第05讲 事件的可能性及简单事件的概率（2大知识点+13大典例+变式训练+过关检测）-（暑期衔接课堂）讲义2025-2026学年九年级上册数学（浙教版）

第05讲 简单事件的概率（2大知识点+13大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 事件的分类 典型例题二 游戏的公平性 典型例题三 判断事件发生的可能性的大小 典型例题四 概率的意义理解 典型例题五 根据概率公式计算概率 典型例题六 已知概率求数量 典型例题七 几何概率 典型例题八 列举法求概率 典型例题九 列表法或树状图法求概率 典型例题十 求某事件的频率 典型例题十一 由频率估计概率 典型例题十二 用频率估计概率的综合应用 典型例题十三 概率的实际综合应用 知识点01 用树状图或表格求概率 1.树状图 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： (1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； (2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 2.列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 3.用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 【即时训练】 1．（2025·浙江·模拟预测）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查列表法与树状图、概率公式，画树状图得出所有等可能的结果数以及卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将甲骨文“美”“丽”“山”“河”四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的结果有2种， ∴卡片正面恰好为甲骨文“丽”和“山”的概率为． 故选：B． 【即时训练】 2．（2025·浙江·模拟预测）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查概率的应用，通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解． 【详解】解：要使天平恢复平衡，则选取两件物品的质量和为， 列表如下： 10 20 30 40 10 30 40 50 20 30 50 60 30 40 50 70 40 50 60 70 ∴共有12种可能结果，其中使天平恢复平衡的有4种， ∴天平恢复平衡的概率为． 故答案为：． 知识点02 用频率估计概率 1.频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 要点： （1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； （3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 3.利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 要点： 用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小马），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为10cm的正方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向正方形区域内掷点：通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.65左右，由此她估计此不规则图案的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了用频率估计概率以及正方形面积公式的应用，熟练掌握频率与概率的关系，利用频率估计出图案面积占正方形面积的比例是解题的关键．利用频率估计概率的思想，先求出正方形面积，再根据频率得到图案面积占正方形面积的比例，进而求出图案面积． 【详解】解：∵正方形边长为， ∴正方形面积 ． 由大量重复试验，点落在图案部分的频率稳定在左右，根据频率估计概率，可知点落在图案部分的概率约为 ． ∴， ∴ ． 故选：A ． 【即时训练】 2．（2025·浙江舟山·模拟预测）某市为了解初中生近视情况，在全市进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，可估计该市初中生近视的概率为 ，（结果精确到0.1） 累计抽测的学生数n 1000 2000 3000 4000 5000 6000 8000 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 【答案】0.4 【分析】本题主要考查利用频率估算概率，熟练掌握利用频率估算概率是解题的关键；利用大量重复实验时的频率可估计概率求解即可． 【详解】解：随着累计抽测学生数的增大，近视的学生数与n的比值逐渐稳定于0.4，所以该市初中生近视的概率为0.4； 故答案为:0.4． 【典型例题一 事件的分类】 【例1】（24-25九年级上·浙江湖州·期中）成语是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于必然事件的是（   ） A．守株待兔 B．水中捞月 C．旭日东升 D．刻舟求剑 【答案】C 【分析】本题主要考查了事件的分类，掌握各类事件的定义是解题的关键． 根据一定会发生的事件是必然事件，一定不会发生的事件是不可能事件，可能会发生的事件是随机事件，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、守株待兔是随机事件，不符合题意； B、 水中捞月是不可能事件，不符合题意； C、 旭日东升是必然事件，符合题意； D、 刻舟求剑是不可能事件，不符合题意． 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·浙江湖州·期中）下列事件中，是必然事件的为（   ） A．天内下雨 B．打开电视机，正在播放广告 C．人中至少有人的生日相同 D．抛掷硬币，正面向上 【答案】C 【分析】本题考查了随机事件与必然事件，在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件；在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件，据此判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：、天内下雨，是随机事件，该选项不合题意； 、打开电视机，正在播放广告，是随机事件，该选项不合题意； 、人中至少有人的生日相同，是必然事件，该选项符合题意； 、抛掷硬币，正面向上，是随机事件，该选项不合题意； 故选：． 【例3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）下列事件中， （1）太阳从西边落山； （2）某人的体温是； （3）； （4）某个等腰三角形中任意两个角都不相等： （5）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯． 是必然事件， 是不可能事件， 是随机事件． 【答案】 （1） （2）（4） （3）（5） 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【详解】解：（1）根据生活常识，可知太阳一定从西边落山，所以“太阳从西边落山”是必然事件． （2）因为正常人体的体温都在左右，所以“某人的体温是”是不可能事件． （3）当时，，当a，b中至少有一个不等于0时，为正数，所以“”是随机事件． （4）根据等腰三角形的性质，等腰三角形中至少有两个角相等，所以“某个等腰三角形中任意两个角都不相等”是不可能事件． （5）经过有信号灯的十字路口，可能遇见红灯，也可能不遇见红灯，所以“经过有信号灯的十字路口，遇见红灯”是随机事件． 故答案为：（1）；（2），（4）；（3），（5）； 【例4】（23-24九年级上·浙江衢州·期末）如图，守株待兔是一个寓言故事演化而来的成语，最早出自《韩非子·五蠹》，“守株待兔”是 （填“确定”或“随机”）事件． 【答案】随机 【分析】本题考查了随机事件．解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】“守株待兔”是随机事件 故答案为：随机． 1．（23-24九年级上·浙江丽水·期末）有两个事件，事件：人中至少有人性别相同；事件：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为的倍数．下列说法正确的是（    ） A．事件都是随机事件 B．事件都是必然事件 C．事件是随机事件，事件是必然事件 D．事件是必然事件，事件是随机事件 【答案】D 【分析】本题考查了事件的分类，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】事件：人中至少有人性别相同是必然事件， 事件：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为的倍数是随机事件， ∴事件是必然事件，事件是随机事件， 故选：． 2．（24-25九年级上·浙江衢州·课后作业）(1)必然事件A的概率为:P(A)= . (2)不可能事件A的概率为:P(A)= . (3)随机事件A的概率为P(A): . (4)随机事件的概率的规律:事件发生的可能性越大,则它的概率越接近于 ;反之,事件发生的可能性越小,则它的概率越接近于 .从1~9这九个自然数中任取一个,是2的倍数的概率是 .方程5x=10的解为负数的概率是 . 【答案】 1， 0， 0<P(A)<1， 1， 0， ， 0 【详解】解：（1）必然事件A的概率为：P（A）=1． （2）不可能事件A的概率为：P（A）=0． （3）随机事件A的概率为P（A）：0＜P（A）＜1． （4）随机事件的概率的规律：事件发生的可能性越大，则它的概率越接近于1；反之，事件发生的可能性越小，则它的概率越接近于0．从1~9这九个自然数中任取一个，是2的倍数的概率是．方程5x=10的解为负数的概率是0． 故答案为（1）1， （2）0， （3）0＜P（A）＜1，（4）1，0，，0． 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·课后作业）你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)掷一枚质地均匀的骰子，“朝上的点数是偶数”是必然发生的，因为骰子上有偶数点数； (2)小明的幸运数字是“6”，所以他掷骰子掷出“6”的可能性比掷出其他数字的可能性要大． 【答案】(1)不同意，“朝上的点数是偶数”是随机事件，因为朝上的点数可能会是奇数； (2)不同意，掷出“6”的可能性不是由人的主观意志决定的，实际上掷出“6”的可能性与掷出其他数字的可能性是一样的 【分析】本题考查了事件的分类，判断事件可能性的大小，掌握相关知识是解题的关键． （1）因为在骰子上只有偶数点数时，掷一枚质均匀的骰子，“朝上的点数是偶数”是必然发生的，如果骰子上既有偶数点数，又有奇数点数时，掷一枚质均匀的骰子，“朝上的点数是偶数”就不是必然发生的，所以我不同意这种说法； （2）因为题中没说明骰子有几个面上的数字是，只有骰子上是数字的面数多于其它数字所在的面数时，他掷骰子抛出“”的可能性比抛出其他数字的可能性要大，所以我不同意这种说法． 【详解】（1）解：不同意，理由如下： 掷一枚质地均匀的骰子，“朝上的点数是偶数”是随机发生的，因为朝上的点数也有可能会是奇数． （2）解：不同意，理由如下： 掷出“6”的可能性不是由人的主观意志决定的，实际上掷出“”的可能性与掷出其他数字的可能性是一样的． 【典型例题二 游戏的公平性】 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·课后作业）本学期我们做过“抢30“的游戏，如果将游戏规则中“不可以连说三个数，谁先抢到30，谁就获胜”．改为“每次最多可以连说三个数，谁先抢到33，谁就获胜．”那么采取适当策略，其结果是（ ） A．先说数者胜 B．后说数者胜 C．两者都能胜 D．无法判断 【答案】A 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，即判断双方取胜的概率是否相等，或转化为在总情况明确的情况下，判断双方取胜所包含的情况数目是否相等． 【详解】解：最多报3个，最少报1个，和为4； 要抢到33，就必须先抢到33﹣4=29，同理，还必须抢到25、21、17、13、9、5，1，所以先报到1就必胜了． 故选A． 【例2】（24-25九年级上·浙江嘉兴·课后作业）小玲与小丽两人各掷一个正方体骰子，规定两人掷的点数和为偶数，则小玲胜；点数和为奇数，则小丽胜，下列说法正确的是（　　） A．此规则有利于小玲 B．此规则有利于小丽 C．此规则对两人是公平的 D．无法判断 【答案】C 【详解】抛掷两枚均匀的正方体骰子，掷得点数之和为偶数的概率是，点数之和为奇数的概率是，所以规则对两人是公平的， 故选：C． 【例3】（24-25九年级上·浙江湖州·单元测试）小明、小强做游戏，掷两枚均匀的硬币，若出现朝上的两个面都是正面时，小明赢，否则小强赢，该游戏对 有利． 【答案】小强 【分析】先画出树状图得出所有等可能结果，根据概率公式计算出两人获胜的概率，再比较大小即可． 【详解】解：根据题意画树状图如下： 由树状图可得共有4种等可能的结果，出现朝上的两个面都是正面的结果数有1种，出现朝上的两个面不都是正面的结果数有3种， ∴小明赢的概率为，小强赢的概率为， ∵， ∴该游戏对小强有利， 故答案为：小强． 【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，正确画出树状图或列出表格是解题的关键． 【例4】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别是2m和3m的同心圆，然后每人蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影部分小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算或掷中两圆的边界线重掷，如果你是裁判，你认为游戏公平吗？ ．（填“公平”或“不公平”）    【答案】不公平 【分析】比较圆环的面积与半径是2m的圆的面积即可求解． 【详解】 解：∵内圆的面积为：（m2），外圆的面积为（m2）， ∴小明胜的概率为， ∵环形的面积为：（m2）， ∴小红胜的概率为， ∵＜， ∴这个游戏不公平， 故答案为：不公平． 【点睛】 本题考查的是圆的面积大小与概率计算的综合，理解几何概率，圆环面积的计算，及比较大小是解题的关键． 1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·课后作业）如图所示，小明、小刚利用两个转盘进行游戏；规则为小明将两个转盘各转一次，如配成紫色（红与蓝）得5分，否则小刚得3分，此规则对小明和小刚（　　） A．公平 B．对小明有利 C．对小刚有利 D．不可预测 【答案】A 【分析】游戏是否公平，关键要看游戏双方取胜的机会是否相等，计算配成紫色和不是紫色的概率，比较概率就可以得出答案． 【详解】解：如图所示， 两个转盘各转一次，配成颜色所有的情况如下： （，）（，）（，）（，）（，）（，）（绿，）（绿，） 共8种情况． 所以P（紫色）= ，P（其他颜色）=， 而5×=3×； 因此规则对小明和小刚公平． 故选A． 【点睛】判断游戏公平性就要计算每个人取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜． 若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是 ．（只填一种方案即可） 【答案】 甲 取走标记5，6，7的卡片（答案不唯一） 【分析】由游戏规则分析判断即可作出结论． 【详解】解：若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，为4，5或5，6，则剩余的卡片为1，6或1，4，然后乙只能取走一张卡片，最后甲将一张卡片取完，则甲一定获胜； 若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案5，6，7，理由如下： 乙取走5，6，7，则甲再取走4和8中的一个，最后乙取走剩下的一个，则乙一定获胜， 故答案为：甲；5，6，7（答案不唯一）． 【点睛】本题考查游戏公平性，理解游戏规则是解答的关键． 3．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）小亮和小芳都想参加学校社团组织的实践活动，但只有一个名额，王老师设计了一个如图可自由转动的转盘，将其等分为10个扇形，每个扇形上面写一个有理数，用如下的办法决定谁去参加活动：随机转动转盘，若转到正数，小亮去参加活动；若转到整数，小芳去参加活动；转到分界线则重新转动转盘． (1)转得绝对值小于6的数概率是多少？ (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由 【答案】(1) (2)不公平，理由见解析 【分析】本题主要考查游戏的公平性，判断游戏公平性需要先计算每个事件的概率，然后比较概率的大小，概率相等就公平，否则就不公平． （1）直接根据概率公式计算可得； （2）利用概率公式计算出两人获胜的概率即可判断． 【详解】（1）解：共有10种等可能结果，其中转盘转到绝对值小于6的数有这6种结果， ∴转得绝对值小于6的数的概率； （2）解：这个游戏不公平，理由如下： 转到正数的有1、、6、8、9这5种结果，概率为， 转到整数的有0、1、、6、、8、9、这8种结果概率为， ∵ ，        ∴这个游戏不公平． 【典型例题三 判断事件发生的可能性的大小】 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投掷第5次硬币正面朝上的可能性是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了可能性的大小，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比．根据硬币正面朝上，反面朝上的可能性相等即可求解． 【详解】解：投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投掷第5次硬币正面朝上的可能性是． 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）袋中有黄、白两种颜色的球共10个，这些球除颜色外完全相同．6位同学想通过摸球来推测袋中两种颜色的球的多少．他们每次摸之前都要把球摇匀，摸出一个球记下颜色后，再将球放回袋中，接着进行下一次，每人各摸10次．6人摸球的结果如下： 淘气 笑笑 奇思 妙想 聪聪 强强 黄球（次） 7 9 4 6 7 8 白球（次） 3 1 6 4 3 2 根据这6位同学的摸球结果，以下分析更合理的是（    ） A．奇思肯定记录错了，摸出黄球次数不可能比白球少 B．虽然有可能推测错误，但还是应该推测袋里黄球多 C．6位同学中有5人都是摸出黄球次数多，所以袋里一定是黄球多 D．因为摸出球的次数有时黄球多，有时白球多，所以无法判断袋里那种颜色的球多 【答案】B 【分析】本题考查的是判断可能性大小的方法，掌握判断可能性大小的方法是解题的关键，根据判断可能性大小的方法解答． 【详解】解： A、奇思不一定记录错了，摸出黄球次数可能比白球少；原题说法错误； B、虽然有可能推测错误，但还是应该推测袋里黄球多；原题说法正确； C、6位同学中有5人都是摸出的黄球次数多，所以袋里可能是黄球多；原题说法错误； D、因为摸出球的次数有时黄球多，有时白球多，但是总体来说摸出的黄球次数多，所以袋里可能是黄球多；原题说法错误． 故选：B． 【例3】（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）箱子中有5个白球、7个黑球及m个红球．它们仅有颜色不同，若从中随机摸出一球，结果是红球的可能性比黑球的可能性小，同时又比白球的可能性大，则m的值是 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了可能性的大小，正确得出m的取值范围是解题关键． 直接利用已知结合概率的意义得出m的取值范围，进而得出答案． 【详解】解：∵红球的可能性比黑球的可能性小，同时又比白球的可能性大， ∴， ∴， 故答案为：6． 【例4】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图是一个游戏转盘示意图，盘面分成红、黄、蓝、绿四个区域，让转盘自由转动，当转盘停止转动时，指针落在 色区域的可能性最小． 【答案】黄 【分析】本题主要考查运用概率公式求解几何图形中的概率，通过比较4个区域圆心角的大小，进而得出答案． 【详解】解：由游戏转盘划分区域的圆心角度数可得，黄色区域的圆心角最小， ∴黄色区域的面积最小， ∴指针落在黄色区域内的可能性最小． 故答案为：黄． 1．（24-25九年级上·山东泰安·期中）下列问题中是必然事件的有（    ）个 （1）太阳从西边落山；（2）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯；（3）（其中、都是实数）；（4）水往低处流． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先分析（1）（2）（3）（4）中有那个必然事件，再数出必要事件的个数，即可得到答案. 【详解】(1)太阳从西边落山，东边升起，故为必然事件；(2)经过有信号灯的十字路口，遇见红灯绿灯都有可能，故为随机事件；(3)（其中、都是实数），故为不可能事件；(4)水往低处流是必然事件； 因此，（1）（4）为必然事件， 故答案为A. 【点睛】本题的主要关键是理解必然事件的概念，再根据必然事件的概念进行判断；需要掌握： 必然事件：事先肯定它一定会发生的事件； 不确定事件：无法确定它会不会发生的事件； 不可能事件：一定不会发生的事件. 2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）下列说法： ①一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了次，其中，抛掷出点的次数最少，则第次一定抛掷出点． ②可能性很小的事件在一次实验中也有可能发生． ③天气预报说明天下雨的概率是，意思是说明天将有一半时间在下雨． ④抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等． 正确的是 （填序号） 【答案】②④ 【分析】概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生． 【详解】①概率是针对数据非常多时，趋近的一个数，所以一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中，抛掷出5点的次数最少，但并不能说第2001次一定抛掷出5点，错误，不符合题意； ②可能性很小的事件在一次实验中也有可能发生，正确，符合题意； ③明天本市的降水概率为50%，即明天下雨的可能性是50%，而明天可能下雨也可能不下，因而是随机事件，错误，不符合题意； ④由于图钉的质地不均匀，故抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等，正确，符合题意； 故答案为②④. 【点睛】本题考查的知识点是概率的意义，解题关键是熟记概率是通过进行大量的重复试验，用这个事件发生的频率近似地作为它的概率． 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·单元测试）下列第一排表示各盒中球的情况，第二排的语言描述了摸到篮球的可能性大小，请你用线把第一排盒子与第二排的描述连接起来使之相符． 【答案】见解析 【分析】①中摸到蓝球的可能为0，②摸到蓝球的可能性较小，③中摸到蓝球的可能性大，④一定摸到蓝球．连线即可解答． 【详解】解：如图所示： 【点睛】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．若只要总情况数目不相同，就比较各自所占的比例． 【典型例题四 概率的意义理解】 【例1】（2025九年级上·浙江嘉兴·专题练习）下列短语所反映的事件中，发生概率最小的是（   ） A．水滴石穿 B．旭日东升 C．守株待兔 D．水中捞月 【答案】D 【分析】本题考查了可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可得出答案． 【详解】解：A．水滴石穿，是随机事件，发生的可能性大小在0至1之间； B．旭日东升，是必然事件，发生的可能性为1； C．守株待兔，是随机事件，发生的可能性大小在0至1之间； D．水中捞月，是不可能事件，发生的可能性为0． ∴发生概率最小的是水中捞月， 故选：D． 【例2】（2024·湖北襄阳·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 B．任意画一个三角形，其外角和是是不可能事件 C．某奖券的中奖率为，买张奖券，一定会中奖1次 D．“任意两个等腰三角形是相似三角形”是必然事件 【答案】B 【分析】本题考查了抽样调查与全面调查的适用性、时间的分类以及概率的意义，掌握相关定义及结论是解题关键. 【详解】解：检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用全面调查，故A错误； 三角形的外角和为，故任意画一个三角形，其外角和是是不可能事件，故B正确； 某奖券的中奖率为，是概率不是频率，故买张奖券，不一定会中奖1次，故C错误； “任意两个等腰三角形是相似三角形”是随机事件，故D错误； 故选：B 【例3】（23-24九年级上·浙江嘉兴·单元测试）一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都 ，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率 ．特别地，当为必然事件时，；当为不可能事件时，． 【答案】 相等 【分析】此题考查了概率的定义，根据概率的定义求解即可． 【详解】解：一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率． 故答案为：相等，． 【例4】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）下列说法:①必然事件的概率为1；②数据1、2、2、3的平均数是2；③数据5, 2、–3、0的极差是8；④如果某种游戏活动的中奖率为40%，那么参加这种活动10次必有4次中奖.其中正确的有 个. 【答案】3 【分析】根据概率问题的相关概念和计算方法依次判断即可. 【详解】①必然事件表示一定发生的事件，故概率为1，所以A正确； ②平均数为：(1+2+2+3)÷4=2，所以B正确； ③极差：5-(-3)=8，故C正确； ④该题中奖率40%表示整个抽奖中，中奖率为40%，而不是10次抽奖必有四次中奖，故D错误. 故答案是：3. 【点睛】本题主要考查概率问题的相关知识，准确掌握概率的相关知识是解题的关键. 1．（24-25九年级上·四川凉山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．为了解六名学生的视力情况，采用抽样调查 B．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分别为、，若，，，则甲的成绩比乙的稳定． C．任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件． D．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖30次就有1次中奖． 【答案】B 【分析】根据普查、三角形的内角和、抽查，方差和概率的意义逐项判断即可． 【详解】了解六名学生的视力情况，由于总体数量较少，且容易操作，因此宜采取普查，因此选项A不符合题意； 根据平均数和方差的意义可得选项B符合题意； 任意画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，因此选项C不符合题意； 一个抽奖活动中，中奖概率为，表示中奖的可能性为，不代表抽奖20次就有1次中奖，因此选项D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查普查、抽查，三角形的内角和，方差和概率的意义，理解各个概念的内涵是正确判断的前提． 2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·课后作业）小强与小红两人下军棋，小强获胜的概率为46%，小红获胜的概率是30%，那么两人下一盘棋小红不输的概率是 ． 【答案】0.54 【详解】下棋的结果有三种：赢，和，输；所以两人下一盘棋小红不输的概率=1-小强获胜的概率=1-0.46=0.54. 故答案为0.54. 点睛：本题主要考查了概率的定义，因为下棋的结果有三种：赢，和，输，所以每一个人下棋赢的概率+和的概率+输的概率=1，理解到小红不输的概率即是小红赢的概率+小红和的概率，而小红输的概率=小强获胜的概率. 3．（23-24九年级上·陕西榆林·开学考试）暑假期间，某商场为了吸引顾客，对一次购物满元的顾客可获得一次转转盘得奖券的机会.如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指针指向黄色区域不获奖，指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止） 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 (1)甲顾客购物元，他获得奖券的概率是___________； (2)乙顾客购物元，并参与该活动，他获得元和元奖券的概率分别是多少？ (3)为加大活动力度，现商场想调整获得元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）用消费的钱数和元比较即可确定能否参与抽奖，不能参加抽奖则获得奖金的概率为； （2）用概率公式求解即可； （3）设需要将个黄色区域改为红色，根据元奖券的概率为列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴小明购物元，不能获得转动转盘的机会， ∴小明获得奖金的概率为； 故答案为：． （2）解：乙顾客购物600元，能获得一次转动转盘的机会， 由题意可知，每转动一次转盘，共有种等可能的结果，其中红色的有种，黑色的有种， 所以指针指向红色的概率为， 指针指向黑色的概率为， 所以他获得元和元奖券的概率分别为，． （3）解：设需要将个黄色区域改为红色， 则由题意得，， 解得：， 所以需要将个黄色区域改为红色． 【点睛】本题考查了概率公式，根据概率进行计算，概率的意义，熟练掌握概率公式是解题的关键． 【典型例题五 根据概率公式计算概率】 【例1】（2025·上海杨浦·模拟预测）在，，，，，六个数中，抽到质数的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了质数的定义，概率公式求概率，根据这六个数中，，是质数共3个，再根据概率公式即可求解． 【详解】解：∵这六个数中，，是质数共3个， ∴抽到质数的概率为, 故选：B． 【例2】（2025·内蒙古鄂尔多斯·模拟预测）中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握列表法或画树状图法是关键． 运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示出来，再根据概率公式计算即可． 【详解】解：运用列表法或画树状图法把所有等可能结果表示如下，其中《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》分别用表示， 共有12种等可能结果，其中恰好是“论语”和“大学”的有2种结果， ∴从中随机抽取2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率是， 故选：C ． 【例3】（2025·湖南长沙·模拟预测）刘老师行驶在一条五车道上，其中有一条左转车道，三条直行车道，一条右转车道，那么她随机选择一条车道，选中直行车道的概率是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了简单概率，根据概率公式计算即可． 【详解】解：她随机选择一条车道，她可能的选择共有5种情况，选中直行车道的有3种情况， ∴选中直行车道的概率是， 故答案为：． 【例4】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在的长方形网格中已有5块被涂成阴影，在未涂的空格中，任选一格涂成阴影，则可使阴影部分成为轴对称图形的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形，简单的概率计算，未涂空格共有个，任选一格涂成阴影，可使阴影部分为轴对称图形的有种，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： 未涂空格共有个，任选一格涂成阴影，可使阴影部分为轴对称图形的有种， ∴任选一格涂成阴影，可使阴影部分为轴对称图形的概率为， 故答案为：． 1．（2024九年级上·浙江嘉兴·专题练习）有一个游戏，先旋转一个转盘的指针，如果指针箭头停在奇数的位置（若指针停在交线位置时无效，需重新转动转盘），玩的人可以从袋子里抽出一个弹珠，当摸到黑色的弹珠就能得到奖品，转盘和弹珠如图所示，小明玩了一次这个游戏，则小明得奖的可能性为（    ） A．不可能 B．可能性很小 C．可能性很大 D．一定可以 【答案】B 【分析】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 根据转盘知只有1个奇数，而且袋子中20个里只有6个弹珠，据此得出这个游戏得到奖品的可能性很小． 【详解】解：先旋转转盘的指针，指针箭头停在奇数的位置就可以获得一次弹珠机会，概率为， 而只有摸到黑色的弹珠才能获得奖品，概率为， 故小明得奖的可能性为， ∴这个游戏得到奖品的可能性很小， 故选：B． 2．（2024·浙江·模拟预测）如下所示，将A，B，C，D四种农作物随机种在甲、乙、丙、丁四块田地里，每块田地只能种一种农作物． 甲 乙 丙 丁 （1）A种农作物种在甲位置的概率是 ； （2）B，C这两种农作物位置相邻的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了简单概率求法，画树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）设将B种农作物种在甲地里，画树状图共有6种等可能的结果，其中B，C两种农作物位置相邻的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：（1）根据题意A种农作物种在甲位置的概率是， 故答案为：； （2）设将B种农作物种在甲地里， 画树状图如下：    共有6种等可能的结果，其中B，C两种农作物位置相邻的结果有4种， ∴B，C两种农作物位置相邻的概率是． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）2025年3月14日(国际圆周率日)发行了名称为《数学之美》的邮票．如图，：“圆周率”、：“勾股定理”、：“欧拉公式”、：“莫比乌斯环带”．(邮票背面完全相同)．将这四张邮票背面朝上，洗匀后放在桌面上． (1)从中随机抽取一张，则抽取的邮票刚好是的概率是________； (2)从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法求抽到的两张邮票恰好是A和B的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． （1）由题意知，共有种等可能的结果，其中抽取的邮票刚好是的结果有种，利用概率公式可得答案． （2）列表可得出所有等可能的结果数以及抽到的两张邮票恰好是和的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中抽取的邮票刚好是A的结果有1种， ∴抽取的邮票刚好是的概率为； 故答案为：． （2）列表如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的两张邮票恰好是和的结果有：，，共2种， ∴抽到的两张邮票恰好是和的概率为． 【典型例题六 已知概率求数量】 【例1】（23-24九年级上·河南南阳·期末）口袋中有红、黄、绿三种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，其中红球有8个，绿球有个，从中任意摸出一个绿球的概率为，则任意摸出一个黄球的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了简单的概率计算．熟练掌握简单的概率计算是解题的关键． 由题意求球的总个数，进而可得黄球的个数，根据简单的概率计算求解即可． 【详解】解：由题意知，球共有（个）， ∴黄球的个数为（个）， ∵， ∴任意摸出一个黄球的概率为， 故选：C． 【例2】（24-25九年级上·山西运城·期中）在一个不透明的口袋中，放置4个黄球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，并且统计了蓝球出现的频率（如图所示），则n的值最可能是（　　）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查的是利用频率估计概率，已知概率求数量；本题先判断摸到蓝球的概率为，分式方程的解法，再利用概率公式计算即可． 【详解】解：由频率分布图可知，当实验的次数逐渐增大时， 因此摸到蓝球的概率为， ∴， 解得， 经检验，是原方程的解， 因此n最可能有6． 故选：C． 【例3】（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，这些幸运星除颜色外都相同．小明从中随机摸出一颗幸运星记下颜色并放回，发现摸到红色幸运星的频率稳定在0.5，则可估计盒中红色幸运星的颗数为 颗． 【答案】35 【分析】本题主要考查了已知频率求相关数量，正确列出方程是解题的关键． 设袋中红色幸运星有颗，根据“摸取到红色幸运星的频率稳定在0.5左右”列出关于的方程，解之可得袋中红色幸运星的个数． 【详解】设袋中红色幸运星有颗， 根据题意，得：， 解得：． 故答案为：35． 【例4】（2024·河北石家庄·模拟预测）已知一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中1个白球，3个红球． （1）从袋子中随机摸出1个小球是红球的概率是 ； （2）若在原袋子中再放入m个白球和m个红球搅拌均匀后，使得随机从袋子中摸出1个小球是白球的概率为，则m的值为 ． 【答案】 / 【分析】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率． （1）根据概率公式，用红球的个数除以总的球的个数，即可得到从袋子中随机摸出1个小球是红球的概率； （2）根据题意和题目中的数据，可以得到，然后计算即可． 【详解】解：（1）由题意可得， 从袋子中随机摸出1个小球是红球的概率是， 故答案为：； （2）由题意可得， ， 解得， 故答案为：3． 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标连接偶数数字2，4，6，…，2n（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，则n的取值为（    ） A．10 B．8 C．12 D．4 【答案】C 【分析】用大于8的数字的个数（n-4）除以总个数=对应概率列出关于n的方程，解之可得． 【详解】∵“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是， ∴， 解得：n=12， 故选：C． 【点睛】本题主要考查几何概率，解题的关键是根据题意得出大于8的数字的个数及概率公式． 2．（2025·北京海淀·模拟预测）一个袋中装有偶数个球，其中红球个数恰好是黑球的2倍，甲、乙、丙是三个空盒．小邱每次从袋中任意取出两个球，先将一个球放入甲盒，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒：如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是 ； （2）若乙盒中最终有5个红球，3个黑球，则袋中原来最少有 个球． 【答案】 红色 24 【分析】（1）根据放球规则，可知若取出的球都没有放入丙盒，则放入了乙盒，由此得出先放入甲盒的球的颜色是红色； （2）由题意可知取两个球共有四种情况：①红红，②黑黑，③红黑，④黑红．那么，每次乙盒中得一个红球，甲盒最少得到1个红球，以及红球数黑球数的2倍，且球的个数为偶数，即可求解． 【详解】（1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒， 放入了乙盒， 先放入甲盒的球的颜色是红色． 故答案为：红色； （2）由题意，可知取两个球共有四种情况： ①红红，则乙盒中红球数加1， ②黑黑，则丙盒中黑球数加1， ③红黑（红球放入甲盒），则乙盒中黑球数加1， ④黑红（黑球放入甲盒），则丙盒中红球数加1． 那么，每次乙盒中得一个红球，甲盒最少得到1个红球， 乙盒中最终有5个红球时，甲盒最少有5个红球， 乙盒中得到1个黑球，甲盒中最少得到1个红球 乙盒中最终有3个黑球时，甲盒最少有3个红球， 甲盒中至少有8个红球，乙盒中有5个红球和3个黑球， 至少有13个红球和3个黑球， 红球数是黑球数的2倍，且球的个数为偶数， 此时明显不满足条件， 红球至少16个，黑球至少有8个， 袋中原来最少有个球． 故答案为：24． 【点睛】本题考查了推理与论证，训练了学生的逻辑思维能力，有一定难度．根据题意得出取两个球共有四种情况，进而分析得到结论是解题的关键． 3．（24-25九年级上·陕西·期中）乒乓球馆有20盒白色乒乓球，但在整理过程中，发现其中混入了若干黄色乒乓球．经过统计后，发现每盒白色乒乓球中最多混入了2个黄色乒乓球，具体数据见下表： 黄色乒乓球数 0 1 2 盒数 8 m n (1)事件“从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，盒中没有黄色乒乓球”是__________事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； (2)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，求所抽取的盒中有黄色乒乓球的概率； (3)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，若所抽取的盒中有1个黄色乒乓球的概率为，求m和n的值． 【答案】(1)随机 (2) (3)， 【分析】本题主要考查了随机事件的定义、概率公式的应用，熟练掌握随机事件的概念和概率公式（，其中是总情况数，是事件发生的情况数 ）是解题的关键． （1）根据必然事件、不可能事件、随机事件的定义，判断“从20盒中任意取1盒，盒中没有黄色乒乓球”这一事件的类型，看其是否确定会发生或不发生． （2）先求出有黄色乒乓球的盒数，再根据概率公式“概率 所求情况数总情况数”计算抽取到有黄色乒乓球的概率． （3）利用“盒中有1个黄色乒乓球的概率为”，结合概率公式列出关于的方程，求出后，再根据总盒数为20，算出的值 ． 【详解】（1）解：因为20盒白色乒乓球中，有的盒有黄色乒乓球，有的盒没有，所以“从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，盒中没有黄色乒乓球”这件事可能发生，也可能不发生，根据随机事件的定义，该事件是随机事件． 故答案为：随机． （2）解：“盒中有黄色乒乓球”的盒数为（盒）， 所以所抽取的盒中有黄色乒乓球的概率为． （3）解：因为“盒中有1个黄色乒乓球”的概率为，所以， 即，所以． 【典型例题七 几何概率】 【例1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·单元测试）如图，自由转动转盘，转盘上的指针（转盘被分成五等份），停在红色区域中的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率，用红色区域所占的面积除以转盘的总面积即可． 【详解】解：自由转动转盘，转盘上的指针（转盘被分成五等份），停在红色区域中的概率是， 故选：C． 【例2】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）在如图所示的图形中随机地撒一把豆子，计算落在，，三个区域中的豆子数的比．多次重复这个试验，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在中”记作事件，估计的概率（W）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率及频率估计概率，根据落在三个区域的豆子数比等于各部分面积比，用各个区域面积比估计概率计算即可． 【详解】解：落在，，三个区域中的豆子数的比等于，，的面积比． “豆子落在中”记作事件，估计的概率（W）的值， 故选：A． 【例3】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则停留在阴影区域上的概率是 ． 【答案】 【分析】此题考查几何概率．根据几何概率的求法：飞镖停留在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：∵总面积为， 其中阴影部分面积为， ∴飞镖停留在阴影部分的概率是， 故答案为：． 【例4】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时（指针指向两个扇形的交线时无效，需重新转动转盘），指针落在灰色区域的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了几何概率，根据题意可得灰色部分占整个转盘面积的一半，再根据指针落在灰色区域的概率即为灰色部分的面积在整个转盘中的占比进行求解即可． 【详解】解：∵四个扇形的面积相同， ∴灰色部分占整个转盘面积的一半， ∴指针落在灰色区域的概率是， 故答案为：． 1．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，一只蚂蚁在地板上自由爬行，并随机停在某块方砖上，那么蚂蚁最终停留在三角形区域上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设方砖的边长为1，分别求出三角形的面积和整个图形的面积，再求出三角形的面积在整个图形中所占的比值，再根据其比值即可得出结论． 【详解】解：设设方砖的边长为1， 则整个图形的面积为：， 三角形的面积为： 三角形的面积占整个图形面积的， 即蚂蚁最终停留在三角形区域上的概率是， 故选：C． 【点睛】本题考查的是几何概率，用到的知识点为：几何概率相应的面积与总面积之比． 2．（2024·湖北襄阳·模拟预测）小李广花荣是《永浒传》中的108将之一，有着高超的箭术．如图，一枚圆形古钱币的中间是正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1.将一枝箭射到古钱币的圆形区域内，箭穿过正方形孔的概率为 结果用含的式子表示）    【答案】 【分析】本题考查了几何概率，计算正方形与圆的面积比即可，解题的关键在于正确的计算． 【详解】解：设圆的直径为R，则正方形的对角线长为， 圆的面积为，正方形的面积为， 箭穿过正方形孔的概率为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图是计算机中的一种益智小游戏“扫雷”的画面，在一个的小方格的正方形雷区中，随机埋藏着颗地雷，每个小方格内最多只能埋藏颗地雷．小红在游戏开始时首先随机地点击一个方格，该方格中出现了数字“”，其意义表示该格的外围区域（图中阴影部分，记为A区域）有颗地雷：接着，小红又点击了左上角第一个方格，出现了数字“”，其外围区域（图中阴影部分）记为区域：“A区域与区域以及出现数字和两格”以外的部分记为区域．小红在下一步点击时要尽可能地避开地雷，那么她应点击A、、中的哪个区域？请说明理由． 解：______，______，______， ______ ______ ______， 小红点击______区域． 【答案】见解析 【分析】根据几何概率，求出地雷数埋有地雷的区域的面积之比，即为遇到地雷的概率，然后比较概率的大小． 【详解】解：，，， ， 小红点击区域， 故答案为：；；；A；B；C；C． 【点睛】本题考查了几何概率，解决本题的关键是掌握概率所求情况数与总情况数之比． 【典型例题八 列举法求概率】 【例1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·单元测试）随机掷一枚质地均匀的硬币两次，落地后至多有一次反面朝上的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了列举法求概率，解题的关键是找到所有的情况．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 用列举法确定所有等可能的情况，根据落地后至多有一次正面朝下的次数，利用概率公式计算解答． 【详解】随机掷一枚质地均匀的硬币两次，共“正、反”，“反、正”，“正、正”，“反、反”，4种情况，落地后至多有一次正面朝下包括“正、反”，“反、正”，“正、正”，3种情况， 故至多有一次反面朝上的概率为． 故选：A． 【例2】（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）元旦期间，某超市举办购物抽奖活动：有两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成如图所示的几个扇形，消费者同时转动两个转盘，如果A转盘转出了红色，B转盘转出了蓝色，就配成了紫色，可得到幸运奖一份．下列说法中正确的是（    ） A．消费者得到幸运奖的概率为 B．两个转盘转出蓝色的概率一样大 C．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性就变小了 D．先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，配成紫色的概率不同 【答案】A 【分析】先列举出六种等可能情况：红蓝，红黄，红绿，蓝蓝，蓝黄，蓝绿，然后按概率公式计算即可． 【详解】∵共有红蓝，红黄，红绿，蓝蓝，蓝黄，蓝绿，六种等可能情况， ∴A. 消费者得到幸运奖，即A转盘转出了红色，B转盘转出了蓝色，概率为，故A正确； B. A转盘转出了蓝色的概率为， B转盘转出了蓝色的概率为，故B错误； C. A转盘转出了蓝色后， B转盘转出蓝色的概率还是为，故C错误； D.先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，配成紫色的概率相同，故D错误； 故选:A． 【点睛】本题考查古典概率的计算方法，不重不漏的列举出等可能的情况是解题的关键． 【例3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）小明的卷子夹里放了大小相同、质地相同的试卷共5页，其中语文3页、数学2页，他随机地从卷子夹中抽出2页，抽出的两张试卷都是数学试卷的概率为 ． 【答案】/0.1 【分析】用表示3页语文试卷，表示2页数学试卷，利用列举法，求出概率即可． 【详解】解：用表示3页语文试卷，表示2页数学试卷，则：小明随机地从卷子夹中抽出2页，共有：，10种等可能的结果，其中抽出的两张试卷都是数学试卷的结果有1种， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查列举法求概率．熟练掌握列举法，是解题的关键． 【例4】（2025·浙江·模拟预测）如图，小明行李箱密码锁的密码是由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数，一次就能打开行李箱的概率为 ． 【答案】 【分析】列举出所有可能出现的结果，再根据概率公式，即可求解． 【详解】解：由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数有：369、396、639、693、936、963，一共6中情况； ∴一次就能打开行李箱的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了根据概率公式求概率，解题的关键是掌握概率等于所求情况数与总情况数之比． 1．（23-24九年级上·四川绵阳·期中）如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列举法求事件的概率，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由题意可得出所有等可能的结果数以及能让灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将这些开关随机闭合至少两个，所有等可能的结果有： 闭合两个的情况有：，，，，，，，，，，，， 闭合三个的情况有：，，，，，，，，，，，， 闭合四个的情况有：，，，， 故这些开关随机闭合至少两个共11种， 其中能让灯泡发光的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共9种， 将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为． 故选：D． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1、2、3、4，若连续自由转动转盘二次，指针指向的数字分别记作a、b，把a、b作为点A的横、纵坐标;求点A（a，b）的个数为： ；点A（a，b）在函数的图象上的概率为： ． 【答案】 16 【分析】（1）根据题意采用列表法，即可求得所有点的个数； （2）求得所有符合条件的情况，求其比值即可求得答案． 【详解】解：（1）列表得： 点的个数是16； （2）当时，在函数的图象上， 点在函数的图象上的有4种，分别是：， 点在函数的图象上的概率是； 故答案是：16，． 【点睛】本题考查了用列表法或树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 3．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）某中学对学生最喜欢的课外活动进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项．根据得到的数据，绘制的不完整统计图如下，请根据图中信息完成下列问题： (1)这次调查的样本容量是______，请补全折线统计图； (2)求的值及体育部分所对应的圆心角度数； (3)若该学校有3500人，则喜欢科技课外活动的大约有______：若该学校组建的科技社团要选拔4名同学去参加区科技活动竞赛，经过筛选确定2名男同学和2名女同学去参赛，在竞赛的决赛阶段需要分两个小组展示他们设计的科技成果，求恰好两个女生分到一个组的概率． 【答案】(1)400，图见解析 (2)的值是5，体育部分所对应的圆心角度数为90° (3)350人， 【分析】（1）根据样本容量，样本个数样本容量样本个数所占比，样本个数所占比即可解 答； （2）根据样本个数所占比和扇形统计图圆心角公式为圆心角度数百分比即可解答； （3）根据样本个数样本容量样本个数所占比和列举法求概率即可解答． 【详解】（1）喜欢艺术的学生人数为100人，占25%， （人）， 这次调查的样本容量是400； 调查的样本容量是400， 喜欢科技的学生人数占，喜欢体育的学生人数占， ， 喜欢播音的学生人数为，喜欢其他的学生人数为（人）； 故答案为：400；图见解析 （2）由（1）可得为5； 体育部分所对应的圆心角度数为， 故的值是5，体育部分所对应的圆心角度数为90°； （3）若该学校有3500人，喜欢科技课外活动的大约有（人）； 2名男同学和2名女同学去参赛，分两个小组展示可以有6种可能，分别是男A男B，女A女B，男A女A，男B女B，男A女B，男B女A， 恰好两个女生分到一个组的概率为； 故答案为：350人， 【点睛】本题主要考查了统计的知识，熟练掌握扇形统计图等统计的知识是解题的关键． 【典型例题九 列表法或树状图法求概率】 【例1】（2025·安徽滁州·模拟预测）“渡江战役”是解放战争时期中国人民解放军实施战略追击的第一个战役，也是向浙江嘉兴进军作战的伟大起点．渡江战役纪念馆打算从甲、乙、丙、丁四人中随机抽取两名志愿者进行红色研学讲解，则所抽取的两人恰好是甲和乙的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了画树状图求概率，先画树状图，得到一共有种等可能得结果，所抽取的两人恰好是甲和乙有种结果，然后用概率公式即可求解，掌握列表法或树状图法求概率是解题的关键． 【详解】解：画树状图如图， 一共有种等可能结果，所抽取的两人恰好是甲和乙有种结果， ∴所抽取的两人恰好是甲和乙的概率是， 故选：． 【例2】（2025·浙江·模拟预测）如图，这是4张背面相同的卡片，卡片正面印有不同的生活现象图案，现将所有卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了树状图法或列表法求解概率，先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到这两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设分别用A、B、C、D表示蔗糖溶于水，葡萄酿酒，木条燃烧，海水晒盐，画树状图如下： 由图可得所有等可能的结果共有12种，其中这两张卡片正面图案呈现的现象恰好都属于物理变化的结果有2种，即， ∴从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的概率为， 故选：D． 【例3】（2025九年级上·浙江金华·专题练习）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在1，2，4，5，6，7中的质数中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，利用列表法或树状图法列出所有等可能的结果是解题的关键．根据题意画出树状图，列出所有等可能的结果及所求的结果，然后利用概率公式计算概率即可． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有6种等可能的结果，和是偶数的结果共有2种， 和是偶数的概率为， 故答案为：． 【例4】（2025·山西大同·模拟预测）阿尔法狗可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策．工程师用人类围棋对弈分别训练了三只阿尔法狗，简记为甲、乙、丙．测试阶段让某围棋手与甲、乙、丙中的两只阿尔法狗各比赛一局，则该围棋手会与甲比赛的概率为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列表法求概率，根据题意列表求得种等可能结果，进而根据概率公式，进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意列表如下， 甲 乙 丙 甲 乙甲 丙甲 乙 甲乙 丙乙 丙 甲丙 乙丙 共有种等可能结果，其中含有甲的有种情况， ∴该围棋手会与甲比赛的概率为 故答案为：． 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）小明同学购买两张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择两个，则“小明购买的车票座位刚好都靠近过道”的概率是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用列表法或画树状图求事件的概率．根据列表的情况可知，小明购买车票的位置共有种等可能的情况出现，其中两张票都靠近过道的情况只有种，从而可得“小明购买的车票座位刚好都靠近过道”的概率是． 【详解】解：列表如下， A B C D F A B C D F 从表中可以看出共有种等可能的情况出现， 其中两张票都靠近过道的情况只有种， “小明购买的车票座位刚好都靠近过道”的概率是． 故选：C 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，正六边形ABCDEF顶点处各有一个圈，小雅设计了一个跳圈游戏，规则是投掷两枚六个面点数分别为1，2，3，4，5，6的骰子，向上的一面上的点数是几，游戏者就沿正六边形的边顺时针方向连续跳几个边长．如若从圈起跳，一个掷得3，另一个掷得4，就先顺时针连续跳3个边长落到圈，再从开始顺时针连续跳4个边长落到圈．设游戏者从圈起跳，则一次游戏后能够回到的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查列表法求概率，列表得到36种等可能的结果，再找出两数的和为6的倍数的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】列表如下， 和 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 所有等可能的结果共有36种，当两次掷得的数字和为6的倍数， 即6，12时，才可落回A圈，共6种， ∴． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片： A．潍坊风筝 B．东明粮画 C．青神竹编   D．延安剪纸 (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． (2)为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查求概率，树状图法求概率，正确的画出树状图，熟练掌握概率公式，是解题的关键： （1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，利用概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是； 故答案为： （2）画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的结果有2种， （两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率）． 【典型例题十 求某事件的频率】 【例1】（2025·浙江金华·模拟预测）中国抗击疫情最宝贵的经验就是“早发现，早报告，早隔离，早治疗”．在这12个字中“早”字出现的频率是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据频率＝频数/总数，进行计算即可． 【详解】解：在这12个字中“早”字出现的频率是：＝， 故选：D． 【点睛】此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频率的计算方法． 【例2】（24-25九年级上·河北保定·期中）在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【答案】B 【分析】先根据图得到黄球出现的频率稳定在0.6附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n． 【详解】解：由图可知，经过大量实验发现，黄球出现的频率稳定在0.6附近， ∴ 解得 n=3 故选：B． 【点睛】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式． 【例3】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为 ． 【答案】0.2/ 【分析】首先计算出第4组的频数，然后再计算出第4组的频率即可． 【详解】解：第4组的频数为：40-6-12-14=8， 频率为：=0.2， 故答案为：0.2． 【点睛】此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频率=频数÷总数． 【例4】（24-25九年级上·北京西城·期末）袋中有若干个形状大小相同的黑色围棋子，小明为了估计袋中黑色棋子的数量，向袋中放入60枚与黑色棋子形状大小相同的白色围棋子，摇匀后，随机从袋中摸出一枚棋子，记录颜色后放回，摇匀后重复操作……进行了100次这样的操作后，记录显示其中有30次摸出了白色围棋子，那么他摸出白色围棋子的频率是 ，估计袋中黑色围棋子的数量为 枚． 【答案】 140 【分析】根据频率的定义和计算公式，即可求出摸出白色围棋子的频率，再根据频率与概率的关系，得出摸出白色围棋子的概率，即可求解． 【详解】解：摸出白色围棋子的频率． ∵经过大量重复实验，摸出白色围棋子的频率摸出白色围棋子的概率， ∴袋中围棋子总量（枚）， ∴黑色围棋子的数量（枚）． 故答案为：，140． 【点睛】本题主要考查了频率的计算，以及用频率估计概率，解题的关键是掌握：经过大量重复实验，事件发生的频率在一个常数附近摆动，这个常数接近事件发生的概率． 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一个结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验可能是（     ） 实验次数 100 200 300 500 800 1200 频率 0.430 0.360 0.320 0.328 0.330 0.329 A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面的概率 B．从一个装有3个红球和2个白球的不透明袋子里任取1球，取出红球的概率 C．掷一枚均匀的正方体骰子，出现的点数是3的倍数的概率 D．从正方形、正五边形、正六边形中任意取一个图形，是轴对称图形的概率 【答案】C 【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.32～0.33之间，再分别计算出四个选项中的概率，然后进行判断 【详解】解： A.掷一枚硬币，出现正面向上的概率为； B.一个装有3个红球和2个白球的不透明袋子里任取1球，取出红球的概率为；C.掷一枚均匀的正方体骰子，出现的点数是3的倍数的概率为； D.从正方形、正五边形、正六边形中任意取一个图形，是轴对称图形的概率为1，根据统计图得到实验的概率在0.33附近．只有C符合这个概率范围， 故选C． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 2．（24-25七年级·浙江嘉兴·假期作业）有两个正方体的积木，如图所示： 下面是淘气掷200次积木的情况统计表： 灰色的面朝上 白色的面朝上 32次 168次 根据表中的数据推测，淘气更有可能掷的是 号积木，请简要说明你的判断理由 ． 【答案】 ② 淘气掷200次积木的实验频率接近于②号积木相应的概率． 【分析】计算出①号积木、②号积木朝上的面为白色、为灰色的概率，再求出淘气掷200次积木的实验频率，进行判断即可． 【详解】①号积木由于三面灰色，三面白色，因此随机掷1次，朝上的面是白色、灰色的可能性都是， ②号积木由于一面灰色，五面白色，因此随机掷1次，朝上的面是灰色的可能性都是，是白色的可能性为， 由表格中的数据可得，淘气掷200次积木得到朝上的面为灰色的频率为，白色的频率为， 故他选择的是②号积木， 理由：淘气掷200次积木的实验频率接近于②号积木相应的概率． 【点睛】本题主要考查频率与概率的关系，解题的关键是正确理解实验频率与概率的关系． 3．（24-25七年级·浙江嘉兴·课后作业）某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000 落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 298 b 604 落在“可乐”区域的频率” 0.6 0.61 0.6 a 0.59 0.604    (1)______，______； (2)请估计当n很大时，频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率是______；（结果精确到0.1） (3)转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角是多少度？ 【答案】(1)0.6，472； (2)0.6；0.6； (3)144°． 【分析】（1）根据频率的定义计算m=298时的频率和频率为0.59时的频数； （2）从表中频率的变化，可得到估计当很大时，频率将会接近，然后根据利用频率估计概率得“可乐”的概率约是； （3）可根据获得“洗衣粉”的概率为−，然后根据扇形统计图的意义，用乘以即可得到表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角． 【详解】（1）解：÷≈；； 故答案为：，； （2）解：估计当很大时，频率将会接近，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率约是； 故答案为：；； （3）解：， 所以表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角约是． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【典型例题十一 由频率估计概率】 【例1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）甲、乙两名同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（    ） A．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中随机取一球，取到红球的概率 B．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的概率 C．抛一枚硬币，出现正面朝上的概率 D．从1—10十张纸牌中随机抽取一张，是2的倍数的概率 【答案】A 【分析】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解：A、从一个装有2个白球和1个红球的袋子中随机取一球，取到红球的概率是，故此选项符合题意； B、掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的概率是，故此选项不符合题意； C、抛一枚硬币，出现正面朝上的概率是，故此选项不符合题意； D、从1﹣10十张纸牌中随机抽取一张，是2的倍数的概率是，故此选项不符合题意． 故选：A． 【例2】（2025·浙江衢州·模拟预测）五一期间某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“洗洁精”区域的次数 88 100 136 345 546 701 落在“洗洁精”区域的频率 假如你去转动该转盘一次，你估计获得洗洁精的概率约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性原理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．理解用频率估计概率是解题的关键，根据利用频率估计概率即可求解． 【详解】解：由表格可知：获得洗洁精的概率约是； 故选：B． 【例3】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有10个白球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在，那么可以推算出的值大约为 ． 【答案】200 【分析】本题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解． 【详解】解：由题意可得，， 解得，， 故估计n大约是 200 ， 故答案为：200 ． 【例4】（24-25九年级上·山西运城·期中）瓷砖生产受烧制时间、温度、材质等的影响，瓷砖厂常用合格品的频率来估计合格品的概率．某瓷砖厂随机抽取瓷砖检查并统计如下表．则估计该厂生产的瓷砖合格品的概率是 （保留两位小数）． 抽取瓷砖数 100 200 300 400 500 600 800 1000 2000 合格品数 97 190 287 385 481 577 770 961 1924 合格品的频率（保留三位小数）                                              【答案】 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此求解即可． 【详解】解：由此表格估计，从该厂生产的瓷砖合格品的概率约为， 故答案为：． 1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）某实验小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽取一张牌的花色是方块 C．布袋中有个红球和个黄球，它们只是颜色上有区别，从中任取一球是黄球 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是 【答案】D 【详解】此题考查了利用频率估计概率，根据统计图可知，试验结果在附近波动，即其概率，计算四个选项的概率，约为者即为正确答案，正确理解利用频率估计概率是解题的关键． 解：、在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头“的概率为，故选项不符合题意； 、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是；故选项不符合题意． 、暗箱中有个红球和个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是红球的概率为，故选项不符合题意； 、掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是的概率为，故选项符合题意； 故选：． 2．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）爱好收藏的张同学将收集到的500张关于山西十大景点的卡片（它们分别是五台山、平遥古城、云冈石窟、晋祠、洪洞大槐树、壶口瀑布、雁门关、悬空寺、绵山、皇城相府）放到一个不透明的盒子里反复抽取多次（抽取后放回并摇匀），发现抽到“云冈石窟”卡片的频率稳定在左右，则估计收集到的“云冈石窟”卡片张数是 ． 【答案】75 【分析】本题主要考查了用频率估计概率、概率的应用等知识点，根据频率稳定在左右估计概率为是解题的关键． 先抽到“云冈石窟”卡片的为，再用500乘以概率即可解答． 【详解】解：∵发现抽到“云冈石窟”卡片的频率稳定在0.15左右， ∴抽到“云冈石窟”卡片的概率为， ∴估计收集到的“云冈石窟”卡片张数是 故答案为：75． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）某射击队的甲、乙两名运动员在同一条件下进行射击，结果如下表： 射击总次数n 10 100 200 500 1000 击中靶心次数m 甲 9 94 168 424 851 乙 8 b 176 454 898 击中靶心频率 甲 0.9 0.94 0.84 0.848 0.851 乙 a 0.91 0.88 0.908 0.898 (1)表中 ， ； (2)在此条件下，可以估计甲运动员击中靶心的概率为 ，乙运动员击中靶心的概率为 （精确到0.01）； (3)若从甲、乙两名运动员中选择一名成绩较优秀的运动员参加射击比赛，你认为选哪一位运2动员更合适？请说明理由． 【答案】(1)0.8，91 (2)0.85，0.90 (3)乙运动员更合适，见解析 【分析】本题考查了利用频率估计概率，正确地理解题意是解题的关键． （1）根据题意列式计算即可； （2）估计表中的频率估计概率即可； （3）根据俩个人击中靶心概率大小即可得到结论． 【详解】（1）解：，， 故答案为：0.8，91； （2）解：甲运动员击中靶心的概率为0.85；乙运动员击中靶心的概率为0.90， 故答案为：0.85，0.90； （3）解：乙运动员更合适， 理由：， ∴乙运动员更合适． 【典型例题十二 用频率估计概率的综合应用】 【例1】（24-25九年级上·广东·单元测试）在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在左右，则袋中白球约有（   ） A．5个 B．10个 C．15个 D．25个 【答案】B 【分析】此题考查了用频率估计概率，以及概率公式，根据题意可得摸到红球的频率稳定在0.6左右，可得袋中球的总数，即可求解．利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率是解题的关键． 【详解】解：经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在左右， 摸到红球的频率稳定在左右， 袋中装有若干个白球和15个红球， 袋中球的总数为：， 袋中白球约有：（个）． 故选：B． 【例2】（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如下表格．则该结果发生的概率约为（    ） 实验次数 100 500 1000 2000 4000 频率 0.37 0.32 0.345 0.339 0.333 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据表格数据，得出某一结果发生的概率大约为，在结合选项判断，哪个选项最接近，进而即可得出答案． 【详解】解：由表格数据，可知某一结果发生的概率约为， ∵，，，， ∴与最接近的是， ∴该结果发生的概率约为． 故选：B 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值是事件的概率． 【例3】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从对二维码开展数学实验活动.如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为 . 【答案】 【分析】先求出点落在区域内白色部分的频率稳定在左右，再用这个结果乘以正方形的面积即得答案. 【详解】解：根据题意：点落在区域内白色部分的频率稳定在左右， ∴可以估计这个区域内白色部分的总面积约为； 故答案为：. 【点睛】本题考查了频率估计概率的实际应用，正确理解题意、掌握求解的方法是解题关键. 【例4】（24-25九年级上·浙江嘉兴·单元测试）为保证口罩供应，某公司加紧转产，开设多条生产线争分夺秒赶制口罩，口罩送检合格率也不断提升，真正体现了“大国速度”，以下是质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据，统计如下： 抽检数量n/个 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 合格数量m/个 19 46 93 185 459 922 1840 4595 9213 口罩合格率 0.950 0.920 0.930 0.925 0.918 0.922 0.920 0.919 0.921 下列说法中： ①当抽检口罩的数量是100个时，口罩合格的数量是93个，所以这批口罩中“口罩合格”的概率是0.930； ②随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在0.920附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩“口罩合格”的概率是0.920； ③当抽检口罩的数量达到20000个时，“口罩合格”的频率一定是0.921；你认为合理的是 （填序号） 【答案】② 【分析】观察表格，利用大量重复试验中频率的稳定值估计概率即可． 【详解】解：观察表格发现：随着试验的次数的增多，口罩合格率的频率逐渐稳定在0.920附近，所以可以估计这批口罩中合格的概率是0.920， 故答案为：②． 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率及概率的意义等知识，解题的关键是了解大量重复试验中频率的稳定值估计概率，难度不大． 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（    ） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面的概率 C．任意写一个整数，它能被3整除的概率 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 【答案】C 【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案． 【详解】解：A、掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为，故此选项错误； B、掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为，故此选项错误； C、任意写一个整数，它能被3整除的概率为，故此选项正确； D、从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率为；故此选项错误． 故选：C． 【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比．同时此题在解答中要用到概率公式． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）某公司对一批某一品牌的衬衣的质量抽检结果如下表： 抽查件数 50 100 200 300 400 500 次品件数 0 4 16 19 24 30 则从这批衬衣中任抽1件是次品的概率约为 ． 【答案】0.06 【分析】先计算抽查总体数河次品件数，再由概率公式计算即可. 【详解】解：抽查总数m=50+100+200+300+400+500=1550，次品件数n=0+4+16+19+24+30=93， 则P(抽到次品)=. 【点睛】本题考查了运用概率公式求解概率. 3．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中． 柑橘总质量n/kg … 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量m/kg … 30.93 35.32 40.36 45.02 51.05 柑橘损坏的频率（精确到0.001） … 0.103 0.101 0.101 0.100 0.102 (1)柑橘损坏的概率约为______（精确到0.1）； (2)当抽取柑橘的总质量n＝2000kg时，损坏柑橘质量m最有可能是______． A．99.32kg    B．203.45kg    C．486.76kg    D．894.82kg (3)若水果公司新进柑橘的总质量为10000kg，成本价是1.8元/kg，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 【答案】(1)0.1 (2)B (3)2.6元 【分析】（1）根据随着总质量的增加，频率的稳定值可得答案； （2）总质量乘以柑橘损坏的概率即可得出答案； （3）设每千克定价为x元，根据“销售额-总成本=利润”列方程求解即可． 【详解】（1）根据表格信息，柑橘损坏的概率约为0.1， 故答案为：0.1； （2）当抽取柑橘总质量n=2000kg时，损坏柑橘质量m约为2000×0.1=200（kg）， 故选：B． （3）根据柑橘损坏的概率约为0.1，可得能够出售的柑橘为： （kg） 则定价为：（元） 答：每千克大约定价2.6元比较合适． 【点睛】本题考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率等于所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决问题的关键． 【典型例题十三 概率的实际综合应用】 【例1】（2024·河北沧州·模拟预测）某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（    ） 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A．日期 B．星期 C．时间 D．天气 【答案】C 【分析】本题考查概率的应用，计算出所有情况的概率直接比较判断即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ，，，， ∵， ∴大可能看到的内容是时间， 故选：C． 【例2】（2024·河北沧州·模拟预测）（2025·北京门头沟·模拟预测）下面是某小区随机抽取的100户家庭的月用电量情况统计表： 月户用电量x（千瓦时/户．月） 户数（户） 5 22 27 31 15 从中任意抽出一个家庭进行用电情况调查，则抽到的家庭月用电量为第二档（用电量大于240小于等于400为第二档）的概率为 ． 【答案】0.8． 【分析】根据用电量大于240小于等于400为第二档，即可得出结论． 【详解】由表格可知这100户中， 有户为第二档人， ∴， 故答案为：0.8． 【点睛】本题考查了概率问题，正确读懂表格是解题的关键． 【例3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，一个可自由转动的转盘被平均分成12等份，分别标有1~12这12个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．（若指针恰好指在分割线上，则重转） (1)转动一次转盘，分别求出转出的数字是偶数和奇数的概率； (2)小浩和小宇一起玩游戏，若转出的数字是2的倍数，小浩获胜；若转出的数字是3的倍数，小宇获胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由． 【答案】(1)转出的数字是偶数的概率为，转出的数字是奇数的概率为 (2)这个游戏对双方不公平，见解析 【分析】此题考查了概率的有关求解，熟练掌握概率的求解公式是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）根据概率公式计算出两个人获胜的概率，然后比较即可． 【详解】（1）解：这12个数字中，偶数有2，4，6，8，10，12共6个， 奇数有1，3，5，7，9，11共6个， 所以转出的数字是偶数的概率为， 转出的数字是奇数的概率为； （2）不公平. 理由：这12个数字中，是2的倍数的有2，4，6，8，10，12共6个， 是3的倍数的有3，6，9，12共4个， 所以小浩获胜的概率是，小宇获胜的概率是， 因为，所以这个游戏对双方不公平． 【例4】（24-25九年级上·浙江嘉兴·单元测试）有一个摆地摊的不法摊主，他拿出3个白球，3个黑球，放在一个袋子里（不透明），让人摸球中奖．只要交2元钱就可以从袋中摸出3个球，若摸到的3个球都是白球，就可得10元的回报，请你计算一下摸一次球的平均收益，并估算若1000有名学生每人摸一次，摊主将从同学的身上骗走多少钱？ 【答案】1500元 【分析】根据概率公式求出一次摸到3个白球的概率，则得到每摸一次的平均收益，继而可求若1000有名学生每人摸一次，摊主将从同学的身上骗走多少钱． 【详解】解：∵一次摸到3个白球的概率为， 每摸一次平均收益为：， ∴元， ∴每摸一次球平均获利1.5元，1000名学生每人摸一次，摊主将从同学们身上骗走1500元． 【点睛】此题考查了概率公式的应用，注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率． 【答案】 【分析】根据题意画出树状图，共有8种等可能的路径，其中落入③号槽内的有3种路径，再由概率公式求解即可. 【详解】画树状图得： 所以圆球下落过程中共有8种路径，其中落入③号槽内的有3种，所以圆球落入③号槽内的概率为 . 【点睛】树状图法求概率的关键在于列举出所有可能的结果，当一个事件涉及三个或更多元素时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法． 2．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数 48 95 471 946 1426 1898 优等品的频率 0.960 0.950 0.940 0.942 0.946 0.951 (1)请求出，的值； (2)从这批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是（精确到0.01）； (3)若这批乒乓球共有4500个，请估计其中是优等品的个数． 【答案】(1)， (2)0.95 (3)4275个 【分析】（1）根据优等品的频率计算即可； （2）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．根据表中优等品的频率判定即可； （3）用4500乘以优等品的概率即可得解． 【详解】（1）解：，； （2）从这批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是0.95； （3）（个）， ∴优等品的个数是4275个． 【点睛】本题主要考查了利用频率估计概率，理解利用频率估计概率的相关知识，并准确计算是解题的关键． 3．（24-25九年级上·贵州黔东南·期末）如图，两个转盘A、B都被分成3个全等的扇形，每个扇形内均标有不同的自然数，固定指针，同时转动转盘A、B，两个转盘停止后观察两个指针所指的数字（若指针指在扇形的分界线上时，视为指向分界线左边的扇形）． (1)用列表法（或树状图）表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果． (2)小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数和频率如下表： 转动转盘总次数 10 20 30 50 100 150 180 240 330 450 “和为7”出现的频数 2 7 10 16 34 50 59 80 110 150 “和为7”出现的频率 0.2 0.35 0.33 0.32 0.34 0.33 0.33 0.33 0.33 0.33 请你根据上表数据，估计“和为7”的概率是多少？ (3)根据（1）（2），若，试求出x和y的值． 【答案】(1)见解析； (2)0.33； (3)x=1，y=6 【分析】（1）由于是两步操作，适合用列表法或树状图法，用列表法表示即可； （2）用“和为7”的频率估计概率； （3）根据“和为7”的概率估算出表中和为7的数字的个数，再推出x、y的值． 【详解】（1）解：列表为： （2）解：由于出现“和为7”的频率稳定在0.33附近， 故出现“和为7”的概率为0.33． （3）解：“和为7”的概率为0.33，表中共九种情况， “和为7”的情况有9×0.33≈3种， 由于2、5；3、4；之和为7， 所以x、5；x、4；x、y；2、y；3、y中有一组“和为7”即可． 又由于0＜x＜y，所以 ①x+5=7，x=2，y=3，6，7，8，9 ②x+4=7，x=3，y=6，7，8，9 ③x+y=7，x=1，y=6； ④2+y=7，y=5，x=4，1； ⑤3+y=7，y=4，x=1． 由于在每一个扇形内均标有不同的自然数，故只有③成立， 故x=1，y=6． 【点睛】本题考查了列表法、利用频率估计概率等知识，掌握列表法、频率与概率的关系及用频率估计出事件的个数是解题的关键． 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在一只不透明的袋子中装有3个红球、2个白球和1个黄球，这些球除颜色外都相同．从袋子中任意摸出1个球，摸到的球是白色，这个事件是（   ） A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定事件 【答案】A 【分析】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：从袋子中任意摸出1个球，摸到的球是白色，这个事件是随机事件， 故选：A 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示的个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用列表法求事件的概率．根据列表的情况可知，李佳购买车票的位置共有种等可能的情况出现，其中两张票都靠近窗户的情况只有种，从而可得“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是． 【详解】解：列表如下， 从表中可以看出共有种等可能的情况出现， 其中两张票都靠近窗户的情况只有种， “李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是． 故选：C ． 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·课后作业）下列条形中的能代圆形图所表示的数据（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由图知，阴影部分与空白部分面积相等，在给出的四个选项中，只有C中有阴影的两个矩形面积之和等于空白矩形面积. 故选C. 4．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，是小明自制的正方形飞镖盘，若他每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中白色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了几何概率：某事件的概率=该事件所占有的面积与总面积之比． 把大正方形分成四个小正方形，每个正方形的两条对角线把正方形分成4个全等的等腰直角三角形，然后用白色区域的面积除以大正方形的面积得到扎中白色区域的概率． 【详解】解：小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中白色区域的概率是 故选：B． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如下表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 下列说法正确的是（   ） A．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 B．若抛掷图钉10次，结果“钉尖不着地”7次，则“钉尖不着地”的概率为0.7 C．若抛掷图钉100次，则一定有61次“钉尖不着地” D．若抛掷图钉10000次，则“钉尖不着地”的次数大约有6100次 【答案】D 【分析】本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率．大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，顶尖着地的频率逐渐稳定到附近，所以可估计“钉尖不着地”的概率为， A. 根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”不具有等可能性，原说法不符合题意； B. 若抛掷图钉10次，结果“钉尖不着地”7次，不能说“钉尖不着地”的概率为0.7，原说法不符合题意； C. 若抛掷图钉100次，不一定有61次“钉尖不着地”，错误，原说法不符合题意； D. 若抛掷图钉10000次，则“钉尖不着地”的次数大约有6100次，正确，符合题意； 故选：D． 6．（24-25九年级上·浙江嘉兴·单元测试）任意取三个连续自然数，其中有一个是3的倍数的可能性 有一个是4的倍数的可能性．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】此题考查了可能性的大小，根据题意判断出是3的倍数的可能性和是4的倍数的可能性，进而求解即可． 【详解】∵三个连续自然数中至少有一个是3的倍数，有可能都不是4的倍数，比如：1，2，3 ∴任意取三个连续自然数，其中有一个是3的倍数的可能性为1，是4的倍数的可能性为0到1 ∴有一个是3的倍数的可能性有一个是4的倍数的可能性． 故答案为：． 7．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了画树状图或列表法求概率；根据题意画出树状图，求出所有可能的结果数及事件发生的可能结果数，利用概率公式即可求解． 【详解】解：画出树状图如下： 由图知，所有可能的结果数为4，其中回到回到格子A的可能结果数为2， 则回到格子A的概率为； 故答案为：． 8．（24-25九年级上·浙江嘉兴·课后作业）小静和哥哥两人都很想去观看某场体育比赛，可门票只有一张．哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为2、3、5、9的四张牌给小静，将数字为4、6、7、8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小静和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小静去；如果和为奇数，则哥哥去．哥哥设计的游戏规则 （填“公平”或“不公平”）． 【答案】不公平 【分析】依据题意先用列表格法或画树状图法分析所有可能出现的结果，然后根据概率公式求出和为偶数的概率，再比较即可解答． 【详解】解：法1，列表 法2，画树状图 从上表可以看出共有16种可能的值，而其中偶数有6种，奇数有10种，所以P（小静去看比赛）=，P（哥哥去看比赛）=；所以不公平． 故答案为：不公平． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．使游戏公平关键是使游戏双方获胜的概率相等．概率=所求情况数与总情况数之比． 9．（2025·浙江衢州·模拟预测）如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为 ． 【答案】 【分析】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求．根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为，即可求得不规则图案的面积． 【详解】解：由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在，于是把作为概率． 设不规则图案的面积为，则有， 解得：， 即不规则图案的面积为． 故答案为：． 10．（2025·浙江绍兴·模拟预测）早在宋代，我国就出现了类似转盘抽奖之类的销售方式，称为“关扑买卖”，又称“扑买”或“扑卖”．图1为宋代人在集市上“转盘抽奖”的情形．某商店制作了如图2所示的转盘，该转盘被平均分成3个扇形区域，分别涂有白、红、黄三种颜色，指针固定．在该商店消费一定数额后即有一次转动转盘抽奖的机会，当转盘停止转动时，指针指向红色区域（若指针指在分界线上，则重转）即可得到一个小礼品．若小刚有两次转动转盘抽奖的机会，则他能得到小礼品的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查画树状图或列表求某事件发生的概率，得到所有的等可能性是解答的关键．先画树状图得到所有等可能性的结果数，再找到得到奖品的结果数，进而利用概率公式求解即可． 【详解】解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中转到红色区域的有5种， ∴能得到小礼品的概率是， 故答案为：． 11．（24-25九年级上·山东淄博·期中）把必然事件、不可能事件、确定事件、不确定事件填入下列图框中：    【答案】见解析 【分析】按照事件的分类进行解题即可． 【详解】解：    【点睛】本题考查事件的分类，掌握事件的分类是解题的关键． 12．（24-25九年级上·广东清远·期末）一个不透明的盒子中装有只有颜色不同的20张卡片，其中有12张白色卡片、5张黑色卡片、3张红色卡片，求以下事件的概率： (1)从盒子中任意抽取1张卡片，该卡片是黑色卡片； (2)从盒子中任意抽取1张卡片，该卡片不是白色卡片． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查概率公式． （1）从盒子中任意抽取1张卡片共有20种等可能结果，该卡片是黑色卡片的有5种结果，再根据概率公式求解即可； （2）从盒子中任意抽取1张卡片共有20种等可能结果，其中该卡片不是白色卡片的有8种结果，再根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：从盒子中任意抽取1张卡片共有20种等可能结果，该卡片是黑色卡片的有5种结果， 所以该卡片是黑色卡片的概率为； （2）解：从盒子中任意抽取1张卡片共有20种等可能结果，其中该卡片不是白色卡片的有8种结果， 所以该卡片不是白色卡片的概率为． 13．（24-25九年级上·浙江嘉兴·课后作业）你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．” (2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．” 【答案】(1)不同意，见解析 (2)不同意，见解析 【分析】本题考查的是频率和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键． （1）根据“频率”和“概率”的定义即可判断； （2）根据“频率”和“概率”的定义即可判断． 【详解】（1）解：不同意，小丽混淆了“频率”和“概率”．做了20次试验，发现硬币落地后共有11次正面朝上，只能确定在这20次试验中，正面朝上的频率是． （2）解：不同意，对于一个随机事件，它发生的概率是由它自身决定的，是独立的，并不受其他事件的干扰，也就是说，第6次抛掷这枚硬币的概率不会受到前5次抛掷结果的影响． 14．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）小明和小军做游戏，他们设计了如图所示的可以自由转动的两个转盘，A盘被分成面积相等的4个扇形，B盘中小的扇形的圆心角是，小明和小军分别转动A转盘和B转盘一次，并记录下转盘停止时指针指向的扇形的数字（若指针指向分割线处，则重新转动转盘），将两个转盘所得的数字相乘，若结果是4的倍数，则小军胜；若结果是6的倍数，则小明胜．这个游戏对双方公平吗？用列表或画树状图的方法说明你的理由． 【答案】公平，理由见解析 【分析】本题考查了游戏的公平性，先根据题意列出表格，再根据表中数据算出两人的概率，再进行比较概率即可求解，熟练掌握列表法求概率是解题的关键． 【详解】解：公平，理由如下： 列表： A盘B盘 1 2 3 4 5 5 10 15 20 5 5 10 15 20 6 6 12 18 24 由表得：共有12种等可能事件，其中小军赢得游戏的结果有4种，小明赢得游戏的结果有4种， 小军赢得游戏的概率为，小明赢得游戏的概率为：， ， 这个游戏对双方公平． 15．（24-25九年级上·山东烟台·期中）（1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）如图2，是由边长分别为和的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是 ． （3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 【答案】（1） （2） （3）乙获胜的概率大，理由见解析 【分析】本题考查几何概率的求法，掌握正方形面积和阴影部分面积的计算方法是解题关键． （1）用阴影部分的面积除以总面积即可； （2）用阴影部分的面积除以总面积即可； （3）分别求出两人获胜的概率即可解答． 【详解】解：（1）根据题意，图中正方形的面积为， 图中阴影部分的面积为：， 则它击中阴影部分的概率：； （2）∵图形的总面积为，阴影部分面积为， ∴点P恰好在阴影部分的概率是：； （3）乙获胜的概率大，理由如下： 由图可知：甲获胜的概率为：，乙获胜的概率为：， ∴， 故乙获胜的概率大． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 简单事件的概率（2大知识点+13大典例+变式训练+过关检测） 典型例题一 事件的分类 典型例题二 游戏的公平性 典型例题三 判断事件发生的可能性的大小 典型例题四 概率的意义理解 典型例题五 根据概率公式计算概率 典型例题六 已知概率求数量 典型例题七 几何概率 典型例题八 列举法求概率 典型例题九 列表法或树状图法求概率 典型例题十 求某事件的频率 典型例题十一 由频率估计概率 典型例题十二 用频率估计概率的综合应用 典型例题十三 概率的实际综合应用 知识点01 用树状图或表格求概率 1.树状图 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： (1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； (2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 2.列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 要点： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 3.用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n和其中出现所求事件A的结果个数m； （3）用公式计算所求事件A的概率.即P（A）=. 【即时训练】 1．（2025·浙江·模拟预测）甲骨文是我国已发现最早的成熟文字，代表了早期中华文明的辉煌成就．正面分别印有甲骨文“美”“丽”“山”“河”的四张卡片如图所示，它们除正面外完全相同．把这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张，则这两张卡片正面恰好是甲骨文“丽”和“山”的概率是（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（2025·浙江·模拟预测）在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示）．现从质量为，，，的四件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为 ． 10 20 30 40 10 30 40 50 20 30 50 60 30 40 50 70 40 50 60 70 知识点02 用频率估计概率 1.频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n次试验，事件A发生的次数m与试验总次数n的比值. 概率：事件A的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 要点： （1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量重复试验的条件下可以近似地作为这个事件的概率； （2）频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； （3）概率是事件在大量重复试验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复试验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 3.利用频率估计概率 当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率. 要点： 用试验去估计随机事件发生的概率应尽可能多地增加试验次数，当试验次数很大时，结果将较为精确. 【即时训练】 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）如图，一张纸片上有一个不规则的图案（图中的小马），小雅想知道该图案的面积是多少，她采取了以下的办法：用一个长为10cm的正方形将该图案围起来，然后在适当位置随机地向正方形区域内掷点：通过大量重复试验，发现点落在图案部分的频率稳定在0.65左右，由此她估计此不规则图案的面积为（   ） A． B． C． D． 【即时训练】 2．（2025·浙江舟山·模拟预测）某市为了解初中生近视情况，在全市进行初中生视力的随机抽查，结果如下表．根据抽测结果，可估计该市初中生近视的概率为 ，（结果精确到0.1） 累计抽测的学生数n 1000 2000 3000 4000 5000 6000 8000 近视学生数与n的比值 0.423 0.410 0.410 0.411 0.413 0.409 0.410 【典型例题一 事件的分类】 【例1】（24-25九年级上·浙江湖州·期中）成语是汉语中的精华，是中华文化的一大瑰宝，具有极强的表现力．下列成语描述的事件属于必然事件的是（   ） A．守株待兔 B．水中捞月 C．旭日东升 D．刻舟求剑 【例2】（24-25九年级上·浙江湖州·期中）下列事件中，是必然事件的为（   ） A．天内下雨 B．打开电视机，正在播放广告 C．人中至少有人的生日相同 D．抛掷硬币，正面向上 【例3】（24-25九年级上·浙江金华·期末）下列事件中， （1）太阳从西边落山； （2）某人的体温是； （3）； （4）某个等腰三角形中任意两个角都不相等： （5）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯． 是必然事件， 是不可能事件， 是随机事件． 【例4】（23-24九年级上·浙江衢州·期末）如图，守株待兔是一个寓言故事演化而来的成语，最早出自《韩非子·五蠹》，“守株待兔”是 （填“确定”或“随机”）事件． 1．（23-24九年级上·浙江丽水·期末）有两个事件，事件：人中至少有人性别相同；事件：抛掷一枚均匀的骰子，朝上的面点数为的倍数．下列说法正确的是（    ） A．事件都是随机事件 B．事件都是必然事件 C．事件是随机事件，事件是必然事件 D．事件是必然事件，事件是随机事件 2．（24-25九年级上·浙江衢州·课后作业）(1)必然事件A的概率为:P(A)= . (2)不可能事件A的概率为:P(A)= . (3)随机事件A的概率为P(A): . (4)随机事件的概率的规律:事件发生的可能性越大,则它的概率越接近于 ;反之,事件发生的可能性越小,则它的概率越接近于 .从1~9这九个自然数中任取一个,是2的倍数的概率是 .方程5x=10的解为负数的概率是 . 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·课后作业）你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)掷一枚质地均匀的骰子，“朝上的点数是偶数”是必然发生的，因为骰子上有偶数点数； (2)小明的幸运数字是“6”，所以他掷骰子掷出“6”的可能性比掷出其他数字的可能性要大． 【典型例题二 游戏的公平性】 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·课后作业）本学期我们做过“抢30“的游戏，如果将游戏规则中“不可以连说三个数，谁先抢到30，谁就获胜”．改为“每次最多可以连说三个数，谁先抢到33，谁就获胜．”那么采取适当策略，其结果是（ ） A．先说数者胜 B．后说数者胜 C．两者都能胜 D．无法判断 【例2】（24-25九年级上·浙江嘉兴·课后作业）小玲与小丽两人各掷一个正方体骰子，规定两人掷的点数和为偶数，则小玲胜；点数和为奇数，则小丽胜，下列说法正确的是（　　） A．此规则有利于小玲 B．此规则有利于小丽 C．此规则对两人是公平的 D．无法判断 【例3】（24-25九年级上·浙江湖州·单元测试）小明、小强做游戏，掷两枚均匀的硬币，若出现朝上的两个面都是正面时，小明赢，否则小强赢，该游戏对 有利． 【例4】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别是2m和3m的同心圆，然后每人蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影部分小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算或掷中两圆的边界线重掷，如果你是裁判，你认为游戏公平吗？ ．（填“公平”或“不公平”）    1．（24-25九年级上·浙江嘉兴·课后作业）如图所示，小明、小刚利用两个转盘进行游戏；规则为小明将两个转盘各转一次，如配成紫色（红与蓝）得5分，否则小刚得3分，此规则对小明和小刚（　　） A．公平 B．对小明有利 C．对小刚有利 D．不可预测 2．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，有8张标记数字1-8的卡片．甲、乙两人玩一个游戏，规则是：甲、乙两人轮流从中取走卡片；每次可以取1张，也可以取2张，还可以取3张卡片（取2张或3张卡片时，卡片上标记的数字必须连续）；最后一个将卡片取完的人获胜． 若甲先取走标记2，3的卡片，乙又取走标记7，8的卡片，接着甲取走两张卡片，则 （填“甲”或“乙”）一定获胜；若甲首次取走标记数字1，2，3的卡片，乙要保证一定获胜，则乙首次取卡片的方案是 ．（只填一种方案即可） 3．（24-25九年级上·浙江丽水·期中）小亮和小芳都想参加学校社团组织的实践活动，但只有一个名额，王老师设计了一个如图可自由转动的转盘，将其等分为10个扇形，每个扇形上面写一个有理数，用如下的办法决定谁去参加活动：随机转动转盘，若转到正数，小亮去参加活动；若转到整数，小芳去参加活动；转到分界线则重新转动转盘． (1)转得绝对值小于6的数概率是多少？ (2)你认为这个游戏公平吗？请说明理由 【典型例题三 判断事件发生的可能性的大小】 【例1】（24-25九年级上·浙江金华·期中）投掷4次硬币，有3次反面朝上，1次正面朝上，那么，投掷第5次硬币正面朝上的可能性是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）袋中有黄、白两种颜色的球共10个，这些球除颜色外完全相同．6位同学想通过摸球来推测袋中两种颜色的球的多少．他们每次摸之前都要把球摇匀，摸出一个球记下颜色后，再将球放回袋中，接着进行下一次，每人各摸10次．6人摸球的结果如下： 淘气 笑笑 奇思 妙想 聪聪 强强 黄球（次） 7 9 4 6 7 8 白球（次） 3 1 6 4 3 2 根据这6位同学的摸球结果，以下分析更合理的是（    ） A．奇思肯定记录错了，摸出黄球次数不可能比白球少 B．虽然有可能推测错误，但还是应该推测袋里黄球多 C．6位同学中有5人都是摸出黄球次数多，所以袋里一定是黄球多 D．因为摸出球的次数有时黄球多，有时白球多，所以无法判断袋里那种颜色的球多 【例3】（23-24九年级上·江苏宿迁·期中）箱子中有5个白球、7个黑球及m个红球．它们仅有颜色不同，若从中随机摸出一球，结果是红球的可能性比黑球的可能性小，同时又比白球的可能性大，则m的值是 ． 【例4】（23-24九年级上·浙江绍兴·期末）如图是一个游戏转盘示意图，盘面分成红、黄、蓝、绿四个区域，让转盘自由转动，当转盘停止转动时，指针落在 色区域的可能性最小． 1．（24-25九年级上·山东泰安·期中）下列问题中是必然事件的有（    ）个 （1）太阳从西边落山；（2）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯；（3）（其中、都是实数）；（4）水往低处流． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）下列说法： ①一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了次，其中，抛掷出点的次数最少，则第次一定抛掷出点． ②可能性很小的事件在一次实验中也有可能发生． ③天气预报说明天下雨的概率是，意思是说明天将有一半时间在下雨． ④抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等． 正确的是 （填序号） 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·单元测试）下列第一排表示各盒中球的情况，第二排的语言描述了摸到篮球的可能性大小，请你用线把第一排盒子与第二排的描述连接起来使之相符． 【典型例题四 概率的意义理解】 【例1】（2025九年级上·浙江嘉兴·专题练习）下列短语所反映的事件中，发生概率最小的是（   ） A．水滴石穿 B．旭日东升 C．守株待兔 D．水中捞月 【例2】（2024·湖北襄阳·模拟预测）下列说法正确的是（   ） A．检测“神舟十六号”载人飞船零件的质量，应采用抽样调查 B．任意画一个三角形，其外角和是是不可能事件 C．某奖券的中奖率为，买张奖券，一定会中奖1次 D．“任意两个等腰三角形是相似三角形”是必然事件 【例3】（23-24九年级上·浙江嘉兴·单元测试）一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都 ，事件包含其中的种结果，那么事件发生的概率 ．特别地，当为必然事件时，；当为不可能事件时，． 【例4】（24-25九年级上·江苏苏州·期末）下列说法:①必然事件的概率为1；②数据1、2、2、3的平均数是2；③数据5, 2、–3、0的极差是8；④如果某种游戏活动的中奖率为40%，那么参加这种活动10次必有4次中奖.其中正确的有 个. 1．（24-25九年级上·四川凉山·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．为了解六名学生的视力情况，采用抽样调查 B．甲、乙两名射击运动员10次射击成绩（单位：环）的平均数分别为、，方差分别为、，若，，，则甲的成绩比乙的稳定． C．任意画一个三角形，其内角和是360°是必然事件． D．一个抽奖活动中，中奖概率为，表示抽奖30次就有1次中奖． 2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·课后作业）小强与小红两人下军棋，小强获胜的概率为46%，小红获胜的概率是30%，那么两人下一盘棋小红不输的概率是 ． 3．（23-24九年级上·陕西榆林·开学考试）暑假期间，某商场为了吸引顾客，对一次购物满元的顾客可获得一次转转盘得奖券的机会.如图是一个可以自由转动的转盘（转盘被等分成个扇形），转动转盘停止后，根据指针指向参照下表获得奖券（指针指向黄色区域不获奖，指向分界线时重转，直到指向某一扇形为止） 颜色 红 蓝 黑 奖券金额（元） 20 50 80 (1)甲顾客购物元，他获得奖券的概率是___________； (2)乙顾客购物元，并参与该活动，他获得元和元奖券的概率分别是多少？ (3)为加大活动力度，现商场想调整获得元奖券的概率为，其余奖券获奖概率不变，则需要将多少个黄色区域改为红色？ 【典型例题五 根据概率公式计算概率】 【例1】（2025·上海杨浦·模拟预测）在，，，，，六个数中，抽到质数的概率为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025·内蒙古鄂尔多斯·模拟预测）中国古代的“四书”是指《论语》、《孟子》、《大学》和《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分．下面是正面印有“四书”字样的书签，书签除正面的字样外，其余完全相同．将这4张书签背面向上，洗匀放好．从中随机抽取2张书签恰好是“论语”和“大学”的概率是（    ） A． B． C． D． 【例3】（2025·湖南长沙·模拟预测）刘老师行驶在一条五车道上，其中有一条左转车道，三条直行车道，一条右转车道，那么她随机选择一条车道，选中直行车道的概率是 ． 【例4】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在的长方形网格中已有5块被涂成阴影，在未涂的空格中，任选一格涂成阴影，则可使阴影部分成为轴对称图形的概率是 ． 1．（2024九年级上·浙江嘉兴·专题练习）有一个游戏，先旋转一个转盘的指针，如果指针箭头停在奇数的位置（若指针停在交线位置时无效，需重新转动转盘），玩的人可以从袋子里抽出一个弹珠，当摸到黑色的弹珠就能得到奖品，转盘和弹珠如图所示，小明玩了一次这个游戏，则小明得奖的可能性为（    ） A．不可能 B．可能性很小 C．可能性很大 D．一定可以 2．（2024·浙江·模拟预测）如下所示，将A，B，C，D四种农作物随机种在甲、乙、丙、丁四块田地里，每块田地只能种一种农作物． 甲 乙 丙 丁 （1）A种农作物种在甲位置的概率是 ； （2）B，C这两种农作物位置相邻的概率是 ． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）2025年3月14日(国际圆周率日)发行了名称为《数学之美》的邮票．如图，：“圆周率”、：“勾股定理”、：“欧拉公式”、：“莫比乌斯环带”．(邮票背面完全相同)．将这四张邮票背面朝上，洗匀后放在桌面上． (1)从中随机抽取一张，则抽取的邮票刚好是的概率是________； (2)从中随机抽取两张，请用画树状图或列表的方法求抽到的两张邮票恰好是A和B的概率． 【典型例题六 已知概率求数量】 【例1】（23-24九年级上·河南南阳·期末）口袋中有红、黄、绿三种颜色的球，这些球除颜色外完全相同，其中红球有8个，绿球有个，从中任意摸出一个绿球的概率为，则任意摸出一个黄球的概率为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·山西运城·期中）在一个不透明的口袋中，放置4个黄球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，并且统计了蓝球出现的频率（如图所示），则n的值最可能是（　　）    A．4 B．5 C．6 D．7 【例3】（23-24九年级上·陕西渭南·阶段练习）一个盒子中装有20颗蓝色幸运星，若干颗红色幸运星和15颗黄色幸运星，这些幸运星除颜色外都相同．小明从中随机摸出一颗幸运星记下颜色并放回，发现摸到红色幸运星的频率稳定在0.5，则可估计盒中红色幸运星的颗数为 颗． 【例4】（2024·河北石家庄·模拟预测）已知一个不透明的袋子中装有4个只有颜色不同的小球，其中1个白球，3个红球． （1）从袋子中随机摸出1个小球是红球的概率是 ； （2）若在原袋子中再放入m个白球和m个红球搅拌均匀后，使得随机从袋子中摸出1个小球是白球的概率为，则m的值为 ． 1．（2025·浙江宁波·模拟预测）小明将如图所示的转盘分成n（n是正整数）个扇形，并使得各个扇形的面积都相等，然后他在这些扇形区域内分别标连接偶数数字2，4，6，…，2n（每个区域内标注1个数字，且各区域内标注的数字互不相同），转动转盘1次，当转盘停止转动时，若事件“指针所落区域标注的数字大于8”的概率是，则n的取值为（    ） A．10 B．8 C．12 D．4 2．（2025·北京海淀·模拟预测）一个袋中装有偶数个球，其中红球个数恰好是黑球的2倍，甲、乙、丙是三个空盒．小邱每次从袋中任意取出两个球，先将一个球放入甲盒，如果先放入甲盒的球是红球，则另一个球放入乙盒：如果先放入甲盒的球是黑球，则另一个球放入丙盒，重复上述过程，直到袋中所有的球都被放入盒中． （1）某次从袋中任意取出两个球，若取出的球都没有放入丙盒，则先放入甲盒的球的颜色是 ； （2）若乙盒中最终有5个红球，3个黑球，则袋中原来最少有 个球． 3．（24-25九年级上·陕西·期中）乒乓球馆有20盒白色乒乓球，但在整理过程中，发现其中混入了若干黄色乒乓球．经过统计后，发现每盒白色乒乓球中最多混入了2个黄色乒乓球，具体数据见下表： 黄色乒乓球数 0 1 2 盒数 8 m n (1)事件“从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，盒中没有黄色乒乓球”是__________事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； (2)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，求所抽取的盒中有黄色乒乓球的概率； (3)从20盒白色乒乓球中任意抽取1盒，若所抽取的盒中有1个黄色乒乓球的概率为，求m和n的值． 【典型例题七 几何概率】 【例1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·单元测试）如图，自由转动转盘，转盘上的指针（转盘被分成五等份），停在红色区域中的概率是（ ） A． B． C． D． 【例2】（2024·内蒙古呼和浩特·模拟预测）在如图所示的图形中随机地撒一把豆子，计算落在，，三个区域中的豆子数的比．多次重复这个试验，把“在图形中随机撒豆子”作为试验，把“豆子落在中”记作事件，估计的概率（W）的值为（    ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·江苏盐城·期中）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向如图所示的游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则停留在阴影区域上的概率是 ． 【例4】（23-24九年级上·陕西渭南·期末）如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时（指针指向两个扇形的交线时无效，需重新转动转盘），指针落在灰色区域的概率是 ． 1．（24-25九年级上·河北邢台·期末）如图，一只蚂蚁在地板上自由爬行，并随机停在某块方砖上，那么蚂蚁最终停留在三角形区域上的概率是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·湖北襄阳·模拟预测）小李广花荣是《永浒传》中的108将之一，有着高超的箭术．如图，一枚圆形古钱币的中间是正方形孔，已知圆的直径与正方形的对角线之比为3：1.将一枝箭射到古钱币的圆形区域内，箭穿过正方形孔的概率为 结果用含的式子表示）    3．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图是计算机中的一种益智小游戏“扫雷”的画面，在一个的小方格的正方形雷区中，随机埋藏着颗地雷，每个小方格内最多只能埋藏颗地雷．小红在游戏开始时首先随机地点击一个方格，该方格中出现了数字“”，其意义表示该格的外围区域（图中阴影部分，记为A区域）有颗地雷：接着，小红又点击了左上角第一个方格，出现了数字“”，其外围区域（图中阴影部分）记为区域：“A区域与区域以及出现数字和两格”以外的部分记为区域．小红在下一步点击时要尽可能地避开地雷，那么她应点击A、、中的哪个区域？请说明理由． 解：______，______，______， ______ ______ ______， 小红点击______区域． 【典型例题八 列举法求概率】 【例1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·单元测试）随机掷一枚质地均匀的硬币两次，落地后至多有一次反面朝上的概率为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·甘肃陇南·期末）元旦期间，某超市举办购物抽奖活动：有两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成如图所示的几个扇形，消费者同时转动两个转盘，如果A转盘转出了红色，B转盘转出了蓝色，就配成了紫色，可得到幸运奖一份．下列说法中正确的是（    ） A．消费者得到幸运奖的概率为 B．两个转盘转出蓝色的概率一样大 C．如果A转盘转出了蓝色，那么B转盘转出蓝色的可能性就变小了 D．先转动A转盘再转动B转盘和同时转动两个转盘，配成紫色的概率不同 【例3】（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）小明的卷子夹里放了大小相同、质地相同的试卷共5页，其中语文3页、数学2页，他随机地从卷子夹中抽出2页，抽出的两张试卷都是数学试卷的概率为 ． 【例4】（2025·浙江·模拟预测）如图，小明行李箱密码锁的密码是由“3，6，9”这三个数组合而成的三位数（不同数位上的数字不同），现随机输入这三个数，一次就能打开行李箱的概率为 ． 1．（23-24九年级上·四川绵阳·期中）如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，把一个转盘分成四等份，依次标上数字1、2、3、4，若连续自由转动转盘二次，指针指向的数字分别记作a、b，把a、b作为点A的横、纵坐标;求点A（a，b）的个数为： ；点A（a，b）在函数的图象上的概率为： ． 3．（24-25九年级上·河北秦皇岛·阶段练习）某中学对学生最喜欢的课外活动进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项．根据得到的数据，绘制的不完整统计图如下，请根据图中信息完成下列问题： (1)这次调查的样本容量是______，请补全折线统计图； (2)求的值及体育部分所对应的圆心角度数； (3)若该学校有3500人，则喜欢科技课外活动的大约有______：若该学校组建的科技社团要选拔4名同学去参加区科技活动竞赛，经过筛选确定2名男同学和2名女同学去参赛，在竞赛的决赛阶段需要分两个小组展示他们设计的科技成果，求恰好两个女生分到一个组的概率． 【典型例题九 列表法或树状图法求概率】 【例1】（2025·安徽滁州·模拟预测）“渡江战役”是解放战争时期中国人民解放军实施战略追击的第一个战役，也是向浙江嘉兴进军作战的伟大起点．渡江战役纪念馆打算从甲、乙、丙、丁四人中随机抽取两名志愿者进行红色研学讲解，则所抽取的两人恰好是甲和乙的概率是（    ） A． B． C． D． 【例2】（2025·浙江·模拟预测）如图，这是4张背面相同的卡片，卡片正面印有不同的生活现象图案，现将所有卡片背面朝上洗匀，然后从中随机抽取两张，则这两张卡片的正面图案恰好都是物理变化的概率是（   ） A． B． C． D． 【例3】（2025九年级上·浙江金华·专题练习）哥德巴赫提出“每个大于2的偶数都可以表示为两个质数之和”的猜想，我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．在1，2，4，5，6，7中的质数中，随机选取两个不同的数，其和是偶数的概率是 ． 【例4】（2025·山西大同·模拟预测）阿尔法狗可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策．工程师用人类围棋对弈分别训练了三只阿尔法狗，简记为甲、乙、丙．测试阶段让某围棋手与甲、乙、丙中的两只阿尔法狗各比赛一局，则该围棋手会与甲比赛的概率为 ． 1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）小明同学购买两张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择两个，则“小明购买的车票座位刚好都靠近过道”的概率是（      ） A． B． C． D． A B C D F A B C D F 2．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，正六边形ABCDEF顶点处各有一个圈，小雅设计了一个跳圈游戏，规则是投掷两枚六个面点数分别为1，2，3，4，5，6的骰子，向上的一面上的点数是几，游戏者就沿正六边形的边顺时针方向连续跳几个边长．如若从圈起跳，一个掷得3，另一个掷得4，就先顺时针连续跳3个边长落到圈，再从开始顺时针连续跳4个边长落到圈．设游戏者从圈起跳，则一次游戏后能够回到的概率是 ． 3．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）2025春晚宛如一座绚丽的文化宝库，向世人展示了众多精美绝伦、承载着深厚历史底蕴的非物质文化遗产手工艺品，以下是几种手工艺品的图片： A．潍坊风筝 B．东明粮画 C．青神竹编   D．延安剪纸 (1)小乐从这四幅图中随机选择一幅，恰好选中“C．青神竹编”的概率是_____． (2)为宣传非物质文化遗产，小乐先从上面四幅图中任选一幅，小欢再从剩下的三幅图中任选一幅，请用画树状图或列表的方法分析，两人恰好选中“A．潍坊风筝”和“D．延安剪纸”的概率． 【典型例题十 求某事件的频率】 【例1】（2025·浙江金华·模拟预测）中国抗击疫情最宝贵的经验就是“早发现，早报告，早隔离，早治疗”．在这12个字中“早”字出现的频率是（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25九年级上·河北保定·期中）在一个不透明的口袋中，放置6个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同，课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，并且统计了黄球出现的频率，如图，则n的值是（    ） A．2 B．3 C．5 D．8 【例3】（24-25九年级上·江苏连云港·期中）我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为 ． 【例4】（24-25九年级上·北京西城·期末）袋中有若干个形状大小相同的黑色围棋子，小明为了估计袋中黑色棋子的数量，向袋中放入60枚与黑色棋子形状大小相同的白色围棋子，摇匀后，随机从袋中摸出一枚棋子，记录颜色后放回，摇匀后重复操作……进行了100次这样的操作后，记录显示其中有30次摸出了白色围棋子，那么他摸出白色围棋子的频率是 ，估计袋中黑色围棋子的数量为 枚． 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期中）甲、乙两名同学在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一个结果出现的频率，绘制了如下的表格，则符合这一结果的实验可能是（     ） 实验次数 100 200 300 500 800 1200 频率 0.430 0.360 0.320 0.328 0.330 0.329 A．抛一枚质地均匀的硬币，出现正面的概率 B．从一个装有3个红球和2个白球的不透明袋子里任取1球，取出红球的概率 C．掷一枚均匀的正方体骰子，出现的点数是3的倍数的概率 D．从正方形、正五边形、正六边形中任意取一个图形，是轴对称图形的概率 2．（24-25七年级·浙江嘉兴·假期作业）有两个正方体的积木，如图所示： 下面是淘气掷200次积木的情况统计表： 灰色的面朝上 白色的面朝上 32次 168次 根据表中的数据推测，淘气更有可能掷的是 号积木，请简要说明你的判断理由 ． 3．（24-25七年级·浙江嘉兴·课后作业）某商场“五一”期间为进行有奖销售活动，设立了一个可以自由转动的转盘．商场规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品，下表是此次活动中的一组统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 400 500 800 1000 落在“可乐”区域的次数m 60 122 240 298 b 604 落在“可乐”区域的频率” 0.6 0.61 0.6 a 0.59 0.604    (1)______，______； (2)请估计当n很大时，频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你获得“可乐”的概率是______；（结果精确到0.1） (3)转盘中，表示“洗衣粉”区域的扇形的圆心角是多少度？ 【典型例题十一 由频率估计概率】 【例1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期中）甲、乙两名同学在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出的统计图如图所示，符合这一试验结果的可能是（    ） A．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中随机取一球，取到红球的概率 B．掷一枚质地均匀的骰子，出现1点朝上的概率 C．抛一枚硬币，出现正面朝上的概率 D．从1—10十张纸牌中随机抽取一张，是2的倍数的概率 【例2】（2025·浙江衢州·模拟预测）五一期间某商场设立了一个可以自由转动的转盘，并规定：顾客购物100元以上就能获得一次转动转盘的机会，当转盘停止时，指针落在哪一区域就可以获得相应的奖品．下表是活动进行中的一组统计数据： 转动转盘的次数 100 150 200 500 800 1000 落在“洗洁精”区域的次数 88 100 136 345 546 701 落在“洗洁精”区域的频率 假如你去转动该转盘一次，你估计获得洗洁精的概率约是（   ） A． B． C． D． 【例3】（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外其它都没有区别，其中含有10个白球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在，那么可以推算出的值大约为 ． 【例4】（24-25九年级上·山西运城·期中）瓷砖生产受烧制时间、温度、材质等的影响，瓷砖厂常用合格品的频率来估计合格品的概率．某瓷砖厂随机抽取瓷砖检查并统计如下表．则估计该厂生产的瓷砖合格品的概率是 （保留两位小数）． 抽取瓷砖数 100 200 300 400 500 600 800 1000 2000 合格品数 97 190 287 385 481 577 770 961 1924 合格品的频率（保留三位小数）                                              1．（24-25九年级上·河南郑州·期末）某实验小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ） A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小刚随机出的是“石头” B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽取一张牌的花色是方块 C．布袋中有个红球和个黄球，它们只是颜色上有区别，从中任取一球是黄球 D．掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上的点数是 2．（23-24九年级上·山西吕梁·期末）爱好收藏的张同学将收集到的500张关于山西十大景点的卡片（它们分别是五台山、平遥古城、云冈石窟、晋祠、洪洞大槐树、壶口瀑布、雁门关、悬空寺、绵山、皇城相府）放到一个不透明的盒子里反复抽取多次（抽取后放回并摇匀），发现抽到“云冈石窟”卡片的频率稳定在左右，则估计收集到的“云冈石窟”卡片张数是 ． 3．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）某射击队的甲、乙两名运动员在同一条件下进行射击，结果如下表： 射击总次数n 10 100 200 500 1000 击中靶心次数m 甲 9 94 168 424 851 乙 8 b 176 454 898 击中靶心频率 甲 0.9 0.94 0.84 0.848 0.851 乙 a 0.91 0.88 0.908 0.898 (1)表中 ， ； (2)在此条件下，可以估计甲运动员击中靶心的概率为 ，乙运动员击中靶心的概率为 （精确到0.01）； (3)若从甲、乙两名运动员中选择一名成绩较优秀的运动员参加射击比赛，你认为选哪一位运2动员更合适？请说明理由． 【典型例题十二 用频率估计概率的综合应用】 【例1】（24-25九年级上·广东·单元测试）在一个不透明的盒子里装有若干个白球和15个红球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过多次重复试验，发现摸到白球的频率稳定在左右，则袋中白球约有（   ） A．5个 B．10个 C．15个 D．25个 【例2】（24-25九年级上·山西临汾·阶段练习）某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如下表格．则该结果发生的概率约为（    ） 实验次数 100 500 1000 2000 4000 频率 0.37 0.32 0.345 0.339 0.333 A． B． C． D． 【例3】（2025·辽宁鞍山·模拟预测）当今大数据时代，“二维码”广泛应用于我们的日常生活中，某兴趣小组从对二维码开展数学实验活动.如图，在边长为的正方形区域内通过计算机随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在区域内黑色部分的频率稳定在0.7左右，据此可以估计这个区域内白色部分的总面积约为 . 【例4】（24-25九年级上·浙江嘉兴·单元测试）为保证口罩供应，某公司加紧转产，开设多条生产线争分夺秒赶制口罩，口罩送检合格率也不断提升，真正体现了“大国速度”，以下是质监局对一批口罩进行质量抽检的相关数据，统计如下： 抽检数量n/个 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 10000 合格数量m/个 19 46 93 185 459 922 1840 4595 9213 口罩合格率 0.950 0.920 0.930 0.925 0.918 0.922 0.920 0.919 0.921 下列说法中： ①当抽检口罩的数量是100个时，口罩合格的数量是93个，所以这批口罩中“口罩合格”的概率是0.930； ②随着抽检数量的增加，“口罩合格”的频率总在0.920附近摆动，显示出一定的稳定性，所以可以估计这批口罩“口罩合格”的概率是0.920； ③当抽检口罩的数量达到20000个时，“口罩合格”的频率一定是0.921；你认为合理的是 （填序号） 1．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（    ） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面的概率 C．任意写一个整数，它能被3整除的概率 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期中）某公司对一批某一品牌的衬衣的质量抽检结果如下表： 抽查件数 50 100 200 300 400 500 次品件数 0 4 16 19 24 30 则从这批衬衣中任抽1件是次品的概率约为 ． 3．（24-25九年级上·河南平顶山·期末）某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中． 柑橘总质量n/kg … 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量m/kg … 30.93 35.32 40.36 45.02 51.05 柑橘损坏的频率（精确到0.001） … 0.103 0.101 0.101 0.100 0.102 (1)柑橘损坏的概率约为______（精确到0.1）； (2)当抽取柑橘的总质量n＝2000kg时，损坏柑橘质量m最有可能是______． A．99.32kg    B．203.45kg    C．486.76kg    D．894.82kg (3)若水果公司新进柑橘的总质量为10000kg，成本价是1.8元/kg，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 【典型例题十三 概率的实际综合应用】 【例1】（2024·河北沧州·模拟预测）某小区门口的电子显示屏上滚动显示的内容和停留时间如图所示，小明抬头看显示屏时，最大可能看到的内容是（    ） 内容 时间/秒 日期 4 星期 3 时间 6 天气 3 A．日期 B．星期 C．时间 D．天气 【例2】（2024·河北沧州·模拟预测）（2025·北京门头沟·模拟预测）下面是某小区随机抽取的100户家庭的月用电量情况统计表： 月户用电量x（千瓦时/户．月） 户数（户） 5 22 27 31 15 从中任意抽出一个家庭进行用电情况调查，则抽到的家庭月用电量为第二档（用电量大于240小于等于400为第二档）的概率为 ． 【例3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，一个可自由转动的转盘被平均分成12等份，分别标有1~12这12个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．（若指针恰好指在分割线上，则重转） (1)转动一次转盘，分别求出转出的数字是偶数和奇数的概率； (2)小浩和小宇一起玩游戏，若转出的数字是2的倍数，小浩获胜；若转出的数字是3的倍数，小宇获胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由． 【例4】（24-25九年级上·浙江嘉兴·单元测试）有一个摆地摊的不法摊主，他拿出3个白球，3个黑球，放在一个袋子里（不透明），让人摸球中奖．只要交2元钱就可以从袋中摸出3个球，若摸到的3个球都是白球，就可得10元的回报，请你计算一下摸一次球的平均收益，并估算若1000有名学生每人摸一次，摊主将从同学的身上骗走多少钱？ 1．（2025·江苏徐州·模拟预测）如图，是一个竖直放置的钉板，其中，黑色圆面表示钉板上的钉子，分别表示相邻两颗钉子之间的空隙，这些空隙大小均相等，从入口处投放一个直径略小于两颗钉子之间空隙的圆球，圆球下落过程中，总是碰到空隙正下方的钉子，且沿该钉子左右两个相邻空隙继续下落的机会相等，直至圆球落入下面的某个槽内．用画树状图的方法，求圆球落入③号槽内的概率． 2．（24-25九年级上·陕西宝鸡·期中）某批乒乓球的质量检验结果如下： 抽取的乒乓球数 50 100 200 500 1000 1500 2000 优等品的频数 48 95 471 946 1426 1898 优等品的频率 0.960 0.950 0.940 0.942 0.946 0.951 (1)请求出，的值； (2)从这批乒乓球中，任意抽取一只乒乓球是优等品的概率的估计值是（精确到0.01）； (3)若这批乒乓球共有4500个，请估计其中是优等品的个数． 3．（24-25九年级上·贵州黔东南·期末）如图，两个转盘A、B都被分成3个全等的扇形，每个扇形内均标有不同的自然数，固定指针，同时转动转盘A、B，两个转盘停止后观察两个指针所指的数字（若指针指在扇形的分界线上时，视为指向分界线左边的扇形）． (1)用列表法（或树状图）表示两个转盘停止转动后指针所指扇形内的数字的所有可能结果． (2)小明每转动一次就记录数据，并算出两数之和，其中“和为7”的频数和频率如下表： 转动转盘总次数 10 20 30 50 100 150 180 240 330 450 “和为7”出现的频数 2 7 10 16 34 50 59 80 110 150 “和为7”出现的频率 0.2 0.35 0.33 0.32 0.34 0.33 0.33 0.33 0.33 0.33 请你根据上表数据，估计“和为7”的概率是多少？ (3)根据（1）（2），若，试求出x和y的值． 1．（24-25九年级上·江苏无锡·期中）在一只不透明的袋子中装有3个红球、2个白球和1个黄球，这些球除颜色外都相同．从袋子中任意摸出1个球，摸到的球是白色，这个事件是（   ） A．随机事件 B．不可能事件 C．必然事件 D．确定事件 2．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段练习）李伟同学购买两张高铁车票，从如图所示的个座位中随机选择两个，则“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江嘉兴·课后作业）下列条形中的能代圆形图所表示的数据（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·江西九江·期中）如图，是小明自制的正方形飞镖盘，若他每次投掷飞镖都能扎中飞镖盘，则小明随机投掷一枚飞镖，恰好扎中白色区域的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）小明和同学做“抛掷图钉试验”获得的数据如下表： 抛掷次数 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000 钉尖不着地的频数 64 118 189 252 310 360 434 488 549 610 钉尖不着地的频率 0.64 0.59 0.63 0.63 0.62 0.60 0.62 0.61 0.61 0.61 下列说法正确的是（   ） A．根据实验结果，“钉尖不着地”和“钉尖着地”具有等可能性 B．若抛掷图钉10次，结果“钉尖不着地”7次，则“钉尖不着地”的概率为0.7 C．若抛掷图钉100次，则一定有61次“钉尖不着地” D．若抛掷图钉10000次，则“钉尖不着地”的次数大约有6100次 6．（24-25九年级上·浙江嘉兴·单元测试）任意取三个连续自然数，其中有一个是3的倍数的可能性 有一个是4的倍数的可能性．（填“”“”或“”） 7．（2025·浙江绍兴·模拟预测）如图是创新小组设计的一款小程序的界面示意图，程序规则为：每点击一次按钮，“”就从一个格子向左或向右随机移动到相邻的一个格子．当“”位于格子A时，小明连续点击两次按钮，“”回到格子A的概率是 ． 8．（24-25九年级上·浙江嘉兴·课后作业）小静和哥哥两人都很想去观看某场体育比赛，可门票只有一张．哥哥想了一个办法，拿了8张扑克牌，将数字为2、3、5、9的四张牌给小静，将数字为4、6、7、8的四张牌留给自己，并按如下游戏规则进行：小静和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张，然后将抽出的两张扑克牌数字相加，如果和为偶数，则小静去；如果和为奇数，则哥哥去．哥哥设计的游戏规则 （填“公平”或“不公平”）． 9．（2025·浙江衢州·模拟预测）如图1，在边长为的正方形内部有一不规则图案（图中阴影部分），为测算阴影部分面积，小亮利用计算机进行模拟试验，通过计算机在正方形区域随机投放一个点，并记录该点落在阴影上的频率数据，结果如图2所示．小亮由此估计阴影部分面积约为 ． 10．（2025·浙江绍兴·模拟预测）早在宋代，我国就出现了类似转盘抽奖之类的销售方式，称为“关扑买卖”，又称“扑买”或“扑卖”．图1为宋代人在集市上“转盘抽奖”的情形．某商店制作了如图2所示的转盘，该转盘被平均分成3个扇形区域，分别涂有白、红、黄三种颜色，指针固定．在该商店消费一定数额后即有一次转动转盘抽奖的机会，当转盘停止转动时，指针指向红色区域（若指针指在分界线上，则重转）即可得到一个小礼品．若小刚有两次转动转盘抽奖的机会，则他能得到小礼品的概率是 ． 11．（24-25九年级上·山东淄博·期中）把必然事件、不可能事件、确定事件、不确定事件填入下列图框中：    12．（24-25九年级上·广东清远·期末）一个不透明的盒子中装有只有颜色不同的20张卡片，其中有12张白色卡片、5张黑色卡片、3张红色卡片，求以下事件的概率： (1)从盒子中任意抽取1张卡片，该卡片是黑色卡片； (2)从盒子中任意抽取1张卡片，该卡片不是白色卡片． 13．（24-25九年级上·浙江嘉兴·课后作业）你同意以下的说法吗？请说明理由． (1)在做“抛掷一枚质地均匀的硬币”的试验中，小丽做了20次试验，发现硬币落地后共有1次正面朝上，小丽说：“我可以确定硬币落地后正面朝上的概率是．” (2)小亮在连续5次抛掷一枚质地均匀的硬币时发现硬币落地后都是正面朝上，由此他说：“虽然抛掷一枚质地均匀硬币正面朝上的概率是0.5，但是由于前5次都是正面朝上，所以第6次抛掷这枚硬币正面朝上的概率应该小于0.5．” 14．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）小明和小军做游戏，他们设计了如图所示的可以自由转动的两个转盘，A盘被分成面积相等的4个扇形，B盘中小的扇形的圆心角是，小明和小军分别转动A转盘和B转盘一次，并记录下转盘停止时指针指向的扇形的数字（若指针指向分割线处，则重新转动转盘），将两个转盘所得的数字相乘，若结果是4的倍数，则小军胜；若结果是6的倍数，则小明胜．这个游戏对双方公平吗？用列表或画树状图的方法说明你的理由． 15．（24-25九年级上·山东烟台·期中）（1）如图1，一边长为的正方形木质镖靶，四个角的空白部分是以正方形的顶点为圆心，半径为的扇形，某人向此镖靶投镖，假设每次都投中，求他投中阴影部分的概率． （2）如图2，是由边长分别为和的两个正方形组成的图案，若在图案内随机取一点P，则点P恰好在阴影部分的概率是 ． （3）若一个小玻璃球在如图3所示的地砖图案内自由滚动，甲、乙两人打赌，甲说，小玻璃球一定会停在黑色区域上，乙说，小玻璃球一定会停在白色区域上，你认为谁获胜的概率较大？通过计算说明． 学科网（北京）股份有限公司 $$