专题10 直线的倾斜角与斜率（3知识点+7大题型+思维导图+过关检测）-【暑假自学课】2025年新高二数学暑假提升精品讲义（人教A版2019选择性必修第一册）

专题10 直线的倾斜角与斜率 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：直线的倾斜角 1、倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角． 2、倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下： 倾斜角 图示 知识点02：直线的斜率 1、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． 2、倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 3、倾斜角与斜率的区别和联系 （1）每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是90°时，倾斜角的正切值是斜率，此时斜率和倾斜角可以互相转化．因此，确定一条不垂直于轴的直线，只要知道直线上的一个点和直线的斜率即可． 知识点03：过两点的直线的斜率公式 1、斜率公式：经过两点、的直线的斜率公式为． 2、对斜率公式的理解 （1）当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，此时公式不适用．因此，在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况． （2）直线的斜率公式中的值与，两点都在该直线上的位置无关，即在直线上任取不同的两点，其斜率均不变． （3）斜率公式与两点坐标的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换，也就是说，如果分子式，分母必须是；如果分子是，分母必须是，即． 3、直线的斜率与方向向量的关系 我们知道直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量，直线的方向向量的坐标为．当直线与轴不垂直时，此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标，即，其中是直线的斜率．因此，若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则斜率为． 【题型01：直线的倾斜角定义理解】 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D．不存在 2．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）图中等于直线的倾斜角的是（    ）    A．①④ B．①② C．①③ D．②④ 3．（2024高二上·江苏·专题练习）已知直线l的倾斜角为，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·全国·课后作业）设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角为（   ） A． B． C． D．当时，倾斜角为；当时，倾斜角为 5．（24-25高二上·全国·课后作业）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.如图，以大五角星的中心点为原点建立直角坐标系，，，，分别是大五角星中心点与四颗小五角星中心点的连线，，则第三颗小五角星的一条边所在直线的倾斜角约为（    ）    A． B． C． D． 【题型02：直线斜率的定义】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，直线的斜率为（   ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 2．（24-25高二下·云南文山·月考）已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·辽宁鞍山·期中）经过两点的直线的斜率为（    ） A．2 B． C． D． 4．（24-25高二上·福建福州·月考）若经过两点、的直线的倾斜角为，则等于（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·山东·期中）过两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．或 D．2 6．（23-24高二上·四川绵阳·月考）已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·安徽淮北·开学考试）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致如图，一座斜拉桥共有对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距、均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【题型03：直线斜率与直线的方向向量】 一、单选题 1．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线的倾斜角为，方向向量．则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·云南昆明·月考）经过两点的直线的方向向量为，则a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 3．（24-25高二上·重庆·期中）已知点，，若是直线l的方向向量，则直线l的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（24-25高二上·北京顺义·期中）直线的一个方向向量（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线的倾斜角为，则的方向向量可能为（    ） A． B． C． D． 【题型04：直线的斜率与倾斜角间的变化关系】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） ①直线的倾斜角的取值范围是； ②平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ③直线的倾斜角越大，其斜率就越大. A．① B．②③ C．①③ D．①② 2．（24-25高二上·天津红桥·月考）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·河北张家口·期中）如图，直线，，，的斜率分别为，，，，则（    ）    A． B． C． D． 4．（24-25高二上·福建·期中）已知直线过点，，若的倾斜角的取值范围是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·江西九江·月考）已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二上·河南驻马店·期中）已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型05：直线与线段有交点问题】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏·开学考试）已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率k的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 2．（24-25高二下·湖南岳阳·开学考试）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 3．（24-25高二上·河北·月考）已知点，点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·重庆巫溪·期中）已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【题型06：斜率公式的应用（三点共线）】 一、单选题 1．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·江苏盐城·月考）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 二、填空题 4．（24-25高二上·河南周口·月考）已知，平面内三点共线，则 ． 5．（23-24高二·全国·课堂例题）已知，，三点在同一条直线上，则实数 m 的值为 ． 【题型07：斜率公式的几何意义】 一、单选题 1．（23-24高二上·黑龙江大庆·月考）已知点，若点在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 二、填空题 4．（24-25高二上·山东青岛·月考）已知，若点在线段上，则的最小值为 ． 5．（24-25高二上·河南·月考）已知实数满足，且，则的最小值为 . 一、单选题 1．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·湖北·期末）已知两点，直线的倾斜角为，则实数等于（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·福建宁德·月考）若直线的一个法向量是，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知三点在同一条直线上，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 5．（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点，在斜率为的直线l上，则（   ） A． B． C． D． 6．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·江苏连云港·期末）经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·山东东营·期末）已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高二上·北京·月考）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（24-25高二上·广东·月考）已知，且点，，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（24-25高二上·河南濮阳·月考）已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二上·江苏南通·月考）已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（24-25高二上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（   ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为 14．（24-25高二上·广西百色·月考）直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高二上·河南南阳·月考）已知直线的斜率分别是，倾斜角分别是，且，则下列关系可能正确的是（    ） A． B． C． D． 三、解答题 16．（2024高二·全国·专题练习）已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 17．（23-24高二上·河南·月考）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题10 直线的倾斜角与斜率 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材 学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型 强知识：7大核心考点精准练 第二步：记 串知识 识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测 稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点01：直线的倾斜角 1、倾斜角的定义：当直线与轴相交时，我们把轴称为基准，轴的正向与向上的方向之间所产生的角叫做直线的倾斜角． 2、倾斜角的范围 当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．因此，直线的倾斜角的取值范围为，具体如下： 倾斜角 图示 知识点02：直线的斜率 1、斜率的定义：我们把一条直线的倾斜角（）的正切值叫做这条直线的斜率，常用小写字母表示，即． 2、倾斜角与斜率的关系 直线的情况 平行于轴 由左向右上升 垂直于轴 由左向右下降 的大小 的取值范围 不存在 的增减性 — 随的增大而增大 — 随的增大而减增大 3、倾斜角与斜率的区别和联系 （1）每条直线都有唯一的倾斜角，但不是所有的直线都有斜率，倾斜角为90°的直线没有斜率； （2）不同的倾斜角对应不同的斜率，当倾斜角不是90°时，倾斜角的正切值是斜率，此时斜率和倾斜角可以互相转化．因此，确定一条不垂直于轴的直线，只要知道直线上的一个点和直线的斜率即可． 知识点03：过两点的直线的斜率公式 1、斜率公式：经过两点、的直线的斜率公式为． 2、对斜率公式的理解 （1）当时，直线与轴垂直，直线的倾斜角为90°，斜率不存在，此时公式不适用．因此，在研究直线的斜率问题时，一定要注意斜率的存在与不存在两种情况． （2）直线的斜率公式中的值与，两点都在该直线上的位置无关，即在直线上任取不同的两点，其斜率均不变． （3）斜率公式与两点坐标的顺序无关，即两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换，也就是说，如果分子式，分母必须是；如果分子是，分母必须是，即． 3、直线的斜率与方向向量的关系 我们知道直线上的向量以及与它平行的向量都是直线的方向向量，直线的方向向量的坐标为．当直线与轴不垂直时，此时向量也是直线的方向向量，且它的坐标，即，其中是直线的斜率．因此，若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为，则斜率为． 【题型01：直线的倾斜角定义理解】 1．（24-25高二上·上海·阶段练习）直线的倾斜角是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】B 【分析】根据直线倾斜角的定义直接得出结果. 【详解】易知直线与轴垂直，所以直线的倾斜角为. 故选：B 2．（23-24高二上·陕西西安·阶段练习）图中等于直线的倾斜角的是（    ）    A．①④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】C 【分析】根据直线的倾斜角的定义判断即可. 【详解】根据倾斜角的定义可知图①中的为直线的倾斜角， 图③中的的对顶角为直线的倾斜角， 图②中的的补角为直线的倾斜角， 图④中的为直线的倾斜角. 故符合题意的只有①③. 故选：C 3．（2024高二上·江苏·专题练习）已知直线l的倾斜角为，则与l关于x轴对称的直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据倾斜角的定义结合图形可得答案. 【详解】根据倾斜角的定义，并结合图形知，所求直线的倾斜角为. 故选：C. 4．（24-25高二上·全国·课后作业）设直线过坐标原点，它的倾斜角为，如果将绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，那么的倾斜角为（   ） A． B． C． D．当时，倾斜角为；当时，倾斜角为 【答案】D 【分析】分类讨论，结合倾斜角概念可解. 【详解】根据题意，画出图形，如图所示： 因为，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意， 通过画图（如图所示）可知： 当时，的倾斜角为； 当时，的倾斜角为． 故选：D． 5．（24-25高二上·全国·课后作业）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点.如图，以大五角星的中心点为原点建立直角坐标系，，，，分别是大五角星中心点与四颗小五角星中心点的连线，，则第三颗小五角星的一条边所在直线的倾斜角约为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过作轴平行线，由五角星的内角和可求出，即可求出答案. 【详解】因为，分别为大五角星和第三颗小五角星的中心点， 所以平分第三颗小五角星的一个角， 又由五角星的角尖为知. 过作轴的平行线，如图，则. 所以直线的倾斜角约为.    故选：C. 【题型02：直线斜率的定义】 一、单选题 1．（24-25高二上·广东汕头·期末）在平面直角坐标系中，直线的斜率为（   ） A．0 B．1 C．90 D．不存在 【答案】D 【分析】根据给定直线的特征确定其斜率情况. 【详解】直线垂直于垂直，所以直线的斜率不存在. 故选：D 2．（24-25高二下·云南文山·月考）已知直线的斜率为，则直线的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由倾斜角与斜率关系即可求解. 【详解】设倾斜角为，，则，解得，故倾斜角为， 故选：A. 3．（24-25高二上·辽宁鞍山·期中）经过两点的直线的斜率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】代入斜率公式求解即可 【详解】经过两点的直线的斜率为， 故选：B 4．（24-25高二上·福建福州·月考）若经过两点、的直线的倾斜角为，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据倾斜角与斜率的关系可求斜率，再结合两点斜率公式列方程求. 【详解】因为经过两点，的直线的倾斜角为， 所以直线的斜率 所以，解得. 故选：D. 5．（24-25高二上·山东·期中）过两点的直线的倾斜角为，则（   ） A． B． C．或 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，由直线斜率的计算公式代入计算，然后检验，即可得到结果. 【详解】由题意可得，，化简可得， 解得或， 当时，，两点重合，故舍去. 所以. 故选：A 6．（23-24高二上·四川绵阳·月考）已知直线经过点两点．直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点求解斜率，即可根据二倍角公式求解. 【详解】由得，设的倾斜角为， 所以， 故， 故直线的斜率为， 故选：A 7．（24-25高二下·安徽淮北·开学考试）斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致如图，一座斜拉桥共有对拉索，在索塔两侧对称排列，已知拉索上端相邻两个锚的间距均为，拉索下端相邻两个锚的间距、均为，最短拉索满足，，若建立如图所示的平面直角坐标系，则最长拉索所在直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，计算即可得答案. 【详解】依题意，， ，则点，， 所以拉索所在直线的斜率. 故选：D 【题型03：直线斜率与直线的方向向量】 一、单选题 1．（24-25高二上·宁夏吴忠·期中）已知直线的倾斜角为，方向向量．则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线的倾斜角可得直线斜率，再根据方向向量可得直线斜率，即可求解. 【详解】直线的倾斜角为，所以， 方向向量，则，. 故选：A. 2．（24-25高二下·云南昆明·月考）经过两点的直线的方向向量为，则a的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用方向向量的定义列式求解. 【详解】由点，，得，由直线的方向向量为， 得，因此，所以. 故选：A 3．（24-25高二上·重庆·期中）已知点，，若是直线l的方向向量，则直线l的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两点坐标得到向量坐标，即可求得该直线的倾斜角. 【详解】已知点，，则， 斜率，又直线l的倾斜角， 则直线l的倾斜角. 故选：A. 二、多选题 4．（24-25高二上·北京顺义·期中）直线的一个方向向量（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】若直线斜率为，则为直线的一个方向向量，同时与向量平行的非零向量都是直线的方向向量，由此可确定选项. 【详解】由直线方程可得直线斜率，故直线的一个方向向量为. 由向量与向量平行，可知也是直线的方向向量. 故选：CD. 5．（23-24高二上·广东深圳·期中）已知直线的倾斜角为，则的方向向量可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据直线的倾斜角与斜率的关系求解. 【详解】由题意得的斜率为， 对A，对应的斜率为，A正确； 对B，对应的斜率为，B错误； 对C，对应的斜率为，C正确； 对D，对应的斜率为，D错误； 故选:AC. 【题型04：直线的斜率与倾斜角间的变化关系】 一、单选题 1．（24-25高二上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） ①直线的倾斜角的取值范围是； ②平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率； ③直线的倾斜角越大，其斜率就越大. A．① B．②③ C．①③ D．①② 【答案】D 【分析】根据直线倾斜角与斜率之间的关系逐项分析判断即可． 【详解】对于①，直线的倾斜角的范围为，①正确； 对于②，平面内所有直线都有倾斜角，当倾斜角为时没有斜率，②正确； 对于③，倾斜角为锐角时斜率为正，倾斜角为钝角时斜率为负，③错误. 故选：D. 2．（24-25高二上·天津红桥·月考）如图中的直线，，的斜率分别为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可. 【详解】设直线,的倾斜角为，由图可知，所以，即，，所以． 故选：D 3．（24-25高二上·河北张家口·期中）如图，直线，，，的斜率分别为，，，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由图可知直线的倾斜角为钝角，斜率为负，直线的倾斜角为锐角，斜率为正，以及根据倾斜角的大小判断斜率的大小可得答案. 【详解】直线的倾斜角为钝角，斜率为负，且直线的倾斜角大于直线的倾斜角， 直线的倾斜角为锐角，斜率为正，直线的倾斜角大于直线的倾斜角， 所以． 故选：D. 4．（24-25高二上·福建·期中）已知直线过点，，若的倾斜角的取值范围是，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据斜率公式构建不等式组即可求出的取值范围. 【详解】由题设有即， 故选：B. 5．（23-24高二上·江西九江·月考）已知直线的斜率，则的倾斜角的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用斜率的定义得到直线倾斜角的正切值的范围，再利用正切函数的性质即可得解. 【详解】设的倾斜角为，则，且， 如图，由正切函数的性质知. 故选：C. 6．（24-25高二上·河南驻马店·期中）已知直线l的倾斜角满足，则l的斜率k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，为倾斜角，分别求出倾斜角在和时斜率的值，再根据正切函数在给定区间的单调性确定斜率的取值范围.、 【详解】当时， . 当时,. 因为在上单调递增，在上也单调递增. 当时，； 当时，. 所以的取值范围是. 故选：C. 【题型05：直线与线段有交点问题】 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏·开学考试）已知点，，若过的直线与线段相交，则直线斜率k的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据题意，求出直线，的斜率，结合图象可得答案. 【详解】根据题意，，，， 则，， 结合图象可得直线的斜率k的取值范围是. 故选：D.    2．（24-25高二下·湖南岳阳·开学考试）经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围是（  ） A． B． C．，-1）） D．[1，+ 【答案】A 【分析】先求得，再利用数形结合法求解. 【详解】， 如图所示： 由图知：若直线l与连接，两点的线段总有公共点， 则直线l的斜率k的取值范围是， 故选：A 3．（24-25高二上·河北·月考）已知点，点，直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两点斜率公式，即可结合图形，结合斜率与倾斜角的关系求解. 【详解】由于, 结合图形关系可知：要使直线过点且与线段相交， 则直线的斜率或， 故选：B    4．（24-25高二上·重庆巫溪·期中）已知两点，，过点的直线与线段AB（含端点）有交点，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出点与线段端点所成直线的斜率，即可得直线的斜率范围，再由倾斜角与斜率关系求倾斜角范围即可求解. 【详解】如图： 因为，，所以. 设直线的倾斜角为，则，且. 所以. 故选：C 【题型06：斜率公式的应用（三点共线）】 一、单选题 1．（24-25高二上·福建莆田·期末）已知三点，，在同一条直线上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的条件，利用列式计算即得. 【详解】由，，三点共线，得，即，解得． 故选：B 2．（24-25高二上·浙江台州·期末）台州学子黄雨婷夺得巴黎奥运会10米气步枪比赛1金1银两块奖牌后，10米气步枪射击项目引起了大家的关注.在10米气步枪比赛中，瞄准目标并不是直接用眼睛对准靶心，而是通过觇孔式瞄具来实现.这种瞄具有前后两个觇孔（觇孔的中心分别记为点），运动员需要确保靶纸上的黑色圆心（记为点）与这两个觇孔的中心对齐，以达到三圆同心的状态.若某次射击达到三圆同心，且点，点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意三点共线，结合两点式斜率公式，利用斜率相等列式求解即可. 【详解】由题意三点共线，设，因为，， 所以，解得，所以. 故选：B 3．（23-24高二上·江苏盐城·月考）图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图.其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为.已知，且直线的斜率为0.9，则（    ）    A．1.1 B．1.0 C．0.9 D．0.8 【答案】A 【分析】不妨设，根据以及斜率公式，建立方程，可得答案. 【详解】因为，所以， 不妨设，则． 由题意，知，即． 解得． 故选：A． 二、填空题 4．（24-25高二上·河南周口·月考）已知，平面内三点共线，则 ． 【答案】 【分析】由求解即可. 【详解】解：因为三点共线， 所以， 又因为， 所以， 整理得：， 即， 又因为， 解得. 故答案为： 5．（23-24高二·全国·课堂例题）已知，，三点在同一条直线上，则实数 m 的值为 ． 【答案】 【分析】根据题意结合斜率公式运算求解. 【详解】由题意易得A，B，C三点所在直线不可能垂直于x轴，因此其中任意两点所确定的直线斜率都存在， 设直线AB，BC的斜率分别为，． 由斜率公式可得，． 因为A，B，C三点在同一条直线上，则，即， 整理得，解得或． 故答案为：. 【题型07：斜率公式的几何意义】 一、单选题 1．（23-24高二上·黑龙江大庆·月考）已知点，若点在线段上，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合直线的斜率公式，即可求解 【详解】可看作与的斜率， 则，， 因为点在线段上， 所以的取值范围为， 故选：A 2．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把，，分别看作函数图象上的点与原点确定直线的斜率，结合图象即可得答案． 【详解】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率， 画出函数的图象，如图， 直线的斜率分别为，，，而， 所以，，的大小关系是. 故选：A 3．（24-25高二上·上海·课堂例题）点在函数的图象上，当时，可能等于（    ） A．或 B．或 C．或 D．0 【答案】C 【分析】先画出指数函数图象再结合斜率公式数形结合得出范围. 【详解】表示点与点所成直线的斜率k， 又是在部分图象上的动点， 如图，当接近时， 当为时，，则，只有C满足. 故选：C. 二、填空题 4．（24-25高二上·山东青岛·月考）已知，若点在线段上，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】表示线段上点和点连线的斜率，进而由数形结合即可求解. 【详解】表示线段上点和点连线的斜率， 如图: 由图形可知，当点与重合时的斜率最小， 又，所以， 故的最小值为. 故答案为：. 5．（24-25高二上·河南·月考）已知实数满足，且，则的最小值为 . 【答案】 【分析】为线段上的点与点的连线的斜率，画出相应图形，易得即为的最小值，计算即可得. 【详解】为线段（如图中的）上的点与点的连线的斜率， 如图，当点在点时，取最小，此时， 则，即的最小值为.    故答案为：. 一、单选题 1．（24-25高二上·云南西双版纳·期末）直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据倾斜角的概念即可得到答案. 【详解】直线的倾斜角为. 故选：B. 2．（24-25高二上·湖北·期末）已知两点，直线的倾斜角为，则实数等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用两点的斜率公式及直线的斜率定义即可求解. 【详解】由题，直线的斜率为，又， . 故选：B. 3．（24-25高二上·福建宁德·月考）若直线的一个法向量是，则该直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据法向量写出一个方向向量，结合方向向量与斜率及倾斜角关系求倾斜角大小. 【详解】由直线法向量为，则直线的一个方向向量为， 若直线倾斜角为，则，故. 故选：A 4．（23-24高二上·全国·课后作业）已知三点在同一条直线上，则实数的值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．12 【答案】D 【分析】由三点中任意两点的直线斜率相等列式求解即可． 【详解】由题意，三点中任意两点的直线斜率相等，得，解得． 故答案为：D. 5．（24-25高二上·广东佛山·期末）已知点，在斜率为的直线l上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两点求概率即可求参； 【详解】点，在斜率为的直线l上，则. 故选：D. 6．（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）如图，直线、、、中，斜率最小的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系可得出结论. 【详解】由图可知的倾斜角为锐角，、、的倾斜角为钝角， 则直线的斜率为正数，直线、、的斜率均为负数， 且、、中，直线的倾斜角最小，故直线的斜率最小. 故选：B. 7．（23-24高二上·江苏连云港·期末）经过两点，的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意列出相应的不等式，即可得答案. 【详解】由题意经过两点，的直线的倾斜角是锐角， 可知 ，且 ， 解得 ，即实数m的范围是， 故选：C 8．（24-25高二上·山东东营·期末）已知直线的斜率为，直线的倾斜角比直线的倾斜角小，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出直线的倾斜角为，利用两角和的正切即可求解. 【详解】因为直线的斜率为，所以直线的倾斜角为， 又直线的倾斜角比直线的倾斜角小， 所以直线的倾斜角为， ， 故直线的斜率为 故选：B. 9．（24-25高二上·北京·月考）已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“”是“”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用倾斜角与斜率的关系，利用赋值法可得结论. 【详解】因为直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，， 所以，， 取，，满足，可求得，，此时， 所以“”是“”的不充分条件； 取，，满足，但，此时， 所以“”是“”的不必要条件； 所以“”是“”的既不充分又不必要条件. 故选：D. 10．（24-25高二上·广东·月考）已知，且点，，则直线的倾斜角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据斜率公式求出斜率的范围，进而可求出倾斜角的范围. 【详解】设直线的倾斜角为， 由题意，     因为，所以，所以， 所以，即， 所以， 即直线的倾斜角的取值范围是. 故选：D． 11．（24-25高二上·河南濮阳·月考）已知点，，若过点的直线l与线段相交，则直线l斜率k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】数形结合，求出临界条件结合斜率与倾斜角的关系求解即可. 【详解】由题设，，如下图示，所以． 故选：D 12．（23-24高二上·江苏南通·月考）已知函数，若满足的整数解恰有3个，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为函数的图象在直线下方的部分有3个整点，然后数形结合可解. 【详解】得，所以满足的整数解恰有3个，等价于函数的图象在直线下方的部分有3个整点. 如图，当直线的斜率m满足时满足题意，其中 所以，，所以. 故选：A 二、多选题 13．（24-25高二上·江苏南京·月考）在平面直角坐标系中，下列说法不正确的是（   ） A．任意一条直线都有倾斜角和斜率 B．直线的倾斜角越大，则该直线的斜率越大 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或 D．若一条直线的倾斜角为α，则该直线的斜率为 【答案】ABD 【分析】由题意利用直线的倾斜角和斜率的定义，逐一判断即可. 【详解】对于A，当直线的倾斜角为时，直线没有斜率，故A错误； 对于B，当直线的倾斜角为时，斜率为1，当直线的倾斜角为时，斜率为，故B错误； 对于C，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是，当直线与轴垂直时，直线的倾斜角是，故C正确； 对于D，若一条直线的倾斜角为，则该直线的斜率不存在，故D错误. 故选：ABD. 14．（24-25高二上·广西百色·月考）直线的一个方向向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】由直线方程求出其斜率，写出直线的全体方向向量的表示式，逐一验证选项即得. 【详解】由，可得，直线的斜率为， 则直线的方向向量可表示为，， 当时，可得直线的方向向量为，故B正确，A错误； 当时，可得直线的方向向量为，故C正确，D错误. 故选：BC. 15．（24-25高二上·河南南阳·月考）已知直线的斜率分别是，倾斜角分别是，且，则下列关系可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由倾斜角与斜率的关系即可判断. 【详解】当倾斜角都为锐角或都是钝角时，； 当为两个锐角，即为锐角，是钝角时，； 一个锐角，即为锐角，是钝角时，. 故选:ABD 三、解答题 16．（2024高二·全国·专题练习）已知实数x，y满足，且． (1)求的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围； （2）由题意画出图形，再由的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率，即可求出的取值范围. 【详解】（1） 如图，由于点满足关系式，且， 所以点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 由于的几何意义是直线的斜率，且，， 所以的取值范围是． （2） 因为的几何意义是过，两点的直线的斜率， 由题意可知点在线段上移动，且两点的坐标分别为，． 则，，所以． 所以的取值范围为． 17．（23-24高二上·河南·月考）已知坐标平面内三点. (1)求直线的斜率和倾斜角； (2)若可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； (3)若是线段上一动点，求的取值范围. 【答案】(1)斜率为1，倾斜角为； (2)； (3). 【分析】(1)根据过两点的斜率公式求出斜率，再求倾斜角； (2) 设，根据求解即可； (3) 因为表示直线的斜率,求出与点重合时，直线的斜率；与点重合时，直线的斜率即可得答案. 【详解】（1）解：因为直线的斜率为. 所以直线的倾斜角为； （2）解：如图，当点在第一象限时，. 设，则，解得， 故点的坐标为； （3）解：由题意得为直线的斜率. 当点与点重合时，直线的斜率最小，； 当点与点重合时，直线的斜率最大，. 故直线的斜率的取值范围为， 即的取值范围为. 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$