专项1 圆柱与圆锥-2025年小升初数学暑假专项提升（北师大版）

专项1 圆柱和圆锥 一、圆柱知识点 圆柱的相关计算公式： 底面积 ：S底=πr² 底面周长：C底=πd=2πr 侧面积 ：S侧=2πrh 表面积 ：S表=2S底+S侧=2πr²+2πrh 体积  ：V柱=πr²h 圆柱的切割： ①横切：切面是圆，表面积增加2倍底面积，即S增=2πr²。 ②竖切（过直径）：切面是长方形（如果h=2R，切面为正方形），该长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，表面积增加两个长方形的面积，即S增=4rh。 圆柱的特征： ①底面的特征：圆柱的底面是完全相等的两个圆。 ②侧面的特征：圆柱的侧面是一个曲面。 ③高的特征 ：圆柱有无数条高。 圆柱的侧面展开图： ①沿着高展开，展开图形是长方形，如果h=2πr，则展开图形为正方形。 ②不沿着高展开，展开图形是平行四边形或不规则图形。 ③无论怎么展开都得不到梯形。 二、圆锥知识点 圆锥的相关计算公式： 底面积 ：S底=πr² 底面周长：C底=πd=2πr 体积 ：V锥=πr²h 圆锥的切割： ①横切：切面是圆。 ②竖切（过顶点和直径直径）：切面是等腰三角形，该等腰三角形的高是圆锥的高，底是圆锥的底面直径，面积增加两个等腰三角形的面积，即S增=2rh。 圆锥的特征： ①底面的特征：圆锥的底面一个圆。 ②侧面的特征：圆锥的侧面是一个曲面。 ③高的特征 ：圆锥有一条高。 圆柱和圆锥的关系 ①圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。 ②圆柱与圆锥等底等体积，圆锥的高是圆柱的3倍。 ③圆柱与圆锥等高等体积，圆锥的底面积(注意：是底面积而不是底面半径)是圆柱的3倍。 ④圆柱与圆锥等底等高 ，体积相差Sh。 一、易错题突破（判断对错，对的在括号里打“√”，错的打“×”） 1.（25春六下·江西上饶·模拟）圆柱的侧面展开图一定是长方形或正方形。（ ） 【答案】× 【解析】 圆柱的侧面展开图的形状与展开方式有关,当且仅当沿着侧面上的高展开时,得到的侧面展开图才是长方形或正方形;当沿着侧面上的斜线或不规则的线展开时,得到的侧面展开图是平行四边形或不规则图形。 【总结】 圆柱的侧面展开图的形状与展开方式有关,当且仅当沿着侧面上的高展开时,得到的侧面展开图才是长方形或正方形;当沿着侧面上的斜线或不规则的线展开时,得到的侧面展开图是平行四边形或不规则图形。 2.（25春六下·江西上饶·模拟）侧面积相等的两个圆柱，表面积也相等。（ ） 【答案】× 【解析】 圆柱的侧面展开图的形状与展开方式有关,当且仅当沿着侧面上的高展开时,得到的侧面展开图才是长方形或正方形;当沿着侧面上的斜线或不规则的线展开时,得到的侧面展开图是平行四边形或不规则图形。 【总结】 圆柱的侧面展开方式不同,得到的侧面展开图也不同。圆柱的侧面展开图可能是长方形、正方形、平行四边形或不规则图形。 3.（25春六下·河南洛阳·模拟）圆柱的底面半径和高都扩大到原来的2倍，体积就扩大到原来的4倍。（ ） 【答案】× 【解析】 解：设原来圆柱的体积为V=πr2h；则现在圆柱的体积V=π×（2r）2×2h=8πr2h。 容易忽略底面积等于π乘底面半径的平方。实际上，底面半径扩大到原来的2倍，底面积就扩大到原来的2倍。 【总结】 如果圆柱的高不变,底面半径(或底面直径、底面周长)扩大到原来的n(n为非0自然数)倍(或缩小为原来的),则体积扩大到原来的n倍(或缩小为原来的)；如果圆柱的底面半径(或底面直径、底面周长)不变,高扩大到原来的n倍(或缩小为原来的),则体积也扩大到原来的n倍(或缩小为原来的)。 4.（24春六下·江西南昌·期末）把一个圆柱，削成一个最大圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的。（ ） 【答案】√ 【解析】 “最大”表示削成的圆锥和圆柱为等底、等高。 等底、等高是“圆锥的体积是圆柱体积的”成立的前提条件,忽略了这个前提条件,圆柱和圆锥体积之间就不会存在“3倍”或“”的关系。 【总结】只有等底、等高的圆锥和圆柱,圆锥的体积才是圆柱体积的,圆柱的体积才是圆锥 体积的3倍。 5.（24春六下·江西新余·期末）制作一截底面直径是6厘米，长40厘米的圆柱形烟囱，至少需要用810.12平方厘米。（ ） 【答案】× 【解析】 计算制作这截烟囱至少要用多少平方厘米的铁皮,很容易误解为计算圆柱的表面积,也就是侧面积加上2个底面积。实际上烟囱是没有底面积的。 正确解答：3.14×6×40=753.6(cm2) 答:至少要用 753.6cm2的铁皮。 【总结】烟囱的用途决定了它不能有底面,只能有侧面,所以计算用料时,只计算烟囱的侧面积即可。 二、重难点突破。 考点1：圆柱的认识及圆柱表面积，侧面积和体积问题。 6.（24春六下·山西吕梁·期末）奇思对下图的笔筒进行测量，并把相关数据写在相应的位 置上，他发现这个笔筒的高是（ ）cm，直径是（ ）cm。他越看越发现这个笔筒高度不够，于是又将高度增加了 2cm。重新做了一个无盖笔筒，那么这个新的笔筒的底面周长是（ ）cm，表面积是（ ）cm2。制作好笔筒以后，奇思又想将笔筒周围贴一张卡通彩纸。他算了算最少需要彩色的卡纸面积（忽略接头处面积）是（ ）cm2，他精心做好后，还想采用下图方式用彩带捆扎一下（打结处长为 20cm），然后作为生日礼物送给好朋友妙想。请你帮他算一算需要彩带的长为（ ）cm。 【答案】6 ，10 ，31.4，329.7，251.2 ，92 【分析】由图可知：圆柱的高就是笔筒的高，所以高为6cm，直径为10 cm；新笔筒的高增加了2cm，底面直径没有变，所以用公式c =πd求出笔筒底面周长；用公式S=2πr2 +2πrh求出无盖圆柱的表面积；笔筒周围一圈的彩纸就是圆柱的侧面积，用侧面积公式S侧=2πrh 求出即可； 由图可知，彩带包含了4个高，4个直径和 20cm的接头长度，把所有长度相加求出即可。 【解答】 原笔筒高为6cm，直径为10cm； 新笔筒高为8cm，直径为10cm，半径为5cm， r＝10÷2＝5（cm） C=πd＝3.14×10＝31.4（cm） S=2πr2 +2πrh    ＝3.14×5×5＋2×3.14×5×8 ＝78.5＋251.2 ＝329.7（cm2） S侧=2πrh＝2×3.14×5×8＝251.2（cm2） 彩带长度： 4×8＋4×10＋20 ＝32＋40＋20 ＝92（cm） 所以原来笔筒的高是 6cm；直径是 10cm；新笔筒的底面周长是 31.4cm，表面积是 329.7cm2 ； 卡纸的面积是 251.2cm2 ；彩带的长度为92cm。 考点2：与圆锥体积相关的实际问题。 7.（24春六下·安徽池州·期末）一个圆锥形麦堆,底面周长是12.56m,高是1.5m,每立方米小麦约重700kg,如果小麦的出粉率是80%,那么这堆小麦可磨出面粉多少千克? 【答案】3516.8 【解析】 考点：关于圆锥的应用题 专题：立体图形的认识与计算 要求这堆麦子的重量，先求得麦堆的体积，麦堆的形状是圆锥形的，利用圆锥的体积计算公式求得体积，进一步再求麦子的重量，问题得解。 解：麦堆的体积： ×3.14×（12.56÷3.14÷2）2×1.5 =×3.14×22×1.5 =3.14×4×0.5 =6.28（立方米） 小麦的重量：700×6.28=4396（千克） 面粉质量：4396×80%=3516.8（千克） 答：这堆小麦可磨出面粉3516.8千克。 【总结】此题主要考查圆锥的体积计算公式：V=πr2h，运用公式计算时不要漏乘，这是经常犯的错误。 8.（25春六下·江西鹰潭·模拟）一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84m，高是2.4m，把这些沙子铺在一条长31.4m，宽2m的道路上，能铺多厚？ 【答案】0.36米 【解析】 先根据圆锥的底面周长求出它的底面半径,从而利用圆锥的体积公式求出这堆沙的体积,再利用长方体的体积公式即可求出沙子的厚度；此题考查了圆锥与长方体的体积公式的综合应用,此题关键是弄清物体的形状,再利用公式进行解答。 解：圆锥的底面半径是：18.84÷3.14÷2=3（米） 沙子的体积是： ×3.14×32×2.4 =×3.14×9×2.4 =22.608（立方米） 厚度：22.608÷（31.4×2） =22.608÷62.8 =0.36（米） 答：能铺0.36米厚。 【总结】圆锥形的沙堆铺在道路上，形状由圆锥变成了长方体，形状变化，体积不变，所以圆锥形沙堆体积就是道路上长方体路面的体积。 考点2：圆柱的侧面展开图问题。 9.（24春六下·河南驻马店·期末）一个圆柱的侧面展开后是边长为18.84厘米的正方形， 这个圆柱的高是（ ）厘米，底面半径是（ ）厘米。 【答案】18.84，3 【解析】 圆柱侧面沿高展开是正方形，说明圆柱的底面周长与高相等，且圆柱的底面周长和高都等于正方形边长，则底面半径＝底面周长÷圆周率÷2（即r=C÷π÷2）。 解：18.84÷3.14÷2＝3（厘米） 答：这个圆柱的高是18.84厘米，底面半径是3厘米。 【总结】 还有一个考点：圆柱侧面展开图是正方形，则底面周长等于高，所以圆柱高与底面直径的比是h:d=C:d=πd:d=π:1；则高与半径的比是h:r=2π:1。 考点3：削、切、拼、截、卷等后圆柱体表面积和体积问题。 10.（24春六下·辽宁锦州·期末）一个圆柱，如果它的高截去 3 厘米，表面积就减少 94.2 平方厘米，它的底面半径是（ ）厘米。 【答案】10 【解析】 94.2平方厘米是以圆柱的底面积为底，高是3厘米的圆柱的侧面积，根据侧面积公式S侧=ch，由此求出圆柱的底面的周长是c=S侧÷h，进而求出圆柱的底面半径直径即可。 解：圆柱的底面周长： 94.2÷3=31.4（厘米） 圆柱的底面直径： 31.4÷3.14=10（厘米） 答：这个圆柱的底面直径是10厘米。 【总结】解答此题的关键是，知道94.2平方厘米是哪部分的面积，再根据相应的公式解决问题。 11.（24春六下·安徽安庆·期末）一根圆柱形木料,底面周长是94.2cm,高是50cm。将这根圆柱形木料沿着底面直径垂直切成两个半圆柱,那么两个截面的面积一共是多少平方厘米? 【答案】3000 【解析】本题考查圆柱的底面周长和长方形的面积。 截面是长方形，长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，所以两个截面的面积=圆柱的底面直径×圆柱的高×2。 94.2÷3.14=30(cm) 30×50×2 =1500×2 =3000(cm²) 答：两个截面的面积一共是3000cm²。 12.（24春六下·湖南岳阳·期末）如图所示,把一个底面直径是6厘米的圆柱,沿底面直径切成若干等份,拼成一个近似的长方体,这个长方体的表面积比原来增加60平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 【答案】282.6 【解析】 把圆柱沿底面直径切成若干等份拼成近似长方体后，表面积增加的部分是两个以圆柱的高为长、圆柱底面半径为宽的长方形的面积。 先求圆柱底面半径：已知底面直径是6厘米，那么半径r=6÷2=3厘米。 再求圆柱的高：因为表面积增加60平方厘米，那么一个这样的长方形面积是60÷2=30平方厘米，又因为宽（底面半径）是3厘米，根据长方形面积公式可得高h=30÷3=10厘米。 最后求长方体体积：拼成的长方体体积和圆柱体积相等，可得。 V=πr2h=3.14×32×10=282.6（立方厘米） 【总结】在用剪拼法推导圆柱体积公式时，体积不变，表面积增加了长方体左右两个侧面积，即2rh。 13.（24春六下·河南驻马店·期末）把一个棱长是6厘米的正方体木块加工成一个最大的 圆锥体，体积比原来减少了（ ）立方厘米。 A．216 B．169.56 C．159.48 D．46.44 【答案】D 【解析】 “最大”表现在：圆锥的底面直径等于正方体的棱长，圆锥的高等于正方体的棱长。 所以圆锥的d=h=6厘米。 减少体积=正方体体积-圆锥体积 6×6×6-π×（6÷2）2×6 =216-169.56 =46.44（立方厘米） 考点4：旋转后几何体的体积问题。 14. （24 春六下·浙江丽水·期末）如图，直角梯形ABCD中，AB=7dm,CD=AD=4dm，如果以它的下底AB所在的直线为轴旋转一周,所得到的图形的体积有多大? 【答案】251.2立方分米 【解析】如下图所示，以直角梯形ABCD的下底AB所在的直线为轴旋转一周后，得到的图形是一个圆柱和一个圆锥的组合体‌。圆柱的底面半径为4dm（即梯形的高AD），高也为4dm；圆锥的底面半径同样为4dm，高为AB减去AD，即3dm。 解：π×42×4+×π×42×3=251.2（立方分米） 考点5：圆柱与圆柱的体积关系。 15.（24春六下·四川绵阳·期末）如图,有甲、乙两个容器,甲容器注满水后倒入乙容器中,乙容器里水深是多少厘米？ 【答案】7.5 【解析】 圆锥的体积=×底面积×高，圆柱的体积=底面积×高，再据这些水的体积不变，即可求出倒入圆柱中的水的高度． 解：×3.14×62×10÷（3.14×42） =×3.14×36×10÷（3.14×16） =376.8÷50.24， =7.5（厘米）； 答：乙容器里水深7.5厘米。 【总结】此题考查了圆锥与圆柱体积的计算方法，关键是明白：水的体积不变。 16.（23春六下·湖北武汉·期末）如图,在一个由圆锥和圆柱组成的高为8cm的玻璃容器中加人一些水,并盖上盖子,水面高6cm,圆锥和圆柱的高相同。当把这个玻璃容器倒过来时,水面有多高? 【答案】厘米 【解析】 解题步骤和关键点： ‌（1）确定容器高度和水的初始高度‌：容器总高度为8厘米，水面初始高度为6厘米。 ‌（2）计算圆锥和圆柱的高度‌：由于圆锥和圆柱的高度相等，所以每个部分的高度都是8厘米的一半，即4厘米。 ‌（3）计算倒过来后水面的高度‌： ‌①圆柱部分的水高度‌：水面在圆柱部分的高度为6厘米减去圆锥部分的高度，即2厘米。 ‌②圆锥部分的水高度‌：圆锥部分的水高度为2厘米，由于等底等高的圆柱体积是圆锥体积3倍，所以这2厘米高的水在倒过来后会在圆柱中占据=厘米的高度。 ‌③总高度‌：倒过来后，水面总高度为圆柱部分剩余的2厘米加上圆锥部分倒过来的=厘米，即厘米。 公式和计算过程 ‌圆柱体积公式‌：V=πr2h, r是底面半径，h是高。 ‌圆锥体积公式‌：V=πr2h, r是底面半径，h是高。 解：圆柱部分水的高度：6厘米-4厘米=2厘米。 圆锥部分水的高度：4厘米（等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，所以2厘米高的水在倒过来后会在圆柱中占据厘米的高度）。 总高度：2厘米 + 厘米 = 厘米。 考点6：排水法测量物体的体积。 17.（24 春六下·江西九江·期末）如图所示,求圆锥体积。 【答案】50.24立方厘米 【解析】 取出圆锥后，下降的水的体积等于圆锥体积。 下降的水的高度：3-（10-8）=1（厘米） 下降水体积=圆锥体积=πr2h=3.14×（8÷2）2×1=50.24（立方厘米） 考点7：求组合图形表面积和体积。 18.（24春六下·河南信阳·期末）求下面图形的表面积和体积。 【答案】518.72平方厘米；166.08立方厘米 【解析】 表面积运用平移补齐法，借圆柱上底面的面补齐下面长方体的六个面的表面积，转化为长方体的表面积+圆柱体的侧面就是此图形的表面积；体积等于圆柱体积+长方体体积。 表面积： π×6×8+（12×10+12×2+10×2）×2=48π+368=518.72（平方厘米） 体积： 3.14×（6÷2）2×8+12×10×2=226.08+240=466.08（立方厘米） 考点8：求不规则物体的体积或容器。 19.（24春六下·河南新乡·期末）求下面几何体的体积。（单位：cm） 【答案】226.08立方厘米 【解析】根据转化思想，再借助一个同样的几何体拼成一个高为10+6=16厘米的圆柱，根据圆柱体积公式计算出此圆柱体积之和再除以2即可。如图所示： 解：π×（6÷2）2×（10+6）÷2=226.08（立方厘米） 20.（24春六下·江西抚州·期末）有一饮料容器如图所示,容积是30立方分米。现在,它里面装有些饮料,正放时饮料高度为20dm,倒放时空余部分的高度为5dm。问:容器内现有饮料多少立方分米? 【答案】24 【解析】 倒置后，因为容器容积和饮料的体积不变，所以得到空白部分的体积也相等。所以可以容器可以转化为一个规则的圆柱体，此圆柱体的高为20+5=25（分米） 有水部分与无水部分的高之比等于容积之比20:5=4:1 容器内饮料的体积为30÷（1+4）×4=24（立方分米） 学科网（北京）股份有限公司第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项1 圆柱和圆锥 一、圆柱知识点 圆柱的相关计算公式： 底面积 ：S底=πr² 底面周长：C底=πd=2πr 侧面积 ：S侧=2πrh 表面积 ：S表=2S底+S侧=2πr²+2πrh 体积  ：V柱=πr²h 圆柱的切割： ①横切：切面是圆，表面积增加2倍底面积，即S增=2πr²。 ②竖切（过直径）：切面是长方形（如果h=2R，切面为正方形），该长方形的长是圆柱的高，宽是圆柱的底面直径，表面积增加两个长方形的面积，即S增=4rh。 圆柱的特征： ①底面的特征：圆柱的底面是完全相等的两个圆。 ②侧面的特征：圆柱的侧面是一个曲面。 ③高的特征 ：圆柱有无数条高。 圆柱的侧面展开图： ①沿着高展开，展开图形是长方形，如果h=2πr，则展开图形为正方形。 ②不沿着高展开，展开图形是平行四边形或不规则图形。 ③无论怎么展开都得不到梯形。 二、圆锥知识点 圆锥的相关计算公式： 底面积 ：S底=πr² 底面周长：C底=πd=2πr 体积 ：V锥=πr²h 圆锥的切割： ①横切：切面是圆。 ②竖切（过顶点和直径直径）：切面是等腰三角形，该等腰三角形的高是圆锥的高，底是圆锥的底面直径，面积增加两个等腰三角形的面积，即S增=2rh。 圆锥的特征： ①底面的特征：圆锥的底面一个圆。 ②侧面的特征：圆锥的侧面是一个曲面。 ③高的特征 ：圆锥有一条高。 圆柱和圆锥的关系 ①圆柱与圆锥等底等高，圆柱的体积是圆锥的3倍。 ②圆柱与圆锥等底等体积，圆锥的高是圆柱的3倍。 ③圆柱与圆锥等高等体积，圆锥的底面积(注意：是底面积而不是底面半径)是圆柱的3倍。 ④圆柱与圆锥等底等高 ，体积相差Sh。 一、易错题突破（判断对错，对的在括号里打“√”，错的打“×”） 1.（25春六下·江西上饶·模拟）圆柱的侧面展开图一定是长方形或正方形。（ ） 2.（25春六下·江西上饶·模拟）侧面积相等的两个圆柱，表面积也相等。（ ） 3.（25春六下·河南洛阳·模拟）圆柱的底面半径和高都扩大到原来的2倍，体积就扩大到原来的4倍。（ ） 4.（24春六下·江西南昌·期末）把一个圆柱，削成一个最大圆锥，圆锥的体积是圆柱体积的。（ ） 5.（24春六下·江西新余·期末）制作一截底面直径是6厘米，长40厘米的圆柱形烟囱，至少需要用810.12平方厘米。（ ） 二、重难点突破。 考点1：圆柱的认识及圆柱表面积，侧面积和体积问题。 6.（24春六下·山西吕梁·期末）奇思对下图的笔筒进行测量，并把相关数据写在相应的位 置上，他发现这个笔筒的高是（ ）cm，直径是（ ）cm。他越看越发现这个笔筒高度不够，于是又将高度增加了 2cm。重新做了一个无盖笔筒，那么这个新的笔筒的底面周长是（ ）cm，表面积是（ ）cm2。制作好笔筒以后，奇思又想将笔筒周围贴一张卡通彩纸。他算了算最少需要彩色的卡纸面积（忽略接头处面积）是（ ）cm2，他精心做好后，还想采用下图方式用彩带捆扎一下（打结处长为 20cm），然后作为生日礼物送给好朋友妙想。请你帮他算一算需要彩带的长为（ ）cm。 考点2：与圆锥体积相关的实际问题。 7.（24春六下·安徽池州·期末）一个圆锥形麦堆,底面周长是12.56m,高是1.5m,每立方米小麦约重700kg,如果小麦的出粉率是80%,那么这堆小麦可磨出面粉多少千克? 8.（25春六下·江西鹰潭·模拟）一个圆锥形沙堆，底面周长是18.84m，高是2.4m，把这些沙子铺在一条长31.4m，宽2m的道路上，能铺多厚？ 考点2：圆柱的侧面展开图问题。 9.（24春六下·河南驻马店·期末）一个圆柱的侧面展开后是边长为 18.84 厘米的正方形， 这个圆柱的高是（ ）厘米，底面半径是（ ）厘米。 考点3：削、切、拼、截、卷等后圆柱体表面积和体积问题。 10.（24春六下·辽宁锦州·期末）一个圆柱，如果它的高截去 3 厘米，表面积就减少 94.2 平方厘米，它的底面半径是（ ）厘米。 11.（24春六下·安徽安庆·期末）一根圆柱形木料,底面周长是94.2cm,高是50cm。将这根圆柱形木料沿着底面直径垂直切成两个半圆柱,那么两个截面的面积一共是多少平方厘米? 12.（24春六下·湖南岳阳·期末）如图所示,把一个底面直径是6厘米的圆柱,沿底面直径切成若干等份,拼成一个近似的长方体,这个长方体的表面积比原来增加60平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？ 13.（24春六下·河南驻马店·期末）把一个棱长是 6 厘米的正方体木块加工成一个最大的 圆锥体，体积比原来减少了（ ）立方厘米。 A．216 B．169.56 C．159.48 D．46.44 考点4：旋转后几何体的体积问题。 14.（24 春六下·浙江丽水·期末）如图，直角梯形ABCD中，AB=7dm,CD=AD=4dm，如果以它的下底AB所在的直线为轴旋转一周,所得到的图形的体积有多大? 考点5：圆柱与圆柱的体积关系。 15.（24春六下·四川绵阳·期末）如图,有甲、乙两个容器,甲容器注满水后倒入乙容器中,乙容器里水深是多少厘米？ 16.（23春六下·湖北武汉·期末）如图,在一个由圆锥和圆柱组成的高为8cm的玻璃容器中加人一些水,并盖上盖子,水面高6cm,圆锥和圆柱的高相同。当把这个玻璃容器倒过来时,水面有多高? 考点6：排水法测量物体的体积。 17.（24 春六下·江西九江·期末）如图所示,求圆锥体积。 考点7：求组合图形表面积和体积。 18.（24春六下·河南信阳·期末）求下面图形的表面积和体积。 考点8：求不规则物体的体积或容器。 19.（24春六下·河南新乡·期末）求下面几何体的体积。（单位：cm） 20.（24春六下·江西抚州·期末）有一饮料容器如图所示,容积是30立方分米。现在,它里面装有些饮料,正放时饮料高度为20cm,倒放时空余部分的高度为5cm。问:容器内现有饮料多少立方分米? 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