第02讲 二次函数的图象和性质（知识清单+12大题型+好题必刷） - 【暑假预习】2025年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第02讲 二次函数的图象和性质（知识清单+12大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 y=ax²的图象和性质 题型二 y=ax²+k的图象和性质 题型三 y=a（x-h）²的图象和性质 题型四 y=a（x-h）²+k的图象和性质 题型五 把y=ax²+bx+c化成顶点式 题型六 画y=ax²+bx+c的图象 题型七 y=ax²+bx+c的图象与性质 题型八 二次函数图象与各项系数符号 题型九 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型十 根据二次函数的对称性求函数值 题型十一 y=ax²+bx+c的最值 题型十二 二次函数图象的平移 知识清单 知识点1．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点2．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点3．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 题型方法 【题型一】y=ax²的图象和性质 【例1】（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）已知点，都在抛物线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，根据的开口方向及增减性判断即可． 【详解】解：中，， 抛物线开口向下，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大， ， ， 故选B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）对于二次函数，下列说法中错误的是（   ） A．其图象开口向上 B．其图象关于轴对称 C．有最小值0 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据开口方向、对称轴、顶点坐标逐项判断即可． 【详解】解：A，二次函数中，二次项系数大于0，因此图象开口向上，说法正确，不合题意； B，二次函数图象关于轴对称，说法正确，不合题意； C，开口向上，顶点坐标为，因此有最小值0，说法正确，不合题意； D，开口向上，顶点坐标为，因此当时，随的增大而增大，选项中说法错误，符合题意； 故选D． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）若点是抛物线的最低点，则m的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数最值、二次函数的性质，二次函数有最低点，抛物线的开口向上是解题的关键． 根据原点是抛物线的最低点，则抛物线必须开口向上，可得，即可解答． 【详解】解：解：点是是抛物线的最低点， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【答案】(1) (2)不在 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质： （1）把代入线求出a的值即可； （2）在中，令，求出对应的y值，即可判断． 【详解】（1）解：把代入线得：， 解得， ； （2）解：在中，令，得， 点不在此抛物线上． 【题型二】y=ax²+k的图象和性质 【例2】（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）下列二次函数的图象开口向下的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质．根据二次函数的开口方向由a来决定，当时，二次函数的开口向上；当时，二次函数的开口向下；进而问题可求解． 【详解】解：由选项可知：A、B、D选项中，二次项系数都大于0，开口都是向上的， 只有C选项的二次项系数小于0，开口向下； 故选：C． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）抛物线的对称轴是（   ） A．y轴 B．x轴 C．直线 D．直线 【答案】A 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，依据题意，由解析式，直接代入对称轴公式“直线”，从而可以判断得解． 【详解】解：∵抛物线， ∴，，， ∴对称轴为直线． ∴对称轴为y轴． 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）顶点坐标为，且与抛物线 的形状相同、开口方向相反的抛物线对应的函数解析式为 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像是解题的关键．根据顶点坐标设抛物线解析式为，再根据与抛物线 的形状相同、开口方向相反得出的值即可得到答案． 【详解】解：根据题意设抛物线解析式为， 由于与抛物线 的形状相同、开口方向相反， ， 故函数解析式为． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）“强化课程建设，提升育人质量”，瑶海区某中学校本课程“物理@数学”学习小组对一款热水器的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分． (1)求抛物线解析式（不必写出取值范围）； (2)变阻器R消耗的电功率P最大为多少瓦？ 【答案】(1)； (2)变阻器消耗的电功率最大为瓦． 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了二次函数的应用，涉及到用待定系数法求解析式和二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）先利用待定系数法求抛物线的解析式，根据二次函数的性质即可求解； （2）当时，取最大值． 【详解】（1）解：该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，过和点， 抛物线的对称轴为， 设抛物线的解析式为， 解得， ∴抛物线解析式为； （2）解：由（1）可知， 抛物线解析式为， ， 当时，取最大值， 变阻器消耗的电功率最大为瓦． 答：变阻器消耗的电功率最大为瓦． 【题型三】y=a（x-h）²的图象和性质 【例3】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是熟练掌握抛物线顶点式的性质． 根据抛物线的性质由得到图象开口向下，根据顶点式得到顶点坐标为，对称轴为直线，时随增大而增大，当时，随的增大而减小，判定即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴抛物线开口向下，故A选项不符合题意； ∴对称轴为直线，故B选项符合题意； ∴顶点坐标为，故D选项不符合题意； ∴时随增大而增大，时随增大而减小．故C选项不符合题意； 故选：B． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，当时，函数图象的点到对称轴的距离越远，函数值越大，当时，函数图象的点到对称轴的距离越远，函数值越小． 先求得函数图象的开口方向和对称轴，再根据各点离对称轴的距离大小即可判断． 【详解】解：由得，该函数的图象开口向上，对称轴为直线， ∵点，，都在二次函数的图象上，且， ∴， 故选：B． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）老师让写出一个二次函数，满足以下3个性质． 1：函数图象的顶点在轴上；2：当时，随的增大而减小； 3：该函数的形状与函数的图象相同 甲同学写出几个二次函数表达式： ①②③④ 请问甲同学写出的二次函数表达式哪些符合上述3个性质 ． 【答案】②④/④② 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】根据二次函数的图象和性质解答即可． 【详解】解：①，顶点为，在轴上；，开口向下，当时，随的增大而增大； 开口向上，但与的图象形状相同； ②，顶点为，在轴上；，开口向上，当时，随的增大而减小； 开口向上，与的图象形状相同； ③，顶点为，在轴上；，开口向上，当时，随的增大而减小； 开口向上，与的图象形状相同； ④，顶点为，在轴上；，开口向上，当时，随的增大而减小； 开口向上，与的图象的形状相同； 所以，符合上述3个性质的是②④， 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟记二次函数的图象和性质． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【答案】(1) (2)抛物线的开口向下，顶点为． 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质等知识点，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键． （1）由对称轴可求得h的值，再把代入可求得a的值即可求得抛物线解析式； （2）直接根据抛物线的顶点式写出抛物线的开口方向和顶点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线， ∴， ∴抛物线解析式为， ∵抛物线过， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：∵抛物线为，， ∴抛物线的开口向下，顶点为． 【题型四】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【例4】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质解答即可，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）由二次函数解析式判断它的函数图象，下列说法正确的是（   ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其最小值为1 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据二次函数的顶点式写出二次函数的性质，难度不大．直接根据二次函数的顶点式写出二次函数的性质后即可找到正确的答案． 【详解】解：二次函数的开口向上，对称轴为直线，有最小值为1，当时y随x的增大而减小， 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）已知二次函数的图象的对称轴为直线． （1）的值是 ； （2）平移抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值是 ． 【答案】 2 【知识点】求一次函数自变量或函数值、二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）根据二次函数的性质求解即可； （2）设平移后所得抛物线对应的表达式为，因为顶点在直线上，得到．令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为．化成顶点式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）∵二次函数的图象的对称轴为直线， ∴， ∴． 故答案为：2； （2）设平移后所得抛物线对应的表达式为， ∵顶点在直线上， ∴． 令，得平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为． 设平移后抛物线与y轴交点的纵坐标为z， ∵， ∴当时，此抛物线与y轴交点的纵坐标取得最小值，最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，以及二次函数的平移，掌握二次函数的性质是解答本题的关键． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）阅读材料：设二次函数的图象的顶点坐标分别为，，若，，且开口方向相反，则称是的“致真二次函数”． (1)请写出二次函数的一个“致真二次函数”； (2)已知关于的二次函数和二次函数，若函数恰是的“致真二次函数”，求的值． 【答案】(1)（答案不唯一）； (2)． 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的性质．解题关键是读懂“问真二次函数”的定义，将函数化为顶点式求解． （1）先将配方求出顶点坐标，然后根据题干中“问真二次函数”定义求解． （2）由二次函数可得顶点坐标为，二次函数的顶点坐标为，根据题干中“问真二次函数”定义求解即可． 【详解】（1）解：设二次函数的一个“问真二次函数”为，顶点坐标为， ，顶点坐标为， ，， ，， 两个函数图象开口方向相反， 的值可以是， 二次函数的一个“问真二次函数”可以是， 即（答案不唯一）； （2）解：∵图象的顶点为． 的顶点坐标为． ∵，且， ∴． 【题型五】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【例5】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）将二次函数配方成的形式，结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查了把一般式化成顶点式，熟练运用配方法是解题的关键． 根据配方法将一般式转化成顶点式，即可解答． 【详解】解：． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】本题考查二次函数的性质，把配成顶点式后求解即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）求抛物线关于直线对称后所得抛物线的解析式是 ． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的图象与性质、坐标与图形变化——轴对称 【分析】本题考查了二次函数的性质，轴对称的性质，先把整理得，则顶点坐标为，结合关于直线对称后所得，则，即可作答． 【详解】解：依题意，， ∴抛物线的顶点坐标为， 则 ∴关于直线对称后所得， 则 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，已知抛物线经过点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)当时，求y的最小值． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为； (2)当时，y的最小值是． 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数解析式，二次函数的顶点式，函数最值问题，熟练掌握二次函数解析式，二次函数的顶点式是解题的关键． （1）将代入即可求得m的值，再将抛物线的一般式化为顶点式，即可得出抛物线的顶点坐标； （2）二次函数的顶点式得抛物线开口向下，分别计算端点值和对称轴出的值，然后比较即可． 【详解】（1）解：把代入得： ， 解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）∵， ∴抛物线开口向下，有最大值， 当时，， ∵当时，， 当时，， ∵， ∴当时，y的最小值是． 【题型六】画y=ax²+bx+c的图象 【例6】（九年级上·安徽滁州·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数的图象与轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（         ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象 【分析】找到函数图象与x轴的交点，那么就找到了相应的x的整数值，代入函数求得y的值，那么就求得了y的范围． 【详解】将该二次函数化简得,y=−[(x−3)2−],令y=0得,x=或.画出图象可知,在红色区域内部及其边界上的整点为(2,0),(3,0),(4,0),(2,1),(3,1),(4,1),(3,2)七个． 故选C. 【点睛】本题考查了抛物线与坐标轴的相关知识点，解题的关键是能根据二次函数画出其抛物线. 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数对称轴公式是解题的关键． 【详解】抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知二次函数． (1)用配方法将上述二次函数的表达式化为的形式； (2)画出此函数的图象（不用列表），并写出当时x的取值范围． 【答案】(1) (2)图见解析， 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、画y=ax²+bx+c的图象、图象法解一元二次不等式 【分析】本题考查了二次函数一般式化顶点式，画二次函数图象，二次函数的图象与性质，画出图象是解答本题的关键． （1）根据配方法的步骤求解即可； （2）先画出图象，然后根据图象解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：当时，；当时，；当时，；当时，； 如图， 由图象可知，当时x的取值范围是． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，函数的图象经过点A，B，C． (1)求b，c的值； (2)画出这个函数的图象； (3)结合函数图象，当时，y的取值范围为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、画y=ax²+bx+c的图象、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）根据函数图象，可以写出A、B、C的坐标，从而可以求得b、c的值； （2）根据（1）中b、c的值可以写出函数解析式，从而可以画出函数图象； （3）根据函数图象，可以写出当时，y的取值范围． 本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【详解】（1）解：由图象可得， 点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， 则， 解得， 即b、c的值分别是2，3； （2）由（1）知，，， ， 该函数的顶点坐标为，对称轴为直线，图象开口向下， 由对称性可知，图象过点， 所画的函数图象如图所示； （3）由图象可得， 当时，y的取值范围为， 故答案为：． 【题型七】y=ax²+bx+c的图象与性质 【例7】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）与二次函数图象形状、开口方向都相同的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，根据的相等，即二次函数图象的形状、开口方向都相同，进行作答即可． 【详解】解：A、， ∵， ∴与二次函数图象形状不相同、以及开口方向不相同， 故该选项不符合题意； B、∵， ∴与二次函数图象形状相同、但开口方向不相同， 故该选项不符合题意； C、， ∵， ∴与二次函数图象形状、开口方向都相同， 故该选项符合题意； D、∵ ∴与二次函数图象形状不相同、以及开口方向不相同， 故该选项不符合题意； 故选：C 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知、、，若，，；下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而减小； B．当时，随的增大而增大； C．当时，最小值； D．． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数图象与性质，涉及二次函数一般式化为顶点式、二次函数增减性二次函数最值等知识，根据题意，将恒等变形为关于的二次函数，再由二次函数图象与性质结合选项逐项判断即可得到答案．熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， ，解得， ， ， ，， 当时，随的增大而减小，故A错误，不符合题意； ，， 当时，随的增大而增大，而不是在时，随的增大而增大，在故B错误，不符合题意； ，， 当时，最小值，故C错误，不符合题意； 由上述求解过程可知，当时，最小值；当时，；当时，； ， ，故D正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）当时，二次函数有最小值，则 ． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键． 由二次函数，则当时，随的增大而减小，根据性质可知当时，该函数取得最小值，然后代入求值即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数开口向上，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小， ∵在时，二次函数有最小值， ∴当时，该函数取得最小值， 此时， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为． (1)请求出点，，的坐标； (2)若是第二象限的抛物线上的一个动点（不与重合），过点作轴交于点，求线段长度的最大值； (3)若为直线上的动点，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)存在；或 【知识点】等腰三角形的性质和判定、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、公式法解一元二次方程 【分析】（1）令抛物线解析式中，解关于的一元二次方程即可得出点、的坐标，再令抛物线解析式中求出值即可得出点坐标，利用配方法将抛物线解析式配方即可找出顶点的坐标； （2）先求出直线的解析式，设，则，可求，然后根据二次函数的性质求解即可； （3）假设存在，设点，分，和三种情况考虑，根据等腰直角三角形的性质结合点、点的坐标找出点的坐标，将其代入抛物线解析式中即可得出关于的一元二次方程，解方程求出的值，再代入点坐标中即可得出结论． 【详解】（1）解：当时， 解得：，， ，                            当时，， ，                      ， ； （2）解：设直线解析式为， 由得， 解得， 直线的解析式为，                     轴， 、的横坐标相同，并且、分别在抛物线和直线上， 设， 在第二象限， ， ，                     ，抛物线开口向下， 时，长度最大，最大值为； （3）解：在抛物线上存在点，使得为等腰直角三角形，理由如下： 假设存在，设点，为等腰直角三角形，分三种情况： 当时，设与轴交于，如图2， ，， ， ， ，， ， 点在抛物线上， ， 解得：（舍去），， 此时点的坐标为； 当时， 为等腰直角三角形， ， 又， 在上， 过作于，如图， 则， ， ， ， 点在抛物线上， ， 解得：（舍去），， 此时点的坐标为； 当时，，如图， 点在抛物线上， ， 解得：（舍去），， 此时点的坐标为，， ， 综上所述，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，顶点坐标，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，解一元二次方程等知识点，解答本题的关键是能够熟练运用数形结合和分类讨论的数学思想解决问题． 【题型八】二次函数图象与各项系数符号 【例8】（24-25九年级上·安徽亳州·期中）已知二次函数，其中，则该函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象与各项系数符号 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数图象与系数之间的关系进行判断即可． 【详解】解：A、由图象可知：，对称轴在轴左侧，，不符合题意； B、由图象可知：，对称轴在轴右侧，，与轴交于负半轴，，则：，不符合题意； C、由图象可知：，对称轴在轴右侧，，与轴交于负半轴，，则：，不符合题意； D、由图象可知：，对称轴在轴左侧，，与轴交于正半轴，，则：，符合题意； 故选D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点坐标为，与y轴的交点在x轴的上方，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题的关键是要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质；由顶点坐标可得，，即可判断，进而得到，，由抛物线与y轴的交点在x轴的上方可得，即可判断，进而可得，，即可判断． 【详解】解：顶点坐标为， ，， ，， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ， ，即， ， 综上所述，结论错误，结论正确， 故选：． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）小明从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： (1)；(2) ；(3)； (4)；(5) ．你认为其中正确信息的序号是 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】由图象可得，开口向下， ∴， 故正确； ∵函数图象与轴有两个交点， ∴，故错误； ∵函数的顶点坐标在轴右侧，， ，故正确； 当时，，故正确； 当时，，故错误， 故答案为： ． 3．（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 【答案】(1)，，，； (2)； (3)①③ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号 【分析】（1）根据二次函数图象与系数的关系求解，即可得到答案； （2）由函数的图象可知，当时，，代入即可得到答案； （3）根据二次函数的图象和性质以及不等式的性质求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线开口向上， ， 对称轴在y轴右侧， 、异号， ， 抛物线与y轴负半轴相交， ， 当时，， ； （2）解：由函数的图象可知，当时，， ； （3）解：由（1）可知，， ， ，①结论正确； ， ， ， ， ， ，②结论错误； 当时，， 当时，， ， ， ，③结论正确； 故答案为：①③． 【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想，熟练掌握二次函数图象与系数的关系是解题关键． 【题型九】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【例9】（23-24九年级上·安徽·阶段练习）一个羽毛球发出去x秒时的高度为y米，且y与x之间的函数关系式为．如果这个羽毛球在第2秒与第4秒时的高度相等，那么在下列时间中，羽毛球所在高度最高的是（   ） A．第秒 B．第秒 C．第秒 D．第秒 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，利用抛物线的对称性求得对称轴方程是解答的关键．由羽毛球在第2秒与第4秒时的高度相等可求得抛物线的对称轴，再二次函数的性质判断羽毛球的最高点即可． 【详解】解：∵羽毛球在第2秒与第4秒时的高度相等， ∴抛物线的对称轴方程为， ∵， ∴距离对称轴越远，函数值越小，高度越低， ∵与对称轴的距离最近， ∴当第秒时，羽毛球的高度最高， 故选：B． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）点，是抛物线上的两点，则该抛物线的顶点可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质；由A、B两点纵坐标相同，两点关于抛物线的对称轴对称，可求得对称轴为直线，显然其顶点纵坐标不可能是3，故A不符合题意，C、D两项可排除，从而可确定答案． 【详解】解：∵A、B两点纵坐标相同， ∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线， 故选项C、D可排除； ∵顶点的纵坐标不可能是3， ∴选项A可排除； ∴顶点只可能是选项B中的坐标； 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）已知，是抛物线上任意两点． （1）若当，时，，则 ．； （2）若对于任意，，都有，则的取值范围是 ． 【答案】 或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得点M、N关于对称轴对称，然后根据二次函数的对称性可进行求解； （2）根据题意可知点，需满足在对称轴的左侧或者右侧，然后分类进行求解即可． 【详解】解：（1）∵当，时，，且，是抛物线上任意两点， ∴点M、N关于对称轴对称， ∴， ∴； 故答案为：． （2）由抛物线可知：开口向上，对称轴为直线，由“对于任意，，都有”可知：点，需满足在对称轴的左侧或者右侧，则有： ①当点，在对称轴的左侧时，需满足，即； ②当点，在对称轴的右侧时，需满足，即； 综上所述：b的取值范围为或． 故答案为：或． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知二次函数，，，都在二次函数的图象上． (1)若，求n、p、q的值； (2)若，求n的取值范围． 【答案】(1)，， (2)或． 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由A、C纵坐标相同可得，对称轴是直线，再结合，得出，再把和分别代入进行计算，即可作答． （2）依题意，抛物线的图象开口向下，则抛物线上的点离对称轴越远就越小，反之越大，又因为，则，化简即可作答． 【详解】（1）解：由题意，由A、C纵坐标相同可得，对称轴是直线． ∵， ∴对称轴是直线， ∴， ∴， 则把代入可得，， 则把代入可得，， （2）解：由题意，抛物线的图象开口向下， 抛物线上的点离对称轴越远就越小，反之越大． 则对称轴是直线， ，且当时，， ． ， 或． 【题型十】根据二次函数的对称性求函数值 【例10】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知函数，，在此函数图象上有，，三点，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，根据已知可得该抛物线开口向下，再求出抛物线的对称轴，然后根据抛物线的对称性，求出点关于直线的对称点，再利用增减性即可解答. 【详解】解：, , , 对称轴为直线, 关于直线的对称点为, ， 图象开口向下，当时，随的增大而增大， , ， 故选：． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是抛物线的部分图象，且与轴的一个交点为，则它与轴另一交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值 【分析】本题考查的是抛物线与x轴的交点坐标，先由抛物线解析式得对称轴为直线，再根据抛物线的对称性解答即可． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 故选：A． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知关于直线对称的抛物线经过，两点，且点，分别位于拋物线对称轴的两侧，则位于对称轴左侧的点是 （填或），若此时，则的取值范围是 ． 【答案】 B / 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是掌握二次函数的增减性．根据抛物线对称轴为，开口向上，根据已知条件分类讨论得出点B在对称轴的左侧；根据，进而得出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：抛物线关于直线对称，经过，两点，且点，分别位于拋物线对称轴的两侧， 若点A位于对称轴左侧， 则， 解得，不等式组无解，不符合题意； 若点B位于对称轴左侧， 则， 解得， 不等式组的解为； 此时， ， 解得：， ， 综上，时，则的取值范围是， 故答案为：B，． 3．（2024·安徽六安·一模）如图，二次函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点P． (1)求点P的坐标； (2)当时，二次函数的最大值是15，求a的值； (3)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，点C的坐标为，，求当取何值时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)， 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】（1）根据已知条件得到直线，把代入即可得到结论； （2）根据二次函数的性质得到二次函数的最大值是15，解方程即可得到结论； （3）根据在抛物线上，求得，根据勾股定理和二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）二次函数的对称轴为直线， 把代入得， 点的坐标为， 故答案为：； （2）∵二次函数的对称轴为，在对称轴左侧二次函数y的值随x的增大而减小 ∴二次函数 的最大值是15，即 解得， ∵， ∴， ∴； （3）∵在抛物线上， ∵， 当 时，m的值最小，最小值是 ． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合题，一次函数和二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式即二次函数的性质是解题的关键． 【题型十一】y=ax²+bx+c的最值 【例11】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而减小，且时，的最大值为，则的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．或 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数（）的对称轴直线，图象具有如下性质：①当时，抛物线（）的开口向上，时，随的增大而减小；时，随的增大而增大；时，取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当时，抛物线（）的开口向下，时，随的增大而增大；时，随的增大而减小；时，取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下，然后由时，的最大值为，可得时，，即可求出． 【详解】解：∵二次函数（其中是自变量）， ∴对称轴是直线， ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∵时，的最大值为， ∴时，， ∴， ∴，或（不合题意舍去）． 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，点、分别是、边上的点，，则面积的最大值是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了二次函数的应用，等腰直角三角形的判定和性质．证明是等腰直角三角形，作于点，设，则，，利用三角形的面积公式列出关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， 作于点， ∴点D是的中点， ∴， 设，则， ∴， ∴ ， ∵， ∴有最小值，最小值为2， 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）当，函数的最小值为2，则m的值为 ． 【答案】或 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查二次函数图象上的坐标特征，二次函数的最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．根据二次函数解析式得到二次函数开口向上，在时取得最小值，再结合二次函数最值情况进行求解，即可解题． 【详解】解：， ， 二次函数开口向上，在时取得最小值， 当，函数的最小值为2， 当时，，解得或（不合题意，舍去）， 当时，，解得或（不合题意，舍去）， 综上所述，m的值为或． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，直线与抛物线交于A、B两点，点A、B的横坐标分别为0、4． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AB下方的抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点P作y轴的平行线交直线AB与点Q，设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PQ的长，并求出线段PQ长的最大值． 【答案】(1) (2)，4 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要那考查待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法及二次函数图象与性质是解本题的关键． （1）把点A、B的横坐标分别代入求出点A、B的纵坐标，再把A、B的坐标代入，求出的值即可； （2）根据题意得，设，得，运用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵当时，； 当时，， ∴， ∴， 解得． ∴抛物线解析式为； （2）解：∵点P的横坐标为m，点P是直线AB下方的抛物线上的一个动点（不与A，B重合）， ∴ 设， ∴， ∴， ∵， ∴当时，PQ的最大值为4． 【题型十二】二次函数图象的平移 【例12】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）将抛物线向右平移a个单位，再向上平移个单位得到解析式，则a、b的值是（   ） A．1， B．1，2 C．1，3 D．， 【答案】A 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式(a，b，c为常数，)，“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本题的关键．直接根据二次函数图象的平移规则判断即可． 【详解】解：∵， ∴将抛物线向右平移1个单位，再向上平移个单位得到解析式， ∴，， 故选：A． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）把函数 的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查函数图象的平移变换规律，自变量加减左、右平移； 函数值加减上、下平移．属于基础题． 根据二次函数的平移变换规律求解即可． 【详解】解：把函数 的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为，即， 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）将的图象先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，则最终所得图象的顶点坐标为 ． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移，先由二次函数的平移法则得出平移后的解析式，再由二次函数的图象与性质即可得解． 【详解】解：将的图象先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到的解析式为， 故最终所得图象的顶点坐标为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知关于x的二次函数． (1)若该二次函数的图象经过三点中的一点． ①求a的值； ②若该二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，求直线BC的函数表达式； (2)当时，y有最小值，若将该二次函数的图象沿x轴平移m（）个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最小值，求a，m的值． 【答案】(1)①  ② (2)，或4 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象的平移、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，求一次函数关系式，二次函数图象的性质， （1）①分别将三个点的坐标代入关系式，计算可得答案； ②，由①得出关系式，进而求出点的坐标，然后根据待定系数法求出关系式； （2）先根据在，y有最小值，则抛物线在对称轴处取得最小值，可求出抛物线的表达式， 再根据平移m个单位得出新抛物线的表达式，及其对称轴，然后根据抛物线在对称轴处取得最小值时，即时，得出方程，求出即可；当抛物线在时取得最小值时，此时，即，可得方程，求出解；当抛物线向左平移m个单位时得出新抛物线的表达式，其对称轴为直线，在抛物线的对称轴或时取得最小值，同理得出解. 【详解】（1）解：（1）①， 将分别代入上式，均无法求出的值，不符合题意， 将代入函数表达式得：， 解得 ②由①知，函数的表达式为：， 当时，，令，则或4， 即点B、C的坐标分别为：. 设直线的关系式为，根据题意，得 ， 解得， 则直线的关系式为； （2）解：当时，y有最小值，则抛物线在对称轴处取得最小值， 当时，， 解得：，     则抛物线的表达式为：， 当抛物线向右平移m个单位时，则新抛物线的表达式为：，其对称轴为直线， 在抛物线的对称轴或时取得最小值， 当抛物线在对称轴处取得最小值时，即时，，方程无解； 当抛物线在时取得最小值时，此时，即，即，解得：（不合题意，舍去）或； 当抛物线向左平移m个单位时，则新抛物线的表达式为：，其对称轴为直线， 在抛物线的对称轴或时取得最小值， 同理可得：. 综上，或4． 好题必刷 一、单选题 1．抛物线y=-(x-1)的图像一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 【答案】D 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质 【分析】由函数解析式可知，抛物线开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标（1，0），与y轴交于负半轴，画出函数大致图象，判断不经过的象限． 【详解】解：如图， ∵a=1＞0，抛物线开口向下，顶点坐标（1，0），对称轴为x=1，与y轴交于（0，-1）， ∴抛物线经过三、四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，利用抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴判断抛物线经过的象限是解决问题的关键． 2．抛物线的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】根据抛物线的图像，时，开口向下即可得到答案． 【详解】解：抛物线 y=−2x2， ∵， ∴二次函数图像开口向下． 故选：A． 【点睛】本题主要考查抛物线的图像，a0时，开口向上，顶点（0，0）；时，开口向下，顶点（0，0）． 3．将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由平移方式确定点的坐标、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线的解析式为：，即； 故选：D． 4．若抛物线的顶点在第一象限，与轴的两个交点分布在原点两侧，则点(，)在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】由抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在第一象限，与x轴的两个交点分布在原点两侧，可以推出a＜0，c＞0，从而知道＜0，然后即可点（a，）的位置． 【详解】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在第一象限，与x轴的两个交点分布在原点两侧， ∴a＜0，c＞0， ∴＜0， ∴点（a，）在第三象限． 故选C． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质. 5．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格： 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　） A．-11 B．-2 C．1 D．-5 【答案】D 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】由已知可得函数图象关于y轴对称，则错误应出现在x=-2或x=2时，根据正确的数据求出函数的解析式，进而可得答案． 【详解】解：由已知中的数据，可得函数图象关于y轴对称， 则错误应出现在x=-2或x=2时， 故函数的顶点坐标为（0，1）， y=ax2+1，当x=±1时，y=a+1=-2， 故a=-3， 故y=-3x2+1， 当x=±2时，y=4a+1=-11， 故错误的数值为-5， 故选D． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键． 6．把抛物线y＝x2﹣2x+4向左平移2个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的顶点坐标是（    ） A．(3，﹣3) B．(3，9) C．(﹣1，﹣3) D．(﹣1，9) 【答案】C 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、二次函数图象的平移 【分析】先得到抛物线y＝x2﹣2x+4的顶点坐标为（1，3），则把点（1，3）向左平移2个单位，再向下平移6个单位后得到（﹣1，﹣3）． 【详解】解：∵抛物线y＝x2﹣2x+4＝（x﹣1）2+3， ∴顶点坐标为（1，3）， ∴把点（1，3）向左平移2个单位，再向下平移6个单位得到（﹣1，﹣3）． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：把抛物线y=a（x-k）2+h平移的问题转化为抛物线的顶点（k，h）平移问题进行解决． 7．已知二次函数，当自变量x分别取，3，0时，对应的值分别为，则的大小关系正确的是【 】 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值 【分析】画出二次函数图像，根据图像的增减性进行判断. 【详解】由二次函数知， 它的图象开口向上，对称轴为x=2，如图所示． 根据二次函数的对称性，x=3和x=1时，y值相等． 由于二次函数在对称轴x=2左侧，y随x的增大而减小，而0＜1＜，因此，． 故选B. 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，数形结合，根据函数的增减性判断函数值的大小是关键. 8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（　　） A．abc＜0 B．a+c＜b C．b＞2a D．4a＞2b﹣c 【答案】C 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号 【详解】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及图象经过的点的情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解：A、∵图象开口向下，∴a＜0，∵与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴在y轴左侧，﹣＜0，∴b＜0，∴abc＞0，故本选项错误； B、∵当x=﹣1时，对应的函数值y＞0，即a﹣b+c＞0，∴a+c＞b，故本选项错误； C、∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞﹣1，又a＜0，∴b＞2a，故本选项正确； D、∵当x=﹣2时，对应的函数值y＜0，即4a﹣2b+c＜0，∴4a＜2b﹣c，故本选项错误． 故选C． 9．若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移 【详解】分析：根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，即可找出该抛物线的解析式，利用平移的“左加右减，上加下减”找出平移后新抛物线的解析式，再利用二次函数图象上点的坐标特征即可找出结论． 详解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1， ∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0）， ∴该抛物线解析式为y=x（x-2）=x2-2x=（x-1）2-1． 将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x-1+2）2-1-3=（x+1）2-4． 当x=-3时，y=（x+1）2-4=0， ∴得到的新抛物线过点（-3，0）． 故选B． 点睛：本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数图象与几何变换以及二次函数的性质，根据定弦抛物线的定义结合其对称轴，求出原抛物线的解析式是解题的关键． 10．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点(2，0)．下列说法：①abc<0；②a+b=0；③4a+2b+c<0；④若(-2，y1)，(，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是(        ) A．①②④ B．③④ C．①③④ D．①② 【答案】A 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【详解】解：根据二次函数的图象开口向下，可得a＜0，由二次函数的图象交y轴的正半轴于一点，可知c＞0，由对称轴是直线x=，可得，因此可知b=﹣a＞0，即abc＜0．故①正确； 由①中知b=﹣a，可得a+b=0，故②正确； 把（2，0）代入解析式，即4a+2b+c=0．故③错误； 由（-2，y1）关于直线x=的对称点的坐标是（3，y1），可得y1<y2．故④正确； 综上所述，正确的结论是①②④． 故选A． 二、填空题 11．二次函数的图象的对称轴是直线 ； 【答案】x=-3 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据顶点式解析式的特点直接解答即可． 【详解】解：二次函数的图象的对称轴是直线x=-3， 故答案为x=-3． 【点睛】此题考查了二次函数顶点式解析式的特点，熟记顶点式解析式的特点并熟练应用是解题的关键． 12．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值的和是    【答案】1 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】先求出二次函数的对称轴为直线x＝−1，然后根据二次函数开口向上确定其增减性，并结合图象解答即可． 【详解】∵二次函数y＝（x＋1）2−4， 对称轴是：x＝−1 ∵a＝1＞0， ∴x＞−1时，y随x的增大而增大，x＜−1时，y随x的增大而减小， 由图象可知：在−2≤x≤2内，x＝2时，y有最大值，y＝（2＋1）2−4＝5， x＝−1时y有最小值，是−4， 故最小值和最大值的和等于1 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，二次函数的增减性，结合图象可得函数的最值是解题的关键． 13．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是 ． 【答案】－3＜x＜1 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值 【分析】根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y＞0时，x的范围． 【详解】解：根据抛物线的图象可知： 抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0）， 根据对称性，则另一交点为（﹣3，0）， 所以y＞0时，x的取值范围是﹣3＜x＜1． 故答案为：﹣3＜x＜1． 【点睛】考点：二次函数的图象． 14．如图，将抛物线y=2x2向右平移2个单位，得到抛物线y2的图象．P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x=t平行于y轴，分别与直线y=x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，请求出满足条件的t的值，则t= ． 【答案】1或3或或. 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【详解】试题分析：∵抛物线y1＝2x2向右平移2个单位，∴抛物线y2的函数解析式为. ∴抛物线y2的对称轴为直线x=2. ∵直线x=t与直线y=x、抛物线y2交于点A、B， ∴点A的坐标为（t，），点B的坐标为（t，t）.∴. 若△APB是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，则P（2，），，∴； 若△APB是以点B为直角顶点的等腰直角三角形，则P（2，t），，∴. ∴ ①或②. 整理①得，，解得； 整理②得，，解得t1=1，t2=3， 综上所述，满足条件的t值为：1或3或或. 考点：1.多形式变化问题；2. 二次函数的性质与平移变换；3.等腰直角三角形的性质；4.解一元二次方程；5.分类思想的应用. 三、解答题 15．利用配方法把二次函数y＝﹣x2+4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】根据常数项是一次项系数一半的平方，利用配方法把二次函数配成的形式，整理之后就可以化成的形式． 【详解】解： 所以把二次函数化成的形式为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的一般式转化成顶点式，属于概念题型．解题的关键在于熟练掌握配方法的运用以及熟记顶点式的函数表达式． 16．已知二次函数y= -（x-1）2 （1）画出这个函数的图象； （2）由图象可知，当x___时，y随x增大而减小，当x=___，y有最___值为___． 【答案】（1）函数图象见详解；（2）；1；大；0． 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】（1）根据二次函数图象的作法：先找点，然后确定函数图象对称轴，顶点坐标，用光滑的曲线连接即可； （2）根据作出的函数图象即可得出函数的增减范围，最值点． 【详解】解：（1）根据图象的作法，找出，，三个点坐标，对称轴为，顶点坐标为：，用光滑的曲线连接即可； （2）根据函数图象可得：当时，y随x增大而减小； 当时，，即当时，y有最大值，最大值为0， 故答案为：；1；大；0． 【点睛】题目主要考查一元二次函数的基本性质及图象的作法，熟练掌握二次函数的基本性质是解题关键． 17．求二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 【答案】二次函数图象的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-1）． 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】利用配方法把二次函数解析式配成顶点式，然后利用二次函数的性质求解． 【详解】解：y=2x2-8x+7 =2（x2-4x+4-4）+7 =2（x-2）2-1， 所以二次函数图象的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-1）． 【点睛】本题考查了二次函数的性质中的顶点坐标及对称轴的确定方法，解题的关键是对二次函数的一般形式化为顶点式． 18．通过列表、描点、连线的方法画函数的图象． 【答案】见解析 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象． 【详解】解：列表得： x … 0 1 2 3 … y … 0 … 描点、连线． 【点睛】本题主要是考查了利用列表描点连线法画二次函数图形，熟练掌握画函数图像的基本步骤，是求解本题的关键． 19．已知平面直角坐标系中，抛物线与直线，其中． 若抛物线的对称轴为， ①m的值为_ ﹔ ②当时，有 （填“”，“”或“”） ． 当时，若抛物线与直线有且只有一个公共点，请求出的取值范围． 【答案】（1）1；②=；（2） 【知识点】y=a（x-h）²的图象和性质、根据一元二次方程根的情况求参数 【分析】（1）①把抛物线化为一般式，得，由对称轴公式，得； ②把分别代入和，即可比较与大小； （2）联立、的解析式得方程，△，题中，即抛物线与直线相交，有2个交点，当时和时代入方程，即得的值，可求出的范围． 【详解】解：（1）①由， 则对称轴， ， ②把分别代入与得， ，， ； （2）联立、的解析式可得，， 整理得，， 则△， ， ， 即就是没有直线与抛物线相切的情况． 当时，代入方程， 得， （负值舍去）， ， 当时，代入方程， 得， ， 又， 的取值为：． 【点睛】本题考查二次函数和一次函数，解本题的关键是要熟练掌握二次函数对称轴公式，代入法求值、一元二次方程的判别式等． 20．二次函数的图象与一次函数的图象相交吗？如果相交，请求出它们的交点坐标． 【答案】相交，交点坐标为和． 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】联立方程，消去得到关于的方程，解方程求得的值，进而求得的值，从而求得交点坐标． 【详解】解：相交； 由消去得， 解， ， 当时，，当时，， 交点坐标为，和， 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是利用数形结合思想的应用． 21．分别求出符合下列条件的抛物线y=ax2的解析式： (1)经过点(-3，2)； (2)与y=x2开口大小相同，方向相反. 【答案】(1) y=；(2) y= . 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、待定系数法求二次函数解析式 【详解】试题分析：（1）把点（-3，2）代入解析式即可求得； （2）由开口大小相同，可知|a|一样，方向相反，可知互为相反数，由此可得. 试题解析：（1）∵y=ax2过点(-3，2)，∴2=a×(-3)2，则a=， ∴解析式为y=x2； （2）∵y=ax2与抛物线y=x2开口大小相同，方向相反， ∴a=- ， ∴解析式为. 【点睛】本题主要考查待定系数法求抛物线解析式，关键是要正确进行计算. 22．如图所示，已知函数y＝ax2(a≠0)的图象上的点D，C与x轴上的点A(－5，0)和B(3，0)构成▱ABCD，DC与y轴的交点为E(0，6)，试求a的值． 【答案】 【知识点】y=ax²的图象和性质、平行四边形性质的其他应用、根据二次函数的对称性求函数值 【分析】由A（-5，0）和B（3，0）得出AB=8，进一步得出CD=AB=8，所以D点的横坐标为-4，再结合E（0，6），得出点D的纵坐标为6，代入D点坐标求得a的数值即可． 【详解】解：∵点A(－5，0)和B(3，0)， ∴AB＝8. ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD＝8，CD∥AB. 又∵AB⊥y轴，抛物线y＝ax2的对称轴为y轴，∴CD⊥y轴， ∴DE＝CD＝4，点D，C，E的纵坐标相同． 又∵点E的坐标为(0，6)， ∴点D的坐标为(－4，6)． 将D(－4，6)代入y＝ax2， 解得a＝. 【点睛】此题考查二次函数的性质，平行四边形的性质，利用二次函数的对称性是解决问题的关键． 23．（1）已知二次函数 ①求出函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向 ②列表，在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象 （2）物线过，两点，与轴的交点为，求抛物线的解析式． 【答案】（1）①函数图象顶点坐标、对称轴直线，开口向上；②见解析；（2） 【知识点】画y=ax²+bx+c的图象、把y=ax²+bx+c化成顶点式、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）①把函数表示为顶点式即可解答；②列表、描点、连线即可； （2）把函数与轴交点代入交点式表达式，再将与轴的交点为代入即可求解． 【详解】解：， 函数图象顶点坐标、对称轴直线，开口向上； 过，两点，与轴的交点为， 用交点式，则表达式为：， 把代入得：， 解得， 故函数解析式为：． 【点睛】本题考查的是二次函数图象问题，解题的关键是灵活运用函数的种表达式，交点式和顶点式用得比较多. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次函数的图象和性质（知识清单+12大题型+好题必刷） 题型梳理 题型一 y=ax²的图象和性质 题型二 y=ax²+k的图象和性质 题型三 y=a（x-h）²的图象和性质 题型四 y=a（x-h）²+k的图象和性质 题型五 把y=ax²+bx+c化成顶点式 题型六 画y=ax²+bx+c的图象 题型七 y=ax²+bx+c的图象与性质 题型八 二次函数图象与各项系数符号 题型九 已知抛物线上对称的两点求对称轴 题型十 根据二次函数的对称性求函数值 题型十一 y=ax²+bx+c的最值 题型十二 二次函数图象的平移 知识清单 知识点1．二次函数的图象 （1）二次函数y＝ax2（a≠0）的图象的画法： ①列表：先取原点（0，0），然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表． ②描点：在平面直角坐标系中描出表中的各点． ③连线：用平滑的曲线按顺序连接各点． ④在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两侧各取三四个点即可．连线成图象时，要按自变量从小到大（或从大到小）的顺序用平滑的曲线连接起来．画抛物线y＝ax2（a≠0）的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的一侧，再利用对称性画另一侧． （2）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象看作由二次函数y＝ax2的图象向右或向左平移||个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点2．二次函数的性质 二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点． ②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点． ③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的． 知识点3．待定系数法求二次函数解析式 （1）二次函数的解析式有三种常见形式： ①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）； ②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标； ③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）； （2）用待定系数法求二次函数的解析式． 在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解． 题型方法 【题型一】y=ax²的图象和性质 【例1】（24-25九年级上·安徽芜湖·阶段练习）已知点，都在抛物线上，则（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）对于二次函数，下列说法中错误的是（   ） A．其图象开口向上 B．其图象关于轴对称 C．有最小值0 D．当时，随的增大而减小 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）若点是抛物线的最低点，则m的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·安徽滁州·阶段练习）已知抛物线经过点． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)判断点是否在此抛物线上． 【题型二】y=ax²+k的图象和性质 【例2】（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）下列二次函数的图象开口向下的是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）抛物线的对称轴是（   ） A．y轴 B．x轴 C．直线 D．直线 2．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）顶点坐标为，且与抛物线 的形状相同、开口方向相反的抛物线对应的函数解析式为 ． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）“强化课程建设，提升育人质量”，瑶海区某中学校本课程“物理@数学”学习小组对一款热水器的工作电路展开研究，将变阻器的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器消耗的电功率随电流变化的关系图象如图所示，该图象是经过原点的一条抛物线的一部分． (1)求抛物线解析式（不必写出取值范围）； (2)变阻器R消耗的电功率P最大为多少瓦？ 【题型三】y=a（x-h）²的图象和性质 【例3】（24-25九年级上·安徽安庆·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（  ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．当时，y随x的增大而减小 D．顶点坐标为 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）老师让写出一个二次函数，满足以下3个性质． 1：函数图象的顶点在轴上；2：当时，随的增大而减小； 3：该函数的形状与函数的图象相同 甲同学写出几个二次函数表达式： ①②③④ 请问甲同学写出的二次函数表达式哪些符合上述3个性质 ． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)写出抛物线的开口方向及顶点坐标． 【题型四】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【例4】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）抛物线的顶点坐标是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）由二次函数解析式判断它的函数图象，下列说法正确的是（   ） A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线 C．其最小值为1 D．当时，y随x的增大而增大 2．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）已知二次函数的图象的对称轴为直线． （1）的值是 ； （2）平移抛物线，使其顶点始终在直线上，则平移后所得抛物线与轴交点纵坐标的最小值是 ． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期中）阅读材料：设二次函数的图象的顶点坐标分别为，，若，，且开口方向相反，则称是的“致真二次函数”． (1)请写出二次函数的一个“致真二次函数”； (2)已知关于的二次函数和二次函数，若函数恰是的“致真二次函数”，求的值． 【题型五】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【例5】（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）将二次函数配方成的形式，结果是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）抛物线的顶点坐标为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）求抛物线关于直线对称后所得抛物线的解析式是 ． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，已知抛物线经过点． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)当时，求y的最小值． 【题型六】画y=ax²+bx+c的图象 【例6】（九年级上·安徽滁州·阶段练习）在平面直角坐标系中，如果横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点，将二次函数的图象与轴所围成的封闭图形染成红色，则在此红色区域内部及其边界上的整点的个数是（         ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）抛物线的对称轴是直线 ． 2．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知二次函数． (1)用配方法将上述二次函数的表达式化为的形式； (2)画出此函数的图象（不用列表），并写出当时x的取值范围． 3．（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，函数的图象经过点A，B，C． (1)求b，c的值； (2)画出这个函数的图象； (3)结合函数图象，当时，y的取值范围为______． 【题型七】y=ax²+bx+c的图象与性质 【例7】（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）与二次函数图象形状、开口方向都相同的抛物线是（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知、、，若，，；下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而减小； B．当时，随的增大而增大； C．当时，最小值； D．． 2．（24-25九年级上·安徽淮南·期中）当时，二次函数有最小值，则 ． 3．（24-25九年级上·安徽池州·期末）如图，抛物线与轴交于，两点（在的左侧），与轴交于点，顶点为． (1)请求出点，，的坐标； (2)若是第二象限的抛物线上的一个动点（不与重合），过点作轴交于点，求线段长度的最大值； (3)若为直线上的动点，在抛物线上是否存在点，使得为等腰直角三角形？若存在，直接写出坐标． 【题型八】二次函数图象与各项系数符号 【例8】（24-25九年级上·安徽亳州·期中）已知二次函数，其中，则该函数的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线（a，b，c为常数，）的顶点坐标为，与y轴的交点在x轴的上方，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）小明从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： (1)；(2) ；(3)； (4)；(5) ．你认为其中正确信息的序号是 ． 3．（22-23九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）已知抛物线的图象如图所示．    (1)判断、、及的符号； (2)求的值； (3)给出下列结论：①；②；③，其中正确的有 ．（填序号） 【题型九】已知抛物线上对称的两点求对称轴 【例9】（23-24九年级上·安徽·阶段练习）一个羽毛球发出去x秒时的高度为y米，且y与x之间的函数关系式为．如果这个羽毛球在第2秒与第4秒时的高度相等，那么在下列时间中，羽毛球所在高度最高的是（   ） A．第秒 B．第秒 C．第秒 D．第秒 【举一反三】 1．（23-24九年级上·安徽黄山·期末）点，是抛物线上的两点，则该抛物线的顶点可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽蚌埠·期末）已知，是抛物线上任意两点． （1）若当，时，，则 ．； （2）若对于任意，，都有，则的取值范围是 ． 3．（24-25九年级上·安徽安庆·期中）已知二次函数，，，都在二次函数的图象上． (1)若，求n、p、q的值； (2)若，求n的取值范围． 【题型十】根据二次函数的对称性求函数值 【例10】（24-25九年级上·安徽亳州·阶段练习）已知函数，，在此函数图象上有，，三点，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）如图是抛物线的部分图象，且与轴的一个交点为，则它与轴另一交点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知关于直线对称的抛物线经过，两点，且点，分别位于拋物线对称轴的两侧，则位于对称轴左侧的点是 （填或），若此时，则的取值范围是 ． 3．（2024·安徽六安·一模）如图，二次函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点P． (1)求点P的坐标； (2)当时，二次函数的最大值是15，求a的值； (3)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，点C的坐标为，，求当取何值时，的值最小，最小值是多少？ 【题型十一】y=ax²+bx+c的最值 【例11】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）已知二次函数（其中是自变量），当时，随的增大而减小，且时，的最大值为，则的值为（    ） A． B．2 C．或2 D．或 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期中）如图，在中，，，点、分别是、边上的点，，则面积的最大值是（    ） A． B．2 C． D．4 2．（24-25九年级上·安徽宣城·期末）当，函数的最小值为2，则m的值为 ． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·阶段练习）如图，直线与抛物线交于A、B两点，点A、B的横坐标分别为0、4． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线AB下方的抛物线上的一个动点（不与A，B重合），过点P作y轴的平行线交直线AB与点Q，设点P的横坐标为m，用含m的代数式表示线段PQ的长，并求出线段PQ长的最大值． 【题型十二】二次函数图象的平移 【例12】（24-25九年级上·安徽淮南·期中）将抛物线向右平移a个单位，再向上平移个单位得到解析式，则a、b的值是（   ） A．1， B．1，2 C．1，3 D．， 【举一反三】 1．（24-25九年级上·安徽马鞍山·期中）把函数 的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解析式为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽滁州·期中）将的图象先向右平移2个单位，再向下平移4个单位，则最终所得图象的顶点坐标为 ． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）已知关于x的二次函数． (1)若该二次函数的图象经过三点中的一点． ①求a的值； ②若该二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，求直线BC的函数表达式； (2)当时，y有最小值，若将该二次函数的图象沿x轴平移m（）个单位长度，平移后的图象所对应的函数在的范围内有最小值，求a，m的值． 好题必刷 一、单选题 1．抛物线y=-(x-1)的图像一定经过（    ） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第三、四象限 2．抛物线的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．将抛物线，先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后所得抛物线解析式（    ） A． B． C． D． 4．若抛物线的顶点在第一象限，与轴的两个交点分布在原点两侧，则点(，)在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．某同学在用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列出下面的表格： 由于粗心，他算错了其中一个y值，则这个错误的数值是（　　） A．-11 B．-2 C．1 D．-5 6．把抛物线y＝x2﹣2x+4向左平移2个单位，再向下平移6个单位，所得抛物线的顶点坐标是（    ） A．(3，﹣3) B．(3，9) C．(﹣1，﹣3) D．(﹣1，9) 7．已知二次函数，当自变量x分别取，3，0时，对应的值分别为，则的大小关系正确的是【 】 A． B． C． D． 8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中，正确的是（　　） A．abc＜0 B．a+c＜b C．b＞2a D．4a＞2b﹣c 9．若抛物线与轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点(    ) A． B． C． D． 10．如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分，对称轴为直线x=，且经过点(2，0)．下列说法：①abc<0；②a+b=0；③4a+2b+c<0；④若(-2，y1)，(，y2)是抛物线上的两点，则y1＜y2，其中说法正确的是(        ) A．①②④ B．③④ C．①③④ D．①② 二、填空题 11．二次函数的图象的对称轴是直线 ； 12．如图，已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当﹣2≤x≤2时，则函数y的最小值和最大值的和是    13．抛物线y=﹣x2+bx+c的部分图象如图所示，若y＞0，则x的取值范围是 ． 14．如图，将抛物线y=2x2向右平移2个单位，得到抛物线y2的图象．P是抛物线y2对称轴上的一个动点，直线x=t平行于y轴，分别与直线y=x、抛物线y2交于点A、B．若△ABP是以点A或点B为直角顶点的等腰直角三角形，请求出满足条件的t的值，则t= ． 三、解答题 15．利用配方法把二次函数y＝﹣x2+4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式． 16．已知二次函数y= -（x-1）2 （1）画出这个函数的图象； （2）由图象可知，当x___时，y随x增大而减小，当x=___，y有最___值为___． 17．求二次函数图象的对称轴和顶点坐标． 18．通过列表、描点、连线的方法画函数的图象． 19．已知平面直角坐标系中，抛物线与直线，其中． 若抛物线的对称轴为， ①m的值为_ ﹔ ②当时，有 （填“”，“”或“”） ． 当时，若抛物线与直线有且只有一个公共点，请求出的取值范围． 20．二次函数的图象与一次函数的图象相交吗？如果相交，请求出它们的交点坐标． 21．分别求出符合下列条件的抛物线y=ax2的解析式： (1)经过点(-3，2)； (2)与y=x2开口大小相同，方向相反. 22．如图所示，已知函数y＝ax2(a≠0)的图象上的点D，C与x轴上的点A(－5，0)和B(3，0)构成▱ABCD，DC与y轴的交点为E(0，6)，试求a的值． 23．（1）已知二次函数 ①求出函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向 ②列表，在所给网格中建立平面直角坐标系并直接画出此函数的图象 （2）物线过，两点，与轴的交点为，求抛物线的解析式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$