第04讲 二次函数的应用（知识清单+13大题型+好题必刷）- 【暑假预习】2025年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（浙教版）

第04讲 二次函数的应用（知识清单+13大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 图形问题(实际问题与二次函数) 题型二 图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型三 拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型四 销售问题(实际问题与二次函数) 题型五 投球问题(实际问题与二次函数) 题型六 喷水问题(实际问题与二次函数) 题型七 增长率问题(实际问题与二次函数) 题型八 其他问题(实际问题与二次函数) 题型九 线段周长问题(二次函数综合) 题型十 面积问题(二次函数综合) 题型十一 特殊三角形问题(二次函数综合) 题型十二 特殊四边形(二次函数综合) 题型十三 其他问题(二次函数综合) 知识清单 知识点1．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点2．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型方法 【题型一】图形问题(实际问题与二次函数) 【例1】（24-25九年级上·浙江·期末）正方形的面积S（单位：）与周长C（单位：）之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数，先求出正方形的边长为，再根据正方形的面积公式即可得解． 【详解】解：∵正方形的周长为C ∴正方形的边长为， ∴正方形的面积， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为x（），则窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据题意，得，根据矩形的面积公式解答即可． 本题考查了矩形的周长与面积，函数的表达式，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为． 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，正方形的顶点与正方形的顶点同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在和轴上，正方形边与同时落在轴上，若正方形的边长为，则正方形的边长为 ． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意求出抛物线解析式，进而表示出点坐标，利用列出方程解答即可求解，正确求出二次函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵正方形边长为， ∴抛物线顶点坐标为，， 设抛物线解析式为，将代入得，， 解得， ∴抛物线解析式为， 设点坐标为，则， 整理得，， 解得，(不合题意，舍去)， ∴正方形的边长， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）用12米长的铝合金型材制成如图1所示的矩形窗框（铝合金型材宽度不计）． (1)窗框的宽为多少米时，窗户的透光面积最大？最大透光面积是多少？ (2)若制成如图2所示的窗框（上部分为半圆，下部分为矩形），求该窗户的最大透光面积（π取3）． 【答案】(1)， (2) 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用配方法求出顶点坐标是解题关键． （1）设窗框的宽为，则长为（米），表示出面积利用二次函数最值求法得出即可； （2）设半圆半径为r米，透光面积为平方米，列出函数解析式，根据函数的性质求最值． 【详解】（1）解：设窗框的宽为 米，则长为 米，设面积为 平方米，根据题意可得： 当 时, ， 答: 当宽是2米时,窗户的透光面积最大， 最大透光面积是6 平方米； （2）解：设半圆半径为 米，透光面积为平方米，则 ， 当 时, ， 答: 该窗户的最大透光面积是 平方米. 【题型二】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【例2】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，正的边长为1，点P从点B出发，沿方向运动，于点H，下面是的面积随着点P的运动形成的函数图像（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断正确的是（    ） A．函数图象的横轴表示的长 B．当点P为中点时，点H为线段的三等分点 C．两段抛物线的形状不同 D．图象上点的横坐标为时，纵坐标为 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像．理解拐点在图形中表示的意义是解题的关键． 第二个图形中点再结合第一个图形，可得此时点P移动到点C，H在的中点，那么的面积为．所以横轴表示的长，故A错误；当P为的中点时，作于点D，可得，根据平行线分线段成比例定理可得，那么，H为的四等分点，那么B错误；根据P在和上，分别计算出的面积，得到相应函数解析式，看二次项的比例系数的绝对值是否相等，若相等，则形状相同；把代入点P在上的函数解析式中可求得面积的值，判断出D是否正确． 【详解】解：∵在两段函数中， ∴点P点C重合． ∵等边的边长为1，， ∴． ∴， ∴． ∵符合所给点． ∴横轴表示的长，故A错误； 如图：作于点D． 又∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵P为中点， ∴． ∴． ∴． ∴点H为的四等分点，故B错误； 当P在上时，为x，则， ∴． 当P在上时，为x，则， ∴， ∴． ∵两个二次函数的比例系数的绝对值相等， ∴形状相同，故C错误； 当时，点P在上， ∴，故D正确． 故选D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形，设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻对应的正方形DPEF的面积均相等，当时，则正方形的面积为（    ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】A 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】由题意可得：，，当点在上运动时，由图可得，当点与点重合时，，求出，即，当在上时，由图可得抛物线过点，顶点为，求出抛物线解析式为，从两个函数表达式看，两个函数相同，都为1，则从图象上看关于对称，关于对称，，，结合，求出的值即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：，， 当点在上运动时，， 由图可得，当点与点重合时，， ， 或（不符合题意，舍去）， ， 当在上时，由图可得抛物线过点，顶点为， 则抛物线的表达式为， 将代入得：， ， 抛物线的表达式为：， 从两个函数表达式看，两个函数相同，都为1， 若存在3个时刻对应的正方形DPEF的面积均相等，则从图象上看关于对称，关于对称， ，， ， 由①③③解得， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数综合，涉及到动点问题、面积的计算，读懂函数图象、正确理解题意，利用数形结合求解是解本题的关键． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，连结，在线段上有一动点P，过点P作轴，轴，垂足分别是M，N，记四边形的面积为S，则S的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】求一次函数解析式、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，先求出直线的解析式为，再设点P的坐标为，用含p的二次函数表示出S，利用二次函数的性质求出的最大值和最小值即可． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入，得， 解得， 直线的解析式为， 动点P在线段上， 设点P的坐标为，其中， 轴，轴， 四边形为矩形，，， ， ，， 当时，取最大值，最大值为， ， 当时，取最小值，最小值为， ， 故答案为：． 3．（2024·浙江杭州·二模）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板直线运动，其中．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．记录的数据如表： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 12 10 8 6 4 2 … 运动距离 0 22 40 54 64 70 … (1)根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出关于，关于的函数图象，并分别求出关于，关于的函数表达式． (2)①求黑球在水平木板上滚动的最大距离． ②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点处，两球会在水平木板的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点到点的距离；若不能相遇，请说明理由． 【答案】(1)图像见解析；；； (2)①；②能相遇，相遇点到点． 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式 【分析】（1）根据表中数据画出图像即可，由图像可知是的一次函数，设，表中取点代入，即可解得函数表达式；由图像可知是的二次函数，且过原点，设，表中取点代入，即可解得函数表达式； （2）①由，可知，结合，开口向下，对称轴，即可求得的最大值；②根据题意，可得白球滑行距离的表达式，再令，解出，代入即可得到相遇点离点距离． 【详解】（1） 由图像猜测是的一次函数， 设，表中取点，代入得： 解得：， 即：，再把其它点坐标代入上述函数表达式成立， 与的函数表达式为； 由图像猜测是的二次函数，且过原点， 设，表中取点，代入得： 解得：，， 即：，再把其它点坐标代入上述函数表达式成立， 与的函数表达式为； （2）①由（1）可知，， ，即， 又的对称轴为，且开口向下， 当时，取最大值为：， 黑球在水平木板上滚动的最大距离为； ②由题意可知，时，白球从处出发， 当时，设表示白球在木板上滑行的距离， 则， ， 令，即， 得：， 解得：，（不合题意，舍去） 将代入， 相遇点到点的距离为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数表达式，待定系数法求二次函数表达式，二次函数最值，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【题型三】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图是抛物线形拱桥的示意图，已知水面宽，顶点离水面．当水面宽时，水面下降（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立平面直角坐标系从而得出二次函数的解析式是解决问题的关键．根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数的解析式，再把代入抛物线的解析式得出水面宽度，即可得出答案． 【详解】解：建立平面直角坐标系，设横轴通过，纵轴通过中点且通过顶点，则通过画图可得知为原点， 由平面直角坐标系可知，，即， 设抛物线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则抛物线的解析式为，即， 当时，， 所以水面下降， 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数．在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点A的横坐标为， 在中，当时，， ∴， ∴点C的纵坐标为， 在中，当时，解得或， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于，即图中，，则最多可安装支撑杆 条．    【答案】14 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，关键是利用数形结合的思想解答． 令，求出的值，然后结合实际情况得出结论． 【详解】解：令，则， 解得或， ∴， ∵相邻支撑杆之间的距离为，，， ∴在轴右侧，共7条， 同理在轴左侧最多安装7条， ∴最多可安装支撑杆14条， 故答案为：14． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图1，一大桥主桥拱呈抛物线状，主桥拱两侧各由10根钢索固定．两侧主桥拱示意图如图2所示，已知，其中最短的钢索，每两根钢索的间距均为2m． (1)请在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式． (2)求最长钢索的长度． 【答案】(1)图见解析，（说明：坐标系建立不同，解析式不同，但a相同） (2)6m 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，理解题意，建立适当的直角坐标系确定解析式是解题关键． （1）以点为原点，所在直线为x轴，建立直角坐标系，得出，，，利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得出最长钢索的横坐标为，代入（1）中解析式求解，然后结合题意即可得出结果． 【详解】（1）如图，建立如图所示平面直角坐标系． 由题意得：，， 设抛物线解析式为： 把代入得： 解得：     ∴抛物线解析式为     （说明：坐标系建立不同，解析式不同，但a相同） （2）把代入得 答：最长钢索的长度为6m． 【题型四】销售问题(实际问题与二次函数) 【例4】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，按每千克50元销售，一个月能售出．售价每涨1元，月销量就减少．若要使月销售利润达到最大，则销售单价应定为每千克（  ） A．55元 B．60元 C．65元 D．70元 【答案】D 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数解决利润问题，解题的关键是找到等量关系列出函数及配方． 根据利润利润单价数量即可得到利润关于销售单价的函数关系式，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：设销售单价为x元，月销售利润为y元，由题意可得， ， 且， ∴， ∵， ∴当时，y最大． 故选：D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题的关键是熟练掌握根据数量关系列函数关系式．由“每天的利润每日销售量每盒利润”可列出y与x之间的函数表达式． 【详解】解：由题知：日销售量为盒， 每盒利润为元， ， 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江台州·期中）某商店销售一批头盔，售价为每顶60元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶40元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔降了 元． 【答案】5 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用．根据题意，可以得到利润和售价之间的函数关系，然后化为顶点式，即可得到当售价为多少元时，利润达到最大值． 【详解】解：设每顶头盔的售价为元，获得的利润为元， ， 当时，取得最大值，此时， 即该商店每月获得最大利润时，每顶头盔的售价为55元． 答：每顶头盔降了5元， 故答案为：5． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）糖炒板栗是冬季深受大家喜爱的小吃．已知糖炒板栗每斤成本大约为10元．某夜市摊主试销阶段每斤的销售价（元）与糖炒板栗日销售量（斤）之间的关系如下表：若日销售量是销售价的一次函数，试求： （元） 15 20 30 … （斤） 100 80 40 … (1)日销售量（斤）与销售价（元）的函数关系式； (2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种糖炒板栗每日销售的利润最大，每斤的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)每斤的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是900元 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，正确分析得出各量间的关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求一次函数解析式进行计算，即可解答； （2）根据总利润=单个利润总数量进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：设， 把，代入中得： ， 解得：； （2）解：由题意得： ， ， 当时，元， 每斤的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是900元． 【题型五】投球问题(实际问题与二次函数) 【例5】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线．根据图中相关信息，你认为铅球的落地点与该运动员相距大约在（   ）． A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【答案】B 【知识点】无理数的大小估算、投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用．设抛物线的解析式为，用待定系数法求解即可；令得关于x的一元二次方程，求得方程的解并根据问题的实际意义作出取舍即可． 【详解】解：由图可知抛物线的顶点坐标为，图象过点 ∴设抛物线的解析式为， 把代入得，， 解得：， ∴铅球所经过路线的函数表达式为； 令得，， 解得：（舍去）， ∵， ∴， ∴， ∴铅球的落地点与该运动员相距大约在之间． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）一实心球经过的路线为如图所示的抛物线，其表达式为，则实心球的落地点到最高点的水平距离的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是根据函数值求出自变量的值． 当时，根据抛物线求出的值，再结合铅球在正半轴，根据，即可求得的长． 【详解】解：当时， ， ， 解得：或， 点在轴正半轴， 点坐标为， ， 根据可知，对称轴为：， 即， ； 故选：D 2．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）中国的洲际导弹再现强国实力．在导弹模型模拟实验中，如图，为导弹发射位置，点B为发射口（B点可上下调节，假设弹道轨迹是一条抛物线且形状保持不变），为小斜坡，且为目标区域（含端点F和G，高度忽略不计），．当发射口为点B时，刚好击中点C，离地最大高度为，当发射口抬高1米即时，刚好击中点E，则的长是 ；若要击中目标区域，则的取值范围是 ．（参考数据：） 【答案】 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查的是二次函数应用，建立数学建模题，借助二次函数解决实际问题是解题的关键．待定系数法求出函数表达式：；当时，；而点F、G的坐标分别为：，将点F的坐标代入得：，解得：；将点G的坐标代入，同理可解． 【详解】解：以点B为原点，建立如下直角坐标系， 由题意得，点，函数的顶点为：， 设抛物线的表达式为：， 将点代入上式得：，则， 则抛物线的表达式为：， 当时，即上述抛物线向上平移1个单位，则抛物线的表达式为：， 当时，， 设抛物线的表达式为：， 而点F、G的坐标分别为：， 将点F的坐标代入得：， 解得：； 将点G的坐标代入得：， 解得：， 即， 故答案为：0.599，． 3．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，一位篮球运动员投篮，球从点处投出，沿抛物线运动，球运动至点处达到最高点，此时，水平距离为3.5米． (1)求的值． (2)已知篮筐中心高度为3.05米，投篮出手点与篮筐中心的水平距离为米．若该运动员本次投篮能直接命中篮筐中心，求的值． 【答案】(1)0.56 (2)6 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）利用对称轴公式，代入求解； （2）先得到抛物线解析式为，将代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：； （2）解：由上得，抛物线解析式为， 当时，， 整理得，， 解得：或， ∵， ∴． 【题型六】喷水问题(实际问题与二次函数) 【例6】（22-23九年级·浙江·假期作业）如图，点O为一个喷水池的中心，以点O为原点建立平面直角坐标系，喷水管的高度为，喷出的水柱可以看作是抛物线．当距离中心时，水柱的最高点为，则水柱落地的位置与喷水池中心的距离为（    ） A．3m B．4m C．5m D．6m 【答案】A 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】由题意可设抛物线解析式为，代入求出抛物线解析式，再求出抛物线与x轴的交点横坐标即可得到答案． 【详解】解：由题意得，该抛物线的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入到中得：， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，则， 解得（舍去）或， ∴水柱落地的位置与喷水池中心的距离为， 故选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确理解题意求出抛物线解析式是解题的关键． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·浙江温州·期末）洗手盘台面上有一瓶洗手液．当同学用一定的力按住顶部下压如图位置时，洗手液从喷口流出，路线近似呈抛物线状，且喷口为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点距台面的距离为，且、、三点共线．在距离台面处接洗手液时，手心到直线的水平距离为，不去接则洗手液落在台面的位置距的水平面是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据题意得出各点坐标，设抛物线解析式为，利用待定系数法求抛物线解析式进而求解． 【详解】解：如图： 根据题意，得， 设抛物线解析式为， 把点代入得：， 解得：， 所以抛物线解析式为， 当时，即， 解得： 或（舍去）， 又， 所以洗手液落在台面的位置距的水平距离是． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是明确待定系数法求二次函数的解析式及准确进行计算． 2．（2024·浙江杭州·二模）如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是 米．    【答案】2.2 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得，令，则，求出，从而得出，由此即可得出答案． 【详解】解：由题意得， 令，则， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴水池宽至少是米， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期中）市民广场雕塑安装喷水装置从顶端点处喷出的水柱为抛物线形状，如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，记为水柱喷水的半径，设水柱上点的坐标为，下面的表中记录了关于x，y的五组数据： 1 2 3 4 5 3 (1)求雕塑高； (2)求水柱喷水的半径． 【答案】(1)雕塑为 (2)水柱喷水的半径为 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，设水柱抛物线的解析式为，利用待定系数法求解即可； （2）依据同意，结合（1）所求解析式，由当时，，可得或，进一步计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意，设水柱抛物线的解析式为， ∴， ∴， ∴水柱抛物线的解析式为， ∵当时，， ∴． ∴雕塑为； （2）解：由题意，结合（1）， ∴令时，， ∴或(舍去)， ∴， ∴， ∴水柱喷水的半径为． 【题型七】增长率问题(实际问题与二次函数) 【例7】（23-24九年级上·浙江·期末）某工厂1月份的产值为200万元，若平均每月产值的增长率为，该工厂3月份的产值为y，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用．根据该工厂3月份的产值该工厂1月份的产值平均每月产值的增长率)，列出二次函数关系式即可得出答案． 【详解】解：某工厂1月份的产值为200万元，平均每月产值的增长率为，该工厂3月份的产值为， ， 故选：C． 【举一反三】 1．（2022九年级上·浙江·专题练习）据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　） A．y＝6(1+2x) B．y＝6(1﹣x)2 C．y＝6(1+x)2 D．y＝6+6(1+x)+6(1+x)2 【答案】C 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据平均每个月GDP增长的百分率为x，可得二月GDP总值为6（1+x），三月GDP总值为6（1+x）2，即可解答． 【详解】解：设平均每个月GDP增长的百分率为x， 由题意可得： y关于x的函数表达式是：y=6（1+x）2， 故选：C． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确理解增长率问题是解题的关键． 2．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共y万元，如果平均每月增长率为x，则营业额y与月平均增长率x之间的函数关系式为 ． 【答案】 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．根据平均每月增长率为x，可求二月、三月的营业额，再根据一月、二月、三月的营业额共y万元列出函数解析式即可． 【详解】解：由题意，二月的营业额为，三月的营业额为， ∵一月、二月、三月的营业额共y万元， ∴． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【答案】(1) (2)当时，今年的总产值为万元． 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）利用增长率公式即可找出y关于x的函数关系式； （2）代入，求出y值即可得出结论． 【详解】（1）依题意得：； （2）当时，， 答：当时，今年的总产值为万元． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用—增长率问题，掌握增长率问题的公式是解题的关键，若起始值为a，经过n年后值为b，设增长率为x，则有． 【题型八】其他问题(实际问题与二次函数) 【例8】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在2024年巴黎奥运会男子跳远决赛中，中国选手张溟鲲以8.07米的成绩获得亚洲第一，若记张溟鲲起跳后时间为t秒，他所处的高度为h米，则可用函数来描述他起跳后高度的变化，当，，时；所对应的高度记为，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的性质，由题意可得抛物线开口向下，对称轴为直线，结合即可得解，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：， 故抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廊线，为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中不正确的是（   ） A．玻璃水杯轮廊线所在拋物线的解析式为 B．直线的解析式为 C．点到杯口的距离为 D．点到点的距离为 【答案】C 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，涉及待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，等腰三角形的判定，直线与抛物线的交点问题，难度较大，正确求出抛物线的表达式是解题的关键． 由题意得，，，，可求抛物线的解析式为，再求出直线的解析式，联立即可求出点坐标，继而可判断结论． 【详解】解：由题意得，，，， 设轮廓线，所在抛物线的解析式为，记与轴的交点为， 把、代入得 ，解得：， ∴，故A说法正确； ∵， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为 把、代入得： ，解得：， ∴直线：，故B说法正确； 由，解得，（舍） 当，， ∴， 此时点P到杯口的距离为，故C说法不正确； ，故D说法正确； 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线，摇绳的两名同学拿绳的手的间距为米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为米．身高为米的小吉站在距点水平距离为米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用及坐标的求法，二次函数与不等式，此题为数学建模题，解答本题的关键是注意审题，将实际问题转化为求函数最值问题，培养自己利用数学知识解答实际问题的能力．以所在直线为轴，以地面所在的直线为轴建立平面直角坐标系，求出解析式，再利用求解即可． 【详解】解：如图建立直角坐标系： 由题意可知，，，最高点的纵坐标为， 点的横坐标为， ， 设抛物线的解析式为， 把代入， 解得：， 抛物线的解析式是， 当时，， 解得：，， 的取值范围是． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离成为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离（单位：m）与刹车后行驶时间（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车与测速仪相距； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不会，理由见解析 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求函数解析式，学会利用二次函数解决实际问题是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，代入，，，再利用待定系数法求解即可； （2）分类①当汽车未超过测速仪，且与测速仪相距时，②当汽车超过测速仪，且与测速仪相距时，分别求出对应的的值，即可得到对应的的值，即可解答； （3）将二次函数解析式化为顶点式，求出最大值，再与80进行比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，代入，，得， ， 解得：， 二次函数的解析式为． （2）解：①当汽车未超过测速仪，且与测速仪相距时， 即汽车开始刹车后行驶的距离， 由图象过可知，当时，； ②当汽车超过测速仪，且与测速仪相距时， 即汽车开始刹车后行驶的距离， 代入得，， 解得：，（不符合题意，舍去）， ； 答：当汽车刹车过程中，经过或后，汽车与测速仪相距． （3）解：不会，理由如下： ， 当时，有最大值75，即汽车刹车过程中最多行驶， ， 该车在不变道的情况下不会撞到抛锚的车． 举一反三】 【题型九】线段周长问题(二次函数综合) 【例9】（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】B 【知识点】其他问题(轴对称综合题)、线段周长问题(二次函数综合)、用勾股定理解三角形、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】利用抛物线的解析式求得点C、D和E的坐标，利用轴对称的性质和将军饮马模型作出点D关于y轴的对称点，点E关于x轴的对称点，连接，交x轴于点G，交y轴于点F，此时EDFG周长取最小值，利用点的坐标的性质和勾股定理即可求得结论． 【详解】解：令，则， ∴， ∵， ∴，抛物线的对称轴为直线， ∵点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E， ∴， ∴， 作点D关于y轴的对称点，点E关于x轴的对称点，连接，交x轴于点G，交y轴于点F，如图， 则，，，， 此时， ∴此时四边形EDFG周长最小， 延长，它们交于点H，如图， 则， ∴， ∴四边形EDFG周长的最小值为， 故选B． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、抛物线与x轴的交点，轴对称的性质、勾股定理和抛物线上点的坐标的特征，利用轴对称的性质找出点F和G的位置是解决本题的关键． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】连接、、，过点作于点，过点作于点，先利用抛物线解析式求出、，得到为等边三角形，，再利用角所对的直角边等于斜边一半求出，，根据垂直平分线的性质得到，推出当、、共线时，的值最小，最小值为的长，通过勾股定理求出，即可得到的最小值． 【详解】如图，连接、、，过点作于点，过点作于点， 当时，， 解得：，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ，， ，， 垂直平分， ， ， 当、、共线时，的值最小，最小值为的长， 又， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，等边三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，垂直平分线的性质，勾股定理，学会转换线段解决问题是解题关键． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)在对称轴上是否存在一点P，使得周长最小，若存在则求出P点坐标，若不存在请说明理由． (2)在直线下方的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)存在，，过程见解析 (2)存在，，过程见解析 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）分别令，，求得点A、B、C的坐标．求得抛物线的对称轴，然后根据点A、点B关于抛物线对称轴直线对称的特点可知，对称轴与直线的交点即是P，即是满足的周长最小的点． （2）依据题意可知，当过点D且平行于直线的直线与抛物线只有一个交点时，的面积最大，据此设出过点D的且与直线平行的直线解析式，然后联立抛物线解析式，消去y，令关于x的二次方程的判别式为0，即可求解． 【详解】（1）解：存在， ∵抛物线与x轴交于A、B两点， ∴令，得， 解得：，， ∴点A的坐标为，点B的坐标为， ∵抛物线与y轴交于点C． 令，得， ∴点C的坐标是，    ∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线的对称轴为直线：， ∵， ∴设直线的解析式为，可得， 解得， 故直线的解析式为：， ∵中，的长度固定，点A、点B关于直线对称， ∴当点P是对称轴与直线的交点时，之和最小，即的周长最小， 将代入中得：， ∴点P的坐标是； （2）解：存在． 如图，过下方的抛物线上的点D作的平行线，当直线与抛物线只有一个交点时，点D到的距离最大，从而使得的面积最大． 设过点D的直线的解析式为， 联立方程组， 消去y并整理得：， 此时， ∴， 故点D的横坐标，纵坐标， ∴． 【点睛】本题考查了求抛物线与坐标轴的交点坐标、求三角形周长的最小值与面积的最大值、求直线的解析式、一元二次方程根的判别式等知识点，解题的关键是画出图形有助于发挥“数形结合”直观思维，从而有利于问题的解决． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，抛物线与轴交于点A和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上的一个动点（不与点A，B重合），过点P作直线轴于点，交直线于点．是否存在点，使？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8 (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）将，代入求解即可； （2）过点P作轴于点Q，交于点M，求出直线解析式为．设，则，可求出，再根据，结合二次函数的性质求解即可； （3）由（2）同理可得，，即可求出，，结合，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将，代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点P作轴于点Q，交于点M， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线解析式为． 设，则， ∴， ∴， ∴当时，最大，最大值为8； （3）解：同（2）可知，， ∴，． ∵， ∴． 当时， 解得：，（舍）， ∴此时点P坐标为； 当时， 解得：，（舍）， ∴此时点P坐标为． 综上可知存在点，使，点的坐标为或． 【点睛】本题为二次函数综合题，考查利用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 【题型十】面积问题(二次函数综合) 【例10】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是 ． 【答案】平方米 【知识点】面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的解析式形式是解题的关键． 先根据题意列出函数关系式，再求其最值即可． 【详解】解：设矩形的一边长为x m，则另一边长为平方米，矩形的面积为平方米， 其面积为， ∴当边长为2米时，矩形的最大面积为平方米． 故答案为：平方米． 【举一反三】 1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，是抛物线的顶点，三角形的面积等于1，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（    ）    A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】面积问题(二次函数综合)、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与轴的交点坐标为；当，抛物线与轴有两个交点；当，抛物线与轴有一个交点；当，抛物线与轴没有交点．根据抛物线的顶点坐标即可判断①；由可得到点坐标为，点坐标为，把它们代入解析式解得，即可判断②；由得出，，根据三角形面积公式求得，即可判断③；根据交点坐标和系数的关系即可判断④． 【详解】解：抛物线的顶点 在第一象限， ， ，故①正确； ， 点坐标为，点坐标为， 把代入得， ，故②正确； ，， ， 设，， ∵开口向下，对称轴在y轴右边， ∴， ∴ ， ， ∴ ， ，故③正确； ∵，， ，故④正确； 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知抛物线和直线相交与点A，B．点P是抛物线上一点，且在直线的下方，连接，，当的面积最大时，则点P的坐标是 ． 【答案】 【知识点】面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查的是一次函数与二次函数的综合应用，先求解交点的横坐标为，，如图，过作轴交于，设，则，再建立面积函数关系式，进一步利用二次函数的性质作答即可． 【详解】解：联立解析式：， ∴，即， 解得：，， ∴的横坐标为，， 如图，过作轴交于， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， ∴， 故答案为： 3．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C，连结． (1)求该二次函数的解析式及点B的坐标； (2)若在x轴上方的二次函数的图象上有一点D（不与点C重合），使，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标、面积问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，抛物线与两坐标轴的交点，以及二次函数与几何综合，数形结合是解题的关键． （1）用待定系数法求二次函数的解析式，令可求出B的坐标； （2）因为，则根据同底等高的两个三角形的面积相等，所以只要的高与的长相等即可． 【详解】（1）解：把代入函数解析式得：，解得． 二次函数解析式为：． 当时，， 解得：． 点B的坐标为． （2）解：和有公共底，所以只需要高相等，面积就相等． 当时，， ∴， 解得：． 点D的坐标为． 【题型十一】特殊三角形问题(二次函数综合) 【例11】（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，正方形的边在轴上，，在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)、y=ax²+k的图象和性质 【分析】设交于点，根据正方形与抛物线的对称性，可得阴影部分面积为，先求得抛物线的解析式为，待定系数法求得直线的解析式为，根据对称性设，进而求得点的坐标，点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点， ∵是正三角形，， ∴ ∴ 设过的抛物线解析式为， 将点代入，得 ∴ ∴抛物线解析式为， ∵四边形是正方形，且关于轴对称， ∴ 设， ∵在上， ∴， 解得（舍去） ∵， 设直线的解析式为， ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵在上， ∴的横坐标为 代入 得 ∴ ∴ ∴阴影部分面积为 故选D 【点睛】本题考查了抛物线的性质，待定系数法求解析式，正方形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，求得点的坐标是解题的关键． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，点F为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上存点Q，当点Q的坐标为 时为等腰三角形． 【答案】 【知识点】已知两点坐标求两点距离、等腰三角形的定义、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】首先利用抛物线解析式求出顶点和对称轴，设点，若为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解． 【详解】解：∵抛物线 ∴抛物线顶点F为,其对称轴为：， ∵当时，，， ∴抛物线与x轴交点A、B坐标分别为：，， ∴可设点，则可求得： ， ， ． i）当时， 有， 解得（与F点重合，舍去），， ∴； ii）当时， 有， 即，， ∴、． iii）当时， 有， 解得：， ∴点Q坐标为：． 综上所述，存在点Q，使为等腰三角形，点Q的坐标为． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的图象与性质、待定系数法、勾股定理、等腰三角形的判定等知识点．难点在于符合条件的等腰三角形可能有多种情形，需要分类讨论． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为． (1)填空，点D的坐标为________，抛物线的解析式为___________； (2)P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P、使是以为斜边的直角三角形?若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)当二次函数的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值． 【答案】(1)， (2)存在点，或 (3)或 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，直角三角形判定，函数的最值问题等，解题的关键是掌握勾股逆定理和分类讨论思想的应用． （1）由对称轴为直线，点的坐标为，得，用待定系数法可求得抛物线的解析式为，即可得顶点； （2）设，可得，，，根据是以为斜边的直角三角形，有，即可解得或； （3）由抛物线对称轴为直线，分三种情况：①当，即时，随的增大而减小，可得，②当，即时，时最小值为，这种情况不存在最小值为；③当时，随的增大而增大，有，分别解方程可得答案． 【详解】（1）解： 对称轴为直线，点的坐标为， ， 将，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为， 当时，， ， 故答案为：，； （2）解：存在点，使是以为斜边的直角三角形，理由如下： 设， 在中，令得， ， ， ，，， 是以为斜边的直角三角形， ， ， 解得或， 或； （3）解：由抛物线对称轴为直线，分三种情况： ①当，即时，随的增大而减小， 时，取得最小值， ， 解得（舍去）或， 此时； ②当，即时，时最小值为， 这种情况不存在最小值为； ③当时，随的增大而增大， 时，取最小值， ， 解得（舍去）或， 此时 综上所述，或． 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）定义：若抛物线的顶点和与轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时，则称此抛物线为正抛物线． 概念理解： （1）如图，在中， ， 点是的中点． 试证明： 以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线； 问题探究： （2）已知一条抛物线经过轴的两点（在的左边）， 且若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式； 应用拓展： （3） 将抛物线 向下平移个单位后得新的抛物线． 抛物线的顶点为，与轴的两个交点分别为（在左侧），把沿轴正半轴无滑动翻滚，当边 与轴重合时记为第次翻滚，当边 与轴重合时记为第次翻滚，依此类推，请求出当第次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标． 【答案】（）见解析；（）或；（）． 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、等边三角形的性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（）由中是斜边的中线可得，由抛物线对称性可得 ，即证得是等边三角形； （）设抛物线顶点为，根据正抛物线定义得是等边三角形，又易求坐标，即能求点坐标，由于不确定点纵坐标的正负号，故需分类讨论，再利用顶点式求抛物线解析式； （）根据题意求出抛物线的解析式，并按题意求出的坐标，得到等边 ，所以即每翻滚次为一个周期，当翻滚次数能被整除时，点纵坐标为，横坐标为，能被整除，代入即能求此时点坐标； 本题考查了二次函数的图象与性质，直角三角形和等边三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：（）证明：∵， 点是的中点， ∴， ∵抛物线以为顶点与轴交于两点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线； （）∵且，点在轴上且在的左边， ∴ ∵一条经过轴的两点的抛物线为正抛物线，设顶点为， ∴是等边三角形， ∴，， 当时，设抛物线解析式为把点代入得：， ∴， ∴， 当时，设抛物线解析式为， 把点代入得： ∴， ∴， 综上所述，这条抛物线的解析式为或 ； （）∵抛物线， ∴向下平移个单位后得抛物线， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∴第一次翻滚顶点的坐标变为，第二次翻滚得与 相同，第三次翻滚得 ， 即每翻滚次为一个周期，当翻滚次数能被整除时，点纵坐标为，横坐标为： ， ∵ ∴， ∴第次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标． 【题型十二】特殊四边形(二次函数综合) 【例12】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，过点、分别作轴的垂线，交抛物线于点、，分别过点、作线段的垂线，垂足为点、．若点坐标为，四边形的邻边之比为：时，则线段的长为（    ） A．4或 B．或 C．或 D． 【答案】B 【知识点】特殊四边形(二次函数综合) 【分析】通过待定系数法求出函数解析式，得出，进而根据四边形的邻边之比为：，分类讨论，设点A横坐标为m表示出的坐标，进而即可求解． 【详解】解：依题意是矩形； 把点代入中得， 解得， ∴， ∵点， ∴， ∴， ∵四边形的邻边之比为：时， 当时，则 设点A横坐标为m，则， 代入得， 解得或（舍去）． ∴． 当时，则 设点A横坐标为m，则， 代入得， 解得或（舍去）． ∴． 综上所述线段的长为或 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为 ． 【答案】 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、利用菱形的性质求线段长 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及二次函数的对称性，菱形的性质等内容，利用菱形的性质求出点坐标是解题的关键． 根据题意可得到点为抛物线顶点，根据抛物线解析式得出顶点坐标，再根据菱形的性质，得到点的纵坐标为，求出点的坐标分别为，即可求解． 【详解】解：由题意得，点为抛物线的顶点， 抛物线的解析式可知，抛物线， 即的对称轴为直线，顶点坐标为， ∵为菱形的对角线且点在第三象限，， ∴点的纵坐标为， ∴， 解得：， ∴， ∴ 故答案为： ． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线上，过点C作轴于点，将沿所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点M在抛物线上，点N在直线上，若存在以A、B、M、N为顶点的平行四边形，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1) (2)符合条件的P点坐标是或 (3)或或 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）先根据翻折得到E点坐标，然后结合，，运用待定系数法求解即可； （2）先说明是等腰直角三角形，设点P的坐标为，然后分点P在x轴上方和下方两种情况分别解答即可． （3）分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，设，，而，，再利用平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵沿CD所在直线翻折，点A落在点E处，， ∴， 把A，E两点坐标代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：存在，理由如下： ∵，， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ， ∵点P在抛物线上， ∴设点P的坐标为， ①当点P在x轴上方时记为，过作轴于点M， 在中， ∵， ∴， 即， 解得，（舍去）， 当时，， ∴， ②当点P在x轴下方时记为，过作轴于点N， 在中， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍去）， 当时，， ∴， 综上，符合条件的P点坐标是或． （3）解：∵以A、B、M、N为顶点的四边形是平行四边形， 如图，当为对角线时， 设，，而，， ∴， 解得：， ∴， 当为对角线时，如图， 设，，而，， ∴， 解得：， ∴， 如图，当为对角线时， 设，，而，， ∴， 解得：， ∴， 综上：或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，涉及二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数与几何图形综合等知识点，灵活运用二次函数的性质以及其与几何知识的联系是解答本题的关键． 3．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知拋物线的对称轴为直线，且经过点，，连接，动点从点出发在线段上以每秒2个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动，连接，，设运动时间为秒． (1)求抛物线的解析式； (2)①当时，求点的坐标； ②点为抛物线对称轴上一点，若以、、、为顶点的四边形（为边）是平行四边形，求的值； (3)以为旋转中心，把绕点顺时针旋转得到，若点落在的内部，请直接写出的取值范围_____________． 【答案】(1) (2)①②或 (3) 【知识点】其他问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）由拋物线的对称轴得，将点，代入，即可求解； （2）①过作轴交于，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，即可求解； ②同理可求：，，可得，，(ⅰ)当构成以为对角线的平行四边形，设，由平移得向右平移个单位，再向上平移个单位得到，向右平移个单位，再向上平移个单位得到，由平移得到与平移得到的方式相同，即可求解；(ⅱ)当构成以为对角线的平行四边形，同理可求； （3）过轴交于，过作交于，由可判定，由全等三角形的性质得，，可求，待定系数法可求直线的解析式为，(ⅰ)当在直线上时，代入可求的值；(ⅱ) 当在直线上时，同理可求． 【详解】（1）解：拋物线的对称轴为直线， ， ， ， 将点，代入， ， 解得：， ， 抛物线的解析式：； （2）解：①当时， ， ，， ，， ， 过作轴交于， 轴， ， ， ， 解得：， ， ， ， ； ②由题意得 ，， 由①同理可得： ， ， 解得：， ， ， ， ， ， (ⅰ)如图，当构成以为对角线的平行四边形， 设， 向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 四边形是平行四边形， ， ， 平移得到与平移得到的方式相同， ， 解得：； (ⅱ)如图，当构成以为对角线的平行四边形， 向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 同理可得：， 解得：； 综上所述：的值为或； （3）解：过作轴交于，过作交于， ， ， 由旋转得：， ， ， ， 在和中， ， ()， ， ， 由②得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，则有 ， 解得：， 直线的解析式为， (ⅰ)当在直线上时， ， 解得：； (ⅱ) 当在直线上时， 同理可求直线的解析式为， ， 解得：，， 经检验：，是此方程的解， ， ， 点落在的内部， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，待定系数法，全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，平行四边形的性质；掌握待定系数法，相关的判定方法及性质，能根据平行四边形的对角线不同和点的位置不同进行分类讨论是解题的关键． 【题型十三】其他问题(二次函数综合) 【例13】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）将抛物线向左平移个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与直线有两个交点，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据解析式可得抛物线的对称轴是直线，再向左平移个单位长度后得到新抛物线的对称轴是直线，根据直线与新抛物线有两个交点，，得出，结合抛物线开口向下，则抛物线上的点离对称轴越近函数值越大，从而的离新抛物线的对称轴比离新抛物线的对称轴远，即的中点在对称轴的左侧，进而即可求解． 【详解】解：由题意， 抛物线的对称轴是直线， 向左平移个单位长度后得到新抛物线的对称轴是直线， 直线与新抛物线有两个交点，， ，， ， ， 又∵，则抛物线开口向下， 抛物线上的点离对称轴越近函数值越大， 的离新抛物线的对称轴比离新抛物线的对称轴远， 的中点在对称轴的左侧， ， ， 又∵， ． 故选：D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】其他问题(二次函数综合)、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】如图所示，过点B作直线，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数在两条直线之间时，两个图象有4个交点，即可求解 【详解】解：在中， 当，， 解得，， ，， 当时，， ∴原抛物线与轴交点坐标为， ∴翻折后与y轴的交点坐标为， 如图，当直线经过点B时，直线与新图有3个交点， 把代入中，得， ∵抛物线翻折到x轴下方的部分的解析式为：， ∴翻折后的部分解析式为：， 当直线与抛物线只有一个交点C时， 直线与图象有3个交点， 把代入中， 得到方程有两个相等的实数根， 整理得， ∴， 解得， ∴当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，理解题意，找准临界点是解题关键． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，求同时满足下列两个条件的点的坐标：①直线必经过这样的点；②对于取不等于零的任何值，关于的二次函数都不经过这样的点．则这个点的坐标为 ． 【答案】或或 【知识点】其他问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数与不等式，设点满足上述条件，则，对任意实数m都有，解之即可得出答案． 【详解】解：设点满足上述条件，则，对任意实数m都有， 消去整理得， 从而可知当或1或时才适合题意， ∴适合题意的点为或或，有三个． 故答案为或或． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期末）定义：对于点与拋物线上一点，若，则称点为抛物线的一个纵邻点．例如：对于点和抛物线上的点满足，则点是拋物线的一个纵邻点． (1)试判断是不是拋物线的纵邻点，并说明理由； (2)若，都是抛物线的纵邻点，求的最大值； (3)若点A坐标为，点B坐标为，线段上的所有点都是拋物线的纵邻点，求h的最大值和最小值，以及相应的n的值． 【答案】(1)不是拋物线的纵邻点，理由见解析 (2)最大值为4 (3)h的最小值为，相应n为；h的最大值为，相应n为或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据题意，结合纵邻点的定义，求出抛物线在时的函数值，然后计算与点纵坐标差的绝对值，判断即可求解； （2）根据纵邻点的定义，将抛物线向下平移一个单位，得到函数，继而求出时对应的x得值，即为对应的e和f的值，代入即可求得的最大值； （3）根据纵邻点的定义，将抛物线向下平移一个单位，得到函数，当点A与点B关于直线对称时，h取得最小值，即可求得对应n的值；将抛物线向上平移一个单位，当点A与点B位于抛物线的两侧，且对应函数值相等时，h取得最大值，继而求得对应n的值. 【详解】（1）由题意，把代入得， ， 不是拋物线的纵邻点； （2）如图，将代入得，，       当，时，最大，最大值为4；        （3）如图，把代入得， 的最小值为，         此时；         如图，把代入，把代入， 当两个y值相等时，h最大， 即解得，    此时为h的最大值，        当时，由对称性可知，n的另外一个值为，         综上所述，h的最小值为，相应n为；h的最大值为，相应n为或． 【点睛】本题主要考查新定义纵邻点概念的理解，结合二次函数抛物线的性质，是解题的关键． 好题必刷 一、单选题 1．据安徽省统计局公布的数据，初步核算2021年安徽省生产总值为42959.2亿元，若设2023年安徽省生产总值为y亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据2023年安徽省生产总值=2021年安徽省生产总值×列函数表达式即可． 【详解】解：根据题意，y关于x的函数表达式是， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的应用，理解题意，找到等量关系是解答的关键． 2．如图1，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是（  ） A．8cm2 B．16cm2 C．24cm2 D．32cm2 【答案】B 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【详解】根据题意设运动时间为x秒，可得：AP=2xcm，AQ=xcm， 则S==， 则根据题意可知：当x=4cm时，面积有最大值，最大面积为16． 故选：B． 3．某书店销售某种中考复习资料，若每本可获利元，一天可售出本，则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为（　　） A．250元 B．500元 C．750元 D．1000元 【答案】B 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】每本可获利元，一天可售出本，则一天的利润为，求二次函数的最大值即可． 【详解】解：每本可获利元，一天可售出本，则一天的利润为，设日利润为， ∴， ∴最大利润为：元， 故选：． 【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握把二次函数化为顶点式，求二次函数的最值是解题的关键． 4．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m．那么水位下降1m时，水面的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】结合已知条件先建立适当的坐标系，然后设出解析式，利用点的坐标求得解析式，再将代入解析式求得相应的x的值，进而求得答案． 【详解】解：以拱顶为坐标原点建立坐标系，如图： ∴设抛物线解析式为：， ∵观察图形可知抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为：， ∴当水位下降米后，即当时，有， ∴，， ∴水面的宽度为：． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据已知条件建立坐标系从而求得二次函数解析式是解决问题的关键． 5．烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（    ） A．3s B．4s C．5s D．6s 【答案】D 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据数关系式，t＝﹣时，礼炮在升空到最高点，求解即可． 【详解】解：∵礼炮在点火升空到最高点引爆， ∴t＝﹣ ＝- ＝6（s），故答案为：D． 【点睛】本主查二次数的性质，练享握二次函数的性质是解的关键． 6．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（    ） A．小球落地点距O点水平距离为7米 B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势 C．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m D．小球距斜坡的最大铅直高度为 【答案】C 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】 联立两函数解析式，求出交点坐标即可判定A；将解析式化成顶点式，求出对称轴，根据二次函数性质判断B；求出当y=7.5时，x的值，判定C；设抛物线上一点A(x, 4x-x2)，过点A作AB⊥x轴于C，交直线y=x于B，求得AB=4x-x2-=-x2-x=-(x-)2+，根据二次函数的性质可判断D． 【详解】解：联立两函数解析式，得 ，解得：或， 则小球落地点距O点水平距离为7米， 故A选项不符合题意； ∵， 则抛物线的对称轴为x=4， ∵<0， ∴当x＞4时，y随x的增大而减小， 即小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势， 故B选项不符合题意； 当y=7.5时，7.5=4x-x2， 整理得x2-8x+15=0， 解得，x1=3，x2=5， ∴当小球抛出高度达到7.5m时，小球水平距O点水平距离为3m或5m，故此选项符合题意； 如图，设抛物线上一点A(x, 4x-x2)，过点A作AB⊥x轴于C，交直线y=x于B， ∴B(x,)， ∴AB=4x-x2-=-x2x=-(x-)2+， ∵<0， ∴当x=时，AB有最大值，最大值=， 即小球距斜坡的最大铅直高度为， 故D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次函数的应用和直线与抛物线的交点，掌握二次函数的性质是解题的关键． 7．某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6m，如图所示，则厂门的高约为(水泥建筑物的厚度忽略不计，结果精确到0.1m)(　　) A．6.9m B．7.0m C．7.1m D．6.8m 【答案】A 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】以地面为x轴，左侧大门与地面的交点为原点建立平面直角坐标系，根据两点式（或双根式），由已知得 ，，代入左侧壁灯处坐标（1，3），即可求出 的值，然后带入厂门最高处横坐标 ，即可求解． 【详解】如图所示，得到抛物线与x的交点O（0，0）、B（8，0），左侧壁灯处C（1，3）， 设抛物线解析式为 带入C（1，3），即当时，，得到 解得． 因此抛物线解析式为 厂门处横坐标，有 因此厂门得高约6.9m． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数实际应用中的拱桥问题，建立合适得平面直角坐标系是解决本题得关键；选择不同的坐标原点，会得到不同的抛物线解析式，本题选用二次函数得两点式解析式解题；根据不同问题，设不同得抛物线解析式是二次函数实际应用问题中的难点． 8．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　） A．4米 B．10米 C．4米 D．12米 【答案】B 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y＝ax²，由此可得A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），即可求函数解析式为y＝﹣ x²，再将y＝﹣1代入解析式，求出C、D点的横坐标即可求CD的长． 【详解】解：以O点为坐标原点，AB的垂直平分线为y轴，过O点作y轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为y＝ax2， ∵O点到水面AB的距离为4米， ∴A、B点的纵坐标为﹣4， ∵水面AB宽为20米， ∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4）， 将A代入y＝ax2， ﹣4＝100a， ∴a＝﹣， ∴y＝﹣x2， ∵水位上升3米就达到警戒水位CD， ∴C点的纵坐标为﹣1， ∴﹣1＝﹣x2， ∴x＝±5， ∴CD＝10， 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数在实际问题中的应用，找对位置建立坐标系再求解二次函数是关键． 9．如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+1＜0的解集是（　　） A．x＞1 B．x＜﹣1 C．0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0 【答案】D 【知识点】其他问题(二次函数综合)、反比例函数与几何综合、图象法解一元二次不等式 【分析】把A点的横坐标1代入抛物线y＝x2＋1，求出点A的坐标，代入y＝中求的值，再求式＜−x2−1的解集，确定不等式＋x2＋1＜0的解． 【详解】解：当x＝1时，y＝x2＋1＝2， ∴A（1，2）， y＝x2＋1关于x轴的对称的函数关系式为y＝-x2-1， k＝xy＝1×2＝2，即y＝， ∴由图象及对称性可得y＝与y＝-x2-1交点横坐标为：x＝−1， 由图象可知，不等式＜−x2−1的解集就是＋x2＋1＜0的解集， 得出：−1＜x＜0． 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的关系．关键是根据题意求反比例函数解析式，求出二次函数与反比例函数解析式和为0时x的值． 10．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果△ABC是该抛物线的内接格点三角形，AB=3，且点A，B，C的横坐标xA，xB，xC满足xA＜xC＜xB，那么符合上述条件的抛物线条数是（　　） A．7 B．8 C．14 D．16 【答案】C 【知识点】其他问题(二次函数综合) 【分析】根据在OB上的两个交点之间的距离为3，可知两交点的横坐标的差为3，然后作出最左边开口向下的抛物线，再向右平移1个单位，向上平移1个单位得到开口向下的抛物线的条数，同理可得开口向上的抛物线的条数，然后相加即可得解． 【详解】解：如图，开口向下，经过点（0，0），（1，3），（3，3）的抛物线的解析式为y=﹣x2+4x，然后向右平移1个单位，向上平移1个单位一次得到一条抛物线，可平移6次，所以，一共有7条抛物线，同理可得开口向上的抛物线也有7条，所以，满足上述条件且对称轴平行于y轴的抛物线条数是：7+7=14． 故选C． 【点睛】本题是二次函数综合题．主要考查了网格结构的知识与二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，作出图形更形象直观． 二、填空题 11．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为 s． 【答案】4 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【详解】根据关系式可知焰火的运行轨迹是一个开口向下的抛物线，已知焰火在升到最高时引爆，即到达抛物线的顶点时引爆，顶点横坐标就是从点火到引爆所需时间．则t==4s， 故答案为4． 12．某网店某种商品成本为50元/件，售价为60元/件时，每天可销售100件；售价单价高于60元时，每涨价1元，日销售量就减少2件．据此，当销售单价为 元时，网店该商品每天盈利最多． 【答案】80 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】直接利用每件利润×销量=总利润，进而得出每天盈利与x的关系式，配方即可得出答案． 【详解】解：设当销售单价为x元时，每天盈利为y元， 则y=（x-50）[100-2（x-60）] =-2x2+320x-11000 =-2（x-80）2+1800， ∵-2＜0， ∴当x=80时，y有最大值，且为1800， 答：当销售单价为80元时，每天获取的利润最大，最大利润是1800元． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键． 13．在中，，所对的边分别为，，．若二次函数的最小值为，则 ． 【答案】75 【知识点】y=ax²+bx+c的最值 【分析】根据二次函数的性质，当时，y有最小值为，由此得到=，整理得a=b，从而将问题转化为等腰三角形底角计算问题. 【详解】∵a，b是的边，∴a+b＞0； ∴有最小值，且当x=时，取得最小值， y=，根据题意，得=， 整理，得a=b， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴∠A的度数为， 故填75. 【点睛】本题考查了二次函数的最小值，等腰三角形的判定和性质，灵活利用二次函数的最小值构造等式是解题的关键. 14．图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα= ，tanβ= ，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则点P到水面OA的距离是 m． 【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】过点P作PH⊥OA于H，如图，设PH=3x，运用三角函数可得OH=6x，AH=2x，根据条件OA=4可求出x，即可得． 【详解】过点 P 作 PH⊥OA 于 H ，如图． 设 PH=3x ， 在 Rt△OHP 中， ∵tanα== ， ∴OH=6x. 在 Rt△AHP 中， ∵tanβ== ， ∴AH=2x ， ∴OA=OH+AH=8x=4 ， ∴x= ， ∴OH=3,PH= ， 故答案为 . 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，二次函数的应用，灵活运用是关键. 15．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2021的坐标为 ． 【答案】（-1011，10112） 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据二次函数性质可得出点A1的坐标，求得直线A1A2为y=x+2，联立方程求得A2的坐标，即可求得A3的坐标，同理求得A4的坐标，即可求得A5的坐标，根据坐标的变化找出变化规律，即可找出点A2021的坐标． 【详解】解：∵A点坐标为（1，1）， ∴直线OA为y=x，A1（-1，1）， ∵A1A2∥OA， ∴直线A1A2为y=x+2， 解 得或， ∴A2（2，4）， ∴A3（-2，4）， ∵A3A4∥OA， ∴直线A3A4为y=x+6， 解， 得或， ∴A4（3，9）， ∴A5（-3，9） …， ∴A2021（-1011，10112）， 故答案为（-1011，10112）． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象以及交点的坐标，根据坐标的变化找出变化规律是解题的关键． 16．丰都县某中学为培养学生综合实践能力，开展了一系列综合实践活动，有一次财商训练活动中，小明同学准备去集市批发两种商品用于活动中交易．预先了解到A、B两种商品的价格之和为27元，小明计划购买B商品的数量比A商品的数量多2件，但一共不超过25件，且每样不少于3件，但小明去购买时发现A商品正打九折销售，而B商品的价格提高了20%，小明决定将A、B产品的购买数量对调，这样实际花费只比计划多8元，已知价格和购买数量均为整数，则小明购买两种商品实际花费为 元． 【答案】312. 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】设A商品的单价为x元/件，则B商品的单价为（27﹣x）元/件，计划购买A商品a件，则B商品为（a+2）件，根据题中等量关系可列出关于x的方程，用含a的式子表示出x，由“一共不超过25件，且每样不少于3件”“ 价格和购买数量均为整数”可知a的值，易求x的值. 【详解】设A商品的单价为x元/件，则B商品的单价为（27﹣x）元/件，计划购买A商品a件，则B商品为（a+2）件， 根据题意可得：0.9x×（a+2）+1.2×（27﹣x）×a＝xa+（27﹣x）（a+2）+8， ∴x＝， ∵a≥3，a+2≥3，a+a+2≤25，x，a均为整数， ∴a＝10，x＝10 ∴小明购买两种商品实际花费＝9×12+1.2×10×17＝312元， 故答案为：312. 【点睛】本题考查了方程的应用，正确理解题意，找准题中的等量关系是解题的关键. 三、解答题 17．如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米．    (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x为多少时，矩形花圈的面积最大？ 【答案】(1) (2)当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）的长为x米，则的长为米，利用长方形面积公式即可得出y关于x的函数表达式，再根据题意求出x的取值范围即可； （2）利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，平行于墙的一边的长为米， ， ， ， y关于x的函数表达式为； （2）解：， ∴当时，y取得最大值，此时， 即当时，苗圃的面积最大，最大值是平方米． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是列出函数解析式，利用二次函数的性质解答． 18．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB； (3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 【答案】(1)y＝﹣x2＋x（0≤x≤40） (2)能飞越，理由见解析 (3)8.1米 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）设石块运行的函数关系式为y＝a（x﹣20）2+10，用待定系数法求得a的值即可求得答案； （2）把x＝30代入y＝﹣x2+x，求得y的值，与6作比较即可； （3）用待定系数法求得OA的解析式为y＝x，设抛物线上一点P（t，﹣t2+t），过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t），用含t的式子表示出d关于t的表达式，再利用二次函数的性质可得答案； 【详解】（1）解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为y＝a（x﹣20）2＋10． 把（0，0）代入，得400a＋10＝0，解得a＝﹣． ∴y＝﹣（x﹣20）2＋10．即y＝﹣x2＋x（0≤x≤40）． （2）解：把x＝30代入y＝﹣x2＋x，得y＝﹣×900＋30＝7.5． ∵7.5＞3＋3，∴石块能飞越防御墙AB． （3）解：设直线OA的解析式为y＝kx（k≠0）． 把（30，3）代入，得3＝30k， ∴k＝． 故直线OA的解析式为y＝x． 设直线OA上方的抛物线上的一点P的坐标为（t，﹣t2＋t）． 过点P作PQ⊥x轴，交OA于点Q，则Q（t，t）． ∴PQ＝﹣t2＋t﹣t＝﹣t2＋t＝﹣（t﹣18）2＋8.1． ∴当t＝18时，PQ取最大值，最大值为8.1． 答：在竖直方向上，石块飞行时与坡面OA的最大距离是8.1米． 【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 19．已知抛物线经过点. （1）求这个函数的解析式； （2）写出抛物线上点关于轴的对称点的坐标； （3）求的面积； （4）抛物线上是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）点的坐标为、、、. 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）把点A的坐标代入抛物线解析式求解即可得到a的值，从而得解； （2）根据关于y轴对称的点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同解答； （3）根据点A、B的坐标求出AB的长度，以及点O到AB的距离，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可求解； （4）设点的坐标为，根据△ABC的面积等于△OAB面积的一半得到，解出m即可. 【详解】（1）∵抛物线y＝ax2经过点A（2，1）， ∴4a＝1， 解得a＝， ∴这个函数的解析式为y＝x2； （2）∵点A（2，1）， ∴点A关于y轴的对称点B的坐标为（−2，1）； （3）∵点A（2，1），B（−2，1）， ∴AB＝2−（−2）＝2＋2＝4， S△OAB＝×4×1＝2； （4）设点的坐标为，∵△ABC的面积等于△OAB面积的一半． ∴. 则得或. ∴点的坐标为、、、. 【点睛】本题是对二次函数的综合考查，待定系数法求二次函数解析式，关于y轴对称点的坐标特点，三角形的面积，以及二次函数的对称性，（4）要注意分点C在AB的上面与下面两种情况讨论求解． 20． 把抛物线平移得到抛物线m，抛物线m经过点和原点，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q． (1)求顶点P的坐标； (2)写出平移过程； (3)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)先向左平移3个单位，再向下平移个单位 (3) 【知识点】其他问题(二次函数综合)、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）先利用交点式确定平移后的抛物线解析式，然后配成顶点式得到P点坐标； （2）利用顶点的平移过程得到抛物线的平移过程； （3）根据平移得到图中阴影部分的面积，然后根据三角形面积公式计算． 【详解】（1）解：∵抛物线m经过点和原点， ∴平移的抛物线解析式为， 所以顶点P的坐标为； （2）解：由（1）得：把抛物线先向左平移3个单位，再向下平移个单位即可得到抛物线； （3）解：∵抛物线m， ∴抛物线m的对称轴为直线，顶点P的坐标为， 对于， 当时，， ∴点Q的坐标为， ∴， 根据题意得：阴影部分的面积． 【点睛】此题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，所以a不变．求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，求出解析式． 21．有心理学家研究发现，学生对某类概念的接受能力y与讲授概念所用时间之间满足函数关系．y值越大，表示接受能力越强，根据这一结论回答下列问题： （1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内，学生的接受能力逐渐降低？ （2）经过多长时间，学生的接受能力最强？ 【答案】（1）当时，学生的接受能力逐渐增强；当时．学生的接受能力最强；当时，学生的接受能力逐渐降低；（2）． 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据二次函数的解析式将其改写成顶点式的形式，然后作出图象，仔细观察图象可知：当0≤x≤13时，y随x值的增大而增大，当13＜x≤30时，y随x值的增大而减少； （2）由（1）确定顶点坐标，从而得到当x＝13时，学生的接受能力最强． 【详解】解：（1）y＝−0.1＋2.6x＋43， ＝−0.1＋59.9 示意图如图： 当时，学生的接受能力逐渐增强； 当时．学生的接受能力最强； 当13＜x≤30时，学生的接受能力逐步降低． （2）顶点在坐标为（13，59.9）， ∴当x＝13时，y有最大值， 即经过13分钟时，学生的接受能力最强． 【点睛】本题主要考查的是二次函数在实际生活中的应用，是各地中考的热点，在解题时注意数形结合思想的运用． 22．已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“和谐点”． （1）求出直线y=3x﹣2的“和谐点”坐标； （2）若抛物线y=﹣x2+（a+1）x﹣a+1上有“和谐点”，且“和谐点”为A（x1，y1）和B（x2，y2），求W=x12+x22的最小值； （3）若函数y=x2+（m﹣t+1）x+n+t﹣2的图象上存在唯一的一个“和谐点”且当2≤m≤3时，n的最小值为t，求t的值． 【答案】（1）；（2）w有最小值是；（3）t的值为3﹣或4+． 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】（1）根据“和谐点”的坐标特征设出坐标，代入双曲线中，有解则有“和谐点”； （2）设抛物线“和谐点”的坐标为，代入抛物线的关系式中得到关于x的一元二次方程，因为有两个“和谐点”，则这两个“和谐点”的横坐标就是这个一元二次方程的两个根，再由根与系数的关系得：两根和与两根据积的式子，得到w关于a的二次函数，求最小值即可； （3）设函数“和谐点”的坐标为，代入函数的关系式中得到关于x的一元二次方程，因为有一个“和谐点”，则，得到n=（m﹣t）2﹣t+2，把它看成一个二次函数，对称轴m=t，分三种情况讨论即可． 【详解】解：（1）设“和谐点”的坐标为， 将点坐标代入直线y=3x﹣2得：t=3t﹣2， 解得：t=1， 故“和谐点”的坐标为； （2）设抛物线“和谐点”的坐标为， 代入抛物线y=﹣x2+（a+1）x﹣a+1中得： x=﹣x2+（a+1）x﹣a+1， ﹣x2+ax﹣a+1=0， ∵“和谐点”为和， ∴x1、x2是方程﹣x2+ax﹣a+1=0的两个根， 则x1+x2=﹣=，x1•x2==2a﹣2， w=x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（）2﹣2（2a﹣2）， w=﹣4a+4=（a﹣）2+， ∵＞0， ∴抛物线开口向上当a=时，w有最小值是； （3）设函数“和谐点”的坐标为， 代入函数y=x2+（m﹣t+1）x+n+t﹣2得： x=x2+（m﹣t+1）x+n+t﹣2， x2+（m﹣t）x+n+t﹣2=0， ∵存在唯一的一个“和谐点”， ∴=（m﹣t）2﹣4××（n+t﹣2）=0， n=（m﹣t）2﹣t+2， 这是一个n关于m的二次函数，图象为抛物线，开口向上，对称轴为m=t，对称轴左侧，n随m的增大而减小；对称轴右侧，n随m的增大而增大； ①t＜2，当2≤m≤3时，在对称轴右侧递增， ∴当m=2时，n有最小值为t， 即（2﹣t）2﹣t+2=t， t2﹣6t+6=0， 解得：t1=3+＞2（舍去），t2=3﹣， ②t＞3，当2≤m≤3时，在对称轴左侧递减， ∴当m=3时，n有最小值为t， 即（3﹣t）2﹣t+2=t， 解得：t1=4+，t2=4﹣＜3（舍）， ③当2≤t≤3，当2≤m≤3时，n有最小值为﹣t+2， ∴﹣t+2=t， t=1＜2（舍去）， 综上所以述：t的值为3﹣或4+． 【点睛】本题考查了二次函数的性质及一元二次方程的根与二次函数的关系；明确一元二次方程根据与系数的关系，方程的解与根的判别式的关系；尤其是二次函数的最值问题，在自变量的所有取值中：①当a＞0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而减少；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，函数有最小值；②当a＜0时，抛物线在对称轴左侧，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，y随x的增大而减少，函数有最大值；如果在规定的取值中，要看图象和增减性来判断． 23．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个． （1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式； （2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+，试求出t的取值范围． 【答案】（1）y=；（2）当k≠时，“梦之点”的坐标为（，）；当k=，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=，s≠1时，不存在“梦之点”；（3）t＞． 【知识点】其他问题(二次函数综合)、求反比例函数值 【分析】（1）先由“梦之点”的定义得出m=2，再将点P坐标代入y=，运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式； （2）假设函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x），则有x=3kx+s﹣1，整理得（3k﹣1）x=1﹣s，再分三种情况进行讨论即可； （3）先将A（x1，x1），B（x2，x2）代入y=ax2+bx+1，得到ax12+（b﹣1）x1+1=0，ax22+（b﹣1）x2+1=0，根据方程的解的定义可知x1，x2是一元二次方程ax2+（b﹣1）x+1=0的两个根，由根与系数的关系可得x1+x2=，x1•x2=，则（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2==4，整理得出b2﹣2b=（2a+1）2﹣2，则t=b2﹣2b+=（2a+1）2+．再由﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，得出﹣4＜x2＜4，﹣8＜x1•x2＜8，即﹣8＜＜8，又a＞0，解不等式组得出a＞，进而求出t的取值范围． 【详解】解：（1）∵点P（2，m）是“梦之点”， ∴m=2， ∵点P（2，2）在反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上， ∴n=2×2=4， ∴反比例函数的解析式为y=； （2）假设函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”（x，x）， 则有x=3kx+s﹣1， 整理，得（3k﹣1）x=1﹣s， 当3k﹣1≠0，即k≠时，解得x=； 当3k﹣1=0，1﹣s=0，即k=，s=1时，x有无穷多解； 当3k﹣1=0，1﹣s≠0，即k=，s≠1时，x无解； 综上所述，当k≠时，“梦之点”的坐标为（，）；当k=，s=1时，“梦之点”有无数个；当k=，s≠1时，不存在“梦之点”； （3）∵二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2）， ∴x1=ax12+bx1+1，x2=ax22+bx2+1， ∴ax12+（b﹣1）x1+1=0，ax22+（b﹣1）x2+1=0， ∴x1，x2是一元二次方程ax2+（b﹣1）x+1=0的两个不等实根， ∴x1+x2=，x1•x2=， ∴（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1•x2=（）2﹣4×==4， ∴b2﹣2b=4a2+4a﹣1=（2a+1）2﹣2， ∴t=b2﹣2b+=（2a+1）2﹣2+=（2a+1）2+． ∵﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2， ∴﹣4＜x2＜0或0＜x2＜4， ∴﹣4＜x2＜4， ∴﹣8＜x1•x2＜8， ∴﹣8＜＜8， ∵a＞0， ∴a＞ ∴（2a+1）2+＞+=， ∴t＞． 考点：二次函数综合题． 24．如图，二次函数的图象经过点，与x轴的另一交点为C，其对称轴与x轴交于 (1)求二次函数的表达式； (2)若点M在线段上，过点M作轴于点N，以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、根据正方形的性质求线段长、待定系数法求二次函数解析式、坐标与图形 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）先求出直线的解析式，设，则点，可得，连接，设与交E，根据正方形的性质可得，，，从而得到轴，，再代入二次函数的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点， ， ∵对称轴为直线，经过， ∴，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， ，， ，解得， 直线的解析式为， 设，则点， ∴， 连接，设与交E， ∵四边形是正方形， ∴，，， 轴， ， ， ∴点P的横坐标为， ， ∵点在抛物线上， ， 解得（舍去），， 点坐标为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及的有二次函数的图象和性质，正方形的性质，熟练掌握有二次函数的图象和性质，正方形的性质，利用待定系数法解答是解题的关键. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第04讲 二次函数的应用（知识清单+13大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 图形问题(实际问题与二次函数) 题型二 图形运动问题(实际问题与二次函数) 题型三 拱桥问题(实际问题与二次函数) 题型四 销售问题(实际问题与二次函数) 题型五 投球问题(实际问题与二次函数) 题型六 喷水问题(实际问题与二次函数) 题型七 增长率问题(实际问题与二次函数) 题型八 其他问题(实际问题与二次函数) 题型九 线段周长问题(二次函数综合) 题型十 面积问题(二次函数综合) 题型十一 特殊三角形问题(二次函数综合) 题型十二 特殊四边形(二次函数综合) 题型十三 其他问题(二次函数综合) 知识清单 知识点1．二次函数的应用 （1）利用二次函数解决利润问题 在商品经营活动中，经常会遇到求最大利润，最大销量等问题．解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围． （2）几何图形中的最值问题 几何图形中的二次函数问题常见的有：几何图形中面积的最值，用料的最佳方案以及动态几何中的最值的讨论． （3）构建二次函数模型解决实际问题 利用二次函数解决抛物线形的隧道、大桥和拱门等实际问题时，要恰当地把这些实际问题中的数据落实到平面直角坐标系中的抛物线上，从而确定抛物线的解析式，通过解析式可解决一些测量问题或其他问题． 知识点2．二次函数综合题 （1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题 解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项． （2）二次函数与方程、几何知识的综合应用 将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件． （3）二次函数在实际生活中的应用题 从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义． 题型方法 【题型一】图形问题(实际问题与二次函数) 【例1】（24-25九年级上·浙江·期末）正方形的面积S（单位：）与周长C（单位：）之间的函数关系式是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为x（），则窗框的透光面积关于x（）的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，正方形的顶点与正方形的顶点同在一段抛物线上，且抛物线的顶点同时落在和轴上，正方形边与同时落在轴上，若正方形的边长为，则正方形的边长为 ． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）用12米长的铝合金型材制成如图1所示的矩形窗框（铝合金型材宽度不计）． (1)窗框的宽为多少米时，窗户的透光面积最大？最大透光面积是多少？ (2)若制成如图2所示的窗框（上部分为半圆，下部分为矩形），求该窗户的最大透光面积（π取3）． 【题型二】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【例2】（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，正的边长为1，点P从点B出发，沿方向运动，于点H，下面是的面积随着点P的运动形成的函数图像（拐点左右两段都是抛物线的一部分），以下判断正确的是（    ） A．函数图象的横轴表示的长 B．当点P为中点时，点H为线段的三等分点 C．两段抛物线的形状不同 D．图象上点的横坐标为时，纵坐标为 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江温州·期末）某兴趣小组开展综合实践活动：在中，，为上一点，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在三角形边上沿匀速运动，到达点时停止，以为边作正方形，设点的运动时间为，正方形的面积为，当点由点运动到点时，经探究发现是关于的二次函数，并绘制成如图2所示的图象，若存在3个时刻对应的正方形DPEF的面积均相等，当时，则正方形的面积为（    ） A．3 B． C．4 D．5 2．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，连结，在线段上有一动点P，过点P作轴，轴，垂足分别是M，N，记四边形的面积为S，则S的取值范围是 ． 3．（2024·浙江杭州·二模）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板直线运动，其中．从黑球运动到点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间（单位：）、运动速度（单位：）、滑行距离（单位：）的数据．记录的数据如表： 运动时间 0 2 4 6 8 10 … 运动速度 12 10 8 6 4 2 … 运动距离 0 22 40 54 64 70 … (1)根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出关于，关于的函数图象，并分别求出关于，关于的函数表达式． (2)①求黑球在水平木板上滚动的最大距离． ②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点处，两球会在水平木板的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点到点的距离；若不能相遇，请说明理由． 【题型三】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【例3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图是抛物线形拱桥的示意图，已知水面宽，顶点离水面．当水面宽时，水面下降（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图是根据某拱桥形状建立的直角坐标系，从中得到函数．在正常水位时水面宽，当水位上升时，水面宽（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，一古桥的桥洞可近似看成抛物线型，其解析式为，现要对这座古桥进行加固，须临时安装一些垂直于地面的支撑杆，要求相邻支撑杆之间的距离为，但最边缘的支撑杆到桥洞底部的的距离可以不大于，即图中，，则最多可安装支撑杆 条．    3．（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图1，一大桥主桥拱呈抛物线状，主桥拱两侧各由10根钢索固定．两侧主桥拱示意图如图2所示，已知，其中最短的钢索，每两根钢索的间距均为2m． (1)请在图2中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的函数解析式． (2)求最长钢索的长度． 【题型四】销售问题(实际问题与二次函数) 【例4】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）某商店经销一种成本为每千克40元的水产品，据市场分析，按每千克50元销售，一个月能售出．售价每涨1元，月销量就减少．若要使月销售利润达到最大，则销售单价应定为每千克（  ） A．55元 B．60元 C．65元 D．70元 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江金华·期中）慈城某店家销售特产印花糕，经调查发现每盒印花糕售价为15元时，日销售量为200盒，当每盒售价每下降1元时，日销售量会增加5盒．已知每盒印花糕的成本为5元，设每盒降价x元，商家每天的利润为y元，则y与x之间的函数表达式为（   ）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江台州·期中）某商店销售一批头盔，售价为每顶60元，每月可售出200顶．在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经调查发现：每降价1元，每月可多售出20顶．已知头盔的进价为每顶40元，则该商店每月获得最大利润时，每顶头盔降了 元． 3．（24-25九年级上·浙江金华·期末）糖炒板栗是冬季深受大家喜爱的小吃．已知糖炒板栗每斤成本大约为10元．某夜市摊主试销阶段每斤的销售价（元）与糖炒板栗日销售量（斤）之间的关系如下表：若日销售量是销售价的一次函数，试求： （元） 15 20 30 … （斤） 100 80 40 … (1)日销售量（斤）与销售价（元）的函数关系式； (2)假设后续销售情况与试销阶段效果相同，要使这种糖炒板栗每日销售的利润最大，每斤的销售价应定为多少元？每日销售的最大利润是多少元？ 【题型五】投球问题(实际问题与二次函数) 【例5】（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）一运动员推铅球，铅球经过的路线为如图所示的抛物线．根据图中相关信息，你认为铅球的落地点与该运动员相距大约在（   ）． A．在之间 B．在之间 C．在之间 D．在之间 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）一实心球经过的路线为如图所示的抛物线，其表达式为，则实心球的落地点到最高点的水平距离的长为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）中国的洲际导弹再现强国实力．在导弹模型模拟实验中，如图，为导弹发射位置，点B为发射口（B点可上下调节，假设弹道轨迹是一条抛物线且形状保持不变），为小斜坡，且为目标区域（含端点F和G，高度忽略不计），．当发射口为点B时，刚好击中点C，离地最大高度为，当发射口抬高1米即时，刚好击中点E，则的长是 ；若要击中目标区域，则的取值范围是 ．（参考数据：） 3．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，一位篮球运动员投篮，球从点处投出，沿抛物线运动，球运动至点处达到最高点，此时，水平距离为3.5米． (1)求的值． (2)已知篮筐中心高度为3.05米，投篮出手点与篮筐中心的水平距离为米．若该运动员本次投篮能直接命中篮筐中心，求的值． 【题型六】喷水问题(实际问题与二次函数) 【例6】（22-23九年级·浙江·假期作业）如图，点O为一个喷水池的中心，以点O为原点建立平面直角坐标系，喷水管的高度为，喷出的水柱可以看作是抛物线．当距离中心时，水柱的最高点为，则水柱落地的位置与喷水池中心的距离为（    ） A．3m B．4m C．5m D．6m 【举一反三】 1．（22-23九年级上·浙江温州·期末）洗手盘台面上有一瓶洗手液．当同学用一定的力按住顶部下压如图位置时，洗手液从喷口流出，路线近似呈抛物线状，且喷口为该抛物线的顶点．洗手液瓶子的截面图下面部分是矩形．同学测得：洗手液瓶子的底面直径，喷嘴位置点距台面的距离为，且、、三点共线．在距离台面处接洗手液时，手心到直线的水平距离为，不去接则洗手液落在台面的位置距的水平面是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·浙江杭州·二模）如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为．若露在墙壁外面的钢管的长度米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是 米．    3．（24-25九年级上·浙江台州·期中）市民广场雕塑安装喷水装置从顶端点处喷出的水柱为抛物线形状，如图，以水平方向为轴，点为原点建立直角坐标系，点在轴上，轴上的点为水柱的落水点，记为水柱喷水的半径，设水柱上点的坐标为，下面的表中记录了关于x，y的五组数据： 1 2 3 4 5 3 (1)求雕塑高； (2)求水柱喷水的半径． 【题型七】增长率问题(实际问题与二次函数) 【例7】（23-24九年级上·浙江·期末）某工厂1月份的产值为200万元，若平均每月产值的增长率为，该工厂3月份的产值为y，则（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（2022九年级上·浙江·专题练习）据省统计局公布的数据，合肥市2021年一月GDP总值约为6百亿元人民币，若合肥市三月GDP总值为y百亿元人民币，平均每个月GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（　　） A．y＝6(1+2x) B．y＝6(1﹣x)2 C．y＝6(1+x)2 D．y＝6+6(1+x)+6(1+x)2 2．（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共y万元，如果平均每月增长率为x，则营业额y与月平均增长率x之间的函数关系式为 ． 3．（23-24九年级上·河北廊坊·阶段练习）某工厂的前年生产总值为10万元，去年比前年的年增长率为，预计今年比去年的年增长率为，设今年的总产值为万元． (1)求与的关系式； (2)当时，求今年的总产值为多少万元？ 【题型八】其他问题(实际问题与二次函数) 【例8】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）在2024年巴黎奥运会男子跳远决赛中，中国选手张溟鲲以8.07米的成绩获得亚洲第一，若记张溟鲲起跳后时间为t秒，他所处的高度为h米，则可用函数来描述他起跳后高度的变化，当，，时；所对应的高度记为，，，则（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江衢州·期中）如图1是玻璃水杯的截面图，其左右轮廊线，为某抛物线的一部分，杯口，杯底，且，杯深．如图2，将盛有部分水的水杯倾斜，水面正好经过点（即）．嘉淇在图1中建立了平面直角坐标系（抛物线的顶点在y轴上），对于下列结论，其中不正确的是（   ） A．玻璃水杯轮廊线所在拋物线的解析式为 B．直线的解析式为 C．点到杯口的距离为 D．点到点的距离为 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线，摇绳的两名同学拿绳的手的间距为米，到地面的距离与均为米，绳子甩到最高点处时，最高点距地面的垂直距离为米．身高为米的小吉站在距点水平距离为米处，若他能够正常跳大绳（绳子甩到最高时超过他的头顶），则的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·浙江金华·阶段练习）某数学小组对数学学习中有关汽车的刹车距离有疑惑，于是他们走进汽车研发中心考察． 【知识背景】“道路千万条，安全第一条”刹车后还要继续向前行驶一段距离才能停止，这段距离成为刹车距离． 【探究发现】汽车研发中心设计一款新型汽车，现在模拟汽车在高速公路上以某一速度行驶时，对它的刹车性能进行测试，数学小组收集、整理数据，并绘制函数图象． 发现：开始刹车后行驶的距离（单位：m）与刹车后行驶时间（单位：s）之间成二次函数关系，函数图象如图所示． 【问题解决】请根据以上信息，完成下列问题： (1)求二次函数的解析式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)若在汽车前处，有一测速仪，当汽车刹车过程中，经过多少时间，汽车与测速仪相距； (3)若汽车司机发现正前方处有一辆抛锚的车停在路面，立刻刹车，问该车在不变道的情况下是否会撞到抛锚的车？试说明理由． 【题型九】线段周长问题(二次函数综合) 【例9】（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为（    ） A．6 B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，且与轴的正半轴交于点，点是该抛物线对称轴上的一点，则的最小值为 ． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·开学考试）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C． (1)在对称轴上是否存在一点P，使得周长最小，若存在则求出P点坐标，若不存在请说明理由． (2)在直线下方的抛物线上是否存在点D，使得的面积最大？若存在，求出点D的坐标；若不存在，说明理由． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）如图，抛物线与轴交于点A和，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，若点是直线上方的抛物线上的一个动点，求面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上的一个动点（不与点A，B重合），过点P作直线轴于点，交直线于点．是否存在点，使？若存在，请写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型十】面积问题(二次函数综合) 【例10】（24-25九年级上·浙江温州·开学考试）将一根长8米的铁丝首尾相接围成矩形，则围成的矩形的面积的最大值是 ． 【举一反三】 1．（23-24九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，且，是抛物线的顶点，三角形的面积等于1，则以下结论：①；②；③；④，其中正确的结论是（    ）    A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，已知抛物线和直线相交与点A，B．点P是抛物线上一点，且在直线的下方，连接，，当的面积最大时，则点P的坐标是 ． 3．（24-25九年级上·浙江湖州·期中）如图，已知二次函数的图象与x轴的一个交点为，另一个交点为B，且与y轴交于点C，连结． (1)求该二次函数的解析式及点B的坐标； (2)若在x轴上方的二次函数的图象上有一点D（不与点C重合），使，求点D的坐标． 【题型十一】特殊三角形问题(二次函数综合) 【例11】（22-23九年级上·浙江温州·期中）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，正方形的边在轴上，，在抛物线上，连结，，是正三角形，，则阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（22-23九年级上·浙江金华·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，点F为抛物线的顶点，在抛物线的对称轴上存点Q，当点Q的坐标为 时为等腰三角形． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线，顶点为D，点B的坐标为． (1)填空，点D的坐标为________，抛物线的解析式为___________； (2)P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P、使是以为斜边的直角三角形?若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； (3)当二次函数的自变量x满足时，函数y的最小值为，求m的值． 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）定义：若抛物线的顶点和与轴的两个交点所组成的三角形为等边三角形时，则称此抛物线为正抛物线． 概念理解： （1）如图，在中， ， 点是的中点． 试证明： 以点为顶点，且与轴交于两点的抛物线是正抛物线； 问题探究： （2）已知一条抛物线经过轴的两点（在的左边）， 且若此条抛物线为正抛物线，求这条抛物线的解析式； 应用拓展： （3） 将抛物线 向下平移个单位后得新的抛物线． 抛物线的顶点为，与轴的两个交点分别为（在左侧），把沿轴正半轴无滑动翻滚，当边 与轴重合时记为第次翻滚，当边 与轴重合时记为第次翻滚，依此类推，请求出当第次翻滚后抛物线的顶点的对应点坐标． 【题型十二】特殊四边形(二次函数综合) 【例12】（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，在平面直角坐标系中，点、在抛物线上，过点、分别作轴的垂线，交抛物线于点、，分别过点、作线段的垂线，垂足为点、．若点坐标为，四边形的邻边之比为：时，则线段的长为（    ） A．4或 B．或 C．或 D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．点是抛物线第三象限上的一个点，过点作交抛物线于点，以线段为对角线作菱形，若点在轴上，点在抛物线上时，则菱形对角线的长为 ． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点B，点C在直线上，过点C作轴于点，将沿所在直线翻折，使点A恰好落在抛物线上的点E处． (1)求抛物线的函数表达式； (2)抛物线上是否存在一点P，使？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由； (3)已知点M在抛物线上，点N在直线上，若存在以A、B、M、N为顶点的平行四边形，请直接写出点M的坐标． 3．（22-23九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，已知拋物线的对称轴为直线，且经过点，，连接，动点从点出发在线段上以每秒2个单位长度向点做匀速运动；同时，动点从点出发，在线段上以每秒个单位长度向点做匀速运动，连接，，设运动时间为秒． (1)求抛物线的解析式； (2)①当时，求点的坐标； ②点为抛物线对称轴上一点，若以、、、为顶点的四边形（为边）是平行四边形，求的值； (3)以为旋转中心，把绕点顺时针旋转得到，若点落在的内部，请直接写出的取值范围_____________． 【题型十三】其他问题(二次函数综合) 【例13】（24-25九年级上·浙江杭州·期中）将抛物线向左平移个单位长度后得到新抛物线，若新抛物线与直线有两个交点，，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，二次函数及一次函数，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线与新图象有4个交点时，m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，求同时满足下列两个条件的点的坐标：①直线必经过这样的点；②对于取不等于零的任何值，关于的二次函数都不经过这样的点．则这个点的坐标为 ． 3．（24-25九年级上·浙江台州·期末）定义：对于点与拋物线上一点，若，则称点为抛物线的一个纵邻点．例如：对于点和抛物线上的点满足，则点是拋物线的一个纵邻点． (1)试判断是不是拋物线的纵邻点，并说明理由； (2)若，都是抛物线的纵邻点，求的最大值； (3)若点A坐标为，点B坐标为，线段上的所有点都是拋物线的纵邻点，求h的最大值和最小值，以及相应的n的值． 好题必刷 一、单选题 1．据安徽省统计局公布的数据，初步核算2021年安徽省生产总值为42959.2亿元，若设2023年安徽省生产总值为y亿元，平均年增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 2．如图1，△ABC是直角三角形，∠A=90°，AB=8cm，AC=6cm点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动；同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点，则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是（  ） A．8cm2 B．16cm2 C．24cm2 D．32cm2 3．某书店销售某种中考复习资料，若每本可获利元，一天可售出本，则该书店出售该种中考复习资料的日利润最大为（　　） A．250元 B．500元 C．750元 D．1000元 4．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2m时，水面宽度为4m．那么水位下降1m时，水面的宽度为（    ） A． B． C． D． 5．烟花厂为成都春节特别设计制作了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h（m）与飞行时间t（s）的关系式是．若这种礼炮在升空到最高点时引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为（    ） A．3s B．4s C．5s D．6s 6．如图，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画．下列结论错误的是（    ） A．小球落地点距O点水平距离为7米 B．小球距O点水平距离超过4米呈下降趋势 C．当小球抛出高度达到7.5m时，小球距O点水平距离为3m D．小球距斜坡的最大铅直高度为 7．某工厂的大门是一抛物线形水泥建筑物，大门的地面宽度为8m，两侧距地面3m高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6m，如图所示，则厂门的高约为(水泥建筑物的厚度忽略不计，结果精确到0.1m)(　　) A．6.9m B．7.0m C．7.1m D．6.8m 8．如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水面AB宽为20米，拱桥的最高点O到水面AB的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD，那么CD宽为（　　） A．4米 B．10米 C．4米 D．12米 9．如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式+x2+1＜0的解集是（　　） A．x＞1 B．x＜﹣1 C．0＜x＜1 D．﹣1＜x＜0 10．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y轴的抛物线与网格对角线OM的两个交点为A，B，其顶点为C，如果△ABC是该抛物线的内接格点三角形，AB=3，且点A，B，C的横坐标xA，xB，xC满足xA＜xC＜xB，那么符合上述条件的抛物线条数是（　　） A．7 B．8 C．14 D．16 二、填空题 11．黄冈中学是百年名校，百年校庆上的焰火晚会令很多人记忆犹新．有一种焰火升高高度为h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种焰火在点燃升空后到最高处引爆，则从点火到引爆所需时间为 s． 12．某网店某种商品成本为50元/件，售价为60元/件时，每天可销售100件；售价单价高于60元时，每涨价1元，日销售量就减少2件．据此，当销售单价为 元时，网店该商品每天盈利最多． 13．在中，，所对的边分别为，，．若二次函数的最小值为，则 ． 14．图中是抛物线形拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα= ，tanβ= ，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系，则点P到水面OA的距离是 m． 15．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2的图象如图所示．已知A点坐标为（1，1），过点A作AA1∥x轴交抛物线于点A1，过点A1作A1A2∥OA交抛物线于点A2，过点A2作A2A3∥x轴交抛物线于点A3，过点A3作A3A4∥OA交抛物线于点A4……，依次进行下去，则点A2021的坐标为 ． 16．丰都县某中学为培养学生综合实践能力，开展了一系列综合实践活动，有一次财商训练活动中，小明同学准备去集市批发两种商品用于活动中交易．预先了解到A、B两种商品的价格之和为27元，小明计划购买B商品的数量比A商品的数量多2件，但一共不超过25件，且每样不少于3件，但小明去购买时发现A商品正打九折销售，而B商品的价格提高了20%，小明决定将A、B产品的购买数量对调，这样实际花费只比计划多8元，已知价格和购买数量均为整数，则小明购买两种商品实际花费为 元． 三、解答题 17．如图，用20米长的篱笆围成一个一边靠墙的矩形花圃(墙足够长)，设垂直于墙的一边长为x米矩形花圃的面积为y平方米．    (1)写出y关于x的函数解析式； (2)当x为多少时，矩形花圈的面积最大？ 18．如图1所示的某种发石车是古代一种远程攻击的武器，发射出去的石块的运动轨迹是抛物线的一部分，且距离发射点20米时达到最大高度10米．将发石车置于山坡底部O处，山坡上有一点A，点A与点O的水平距离为30米，与地面的竖直距离为3米，AB是高度为3米的防御墙．若以点O为原点，建立如图2所示的平面直角坐标系． (1)求石块运动轨迹所在抛物线的解析式； (2)试通过计算说明石块能否飞越防御墙AB； (3)在竖直方向上，试求石块飞行时与坡面OA的最大距离． 19．已知抛物线经过点. （1）求这个函数的解析式； （2）写出抛物线上点关于轴的对称点的坐标； （3）求的面积； （4）抛物线上是否存在点，使的面积等于面积的一半？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 20． 把抛物线平移得到抛物线m，抛物线m经过点和原点，它的顶点为P，它的对称轴与抛物线交于点Q． (1)求顶点P的坐标； (2)写出平移过程； (3)求图中阴影部分的面积． 21．有心理学家研究发现，学生对某类概念的接受能力y与讲授概念所用时间之间满足函数关系．y值越大，表示接受能力越强，根据这一结论回答下列问题： （1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？在什么范围内，学生的接受能力逐渐降低？ （2）经过多长时间，学生的接受能力最强？ 22．已知y是关于x的函数，若其函数图象经过点P（t，t），则称点P为函数图象上的“和谐点”． （1）求出直线y=3x﹣2的“和谐点”坐标； （2）若抛物线y=﹣x2+（a+1）x﹣a+1上有“和谐点”，且“和谐点”为A（x1，y1）和B（x2，y2），求W=x12+x22的最小值； （3）若函数y=x2+（m﹣t+1）x+n+t﹣2的图象上存在唯一的一个“和谐点”且当2≤m≤3时，n的最小值为t，求t的值． 23．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个． （1）若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式； （2）函数y=3kx+s﹣1（k，s是常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标；若不存在，请说明理由； （3）若二次函数y=ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个不同的“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|=2，令t=b2﹣2b+，试求出t的取值范围． 24．如图，二次函数的图象经过点，与x轴的另一交点为C，其对称轴与x轴交于 (1)求二次函数的表达式； (2)若点M在线段上，过点M作轴于点N，以为对角线作正方形（点P在右侧），当点P在抛物线上时，求点M的坐标. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$