衔接点02 根式、分式的化简-2025年初升高数学无忧衔接（通用版）

衔接点02 根式、分式的化简 初中阶段 高中阶段 1、能熟练把二次根式化简为最简根式 2、了解分式和最简分式 3、能熟练应用分式基本性质约分和通分 1、能熟练化简分式 2、熟悉分母有理化，并能灵活应用 衔接指引 初中阶段考查形式：选择，填空题。 高中阶段考查形式：融入到代数运算中，作为基本工具。 1、初中知识再现 （1）二次根式的定义 一般地，形如的式子叫做二次根式. （2）二次根式性质： ① ②[来源:学科网] ③ ④ （3）分式 形如：（其中中含有字母）的式子叫作分式. （4）分式的基本性质： 分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变.用式子表示为： 2、高中相关知识 （1）无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式.例如：，是无理式，而不是无理式 （2）分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同时乘分母的有理化因式.例如：. （3）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式.常用的有理化因式有： ①与 ②与 （4）繁分式：当一个分式的分子或分母中仍含有分式时，该分式就称为繁分式.如：或等.繁分式的化简，通常将其化成分式的除法进行运算. 对点集训一：二次根式有意义的条件 典型例题 例题1．（2025八年级下·全国·专题练习）若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25八年级下·四川自贡·开学考试）若，求 ． 例题3．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知，，则的算术平方根为 ． 例题4．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知为有理数，求式子的值． 精练 1．（甘肃省武威二十四中联片教研2024-2025学年下学期开学检测八年级数学试卷）当实数 时，有意义． 2．（2025九年级下·湖北·学业考试）已知函数的自变量的取值范围是全体实数，则的取值范围为 ． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）若有意义，则的取值范围是 ． 4．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知x，y为实数，若满足，则的值为 ． 对点集训二：求二次根式中的参数 典型例题 例题1．（2024八年级上·北京·专题练习）如果两个最简二次根式与能合并，那么 ． 例题2．（23-24八年级下·北京·期中）已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值． 例题3．（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并． ①求的值； ②求与的乘积． 精练 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）最简二次根式与能合并，则 ． 2．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）如果最简根式和是同类二次根式，则 3．（2024八年级下·全国·专题练习）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 对点集训三：二次根式的乘法与除法及其混合运算 典型例题 例题1．（2025八年级下·浙江·专题练习）计算与化简： (1) (2) (3) (4)． (5) (6)； (7) 例题2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）观察与计算： ；； __________；__________． 像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如：；；； 【应用】 （1）化简： ①； ②； （2）化简：． 例题3．（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）计算： (1) (2) 例题4．（24-25八年级下·江西宜春·开学考试）计算： (1)； (2)． 精练 1．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 对点集训四：最简二次根式 典型例题 例题1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）将二次根式化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25八年级上·四川甘孜·期末）已知、满足，则 ． 例题3．（2025八年级下·浙江·专题练习）下列各式中，哪些是同类二次根式？ ① ② ③ ④ ⑤， ⑥ 例题4．（24-25八年级上·河北保定·期末）解决下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 精练 1．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）已知，，则的值为 ． 2．（2025九年级下·安徽·学业考试）计算 ． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）计算： (1) (2) 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）计算：． 对点集训五：二次根式的加法与减法及其混合运算 典型例题 例题1．（24-25九年级上·四川乐山·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25八年级上·广西来宾·期末）计算 ． 例题3．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）计算 (1) (2) 例题4．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）计算 (1)； (2)． 精练 1．（24-25九年级上·山西长治·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·河南南阳·期末）计算： ． 3．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）化简 (1) (2) 4．（24-25八年级下·全国·期中）计算： (1)． (2)． 对点集训六：分母有理化 典型例题 例题1．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ． 若，则的值为（    ） A．5 B．1 C． D． 例题2．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）若，，则 ． 例题3．（24-25九年级下·福建泉州·开学考试）先化简，再求值：其中． 例题4．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）阅读下列材料，然后解答问题： 我们可以将其进一步化简：；， 以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化． (1)根据上面规律化简：______；______； (2)化简：． 精练 1．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）阅读与理解 周学们，你知道平方差公式吗？它实际上就，你会用吗？请阅读下列解题过程： 这实际上就是分母有理化的过程！ 利用上面的解法， ． 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）若，则 ． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）比较大小： ．（填“﹥”“﹤”或“=”） 4．（24-25八年级上·陕西西安·期中）阅读并观察下列各式及其验证过程． ；． 验证：； ． (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：________； (2)通过上述探究，猜想________（，且为整数） (3)计算： 对点集训七：分式的意义 典型例题 例题1．（24-25八年级上·广西来宾·期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 例题2．（24-25八年级上·山东淄博·期末）关于分式，下列说法错误的是（    ） A．当时，分式有意义 B．当时，分式的值为 C．当时，分式没有意义 D．当时，分式的值为 例题3．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）若分式的值为0，分式无意义，求的值； （2）对于分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求的值． 例题4．（2025·广东深圳·一模）先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值． 精练 1．（2025八年级下·全国·专题练习）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东临沂·期末）要使分式有意义，则需满足的条件是 ． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是“和谐分式”．若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． (1)给出下列分式：①；②；③；④．其中属于“和谐分式”的是_______（填序号）； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)化简．若该式的值为整数，求x的整数值． 对点集训八：分式的化简求值 典型例题 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）若实数a，b满足，，则的值等于（    ） A．2025 B． C． D． 2．（24-25八年级上·山东济宁·期末）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______+______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． 3．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中． 4．（24-25八年级上·辽宁·期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：． (1)将假分式化为一个整数与一个真分式的和； (2)若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值； (3)若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若，，求的最小值． 精练 1．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）化简求值：，其中． 2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）先化简再求值： (1)，其中； (2)，其中． 3．（24-25九年级下·新疆喀什·开学考试）化简： (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 4．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）下面是一位同学化简代数式的解答过程： 解；原式＝ (1)这位同学的解答，在第 步出现错误，错误的原因是 ； (2)请你写出正确的解答过程，并在中选一个你喜欢的整数代入求值． 对点集训九：分式的基本性质 典型例题 例题1．（24-25七年级下·全国·期末）如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（    ） A．缩小到原来的 B．扩大倍 C．不变 D．缩小到原来的 例题2．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 例题3．（2025·河南郑州·一模）已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 例题4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若成立，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 精练 1．（2025七年级下·全国·专题练习）将分式中的的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的6倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍 2．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·北京昌平·期末）下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·北京西城·期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 第02讲 根式、分式的化简(分层精练） A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）在函数中，自变量x的取值范围是（      ） A．且 B．且 C． D． 2．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）已知最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值为（    ）． A．5 B．3 C．4 D．7 3．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）在，，，中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）对分式通分以后，的结果是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·山西忻州·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）下列各式中①，②，③，④，⑤，二次根式的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 9．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）下列分式化简错误的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）若分式的值为，则 ． 12．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知x，y为实数，若满足，则的值为 ． 四、解答题 13．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）小明在解决问题：已知，求的值．因为，所以所以，所以，所以，请根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：＝______-________． (2)计算：． (3)若，求的值． 14．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）化简： (1) (2) 15．（24-25八年级上·山东日照·期末）先化简，再求值：，其中． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）（教材变式）先约分，再求值： （1），其中； （2），其中； （3），其中； （4），其中． B能力提升 1．（山西省长治市部分学校2025年九年级下学期中考一模数学试卷）（1）计算： （2）下面是小明同学分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 第一步 第二步 第三步   第四步   第五步 任务一：填空：以上化简步骤中第_______步是进行分式的通分，通分的依据是______________；第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是______________． 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）观察下列一组等式．解答后面的问题： ； ． (1)化简：_____，_____（n为正整数）． (2)比较大小：_____（填“”，“”或“”）． (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果： __________． 3．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）【阅读材料】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：__________． (2)计算：． (3)已知，，求的值． 4．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 衔接点02 根式、分式的化简 初中阶段 高中阶段 1、能熟练把二次根式化简为最简根式 2、了解分式和最简分式 3、能熟练应用分式基本性质约分和通分 1、能熟练化简分式 2、熟悉分母有理化，并能灵活应用 衔接指引 初中阶段考查形式：选择，填空题。 高中阶段考查形式：融入到代数运算中，作为基本工具。 1、初中知识再现 （1）二次根式的定义 一般地，形如的式子叫做二次根式. （2）二次根式性质： ① ②[来源:学科网] ③ ④ （3）分式 形如：（其中中含有字母）的式子叫作分式. （4）分式的基本性质： 分式的分子与分母同时乘以（或除以）同一个不为的整式，分式的值不变.用式子表示为： 2、高中相关知识 （1）无理式：根号下含有字母的式子并且开不尽方的根式叫做无理式.例如：，是无理式，而不是无理式 （2）分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.其方法是分子、分母同时乘分母的有理化因式.例如：. （3）有理化因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含根式，那么这两个代数式叫做互为有理化因式.常用的有理化因式有： ①与 ②与 （4）繁分式：当一个分式的分子或分母中仍含有分式时，该分式就称为繁分式.如：或等.繁分式的化简，通常将其化成分式的除法进行运算. 对点集训一：二次根式有意义的条件 典型例题 例题1．（2025八年级下·全国·专题练习）若成立，则x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式有意义的条件、二次根式的乘法、求不等式组的解集 【分析】本题考查的是二次根式的乘除法、二次根式有意义的条件，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 根据二次根式的乘法法则、二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得：， 故选：C． 例题2．（24-25八年级下·四川自贡·开学考试）若，求 ． 【答案】2025 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．根据实数的性质可得，进而得到，则可求出． 【详解】解；有意义， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：2025． 例题3．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知，，则的算术平方根为 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、二次根式的混合运算 【分析】本题考查二次根式的混合运算、二次根式有意义的条件．根据，，可以求得x、y的值，然后即可求得的平方根． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴，，， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 例题4．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知为有理数，求式子的值． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件—被开方数大于等于，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件求出的值，再把代入原式即可解答． 【详解】解：， ， 原式． 精练 1．（甘肃省武威二十四中联片教研2024-2025学年下学期开学检测八年级数学试卷）当实数 时，有意义． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，根据题意得，解不等式即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：要使有意义，则， 即， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（2025九年级下·湖北·学业考试）已知函数的自变量的取值范围是全体实数，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】求自变量的取值范围、二次根式有意义的条件、绝对值的意义 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据绝对值的意义，得到当时，这个距离之和最小，最小值为5，根据二次根式有意义的条件，得到恒成立，即可得出结果． 【详解】解：表示在数轴上表示数的点到表示数3与表示数的点的距离之和， 当时，这个距离之和最小，最小值为5，即 ∵函数的自变量的取值范围是全体实数，恒成立， ． 3．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）若有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解答本题的关键． 根据二次根式的性质，被开方数大于或等于，可以求出的取值范围． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知x，y为实数，若满足，则的值为 ． 【答案】5 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、代数式的求值等知识，根据二次根式有意义的条件求出，由此得到y的值，再进行计算即可． 【详解】解：由可知，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：5． 对点集训二：求二次根式中的参数 典型例题 例题1．（2024八年级上·北京·专题练习）如果两个最简二次根式与能合并，那么 ． 【答案】4 【知识点】已知最简二次根式求参数、同类二次根式、解一元一次方程（一）——合并同类项与移项 【分析】本题主要考查了最简二次根式、同类二次根式、一元一次方程等知识，理解并掌握最简二次根式和同类二次根式的定义和性质是解题关键．根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得关于的一元一次方程，求解即可获得答案． 【详解】解：∵两个最简二次根式与能合并， ∴两个最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得． 故答案为：4． 例题2．（23-24八年级下·北京·期中）已知最简二次根式与可以合并，且，求代数式的值． 【答案】 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查的是同类二次根式及最简二次根式，非负数的性质．由同类二次根式的定义和非负数的性质得出①，②，③，将①、②代入③得，求得，继而可得、，将分式化简、代入计算可得． 【详解】解：最简二次根式与可以合并，， 且、， 则①，②，③， 将①、②代入③，得：， 解得：， 、， ． 例题3．（23-24八年级下·河北保定·阶段练习）已知二次根式． (1)求使得该二次根式有意义的的取值范围； (2)已知是最简二次根式，且与可以合并． ①求的值； ②求与的乘积． 【答案】(1) (2)①；②5 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数、二次根式的乘法、二次根式有意义的条件 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可； （2）①根据最简根式和同类二次根式的定义可得，解方程即可得到答案；②根据①所求利用二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：二次根式有意义， ， 解得； （2）解：①， 与能合并，并且是最简二次根式， ， 解得； ②由①可得． 【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，最简二次根式和同类二次根式的定义，二次根式的乘法等等，熟知二次根式的相关知识是解题的关键． 精练 1．（23-24八年级下·全国·单元测试）最简二次根式与能合并，则 ． 【答案】2 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，代数式求值等知识．熟练掌握同类二次根式，最简二次根式，代数式求值是解题的关键． 由题意知，，，计算求解，然后代值求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 解得，，， ∴， 故答案为：2． 2．（23-24八年级下·福建龙岩·阶段练习）如果最简根式和是同类二次根式，则 【答案】2 【知识点】已知最简二次根式求参数 【分析】根据同类二次根式的定义：两个最简二次根式，被开方数相同，列式求解即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查同类二次根式．熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 3．（2024八年级下·全国·专题练习）若最简二次根式与是同类二次根式． (1)求a的平方根； (2)对于任意不相等的两个数x，y，定义一种运算“”如下：，如：，请求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】同类二次根式、已知最简二次根式求参数、新定义下的实数运算、求一个数的平方根 【分析】本题考查了最简二次根式和同类二次根式的定义，求平方根，新定义下的实数运算,二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的定义及二次根式的化简是解题的关键． （1）根据同类二次根式的定义得出，求出a，再根据平方根的定义求出a的平方根即可； （2）先根据新运算求出，再根据新运算求出的值即可． 【详解】（1）最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得， 的平方根是； （2）， ， ． 对点集训三：二次根式的乘法与除法及其混合运算 典型例题 例题1．（2025八年级下·浙江·专题练习）计算与化简： (1) (2) (3) (4)． (5) (6)； (7) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) 【知识点】二次根式的除法、利用二次根式的性质化简 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算以及二次根式的化简，正确掌握运算法则是解题关键． （1）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （2）直接利用二次根式的除法运算法则求出答案； （3）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （4）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （5）直接利用二次根式的性质化简求出答案； （6）直接利用二次根式的除法运算法则求出答案； （7）直接利用二次根式的性质化简求出答案； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． （5）解：； （6）解： ； （7）解：． 例题2．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）观察与计算： ；； __________；__________． 像上面各式左边两因式均为无理数，右边结果为有理数，我们把符合上述等式的左边两个因式称为互为有理化因式．当有些分母为带根号的无理数时，我们可以分子、分母同乘分母的有理化因式进行化简．例如：；；； 【应用】 （1）化简： ①； ②； （2）化简：． 【答案】，，（1）①；②；（2） 【知识点】运用平方差公式进行运算、分母有理化、二次根式的乘法 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，涉及二次根式的乘法运算、平方差公式、分母有理化；解题的关键是能够准确理解题意运用相关运算法则进行求解．“观察与计算”直接根据二次根式乘法运算法则和平方差公式求解即可；“应用” （1）依据题意进行分母有理化即可，其中①先把分母化简，再把分子分母同时乘以即可得到答案；②把分子分母同时乘以，再计算化简即可得到答案； （2）先对原式每一项进行分母有理化，即可得到，由此计算求解即可． 【详解】解：观察与计算： ； ； （1）①； ②； （2）∴ 例题3．（24-25八年级上·宁夏中卫·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的混合运算进行计算即可求解； （2）先计算二次根式的除法，然后合并同类二次根式，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： 例题4．（24-25八年级下·江西宜春·开学考试）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的乘除混合运算、负整数指数幂、零指数幂、实数的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． （1）先根据二次根式的性质，负整数指数幂和零指数幂进行计算，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的乘除法法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 精练 1．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)3y 【知识点】二次根式的乘除混合运算 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算． （1）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （2）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （3）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解； （4）利用二次根式的乘除混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： • • ． 2．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】二次根式的乘除混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （2）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （3）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可； （4）根据二次根式的乘除法运算法则进行计算，并由二次根式的性质进行化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)3 (3) (4) 【知识点】二次根式的乘除混合运算、二次根式的除法 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的除法法则：根指数不变，被开方数相除进行计算； （2）先逆用二次根式相乘法则，把写成，进行约分即可； （3）根据二次根式的除法法则：根指数不变，被开方数相除进行计算； （4）根据二次根式的除法法则：系数相除，根指数不变，被开方数相除进行计算． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 4．（2025八年级下·全国·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【答案】(1)10 (2) (3) (4)9 (5) (6) (7) (8) (9) (10) 【知识点】二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简 【分析】此题主要考查了二次根式的乘法运算． （1）根据二次根式的乘法运算直接得出即可； （2）根据二次根式的乘法运算直接得出即可； （3）根据二次根式的乘法运算进而化简得出即可； （4）根据二次根式的乘法运算直接得出即可； （5）根据二次根式的乘法运算直接得出即可； （6）根据二次根式的乘法运算直接得出即可； （7）根据二次根式的乘法运算进而化简得出即可； （8）根据二次根式的乘法运算进而化简得出即可； （9）根据二次根式的乘法运算进而化简得出即可； （10）根据二次根式的乘法运算进而化简得出即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：； （5）解：； （6）解：； （7）解： ； （8）解：； （9）解：； （10）解：． 对点集训四：最简二次根式 典型例题 例题1．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）将二次根式化为最简二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】最简二次根式的判断、利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了最简二次根式，先根据有意义得到，再根据二次根式的性质化成最简二次根式即可解答． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴且， 解得， ∴， 故选：B． 例题2．（24-25八年级上·四川甘孜·期末）已知、满足，则 ． 【答案】或34 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式有意义的条件、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查二次根式有意义的条件；根据被开方数大于等于0列式不等式，求出x，再求出y，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：依题意，得：， 解得：； 当时， ； ∴； 当时， ； ∴； ∴的值为或34， 故答案为：或34． 例题3．（2025八年级下·浙江·专题练习）下列各式中，哪些是同类二次根式？ ① ② ③ ④ ⑤， ⑥ 【答案】①和③，②和④，⑤和⑥是同类二次根式 【知识点】利用二次根式的性质化简、同类二次根式 【分析】本题考查同类二次根式，最简二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 根据最简二次根式、同类二次根式的定义进行解题即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴①和③，②和④，⑤和⑥是同类二次根式． 例题4．（24-25八年级上·河北保定·期末）解决下列问题： (1)计算：； (2)计算：． 【答案】(1)4 (2) 【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简、实数的混合运算 【分析】本题主要考查实数的混合运算和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别化简，，然后再进行加减运算即可； （2）原式根据多项式除以单项式和完全平方公式进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 精练 1．（24-25八年级上·黑龙江绥化·期末）已知，，则的值为 ． 【答案】8 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题主要考查了二次根式的加减混合运算以及求值，根据，判断出，将化简再进行加减运算，最后将，代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ， 当，，原式， 故答案为：8． 2．（2025九年级下·安徽·学业考试）计算 ． 【答案】 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查的是二次根式的化简．把原式化为，再利用完全平方公式得到和，然后二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·湖南长沙·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的混合运算、分式加减乘除混合运算 【分析】本题主要考查了分式的混合运算以及二次根式的混合运算． （1）先去括号，把除法转化成乘法，然后再约分即可． （2）先利用二次根式的性质化简，然后再进行二次根式的混合运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 4．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）计算：． 【答案】 【知识点】二次根式的除法、二次根式的乘法、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决问题的关键．先根据二次根式的除法法则和乘法法则运算，然后化简后合并即可． 【详解】解： ． 对点集训五：二次根式的加法与减法及其混合运算 典型例题 例题1．（24-25九年级上·四川乐山·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．根据二次根式的加减乘除法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、与不是同类二次根式，不可合并，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项正确，符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 例题2．（24-25八年级上·广西来宾·期末）计算 ． 【答案】5 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式性质化简再进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：5． 例题3．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算 【分析】本题考查了二次根式的混合运算． （1）先将二次根式化简，然后相加减即可得到结果； （2）分子分母同乘，同时运用完全平方公式计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例题4．（24-25八年级上·陕西宝鸡·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)4 【知识点】二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查二次根式的混合运算．熟练掌握二次根式的性质，混合运算的顺序和法则，完全平方公式，是解题的关键． （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法和乘方运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 精练 1．（24-25九年级上·山西长治·期末）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的加减运算、二次根式的除法、利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的加减法和除法运算、二次根式的性质，掌握运算法则及性质是关键，同时在二次根式的学习中避免犯类似错误． 根据二次根式的运算法则及性质即可解答． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能相加，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算正确，故此选项符合题意；     C、，原计算错误，故此选项不符合题意；     D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．（24-25九年级上·河南南阳·期末）计算： ． 【答案】 【知识点】二次根式的加减运算、利用二次根式的性质化简、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式和二次根式化简，二次根式计算等．根据题意利用完全平方公式展开计算，再将化简后合并同类项即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）化简 (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【知识点】二次根式的除法、二次根式的混合运算、二次根式的乘法 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先计算除法，再进行加减计算； （2）先由平方差公式展开，并且化简二次根式，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 4．（24-25八年级下·全国·期中）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】二次根式的混合运算、二次根式的乘除混合运算 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键熟练掌握二次根式混合运算法则． （1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 对点集训六：分母有理化 典型例题 例题1．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ． 若，则的值为（    ） A．5 B．1 C． D． 【答案】A 【知识点】已知字母的值，化简求值、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算；将分母有理化，化简为，仿照例题进行计算得出，代入，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴ ∴ 故选：A． 例题2．（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）若，，则 ． 【答案】 【知识点】分母有理化、二次根式的加减运算 【分析】本题考查了分母有理化，二次根式的加减，先根据分母有理化得出，再根据二次根式的加减运算法则计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 例题3．（24-25九年级下·福建泉州·开学考试）先化简，再求值：其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、分母有理化 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ． 当时，原式． 例题4．（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）阅读下列材料，然后解答问题： 我们可以将其进一步化简：；， 以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化． (1)根据上面规律化简：______；______； (2)化简：． 【答案】(1)； (2) 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算、利用二次根式的性质化简 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）根据分母有理化的方法，进行解答即可； （2）根据分母有理化的方法进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 精练 1．（24-25八年级下·广西南宁·开学考试）阅读与理解 周学们，你知道平方差公式吗？它实际上就，你会用吗？请阅读下列解题过程： 这实际上就是分母有理化的过程！ 利用上面的解法， ． 【答案】 【知识点】分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键．先分母有理化得到原式，然后合并即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为： 2．（24-25八年级下·全国·单元测试）若，则 ． 【答案】10 【知识点】已知字母的值，化简求值、分母有理化 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，代数式求值．先分母有理化求出，再根据完全平方公式变形，得到，最后整体代入求出答案即可． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：10． 3．（24-25八年级上·陕西西安·期末）比较大小： ．（填“﹥”“﹤”或“=”） 【答案】 【知识点】分母有理化、实数的大小比较 【分析】本题考查了分母有理化，实数的大小比较，把分母有理化后比较即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·陕西西安·期中）阅读并观察下列各式及其验证过程． ；． 验证：； ． (1)按照上面两个等式及其验证过程的基本思路，猜想：________； (2)通过上述探究，猜想________（，且为整数） (3)计算： 【答案】(1) (2) (3)2023 【知识点】分母有理化、二次根式的混合运算 【分析】本题考查了分母有理化，根据题中给的例子找出规律是解题的关键； （1）根据题中给的例子即可得出答案； （2）根据题中给的例子找出规律即可得出答案； （3）根据（2）中规律计算化简即可； 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：猜想：， 验证： ， 故答案为：； （3）解： ． 对点集训七：分式的意义 典型例题 例题1．（24-25八年级上·广西来宾·期末）若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【知识点】二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：式子在实数范围内有意义， 且， 解得：且， 故选：B． 例题2．（24-25八年级上·山东淄博·期末）关于分式，下列说法错误的是（    ） A．当时，分式有意义 B．当时，分式的值为 C．当时，分式没有意义 D．当时，分式的值为 【答案】B 【知识点】分式值为零的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式的值为的条件，根据分式有意义，分母的值不等于，分式的值为，分子的值为，分母的值不等于，据此逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、当时，，分式有意义，该选项说法正确，不合题意； 、当时，，有可能等于，故分式可能无意义，该选项说法错误，符合题意； 、当时，，分式没有意义，该选项说法正确，不合题意； 、当时，，，分式的值为，该选项说法正确，不合题意； 故选：． 例题3．（2025七年级下·全国·专题练习）（1）若分式的值为0，分式无意义，求的值； （2）对于分式，当时，分式无意义；当时，分式的值为0．求的值． 【答案】（1）；（2） 【知识点】分式无意义的条件、分式值为零的条件 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件和分式值为0的条件，熟练掌握掌握分式无意义的条件：分母为0；分式值为0的条件：分母不为0，分子等于0是解题的关键． （1）根据分式无意义的条件和分式值为0的条件得到得且，，解之得到、，再代入求解即可； （2）根据分式无意义的条件和分式值为0的条件得到得，，解之得到、，再代入求解即可． 【详解】解：（1）由题意，得且，， ∴且，， 解得，， 则． （2）当时，分式无意义， ，解得． 当时，分式的值为0， ，解得， ． 例题4．（2025·广东深圳·一模）先化简：，再从，0，3中选取一个适当的数代入求值． 【答案】， 【知识点】分式化简求值、分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件、分式的化简求值，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键；根据分式的混合运算法则计算即可化简，再根据分式有意义的条件得出只能为0，代入计算即可得解． 【详解】解：原式 因为，， 所以，， 所以只能为0， 当时，原式． 精练 1．（2025八年级下·全国·专题练习）若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求一元一次不等式的解集、二次根式有意义的条件、分式有意义的条件 【分析】本题考查的是代数式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 根据二次根式及分式有意义的条件得出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 故选：A． 2．（24-25八年级上·山东临沂·期末）要使分式有意义，则需满足的条件是 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键．据此解答即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得：， 故答案为：． 3．（2025八年级下·全国·专题练习）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．例如：，则是“和谐分式”．若分式的值为整数，则整数x的值为 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的运算，涉及到分式有意义的条件的应用，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．先根据新定义，对原分式进行化简整理得到为整数，则可得到，解得或，结合分式分式有意义条件，可得到． 【详解】解： • ， ∵分式的值为整数， ∴2的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∴或， ∵当时，分式无意义， ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·全国·课后作业）定义：若一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”． (1)给出下列分式：①；②；③；④．其中属于“和谐分式”的是_______（填序号）； (2)将“和谐分式”化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (3)化简．若该式的值为整数，求x的整数值． 【答案】(1)①③④ (2) (3) 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式有意义的条件 【分析】本题主要考查新定义运算，分式的混合运算法则，理解“和谐分式”的定义，掌握分式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据分式加减运算法则，再根据“和谐分式”的定义进行判定即可； （2）根据分式加减运算法则，再根据“和谐分式”的定义进行判定即可； （3）先根据分式的混合运算法则先化简得，再根据该式的值为整数，得到或，最后根据分式有意义的条件得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：①，属于“和谐分式”； ②，不属于“和谐分式”； ③，属于“和谐分式”； ④，属于“和谐分式”； ∴属于“和谐分式”的是①③④， 故答案为：①③④； （2）解： ． （3）解： ． ∵该式的值为整数， ∴或， 解得或或1或． 又∵， ∴， ∴． 对点集训八：分式的化简求值 典型例题 1．（24-25八年级上·福建厦门·期末）若实数a，b满足，，则的值等于（    ） A．2025 B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式化简求值，先把分式的分子、分母分解因式，再结合已知条件进行约分，再计算即可． 【详解】解： ∵，， ∴原式． 故选C． 2．（24-25八年级上·山东济宁·期末）阅读：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，我们知道，假分数可以化为带分数，例如：．类似的，假分式也可以化为“带分式”，即整式与真分式的和的形式，例如： ； ． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：①分式是______分式（填“真”或“假”）． ②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式： ______+______． (2)把分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，并求x取何整数时，这个分式的值为整数． 【答案】(1)①真；②x，； (2)，或或或 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）①根据真分式的定义判断即可；②根据材料中的方法变形即可得到结果； （2）原式利用材料中的方法变形，即可确定出分式的值为整数时整数x的值； 【详解】（1）①分式中，分子2可看作，最高次数是；分母的最高次数是 ，分子的最高次数低于分母的最高次数， ∴分式是真分式； ② ； 故答案为：真；x，； （2）解： ， ∵这个分式的值为整数， ∴或或或， 或或或. 3．（24-25八年级上·陕西商洛·期末）先化简，再求值： (1)，其中，． (2)，其中． 【答案】(1)； (2)；2 【知识点】运用完全平方公式进行运算、分式化简求值 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，分式的化简求值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先利用完全平方公式以及多项式乘以多项式法则化简整式，然后再代入求值即可． （2）先计算括号内异分母分式减法，再把除法转化成乘法，利用平方差公式先进行分式的乘法运算，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式； （2）解： ； 当时，原式． 4．（24-25八年级上·辽宁·期末）分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：． (1)将假分式化为一个整数与一个真分式的和； (2)若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值； (3)若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若，，求的最小值． 【答案】(1) (2)或4或6 (3)75 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的性质、分式的化简、分式的加减等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）仿照例题操作即可得解； （2）先将化成一个整式和真分式的和，再看真分式是整数即可得解； （3）先将式化成A的形式，再得到a和b的式子，进而利用完全平方式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵为正整数，， ∴， ∴， ∵， 又，且为整数，为正整数， ∴或2或4， ∴或4或6； （3）解： ， ，， ，， ，， ，， ， ， 当，即时，有最小值75， 的最小值为75． 精练 1．（24-25八年级上·四川绵阳·期末）化简求值：，其中． 【答案】， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查分式的化简求值，也需要对分解因式、约分等知识点熟练掌握． 首先把除法运算转化成乘法运算，能因式分解的因式先因式分解，进行约分化简，然后进行分式的减法运算，最后代值计算． 【详解】解： 当时， 原式． 2．（24-25八年级上·山东烟台·期末）先化简再求值： (1)，其中； (2)，其中． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查分式的混合运算及化简求值； （1）先算括号，再算除法，化简后代入求值即可； （2）先算乘法，再算减法，最后化简后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当时，原式． 3．（24-25九年级下·新疆喀什·开学考试）化简： (1)； (2)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1) (2)， 【知识点】整式的混合运算、分式化简求值 【分析】本题考查的是整式的混合运算，分式的化简求值； （1）先利用完全平方公式与平方差公式计算乘法运算，再合并同类项即可； （2）先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算得到化简的结果，再把代入计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： = 当时，原式 4．（24-25九年级上·贵州遵义·期末）下面是一位同学化简代数式的解答过程： 解；原式＝ (1)这位同学的解答，在第 步出现错误，错误的原因是 ； (2)请你写出正确的解答过程，并在中选一个你喜欢的整数代入求值． 【答案】(1)①，去括号没有变号； (2)见解析，当时，原式＝ 【知识点】分式加减乘除混合运算、分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法则， （1）根据分式混合运算顺序和运算法则计算即可判断； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：第①步出现错误，错误的原因是去括号没有变号； 故答案为：①，去括号没有变号； （2）解： ， ，且，0，2， 当时，原式， 当时，原式（任选一个即可）． 对点集训九：分式的基本性质 典型例题 例题1．（24-25七年级下·全国·期末）如果把分式中的和都扩大倍，那么分式的值（    ） A．缩小到原来的 B．扩大倍 C．不变 D．缩小到原来的 【答案】A 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解答本题的关键． 先把分式中的和都扩大倍，化简之后与原分式比较即可解答． 【详解】解：如果把分式中的和都扩大倍可得： ， 那么分式的值缩小到原来的， 故选：A． 例题2．（24-25八年级上·湖北十堰·期末）下列各式从左到右的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断分式变形是否正确、分式乘方 【分析】本题考查了分式的性质，分式的乘方运算，根据分式的性质，分式的乘方运算逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：A． 例题3．（2025·河南郑州·一模）已知为整式，若计算的结果为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式混合运算，分式的基本性质，先根据题意列出即可，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得： 故选：． 例题4．（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若成立，则下列等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断分式变形是否正确、比例的性质 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的基本性质，能够灵活对一个比例式进行变形是解题的关键．由比例和分式的基本性质，针对选项进行各种演变，逐一判定即可． 【详解】解：A、由已知得到，故选项符合题意； B、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； C、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； D、由已知得到，不能得到，故选项不符合题意； 故选：A． 精练 1．（2025七年级下·全国·专题练习）将分式中的的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大为原来的6倍 C．缩小为原来的 D．扩大为原来的3倍 【答案】D 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查了分式的基本性质“分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变”，熟练掌握分式的基本性质是解题关键．根据分式的基本性质求解即可得． 【详解】解：∵， ∴将分式中的的值都扩大为原来的3倍，则分式的值扩大为原来的3倍， 故选：D． 2．（24-25八年级上·山西吕梁·阶段练习）下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是掌握：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质一一判断即可． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故符合题意； C、，故不符合题意； D、，故不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级上·北京昌平·期末）下列各式从左到右变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用分式的基本性质判断分式值的变化 【分析】本题考查分式的性质，利用分式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A. ，原选项变形不正确，则A不符合题意； B. ，原选项变形错误，则B不符合题意； C. ，变形正确，故选项C符合题意； D. ，原选项变形错误，则D不符合题意； 故选：C． 4．（24-25八年级上·北京西城·期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断分式变形是否正确 【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质，依次分析各个选项，选出正确的选项即可，正确掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、不一定等于，即A项不合题意， B、无法再约分，不一定等于，即B项不合题意， C、分式的分子和分母同时加上一个数，与原分式不相等，即C项不合题意， D、，即D项符合题意， 故选：D． 第02讲 根式、分式的化简(分层精练） A夯实基础 B能力提升 A夯实基础 一、单选题 1．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）在函数中，自变量x的取值范围是（      ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件、求自变量的取值范围 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，初中函数自变量常考虑：二次根式中被开方数非负；分母不为零；根据函数式中二次根式非负，即，分母不为零，即，解不等式即可． 【详解】解：由题意知：且， 解得：且； 故选：A． 2．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）已知最简二次根式与二次根式能够合并，则a的值为（    ）． A．5 B．3 C．4 D．7 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断、二次根式的加减运算 【分析】本题考查合并同类二次根式，根据题意，得到与为同类二次根式，根据同类二次根式的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与二次根式能够合并， ∴， ∴； 故选C． 3．（24-25八年级上·河南平顶山·期末）在，，，中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】最简二次根式的判断 【分析】本题主要考查了最简二次根式，最简二次根式的条件：（1）被开方数的因数是整数或字母，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式． 被开方数不含分母；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，根据定义，逐条判断即可． 【详解】解：A、，不属于最简二次根式，不符合题意； B、，不属于最简二次根式，不合题意； C、属于最简二次根式，符合题意； D、不属于最简二次根式，不合题意； 故选C． 4．（24-25八年级上·河北廊坊·期末）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】异分母分式加减法 【分析】本题考查分式的加减运算，通分，化成同分母的分式，再进行减法运算即可． 【详解】解：原式 ； 故选A． 5．（2025七年级下·全国·专题练习）对分式通分以后，的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】通分 【分析】此题考查了通分，掌握通分的定义即通分：将异分母分式转化成同分母的分式是解题的关键． 根据通分的定义就是将异分母分式转化成同分母的分式，即可得出答案． 【详解】解：∵分式的最简公分母是， ∴通分以后， 故选：B． 6．（24-25八年级上·贵州铜仁·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查分式的化简求值．根据分式的加法运算法则化简分式，再整体代值求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：C． 7．（24-25八年级上·山西忻州·期末）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】分式加减乘除混合运算 【分析】本题考查了分式的混合运算；先计算括号里的减法，再计算除法即可． 【详解】解：原式 ； 故选：A． 8．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）下列各式中①，②，③，④，⑤，二次根式的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】二次根式有意义的条件 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据二次根式的定义．一般地，我们把形如的式子叫做二次根式进行判断即可． 【详解】解：①是二次根式； ②，当时，则不符合二次根式的定义，故不是二次根式； ③，当时，，则不符合二次根式的定义，故不是二次根式； ④，，则不符合二次根式的定义，故不是二次根式； ⑤不符合二次根式的定义，故不是二次根式； ∴二次根式有：共1个． 故选：A． 二、多选题 9．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】CD 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的乘法、二次根式的加减运算 【分析】此题考查了二次根式的性质和运算，根据二次根式的性质、二次根式的加法、乘法与乘方进行判断即可． 【详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意； C．，故选项正确，符合题意； D．，故选项正确，符合题意． 故选：CD． 10．（24-25八年级上·山东潍坊·期中）下列分式化简错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【知识点】约分 【分析】本题主要考查了分式的约分，根据分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数或式子分式的值不变进行求解即可． 【详解】解：A、，原式化简错误，符合题意； B、，原式化简错误，符合题意； C、，原式化简正确，不符合题意； D、，原式化简错误，符合题意； 故选：ABD． 三、填空题 11．（24-25八年级上·湖北武汉·期末）若分式的值为，则 ． 【答案】 【知识点】分式有意义的条件、分式化简求值 【分析】本题考查的是分式的计算，熟练掌握是解答本题的关键．根据题意得，需要注意分母不能为，即可求解． 【详解】解：根据题意得，且， ， 解得， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·湖南衡阳·期末）已知x，y为实数，若满足，则的值为 ． 【答案】5 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、二次根式有意义的条件 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式有意义的条件解答即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：有意义， 故， 解得， 故， 故， 故答案为：5. 四、解答题 13．（24-25九年级上·河南新乡·阶段练习）小明在解决问题：已知，求的值．因为，所以所以，所以，所以，请根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：＝______-________． (2)计算：． (3)若，求的值． 【答案】(1)，1 (2)9 (3)5 【知识点】分母有理化、已知字母的值，化简求值 【分析】本题主要考查了分母有理化、二次根式的化简求值、平方差公式和完全平方公式，熟练掌握分母有理化是解题关键． （1）利用分母有理化和平方差公式计算即可； （2）利用（1）结论计算； （3）利用分母有理化把a化简，求出，根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解： （3）解： ， ， ，则 原式， 的值为5． 14．（24-25八年级下·湖北黄石·阶段练习）化简： (1) (2) 【答案】(1)2 (2)40 【知识点】利用二次根式的性质化简 【分析】本题考查了二次根式的性质，解题的关键是掌握运算法则． （1）根据二次根式的性质分别化简，再作加减法； （2）根据二次根式的性质分别化简，再作加减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 15．（24-25八年级上·山东日照·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【知识点】分式化简求值 【分析】本题考查了分式的化简求值，正确计算是解题的关键；先计算括号里分式的减法，再计算除法，最后代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当时，原式． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）（教材变式）先约分，再求值： （1），其中； （2），其中； （3），其中； （4），其中． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 【知识点】分式化简求值 【分析】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质． （1）先根据分式的基本性质进行约分，得出，然后再代入数据求值即可； （2）先根据分式的基本性质进行约分，得出，然后再代入数据求值即可； （3）先根据分式的基本性质进行约分，得出，然后再代入数据求值即可； （3）先根据分式的基本性质进行约分，得出，然后再代入数据求值即可． 【详解】解：（1）原式． 当时，原式． （2）原式． 当时，原式． （3）原式． 当时，原式． （4）原式． 当时，原式． B能力提升 1．（山西省长治市部分学校2025年九年级下学期中考一模数学试卷）（1）计算： （2）下面是小明同学分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 第一步 第二步 第三步   第四步   第五步 任务一：填空：以上化简步骤中第_______步是进行分式的通分，通分的依据是______________；第_______步开始出现错误，这一步错误的原因是______________． 任务二：请直接写出该分式化简后的正确结果． 【答案】（1）；（2）任务一：二；分式的基本性质；四；去括号时，括号前为“”，第二项没有变号；任务二： 【知识点】异分母分式加减法、负整数指数幂、零指数幂 【分析】本题考查了实数的运算，分式的加减法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）原式分别计算乘方，负整数指数幂和零指数幂，再进行加减运算即可； （2）任务一：①根据通分的概念及分式的基本性质进行填空； ②根据去括号法则进行分析判断； 任务二：先将能进行因式分解的分子分母进行因式分解，然后进行通分，再计算； 【详解】解：（1） ； （2）任务一：填空：以上化简步骤中第二步是进行分式的通分，通分的依据是分式的基本性质；第四步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时，括号前为“”，第二项没有变号． 故答案为：二，分式的基本性质；四，括号前面是“-”去掉括号后，括号里面的第二项没有变号． 任务二： ． 2．（24-25八年级上·安徽宿州·期末）观察下列一组等式．解答后面的问题： ； ． (1)化简：_____，_____（n为正整数）． (2)比较大小：_____（填“”，“”或“”）． (3)根据上面的结论，找规律，请直接写出下列算式的结果： __________． 【答案】(1)； (2) (3) 【知识点】二次根式的混合运算、分母有理化 【分析】本题考查二次根式的大小比较和计算． （1）用平方差公式进行分母有理化； （2）先分子有理化再比较； （3）先分母有理化再计算． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：；； （2）解：， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解： ． 3．（24-25八年级上·湖南益阳·期末）【阅读材料】 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：；；．以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 【解决问题】 (1)仿照上面的解题过程，化简：__________． (2)计算：． (3)已知，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】分母有理化、已知字母的值，化简求值、通过对完全平方公式变形求值、二次根式的混合运算 【分析】本题考查分母有理数，二次根式的混合运算，化简求值： （1）根据分母有理化的方法进行求解即可； （2）先进行分母有理化，再进行计算即可； （3）先进行分母有理化求出的值，进而求出的值，利用完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）原式 ； （3）∵， ， ∴，， ∴． 4．（24-25八年级上·湖南娄底·期末）定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式” 如，，则和都是“和谐分式”． (1)将“和谐分式化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式； (2)应用：求分式的最大值； (3)应用：先化简，并求x取什么整数时，该式的值为整数． 【答案】(1) (2)最大值是5 (3)2＋，当时，分式运算的结果是整数 【知识点】同分母分式加减法、分式最值 【分析】此题考查分式的变形计算，同分母分式加法逆运算， （1）根据同分母分式加法将各分式变形即可； （2）根据同分母分式加法将各分式变形即可解答； （3）将分式变形结果为，根据分式的性质得到x的值． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最大值为3， ∴的最大值为5， ∴分式的最大值是5， （3）解： ， 当时，是整数； 即当时，是整数； ∵分母不能为0， ∴， 故只有当时，分式的值为整数． ∴当时，分式运算的结果是整数． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$