第03讲 交集、并集（知识清单+易错+7必考题型）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版2019必修一）

第03讲 交集、并集 题型梳理 易错分析 易错点一 考虑问题不全面，等价变换时易出错 题型方法 题型一 集合交、并、补的综合运算 题型二 利用Venn图求集合 题型三 区间的概念及应用 题型四 集合运算的综合应用 题型五 补集思想的应用 题型六 容斥原理的应用 题型七 集合的新定义问题 知识清单 知识点1 交集与并集 交集 并集 文字语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言 A∩B={x|x∈A，且x∈B} A∪B={x|x∈A，或x∈B} 图形语言 运算性质 A∩B=B∩A； A∩A=A； A∩⌀=⌀=⌀∩A； (A∩B)⊆A； (A∩B)⊆B； A⊆B⇔A∩B=A A∪B=B∪A； A∪A=A； A∪⌀=A=⌀∪A； A⊆(A∪B)； B⊆(A∪B)； A⊆B⇔A∪B=B 2. 德·摩根定律 (1)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB)； (2)∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 知识点2 区间 1. 设a，b∈R，且a<b，规定[a，b]叫作闭区间；(a，b)叫作开区间；[a，b)，(a，b]叫作半开半闭区间；a，b叫作相应区间的端点. 2. 在数轴上表示时，闭区间用实心圆点表示，开区间用空心圆圈表示. 知识点3 集合的混合运算 1. 在进行集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再根据运算顺序依次进行运算. 2. 集合的混合运算的分类 (1)有限集(或可以列举的无限集)的运算，运用列举法，按照运算的定义进行运算，注意集合中元素的互异性； (2)与不等式有关的无限集的运算，借助数轴，按照运算的定义进行运算，注意是否去掉端点值； (3)抽象集的运算，利用Venn图，借助直观图形，按照运算的定义进行运算. 知识点4 已知集合间的运算关系求参 1. 由集合间的运算关系求参的思路 (1)将集合间的运算关系转化为两个(或多个)集合之间的关系. 若集合中的元素能被一一列举，则可用观察法；若集合与不等式有关，则可用数轴求解. (2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)，求解即可. 在求解时注意集合中元素的互异性和空集的特殊性. 知识点5 通过集合知识发展数学抽象、数学运算的素养 1. 集合是现代数学的基本语言，本质上，集合源于对数量与数量关系的抽象，集合的概念就是舍去事物的一切物理属性，得到抽象的数学结构，是数量与数量关系抽象的更高层次. 2. 抽象的过程实际上是对数学概念与数量关系等理解与应用的过程. 集合中的新定义问题能很好地体现数学抽象与数学运算的素养水平，此类问题不是简单考查集合的概念或性质(集合中元素的特性、集合的运算性质等)，而是以集合为载体，通过定义新概念、新法则、新运算等，理解符号所代表的数量关系和变化规律，并能运用集合的性质进行符号间的转化. 易错分析 【易错点一】考虑问题不全面，等价变换时易出错 【例1】（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知集合，且，求. 【答案】 【分析】根据，求出的值，然后代入集合中，验证是否满足题意，再求解即可. 【详解】因为， 所以或， ①若，解得或； 当时，， 则舍去； 当时，， 则舍去； ②若，则， 此时，则 符合题意， 所以. 【举一反三】【变式1】（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合，若，求实数的值及. 【答案】， 【分析】由交集的运算可知，则或，分别求值并验证集合是否满足题意和元素的互异性，从而确定的值，进而得解. 【详解】因为，所以且， 又 ，所以或，解得或； 当时，，，则，与已知矛盾，舍去； 当时，，，集合不满足集合的互异性，舍去； 当时，，，则，满足题意； 综上，，此时. 【变式2】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）计算集合，根据集合交集并集定义计算即可； （2）由可得，分和两种情况讨论即可. 【详解】（1）当时，， 所以， （2）由题意，得或， 因为，所以 ①当时，，满足； ②当时，， 所以， 所以，解得 综上所述，实数的取值范围是. 【变式3】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】第一问用交集和补集的定义直接求解即可，第二问讨论集合是否为空集，分情况求解即可. 【详解】（1）当时，， 故 （2），，当时，，解得 当时，解得，另有解得 综上的范围是 题型方法 【题型一】集合交、并、补的综合运算 【例1】（21-22高一上·江苏扬州·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据集合的补集及交集计算即可. 【详解】因为集合，， 则， 则. 故选：A. 解题技巧 交集运算的注意点 若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示 (1)并集的运算技巧 ①若集合是有限集，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性． ②若集合是无限集，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值． (2)利用集合交集、并集的性质解题的技巧 在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况． 交、并、补集的运算性质 A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁UU＝∅；∁U∅＝U；A⊆B⇔∁UB⊆∁UA；B⊆A⇔∁UA⊆∁UB；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，或，则 . 【答案】 【分析】根据交集、补集的定义进行计算得出结果. 【详解】因为或，所以， 又， 所以. 故答案为：. 【变式2】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，集合，求： (1)和； (2)． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）由交集和并集的运算可得结果； （2）由补集和并集的运算可得结果. 【详解】（1）因为， 所以，. （2）因为，， 所以或，或 于是或． 【变式3】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知全集，，求 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由并集定义计算即可得； （2）由补集定义及交集定义计算即可得； （3）由交集定义及补集定义计算即可得. 【详解】（1）由，则； （2）由，，则， 又，故； （3）由，则， 又，故. 【题型二】利用Venn图求集合 【例2】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知为全集，其三个非空子集、、满足，则下列集合为空集的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合venn图即可求解； 【详解】 由图可知，，不是空集， 故选：C 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏·期末）已知全集，集合满足，则下列关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可知，再根据集合的关系及交集和补集的运算，结合文恩图依次判断选项. 【详解】由可知，故AB错误； 如图， 对于C选项，，正确； 对于D选项，，错误. 故选：C 【变式2】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分表示为 . 【答案】 【分析】图中阴影部分表示，根据交集、补集的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以， 所以图中阴影部分表示. 故答案为： 【变式3】（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）设全集为，集合，或. (1)求如图阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）图中阴影部分表示，再根据交集、补集的定义计算可得； （2）依题意可得，解得即可. 【详解】（1）解：因为，或， 所以， 所以图中阴影部分表示； （2）解：因为，或且， 所以，解得； 【题型三】区间的概念及应用 【例3】已知集合，，则= .（写成区间形式） 【答案】 【分析】根据不等式的解法，易得或，进而由并集的意义可得答案． 【详解】因为或，，所以 ．故填. 【点睛】本题考查并集的运算，注意结合数轴来求解． 解题技巧 用区间表示数集的方法 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号 【举一反三】【变式1】设集合，若是的真子集，则的取值范围为 .（结果用区间表示） 【答案】 【分析】先化简集合,再由题得，解不等式组得解. 【详解】因为， 因为是的真子集，所以 解得. 故答案为 【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，考查根据集合的关系求参数，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 【变式2】（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，则 .（用区间形式书写） 【答案】 【分析】根据交集的知识求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以. 故答案为： 【变式3】（20-21高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，或，且，则实数的取值范围为 (用区间表示). 【答案】 【解析】由已知结合两集合端点值间的关系列不等式组求得答案. 【详解】解：∵，或， 若， 则， 即. ∴实数的取值范围为. 故答案为：. 【题型四】集合运算的综合应用 【例4】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）设集合，集合，则的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．32 【答案】B 【分析】利用并集的定义求得，可得结论. 【详解】因为， 所以的元素个数为4个. 故选：B. 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）集合，若．则实数a的范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据题意得分析得，再对集合中参数与的关系作分类讨论，根据子集关系确定出的范围. 【详解】因为，则， 当时，不成立，所以，所以满足， 当时，因为，所以， 又因为，所以，所以， 当时，因为，所以， 又因为，所以，所以， 综上可知：. 故选：A. 【变式2】（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）已知集合，若且，则的个数为 . 【答案】 【分析】根据且，可得，然后求出的子集个数，即可求解. 【详解】因为且，集合， 可得：，又因为， 所以：集合的子集有：，，，，共种情况， 所以集合的个数为. 故答案为：. 【变式3】（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合， (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)，0，1，2，3； (2). 【分析】（1）对集合进行求解，得到，从而找到中的所有整数； （2）根据题干中的关系式，得到，从而根据子集关系进行讨论，为空集，或者不为空集即可得到实数的取值范围. 【详解】（1）不等式，解得，得 ∴集合中的所有整数为，0，1，2，3； （2）∵，∴， ①当时，，即，成立； ②当时，由，有，解得， 所以实数的取值范围为 【题型五】补集思想的应用 【例5】（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）若集合，且，则实数m的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，然后求出集合，分和两种情况求解即可. 【详解】因为，所以， 由，得，解得或， 所以， 当时，符合题意，则， 当时，则， 由，得或，解得或， 综上，实数m的取值集合为， 故选：C 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】分别在，条件下，结合条件列不等式可求的取值范围. 【详解】当时，满足，此时，故； 当时，由，，， 可得或， 所以或， 综上，或， 所以的取值范围是. 故答案为：. 【变式2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】根据包含关系，结合数轴即可求. 【详解】（1）∵，∴ 由， ，则， 所以的取值范围是. （2）∵， ，则， 所以的取值范围是. 【变式3】（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）应用集合并运算求结果； （2）由题设，讨论、列不等式求参数范围. 【详解】（1）由题设，则 （2）由， 若，则，满足题设； 若，则，满足题设； 综上，. 【题型六】容斥原理的应用 【例6】（24-25高一上·江苏·阶段练习）为提升学生学习双语的热情“G11•四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写”､“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】利用venn图，结合集合的运算求解. 【详解】设擅长语文的同学构成集合，擅长英语的同学构成集合，20人代表队构成全集， 则，，，， ， ， 所以语文和英语均不擅长的同学人数为人. 故选：C. 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）一群学生参加学科夏令营，每名同学参加至少一个学科考试．已知有80名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，45名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的4倍，则学生总数为（    ） A．100名 B．108名 C．120名 D．前三个答案都不对 【答案】A 【分析】分别设出只参加一科，只参加两科和三科都参加的学生数，按照条件列出等式计算，可得出结果. 【详解】设只参加了数学、物理、化学考试的学生数分别为，，； 参加了两门学科考试的同学中参加了数学和物理、物理和化学、化学和数学的学生数分别为，，； 同时参加了三门学科考试的学生数为，如图． 根据题意，有， 前面三个等式相加，可得． 由第四个等式可得，， 因此， 解得．因此学生总数为． 故选：A. 【变式2】（24-25高一上·江苏镇江·期中）某班有17人参加田径与球类比赛，其中参加田径的有8名同学，两项都参加的有3名同学，则参加球类比赛的人数是 . 【答案】 【分析】根据题意，先求得只参加田径的人数，从而得到结果. 【详解】由题意可知，只参加田径的有人， 所以参加球类比赛的人数是人. 故答案为： 【变式3】（21-22高三上·江苏宿迁·阶段练习）学校先举办了一次田径运动会，某班有名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有名同学参赛，两次运动会都参赛的有人.两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？ 【答案】 【分析】作出韦恩图，可求得这个班参赛的学生人数. 【详解】设这个班参赛的学生人数为，如下图所示： 由图可知，这个班参赛的学生人数为. 【题型七】集合的新定义问题 【例7】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作和的笛卡尔积，又称直积，记为，即．关于非空集合，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若集合的元素个数分别为，则的元素个数为 C． D． 【答案】D 【分析】根据直积的定义可判断AD的正误，根据反例可判断BC的正误. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，设，，则，的元素个数为，不是3，故B错误； 对于C，结合B的实例，，而，两者不相同，故C错误； 对于D，任意，则存在， 使得，因为且，故且， 故，故 任意，则存在，使得， 故，故，故， 故， 故选：D 【点睛】关键点睛：证明两个集合相等，关键是证明它们彼此包含，后者依据定义证明. 【举一反三】【变式1】(多选)（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.下列说法正确的是（   ） A．不是“可分集合” B．是“可分集合” C．四个元素的集合可能是“可分集合” D．五个元素的集合不可能是“可分集合” 【答案】ABD 【分析】去掉3，由“可分集合”的定义判断即可判断A,逐一去掉一个元素，列举即可可判断BD；不妨设，讨论当在集合，，，，中去掉元素、后，将剩余元素构成的集合，结合“可分集合”的定义进行分拆，得出等式，推出矛盾，即可判断D； 【详解】对于A，去掉3后，,2,不满足定义，,2,3,不是“可分集合”， A正确； 对于B，集合所有元素之和为49， 当去掉元素1时，剩下的元素之和为48，集合,5,7,与,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素3时，剩下的元素之和为46，集合,9,与,7,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素5时，剩下的元素之和为44，集合,3,7,与,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素7时，剩下的元素之和为42，集合,9,与,5,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素9时，剩下的元素之和为40，集合,3,5,与,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素11时，剩下的元素之和为38，集合,7,与,5,的元素和相等，符合题意； 当去掉元素13时，剩下的元素之和为36，集合,3,5,与,的元素和相等，符合题意； 因此集合是“可分集合”， B正确； 对于C，不妨设，去掉，则，去掉，则， 于是，与矛盾， 因此,,,一定不是“可分集合”， C错误； 对于D，不妨设， 若去掉元素，将集合,,,分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有，或者②， 若去掉元素，将集合,,,分成两个交集为空集的子集， 且两个子集元素之和相等，则有③，或者④， 由①③或②④得，矛盾； 由①④或②③得，矛盾， 因此集合,,,,不是“可分集合”， D正确． 故选：ABD． 【点睛】方法点睛：对于以集合为背景的新定义问题的求解策略： 1、紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把心定义所叙述的问题的本质弄清楚，应用到具体的解题过程中； 2、用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用的集合的性质的一些因素. 3、涉及有交叉集合的元素个数问题往往可采用维恩图法，基于课标要求的，对于集合问题，要熟练基本的概念，数学阅读技能、推理能力，以及数学抽象和逻辑推理能力 【变式2】（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）设、是非空集合，定义：且，已知，，则 . 【答案】或 【分析】由已知可得，，根据的定义即可求解. 【详解】因为，， 所以，， 因为且， 所以或. 故答案为：或 【变式3】（23-24高一上·江苏淮安·期中）对于集合A，B，我们把集合叫作集合A与B的差集，记为；可用图中的阴影部分来表示. (1)若，，求集合和； (2)集合，集合，若，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由函数的新定义求解即可； （2）先求出集合，再由可得，即，解不等式即可得出答案. 【详解】（1）由，可知：，， （2）由可得：， 由题意可知， 由可知； 所以，解得， 所以 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏徐州·期中）若全集，，，则.（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由并集、补集运算的定义直接求解即可. 【详解】因为，，所以，又， 所以. 故选：C 2．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据并集的定义直接求解即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 3．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集含义即可得到答案. 【详解】根据交集含义知. 故选：C. 4．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图确定阴影部分所表示的集合为，再根据集合的补集以及交集的运算，即可得答案. 【详解】由图可知图中阴影部分所表示的集合为， 由于全集，集合， 故，则， 故选：C 5．（22-23高一上·江西景德镇·期中）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（    ）名 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】画出图，由题意求出分别单独参加物理、数学和化学的人数，即可求出参赛人数，进而求出没有参加任何竞赛的学生. 【详解】画三个圆分别代表数学、物理、化学的人， 因为有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛， 参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、化两科的有5名， 只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名， 所以单独参加数学的有人， 单独参加物理的有人，单独参加化学的有， 故参赛人数共有人， 没有参加任何竞赛的学生共有人. 故选：D.    二、多选题 6．（24-25高一上·江苏南通·期末）下列集合表示图中阴影部分的为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由集合的图示表示，再根据集合间的基本关系即可得出结论. 【详解】易知图中的阴影部分表示在集合中去除两集合的交集部分，即可表示为，即A正确； 还可表示为集合的补集与集合的交集，即，即D正确； 也可表示为集合的补集与集合的交集，即,B正确. 故选：ABD 7．（24-25高一上·江苏镇江·期中）用来表示有限集合中元素的个数，例如，，则．已知是全集，，是的两个非空真子集，．（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据的定义对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，，，所以， 所以A选项正确. B选项，，，， 则，所以B选项正确. C选项，，， 所以C选项错误. D选项，若， 则 ， 所以D选项正确. 故选：ABD 【点睛】解新定义题型的步骤：(1)理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论.(2)重视“举例”,利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”;归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况.(3)类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 8．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知集合，，结论正确的有（   ） A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是 【答案】ABD 【分析】可以结合数轴，或转化为集合间的关系即可确定实数的取值范围. 【详解】解：对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为，所以，所以，故B正确； 对于C：因为，所以，所以，故C错误； 对于D：因为，所以，所以，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 9．（23-24高一上·江苏徐州·期中）对于集合，，我们把集合叫做集合与的差集，记作.若，，则 . 【答案】 【分析】利用定义进行直接计算. 【详解】由差集的定义，，, 则. 故答案为：. 10．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）设全集，集合，，则 ． 【答案】 【分析】根据补集和并集的定义求解即得． 【详解】因为全集， 集合，所以， 又，所以 故答案为：. 11．（23-24高一上·江苏镇江·期中）设为实数，集合，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】由，，， 所以，即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 12．（24-25高一上·江苏·期中）若或，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据并集的运算进行求解即可. 【详解】由或， 则，解得， 故答案为：. 13．（21-22高一上·江苏徐州·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加由径和球类比赛的有 人?只参加游泳一项比赛的有 人? 【答案】 3 9 【分析】结合韦恩图，利用集合的基本运算求解. 【详解】解：如图所示： 设A={游泳}，B={田径}，C={球类}， 由题意得：， ， 所以， 则， ， 所以， 所以参加由径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有9人， 故答案为：3，9 四、解答题 14．（24-25高一上·江苏·期中）已知集合，，.求： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】根据集合的交并补的运算依次求解即可. 【详解】（1）由交集的运算性质得. （2）由并集的运算性质得. （3）由题意，或， 即或. 15．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知集合，，． (1)求，，； (2)若，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据集合间的运算求解即可； （2）由，得，再结合包含关系求解即可. 【详解】（1）因为集合，， 所以，， 则， 由，得. （2）由，得， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 16．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知全集，集合，． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出集合，当时，写出集合，利用补集和并集的定义可得出集合； （2）分析可知，，且，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为， 当时，，则或， 此时，. （2）解：因为，则， 显然，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 17．（22-23高一上·江苏盐城·期中）我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为.类似地，对于集合A，B，我们把集合叫做集合A的B的差集，记作.例如.，则有，据此，试回答下列问题： 已知集合 ，集合 (1)当时，求A—B； (2)若，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)（—∞，2] 【分析】（1）根据差集的定义直接求解即可. （2）利用分类讨论的思想求解即可. 【详解】（1）∵ ∴.. （2）∵ 又∵ 当时， ∴ 当时， ∴ 综上所述，实数m的取值范围为 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 交集、并集 题型梳理 易错分析 易错点一 考虑问题不全面，等价变换时易出错 题型方法 题型一 集合交、并、补的综合运算 题型二 利用Venn图求集合 题型三 区间的概念及应用 题型四 集合运算的综合应用 题型五 补集思想的应用 题型六 容斥原理的应用 题型七 集合的新定义问题 知识清单 知识点1 交集与并集 交集 并集 文字语言 由所有属于集合A且属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 由所有属于集合A或者属于集合B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言 A∩B={x|x∈A，且x∈B} A∪B={x|x∈A，或x∈B} 图形语言 运算性质 A∩B=B∩A； A∩A=A； A∩⌀=⌀=⌀∩A； (A∩B)⊆A； (A∩B)⊆B； A⊆B⇔A∩B=A A∪B=B∪A； A∪A=A； A∪⌀=A=⌀∪A； A⊆(A∪B)； B⊆(A∪B)； A⊆B⇔A∪B=B 2. 德·摩根定律 (1)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB)； (2)∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB). 知识点2 区间 1. 设a，b∈R，且a<b，规定[a，b]叫作闭区间；(a，b)叫作开区间；[a，b)，(a，b]叫作半开半闭区间；a，b叫作相应区间的端点. 2. 在数轴上表示时，闭区间用实心圆点表示，开区间用空心圆圈表示. 知识点3 集合的混合运算 1. 在进行集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，再根据运算顺序依次进行运算. 2. 集合的混合运算的分类 (1)有限集(或可以列举的无限集)的运算，运用列举法，按照运算的定义进行运算，注意集合中元素的互异性； (2)与不等式有关的无限集的运算，借助数轴，按照运算的定义进行运算，注意是否去掉端点值； (3)抽象集的运算，利用Venn图，借助直观图形，按照运算的定义进行运算. 知识点4 已知集合间的运算关系求参 1. 由集合间的运算关系求参的思路 (1)将集合间的运算关系转化为两个(或多个)集合之间的关系. 若集合中的元素能被一一列举，则可用观察法；若集合与不等式有关，则可用数轴求解. (2)将集合之间的关系转化为方程(组)或不等式(组)，求解即可. 在求解时注意集合中元素的互异性和空集的特殊性. 知识点5 通过集合知识发展数学抽象、数学运算的素养 1. 集合是现代数学的基本语言，本质上，集合源于对数量与数量关系的抽象，集合的概念就是舍去事物的一切物理属性，得到抽象的数学结构，是数量与数量关系抽象的更高层次. 2. 抽象的过程实际上是对数学概念与数量关系等理解与应用的过程. 集合中的新定义问题能很好地体现数学抽象与数学运算的素养水平，此类问题不是简单考查集合的概念或性质(集合中元素的特性、集合的运算性质等)，而是以集合为载体，通过定义新概念、新法则、新运算等，理解符号所代表的数量关系和变化规律，并能运用集合的性质进行符号间的转化. 易错分析 【易错点一】考虑问题不全面，等价变换时易出错 【例1】（23-24高一上·江苏南通·阶段练习）已知集合，且，求. 【举一反三】【变式1】（22-23高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合，若，求实数的值及. 【变式2】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）设集合，． (1)当时，求和； (2)若，求实数的取值范围． 【变式3】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，． (1)若，求； (2)若，求实数的取值范围． 题型方法 【题型一】集合交、并、补的综合运算 【例1】（21-22高一上·江苏扬州·期末）已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 解题技巧 交集运算的注意点 若A，B是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心点表示 (1)并集的运算技巧 ①若集合是有限集，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性． ②若集合是无限集，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值． (2)利用集合交集、并集的性质解题的技巧 在进行集合运算时，若条件中出现A∩B＝A或A∪B＝B，应转化为A⊆B，然后用集合间的关系解决问题，并注意A＝∅的情况． 交、并、补集的运算性质 A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁UU＝∅；∁U∅＝U；A⊆B⇔∁UB⊆∁UA；B⊆A⇔∁UA⊆∁UB；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，或，则 . 【变式2】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，集合，求： (1)和； (2)． 【变式3】（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）已知全集，，求 (1) (2) (3) 【题型二】利用Venn图求集合 【例2】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知为全集，其三个非空子集、、满足，则下列集合为空集的是（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏·期末）已知全集，集合满足，则下列关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）如图，已知矩形表示全集，，是的两个子集，则阴影部分表示为 . 【变式3】（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）设全集为，集合，或. (1)求如图阴影部分表示的集合； (2)已知集合，若，求实数的取值范围. 【题型三】区间的概念及应用 【例3】已知集合，，则= .（写成区间形式） 解题技巧 用区间表示数集的方法 (1)区间左端点值小于右端点值． (2)区间两端点之间用“，”隔开． (3)含端点值的一端用中括号，不含端点值的一端用小括号． (4)以“－∞”“＋∞”为区间的一端时，这端必须用小括号 【举一反三】【变式1】设集合，若是的真子集，则的取值范围为 .（结果用区间表示） 【变式2】（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知，则 .（用区间形式书写） 【变式3】（20-21高一上·江苏苏州·阶段练习）已知，或，且，则实数的取值范围为 (用区间表示). 【题型四】集合运算的综合应用 【例4】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）设集合，集合，则的元素个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．32 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）集合，若．则实数a的范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）已知集合，若且，则的个数为 . 【变式3】（23-24高一上·江苏常州·期中）已知集合， (1)求集合中的所有整数； (2)若，求实数的取值范围. 【题型五】补集思想的应用 【例5】（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）若集合，且，则实数m的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是 . 【变式2】（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【变式3】（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知集合，. (1)当时，求； (2)若，求实数m的取值范围. 【题型六】容斥原理的应用 【例6】（24-25高一上·江苏·阶段练习）为提升学生学习双语的热情“G11•四市十一校”教学联盟计划在2025年4月举行“语文情境默写”､“英语读后续写”两项竞赛，我校计划派出20人的代表队，据了解其中擅长语文的有10名同学，擅长英语的有12名同学，两项都擅长的有5名同学，请问该代表队误选了几名均不擅长的同学？（    ） A．1 B．2 C．3 D．5 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）一群学生参加学科夏令营，每名同学参加至少一个学科考试．已知有80名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，45名学生参加了化学考试，学生总数是只参加一门考试学生数的2倍，也是参加三门考试学生数的4倍，则学生总数为（    ） A．100名 B．108名 C．120名 D．前三个答案都不对 【变式2】（24-25高一上·江苏镇江·期中）某班有17人参加田径与球类比赛，其中参加田径的有8名同学，两项都参加的有3名同学，则参加球类比赛的人数是 . 【变式3】（21-22高三上·江苏宿迁·阶段练习）学校先举办了一次田径运动会，某班有名同学参赛，又举办了一次球类运动会，这个班有名同学参赛，两次运动会都参赛的有人.两次运动会中，这个班共有多少名同学参赛？ 【题型七】集合的新定义问题 【例7】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作和的笛卡尔积，又称直积，记为，即．关于非空集合，下列说法正确的是（    ） A．若，，则 B．若集合的元素个数分别为，则的元素个数为 C． D． 【举一反三】【变式1】(多选)（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）已知集合是由个正整数组成的集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.下列说法正确的是（   ） A．不是“可分集合” B．是“可分集合” C．四个元素的集合可能是“可分集合” D．五个元素的集合不可能是“可分集合” 【变式2】（24-25高一上·江苏徐州·阶段练习）设、是非空集合，定义：且，已知，，则 . 【变式3】（23-24高一上·江苏淮安·期中）对于集合A，B，我们把集合叫作集合A与B的差集，记为；可用图中的阴影部分来表示. (1)若，，求集合和； (2)集合，集合，若，求实数m的取值范围. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏徐州·期中）若全集，，，则.（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏镇江·期末）已知集合，则（   ） A． B． C． D．. 4．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知全集，集合，则图中阴影部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 5．（22-23高一上·江西景德镇·期中）某城市数、理、化竞赛时，高一某班有26名学生参加数学竞赛，25名学生参加物理竞赛，23名学生参加化学竞赛，其中参加数、理、化三科竞赛的有7名，只参加数、物两科的有6名，只参加物、化两科的有8名，只参加数、化两科的有5名．若该班学生共有51名，则没有参加任何竞赛的学生共有（    ）名 A．7 B．8 C．9 D．10 二、多选题 6．（24-25高一上·江苏南通·期末）下列集合表示图中阴影部分的为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江苏镇江·期中）用来表示有限集合中元素的个数，例如，，则．已知是全集，，是的两个非空真子集，．（   ） A．若，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，则 8．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知集合，，结论正确的有（   ） A．若，则实数的取值范围是 B．若，则实数的取值范围是 C．若，则实数的取值范围是 D．若，则实数的取值范围是 三、填空题 9．（23-24高一上·江苏徐州·期中）对于集合，，我们把集合叫做集合与的差集，记作.若，，则 . 10．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）设全集，集合，，则 ． 11．（23-24高一上·江苏镇江·期中）设为实数，集合，，若，则的取值范围是 . 12．（24-25高一上·江苏·期中）若或，则实数的取值范围为 ． 13．（21-22高一上·江苏徐州·期中）学校举办运动会时，高一（1）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，同时参加由径和球类比赛的有 人?只参加游泳一项比赛的有 人? 四、解答题 14．（24-25高一上·江苏·期中）已知集合，，.求： (1)； (2)； (3). 15．（24-25高一上·江苏淮安·期中）已知集合，，． (1)求，，； (2)若，求实数a的取值范围． 16．（24-25高一上·江苏徐州·期中）已知全集，集合，． (1)当时，求； (2)若，求的取值范围． 17．（22-23高一上·江苏盐城·期中）我们知道，如果集合，那么S的子集A的补集为.类似地，对于集合A，B，我们把集合叫做集合A的B的差集，记作.例如.，则有，据此，试回答下列问题： 已知集合 ，集合 (1)当时，求A—B； (2)若，求实数m的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$