级上·山东临沂·期末）发现与探索： (1)根据小明的解答将下列各式因式分解． 小明的解答： ①； ②． (2)根据小丽的思考解决下列问题： 小丽的思考：代数式无论取何值，都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4． ①说明：代数式的最小值为； ②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值． 9．（24-25八年级上·山东日照·期末）我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的常数项，使式子中出现完全平方式，再减去这个常数项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的数学方法，不仅可以将一个二次三项式分解因式，还能解决一些求代数式最大值、最小值的问题等．先阅读下面两个例子，再解决问题． 例1  分解因式： 解： 例2  求代数式的最小值． 解： ∵， ∴， 即代数式的最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______． (2)多项式有最大值还是最小值？并求出这个最大值或最小值． (3)已知等腰的两边长分别为，，且满足，求的周长． 10．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）【阅读材料】 教材中把形如的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法不仅可以将多项式进行因式分解，还能解决求一些多项式最大值或最小值等问题．例如： ①分解因式： ． ②求多项式的最小值： ， ， 当时，有最小值，最小值是． 【解决问题】 (1)按照上述方法分解因式：； (2)多项式的最小值为4，请求出的值； (3)若实数，满足，请求多项式的最值． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衔接点03 因式分解 初中阶段 高中阶段 1、熟练掌握提公因式法和公式法 2、能灵活应用十字相乘法 3、了解分组分解法 能熟练运用十字相乘法，包括不含参数的二次三项式，含参数的二次三项式，首项系数含参数或者非常数“1” 衔接指引 初中阶段考查形式：选择题，解答题信息题。 高中阶段考查形式：作为基本工具融入在代数运算中。 1、初中知识再现 1、因式分解定义 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种运算叫做因式分解. 2、提公因式法 （1）如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式。这种分解因式的方法叫做提公因式法。如: （2）概念内涵: ①因式分解的最后结果应当是“积”； ②公因式可能是单项式,也可能是多项式； ③提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律,即: 3、公式法： 3.1公式法——平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 特别说明： （1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式. （2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 3.2公式法——完全平方公式 两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 特别说明： （1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式； （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件. （4）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 4、十字相乘法 4.1十字相乘法 利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 特别说明： （1）在对分解因式时，要先从常数项的正、负入手，若，则,同号(若，则,异号)，然后依据一次项系数的正负再确定,的符号 （2）若中的,为整数时，要先将分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于，直到凑对为止. 4.2首项系数不为1的十字相乘法 在二次三项式中，如果二次项系数可以分解成两个因数之积，即，常数项可以分解成两个因数之积，即，把排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到，若它正好等于二次三项式的一次项系数，即，那么二次三项式就可以分解为两个因式与之积，即. 特别说明： （1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. 5、分组分解法 对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 6、求根公式法 对于一元二次方程，当时，一元二次方程有两个实数根，记为：.此时对应的二次三项式可分解为：. 2、高中相关知识 1、乘法公式中的立方和、立方差公式： ① ② 2、因式分解中的立方和、立方差公式 ① ② 对点集训一：提公因式法因式分解 典型例题 例题1．（2025九年级下·全国·学业考试）分解因式： ． 【答案】 【知识点】分组分解法、十字相乘法、提公因式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 本题利用分组分解法，十字相乘法和提公因式法进行因式分解即可． 【详解】原式 ． 故答案为：． 例题2．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查的是提公因式分解因式，确定公因式是解本题的关键． （1）直接利用提公因式法分解因式即可； （2）直接利用提公因式法分解因式即可； （3）将变形为，再直接提公因式进行求解，即可解题． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 例题3．（24-25八年级上·广东汕头·期末）（1）化简：； （2）因式分解：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】提公因式法分解因式、运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查了整式的运算、因式分解，熟练掌握乘法公式和因式分解的常用方法（提取公因式法、十字相乘法、公式法、换元法等）是解题关键． （1）先计算完全平方公式与平方差公式，再计算整式的加减法即可得； （2）提取公因式分解因式即可得． 【详解】解：（1） ． （2） ． 精练 1．（24-25七年级上·内蒙古赤峰·期末）若，则的值为 ． 【答案】6 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算、提公因式法分解因式 【分析】此题考查了整式的混合运算、提公因式法因式分解、代数式的求值．把原式变形为，再整体代入即可． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：6 2．（21-22八年级上·河南洛阳·期中）把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】平方差公式分解因式、分组分解法、十字相乘法、提公因式法分解因式 【分析】本题考查因式分解． （1）运用提公因式法分解即可； （2）先展开，再分成两组分别分解，最后利用平方差公式进行因式分解即可； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可； （4）先分成两组分别分解，再提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ； （3）解：原式； （4）解：原式 ． 3．（重庆市忠县2024-2025学年八年级上学期期末考试数学试题）完成下列各题： (1)化简：； (2)分解因式：． 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了乘法公式、因式分解，熟练掌握利用完全平方公式进行计算和提公因式法分解因式是解题的关键． （1）先利用单项式乘多项式和完全平方公式计算，再合并同类项即可； （2）利用提公因式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 对点集训二：运用公式法分解因式 典型例题 例题1．（24-25八年级上·山东济宁·期末）因式分解： (1)； (2)； 【答案】(1)； (2)． 【知识点】提公因式法分解因式、平方差公式分解因式、综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提取公因式，然后利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因式a，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例题2．（24-25八年级上·河南开封·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设， 原式…………（第一步） ……………………（第二步） …………………………（第三步） …………………（第四步） (1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的______； (2)该同学因式分解的结果是否彻底______（填“彻底”或“不彻底”）；若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果：____________ (3)请你模仿以上方法尝试对下列多项式进行因式分解． ①； ②． 【答案】(1)公式法 (2)不彻底； (3)①；② 【知识点】完全平方公式分解因式、综合运用公式法分解因式 【分析】本题考查了用完全平方公式和平方差公式分解因式，灵活运用完全平方公式分解因式是解题的关键． （1）根据完全平方公式，即可解答； （2）中的还可以运用完全平方公式分解因式，即可得到答案； （3）①设，原式可化为，根据完全平方公式可得，所以可化为，进一步运用完全平方公式即得到答案． ②，原式可化为，根据完全平方公式可得，所以可化为，进一步运用平方差公式即得到答案． 【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了因式分解的公式法； （2）解：该同学因式分解的结果不彻底， 因为， 所以分解的最后结果为； （3）解：①设， 则 ． ②设 则 ． 例题3．（2025七年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了整式的混合运算，平方差公式． （1）符号变化后，可提取公因式，从而简便计算出结果； （2）先利用平方差公式分解因式，合并同类项后计算单项式乘单项式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例题4．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． （1）原式先根据完全平方公式进行因式分解，再根据平方差公式进行因式分解即可； （2）原式先根据进行平方差公式因式分解，再根据完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 精练 1．（24-25八年级上·河北秦皇岛·期末）因式分解 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式、提公因式法分解因式 【分析】（）先添括号，再利用完全平方公式分解即可； （）先提取公因式，再根据平方差公式进行二次分解即可； 本题考查了本题考查了提公因式法和公式法分解因式，熟练掌握提公因式法及公式法因式分解是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（24-25八年级上·山东淄博·期末）分解因式： (1)， (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】（）利用平方差公式因式分解即可； （）利用完全平方公式因式分解即可； 本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）下面是某同学对多项式进行因式分解的过程： 解：设 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． 回答下列问题： (1)该同学第二步到第三步运用了______． A．提取公因式    B．平方差公式    C．完全平方公式 (2)该同学因式分解的结果是否彻底？______（填“彻底”或“不彻底”），若不彻底，则该因式分解的最终结果为______． (3)请你模仿上述方法，对多项式进行因式分解． 【答案】(1)C (2)不彻底： (3) 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法是解本题的关键； （1）根据使用的公式可得答案； （2）根据含有的因式还可以继续分解可得分解不彻底，再利用完全平方公式分解因式即可； （3）设，再进一步仿照题干提供的方法分解因式即可． 【详解】（1）解：该同学第二步到第三步运用了完全平方公式； 故选：C． （2）解：该同学因式分解的结果不彻底， 解：设， 原式（第一步） （第二步） （第三步） （第四步）． ； 故答案为：不彻底：． （3）解：设， 原式 ． 4．（2025七年级下·全国·专题练习）分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （）先分组，再利用提公因式进行因式分解即可； （）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可； （）先分组，再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可； 【详解】（1）解： ． （2）解： ； （3）解： ． 对点集训三：首项系数为“1”的二次三项式因式分解 典型例题 例题1．（24-25八年级上·山东烟台·期中）将分解因式，正确的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法求解即可． 【详解】解： 故选：D． 例题2．（24-25八年级上·甘肃定西·期末）阅读理解题：我们知道因式分解与整式乘法是互逆的关系，那么逆用乘法公式，即是否可以分解因式呢？当然可以，而且也很简单．如；． 请你仿照上述方法，把下列多项式分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查因式分解—十字相乘法， （1）把分成，是一次项系数，由此类比分解得出答案即可； （2）把分成，是一次项系数，由此类比分解得出答案即可； （3）把分成，是一次项系数，由此类比分解得出答案即可； （4）把分成，是一次项系数，由此类比分解得出答案即可； 弄清阅读材料中的方法是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）； （3）； （4）． 例题3．（24-25八年级上·福建泉州·期中）阅读下列材料： 将分解因式，我们可以按下面的方法解答： 解：步骤：①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 我们将这种用十字交叉相乘分解因式的方法叫做十字相乘法． 试用上述方法分解因式： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】十字相乘法 【分析】该题主要考查了十字相乘法分解因式，解题的关键是理解题意． （1）根据题干方法解答即可； （2）根据题干方法解答即可； （3）根据题干方法解答即可； （4）根据题干方法解答即可； 【详解】（1）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． （2）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． （3）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． （4）解：， ①竖分二次项与常数项：，， ②交叉相乘，验中项：， ③横向写出两因式：． 精练 1．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的常用方法（提取公因式法、公式法、十字相乘法、换元法等）是解题关键．利用十字相乘法分解因式即可得． 【详解】解：， 故答案为：． 2．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）睿睿自学人教版八年级上册数学教材第121页的“阅读与思考”内容介绍，在因式分解中有一类形如二次三项式的分解因式的方法叫“十字相乘法”．例如：将二次三项式因式分解，这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，则，如图所示，仿照上述解决下列问题：    (1)因式分解：； 睿睿做了如下分析： 一次项为：，则常数项为：； 则________；________； ∴（____）（____） (2)因式分解：； 【答案】(1)2，4，2，4 (2) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，灵活运用十字相乘法进行因式分解成为解题的关键． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）利用十字相乘法分解分解可得． 【详解】（1）解：一次项为：，则常数项为，则；； 所以． 故答案为：2，4，2，4． （2）解：一次项为：，则常数项为， 则． 3．（24-25九年级上·全国·单元测试）阅读材料：方程我们可以按下面的方法解答． 分解因式：． ①竖分二次项与常数项：，． ②交叉相乘，验中项：． ③横向写出两因式：． 根据乘法原理：若，则，或．所以方程可以这样求解：方程左边因式分解得．所以原方程的解为，． 试用上述方法和原理解下列方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，； (2)，； (3)，． 【知识点】因式分解法解一元二次方程、十字相乘法 【分析】（）仿照例题的方法，利用因式分解法求解即可； （）仿照例题的方法，利用因式分解法求解即可； （）仿照例题的方法，利用因式分解法求解即可； 本题考查了解一元二次方程——因式分解法，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：方程左边因式分解，得． 于是得或． 所以原方程的解为，； （2）解：方程左边因式分解，得． 于是得或． 所以原方程的解为，； （3）解：方程左边因式分解，得． 于是得或． 所以原方程的解为，． 对点集训四：首项系数“不为1”的二次三项式因式分解 典型例题 例题1．（23-24八年级上·全国·单元测试）已知方程的两根是，，那么二次三项式分解因式得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、十字相乘法 【分析】本题主要考查解一元二次方程根与系数关系及因式分解， 根据方程的两根是，，可得，求得，再将因式分解即可． 【详解】解：方程的两根为，， ， ， ， ， ， 故选：D 例题2．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解： ． 【答案】 【知识点】十字相乘法、提公因式法分解因式 【分析】本题考查的是提取公因式法和十字相乘法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提取公因式，再根据十字相乘法进行因式分解即可得出答案． 【详解】解： ， ． 故答案为：． 例题3．（23-24八年级下·内蒙古呼和浩特·开学考试）阅读：用“十字相乘法”分解因式的方法． （1）二次项系数． （2）常数项，验算：“交叉相乘之和”．     ． （3）发现第③个“交叉相乘之和”的结果，等于一次项系数． 即，则． 像这样，通过十字交叉线帮助，把二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法． 仿照以上方法，分解因式： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查的是利用十字乘法分解因式； （1）直接利用十字乘法分解因式即可； （2）直接利用十字乘法分解因式即可； （3）把看整体，再利用十字乘法分解因式即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： 例题4．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】十字相乘法、提公因式法分解因式 【分析】此题考查了因式分解-十字相乘法和提公因式法，熟练掌握十字相乘的方法是解本题的关键． （1）原式利用十字相乘法分解即可； （2）原式提取，再利用十字相乘法分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 精练 1．（24-25八年级上·上海松江·期末）在实数范围内分解因式： ． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了因式分解；利用十字相乘法求解即可． 【详解】 故答案为：． 2．（24-25八年级上·福建泉州·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式、十字相乘法、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是： （1）根据平方差公式因式分解即可； （2）先提取公因数2，然后根据十字相乘法因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 3．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式： 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了利用了十字相乘法进行因式分解，利用了十字相乘法分解的分解原则是关键．将4化为，化为，用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： 4．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了分解因式，直接根据十字相乘法分解因式即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 对点集训五：含参数的十字相乘法 典型例题 例题1．（23-24九年级下·云南昆明·开学考试）分解因式 ． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查因式分解，利用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 例题2．（23-24七年级上·上海松江·期末）分解因式：= ． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了因式分解，掌握及十字相乘法的分解方法是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案：． 例题3．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）分解因式： ． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】此题考查了因式分解的方法，利用十字相乘法分解因式即可；解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．因式分解的方法有：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 【详解】． 故答案为：． 精练 1．（2023·浙江衢州·一模）分解因式： 【答案】 【知识点】十字相乘法、提公因式法分解因式 【分析】先提取公因式3，再对余下的多项式利用十字相乘法继续分解． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用提公因式法和十字相乘法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 2．（24-25七年级上·上海青浦·期末）因式分解： 【答案】 【知识点】提公因式法分解因式、十字相乘法 【分析】本题考查了因式分解，先提取负号，然后根据十字相乘法因式分解即可． 【详解】解∶原式 故答案为∶． 3．（24-25七年级上·上海宝山·期末）因式分解：． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查的是因式分解，利用十字乘法分解因式即可． 【详解】解： ； 对点集训六：十字相乘法的综合应用 典型例题 例题1．（24-25七年级上·上海松江·期末）因式分解：． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查的是因式分解，先计算整式的乘法，再合并同类项，最后利用十字乘法分解因式即可． 【详解】解： ． 例题2．（23-24七年级上·上海宝山·期末）因式分解： 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． 连续利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】 ． 例题3．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了分解因式，先把看做一个整体利用十字相乘法分解因式，再继续利用十字相乘法分解因式即可． 【详解】解： ． 精练 1．（24-25七年级上·上海·期中）因式分解：． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．令，将原式变为，然后将代入再分解因式即可． 【详解】解：令则原式变为： ， ∴原式 ． 2．（23-24七年级上·上海·单元测试）因式分解：． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题主要考查十字相乘因式分解．熟练掌握以上知识是解题的关键． 将原式化为，从而因式分解为两个多项式相乘的形式． 【详解】解：， ， ， ． 3．（23-24七年级下·浙江金华·期中）因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】十字相乘法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】此题考查了因式分解的方法，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法：提公因式法，平方差公式法，完全平方公式法，十字相乘法等． （1）利用完全平方公式因式分解即可． （2）先利用十字相乘法分解因式，然后利用平方差公式分解因式． 【详解】（1） ； （2） ． 对点集训七：求十字相乘法中系数 典型例题 例题1．（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）若因式分解得：，则、的值为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、十字相乘法 【分析】本题考查了因式分解和多项式的乘法，掌握以上知识点是解题的关键．根据，即可得到答案． 【详解】解： ， 故选：A 例题2．（23-24八年级下·四川成都·期中）已知关于的二次三项式可分解为，则的值为 ． 【答案】 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了因式分解，能熟记是解此题的关键，根据公式得出，，求出、，再求出答案即可． 【详解】解：关于的二次三项式可分解为， ∴，， 即，， ∴． 故答案为：． 例题3．（2024八年级上·全国·专题练习）（1）若关于x的二次三项式因式分解为，则的值为 ． （2）若， ， ． 【答案】 4 【知识点】计算多项式乘多项式、十字相乘法 【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握多项式乘法法则以及多项式相等的定义是解题关键． （1）首先计算，然后根据因式分解为求解即可； （2）根据已知得出，得到，，求出即可． 【详解】解：（1） ∵因式分解为 ∴， ∴． 故答案为：； （2）∵ ∴， ∴，． 故答案为：4，． 精练 1．（24-25八年级上·山东东营·期中）若把多项式分解因式后含有因式，则的值为（   ） A．6 B． C． D．8 【答案】D 【知识点】十字相乘法 【分析】本题考查了因式分解的意义，熟练掌握十字相乘的方法分解因式是解本题的关键． 直接利用十字相乘解题即可． 【详解】解：∵把多项式分解因式后含有因式， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·山东德州·开学考试）用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是，则m的值是（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【知识点】已知因式分解的结果求参数、十字相乘法 【分析】利用十字相乘法分解可得答案．本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 【详解】解：∵用因式分解法解方程，若将左边因式分解后有一个因式是， ∴， 则， ， 故选：B 3．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）已知，其中k、q均为整数，则 ． 【答案】或15 【知识点】十字相乘法 【分析】把等式右边展开，由对应相等得出，，再由k，q均为整数，求出k和q的值，即可求出答案． 本题考查因式分解—十字相乘法等，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴当时，则， ∴； 当时，则， ∴； 故答案为或15 对点集训八：分组分解法（四项式，五项式，六项式等） 典型例题 例题1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列式子中，属于的因式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】提公因式法分解因式、分组分解法 【分析】本题考查多项式的因式分解及因式的概念，解题的关键是判断每个选项能否整除给定的多项式． 通过对多项式进行分组分解因式，再判断各选项是否为其因式． 【详解】 由此可知是的因式，而都不是它的因式． 故选：C． 例题2．（24-25七年级上·上海松江·阶段练习）分解因式： ． 【答案】 【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了分组分解法分解因式．首先将前三项分组进而利用完全平方公式和平方差公式分解因式得出即可． 【详解】解： 故答案为：． 例题3．（24-25八年级上·浙江温州·期末）分解因式 ． 【答案】 【知识点】十字相乘法、分组分解法 【分析】本题考查了用分组分解和十字相乘法因式分解，解本题的关键在熟练掌握十字相乘法． 先将因式分组分解，再通过十字相乘法，即可得出结果． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 例题4．（24-25九年级上·黑龙江大庆·期中）分解因式： ． 【答案】 【知识点】分组分解法、平方差公式分解因式 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．利用分组分解法，先对因式分解得，再利用平方差公式因式分解． 【详解】解： ， 故答案为：． 精练 1．（24-25七年级下·全国·周测）请灵活运用分组分解的方法对下列多项式进行因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式、分组分解法 【分析】本题考查了分组分解法，提公因式分解因式． （1）先提取公因式，再分组分解，后利用提公因式即可求解； （2）先分组，再提取公因式，再次分组分解，即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： 2．（24-25七年级上·上海嘉定·期末）分解因式：． 【答案】 【知识点】分组分解法 【分析】将前两项分组后两项分组，进而提取公因式再利用平方差公式分解因式． 此题主要考查了分组分解法因式分解，正确进行分组是解题关键． 【详解】解： 3．（24-25七年级上·上海杨浦·阶段练习）分解因式： 【答案】 【知识点】十字相乘法、分组分解法 【分析】先把二次三项式利用十字相乘法进行因式分解，再利用十字相乘法继续分解即可． 本题考查的是利用分组分解法进行因式分解，把多项式进行正确的分组、灵活运用十字相乘法是解题的关键． 【详解】解： ． 4．（24-25七年级上·上海·阶段练习）分解因式：． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、分组分解法 【分析】本题主要考查了分组分解法，综合提公因式和公式法分解因式等知识点，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键． 先对原式使用分组分解法分解因式，得到，然后提取公因式，再对剩余部分使用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 对点集训九：因式分解的应用 典型例题 例题1．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）小南是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中有这样一条信息：分别对应下列六个字：学，爱，我，趣，味，数，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．我爱学 B．爱数学 C．趣味数学 D．我爱数学 【答案】D 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解的应用，将进行因式分解，然后根据整式对应的字，进行判断即可． 【详解】解：， ∵对应的字为：学，爱，我，数， 故呈现的密码信息可能是我爱数学； 故选D． 例题2．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）现在生活人们已经离不开密码，如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式．因式分解的结果是，若取，时，则各个因式的值是：，，，把这些值从小到大排列得到，于是就可以把“016128”作为一个六位数的密码，对于多项式，取，时，请你写出用上述方法产生的密码 ． 【答案】 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、代数式求值等知识点，正确进行因式分解是解题的关键．把所求的代数式分解因式后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后整体代入即可解答． 【详解】解：， 当，时，， 所以把它们从小到大排列得到． 用上述方法产生的密码是：． 故答案为：． 例题3．（2025七年级下·全国·专题练习）一个长方形的长与宽分别为．若该长方形的周长为14，面积为5，求的值． 【答案】 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，涉及完全平方和公式，利用长方形面积公式得到，由长方形周长公式得到，将原式因式分解得出，将与代入求值即可得到答案．熟记公式结构，正确将原式分解因式是解题的关键． 【详解】解：∵长方形的长与宽分别为．若该长方形的周长为14，面积为5， ∴，， ∴ 将，代入可知，原式． 例题4．（24-25八年级上·河南周口·期中）有3个整式：：，：，：． (1)若，请化简整式； (2)若“”可以因式分解为，求□内实数的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】因式分解的应用、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了多项式乘单项式，因式分解的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把, ， 代入进行计算，即可作答． （2）设，，因为，所以，，即可作答． 【详解】（1）解：∵,，，且， ∴； （2）解：设，， ∵， ∴， ∴，， 解得， 即□内实数的值为． 例题5．（24-25八年级上·四川乐山·期末）设是关于x的多项式，若方程有一个根为，则．所以多项式必有一个一次因式．例如，多项式，当时，，则必有一个一次因式，那么，，而，所以，，．这种因式分解的方法叫做“试根法”．解决下列问题： (1)请你用“试根法”分解因式： ①； ②； (2)若多项式（m为常数）有一个因式为，求m的值并将此多项式因式分解． 【答案】(1)①；② (2)， 【知识点】计算多项式乘多项式、因式分解的应用 【分析】本题考查因式分解，多项式乘多项式，理解“试根法”的原理是解题的关键． （1）① 时，，令，参照题干，即可求解；②当时，，令，参照题干，即可求解； （2）令，参照题干，即可求解． 【详解】（1）解：① 当时，， 则必有一个一次因式， 令， 而， ，， ． ②当时，， 则必有一个一次因式， 令， 而， ，，， ，，， ． 同理，可得， ； （2）解：多项式（m为常数）有一个因式为， 令， 而， ，，，， 解得，，， ， ， 同理，可得， ． 精练 1．（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）利用因式分解计算等于（    ） A．1 B． C．2024 D．2025 【答案】C 【知识点】因式分解的应用、提公因式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解的应用，根据提公因式法计算即可得解，熟练掌握提公因式法是解此题的关键． 【详解】解：， 故选：C． 2．（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知，，则的值为 ． 【答案】24 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、因式分解的应用 【分析】本题考查了因式分解的应用，由题意可得，再将所求式子进行因式分解，整体代入进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 3．（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题． 我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”． 例如，5是“完美数”．理由：因为，所以5是“完美数”． 利用上面提到的数学思想方法解决下列问题： 【应用】（1）数61__________“完美数”（填“是”或“不是”）； 【探究】（2）已知，则__________； （3）已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的k值； 【拓展】（4）已知x、y满足，求代数式的最小值． 【答案】（1）是；（2）1；（3）9；（4） 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、因式分解的应用、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了配方法的应用，掌握完全平方公式的特点是解题的关键． （1）根据新定义求解； （2）先把等式的左边进行配方，再根据非负数的性质求出、的值，再求； （3）先根据的前四项进行配方，再根据相等的条件求解； （4）根据条件求出的值，再进行配方求解． 【详解】（1）解：， 是“完美数”， 故答案为：是； （2）解：， ，， ， 故答案为：1； （3）解： ， 为“完美数”， ， ； （4）解：， ， ， ， 当时，的最小值为． 4．（24-25七年级下·全国·期末）浙教版数学教材七下第4章《因式分解》4.3“用乘法公式分解因式”中这样写到：“我们把多项式及叫作完全平方式”．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例如：分解因式：原式；求代数式的最小值：，可知当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，用配方法解决下列问题： (1)分解因式：________________________． (2)求代数式的最大值． (3)当，为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值． 【答案】(1) (2)17 (3)当，时，该多项式有最小值，这个最小值为 【知识点】因式分解的应用、构造二元一次方程组求解 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，配方法的应用，非负数的性质，将多项式配方，再利用非负数的性质解答是解题的关键． （1）利用题干提供的方法，先配方，再利用平方差公式进行因式分解，即可解答； （2）先配方，然后根据完全平方式的非负性求最大值即可； （3）先配方，把原式化成两个完全平方式和一个常数之和的形式，然后根据完全平方式的非负性求最小值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：因为 ， 所以当时，的值最大，最大值是17. （3） ， 取等号时，有， 解得， 所以当，时，该多项式有最小值，这个最小值为． 5．（24-25八年级上·广东汕头·期末）先阅读，再解决问题： 将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式分解的方法叫分组分解法． 例如：． (1)分解因式：； (2)若，求m和n的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】分组分解法、因式分解的应用 【分析】本题主要考查了因式分解的应用、分组法因式分解等知识点，灵活运用分组法进行因式分解成为解题的关键． （1）先将原式分组后进行因式分解即可； （2）先将原式分组后进行因式分解，然后根据非负数的性质列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴，解得：． 第03讲 因式分解(分层精练） A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25八年级上·山西朔州·期末）在下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】本题考查了利用平方差公式分解因式．根据平方差公式的特征，即可求解． 【详解】解：A、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意； B、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意； C 、，不能用平方差公式分解因式，本选项不符合题意； D、，能用平方差公式分解因式，本选项符合题意； 故选：D． 2．（2025七年级下·全国·专题练习）用分组分解法分解多项式时，下列分组方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】此题主要考查分组分解法分解因式，分组后都可运用公式，熟练掌握分组分解法分解因式是解答本题的关键． 将分为一组，再观察剩下的式子，即． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）下列变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】此题考查因式分解，分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式．因此，要确定从左到右的变形中是否为分解因式，只需根据定义来确定． 【详解】解：A、是多项式乘法，不是因式分解，错误； B、有分式，不是因式分解，错误； C、是因式分解，正确； D、右边不是积的形式，错误； 故选：C． 4．（24-25八年级上·广东珠海·期末）下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用完全平方公式进行运算、判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解．因式分解的定义：把一个多项式分解成几个因式的积的形式，叫做把一个多项式分解因式，根据完全平方公式、因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A、是整式的乘法，不是因式分解，本选项不符合题意； B、等式的右边不是整式积的形式，不是因式分解，本选项不符合题意； C、，原分解错误，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）已知因式分解后，其中有一个因式为，则k的值为（   ） A．6 B． C．10 D． 【答案】B 【知识点】因式分解的应用 【分析】本题主要考查因式分解，根据题意，令，当时，代入求解即可． 【详解】解：令 当时， ∴ 故选：B． 6．（24-25八年级上·陕西渭南·期末）下列各式变形中，从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断是否是因式分解 【分析】本题主要考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫因式分解，等号的左边是一个多项式，右边是几个整式的积．根据因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A、，右边不是几个整式的积的形式，本选项不符合题意； B、，是整式的乘法，不是因式分解，本选项不符合题意； C、，是整式的乘法，不是因式分解，本选项不符合题意； D、，是因式分解，本选项符合题意． 故选：D． 7．（24-25八年级上·天津南开·期末）对于任何整数m．多项式一定能（    ） A．被8整除 B．被x整除 C．被9整除 D．被整除 【答案】A 【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了因式分解的应用，掌握因式分解的方法是正确解答的关键． 综合提公因式法和公式法将原式化为即可． 【详解】解： ， ∴多项式一定能8整除， 故选：A． 8．（24-25八年级上·河北承德·期末）若k为任意整数，则的值总能（   ） A．被4整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被7整除 【答案】A 【知识点】因式分解的应用、平方差公式分解因式 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式把因式分解为，据此可得答案． 【详解】解： ； ∵k为任意整数， ∴为整数， ∴一定能被4整除， ∴的值总能被4整除， 故选：A． 二、多选题 9．（23-24八年级上·山东泰安·期中）下列代数式变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、判断是否是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫把这个多项式因式分解，也叫分解因式，根据因式分解的定义分析求解即可。 【详解】解：A、，不符合因式分解的定义，故本选项不符合题意； B、，符合因式分解的定义，故本选项符合题意； C、)，符合因式分解的定义，故本选项符合题意； D、，左边不等于右边，故本选项不符合题意． 故选：BC． 10．（2021七年级下·全国·专题练习）下列因式分解不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【知识点】提公因式法分解因式、十字相乘法、平方差公式分解因式 【分析】利用提公因式法、公式法以及十字相乘法对各项分解因式得到结果，判断即可． 【详解】解：A、原式＝x（x﹣2），故A选项符合题意； B、原式＝（a﹣3）（a+2），故B选项符合题意； C、原式不能分解，故C选项符合题意； D、原式＝（2x+y）（2x﹣y），故D选项不符合题意， 故选：ABC． 【点睛】此题考查了因式分解﹣十字相乘法以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 三、填空题 11．（24-25八年级上·陕西西安·期末）若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值为 ． 【答案】或 【知识点】完全平方公式分解因式 【分析】本题考查因式分解—公式法，利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．解题的关键是掌握完全平方公式：． 【详解】解：∵多项式能用完全平方公式进行因式分解， ∴， 解得：或， ∴的值为或． 故答案为：或． 12．（24-25八年级上·河南开封·期末），，则 ． 【答案】18 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、提公因式法分解因式、因式分解的应用 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行计算，因式分解的应用，此题较简单，解题时要熟练掌握公式结构是求解的关键．根据，，得出，然后利用完全平方公式把进行变形，然后代入数据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案是：． 四、解答题 13．（2025七年级下·全国·专题练习）用指定的方法把下列各式分解因式： (1)（拆常数项）； (2)（拆一次项）； (3)（逆用乘法法则）． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、十字相乘法、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解答本题的关键． （1）用拆常数项的方法解答即可； （2）用拆一次项的方法解答即可； （3）逆用乘法法则的方法解答即可． 【详解】（1）解：原式， ， ， ； （2）解：原式， ， ； （3）解：原式， ． 14．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】提公因式法分解因式 【分析】本题考查了分解因式，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键. （1）用提公因式法分解因式即可； （2）用提公因式法分解因式即可. 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 15．（2025七年级下·全国·专题练习）把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】平方差公式分解因式 【分析】此题考查了因式分解． （1）利用平方差公式分解因式即可； （2）利用平方差公式分解因式即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式 ． 16．（24-25八年级上·山西朔州·期末）（1）分解因式：； （2）分解因式：； （3）利用因式分解计算：． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． （1）先提公因式，再用完全平方公式分解； （2）先提公因式，再用平方差公式分解； （3）运用完全平方公式进行分解计算． 【详解】解：（1） ； （2） ； （3） ． B能力提升 一、单选题 1．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则的值为（   ） A． B． C． D．6 【答案】C 【知识点】运用完全平方公式进行运算、平方差公式分解因式 【分析】此题考查了因式分解和整式混合运算，根据题意求出，，即可求出的值． 【详解】解∶∵， ∴， ∵， ∴， ∴解得， ∴．即 ∵ ∴ 解得 故选：C． 2．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）三个超市出售同一种商品，其标价相同，年底各超市分别对该商品进行降价销售： 甲超市第一次降价，第二次降价； 乙超市第一、二次降价均为； 丙超市一次性降价． 其中a，b为不相等的正数，则降价后该商品卖的最贵的超市为（   ） A．甲超市 B．乙超市 C．丙超市 D．一样多 【答案】B 【知识点】列代数式、完全平方公式分解因式、计算多项式乘多项式、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查的是列代数式，利用完全平方公式分解因式，设商品原价为1，可得甲超市的价格为，乙超市的价格为，丙超市的价格为，设，，再进一步计算与比较大小即可． 【详解】解：设商品原价为1， 甲超市的价格为， 乙超市的价格为， 丙超市的价格为， 设，， ∴， ， ， ∵，则， ∴， ∵ ， ∴到乙超市购买最贵． 故选：B． 3．（24-25八年级上·陕西商洛·阶段练习）若，则的值为（    ） A．12 B．6 C．3 D．0 【答案】A 【知识点】综合提公因式和公式法分解因式 【分析】本题考查了因式分解的应用，原式先提取公因式，然后根据完全平方公式因式分解，将整体代入，即可求解． 【详解】解： ， ∵， ∴原式， 故选：A． 二、填空题 4．（24-25七年级下·全国·期末）如图，标号为①，②，③，④的长方形不重叠地围成长方形．已知①和②能够重合，③和④能够重合，这四个长方形的面积都是．，，且． （1）的长是 ； （2）若代数式，则的值是 ． 【答案】 4 【知识点】因式分解的应用、分式的求值 【分析】本题考查了代数式及其分式的化简求值，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的根据． （1）根据图象表示出即可； （2）根据分解因式可得，根据这四个矩形的面积都是5，可得，再进行变形化简即可求解． 【详解】（1）①和②能够重合，③和④能够重合，，，， ， 故答案为：； （2）， ， 或，即（负舍）或 这四个长方形的面积都是5， ， ， 故答案为：4． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）写出公因式： （1）中分子、分母的公因式是 ； （2）中分子、分母的公因式是 ； （3）中分子、分母的公因式是 ． 【答案】 / / / 【知识点】约分、公因式 【分析】本题主要考查了求公因式，掌握公因式的定义是解答本题的关键． 公因式是指：数字的最大公约数，相同字母的最低次幂组成的式子，据此求解即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·山东烟台·期末）将多项式进行因式分解得到，则的值为 ． 【答案】13 【知识点】计算多项式乘多项式、已知因式分解的结果求参数 【分析】本题考查了多项式乘多项式以及因式分解的概念：先把运用多项式乘多项式的法则展开，再与进行比较，即可作答． 【详解】解：依题意， 因为多项式进行因式分解得到， 所以 那么，， 故，， 所以， 故答案为：． 三、解答题 7．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图1，有正方形纸片A，B和长方形纸片C各若干张，小王用1张A纸片，2张B纸片，3张C纸片拼出了如图2所示的一个大长方形．在拼图过程中他发现，图2所示大长方形的面积可以用“拼图时用到的6张纸片的面积和”表示，也可以“按长方形面积公式长×宽”计算得出，由此他得到了一个用纸片拼图分解因式的方法． (1)结合图1、图2试着分解因式： ； (2)类比上述用纸片拼图分解因式的方法： ①请你利用图1中A，B，C三种纸片拼出面积为的一个长方形，在图3的方框中画出拼好后的图形； ②你的拼图共用了 张A纸片， 张B纸片， 张C纸片； ③结合你的拼图过程，分解因式 ． 【答案】(1) (2)①见解析； ② 3，1，4 ；③ 【知识点】因式分解的应用、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是能运用图形的面积计算的不同方法得到多项式的因式分解． （1）按长方形面积公式长×宽”计算得出； （2）①根据题意画出相应图形；②根据拼图即可得到A，B，C三种纸片各用了多少张；③根据长方形的面积分解因式即可． 【详解】（1）解：通过面积计算可以发现， ， 故答案为：； （2） ①解：如图； ②根据拼图即可得到共用了3张A纸片，1张B纸片，4张C纸片； 故答案为：3,1,4； ③根据拼图过程和长方形面积公式可得； 故答案为：． 8．（24-25八年级上·山东临沂·期末）发现与探索： (1)根据小明的解答将下列各式因式分解． 小明的解答： ①； ②． (2)根据小丽的思考解决下列问题： 小丽的思考：代数式无论取何值，都大于等于0，再加上4，则代数式大于等于4，则有最小值为4． ①说明：代数式的最小值为； ②请仿照小丽的思考解释代数式的最大值为8，并求代数式的最大值． 【答案】(1)①   ② (2)①见解析   ②见解析， 【知识点】平方差公式分解因式、不等式的性质、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式分解因式，不等式的性质等知识点，熟练掌握乘法公式、公式法分解因式及不等式的性质是解题的关键． （1）①将变形为，然后利用完全平方公式将其变形为，再利用平方差公式分解因式即可； ②将变形为，然后利用完全平方公式将其变形为，再利用平方差公式分解因式即可； （2）①将变形为，然后利用完全平方公式将其变形为，再利用不等式的性质即可得出结论； ②利用不等式的性质即可解释代数式的最大值为8；将变形为，然后利用完全平方公式将其变形为，再利用不等式的性质即可求出其最大值． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：① ， 无论取何值都大于等于0，再加上，则代数式大于等于， 则的最小值为； ②无论取何值都小于等于0，再加上8，则代数式小于或等于8， 则的最大值为8， ， 无论取何值都小于等于0，再加上28，则代数式小于等于28，则的最大值为28． 9．（24-25八年级上·山东日照·期末）我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的常数项，使式子中出现完全平方式，再减去这个常数项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的数学方法，不仅可以将一个二次三项式分解因式，还能解决一些求代数式最大值、最小值的问题等．先阅读下面两个例子，再解决问题． 例1  分解因式： 解： 例2  求代数式的最小值． 解： ∵， ∴， 即代数式的最小值是． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：______． (2)多项式有最大值还是最小值？并求出这个最大值或最小值． (3)已知等腰的两边长分别为，，且满足，求的周长． 【答案】(1) (2)有最大值，最大值为6 (3)10 【知识点】运用完全平方公式进行运算、等腰三角形的定义、平方差公式分解因式 【分析】本题考查了完全平方式的应用，等腰三角形的性质，掌握完全平方公式的结构特点并灵活运用是解题的关键； （1）把前两项凑成完全平方式后，利用平方差公式分解因式即可； （2）提取负号后，再把前两项凑成完全平方式，利用非负数的性质即可求解； （3）由已知等式可化为，由非负数的性质可求得a与b的值，分两种情况考虑，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴， 即多项式有最大值，且最大值为6； （3）解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴； ∵是等腰三角形， ∴三边的情况为：2，2，4或4，4，2； 由于，不符合构成三角形的条件，不符合题意， 而，符合构成三角形的条件， ∴的周长为． 10．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）【阅读材料】 教材中把形如的式子叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．利用配方法不仅可以将多项式进行因式分解，还能解决求一些多项式最大值或最小值等问题．例如： ①分解因式： ． ②求多项式的最小值： ， ， 当时，有最小值，最小值是． 【解决问题】 (1)按照上述方法分解因式：； (2)多项式的最小值为4，请求出的值； (3)若实数，满足，请求多项式的最值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为 【知识点】平方差公式分解因式、完全平方公式分解因式 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练利用完全平方公式因式分解和计算是解题的关键， （1）利用题中的“配方法”，构造完全平方公式，即可分解因式； （2）利用“配方法”将原式变成，由于，故，从而得到，进而得到，即可求出值； （3）根据（2）的方法，利用“配方法”将原式变成，通过移项得，由于，从而得到，即可得到的最大值． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）原式 ， ∵ ∴ ∴ ∵原多项式最小值为4． ， ， （3）原式可变形为： ∴， ． ∵ ∴ ∴ ∴ 取最大值为． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$