第01讲 二次函数 （知识清单+4大题型+好题必刷） 【暑假预习】-2025年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第01讲 二次函数 （知识清单+4大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 列二次函数关系式 题型二 二次函数的识别 题型三 根据二次函数的定义求参数 题型四 待定系数法求二次函数解析式 知识清单 知识点1．二次函数的定义 1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 要点诠释： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 题型方法 【题型一】列二次函数关系式 【例1】（22-23九年级上·安徽淮北·阶段练习）二次函数的一次项系数是（        ） A．1 B．2 C． D．5 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽阜阳·期中）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放2000辆单车，计划三个月共投放单车辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，那么与的函数表达式为 ． 3．（2024九年级下·安徽·专题练习）矩形中，，，点为射线上的动点与点不重合）将矩形沿某一直线对折，使点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)如图1，若，求的长； (2)当在边上时，设，，求与之间的函数关系式，并直接写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 【题型二】二次函数的识别 【例2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）下列函数中，是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）下列y与x之间的函数表达式是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）二次函数的二次项系数是 ． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 【题型三】根据二次函数的定义求参数 【例3】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知是二次函数，则（   ） A．0 B．1 C． D．1或 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）若关于的函数是二次函数，则应满足（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）若函数是二次函数，则的值为 ． 3．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数（为常数），求当为何值时，是的二次函数？ 【题型四】待定系数法求二次函数解析式 【例4】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知抛物线经过点和，则这条抛物线的函数表达式是 ． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且，，求抛物线的解析式及顶点D的坐标． 好题必刷 一、单选题 1．下列函数中，是的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 2．一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（    ） A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5 3．已知是关于的二次函数，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 4．下在平面直角坐标系中，将二次函数的图像平移后经过点和点，则所得抛物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 5．下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（    ） A．正方体集装箱的体积，棱长xm B．小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤 D．高为14m的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径xm 6．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），若抛物线y＝（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为（　　） A． B．2 C． D． 7．已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．如图，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM=x，则y关于x的函数关系式是 （ ） A． B． C． D． 9．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（　　） A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D．圆的周长与圆的半径之间的关系 10．已知函数的图象如图所示，那么函数解析式为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11．当 时，函数是二次函数． 12．已知二次函数的图象开口向下，且经过原点.请写出一个符合条件的二次函数的解析式 ． 13．已知抛物线过和两点，与轴交于点，且，则抛物线的解析式 ． 14．如图，正方形的边长是，是上一点，是延长线上的一点，．四边形是矩形，矩形的面积与的长的函数关系是 ． 三、解答题 15．已知抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，求抛物线的解析式． 16．若函数是二次函数． (1)求k的值． (2)当时，求y的值． 17． 已知抛物线的顶点坐标为，且抛物线经过点，求该抛物线的解析式． 18．已知抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，若点在抛物线上，求该抛物线的解析式． 19．王大爷生产经销一种农副产品，其成本价为20元每千克．市场调查发现,该产品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系:．若这种产品每天的销售利润为(元).求与之间的函数关系式． 20．若两个不同的关于的方程与有一个共同的实数根，求的值及这两个方程的公共实数根． 21．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点(1，2)，(2，1)两点 （1）求二次函数的解析式； （2）若﹣4＜x≤0，求y的取值范围 22．已知二次函数，当时，． （1）当时，求y的值； （2）写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并求当x为何值时，函数y随x的增大而增大． 23．某商场销售一批名牌衬衫，每天可销售件，每件赢利元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经市场调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场每天可多售出件． 如果每件衬衫降价元，商场每天赢利多少元？ 如果商场每天要赢利元，且尽可能让顾客得到实惠，每件衬衫应降价多少元？ 用配方法说明，每件衬衫降价多少元时，商场每天赢利最多，最多是多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次函数 （知识清单+4大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 列二次函数关系式 题型二 二次函数的识别 题型三 根据二次函数的定义求参数 题型四 待定系数法求二次函数解析式 知识清单 知识点1．二次函数的定义 1.二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 判断函数是否是二次函数，首先是要看它的右边是否为整式，若是整式且仍能化简的要先将其化简，然后再根据二次函数的定义作出判断，要抓住二次项系数不为0这个关键条件． 2.二次函数的取值范围：一般情况下，二次函数中自变量的取值范围是全体实数，对实际问题，自变量的取值范围还需使实际问题有意义． 要点诠释： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 知识点2．根据实际问题列二次函数关系式 根据实际问题确定二次函数关系式关键是读懂题意，建立二次函数的数学模型来解决问题．需要注意的是实例中的函数图象要根据自变量的取值范围来确定． ①描点猜想问题需要动手操作，这类问题需要真正的去描点，观察图象后再判断是二次函数还是其他函数，再利用待定系数法求解相关的问题． ②函数与几何知识的综合问题，有些是以函数知识为背景考查几何相关知识，关键是掌握数与形的转化；有些题目是以几何知识为背景，从几何图形中建立函数关系，关键是运用几何知识建立量与量的等式． 题型方法 【题型一】列二次函数关系式 【例1】（22-23九年级上·安徽淮北·阶段练习）二次函数的一次项系数是（        ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【知识点】列二次函数关系式 【分析】根据二次函数的定义“一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项”作答即可． 【详解】解：二次函数的一次项系数是． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数，一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段练习）据省统计局公布的数据，合肥市2023年第一季度总值约为2.6千亿元人民币，若我市第三季度总值为y千亿元人民币，平均每个季度GDP增长的百分率为x，则y关于x的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】列二次函数关系式 【分析】第二季度总值为，第三季度为，得解； 【详解】解：第三季度总值为； 故选：C 【点睛】本题考查增长率问题，理解固定增长率下增长一期、二期后的代数式表达是解题的关键． 2．（22-23九年级上·安徽阜阳·期中）共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放2000辆单车，计划三个月共投放单车辆，设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，那么与的函数表达式为 ． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式 【分析】根据第一个月投放2000辆单车，第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为，得到第二个月投放单车的数量为，第三个月投放单车的数量为，根据计划三个月共投放单车辆，得出函数关系式即可． 【详解】解：由题意，得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查求函数解析式，解题的关键是读懂题意，找准等量关系，正确的列出函数关系式． 3．（2024九年级下·安徽·专题练习）矩形中，，，点为射线上的动点与点不重合）将矩形沿某一直线对折，使点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)如图1，若，求的长； (2)当在边上时，设，，求与之间的函数关系式，并直接写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】(1)1 (2)； (3)的长为或2或． 【知识点】等腰三角形的性质和判定、列二次函数关系式、矩形与折叠问题、勾股定理与折叠问题 【分析】（1）证明，即可求解； （2），，由勾股定理即可求解； （3）分、、三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：设交于点， 则， ，， ， ， ，， 则； （2）解：由题意得：则，， ，， ，， ， 则， 化简得：； （3）解：①当时， 过点作，则， 则， 连接，则， 在中，， 即：②， 联立①②并解得：， 故； ②当时， 则， 点与点重合， 即：； ③当时， 则， 即：是的角平分线， 故：， 则，而， 则； 故的长为或2或． 【点睛】本题为四边形综合应用题，涉及到矩形与折叠问题、勾股定理运用、二次函数基本知识等，其中（3），关键是按条件分类，正确画图、确立线段间的关系，进而求解，本题综合性强，难度较大． 【题型二】二次函数的识别 【例2】（24-25九年级上·安徽合肥·期末）下列函数中，是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如的是二次函数．根据二次函数的定义，逐个判断即可． 【详解】解：A、是是二次函数，符合题意； B、不是二次函数，不符合题意； C、是一次函数，不符合题意； D、不是二次函数，不符合题意； 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）下列y与x之间的函数表达式是二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义形如的函数叫做二次函数，熟记二次函数的定义是解题的关键．据此即可求解． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、，未知数的最高次数是3，不符合题意； C、，符合题意； D、，等号右边不是整式，不符合题意， 故选：C． 2．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）二次函数的二次项系数是 ． 【答案】 【知识点】二次函数的识别 【分析】先进行多项式的乘法运算，再合并同类项化成一般式即可． 【详解】解：， ， ∴二次项系数是， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次函数的一般形式，解题的关键是掌握化成一般形式，确定二次项系数，一次项系数和常数项． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知二次函数． (1)将该函数表达式化为二次函数的一般形式； (2)写出该二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】(1) (2)二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的一般形式和二次项、一次项系数及常数项的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键．把方程化为二次函数的一般形式，根据定义即可得到答案． 【详解】（1）解： 该二次函数的一般形式是； （2）解：由（1）可得，该函数的二次项系数是，一次项系数是，常数项是4． 【题型三】根据二次函数的定义求参数 【例3】（24-25九年级上·安徽亳州·期末）已知是二次函数，则（   ） A．0 B．1 C． D．1或 【答案】B 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义可得且，从而可得答案． 【详解】解：∵是二次函数， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）若关于的函数是二次函数，则应满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义“一般地，形如（是常数，且）的函数叫做二次函数”，熟记定义是解题关键．根据二次函数的定义求解即可得． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽池州·阶段练习）若函数是二次函数，则的值为 ． 【答案】2 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了二次函数的定义， 根据二次函数的定义解答即可．一般地，形如是二次函数． 【详解】∵是二次函数， ∴，且， 解得． 故答案为：2． 3．（24-25九年级上·安徽六安·阶段练习）已知函数（为常数），求当为何值时，是的二次函数？ 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，熟记概念是解题的关键．根据二次函数的定义，最高指数是2且二次项系数不能等于0列式求解． 【详解】解：因为是的二次函数， 所以且， 由得， 解得， 又，即， 所以． 【题型四】待定系数法求二次函数解析式 【例4】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）若二次函数的图象经过原点，则的值为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】B 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，注意二次函数二次项系数不为． 把代入求解，注意的取值范围． 【详解】解：把代入得， 解得或， ， ， 故选：B． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽滁州·阶段练习）如图，已知抛物线经过点，且顶点在直线上，则的值为（   ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查待定系数法求解析式，把和代入计算即可． 【详解】∵抛物线经过点，且顶点在直线上， ∴，解得， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知抛物线经过点和，则这条抛物线的函数表达式是 ． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求抛物线的解析式，将点和代入抛物线的解析式，再解方程组即可． 【详解】解：将点和代入，得：， 解得：， 故抛物线的函数表达式是． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，且，，求抛物线的解析式及顶点D的坐标． 【答案】， 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】根据题意，得，，，设抛物线的解析式为,则把代入解答即可． 本题考查了待定系数法求解析式，求顶点坐标，熟练掌握运算是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴，， 设抛物线的解析式为,则把代入得： ， 解得：, ∴-8, ∴． 好题必刷 一、单选题 1．下列函数中，是的二次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论． 【详解】A. 是一次函数，不合题意； B． 是二次函数，合题意； C． 不是二次函数，不合题意； D． 不是函数，不合题意； 故选：B. 【点睛】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键． 2．一个二次函数，当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，则这个二次函数的关系式是（    ） A．y＝4x2+3x﹣5 B．y＝2x2+x+5 C．y＝2x2﹣x+5 D．y＝2x2+x﹣5 【答案】A 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0），然后由当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5，得到a，b，c的三元一次方程组，解方程组确定a，b，c的值即可． 【详解】解：设二次函数的关系式是y＝ax2+bx+c（a≠0）， ∵当x＝0时，y＝﹣5；当x＝﹣1时，y＝﹣4；当x＝﹣2时，y＝5， ∴c＝﹣5①， a﹣b+c＝﹣4②， 4a﹣2b+c＝5③， 解由①②③组成的方程组得，a＝4，b＝3，c＝﹣5， 所以二次函数的关系式为：y＝4x2+3x﹣5． 故选：A． 【点睛】本题考查了用待定系数法确定二次函数的解析式．设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c（a≠0），通过解方程组确定a，b，c的值． 3．已知是关于的二次函数，则的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的未知数最高次数是2，最高次项系数不为零列式计算即可； 【详解】∵是关于的二次函数， ∴， 解得：； 故选B． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确分析计算是解题的关键． 4．下在平面直角坐标系中，将二次函数的图像平移后经过点和点，则所得抛物线对应的函数表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】设二次函数的图像平移后得到的解析式为：，代入和点，利用待定系数法即可求解． 【详解】解：二次函数的图像平移后得到的解析式为：， ∵经过点和点 ∴ 解得 ∴二次函数的图像平移后得到的解析式为： 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 5．下列实际问题中的y与x之间的函数表达式是二次函数的是（    ） A．正方体集装箱的体积，棱长xm B．小莉驾车以的速度从南京出发到上海，行驶xh，距上海ykm C．妈妈买烤鸭花费86元，烤鸭的重量y斤，单价为x元/斤 D．高为14m的圆柱形储油罐的体积，底面圆半径xm 【答案】D 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据题意，列出关系式，即可判断是否是二次函数． 【详解】A.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意； B.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意； C.由题得：，不是二次函数，故此选项不符合题意； D.由题得：，是二次函数，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的定义，形如的形式为二次函数，掌握二次函数的定义是解题的关键． 6．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，2），若抛物线y＝（x﹣h）2+k（h、k为常数）与线段AB交于C、D两点，且CD＝AB，则k的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】根据题意，可以得到点的坐标和的值，然后将点的坐标代入抛物线的解析式，即可得到的值，本题得以解决． 【详解】解：点的坐标为，点的坐标为， ， 抛物线、为常数）与线段交于、两点，且， 设点的坐标为，则点的坐标为，， 抛物线， 解得，． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 7．已知函数：①y＝2x﹣1；②y＝﹣2x2﹣1；③y＝3x3﹣2x2；④y=2（x+3）2-2x2；⑤y＝ax2+bx+c，其中二次函数的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【知识点】二次函数的识别 【分析】根据二次函数的定义判断即可； 【详解】y＝2x﹣1是一次函数； y＝﹣2x2﹣1是二次函数； y＝3x3﹣2x2不是二次函数； ④y=2（x+3）2-2x2，不是二次函数； y＝ax2+bx+c，没告诉a不为0，故不是二次函数； 故二次函数有1个； 故答案选A． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，准确判断是解题的关键． 8．如图，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM=x，则y关于x的函数关系式是 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用勾股定理解三角形、图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】连接O1M，OO1，可得到直角三角形OO1M，在直角三角形中，利用勾股定理即可解得． 【详解】连接O1M，OO1，如图所示： 可得到直角三角形OO1M， 依题意可知⊙O的半径为2， 则OO1=2-y，OM=2-x，O1M=y． 在Rt△OO1M中，由勾股定理得（2-y）2-（2-x）2=y2， 解得y=-x2+x． 故选A． 【点睛】解题关键是作连心线、连接圆心和切点得到直角三角形是常用的辅助线作法. 9．下列函数关系中，可以看作二次函数（）模型的是（　　） A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系 B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力） D．圆的周长与圆的半径之间的关系 【答案】C 【知识点】列二次函数关系式 【详解】A、v=，是反比例函数，错误；B、y=m（1+1%）x，不是二次函数，错误；C、S=-x2+cx，是二次函数，正确；D、C=2πr，是正比例函数，错误， 故选C． 【点睛】本题考查了二次函数的定义，根据语句列出函数关系式，并能根据二次函数的定义进行判断是解题的关键. 10．已知函数的图象如图所示，那么函数解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】观察图象可得抛物线经过点（-1，0）、（3，0）、（0，3），利用待定系数法求二次函数解析式即可. 【详解】由图知：抛物线经过点（-1，0），（3，0），（0，3）； 设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-3），则有： a（0+1）（0-3）=3， 解得a=-1； 即：y=-（x+1）（x-3）=-x2+2x+3. 故选A． 【点睛】本题主要考查的是用待定系数法确定二次函数解析式的方法，应根据已知点坐标的特点灵活的选用合适的方法求抛物线的解析式． 二、填空题 11．当 时，函数是二次函数． 【答案】1 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了二次函数的定义．根据“形如，其中a，b，c为常数的函数，称为y关于x的二次函数”，即可求解． 【详解】解：由题意得：，解得：， 所以当时，函数是二次函数， 故答案为：1． 12．已知二次函数的图象开口向下，且经过原点.请写出一个符合条件的二次函数的解析式 ． 【答案】y＝－x2＋3x 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】根据二次函数的图象开口向下知道a＜0，又二次函数的图象过原点，可以得到c=0，所以解析式满足a＜0，c=0即可． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下， ∴a＜0， ∵二次函数的图象过原点， ∴c=0． 故解析式满足a＜0，c=0即可， 如y＝－x2＋3x． 故答案为如y＝－x2＋3x等． 【点睛】本题是开放性试题，考查函数图形及性质的综合运用，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义，但此题若想答对需要满足所有条件，如果学生没有注意某一个条件就容易错．本题的结论是不唯一的，其解答思路渗透了数形结合的数学思想． 13．已知抛物线过和两点，与轴交于点，且，则抛物线的解析式 ． 【答案】或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】首先由抛物线经过点B（3，0），与y轴交于点C，且BC=3，求出C点的坐标，然后设其解析式为交点式用待定系数法求得二次函数的解析式． 【详解】∵抛物线与y轴交于点C,B(3,0),且BC=3， C(0,3),或C(0,−3). 抛物线过A(−1,0)和B(3,0)两点 设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x−3). 当C(0,3)时， 3=a×(0+1)(0−3)， a=−1. 故抛物线的解析式为y=−(x+1)(x−3)； 当C(0,−3)时， −3=a×(0+1)(0−3)， a=1. 故抛物线的解析式为y=(x+1)(x−3) 所以抛物线的解析式为y=−(x+1)(x−3)或y=(x+1)(x−3). 【点睛】本题考查的知识点是待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是熟练的掌握待定系数法求二次函数解析式. 14．如图，正方形的边长是，是上一点，是延长线上的一点，．四边形是矩形，矩形的面积与的长的函数关系是 ． 【答案】/ 【知识点】用关系式表示变量间的关系、列二次函数关系式 【分析】由已知图形可以分析得到矩形的长为cm，宽为cm，由面积公式即可计算得到正确答案． 【详解】解：∵正方形的边长是，且 ∴矩形的长的长为cm，宽的长为cm ∴矩形的面积为： 故答案为： 【点睛】本题考查变量之间的关系，由矩形面积推导二次函数关系式等知识点．数形结合列式计算是解此类题的关键． 三、解答题 15．已知抛物线与轴交于点和点两点，与轴交于点，求抛物线的解析式． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】待定系数法求解析式即可． 【详解】解：由题意得， ， ∴， ∴ 【点睛】本题考查已知两点坐标求抛物线解析式．熟练掌握待定系数法求解析式，正确的计算，是解题的关键． 16．若函数是二次函数． (1)求k的值． (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据二次函数的定义求参数、求自变量的值或函数值 【分析】（1）根据二次函数的定义列出关于k所满足的式子，求解即可； （2）在（1）的基础上，先求出二次函数解析式，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：依题意有， 解得：， ∴k的值为3； （2）把代入函数解析式中得：， 当时，， ∴y的值为． 【点睛】本题考查二次函数的定义，以及求二次函数的函数值，理解并掌握二次函数的基本定义是解题关键． 17．已知抛物线的顶点坐标为，且抛物线经过点，求该抛物线的解析式． 【答案】． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】根据抛物线的顶点坐标为，设二次函数的解析式为，把点代入求出，即可得到完整解析式． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设二次函数的解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据题意设二次函数的解析式为是解题的关键． 18．已知抛物线的对称轴为直线，与轴交于点，若点在抛物线上，求该抛物线的解析式． 【答案】． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】根据抛物线的对称轴为直线，设抛物线的解析式为，代入点、点，得到二元一次方程组求解，即可得到完整解析式． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴设抛物线的解析式为， 代入点、点，得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为，即． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，根据对称轴为直线设二次函数的解析式为是解题的关键． 19．王大爷生产经销一种农副产品，其成本价为20元每千克．市场调查发现,该产品每天的销售量(千克)与销售价(元/千克)有如下关系:．若这种产品每天的销售利润为(元).求与之间的函数关系式． 【答案】 【知识点】列二次函数关系式、二次函数的定义 【分析】利用单价利润总销售量=总利润. 【详解】. . 20．若两个不同的关于的方程与有一个共同的实数根，求的值及这两个方程的公共实数根． 【答案】的值是，这两个方程的公共实数根是 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、一元二次方程的解 【分析】先把两个方程相减，求出两方程的公共根，然后是公共根代入方程求出a的值． 【详解】解：两个方程相减，得：， 整理得：，即， 若，即时，方程和的都小于，即方程无解； 故， ∴公共根是：． 把代入方程有：， ∴． 综上所述，的值是，这两个方程的公共实数根是． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，由两个方程有公共根，把两个方程相减，求出公共根，再把公共根代入方程求出a的值． 21．已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象过点(1，2)，(2，1)两点 （1）求二次函数的解析式； （2）若﹣4＜x≤0，求y的取值范围 【答案】（1）y=﹣x2+2x+1；（2）﹣23＜y≤1 【知识点】利用不等式求自变量或函数值的范围、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将点(1，2)，(2，1)代入解析式中，即可求得抛物线的解析式； （2）根据函数解析式和二次函数的性质，可以求得当﹣4＜x≤0时，y的取值范围． 【详解】（1）将点(1，2)，(2，1)代入解析式得： ， 解得：， ∴抛物线解析式为：y=﹣x2+2x+1； （2）∵y=﹣x2+2x+1=﹣（x﹣1）2+2， ∴该函数的对称轴是直线x=1， ∵1﹣（﹣4）=5，1﹣0=1， ∴当﹣4＜x≤0时，x=0，取得最大值，此时y=1， x=﹣4时取得最小值，此时y=﹣23， 即当﹣4＜x≤0时，y的取值范围是﹣23＜y≤1． 【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 22．已知二次函数，当时，． （1）当时，求y的值； （2）写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，并求当x为何值时，函数y随x的增大而增大． 【答案】（1）当时，；（2）函数图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是，当时，函数y随x的增大而增大． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）把代入解析式求值即可； （2）根据（1）所求解析式，进行分析即可； 【详解】（1）∵把代入得，解得，∴这个二次函数的解析式为． 当时，． （2）∵， ∴函数图象开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标是． 当时，函数y随x的增大而增大． 【点睛】本题主要考查了二次函数的知识点，准确分析计算是解题的关键． 23．某商场销售一批名牌衬衫，每天可销售件，每件赢利元．为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施．经市场调查发现，如果每件衬衫每降价元，商场每天可多售出件． 如果每件衬衫降价元，商场每天赢利多少元？ 如果商场每天要赢利元，且尽可能让顾客得到实惠，每件衬衫应降价多少元？ 用配方法说明，每件衬衫降价多少元时，商场每天赢利最多，最多是多少元？ 【答案】（1）如果每件衬衫降价元，商场每天赢利元；每件衬衫应降价元．每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多． 【知识点】列二次函数关系式、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】总利润＝每件利润×销售量．设每天利润为w元，每件衬衫应降价x元，据题意可得利润表达式，（1）把x＝5代入求得相应的w的值即可；（2）再求当w＝1200时x的值；（3）根据函数关系式，运用函数的性质求最值． 【详解】（1）设每天利润为w元，每件衬衫降价x元， 根据题意得w＝（40−x）（20＋2x）＝−2x2＋60x＋800＝−2（x−15）2＋1250 当x＝5时，w＝−2（5−15）2＋1250＝1050（元） 答：如果每件衬衫降价5元，商场每天赢利1050元；； 当时，， 解之得，． 根据题意要尽快减少库存，所以应降价元． 答：每件衬衫应降价元． 商场每天盈利 ． 所以当每件衬衫应降价元时，商场盈利最多，共元． 答：每件衬衫降价元时，商场平均每天盈利最多． 【点睛】本题考查了配方法的应用，一元二次方程的应用．根据题意写出利润的表达式是此题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$