专项2 比例-2025年小升初数学暑假专项提升（北师大版）

专项2 比例 一、比例的认识 1.比例的意义。 表示两个比相等的式子叫作比例。根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例。 温馨提示:比例表示两个比相等的关系，是一个等式。 2.比例的项。 组成比例的四个数叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。 3.比例的基本性质。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。可运用必看的基本性质解比例或判断两个比能否组成比例。 二、比例的应用 1.解比例 求比例中的未知项的过程，叫作解比例。解比例可依据比例的基本性质，也可依据比的意义。 2.解比例的方法。 （1）根据比例的基本性质把比例转化成乘法等式，即一般方程； （2）解方程求出未知项的值； （3）把求出的结果代入比例中验算一下，看比例是否成立。 3.解决问题： 根据两个数量的比，设其中一个未知量为x,列比例解决问题，也可以运用算式法求解。 三、比例尺 1.比例尺意义。 将实际图形画在纸上，为了让图形的形状不变，画在纸上的距离和对应的实际距离的比要组成比例，即按统一的比进行绘图。 图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺，即: =比例尺 比例尺是一个简单的整数比，它表示图上距离和实际距离的倍比关系，因此不能带有计量单位。 2.比例尺的应用。 （1）应用比例尺画图时，要先根据比例尺求出图上距离，再根据图上距离画图: （2）图上距离:实际距离=比例尺。 （3）实际距离=图上距离÷比例尺。 （4）图上距离=实际距离×比例尺。 3.两种常见的比例尺。 （1）数值比例尺:一幅图的比例尺是1:1000，像这样用数字形式表示的比例尺叫数值比例 （2）线段比例尺:比例尺1:1000还可以这样表示: ，这种用线段表示的比例尺叫线段比例尺。 四、图像的放大与缩小 1.图形的放大。 （1）保持物体的图形或图象原来的形状不变而使物体的图形或图象变大，叫作放大。 （2）图形(或图象)放大后得到的图形(或图象)与原图形(或图象)相比，形状相同图形 (或图象)变大。 2.图形的缩小。 （1）保持物体的图形或图象原来的形状不变而使物体的图形或图象变小，叫作缩小。 （2）图形(或图象)缩小后得到的图形(或图象)与原图形(或图象)相比，形状相同图形(或图象)变小。 3.图形放大或缩小的方格。 在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小，分为三步：一看、二算、三画。 一看:看原图形每边各占几格； 二算:计算按给定的比将图形的各边长放大或缩小后得到的新图形每边各占几格； 三画:按计算出的边长画出原图形的放大图或缩小图。 一.易错题突破 1.判断题。 （1）（25春六下·江西鄱阳·模拟）2.5:4.5=不是比例。（ ） （2）（25春六下·江西余干·模拟）下面解比例的方法，（ ）。 = 解：12x=1.5×1.8 x= x= （3）（24春六下·山西太原·期末）一幅图的比例尺是1:300米。（ ） （4）（24春六下·河南洛阳·期末）在比例尺为1:10的图纸上,正方形的边长是2cm,这个正方形实际的面积是400平方厘米。（ ） 二、重难点突破 考点1：比例的意义 2.（24春六下·安徽合肥·期末）在下面各比中，能与：组成比例的是（ ）。 A.4:3 B.3:4 C. ：3 D. ： 考点2：比例的基本性质 3.（24春六下·浙江龙游·期末）如果5x=8y（x、y均不为0,），那么x:y=（ ）:（ ）。 难点突破 4.（24春六下·福建泉州·期末）甲、乙两个仓库存粮的总量是360吨,其中甲仓库存粮的与乙仓库存粮的相等。两个仓库分别存粮多少吨? 考点3：解比例 5.（24春六下·江西九江·期末）解比例= 6.（24春六下·辽宁锦州·期末）将比例3:12=4:16中前一个比的后项减6,要使比例成立,那么后一个比的前项应加（ ）。 考点4：列比例解决问题 7.（24春六下·四川绵阳·期末）淘气和笑笑收集的卡片张数的比是3:4，淘气有 120 张，笑笑有多少张? 难点突破 8.（24春六下·山东潍坊·期末）甲、乙两个团队原有队员的人数比为5:3,从甲团队调50人到乙团队后,甲、乙两个团队的队员人数之比为5:7。甲、乙两个团队原来各有多少人? 9.（24春六下·辽宁阜新·期末）如图，一个大长方形被两条线段分成4个小长方形，如果其中图形 A、B、C的面积分别是1平方厘米、2 平方厘米、3平方厘米，那么阴影部分的面积是（ ）平方厘米。 考点5：比例尺的意义 10.（24春六下·浙江平阳·期末）在一幅地图上,比例尺是5:1，它表示（ ）。 A.图上1厘米表示实际距离5厘米 B.图上5厘米表示实际距离1米 C.图上5厘米表示实际距离1厘米 考点6：比例尺的计算方法 11.（24春六下·贵州遵义·期末）北京到天津的实际距离是120 km,在一幅地图上量得两地的图上距离是2.4cm。这幅地图的比例尺是多少? 考点7：比例尺的应用 12.（24春六下·云南丽江·期末）在一幅比例尺为1:2500000的地图上测量得到甲、乙两地的距离为20厘米,A、B两车同时从甲、乙两地相对开出,经过5小时相遇。已知A车的速度为56千米/时,则B车的速度是（ ）千米/时。 A.88 B.44 C.156 难点突破 13.（24春六下·广西百色·期末）如图是一个梯形的平面图(单位:cm)，求它的实际面积。(比例尺是 1:400) 考点8：应用比例尺画平面图 14.（25春六下·江西余干·模拟）学校新建一个长方形的篮球场,长60m，宽40m。请在图中画出篮球场的平面图。(比例尺1:2000) 考点9：图形的放大与缩小 15. （24春六下·广东韶关·期末）下面属于放大现象的有（ ），属于缩小现象的有（ ）。 A.用显微镜观察花粉 B.用投影仪放映电影 C.建筑图纸 D.用望远镜看远方的灯塔 16.一个长方形，长是12cm，宽是6cm，按一定比放大后长是36cm，宽是18cm，它是按（ ）放大的。 考点10：在方格纸上按一定的比将图形的放大与缩小的方法 17.（24春六下·江西玉山·期末）在下面方格纸中上作图： （1）按1:3画出长方形缩小后的图形，缩小后长方形面积是圆长方形面积的（ ）； （2）按2:1画出梯形放大后的图形，放大后梯形是圆图形面积的（ ）倍。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项2 比例 一、比例的认识 1.比例的意义。 表示两个比相等的式子叫作比例。根据比例的意义可以判断两个比能否组成比例。 温馨提示:比例表示两个比相等的关系，是一个等式。 2.比例的项。 组成比例的四个数叫作比例的项。两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项。 3.比例的基本性质。 在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。可运用必看的基本性质解比例或判断两个比能否组成比例。 二、比例的应用 1.解比例 求比例中的未知项的过程，叫作解比例。解比例可依据比例的基本性质，也可依据比的意义。 2.解比例的方法。 （1）根据比例的基本性质把比例转化成乘法等式，即一般方程； （2）解方程求出未知项的值； （3）把求出的结果代入比例中验算一下，看比例是否成立。 3.解决问题： 根据两个数量的比，设其中一个未知量为x,列比例解决问题，也可以运用算式法求解。 三、比例尺 1.比例尺意义。 将实际图形画在纸上，为了让图形的形状不变，画在纸上的距离和对应的实际距离的比要组成比例，即按统一的比进行绘图。 图上距离和实际距离的比，叫作这幅图的比例尺，即: =比例尺 比例尺是一个简单的整数比，它表示图上距离和实际距离的倍比关系，因此不能带有计量单位。 2.比例尺的应用。 （1）应用比例尺画图时，要先根据比例尺求出图上距离，再根据图上距离画图: （2）图上距离:实际距离=比例尺。 （3）实际距离=图上距离÷比例尺。 （4）图上距离=实际距离×比例尺。 3.两种常见的比例尺。 （1）数值比例尺:一幅图的比例尺是1:1000，像这样用数字形式表示的比例尺叫数值比例 （2）线段比例尺:比例尺1:1000还可以这样表示: ，这种用线段表示的比例尺叫线段比例尺。 四、图像的放大与缩小 1.图形的放大。 （1）保持物体的图形或图象原来的形状不变而使物体的图形或图象变大，叫作放大。 （2）图形(或图象)放大后得到的图形(或图象)与原图形(或图象)相比，形状相同图形 (或图象)变大。 2.图形的缩小。 （1）保持物体的图形或图象原来的形状不变而使物体的图形或图象变小，叫作缩小。 （2）图形(或图象)缩小后得到的图形(或图象)与原图形(或图象)相比，形状相同图形(或图象)变小。 3.图形放大或缩小的方格。 在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小，分为三步：一看、二算、三画。 一看:看原图形每边各占几格； 二算:计算按给定的比将图形的各边长放大或缩小后得到的新图形每边各占几格； 三画:按计算出的边长画出原图形的放大图或缩小图。 一.易错题突破 1.判断题。 （1）2.5:4.5=不是比例。（ ） 【答案】× 【解析】考查比例的意义 本题易因对比和比例的意义理解不到位及没有掌握比例的书写形式而出错。比表示两个数相除的关系,比例表示两个比相等,是一个等式, 既可以看成比值,也可以看成15:27，由此计算可得 2.5:4.5=是比例。 【错题剖析】不能正确判断等式是否为比例。 （2）下面解比例的方法，（ ）。 = 解：12x=1.5×1.8 x= x= 【答案】× 【解析】根据比例的基本性质，解分数形式的比例时，应遵循“交叉相乘”的规律，先把比例转化为等积式，再解方程。 正确解答： = 解：1.8x=1.5×12 x= x=10 【错题剖析】错解错在解分数形式的比例时，没有分清哪两个数是内项，哪两个数是外项。 （3）一幅图的比例尺是1:300米。（ ） 【答案】× 【解析】 由比例尺的意义可知,比例尺是图上距离与实际距离的比,约去了单位,不能带单位名称, （4）在比例尺为1:10的图纸上,正方形的边长是2cm,这个正方形实际的面积是400平方厘米。（ ） 【答案】√ 【解析】 错题展示：2×2=4（平方厘米），4÷=40（平方厘米） 正确解答：2÷=20（厘米），20×20=400（平方厘米） 或2×2=4（平方厘米），4÷（）2=40（平方厘米） 【总结】 比例尺表示图上距离与实际距离的比,该比是长度比,不是面积比。 二、重难点突破 考点1：比例的意义 2.在下面各比中，能与：组成比例的是（ ）。 A.4:3 B.3:4 C. ：3 D. ： 【答案】A 【解析】 方法1： 根据比例的意义看“比值”是否相等 求出每组中两个比的比值,若比值相等,则这两个比能组成比例;若比值不相等,则这两个比不能组成比例。 方法2：根据比例的基本性质看“积”是否相等假设每组中两个比能组成比例,计算出两个外项的积与两个内项的积,若两个积相等,则这两个比能组成比例;若两个积不相等,则这两个比不能组成比例。 方法3：化简比 解： （1）求比值：：=÷=，四个选项中比值是的4:3= （2）假设比例成立，用比例的基本性质验证假设是否成立。 ：=4:3，外项之积×3=1，内项之积×4=1，比例成立 ：=3:4，外项之积×4=，内项之积×3=，≠，比例不成立 注意验证得出正确选项为A （3）化简比 ：=（×12）：（×12）=4:3，所以选项为A 考点2：比例的基本性质 3.如果5x=8y（x、y均不为0,），那么x:y=（ ）:（ ）。 【答案】8:5 【解析】 此题为等式换比，根据比例的基本性质把等式改写成比例：外项×外项= 5×x，内项×内项=8×y，所以5×x=8×y 可以转化为比例x:y=8:5，如下图所示： 难点突破 4.甲、乙两个仓库存粮的总量是360吨,其中甲仓库存粮的与乙仓库存粮的相等。两个仓库分别存粮多少吨? 【答案】160吨，200吨 【解析】 方法一：等式换比，应用比例的基本性质把等积式转化为比例式。 甲仓库存粮的与乙仓库存粮的相等，即甲×=乙×，根据比例的基本性质转化为甲：乙=：，甲：乙=4:5，甲+乙=360吨，运用和比问题解决即可。 360÷（4+5）=40（吨） 甲：40×4=160（吨） 乙：40×5=200（吨） 方法二：运用方程法解答。根据数量关系：甲×=乙×列方程。 解：设甲仓库存粮x吨，则乙仓库存粮（360-x）吨。 x=×（360-x） 解得x=160 360-160=200（吨） 答：甲、乙两个仓库分别存粮160吨、200吨。 考点3：解比例 5.解比例= 【答案】X= 【解析】 解分数形式的比例的方法： （1）交叉相乘把比例改写成等积形式； （2）通过解方程求出未知项的值。 此题（4+x）是比例的内项，先把它看作是一个整体，然后把比例改写成等积式，在根据解方程的方法求出x的值。 解：= 0.7（4+x）=3×1.1 2.8+0.7x=3.3 0.7x=3.3-2.8 0.7x=0.5 X=0.5÷0.7 X= 6.将比例3:12=4:16中前一个比的后项减6,要使比例成立,那么后一个比的前项应加（ ）。 【答案】4 【解析】 根据题意列出比例： 3:（12-6）=（4+x）：16 3:6=（4+x）：16 6（4+x）=3×16 24+6x=48 6x=24 X=4 检验答案的正确性： 把x=4代入比例式3:（12-6）=（4+x）：16，看3:（12-6）=（4+4）：16是否成立。 方法1：利用比例的基本性质检验 两个外项的积是3×16=48，两个内项的积是（12-6）×（4+4）=6×8=48，两个外项的积等于两个内项的积，比例成立，所以x=4正确 方法2： 利用比例的意义检验 3:（12-6）=0.5，（4+4）：16=0.5，两个比的比值相等，比例成立，x=4正确 考点4：列比例解决问题 7.淘气和笑笑收集的卡片张数的比是3:4，淘气有 120 张，笑笑有多少张? 【答案】160 【解析】 重点抓住题中的所给的数量关系式列出比例式，再运用比例的基本性质解比例即可。 因为“淘气和笑笑收集的卡片张数的比是3:4”，所以得出的数量关系式： 淘气卡片张数：笑笑卡片张数=3:4 解：设笑笑有x张。 120:x=3:4 3x=120×4 X= X=160 答：笑笑有160张。 难点突破 8.甲、乙两个团队原有队员的人数比为5:3,从甲团队调50人到乙团队后,甲、乙两个团队的队员人数之比为5:7。甲、乙两个团队原来各有多少人? 【答案】150,90 【解析】 方法1： 已知条件：甲队员数：乙队员数=5:3 对应量之间的关系：（甲队员数-50）：（乙队员数+50）=5:7 解：设甲团队原有5x人，则乙团队原有3x人。根据上面对应量之间的关系列出比例： （5x-50）：（3x+50）=5:7 7（5x-50）=5（3x+50） 35x-350=15x+250 35x-15x=350+250 20x=600 X=30 所以5x=150,3x=90 方法2： 由题意可知,两个团队的总人数不变；由“甲、乙两个团队原有队员的人数比为5:3”,可知甲团队原有队员人数占总人数的,即；调走50人,甲团队现有队员人数占总人数的,即。由上述分析可知,50人占总人数的(-),据此可求出总人数,然后根据甲、乙两个团队原有队员的人数比即可算出原来各有的人数。 两个团队的总人数:50÷(-)=240(人) 甲团队原来人数:240÷(5+3)×5=150(人) 乙团队原来人数:240-150=90(人) 答:甲团队原来有150人,乙团队原来有90人。 9.如图，一个大长方形被两条线段分成4个小长方形，如果其中图形 A、B、C的面积分别是1平方厘米、2 平方厘米、3平方厘米，那么阴影部分的面积是（ ）平方厘米。 【答案】0.75 【解析】图形中比例问题 根据等高模型可知，B、C两个长方形的宽相等，面积之比等于长之比，A长方形与阴影部分中 长方形面积之比也等于两个长方形的长之比。 解：设阴影部分的面积为x平方厘米。根据等量关系：A：2x=B：C得到比例式 1:2x=2:3 4x=3 X=0.75 考点5：比例尺的意义 10.在一幅地图上,比例尺是5:1，它表示（ ）。 A.图上1厘米表示实际距离5厘米 B.图上5厘米表示实际距离1米 C.图上5厘米表示实际距离1厘米 【答案】C 【解析】 比例尺是表示图上距离是实际距离的比，所以前项为图上距离，后项为实际距离。 所以5:1表示的意义是图上5厘米表示实际距离1厘米。（因为比例尺是没有单位，图上距离一般用厘米作单位，则实际距离就跟着用厘米作单位）。 考点6：比例尺的计算方法 11.北京到天津的实际距离是120 km,在一幅地图上量得两地的图上距离是2.4cm。这幅地图的比例尺是多少? 【答案】1:5000000 【解析】 （1）明确解题思路根据比例尺的意义“图上距离:实际距离=比例尺”,写出图上距离与实际距离的比,再统一单位,化简为前项为1的比。 （2）正确解答方法： 方法1： 120km=12000000cm 2.4:12000000 =1:5000000 方法2： 2.4cm:120km =1cm:50km =1:5000000 答:这幅地图的比例尺是1:5000000。 【总结】 求一幅图的比例尺,用图上距离比实际距离,但要注意统一单位。 考点7：比例尺的应用 12.在一幅比例尺为1:2500000的地图上测量得到甲、乙两地的距离为20厘米,A、B两车同时从甲、乙两地相对开出,经过5小时相遇。已知A车的速度为56千米/时,则B车的速度是（ ）千米/时。 A.88 B.44 C.156 【答案】B 【解析】 根据实际距离的公式：“实际距离=图上距离÷比例尺”求出甲、乙两地的时间距离；再应用行程中相遇问题公式：“速度和=相遇路程÷相遇时间求出A、B两车速度之和，然后用速度和减去A车速度，求出B车速度即可。 甲、乙两地时间距离：20÷=50000000（厘米）=500（千米） A、B速度和：500÷5=100（千米/时） B车速度：100-56=44（千米/时） 难点突破 13.如图是一个梯形的平面图(单位:cm)，求它的实际面积。(比例尺是 1:400) 【答案】1024平方米 【解析】 方法1：先根据实际距离=图上距离÷比例尺求出梯形的实际上底、下底和高。 上底：6÷=2400（厘米）=24（米） 下底：10÷=4000（厘米）=40（米） 高：8÷=3200（厘米）=32（米） 梯形的实际面积：（24+40）×32÷2=1024（平方米） 方法2：先求出图上梯形面积，再根据面积之比等于比例尺的平方之比。 图上面积：（6+10）×8÷2=64（平方厘米） 实际面积：64÷（）²=10240000（平方厘米）=1024（平方米） 考点8：应用比例尺画平面图 14.学校新建一个长方形的篮球场,长60m，宽40m。请在图中画出篮球场的平面图。(比例尺1:2000) 【答案】 【解析】 （1）理解题意，分析思路 先确定比例尺，再根据比例尺求出图上距离，最后根据图上距离（或方向）画出平面图； （2）确定比例尺（把数值比例尺改写成线段比例尺）； 比例尺1:2000表示图上距离1厘米相当于实际距离2000厘米，即20米。改成线段比例尺是 。 （3）根据比例尺求出图上距离； 篮球场长：60÷20=3（厘米） 宽：40÷20=2（厘米） 或长=60米=6000厘米，宽40米=4000厘米 图上长：6000×=3（厘米），宽4000×=2（厘米） （4）根据图上距离（或方向）画出平面图。 【总结】 1.应用比例尺画平面图时,要先根据比例尺和实际距离求出图上距离,再根据图上距离和方向画出相应的位置,并标明比例尺。 2.已知实际距离和比例尺，求图上距离的方法: （1）利用“图上距离=实际距离×比例尺”列式计算; （2）根据“图上距离:实际距离=比例尺”列比例计算: （3）转化为求实际距离的几分之几是多少来计算。 考点9：图形的放大与缩小 15.下面属于放大现象的有（ ），属于缩小现象的有（ ）。 A.用显微镜观察花粉 B.用投影仪放映电影 C.建筑图纸 D.用望远镜看远方的灯塔 【答案】ABD；C 【解析】 放大现象的有：用显微镜观察花粉、用投影仪放映电影、用望远镜看远方的灯塔； 缩小现象的有: 建筑图纸。 16.一个长方形，长是12cm，宽是6cm，按一定比放大后长是36cm，宽是18cm，它是按（ ）放大的。 【答案】3:1 【解析】 图上距离：实际距离=比例尺 36:12=3:1或18:6=3:1 考点10：在方格纸上按一定的比将图形的放大与缩小的方法 17.在下面方格纸中上作图： （1）按1:3画出长方形缩小后的图形，缩小后长方形面积是圆长方形面积的（ ）； （2）按2:1画出梯形放大后的图形，放大后梯形是圆图形面积的（ ）倍。 【答案】（1）；（2）4 【解析】 （1） “1:3”的意义：变化之后的长度：变化之前的长度=1:3，即表示把图形各边的长缩小到原来的；同理“2:1”的意义：变化之后的长度：变化之前的长度=2:1，即表示把图形各边的长放大到原来的2倍。 （2）计算长方形缩小后，梯形放大后各边的长度，如下表： 图形 项目 原来各边的长 放大或缩小后各边的长 长方形（缩小） 长 9 9÷3=3（格） 宽 3 3÷3=1（格） 梯形（放大） 上底 3 3×2=6（格） 下底 6 6×2=12（格） 高 3 3×2=6（个） （3）根据缩小或放大后各边的长度，画出对应的图形。 （4）比较前后图形面积变化。 图形 项目 前后各边的长 原来面积 现在面积 长方形（缩小） 长 9，3 9×3=27 3×1=3 面积缩小3÷27= 宽 3,1 梯形（放大） 上底 3,6 （3+6）×3÷2=13.5 （6+12）×6÷2=54 面积扩大54÷13.5=4 下底 6,12 高 3,6 【总结】 （1）在方格纸上按一定的比画出放大图形或缩小图形的方法: 一数,数原图形各边各占几格; 二算,按给定的比计算出放大的图形或缩小的图形各边各占几格; 三画,按计算出的边长画出原图形的放大图形或缩小图形。 （2）图形按一定的比放大或缩小后,大小变了,形状不变。 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$