第03讲 二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质(4个知识点+16个考点+2个易错诊断）【暑假自学课】-2024年新九年级数学暑假提升精品讲义（沪科版）

第03讲 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．正确理解抛物线的有关概念；(重点) 2．会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象，概括出图象的特点；(重点) 3．掌握形如y＝ax2的二次函数图象的性质，并会应用；(难点) 4．通过动手操作、合作交流，积累数学活动经验，培养动手能力和观察能力． 知识点一 二次函数y=ax²+k的图象和性质 1. 二次函数的图象和性质 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 轴（或直线） 顶点坐标 最大（小）值 当=0时，最小值＝ 当=0时，最大值＝ 增减性 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大. 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小. 2. 二次函数与的图象之间的关系 向上平移个单位长度 （） 向下平移个单位长度 （） 【例1】将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【分析】根据抛物线与抛物线的性质进行比较即可． 【解答】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 轴 向上 轴 向上 轴 【点睛】本题考查了的性质，掌握抛物线与抛物线的性质是解题的关键． 【变式1-1】已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？ 知识点二 二次函数y=a（x-h）²的图象与性质 1. 二次函数的图象和性质 图象 对称轴 直线（平行于轴或与轴重合） 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大. 当时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小. 最大（小）值 当时， 当时， 2. 二次函数与的图象之间的关系 向左平移个单位长度, 向右平移个单位长度, 二次函数的图象可由二次函数的图象向左、向右平移得到. (1)当时，抛物线由抛物线向右平移个单位长度 得到，此时对称轴在轴的右侧. (2)当时，抛物线由抛物线向左平移个単位长度得到，此时对称轴轴的左侧.简记为“左加右减”. 【例2】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象．根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 【分析】利用描点法即可画出函数的图象，再根据图象填写表格。 【详解】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象． 先列表： x … 0 1 2 3 … … 0 … … 0 … … 0 … 描点、连线，画出这三个函数的图象: 根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 开口向下 y轴 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小． 开口向下 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小． 开口向下 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小． 【点睛】本题主要考查描点法画函数图象，并通过函数图象得到抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性．熟练画出函数图象并得到抛物线的性质是解题的关键． 知识点三 二次函数y=a（x-h）²+k的图象与性质 1. 二次函的图象和性质 函数 图象（抛物线） 顶点坐标 对称轴 直线 顶点位置 当,时,顶点在第一象限;当,时,顶点在第二象限; 当,时,顶点在第三象限;当,时,顶点在第四象限 开口方向 向上 向下 增减性 在对称轴左侧，即当时，随的增大而减小;在对称轴右侧，即当时，随的增大而增大 在对称轴左侧,即当时，随的增大而增大;在对称轴右侧,即当时，随的增大而减小 最值 当时， 当时， 2. 二次函数与的图象间的关系 由的图象到的图象具体的平移操作如图所示: 特别提醒： （1）的取值要以顶点的横坐标为中间值，左右对称各选取几个适当间距的自变量的值，并求出相应的函数值,最后描点、连线. （2）因为从中可以直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常把叫做二次函数的顶点式. （3）二次函数的图象平移规律：函数图象的平移,形状大小均不变;左右平移在括号，上下平移在末梢;左加右减须牢记，上加下减错不了. 【例3】已知函数． (1)函数图象的开口方向是____________，对称轴是____________，顶点坐标为____________． (2)当x____________时，y随x的增大而减小． (3)怎样移动抛物线就可以得到抛物线 解：(1)向下，直线 (2) (3)把抛物线向右平移4个已知函数． 知识点四 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质 1. 用配方法化二次函数解析式为的形式 = = = = ∴抛物线的顶点坐标为，我们把它叫做. 特别提醒 抛物线顶点坐标的两种求法： (1)运用顶点坐标公式可直接求出抛物线的顶点坐标 (2)利用配方法将函数化为顶点式,进而求出抛物线的顶点坐标. 【例4】已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 分析：利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确答案． 解析：对于二次函数， 令，则，∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵，∴， ∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上， ∴可以排除A选项和D选项； B选项和C选项中，抛物线的对称轴， ∵ ，∴， ∴抛物线开口向下，可以排除B选项， 故选C． 点评：本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键． 2. 二次函数图象的两种画法 （1）描点法 ①利用配方法把二次函数化成的形式 ②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点标 ③在对称轴两侧，以顶点为中心,左右对称点描点画图 (2) 平移法 ①利用配方法把二次函数化成的形式，确定其顶点 ②作出函数的图象 ③将函数的图象进行平移，使其顶点平移到点 3. 二次函数的图象和性质 函数 （,,是常数，） 函数图象 （抛物线） 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 增减性 如果，当 时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大. 如果，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小. 最值 抛物线有最低点,当时，有最小值, 抛物线有最高点,当时，有最大值, 4. 二次函数的图象特征与 a,b,c 的符号之间的关系 字母的符号 图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为轴 （,同号） 对称轴在轴左侧 （,异号） 对称轴在轴右侧 图象过原点 与轴正半轴相交 与轴负半轴相交 二次函数重要结论 （1）当时,. 此时若,则;若则;若，则 （2）当时, （3）当时,. 此时若,则;若,则 ;若,则. （4）当时,. 【例5】如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④． 正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点已经x=-1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a－b＋c＜0，即可判断④． 【详解】∵对称轴为直线x=1，-2<x1<-1，∴3＜x2＜4，①正确， ∵ = 1，∴b=- 2а，∴3a＋2b= 3a-4a= -a， ∵a＞0，∴3a+2b<0，②错误； ∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2 - 4ac > 0，根据题意可知x=-1时，y<0，∴a－b＋c<0，∴a＋c<b， ∵a＞0，∴b=-2a<0，∴a＋c<0，∴b2 -4ac > a+ c，∴b2＞a＋c＋4ac，③正确； ∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴a＞0，c<0， ∴a>c，∵a-b＋c<0，b=-2a，∴3a+c<0，∴c<-3a，∴b=–2a，∴b＞c，以④错误； 故选B 【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性． 考点一：y=ax2+k的图象和性质 例1．（2024·安徽池州·三模）下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（23-24九年级下·安徽亳州·开学考试）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）二次函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（23-24九年级下·安徽亳州·开学考试）函数的图象，当时，y的值随x的值增大而 ．（填“增大”或“减小”） 考点二：二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 例2. （2024·安徽马鞍山·二模）下列函数中，当时，y随x的值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·安徽宿州·二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【变式2-2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（23-24九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）抛物线的对称轴是直线，且过点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标． 考点三：二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 例3. （23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习）二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2024·安徽蚌埠·三模）已知二次函数． （1）当，时，该函数图象的顶点坐标为 ； （2）当时，y的最大值为7；当时，y的最大值为3，则 ． 【变式3-2】（2024·安徽滁州·模拟预测）已知点，都在抛物线上，且． （1）若，则 ； （2）若点，在对称轴两侧，且，，当时，的最大值为0，则的取值范围是 ． 考点四：y=ax2+bx+c化成顶点式 例4. （23-24九年级下·安徽池州·开学考试）二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·安徽淮南·三模）已知二次函数 （1）若则函数的最大值为 ． （2）若当时，的最大值为5，则的值为 ． 【变式4-2】（2024·安徽亳州·三模）已知，抛物线经过点，其顶点为． (1)求点的坐标（用表示）； (2)若该抛物线与轴的交点为，如图． ①当的面积为时，求的值； ②当为直角三角形时，求点的坐标． 【变式4-3】（2024·安徽亳州·三模）已知，抛物线经过点，其顶点为． (1)求点的坐标（用表示）； (2)若该抛物线与轴的交点为，如图． ①当的面积为时，求的值； ②当为直角三角形时，求点的坐标． 考点五：画y=ax2+bx+c的图象 例5. （23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，函数的图象经过点A，B，C． (1)求b，c的值； (2)画出这个函数的图象； (3)结合函数图象，当时，y的取值范围为______． 【变式5-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数． (1)将二次函数化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出的大致图象，并根据图象直接写出时，的取值范围． 【变式5-2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 0 5 … (1)求这个二次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当x取什么值时，y随x的增大而减小？ 【变式5-3】（23-24九年级上·安徽·期中）已知二次函数． (1)求该二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． 考点六：二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 例6. （2024·安徽阜阳·三模）若将抛物线向左平移1个单位长度或向右平移3个单位长度后都经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2024·安徽合肥·三模）直线与抛物线位于同一坐标系内，下列关于它们的说法不正确的是（　　） A．当时，随的增大而增大 B．当时，的图像一定不过第三象限 C．当时，与交点的横坐标的范围是 D．与的图像一定有两个交点 【变式6-2】（2024·安徽淮北·三模）已知抛物线经过点，． （1）该抛物线的对称轴为 ． （2）点A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则n的取值范围是 ． 【变式6-3】（2024·安徽合肥·三模）二次函数的对称轴为直线，点，都在函数图象上． （1） ； （2）若，则的取值范围为 ． 【变式6-4】（2024·安徽滁州·三模）如图1，以点 A，B 为端点的实线是一条开口向下的抛物线的一段，点C 是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，于点 D，，则称实线表示的部分为该抛物线上的“正抛线”，点A，B 分别为“正抛线”的左、右端点，点 C 为“正抛线”的顶点，的长为“正抛线”的高． (1)已知高为4的“正抛线”左端点在坐标原点，求该“正抛线”所在抛物线的表达式； (2)已知抛物线 上的“正抛线”以原点为左端点，求b； (3)如图2，一种图案由大小两种不同的“正抛线”组成，在平面直角坐标系中，所有大“正抛线”的端点都在x轴上，小“正抛线”的端点都在与其相邻的大“正抛线”上，所有“正抛线”的顶点都在同一条直线上．求大“正抛线”与小“正抛线”高之比． 考点七：二次函数图象与各项系数符号 例7. （23-24九年级上·安徽·阶段练习）如图是二次函数的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方有两个不相等的实数根；⑤，其中正确（    ） A．①②③ B．①③④⑤ C．①④ D．②③⑤ 【变式7-1】（23-24九年级下·安徽安庆·开学考试）二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；⑤若，则．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式7-2】（23-24九年级下·安徽六安·期中）如图，抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点C，其对称轴为直线．    （1）若一次函数的图象经过点A，则点所在的象限是 ； （2）若点M是抛物线的顶点，且，则 ． 考点八：一次函数、二次函数图象综合判断 例8. （2024·安徽合肥·二模）如图，已知一次函数的图象与一次函数的图象交于第一象限的点A，与x轴交于点，则函数的图象可能是（    ）    A．    B．   C． D．   【变式8-1】（2024·安徽亳州·三模）二次函数与一次函数（，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）函数与的图象可能是（   ） A．   B．  C．   D．   【变式8-3】（2024·安徽合肥·二模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B．C． D． 考点九：两个二次函数图象综合判断 例9. （2024·湖北武汉·二模）函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】 （22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（    ） A．B．C．D． 【变式9-2】 （2022·四川绵阳·三模）抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 【变式9-3】（2023·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G．    (1)求抛物线G的对称轴及其图象与轴的交点坐标； (2)如果抛物线与抛物线G关于轴对称，直接写出抛物线的表达式； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记抛物线G与抛物线围成的封闭区域（不包括边界）为W． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求的取值范围． 考点十：根据二次函数的图象判断式子符号 例10. （2024·安徽池州·三模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】 （23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式10-2】（23-24九年级上·安徽宿州·期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②；③m为任意实数时，；④；⑤若，且，则．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式10-3】（23-24九年级上·安徽滁州·期末）二次函数的顶点坐标为．其部分图象如图所示．下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，是抛物线上的两点，则 D．关于x的方程无实数根 【变式10-4】（21-22九年级上·安徽六安·期中）如图，抛物线的顶点坐标是，以下结论：①；②；③；④．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 考点十一：已知抛物线上对称的两点求对称轴 例11. （23-24九年级上·安徽黄山·期末）点，是抛物线上的两点，则该抛物线的顶点可能是（   ） A． B． C． D． 【变式11-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若不等式的解集为或，则的值为(    ) A． B． C．1 D．3 【变式11-2】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知点，，在同一个函数的图像上，则这个函数可能是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线（a，h是常数）与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，抛物线中的自变量x与函数值y的部分对应值如表所示： x … 0 1 3 4 … … 6 … 下列结论正确的是（    ） A．此抛物线有最大值 B．当时，y随x的增大而增大 C．点A的坐标是，点B的坐标是 D．抛物线的对称轴是直线 【变式11-4】（23-24九年级上·安徽安庆·期中）已知抛物线经过，两点，则的值为 ． 考点十二：根据二次函数的对称性求函数值 例12. （23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标是，它与轴的另一个交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式12-1】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出的下列结论中不正确的是（    ） A． B．当时， C．若点、均在该二次函数图象上，则． D．若直线与该二次函数的图象的一个交点坐标为，则关于的一元二次方程的解是， 【变式12-2】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知关于直线对称的抛物线经过，两点，且点，分别位于拋物线对称轴的两侧，则位于对称轴左侧的点是 （填或），若此时，则的取值范围是 ． 【变式12-3】（2024·安徽六安·一模）如图，二次函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点P． (1)求点P的坐标； (2)当时，二次函数的最大值是15，求a的值； (3)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，点C的坐标为，，求当取何值时，的值最小，最小值是多少？ 考点十三：y=ax2+bx+c的最值 例13. （2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线与轴相交于点，与轴相交于点和点，直线：经过定点．    (1)求和的值及点的坐标； (2)如图，当时，位于直线上方的抛物线上有一点，过点作轴交直线于点，求的最大值； (3)如图，连接并延长，将射线绕点顺时针旋转后，与抛物线相交于点，求点的坐标． 【变式13-1】 （2024·安徽合肥·三模）如图，抛物线与直线的两个交点，都在坐标轴上，与轴上另一交点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的一个动点，连接，，记，①求关于的函数解析式；②求出的最小值． 【变式13-2】 （23-24九年级下·安徽淮北·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求拋物线的表达式； (2)如图，点是第四象限抛物线上的动点，令四边形的面积为，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图，点是第三象限抛物线上一点，直线交轴于点，直线交轴于点，若四边形的面积被坐标轴分为两部分，求点的坐标． 【变式13-3】（2024·安徽芜湖·三模）如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，连接，已知抛物线的对称轴为直线，． (1)求，的值． (2)若点在线段上，过点作，交抛物线于点，求线段的最大值． (3)若点在轴上，点在抛物线上，当，，，为平行四边形的四个顶点时，求点的坐标． 考点十四：利用二次函数对称性求最短路径 例14. （23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【变式14-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为      (1)求抛物线的顶点坐标； (2)已知P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． 【变式14-2】（22-23九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于x的二次函数． (1)若该函数图象经过． ①求a的值； ②设抛物线与x轴正半轴交于点B，交y轴于点C，点P是直线上的动点，求的最小值． (2)在时，该函数的最大值与最小值之差为8，求a的值． 【变式14-3】（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； (3)如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 考点十五：二次函数图象的平移 例15. （2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线：的顶点坐标为，与轴正半轴交于点，与轴交于点． （1）点的坐标为 ； （2）将抛物线沿轴向右平移个单位长度，平移后的抛物线与抛物线相交于点，且点在第四象限内，当的面积最大时，的值为 ． 【变式15-1】（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线与直线都经过点，直线与抛物线L的对称轴交于点B． (1)求m的值； (2)求证：； (3)当时，将抛物线L向左平移个单位得到抛物线P，抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，且点M在点B的下方．过点A作x轴的平行线交抛物线P于点N，且点N在点A的右侧，求的最大值，并求出此时n的值． 【变式15-2】（2024·安徽池州·二模）如图，抛物线与正半轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求直线的解析式及抛物线的解析式； (2)如图，点为第一象限抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，求当点的横坐标为多少时，最大； (3)如图，将抛物线向左平移得到抛物线，直线与抛物线交于、两点，若点是线段的中点，求抛物线的解析式． 【变式15-3】（23-24九年级下·安徽安庆·开学考试）已知抛物线K：关于直线对称，且经过点． (1)求抛物线K的函数表达式； (2)若抛物线K与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．求A、B、C三点的坐标，并求的面积； (3)将抛物线K向左或向右平移，得到抛物线，且与x轴相交于、两点（点在点的左侧），并与y轴相交于点，要使和的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式． 考点十六：二次函数综合 例16. （2024·安徽滁州·模拟预测）已知抛物线关于直线对称，且经过点． (1)求，的值； (2)若两点，都在抛物线上，分别过点，作轴的垂线，分别与直线交于点，． ①如图1，当时，连接，求与的面积之和； ②如图2，当时，试说明四边形的面积不可能等于． 【变式16-1】（2024·安徽六安·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于O(O 为原点)，两点，已知二次函数图象经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)已知y 轴上一点，点P是二次函数图象上位于x 轴下方的一点，连接，，．设点P的横坐标为t，的面积为S． ①求直线表达式； ②当S取最大值时，求点P的坐标． 【变式16-2】（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知． (1)求a，b的值； (2)已知横坐标为t的点P为对称轴左侧的抛物线上一动点，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M， ①若与的面积之和为8，求t的值； ②过点P作x轴的垂线，垂足为N，直线交线段于点D，是否存在这样的点P，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【变式16-3】（2024·安徽合肥·二模）如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且． (1)求二次函数的表达式； (2)过点，作直线于点，作轴于点，并交于点． ①当时，求的长； ②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【变式16-4】（2024·安徽淮北·三模）如图1，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点P为对称轴l上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点P的坐标； (3)如图2，点Q为抛物线上一点，若以O，P，B，Q四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点Q的坐标． 【例1】抛物线是由抛物线先向右平移2个单位，再向上下平移3个单位得到的，求b、c的值为. 易错攻克 在求解这类题时，二次函数的配方过程要仔细，函数图象的平移方向易出错，要分清两抛物线是如何平移得到对方的. 【例2】已知抛物线的顶点坐标为,与轴的交点坐标为,求此抛物线对应的函数表达式. 易错攻克 顶点坐标为,二次函数表达式的顶点式可设为不要忘记改变前的符号. 1．（2024·安徽淮南·模拟预测）如图，E是线段上一点，在线段的同侧分别以为斜边作等腰和等腰，，分别是，的中点．若，则下列结论错误的是（    ）． A．的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．周长的最小值为 D．的最小值为3 2．（2024·安徽安庆·三模）如图，边长为4的正方形中，E为上一点，且，F为边上一动点，将线段绕点F顺时针旋转得到线段，连接，则最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 3．（2024·安徽淮北·三模）如图，，点B为线段上一动点，以为边作正方形，点E始终为边的中点，连接，当取得最小值时，的长为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·安徽淮北·三模）抛物线经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为． （1）a的值为 ； （2）若点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q位于一次函数的图像上．当时，的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是 ． 5．（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线经过，两点，且A、B两点在该抛物线对称轴同侧． （1）若抛物线经过，则m= ． （2）若时，，则m的取值范围是 ． 6．（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线交y轴于点A，其对称轴交x轴于点B，直线交抛物线于另一点C． （1）点B的坐标为 ； （2）点P是直线下方抛物线上的一动点（与点A，C不重合），则的面积的最大值为 ． 7．（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线（是常数且）． （1）该抛物线的对称轴为直线 ； （2）该抛物线经过和两点，当，时，均有，则的取值范围为 ． 8．（19-20九年级上·江苏盐城·期中）已知抛物线的顶点坐标为（2，1），且经过点（-1，-8）． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）求抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）若自变量x的取值范围是，求对应的函数值y的取值范围． 9．（2024·江苏连云港·二模）如图，已知、、三点的坐标分别为、、，抛物线的图象经过、两点    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作线段的平行线，交抛物线于点，连接，试判断四边形的形状； (3)点为线段上一动点，过点作轴的平行线，交该抛物线于点，当线段的长最大时，求点的坐标． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！36 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质 模块一 思维导图串知识 模块二 基础知识全梳理（吃透教材） 模块三 核心考点举一反三 模块四 小试牛刀过关测 1．正确理解抛物线的有关概念；(重点) 2．会用描点法画出二次函数y＝ax2的图象，概括出图象的特点；(重点) 3．掌握形如y＝ax2的二次函数图象的性质，并会应用；(难点) 4．通过动手操作、合作交流，积累数学活动经验，培养动手能力和观察能力． 知识点一 二次函数y=ax²+k的图象和性质 1. 二次函数的图象和性质 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 轴（或直线） 顶点坐标 最大（小）值 当=0时，最小值＝ 当=0时，最大值＝ 增减性 当时，随的增大而减小， 当时，随的增大而增大. 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小. 2. 二次函数与的图象之间的关系 向上平移个单位长度 （） 向下平移个单位长度 （） 【例1】将函数、与函数的图像进行比较，函数、的图像有哪些特征？完成下表． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 【分析】根据抛物线与抛物线的性质进行比较即可． 【解答】抛物线（其中、是常数，且）的对称轴是轴，即直线；顶点坐标是．抛物线的开口方向由所取值的符号决定，当时，开口向上；当时，开口向下． 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 向上 轴 向上 轴 向上 轴 【点睛】本题考查了的性质，掌握抛物线与抛物线的性质是解题的关键． 【变式1-1】已知函数是关于x的二次函数． (1)求m的值； (2)函数图象的两点，，若满足，则此时m的值是多少？ 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据二次函数的定义可得，，即可求解； （2）点，，且，可得在对称轴右边，y随x的增大而减小，即可进行解答． 【详解】（1）解：∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得：或． （2）∵该函数的对称轴为y轴，点，，且， ∴在对称轴右边，y随x的增大而减小， ∴，解得 ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象定义和性质，解题的关键是掌握二次函数的二次项系数不为0，次数最高为2；时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小． 知识点二 二次函数y=a（x-h）²的图象与性质 1. 二次函数的图象和性质 图象 对称轴 直线（平行于轴或与轴重合） 顶点坐标 增减性 当时，随的增大而减小； 时，随的增大而增大. 当时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小. 最大（小）值 当时， 当时， 2. 二次函数与的图象之间的关系 向左平移个单位长度, 向右平移个单位长度, 特别提醒 二次函数的图象可由二次函数的图象向左、向右平移得到. (1)当时，抛物线由抛物线向右平移个单位长度 得到，此时对称轴在轴的右侧. (2)当时，抛物线由抛物线向左平移个単位长度得到，此时对称轴轴的左侧.简记为“左加右减”. 【例2】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象．根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 【分析】利用描点法即可画出函数的图象，再根据图象填写表格。 【详解】在同一直角坐标系中，画出二次函数、与的图象． 先列表： x … 0 1 2 3 … … 0 … … 0 … … 0 … 描点、连线，画出这三个函数的图象: 根据所画图象，填写下表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 开口向下 y轴 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小． 开口向下 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小． 开口向下 当时，y随x的增大而减大； 当时，y随x的增大而增小． 【点睛】本题主要考查描点法画函数图象，并通过函数图象得到抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性．熟练画出函数图象并得到抛物线的性质是解题的关键． 知识点三 二次函数y=a（x-h）²+k的图象与性质 1. 二次函的图象和性质 函数 图象（抛物线） 顶点坐标 对称轴 直线 顶点位置 当,时,顶点在第一象限;当,时,顶点在第二象限; 当,时,顶点在第三象限;当,时,顶点在第四象限 开口方向 向上 向下 增减性 在对称轴左侧，即当时，随的增大而减小;在对称轴右侧，即当时，随的增大而增大 在对称轴左侧,即当时，随的增大而增大;在对称轴右侧,即当时，随的增大而减小 最值 当时， 当时， 2. 二次函数与的图象间的关系 由的图象到的图象具体的平移操作如图所示: 特别提醒： （1）的取值要以顶点的横坐标为中间值，左右对称各选取几个适当间距的自变量的值，并求出相应的函数值,最后描点、连线. （2）因为从中可以直接看出抛物线的顶点坐标，所以通常把叫做二次函数的顶点式. （3）二次函数的图象平移规律：函数图象的平移,形状大小均不变;左右平移在括号，上下平移在末梢;左加右减须牢记，上加下减错不了. 【例3】已知函数． (1)函数图象的开口方向是____________，对称轴是____________，顶点坐标为____________． (2)当x____________时，y随x的增大而减小． (3)怎样移动抛物线就可以得到抛物线 解：(1)向下，直线 (2) (3)把抛物线向右平移4个已知函数． 知识点四 二次函数y=ax2＋bx＋c的图象和性质 1. 用配方法化二次函数解析式为的形式 = = = = ∴抛物线的顶点坐标为，我们把它叫做顶点坐标公式. 特别提醒 抛物线顶点坐标的两种求法： (1)运用顶点坐标公式可直接求出抛物线的顶点坐标 (2)利用配方法将函数化为顶点式,进而求出抛物线的顶点坐标. 【例4】已知二次函数，其中、，则该函数的图象可能为（    ） A． B． C． D． 分析：利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，排除B选项，即可得出C为正确答案． 解析：对于二次函数， 令，则，∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵，∴， ∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上， ∴可以排除A选项和D选项； B选项和C选项中，抛物线的对称轴， ∵ ，∴， ∴抛物线开口向下，可以排除B选项， 故选C． 点评：本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键． 2. 二次函数图象的两种画法 （1）描点法 ①利用配方法把二次函数化成的形式 ②确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点标 ③在对称轴两侧，以顶点为中心,左右对称点描点画图 (2) 平移法 ①利用配方法把二次函数化成的形式，确定其顶点 ②作出函数的图象 ③将函数的图象进行平移，使其顶点平移到点 3. 二次函数的图象和性质 函数 （,,是常数，） 函数图象 （抛物线） 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 顶点坐标 增减性 如果，当 时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大. 如果，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小. 最值 抛物线有最低点,当时，有最小值, 抛物线有最高点,当时，有最大值, 4. 二次函数的图象特征与 a,b,c 的符号之间的关系 字母的符号 图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为轴 （,同号） 对称轴在轴左侧 （,异号） 对称轴在轴右侧 图象过原点 与轴正半轴相交 与轴负半轴相交 二次函数重要结论 （1）当时,. 此时若,则;若则;若，则 （2）当时, （3）当时,. 此时若,则;若,则 ;若,则. （4）当时,. 【例5】如图，二次函数的图象关于直线对称，与x轴交于，两点，若，则下列四个结论：①，②，③，④． 正确结论的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点已经x=-1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a－b＋c＜0，即可判断④． 【详解】∵对称轴为直线x=1，-2<x1<-1，∴3＜x2＜4，①正确， ∵ = 1，∴b=- 2а，∴3a＋2b= 3a-4a= -a， ∵a＞0，∴3a+2b<0，②错误； ∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2 - 4ac > 0，根据题意可知x=-1时，y<0，∴a－b＋c<0，∴a＋c<b， ∵a＞0，∴b=-2a<0，∴a＋c<0，∴b2 -4ac > a+ c，∴b2＞a＋c＋4ac，③正确； ∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴a＞0，c<0， ∴a>c，∵a-b＋c<0，b=-2a，∴3a+c<0，∴c<-3a，∴b=–2a，∴b＞c，以④错误； 故选B 【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性． 考点一：y=ax2+k的图象和性质 例1．（2024·安徽池州·三模）下列函数中，y的值随x值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的增减性，一次函数中当一次项系数为正时，y的值随x值的增大而增大，一次项系数为负时，y的值随x值的增大而减小，二次函数中，二次项系数为正时，在y轴右侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴左侧y的值随x值的增大而减小，二次项系数为负时，在y轴左侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴右侧y的值随x值的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解：A、函数在y轴右侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴左侧y的值随x值的增大而减小，不符合题意； B、函数中，在y轴左侧，y的值随x值的增大而增大，在y轴右侧y的值随x值的增大而减小，不符合题意； C、函数中，y的值随x值的增大而增大，符合题意； D、函数中，y的值随x值的增大而减小，不符合题意； 故选：C． 【变式1-1】（23-24九年级下·安徽亳州·开学考试）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线的顶点坐标，熟练掌握定义解答的关键． 【详解】根据题意，得抛物线的顶点坐标是， 故选A． 【变式1-2】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）二次函数的图象的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数的顶点式中顶点坐标为．由二次函数解析式可得顶点坐标为． 【详解】解：∵， ∴抛物线顶点为． 故选：D． 【变式1-3】（23-24九年级下·安徽亳州·开学考试）函数的图象，当时，y的值随x的值增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】本题考查了抛物线的增减性，根据抛物线开口向下，对称轴的右边，y随x的增大减小解答即可． 【详解】∵， ∴抛物线开口向下， ∴，即对称轴的右边，y随x的增大减小， 故答案为：减小． 考点二：二次函数y=a(x-h)2的图象和性质 例2. （2024·安徽马鞍山·二模）下列函数中，当时，y随x的值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的增减性，对于一次函数当一次项系数大于0时，则y随x的值的增大而增大，当一次项系数小于0时，则y随x的值的增大而减小，对应二次函数当二次系数大于0时，在对称轴右侧，y随x的值的增大而增大，在对称轴左侧y随x的值的增大而减小，当二次系数小于0时，在对称轴右侧，y随x的值的增大而减小，在对称轴左侧y随x的值的增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：A、由于，则当时，y随x的值的增大而减小，不符合题意； B、由于，则当时，y随x的值的增大而增大，符合题意； C、由于，对称轴为直线，则当时，y随x的值的增大而减小，不符合题意； D、由于，对称轴为直线，则当时，y随x的值的增大而增大，当时，y随x的值的增大而减小，不符合题意； 故选：B． 【变式2-1】（2024·安徽宿州·二模）对于二次函数的图象，下列说法不正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而增大 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，能根据所给函数表达式得出开口向下、对称轴、顶点坐标和增减性是解题的关键． 根据二次函数的表达式，可得出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标及增减性，据此可解决问题． 【详解】解：A、因为二次函数的表达式为，所以抛物线的开口向上．故此选项说法正确，不符合题意； B、抛物线的对称轴是直线，故此选项说法正确，不符合题意； C、因为抛物线的顶点坐标为，故此选项说法正确，不符合题意； D、因为抛物线的对称轴为直线，且开口向上，所以当时，随的增大而减小，故此选项说法不正确，符合题意； 故选：D． 【变式2-2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题关键是利用顶点坐标的变化确定抛物线的变换．根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数、纵坐标相同，求出对称后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标为， 关于y轴对称的抛物线的顶点坐标为， 与抛物线关于y轴成轴对称关系的抛物线是． 故选：C． 【变式2-3】（23-24九年级上·安徽蚌埠·阶段练习）抛物线的对称轴是直线，且过点． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点坐标． 【答案】(1)； (2)； 【分析】（1）由对称轴可求得的值，再把代入可求得的值，再求抛物线的解析式； （2）由顶点式可求得抛物线的顶点坐标． 【详解】（1）抛物线的对称轴是直线， ，解得， 抛物线的解析式为， 抛物线过点， ，解得， 抛物线解析式为； （2）由（1）可知抛物线的顶点坐标为； 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数，利用待定系数法求得抛物线的解析式是解题的关键． 考点三：二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 例3. （23-24九年级下·安徽滁州·阶段练习）二次函数的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质．根据二次函数的顶点为即可得． 【详解】解：由二次函数得，顶点坐标为， 故选：D． 【变式3-1】（2024·安徽蚌埠·三模）已知二次函数． （1）当，时，该函数图象的顶点坐标为 ； （2）当时，y的最大值为7；当时，y的最大值为3，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图像的性质、待定系数法等知识点，掌握二次函数图像的性质成为解题的关键． （1）将、代入二次函数，然后再配方即可解答； （2）先把函数解析式化成顶点式确定顶点坐标，再判定抛物线开口方向向下，然后根据题意可得时，；当时，，再代入函数解析式求得m、n，最后求和即可． 【详解】解：（1）当、时， ， ∴该函数图象的顶点坐标为； （2）∵， ∴顶点坐标为， ∵正中，， ∴抛物线开口向下， ∵当时，y的最大值为7；当时，y的最大值为3， ∴该抛物线的顶点坐标在第二象限，即，解得：， ∴当时，；当时，， ∴，解得：， ∴． 故答案为：，． 【变式3-2】（2024·安徽滁州·模拟预测）已知点，都在抛物线上，且． （1）若，则 ； （2）若点，在对称轴两侧，且，，当时，的最大值为0，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，已知二次函数图象上两点纵坐标的大小：当，点与对称轴的距离越小，值越小；当时，点与对称轴的距离越小，值越大． （1）根据得出点，关于直线对称，再联立方程组求解即可； （2）根据当，点与对称轴的距离越小，值越小，列出式子求值即可得出答案． 【详解】（1）， 点，关于直线对称， ． ， 联立，得 解得． ； 故答案为：； （2）点，在直线两侧，且， 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧， ，． ， ，即． ， 点到对称轴的距离比点到对称轴的距离远， ， ， 解得， ， ， ， 即． 由题意知当时，有最大值0， ，即， 的取值范围是． 故答案为：． 考点四：y=ax2+bx+c化成顶点式 例4. （23-24九年级下·安徽池州·开学考试）二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次函数的顶点坐标，熟练掌握二次函数顶点坐标的求法是解题的关键．将二次函数配方，即得答案． 【详解】， 该二次函数的图象的顶点坐标为． 故选A． 【变式4-1】（2024·安徽淮南·三模）已知二次函数 （1）若则函数的最大值为 ． （2）若当时，的最大值为5，则的值为 ． 【答案】 4 1或 【分析】本题考查二次函数的最值问题．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． （1）由题意可知此时二次函数为，再将其变为顶点式即得出答案； （2）将该抛物线一般式改为顶点式，即得出该抛物线对称轴为直线，再分类讨论当时和当时，结合二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】解：（1）当时，该二次函数为， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为． 故答案为：； （2）∵， ∴该二次函数的对称轴为直线． 当时，抛物线开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大． ∵x轴上到的距离比到的距离大， ∴当时，y有最大值， ∴， 解得：； 当时，抛物线开口向下， ∴当时，y有最大值，最大值为， ∴， 解得：． 综上可知a的值为或． 故答案为：1或． 【变式4-2】（2024·安徽亳州·三模）已知，抛物线经过点，其顶点为． (1)求点的坐标（用表示）； (2)若该抛物线与轴的交点为，如图． ①当的面积为时，求的值； ②当为直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，特殊三角形问题； （1）将点代入解析式得出，进而化为顶点式，即可求解； （2）①根据解析式，得出抛物线与轴的交点的坐标为，过点作平行于轴的直线交轴于点，交于点，过点作于点，根据建立方程，即可求解． ②由①得点的坐标为，点的坐标为．勾股定理分别求得，根据为直角三角形，分类讨论，利用勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ， ， ， 顶点的坐标为． （2）①当时，， 抛物线与轴的交点的坐标为． 如图所示，过点作平行于轴的直线交轴于点，交于点，过点作于点， 设直线的表达式为， 把，代入 得， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为， ， ， 解得； ②由①得点的坐标为，点的坐标为． ， ，， 为直角三角形， 分以下几种情况： 当时，， ， 整理得， 解得或（舍去）， 点的坐标为； 当时，， ， 整理得， 解得或（舍去）， 点的坐标为； 当时，， ， 整理得，此方程无实数解； 综上，点的坐标为或． 【变式4-3】（2024·安徽亳州·三模）已知，抛物线经过点，其顶点为． (1)求点的坐标（用表示）； (2)若该抛物线与轴的交点为，如图． ①当的面积为时，求的值； ②当为直角三角形时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，特殊三角形问题； （1）将点代入解析式得出，进而化为顶点式，即可求解； （2）①根据解析式，得出抛物线与轴的交点的坐标为，过点作平行于轴的直线交轴于点，交于点，过点作于点，根据建立方程，即可求解． ②由①得点的坐标为，点的坐标为．勾股定理分别求得，根据为直角三角形，分类讨论，利用勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：抛物线经过点， ， ， ， 顶点的坐标为． （2）①当时，， 抛物线与轴的交点的坐标为． 如图所示，过点作平行于轴的直线交轴于点，交于点，过点作于点， 设直线的表达式为， 把，代入 得， 解得， 直线的表达式为， 当时，， 点的坐标为， ， ， 解得； ②由①得点的坐标为，点的坐标为． ， ，， 为直角三角形， 分以下几种情况： 当时，， ， 整理得， 解得或（舍去）， 点的坐标为； 当时，， ， 整理得， 解得或（舍去）， 点的坐标为； 当时，， ， 整理得，此方程无实数解； 综上，点的坐标为或． 考点五：画y=ax2+bx+c的图象 例5. （23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，函数的图象经过点A，B，C． (1)求b，c的值； (2)画出这个函数的图象； (3)结合函数图象，当时，y的取值范围为______． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据函数图象，可以写出A、B、C的坐标，从而可以求得b、c的值； （2）根据（1）中b、c的值可以写出函数解析式，从而可以画出函数图象； （3）根据函数图象，可以写出当时，y的取值范围． 本题考查二次函数的性质、二次函数的图象，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 【详解】（1）解：由图象可得， 点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， 则， 解得， 即b、c的值分别是2，3； （2）由（1）知，，， ， 该函数的顶点坐标为，对称轴为直线，图象开口向下， 由对称性可知，图象过点， 所画的函数图象如图所示； （3）由图象可得， 当时，y的取值范围为， 故答案为：． 【变式5-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知二次函数． (1)将二次函数化成的形式； (2)在平面直角坐标系中画出的大致图象，并根据图象直接写出时，的取值范围． 【答案】(1) (2)图象见解析， 【分析】本题主要考查了画二次函数图像，求二次函数的顶点式，根据图像求二次函数的自变量取值范围，对于（1），配方得出顶点式即可； 对于（2），先求出图像的顶点坐标，与x轴交点坐标，并画出图像，再根据图象在x轴下方时函数值小于0得出答案． 【详解】（1）； （2）由（1）得顶点坐标是； 当时，，， 可知抛物线与x轴的交点是，． 画出图像如图所示． 当时，． 【变式5-2】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表： x … 0 1 2 … y … 5 0 0 5 … (1)求这个二次函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当x取什么值时，y随x的增大而减小？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据表格数据，设二次函数的表达式为，把点代入即可求出二次函数表达式； （2）描点、连线，画出函数图象； （3）根据图象即可求解． 【详解】（1）由题意，设二次函数的表达式为， ∵二次函数经过点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为，即． （2）描点、连线，画出图形如图所示． （3）观察函数图象可知：当时，y随x的增大而减小． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，画二次函数的图象以及二次函数的性质．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解． 【变式5-3】（23-24九年级上·安徽·期中）已知二次函数． (1)求该二次函数的对称轴和顶点坐标； (2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象． 【答案】(1)二次函数的对称轴为直线，顶点坐标为： (2)见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象、配方法求其顶点坐标． （1）化为顶点式，求出二次函数顶点坐标和对称轴； （2）利用（1）中所求进而画出函数图象． 【详解】（1）∵， ∴对称轴为：直线，顶点坐标为：； （2）令，则， 令，则， 解得，，， 所以，过，，，的函数图象如图所示： 考点六：二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质 例6. （2024·安徽阜阳·三模）若将抛物线向左平移1个单位长度或向右平移3个单位长度后都经过点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象与上点的坐标特征，二次函数图象与与系数的关可，求得抛物线的对称轴是轴是解题的关键． 由题意可知抛物线与轴的交点为和，则抛物线的对称轴为轴，即可求得． 【详解】∵将抛物线向左平移1个单位或向右平移3个单位后都经过点， ∴抛物线经过点和， ， ， 故选：D． 【变式6-1】（2024·安徽合肥·三模）直线与抛物线位于同一坐标系内，下列关于它们的说法不正确的是（　　） A．当时，随的增大而增大 B．当时，的图像一定不过第三象限 C．当时，与交点的横坐标的范围是 D．与的图像一定有两个交点 【答案】C 【分析】本题考查一次函数和二次函数的图象和性质，掌握函数的图像和性质是解题的关键． 【详解】解：，故当时，随的增大而增大，A选项正确，不符合题意； 当时，过二，四象限，由于直线必定过，故直线过一，二，四象限，不过第三象限，B选项正确，不符合题意； 当时，，故在抛物线内部，故与的图像一定有两个交点，且与交点分在的两侧，故D选项正确，不符合题意； 由此可知，C选项不正确，符合题意； 故选：C． 【变式6-2】（2024·安徽淮北·三模）已知抛物线经过点，． （1）该抛物线的对称轴为 ． （2）点A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则n的取值范围是 ． 【答案】 直线 【分析】（1）根据二次函数的性质即可解答； （2）由题意得，抛物线的对称轴为，开口向上，再分情况讨论：其一点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧；其二点A在对称轴的右侧，点B在对称轴的左侧，解相应的不等式组即可得出答案． 【详解】（1）抛物线的对称轴为：， 故答案为：直线； （2）， 抛物线开口向上， ， 若点A在对称轴的左侧，点B在对称轴的右侧， 由题意可得： 解得； 若点A在对称轴的右侧，点B在对称轴的左侧， 由题意可得： 不等式组无解， n的取值范围为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标的特征，能根据题意正确列出不等式组是解决本题的关键． 【变式6-3】（2024·安徽合肥·三模）二次函数的对称轴为直线，点，都在函数图象上． （1） ； （2）若，则的取值范围为 ． 【答案】 1 或 【分析】本题考查了二次函数图象的性质及点的坐标特征，二次函数与不等式． （1）根据对称轴，即可求出a的值； （2）根据，列出关于m的不等式即可解得答案． 【详解】解：（1）二次函数的对称轴为直线， ， ， 故答案为：1； （2）点，都在二次函数的图象上， ， ， 即 ， 或． 故答案为： 或． 【变式6-4】（2024·安徽滁州·三模）如图1，以点 A，B 为端点的实线是一条开口向下的抛物线的一段，点C 是抛物线的顶点，直线是抛物线的对称轴，于点 D，，则称实线表示的部分为该抛物线上的“正抛线”，点A，B 分别为“正抛线”的左、右端点，点 C 为“正抛线”的顶点，的长为“正抛线”的高． (1)已知高为4的“正抛线”左端点在坐标原点，求该“正抛线”所在抛物线的表达式； (2)已知抛物线 上的“正抛线”以原点为左端点，求b； (3)如图2，一种图案由大小两种不同的“正抛线”组成，在平面直角坐标系中，所有大“正抛线”的端点都在x轴上，小“正抛线”的端点都在与其相邻的大“正抛线”上，所有“正抛线”的顶点都在同一条直线上．求大“正抛线”与小“正抛线”高之比． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）根据题意，得左端点，，得到右端点，垂足点，顶点或，设抛物线解析式为或，把分别代入解析式，确定的值即可． （2）根据题意，得，解得，且抛物线以原点为左端点，得左端点，，得到右端点，垂足点，根据抛物线，得顶点，设抛物线解析式为，点 代入解析式，计算即可． （3）设抛物线的左端点为A，右端点为B，垂足点为D，顶点为C，小抛物线的左端点为E，右端点为F，垂足点为H，顶点G，根据题意，设左端点，右端点，垂足点，顶点，设抛物线解析式为，抛物线解析式为，设，则，计算解答即可． 【详解】（1）根据题意，得左端点，，右端点，垂足点，顶点或， 设抛物线解析式为或，把分别代入解析式，∴或， 解得或， 故抛物线解析式为或． （2）根据题意，得， 解得， ∵抛物线以原点为左端点， ∴左端点，，右端点，垂足点， ∵抛物线， ∴顶点， 设抛物线解析式为， 把点代入，得， 整理，得， 解得（舍去）， 故． （3）设抛物线的左端点为A，右端点为B，垂足点为D，顶点为C，小抛物线的左端点为E，右端点为F，垂足点为H，顶点G， 根据题意，设左端点，右端点，垂足点， ∵抛物线， ∴顶点， 设抛物线解析式为， 把点代入， 得， 解得， ∴抛物线解析式为， 设，则， 则，， ∴ 整理，得， 解得， 故或， ∴或， ∴或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式的确定，新定义抛物线，熟练掌握待定系数法，正确理解新定义是解题的关键． 考点七：二次函数图象与各项系数符号 例7. （23-24九年级上·安徽·阶段练习）如图是二次函数的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方有两个不相等的实数根；⑤，其中正确（    ） A．①②③ B．①③④⑤ C．①④ D．②③⑤ 【答案】B 【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为 ∴抛物线的对称轴为直线， ∵与x轴的一个交点在点和之间 ∴当时，，即，故①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，即 ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵抛物线顶点坐标为， ∴抛物线与直线有唯一一个交点， 即方程有两个相等的实数根， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的开口向下， ∴ ∴直线与抛物线有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故④正确； ∵时，， ∴， 而 ∴，即， 故⑤正确； 故选：B 【变式7-1】（23-24九年级下·安徽安庆·开学考试）二次函数的图像如图所示，对称轴是直线，下列结论：①；②；③；④；⑤若，则．其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图像与系数的关系，解答此类问题的关键是掌握二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴的交点、抛物线与轴交点的个数确定，解题时要注意数形结合思想的运用．由抛物线的开口向下知，与轴的交点在正半轴上得到，由对称轴为，可对①②进行分析判断；把代入解析式，根据函数图像可对③进行判断；当时，，再根据对称轴可对④进行判断；根据函数的性质可对⑤进行判断． 【详解】解：①抛物线的对称轴是直线， ， ，故①正确； ②抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ，， ， ， ，故②正确； ③把代入解析式，，根据图象时，， ，故③错误； ④当时，， ， ，故④错误； ⑤当时，为最大值， ， ， 故，故⑤正确． 故选：C． 【变式7-2】（23-24九年级下·安徽六安·期中）如图，抛物线与x轴交于点、B，与y轴交于点C，其对称轴为直线．    （1）若一次函数的图象经过点A，则点所在的象限是 ； （2）若点M是抛物线的顶点，且，则 ． 【答案】 四 【分析】本题考查根据二次函数的图象，勾股定理， （1）根据抛物线的位置得到，b，c的值，然后确定k的值判断点的位置即可； （2）由题意可得抛物线的解析式为为，然后得到点C和点M的坐标，利用勾股定理构建方程解题即可． 【详解】（1）∵抛物线开口向上， ∴， 又∵对称轴为， ∴， 又过点， ∴， ∴， ∴点在第四象限， 故答案为：四； （2）又∵抛物线过， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴，， 连接，则，    ∴， 解得（负舍）， 故答案为：． 考点八：一次函数、二次函数图象综合判断 例8. （2024·安徽合肥·二模）如图，已知一次函数的图象与一次函数的图象交于第一象限的点A，与x轴交于点，则函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C． D．   【答案】D 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质、二函数的图象和性质，先求出，，再判断二次函数的图象即可. 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴，即， ∵一次函数与y轴的交点为，一次函数的图象与y轴交于点， ∴由图象可知，，即， 对于二次函数，其开口向上， 顶点的横坐标为，，顶点的纵坐标为， ∴顶点在第三象限，与y轴交于负半轴， 观察图象可知选D. 故选：D 【变式8-1】（2024·安徽亳州·三模）二次函数与一次函数（，是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象综合判断．熟练掌握二次函数和一次函数的图象和性质，是解题的关键． 根据二次函数和一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵二次函数 ∴对称轴为直线，故B，D不符合题意； ∵当时，，， ∴二次函数与一次函数交于y轴上的点，故C不符合题意，A符合题意． 故选：A． 【变式8-2】（23-24九年级下·安徽合肥·阶段练习）函数与的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数和一次函数的性质，解题的关键是根据a，b与0的大小关系以及交点情况进行讨论． 根据二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧判断出a，b与0的大小关系，进而推出一次函数图像经过第一、三、四象限，再利用二次函数与一次函数交点情况即可作出判断． 【详解】解：由四个选项可知，二次函数开口均向上，对称轴在y轴右侧， ∴，， ∴一次函数图像应该经过第一、三、四象限， 当时，即，， 当时，即， 则二次函数与一次函数在x轴上有一交点，且为 A．一次函数图像经过第一、二、四象限，故本选项不符合题意． B．一次函数图像经过第一、三、四象限，且有一交点在x轴上，故本选项符合题意． C．一次函数图像经过第一、三、四象限，但交点均不在x轴上，故本选项不符合题意． D．一次函数图像经过第二、三、四象限，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式8-3】（2024·安徽合肥·二模）一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C．D． 【答案】D 【分析】分析图象，确定，a，b的符号一致的，才是可能的，本题考查了函数图象的分布于特征，熟练掌握图象的分布特征是解题的关键 【详解】A、 根据一次函数图象分布，得到即，根据抛物线的图象，得，矛盾，不符合题意； B、根据一次函数图象分布，得到即，根据抛物线的图象，得，即，，矛盾，不符合题意； C、根据一次函数图象分布，得到即，，根据抛物线的图象，得，即，矛盾，不符合题意； D、根据一次函数图象分布，得到即，，根据抛物线的图象，得，即，一致，符合题意； 故选D 考点九：两个二次函数图象综合判断 例9. （2024·湖北武汉·二模）函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不符合题意； 由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧， 所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不符合题意； 函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不符合题意，选项B符合题意． 故选：B． 【变式9-1】 （22-23九年级下·江苏南京·阶段练习）函数，在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的图像可能是（    ） A． B． C．D． 【答案】A 【分析】根据函数图像的开口大小与轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可． 【详解】解：设，， 由图像知，，，，，，，， ∴， ∵函数的图像开口大于函数的图像开口， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴函数的图像是抛物线，开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上， A．图像开口向下，对称轴在轴的右侧，与轴的交点在轴的正半轴上，故此选项符合题意； B．图像开口向上，故此选项不符合题意； C．图像对称轴在轴的左侧，故此选项不符合题意； D．图像开口向上，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，不等式的性质．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．注意：二次函数的越大，图像开口越小． 【变式9-2】 （2022·四川绵阳·三模）抛物线y1＝（x-h）2＋k与交于点A，分别交y轴于点P，Q，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C．已知B（3，3），BC=10，其中正确结论是： ①；②点（，m）、（，n）及（，p）都在y1上，则p＜n＜m；③y1≥y2，则x≤1；④PQ＝． A．②④ B．①③ C．②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3，根据BC=10，可得MN=5，从而得到h=2，可得得到，进而得到点A（1，3），继而得到，故①错误；根据点（，P）关于对称轴x=2的对称点为，且，可得P＜n＜m，故②正确；根据y1≥y2，可得或，故③错误；分别求出点，可得，故④正确；即可求解． 【详解】解∶ 根据题意得：抛物线y1＝（x-h）2＋k与的对称轴分别为直线和， 如图，设直线和分别交BC于点M、N，则MN=h+3， ∴AM=BM，AN=CN， ∴， ∵BC=10， ∴MN=5， ∴h+3=5， ∴h=2， ∵点B（3，3）， ∴3＝（3-2）2＋k，解得： ， ∴， ∵BC∥x轴， ∴点A、C的纵坐标为3， 令，则， 解得：， ∴点A（1，3）， 把点A（1，3）代入，得： ，解得： ，故①错误； ∵，且对称轴为直线x=2， ∴当x＞2时，y1随x的增大而增大；当x＜2时，y1随x的增大而减小， ∵， ∴， ∵点（，p）关于对称轴x=2的对称点为， ∴p＜n＜m，故②正确； ∵， ∴， ∵y1≥y2， ∴， 整理得：， 解得：或，故③错误； ∵，， 当x=0时，，， ∴点， ∴，故④正确； ∴正确的有②④． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 【变式9-3】（2023·北京门头沟·二模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G．    (1)求抛物线G的对称轴及其图象与轴的交点坐标； (2)如果抛物线与抛物线G关于轴对称，直接写出抛物线的表达式； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记抛物线G与抛物线围成的封闭区域（不包括边界）为W． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴，与轴的交点坐标 (2) (3)①；②或 【分析】（1）根据抛物线对称轴公式及其图象与轴的交点坐标求出结果即可； （2）在抛物线G上取点，其关于轴的对称点为，把点代入抛物线G的解析式即可； （3）①当时，在同一平面直角坐标系中画出图象可知；②结合抛物线图象分情况讨论求出其取值范围即可． 【详解】（1）解：抛物线G的对称轴为， 与轴的交点坐标； （2）解：在抛物线G上取点，其关于轴的对称点为， 把点代入抛物线G的解析式得， 抛物线的表达式为； （3）①当时，抛物线G的解析式为， 抛物线的解析式为，在同一平面直角坐标系中图象如图：    从图中可以得出区域W内的整点个数为3； ②当时，如图1， 抛物线经过点（1，－3）时，区域W内恰有5个整点， ∴．解得：， 结合①可得：； 当a＜0时，如图2，抛物线经过点（－1，0）和（1，2）时，区域W内恰有5个整点． 经过点（－1，0）时，， 解得：， 经过点（1，2）时，， 解得：， ∴， 故如果区域W内恰有5个整点，则或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，对称轴及顶点坐标，轴对称图形的概念，解题的关键是运用数形结合、分类讨论的思想方法． 考点十：根据二次函数的图象判断式子符号 例10. （2024·安徽池州·三模）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，关键能根据图象得出各个系数的符号和各系数之间的关系，A、把抛物线与x轴的一个交点为代入函数解析式即可；B、由图象的开口方向和图象与y轴的交点位置可知a、c的正负，即可判断该选项；C、根据抛物线与x轴有两个交点可判断该选项；D、当时，表示出函数值y，即可判断该选项． 【详解】A、抛物线与x轴的一个交点为， ，即， 故A错误； B、抛物线开口方向向上， ， 由抛物线与y轴的交点可知， ， 故B错误； C、抛物线与x轴有两个交点， ，即， 故C错误； D、由图象可知，抛物线与x轴的另一个交点为， 当时，， 即， 故D正确． 【变式10-1】 （23-24九年级上·安徽马鞍山·期中）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题考查抛物线的性质，熟练掌握抛物线的性质和各系数表示的意义是解题的关键，根据题意由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与轴交点位置可判断①，由时可判断②，由抛物线对称性及时可判断③，由a与b的数量关系及可得a与c的数量关系，从而判断④，由时y取最大值可判断⑤． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交点在x轴上方， ∴， ∴，①错误． ∵时，， ∴，②错误． ∵抛物线对称轴为直线，时， ∴时，，③正确． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，④错误． ∵时y取最大值， ∴，即，⑤正确． 故选：A． 【变式10-2】（23-24九年级上·安徽宿州·期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①； ②；③m为任意实数时，；④；⑤若，且，则．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数图象判断系数的符号及式子的符号，注意数形结合．由抛物线开口方向、图象与y轴交点位置、对称轴位置可确定a、c、b的符号，从而可判断①；由抛物线的对称轴可判断②；由二次函数的最小值可判断③；由时的函数值可判断④；由抛物线的对称性判断⑤；由此可确定答案． 【详解】解：由图象知，抛物线开口向上，则；图象与y轴交于y轴负半轴，则；对称轴为直线，即，则，故①正确； 由，得，故②错误； 由于二次函数当时取得最小值，则对于任意实数m，，故有，故③正确； 由图象知，时的函数值与时的函数值相等，所以当时，，故④正确； 由于，且，即，表明自变量取时，二次函数的函数值相等，由抛物线的对称性得：，即，故⑤正确；因此正确的有①③④⑤三个． 故选：C． 【变式10-3】（23-24九年级上·安徽滁州·期末）二次函数的顶点坐标为．其部分图象如图所示．下列结论正确的是（    ） A． B． C．若，是抛物线上的两点，则 D．关于x的方程无实数根 【答案】D 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，由抛物线开口向下可得，抛物线与轴正半轴相交可得，可判断A；由图象得时，从而可得，可判断B；由抛物线开口向下，对称轴为直线，根据点，到对称轴的距离大小可判断，可判断C；由抛物线与直线无交点，可判断方程无实数根，可判断D． 【详解】解：A. ∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与轴正半轴相交， ∴， ∴，故选项A错误，不符合题意； B. 由图象可得时，，故选项B错误，不符合题意； C. ∵二次函数的顶点坐标为， ∴抛物线的对称轴为， ∵，抛物线开口向下， ∴，故C错误，不符合题意； ∵抛物线与直线无交点，， ∴方程无实数根，故选项D正确，符合题意． 故选：D． 【变式10-4】（21-22九年级上·安徽六安·期中）如图，抛物线的顶点坐标是，以下结论：①；②；③；④．正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质： ①根据图象的开口方向，对称轴的位置以及定点位置判断的正负性，即可得到结果； ②由图可得当时，，代入方程，再结合对称轴的情况即可得到结果； ③由图可得当时，，代入方程，本身，所以可得结果； ④根据顶点坐标，可列等式，化简即可得到结果； 解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在y轴正半轴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 故①错误，不符合题意； ②由图可得当时，， 即， ∵对称轴， ∴， ∴， 故②错误，不符合题意； ③由图可得当时，， ∴， ∵， ∴， 故③正确，符合题意； ④∵抛物线的顶点坐标为， ∴， ∴， 所以④正确，符合题意； 故选：B． 考点十一：已知抛物线上对称的两点求对称轴 例11. （23-24九年级上·安徽黄山·期末）点，是抛物线上的两点，则该抛物线的顶点可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质；由A、B两点纵坐标相同，两点关于抛物线的对称轴对称，可求得对称轴为直线，显然其顶点纵坐标不可能是3，故A不符合题意，C、D两项可排除，从而可确定答案． 【详解】解：∵A、B两点纵坐标相同， ∴A、B两点关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线， 故选项C、D可排除； ∵顶点的纵坐标不可能是3， ∴选项A可排除； ∴顶点只可能是选项B中的坐标； 故选：B． 【变式11-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期末）若不等式的解集为或，则的值为(    ) A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数与不等式以及二次函数与一元二次方程的关系；根据不等式的解集为或可以得出或是关于的方程的解，根据抛物线的对称轴为，即可求解． 【详解】不等式的解集为或， 或是关于的方程的解， ∴抛物线的对称轴为直线 解得：， 故选：A． 【变式11-2】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）已知点，，在同一个函数的图像上，则这个函数可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的解析式，熟练掌握利用待定系数法求解函数解析式是解题的关键；因此由题意易得该函数满足二次函数，可由点，可知抛物线的对称轴为，然后设抛物线解析式为，进而把点B、C代入进行求解即可． 【详解】解：由题意可得该函数只能是抛物线； 由点，可知该抛物线的对称轴为直线，则设抛物线解析式为， ∴， 解得：， ∴该抛物线的解析式为， 从选项中可知只有C选项符合，所以这个函数可能是； 故选C． 【变式11-3】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）已知抛物线（a，h是常数）与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，抛物线中的自变量x与函数值y的部分对应值如表所示： x … 0 1 3 4 … … 6 … 下列结论正确的是（    ） A．此抛物线有最大值 B．当时，y随x的增大而增大 C．点A的坐标是，点B的坐标是 D．抛物线的对称轴是直线 【答案】C 【分析】此题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象性质，由表格数据获取信息是解题的关键． 利用当和3时，，得出抛物线的对称轴是直线，判断D选项；根据对称轴和表格用待定系数法求得解析式，求出函数最值，即可判断A选项；根据解析式与对称轴得出函数增减性，可判定B选项；根据解析式，求出二交y轴交点A坐标，再根据对称性求出点B坐标，即可判定C． 【详解】解：当和3时，，得出抛物线的对称轴是直线， 故D选项错误，不符合题意； ， ∴ 把代入得， 解得：， 抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，y有最小值，最小值为， 故A选项错误，不符合题意； 当时，随的增大而减小，故B选项错误，不符合题意； 当时，， 当时，， ∴点A的坐标是，点B的坐标是， 故C选项正确，符合题意． 故选：C． 【变式11-4】（23-24九年级上·安徽安庆·期中）已知抛物线经过，两点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的对称性以及对称轴，观察，，得与关于对称轴对称，据此即可作答． 【详解】解：依题意，因为抛物线经过，两点，且，两点的纵坐标相等 所以与关于对称轴对称， 即， 所以， 故答案为：． 考点十二：根据二次函数的对称性求函数值 例12. （23-24九年级上·安徽亳州·阶段练习）抛物线与x轴的一个交点坐标是，它与轴的另一个交点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了抛物线的性质，先求出抛物线对称轴为． 直线，再根据抛物线的对称轴进行求解即可． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标是， ∴抛物线与轴的另一个交点的坐标是， 故选B． 【变式12-1】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）二次函数图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，结合图象给出的下列结论中不正确的是（    ） A． B．当时， C．若点、均在该二次函数图象上，则． D．若直线与该二次函数的图象的一个交点坐标为，则关于的一元二次方程的解是， 【答案】D 【分析】根据二次函数图像的性质依次进行分析，首先利用对称轴的性质求出与轴的另个交点，利用方程组推算即可得到；根据二次函数的性质即可判断B、C选项，对于D选项，利用对称轴求出另一个交点即可进行判断，本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数对称轴的相关知识． 【详解】解：∵图象的一部分与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴图象与轴的另外一个交点为， ∴ ∴， 故选项A正确； ∵图象的一部分与轴的两个个交点坐标为、， ∴当时，， 故选项B正确； ∵点、关于直线对称， ∴， 故选项C正确； ∵方程方程可以看作与的交点，与的交点关于直线对称， ∴另外一个交点为， 故方程的解为，， 故选项D错误， 故选：D． 【变式12-2】（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知关于直线对称的抛物线经过，两点，且点，分别位于拋物线对称轴的两侧，则位于对称轴左侧的点是 （填或），若此时，则的取值范围是 ． 【答案】 B / 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．解题的关键是掌握二次函数的增减性．根据抛物线对称轴为，开口向上，根据已知条件分类讨论得出点B在对称轴的左侧；根据，进而得出不等式，解不等式即可求解． 【详解】解：抛物线关于直线对称，经过，两点，且点，分别位于拋物线对称轴的两侧， 若点A位于对称轴左侧， 则， 解得，不等式组无解，不符合题意； 若点B位于对称轴左侧， 则， 解得， 不等式组的解为； 此时， ， 解得：， ， 综上，时，则的取值范围是， 故答案为：B，． 【变式12-3】（2024·安徽六安·一模）如图，二次函数与一次函数的图象交于A，B两点，点A在y轴上，点B在x轴上，一次函数的图象与二次函数的对称轴交于点P． (1)求点P的坐标； (2)当时，二次函数的最大值是15，求a的值； (3)点C是该二次函数图象上A，B两点之间的一动点，点C的坐标为，，求当取何值时，的值最小，最小值是多少？ 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据已知条件得到直线，把代入即可得到结论； （2）根据二次函数的性质得到二次函数的最大值是15，解方程即可得到结论； （3）根据在抛物线上，求得，根据勾股定理和二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）二次函数的对称轴为直线， 把代入得， 点的坐标为， 故答案为：； （2）∵二次函数的对称轴为，在对称轴左侧二次函数y的值随x的增大而减小 ∴二次函数 的最大值是15，即 解得， ∵， ∴， ∴； （3）∵在抛物线上， ∵， 当 时，m的值最小，最小值是 ． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合题，一次函数和二次函数的性质，熟练掌握待定系数法求函数解析式即二次函数的性质是解题的关键． 考点十三：y=ax2+bx+c的最值 例13. （2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线与轴相交于点，与轴相交于点和点，直线：经过定点．    (1)求和的值及点的坐标； (2)如图，当时，位于直线上方的抛物线上有一点，过点作轴交直线于点，求的最大值； (3)如图，连接并延长，将射线绕点顺时针旋转后，与抛物线相交于点，求点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)； (3)． 【分析】（）由待定系数法求出函数表达式，由，即可求解； （）由，即可求解； （）证明，则且，求取，进而求解． 【详解】（1）设抛物线的表达式为：， 则， 则， 则， 则抛物线的表达式为：， ∵， 则点； （2）当时，直线的表达式为：，如题干图， 设点，则点， 则， 故的最大值为； （3）过点作于点， ∵，则为等腰直角三角形， 则， 过点作轴的垂线交轴于点，交点和轴的平行线于点，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 则且， 即且， 解得：， 即点， 设直线的表达式为， 由点的坐标得，， 解得：， ∴直线的表达式为：， 将上式和抛物线的表达式联立得：， 解得：（舍去）或， 则． 【点睛】本题考查了二次函数综合运用，全等三角形的判定与性质，一次函数的图象与性质，解一元二次方程，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【变式13-1】 （2024·安徽合肥·三模）如图，抛物线与直线的两个交点，都在坐标轴上，与轴上另一交点坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)点是抛物线上的一个动点，连接，，记，①求关于的函数解析式；②求出的最小值． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查了待定系数法，二次函数最值，二次函数在线段长的应用； （1）由抛物线的解析式可求，将其代入直线的解析式得，由直线解析式可求，将、的坐标分别代入抛物线的解析式，即可求解； （2）由可求得，由在抛物线上得，即可求解；②将化成顶点式即可求解． 掌握待定系数法，会求二次函数的最值是解题的关键． 【详解】（1）解：由得， 当时，， ， ， ， 当时， ， ， ， 解得：， ； （2）解：①由题意得 ， 点是抛物线上的一个动点， ， ； ② ， ． 【变式13-2】 （23-24九年级下·安徽淮北·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求拋物线的表达式； (2)如图，点是第四象限抛物线上的动点，令四边形的面积为，求的最大值及此时点的坐标； (3)如图，点是第三象限抛物线上一点，直线交轴于点，直线交轴于点，若四边形的面积被坐标轴分为两部分，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)，点的坐标为； (3)点的坐标为． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）连接，设点的坐标为，根据解答即可求解； （）设，直线的表达式为，直线的表达式为，求出的解析式，求出，再求出的解析式，求出，分两种情况：四边形的面积被轴分为两部分；四边形的面积被轴分为两部分；进行解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数与几何问题，二次函数与一次函数的交点问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将，代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：连接，设点的坐标为， 则 ， ， ， ， ∵，， ∴当时，最大，最大值为，此时点的坐标为； （3）解：设，直线的表达式为，直线的表达式为， ∵，， ∴， 解得， ∴， 同理可得， ∴， ∴， ∵， ∴设的表达式为，代入，得， ∴， ∴， ∴， 当四边形的面积被轴分为两部分时， ∵， ∴此情况不成立； 当四边形的面积被轴分为两部分时， （）当时，， ∴， ∵点在第三象限， ∴， ∴此情况不成立； （）当时，， ∴， 此时； 综上，点的坐标为． 【变式13-3】（2024·安徽芜湖·三模）如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，连接，已知抛物线的对称轴为直线，． (1)求，的值． (2)若点在线段上，过点作，交抛物线于点，求线段的最大值． (3)若点在轴上，点在抛物线上，当，，，为平行四边形的四个顶点时，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）过点E作轴于点，求出点的坐标为，设，得到，通过二次函数的最值即可求解； （）分当时和当时两种情况分析，根据平行四边形的性质和解一元二次方程即可； 本题考查了二次函数的应用，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握知识点的应用及分类讨论思想是解题的关键． 【详解】（1）由题意可得点的坐标为， ∴， 解得； （2）如图，过点E作轴于点， 当时，， ∴点的坐标为，， 当时，，， ∴点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵点在抛物线上， ∴设， ∴ ∵， ∴当时，的最大值为， ∴的最大值为； （3）设， 情况一：如图，当时，过点作轴于点，， ∵，， ∴， 解得（舍去），， ∴，， ∴，； 情况二：如图，当时，过点作轴于点F，， ∵，， ∴， 解得（舍去），， ∴，， 综上所述，点的坐标为或． 考点十四：利用二次函数对称性求最短路径 例14. （23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，抛物线 与轴交于，两点，与轴交于点，对称轴为直线，是抛物线对称轴上一动点，则周长的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，两点之间线段最短，勾股定理，先利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据轴对称及两点之间线段最短确定点的位置，利用勾股定理即可求解，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：把点代入得，， ∵抛物线称轴为直线， ∴， ∴， 把代入得， ， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得，， ∴， 当时，， ∴， ∴，， 如图，连接，与对称轴相交于点， ∵点和点关于对称轴对称， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，此时周长的最小，则点即为所求， ∴周长最小值， 故选：． 【变式14-1】（23-24九年级上·安徽合肥·期中）如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为      (1)求抛物线的顶点坐标； (2)已知P是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1），首先把点B的坐标为代入解析式，利用待定系数法求出m的值，从而求出抛物线顶点坐标； （2），首先连接交抛物线的对称轴l于点P，此时的值最小，然后利用待定系数法求得的解析式，继而求得答案. 【详解】（1）解：把代入得： ，解得， ∴， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）由于A、B两点关于直线对称，连接交直线于点P，则点P即为所求，      令，则，解得： ∴，， 当时，， ∴ 设直线的解析式为，带入得 ，解得：， ∴， 当时，， ∴点P的坐标为 【点睛】本题主要考查了二次函数的性质、待定系数法求解析式以及距离最短问题，解答本题的关键是主要找到点P的位置 【变式14-2】（22-23九年级上·安徽合肥·阶段练习）已知关于x的二次函数． (1)若该函数图象经过． ①求a的值； ②设抛物线与x轴正半轴交于点B，交y轴于点C，点P是直线上的动点，求的最小值． (2)在时，该函数的最大值与最小值之差为8，求a的值． 【答案】(1)①；② (2)或 【分析】(1)①将点代入即可求解a；②由抛物线的解析式求出点C的坐标，对称轴和点B的坐标，利用勾股定理求出最小值即可； (2)根据抛物线的对称轴为直线，分三种情况进行求解：当时，当时，当时，分时和时两种情况求解a即可． 【详解】（1）解：①将点代入，得 ，解得； ②由①得， 令，则，故点C的坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 令，则， 解得，， 故点B的坐标为， 设与x轴的另一个交点为， 则， ， 的最小值为； （2）解：抛物线的对称轴为直线， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，当时，， 当时，， ， 解得； 当时，当时，， 当时，， ， 解得； 综上，或． 【点睛】本题考查了抛物线解析式的求法，二次函数的最值，抛物线与x轴交点的相关知识，求出抛物线解析式是解答关键． 【变式14-3】（2024·四川南充·中考真题）已知抛物线与轴交于点，．    (1)求抛物线的解析式； (2)如图，抛物线与轴交于点，点为线段上一点（不与端点重合），直线，分别交抛物线于点，，设面积为，面积为，求的值； (3)如图，点是抛物线对称轴与轴的交点，过点的直线（不与对称轴重合）与抛物线交于点，，过抛物线顶点作直线轴，点是直线上一动点．求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）设，直线为，求出，直线为，求出，联立方程组得，，再根据，即可求解； （）设直线为，由得，得，设，，联立直线与抛物，得，根据根与系数的关系可得：，，作点关于直线的对称点，连接，则有，过点作于F，则，则，，根据勾股定理得，即可求出最小值． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ，               解得， ∴抛物线的解析式为； （2）设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴， 设，直线为，据题意得， ，解得， ∴， 联立得， 解得或， ∴，                   ，    ， ∴； （3）设直线为，由得， ∴， ∴，             设，， 联立直线与抛物线， 得， ， 根据根与系数的关系可得：，， 作点关于直线的对称点，连接，    由题意得直线，则， ∴， 过点作于F，则． 则，，              在中， ，                                               即当时，，此时， 故的最小值为． 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解一元二次方程，根的判别式，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 考点十五：二次函数图象的平移 例15. （2024·安徽合肥·模拟预测）已知抛物线：的顶点坐标为，与轴正半轴交于点，与轴交于点． （1）点的坐标为 ； （2）将抛物线沿轴向右平移个单位长度，平移后的抛物线与抛物线相交于点，且点在第四象限内，当的面积最大时，的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查求二次函数解析式及二次函数的最值，了解二次函数顶点式和用含的式子表示的面积是解题关键． （1）把二次函数解析式表示为顶点式，即可得顶点坐标求解； （2）先表示出的解析式，联立得出点坐标，再表示出的面积，最后利用二次函数最值求解． 【详解】解：（1）∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，得， 解得，， ∴， 故答案为； （2）抛物线：， ∵将抛物线沿轴向右平移个单位长度得抛物线， ∴抛物线的解析式为：， ∴， 解得， 即点坐标为， ∵点在第四象限内， ∴，再结合， 得， ∵，， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， ∴如图，过点作轴，交直线于点，    ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，最大， 故答案为：． 【变式15-1】（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线与直线都经过点，直线与抛物线L的对称轴交于点B． (1)求m的值； (2)求证：； (3)当时，将抛物线L向左平移个单位得到抛物线P，抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M，且点M在点B的下方．过点A作x轴的平行线交抛物线P于点N，且点N在点A的右侧，求的最大值，并求出此时n的值． 【答案】(1) (2)详见解析 (3)当时，值最大，为 【分析】（1）把代入与中，得，，两式相加可得． （2）由得，由，，得，故． （3）由得抛物线L为，得，表示出，，得，再利用利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）把代入与中，得 ，， 得． （2）∵， ∴， ∴， ∴． ∵， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）如图：      ∵， ∴， ∴将抛物线L为，直线为， ∵抛物线L向左平移， ∴抛物线P为， ∵抛物线L的对称轴为直线， ∵抛物线P与抛物线L的对称轴交于点M， ∴， ∵直线与抛物线L的对称轴交于点B， ∴， ∵点M在点B的下方， ∴． ∵抛物线L的对称轴为直线，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数图象上点的坐标特征，完全平方公式，不等式的性质，二次函数的平移，二次函数的性质，二次函数的平移，以及二次函数与几何综合，掌握二次函数最值的求法是解题关键． 【变式15-2】（2024·安徽池州·二模）如图，抛物线与正半轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线． (1)求直线的解析式及抛物线的解析式； (2)如图，点为第一象限抛物线上一动点，过点作轴，垂足为，交于点，求当点的横坐标为多少时，最大； (3)如图，将抛物线向左平移得到抛物线，直线与抛物线交于、两点，若点是线段的中点，求抛物线的解析式． 【答案】(1)，； (2)点的横坐标为时，有最大值； (3)． 【分析】（）利用待定系数法解答即可求解； （）设点的横坐标为，则，，，先证明为等腰直角三角形，得到，进而得到，根据二次函数的性质即可求解； （）设平移后抛物线的解析式，联立函数解析式得，整理得，，设，，则，是方程的两根，由为的中点可得，求出即可求解； 本题考查了二次函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，二次函数图象的平移，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：抛物线与正半轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 设直线的解析式为，把代入得， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：设点的横坐标为，则，，， ，， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 轴， 为等腰直角三角形， ， ∴， 当时，有最大值， 即点的横坐标为时，有最大值； （3）解：由（）可知，直线的解析式为， 抛物线为：， 设平移后抛物线的解析式， 联立函数解析式得，， ， 整理得，， 设，，则，是方程的两根， ， ∵为的中点， ∴， ∴， 解得， 抛物线的解析式． 【变式15-3】（23-24九年级下·安徽安庆·开学考试）已知抛物线K：关于直线对称，且经过点． (1)求抛物线K的函数表达式； (2)若抛物线K与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左侧），并与y轴相交于点C．求A、B、C三点的坐标，并求的面积； (3)将抛物线K向左或向右平移，得到抛物线，且与x轴相交于、两点（点在点的左侧），并与y轴相交于点，要使和的面积相等，求所有满足条件的抛物线的函数表达式． 【答案】(1) (2)，，，15 (3)或或 【分析】（1）根据对称轴公式得出，把代入得出，然后解方程组即可； （2）分别令、，求出x、y的值即可得出点A、B、C的坐标，利用三角形面积公式即可得得面积； （3）根据平移得性质可得，由和的面积相等可得，可得，设抛物线的解析式为或，，，当m、n为方程及方程的两个根时，根据一元二次方程根与系数的关系求出b值即可得答案． 【详解】（1）解：∵抛物线K：关于直线对称，且经过点， ∴， 解得， ∴ （2）解：当时，， 解得：，， ∴点，点． ∴， 当时，， ∴点， ∴， ∴； （3）解：∵抛物线向左或向右平移，得到抛物线， ∴， ∵和的面积相等， ∴，即或， 设抛物线的解析式为或，，， 当，为方程的两根时， 即，． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或， ∴抛物线的解析式为（舍去）或； 当，为方程的两根时， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或， ∴抛物线的解析式为或． 综上所述，抛物线的解析式为或或． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的图象上点的坐标特征、平移及一元二次方程根与系数的关系，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想和分类讨论的数学思想解答． 考点十六：二次函数综合 例16. （2024·安徽滁州·模拟预测）已知抛物线关于直线对称，且经过点． (1)求，的值； (2)若两点，都在抛物线上，分别过点，作轴的垂线，分别与直线交于点，． ①如图1，当时，连接，求与的面积之和； ②如图2，当时，试说明四边形的面积不可能等于． 【答案】(1)的值为，的值为4 (2)①2；②见解析 【分析】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法，一次函数和二次函数的综合应用，四边形面积等，其中数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）①求得直线的解析式，得到和，过点作于点，则，，利用三角形面积公式列式计算即可求解； ②过点作于点，则，，利用四边形面积公式列式计算即可判断． 【详解】（1）解：∵抛物线关于直线对称，且经过点， ∴解得， ∴的值为，的值为4； （2）解：①由（1）得， 当时，； 当时，，即， ，． 设直线的解析式为，将代入，得， ，直线的解析式为， ，． 如图1，设与轴交于点， 过点作于点，则，， ∴ ． ②当时，如图2，过点作于点， 则，， ，即， 解得，， 当时，四边形的面积不可能等于． 【变式16-1】（2024·安徽六安·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于O(O 为原点)，两点，已知二次函数图象经过点． (1)求二次函数的表达式； (2)已知y 轴上一点，点P是二次函数图象上位于x 轴下方的一点，连接，，．设点P的横坐标为t，的面积为S． ①求直线表达式； ②当S取最大值时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，三角形的面积，函数的最值，求出三角形的面积表达式是关键． （1）用待定系数法即可求解； （2）①由，即可求解； ②过点P作轴交于点H，点，则点，由，即可求解． 【详解】（1）∵二次函数的图象与x轴交于O(O 为原点)，两点，已知二次函数图象经过点， ∴，解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）①设直线的表达式为：， 将点A的坐标代入上式得：， 解得：， 即直线的表达式为：， ②过点P作轴交于点H，    ∵点P的横坐标为t，则点，则点， 则， 即； ∵， 即S有最大值，此时，， 则点P的坐标为：． 【变式16-2】（2024·安徽合肥·一模）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，已知． (1)求a，b的值； (2)已知横坐标为t的点P为对称轴左侧的抛物线上一动点，过点P作x轴的平行线交抛物线于另一点M， ①若与的面积之和为8，求t的值； ②过点P作x轴的垂线，垂足为N，直线交线段于点D，是否存在这样的点P，使？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，且t的值为． 【分析】（1）根据题意列方程组，解方程组即可得到结论； （2）①由（1）知，抛物线的函数表达式为，求得点的坐标为，由题意知　　，，，当时，当时，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； ②根据待定系数法求得直线的函数表达式为，由，得到点为线段的中点，求得点的横坐标为，得到，根据题意列方程即可得到结论． 本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，线段中点的定义，三角形的面积公式，正确地求得二次函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得把代入 且结合对称轴 得， 解得； ∴； （2）解：①由（1）知，抛物线的函数表达式为， 点的坐标为， 由题意知，， 当时，的面积，的面积， 此时与的面积之和为6，不符合题意； 当时，的面积，的面积； 与的面积之和为，此时， 解得； 综上，的值为； ②存在，点的横坐标为．理由如下： ，， 直线的函数表达式为， ， 点为线段的中点， 点的横坐标为， 点在直线上， ， 点的纵坐标为5，则， 解得或（不合题意，舍去）， 存在，的值为． 【变式16-3】（2024·安徽合肥·二模）如图，二次函数的图象过，，三点，点是二次函数图象上一点，点的横坐标是，直线与轴交于点，且． (1)求二次函数的表达式； (2)过点，作直线于点，作轴于点，并交于点． ①当时，求的长； ②是否存在点，使最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在，点坐标为 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）①求得直线为，由，则，，，，即可求得； ②表示出，，，，即可求得，，即可得到，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）把，，代入中得： 解得， 所以解析式为：； （2）①点的横坐标是， 的纵坐标是 由，求得直线解析式为 的纵坐标是， 所以当时， ②存在，理由如下： 点在直线上， 点的横坐标是 ，当时，最大 点坐标为． 【变式16-4】（2024·安徽淮北·三模）如图1，已知抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点C，点P为对称轴l上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点P的坐标； (3)如图2，点Q为抛物线上一点，若以O，P，B，Q四点为顶点的四边形为平行四边形，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为，， 【分析】（1）把，代入，再建立方程组解题即可； （2）由抛物线的对称轴为直线，故点的横坐标为1，设，再利用勾股定理可得，再解方程即可； （3）分三种情况讨论：当，为对角线时，当，为对角线时， 当，为对角线时，再利用中点坐标公式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：把，代入， ， 解得：， ． （2）解：抛物线的对称轴为直线，故点的横坐标为1，设， 则 解得， ∴P点的坐标为或 （3）解：设的横坐标为，则的坐标为 当，为对角线时，，解得， ∴； ∴， 当，为对角线时，，解得， ∴； ∴ 当，为对角线时，，解得， ∴； ∴ 点的坐标为，，． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，勾股定理的应用，平行四边形的判定与性质，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【例1】抛物线是由抛物线先向右平移2个单位，再向上下平移3个单位得到的，求b、c的值为. 【详解】∵抛物线可化为 ∴把抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的解析式为，即 ∴b=4，c=0． 易错攻克 在求解这类题时，二次函数的配方过程要仔细，函数图象的平移方向易出错，要分清两抛物线是如何平移得到对方的. 【例2】已知抛物线的顶点坐标为,与轴的交点坐标为,求此抛物线对应的函数表达式. 解： 因为抛物线的顶点坐标为，所以可设抛物线对应的函数表达式为 把代人,得解得所以抛物线对应的函数表达式为,即 易错攻克 顶点坐标为,二次函数表达式的顶点式可设为不要忘记改变前的符号. 1．（2024·安徽淮南·模拟预测）如图，E是线段上一点，在线段的同侧分别以为斜边作等腰和等腰，，分别是，的中点．若，则下列结论错误的是（    ）． A．的最小值为 B．四边形面积的最小值为 C．周长的最小值为 D．的最小值为3 【答案】B 【分析】A、如图，延长交于点P，过点F作直线，可证四边形是矩形，直线是的中位线，且点在直线上运动，作点A关于直线的对称点，连接，由“将军饮马”模型可求； B、设，，进而即可判断． C、由四边形是矩形，结合的最小值为3，可求周长的最小值； D、连接，当时，即点与点重合时，最小．是等腰直角三角形，，故本选项不符合题意； 【详解】解：A、如图，延长交于点P，过点F作直线． 和分别是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， 四边形是矩形． 是的中点， 是的中点． 直线， 直线是的中位线，且点在直线上运动．作点A关于直线的对称点，连接，则．当，，三点共线时，最小． ，， ． 在中，，故本选项不符合题意； B、设，则． ， ．当时，有最大值，最大值为， ∵， ∴四边形面积的最小值为，故本选项符合题意． C、四边形是矩形， ， 的周长为． 的最小值为3，， 的周长的最小值为，故本选项不符合题意； D、连接，当时，即点与点重合时，最小．是等腰直角三角形， ，故本选项不符合题意； 【点睛】本题考查轴对称最短路径问题，涉及等边三角形的性质及应用，三角形面积等知识，解题的关键是求出的运动轨迹是直线． 2．（2024·安徽安庆·三模）如图，边长为4的正方形中，E为上一点，且，F为边上一动点，将线段绕点F顺时针旋转得到线段，连接，则最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、运用二次函数性质求最值等知识点，列出关于x的关系式是解题的关键． 如图：过G点作交于点H，过G点作交于点I，根据线段绕点F顺时针旋转得到线段，可得，，利用易证，再根据四边形是矩形，可得，设，则，根据勾股定理可得，即当时，有最小值． 【详解】解：如图：过G点作交于点H，过G点作交于点I， ∵线段绕点F顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 又∵， ∴, ∵，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中，， ∴当时，有最小值， ∴当时，最小值是， 故选：D． 3．（2024·安徽淮北·三模）如图，，点B为线段上一动点，以为边作正方形，点E始终为边的中点，连接，当取得最小值时，的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了正方形的性质、矩形的判定和性质、二次函数的最值等知识，作于点M，则，证明四边形是矩形，四边形是矩形，，，则，设，则，，，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：作于点M，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴， ∵点E始终为边的中点， ∴， 设，则，， ∴， 当时，最小，此时． 故选：B 4．（2024·安徽淮北·三模）抛物线经过原点，且与x轴的正半轴交于点A，顶点C的坐标为． （1）a的值为 ； （2）若点P为抛物线上一动点，其横坐标为t，作轴，且点Q位于一次函数的图像上．当时，的长度随t的增大而增大，则t的取值范围是 ． 【答案】 1 【分析】本题考查二次函数的图像与性质、坐标与图形，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． （1）将顶点C坐标代入抛物线表达式中求解即可； （2）先求得抛物线和直线的交点坐标，设，，分和两种情况，利用坐标与图形性质，用t表示出，根据二次函数的性质分别求解即可． 【详解】解：（1）由题意，将代入中，得， 解得， 故答案为：1； （2）由（1）得抛物线的表达式为， 联立方程组，解得或， ∴抛物线与直线的交点坐标为，， 设，， 当时，， ∵， ∴当时，的长度随t的增大而减小，不符合题意； 当时，， ∵， ∴当时，的长度随t的增大而增大，当时，的长度随t的增大而减小， 故答案为：． 5．（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线经过，两点，且A、B两点在该抛物线对称轴同侧． （1）若抛物线经过，则m= ． （2）若时，，则m的取值范围是 ． 【答案】 或 【分析】本题考查二次函数的性质，求二次函数解析式； （1）把代入计算即可； （2）对称轴为，根据且A、B两点在该抛物线对称轴同侧可得或，再结合时，求解即可． 【详解】（1）把代入得， 解得， 故答案为：； （2）∵ ∴抛物线对称轴为， ∵A、B两点在该抛物线对称轴同侧， ∴或， 当时，当时随的增大而增大， ∴此时当时有最大值， ∵， ∴，解得， ∴； 当时，当时随的增大而减小， ∴此时当时有最大值， ∵， ∴，解得， ∴； 综上所述，或， 故答案为：或． 6．（2024·安徽合肥·一模）已知抛物线交y轴于点A，其对称轴交x轴于点B，直线交抛物线于另一点C． （1）点B的坐标为 ； （2）点P是直线下方抛物线上的一动点（与点A，C不重合），则的面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合： （1）把解析式化为顶点式求出对称轴即可得到答案； （2）先求出直线解析式，进而求出点C的坐标，设，则，可得，进而得到，据此求解即可． 【详解】解：（1）， 对称轴为， 点B的坐标为； 故答案为：； （2）∵抛物线交y轴于点A， ∴， 设直线解析式为， ∴， ∴ ∴直线解析式为， 联立，解得或 ∴． 作轴交于Q， 设，则， ，． ，， 时，有最大值， 故答案为：． 7．（2024·安徽安庆·三模）已知抛物线（是常数且）． （1）该抛物线的对称轴为直线 ； （2）该抛物线经过和两点，当，时，均有，则的取值范围为 ． 【答案】 ； 或． 【分析】（）根据抛物线的对称轴公式即可求解； （）根据抛物线的对称性即可求解； 本题考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（）该抛物线的对称轴为直线， 故答案为：； （）∵， ∴抛物线开口向上， ∵对称轴为直线，当，时，均有， ∴或， ∴或， 故答案为：或． 8．（19-20九年级上·江苏盐城·期中）已知抛物线的顶点坐标为（2，1），且经过点（-1，-8）． （1）求此抛物线的函数表达式； （2）求抛物线与坐标轴的交点坐标； （3）若自变量x的取值范围是，求对应的函数值y的取值范围． 【答案】（1）；（2）（1，0）、（3，0）、（0，－3）；（3）－3＜y≤1． 【分析】（1）函数的表达式为：y=a（x-2）2+1，将点（-1，-8）代入上式，即可求解； （2）令y=-x2+4x-3=0，即可求解； （3）将函数自变量x的取值范围是代入解析式，即可解答. 【详解】（1）函数的表达式为：y=a（x-2）2+1， 将点（-1，-8）代入上式得：-8=a（-1-2）2+1， 解得：a=-1， 故抛物线的表达式为：y=-（x-2）2+1=-x2+4x-3； （2）令y=-x2+4x-3=0，解得：x=1或3，令x=0，则y=-3 故抛物线与坐标轴的交点坐标为：（1，0）、（3，0）、（0，-3）； （3）当时，y=-x2+4x-3解得－3＜y， 当时，y=-x2+4x-3解得y≤1． 故自变量x的取值范围是时，－3＜y≤1． 【点睛】此题考查待定系数法求二次函数解析式，解题关键在于利用待定系数法求解析式. 9．（2024·江苏连云港·二模）如图，已知、、三点的坐标分别为、、，抛物线的图象经过、两点    (1)求该抛物线的函数表达式； (2)过点作线段的平行线，交抛物线于点，连接，试判断四边形的形状； (3)点为线段上一动点，过点作轴的平行线，交该抛物线于点，当线段的长最大时，求点的坐标． 【答案】(1) (2)四边形是菱形，理由见解析 (3) 【分析】（1）用待定系数法即可求函数的解析式； （2）利用待定系数法求出的解析式，再求出直线的解析式，联立抛物线与直线解析式，可知点的坐标，即可得出结论； （3）设，则，表示出的长，然后根据二次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：(1)将点，代入， ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）四边形是菱形，理由如下： 设直线的解析式为， ，解得， 直线的解析式为， ， 设直线的解析式为 ，解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或， ， ， ， 四边形是平行四边形， 、、三点的坐标分别为，、，、，， ， 四边形是菱形； （3）设，则， ， 当时，线段的长最大，， 点的坐标为． 【点睛】本题考查了二次函数综合应用，待定系数法，平行四边形的判定，二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，平行四边形的判定及性质是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！102 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$