第02讲 子集、全集、补集（知识清单+易错+4必考题型）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版2019必修一）

第02讲 子集、全集、补集 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视对空集的讨论而致错 题型方法 题型一 集合间关系的判断 题型二 与子集、真子集相关的综合问题 题型三 补集运算 题型四 利用集合的包含关系求参数问题 知识清单 知识点1 子集、真子集 子集 真子集 定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集 如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集 记法 A⊆B或B⊇A A⫋B或B⫌A 读法 “集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A” “A真包含于B”或“B真包含A” 图示 或 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)空集是任何集合的子集，即⌀⊆A； (3)对于集合A，B，C，若A⊆B且B⊆C，则A⊆C (1)空集是任何非空集合的真子集； (2)对于集合A，B，C，若A⫋B且B⫋C，则A⫋C 知识点2 补集、全集 1. 全集 　　如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U. 2. 补集 定义 文字语言 设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集 符号语言 ∁SA={x|x∈S，且x∉A} 图形语言 性质 ∁UU=⌀；∁U⌀=U；∁U(∁UA)=A 知识点3 集合间关系的判断 1. 判断集合间关系的方法 (1)列举法：对于能用列举法表示的集合，先用列举法将两个(或多个)集合表示出来，再通过对比两个(或多个)集合中的元素来判断其关系. (2)元素特征法：确定集合的代表元素是什么，弄清楚集合中元素的特征，再利用集合中元素的特征判断. (3)数形结合法：利用数轴或Venn图. 一般不等式的解集之间的关系适合用数轴判断. 知识点4 探究集合的子集个数 1. 假设集合A中含有n(n∈N* )个元素，则 (1)A的子集个数是2n； (2)A的非空子集个数是2n-1； (3)A的真子集个数是2n-1； (4)A的非空真子集个数是2n-2. 2. 含有限制条件的子集问题，一般可根据条件列出所有适合题意的子集，采用列举法解决. 特别地，设有限集合A，B中分别含有m个，n个元素(m，n∈N*，m≤n)，且A⊆C⊆B，则符合条件的有限集C的个数为2n-m. 知识点5 已知集合间的关系求参 1. 若集合是有限集，则根据集合间的关系，列出方程(组)求解，解题时还要注意考虑集合中元素的互异性. 2. 若集合是用不等式描述的，则通常借助数轴进行分析，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，注意实心圆点与空心圆圈，还要注意验证端点值是否符合题意. 3. 涉及“A⊆B”或“A⫋B”的问题，若集合A中含有参数，通常要分A=⌀和A≠⌀两种情况 进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视. 易错分析 【易错点一】忽视对空集的讨论而致错 【例1】（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）集合，且，实数的值为（   ） A．1 B． C．1或-1 D．0或1或-1 【答案】D 【分析】先求出集合M，然后分和两种情况求解 【详解】由，解得或， 所以， 因为，故 当时，满足，此时 当时，即，则， 因为，所以， 所以或， 解得或， 综上，，或，或， 所以实数的取值集合为， 故选:D 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合，由，分与讨论，分别求解的值即可. 【详解】集合，化简求值可得， 当时，，此时集合无解，即 当时，时，即解之得， ，即解之可得， 所以根据集合元素的性质可得元素个数为个. 故选：C 【变式2】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】解出集合，根据可知，需分和两种情况讨论. 【详解】由，则． 因为，所以为方程的解集． ①若，则，所以或或， 当时，有两个相等实根，即不合题意， 同理，不合题意， 当时，符合题意． ②若，成立，则，即． 综上，实数的取值范围是. 故答案为： 【变式3】（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，，若BA，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】由集合的包含关系，列不等式求m的取值范围. 【详解】当时，由，得. 当时，如图所示.    则，得，即， 综上可得，实数m的取值范围是. 题型方法 【题型一】集合间关系的判断 【例1】（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，则间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合间的包含关系直接判断即可. 【详解】由，， 则. 故选：B 解题技巧 判断集合关系的方法 ①观察法：一一列举观察． ②元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． ③数形结合法：利用数轴或Venn图． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏盐城·期中）下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据元素与集合的关系和集合与集合的关系判断各命题. 【详解】因为，故①错； 因为，故②对； 因为，故③对； 因为且，故④错； 因为，故⑤错； 因为，又且，故⑥错； 所以正确的个数为个，故B正确. 故选：B. 【变式2】（20-21高一·江苏·课后作业）子集符号“”与不等号“”看起来很相似．“”具有下面的性质： 如果且，那么； 如果且，那么． 试写出“”相应的“性质”，并判断其正确性． 【答案】对于集合，，，如果且，那么，正确；对于集合，，，如果且，那么，正确. 【分析】根据集合与集合间的关系，判断语句是否正确即可. 【详解】解：对于集合，，，如果且，那么，该结论正确； 对于集合，，，如果且，那么，该结论正确. 【变式3】（20-21高一·江苏·课后作业）指出下列各组集合与之间的关系： ，； ，； ，是的正约数； ，． 【答案】；；；. 【分析】根据集合与集合间的关系判断即可. 【详解】解：，，但集合中的某些元素不属于集合. 所以. 由，可求得. 又由，可知. 由集合是的正约数，可求得， 由于，则. 因为集合表示正整数集，集合表示自然数集， 所以. 【题型二】与子集、真子集相关的综合问题 【例2】（24-25高一上·江苏常州·期中）满足⫋的集合A的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据集合之间的关系直接得出结果. 【详解】集合A可以是，共3个. 故选：B. 解题技巧 求有限集的子集的两个关注点 ①要注意两个特殊的子集：∅和它本身． ②按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）满足的集合的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．15 【答案】B 【分析】根据子集和真子集的含义判断元素取舍，即得集合的个数. 【详解】由可知或或，故集合的个数为3. 故选：B. 【变式2】（20-21高一上·江苏淮安·期中）满足的集合 的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件可知集合中必有，集合还可以有元素，写出集合的所有情况即可求解. 【详解】因为集合满足， 所以集合中必有，集合还可以有元素， 满足条件的集合有：，，，，，，， 共有个， 故选：A. 【变式3】（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知，，且，满足这样的集合的个数 . 【答案】7 【分析】根据子集和真子集概念的理解，从元素由少到多的顺序将集合逐个列举即得. 【详解】由题意，集合可以取：共7个. 故答案为：7. 【题型三】补集运算 【例3】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出集合，再利用补集的定义求解. 【详解】依题意，，所以. 故选：D 解题技巧 (1)求补集的方法 ①列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合． ②由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合． (2)利用补集求参数应注意两点 ①与集合的补集运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形． ②不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）设全集，集合，则 ． 【答案】/ 【分析】利用集合的补集运算即可. 【详解】由全集可得：， 因为集合，所以， 故答案为：. 【变式2】（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）设全集，集合，集合． (1)试用列举法写出集合A，B； (2)写出集合B的子集． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先求出集合A中方程的根，确定出集合A的元素，再由补集定义可解； （2）根据子集的定义解答，即可得答案． 【详解】（1）由，则， 所以. （2）由（1）知：集合B的子集有. 【变式3】（20-21高一上·江苏连云港·阶段练习）设，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由全集，求出A的补集，根据A补集为B的子集，确定出m的范围即可； （2）根据B为A的补集的子集，确定出m的范围即可. 【详解】（1）解：已知，，则， 因为，，所以，即实数的取值范围为. （2）解：由题意可知，因为， 所以，即实数的取值范围为. 【题型四】利用集合的包含关系求参数问题 【例4】（24-25高一上·江苏泰州·期末）若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 【答案】C 【分析】由题，要使取最大值，则a取，c取，b取，据此可得答案. 【详解】因，要使最大， 则a取，c取，b取，则. 故选：C. 解题技巧 利用集合关系求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值． (2)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知集合，集合，若，则实数 ． 【答案】2 【分析】根据，可得，即可解得. 【详解】因为，集合，集合， 所以，即，解得， 故答案：. 【变式2】（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）已知集合 (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得A中共8个元素，从而可得结果； （2）根据子集关系布列不等式组，可得结果. 【详解】（1）当时，，，0，1，2，3，4，，共8个元素， 的非空真子集的个数为个； （2）显然， 根据得，，解得， 故实数m的取值范围是. 【变式3】（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，， (1)若集合，求实数的值； (2)若集合，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先化简集合，然后根据条件即可确定实数的值； （2）由条件集合知，集合中至多有2个元素，对集合中的元素个数进行分类讨论即可. 【详解】（1）易知集合，由得： 或，解得：. （2）（1）当时满足； （2）当时 ①当即时，满足，. ②当即时，，不满足. ③当即时，满足，只能， 无解. 综上所述：或. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）设集合，若，则（   ） A．2 B．1 C． D．1或2 【答案】B 【分析】利用集合的包含关系，列式求解并验证即得. 【详解】由，得， 若，则，此时，，不满足，不合题意； 若，则，此时，，满足； 所以. 故选：B 2．（24-25高一上·江苏苏州·期中）下列是关于的描述，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据集合与集合，元素与集合的关系逐一判断即可. 【详解】对于AB，，故A正确，B错误； 对于CD，，，故CD正确. 故选：B. 3．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）满足的集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由题意得集合的个数与的子集的个数相等，由此计算可得． 【详解】，所以集合的个数与的子集的个数相等，个数为. 故选：C． 4．（22-23高一上·江苏·期中）已知集合，若是的子集，且同时满足：①若，则；②若，则；则集合的个数为（    ） A．8 B．16 C．20 D．24 【答案】B 【分析】由补集与子集的概念求解， 【详解】由题意当时，，当时，， 当时，，当时，，元素5与7没有限制， 则集合的个数等于的子集个数，集合有个子集， 集合可以为：，， ，，，，，， ，，，，，，，，共16个， 故选：B 5．（23-24高一上·江苏徐州·期中）设全集，集合，，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得，根据集合是否为空集分类可得. 【详解】 因为，所以， 若，此时，得， 若，由得，得， 故的取值范围是， 故选：D 6．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，则A子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】结合题意 ，由集合中元素的特性解出集合，再求子集数即可； 【详解】由已知可得， 所以，所以， 所以A子集的个数为个， 故选：D. 二、多选题 7．（20-21高一上·江苏无锡·期中）当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称这两集合之间构成“偏食”．对于集合，，若A与B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【答案】ABD 【分析】分情况解集合，再根据“全食”与“偏食”的概念分析集合中元素满足的关系列式求解即可． 【详解】当时，，此时满足，两个集合之间构成“全食”，符合条件． 当时，，， 当时，，满足，构成“全食”，此时； 当时，，构成“偏食”，此时． 综上所述，a的取值集合为． 故选：ABD. 8．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 【答案】ABD 【分析】AB选项，根据空集的性质判断；CD选项，根据子集的定义判断. 【详解】空集只有一个子集，故A错； 空集时任何非空集合的真子集，故B错； 因为，所以集合中所有元素都属于集合，则，故C正确； 例如，，，满足且，此时，故D错. 故选：ABD. 9．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么． 【答案】AD 【分析】对于A，利用可得结论；对于B，先得为偶数且不能被4整除，接着假设得，再根据和同奇或同偶分类讨论是否符合即可得解；对于C, 依据，，可得存在使得，再计算可得解；对于D依据，，可得存在使得，再计算可得解· 【详解】对于A，，时，， 故，所以，故A正确； 对于B，因为，所以为偶数且不能被4整除， 若，则存在使得， 因为据和同奇或同偶， 若据和同奇，则为奇数，矛盾，不符合， 若和同偶，则能被4整除，矛盾，不符合， 所以，即，故B错误； 对于C，因为，，所以， , 又不一定成立，不能得到，故C错误 对于D，因为，，所以， 所以 因为，所以，故D正确. 故选：AD. 【点睛】方法点睛：按照题目中关于集合中元素的定义，对选项中的算式进行变形整理，表示成中元素的形式，判断是否能够成立. 三、填空题 10．（24-25高一上·江苏连云港·期中）若集合，则 . 【答案】1 【分析】利用集合相等，分和两种情况求解. 【详解】当时，，即，则； 当时，，解得，此时，即，则， 综上：. 故答案为：1 11．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知集合，则集合的真子集个数为 . 【答案】3 【分析】列举出集合的所有真子集即可得解. 【详解】集合的真子集为：，共3个. 所以集合的真子集个数为3. 故答案为：3 12．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘以再求和，例如，可求得和为，对的所有非空子集，这些和的总和为 . 【答案】 【分析】根据集合元素个数可确定非空子集个数，并得到每个元素出现的次数，按照已知中的运算加和可得结果. 【详解】的所有非空子集共有个， 每个元素在集合的所有非空子集中都出现次， 对的所有非空子集，这些和的总和. 故答案为：. 13．（24-25高一上·江苏徐州·期中）设集合的所有非空子集为，其中.设中所有元素之和为，则 . 【答案】 【分析】利用集合中的每一个元素出现在非空子集中的次数为次，可求结果. 【详解】集合中的每一个元素出现在非空子集中的次数为次， 所以. 故答案为：. 四、解答题 14．（20-21高一上·江苏连云港·阶段练习）设为实数，若全集，，. （1）若，借助数轴求实数的取值范围； （2）若，借助数轴求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）本题首先可根据得出，然后根据即可得出结果； （2）本题可根据得出结果. 【详解】（1）因为，所以， 因为，，如图， 所以，实数的取值范围为. （2）因为，，，如图， 所以，实数的取值范围为. 15．（2021高一·江苏·专题练习）已知集合 ． （1）若 有两个子集，求 的取值范围； （2）若 中至多有两个子集，求 的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）由子集的个数得集合中有且只有一个元素，从而可得参数值或范围； （2）由中元素个数为1或0可得结论． 【详解】（1）① 时， 为一次方程，，符合题意； ② 时，若 中只有一个元素，则 ，即 ． 或 ． （2） 中至多只有一个元素： ① 中只有一个元素，由（1）知 或； ② 中没有元素，则此时 ，解得 ， 所以 的取值范围为 ． 16．（21-22高一上·江苏常州·阶段练习）设m为实数，若，，求当时m的取值集合． 【答案】. 【分析】根据题意，解可得集合A，分析，进而分，两种情况讨论，求出时m的值，综合可得答案． 【详解】集合， 由 当时，，，不成立， 当时，， 当且时，，成立， 当且时，由可得，， 解得，综上所述m的取值集合为． 17．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合A有三个元素：，，，集合B也有三个元素：0，1，x. (1)若，求a的值； (2)若，求实数x的值； (3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同？ 【答案】(1)0或－1 (2)－1 (3)不存在 【分析】（1）由元素与集合的关系，解方程求a的值并检验； （2）由元素与集合的关系，解方程求实数x的值并检验； （3）由元素相同，分类讨论列方程求解. 【详解】（1）由且，可知或， 当时，；当时，. 经检验，0与－1都符合要求.∴或. （2）由，得或或，∴或或. 但考虑到集合元素的互异性，且，故. （3）显然，由集合元素的无序性，只可能或. 若，则，A包含的元素为0，5，10，与集合B中元素不相同. 若，则，A包含的元素为0，，，与集合B中元素不相同. 故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同. 18．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 【答案】(1) (2)62. 【分析】（1）依题意有，分和两种情况讨论，由包含关系求实数m的取值范围； （2）当时，A中共有6个元素，即可求出A的非空真子集的个数； 【详解】（1）， ①若，则，解得； ②若，则，可得. 由可得，解得，此时. 综上所述，实数m的取值范围是. （2），共有个元素， 所以A的非空真子集的个数为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 子集、全集、补集 题型梳理 易错分析 易错点一 忽视对空集的讨论而致错 题型方法 题型一 集合间关系的判断 题型二 与子集、真子集相关的综合问题 题型三 补集运算 题型四 利用集合的包含关系求参数问题 知识清单 知识点1 子集、真子集 子集 真子集 定义 如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素(若a∈A，则a∈B)，那么集合A称为集合B的子集 如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的真子集 记法 A⊆B或B⊇A A⫋B或B⫌A 读法 “集合A包含于集合B”或“集合B包含集合A” “A真包含于B”或“B真包含A” 图示 或 性质 (1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)空集是任何集合的子集，即⌀⊆A； (3)对于集合A，B，C，若A⊆B且B⊆C，则A⊆C (1)空集是任何非空集合的真子集； (2)对于集合A，B，C，若A⫋B且B⫋C，则A⫋C 知识点2 补集、全集 1. 全集 　　如果一个集合包含我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，全集通常记作U. 2. 补集 定义 文字语言 设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集 符号语言 ∁SA={x|x∈S，且x∉A} 图形语言 性质 ∁UU=⌀；∁U⌀=U；∁U(∁UA)=A 知识点3 集合间关系的判断 1. 判断集合间关系的方法 (1)列举法：对于能用列举法表示的集合，先用列举法将两个(或多个)集合表示出来，再通过对比两个(或多个)集合中的元素来判断其关系. (2)元素特征法：确定集合的代表元素是什么，弄清楚集合中元素的特征，再利用集合中元素的特征判断. (3)数形结合法：利用数轴或Venn图. 一般不等式的解集之间的关系适合用数轴判断. 知识点4 探究集合的子集个数 1. 假设集合A中含有n(n∈N* )个元素，则 (1)A的子集个数是2n； (2)A的非空子集个数是2n-1； (3)A的真子集个数是2n-1； (4)A的非空真子集个数是2n-2. 2. 含有限制条件的子集问题，一般可根据条件列出所有适合题意的子集，采用列举法解决. 特别地，设有限集合A，B中分别含有m个，n个元素(m，n∈N*，m≤n)，且A⊆C⊆B，则符合条件的有限集C的个数为2n-m. 知识点5 已知集合间的关系求参 1. 若集合是有限集，则根据集合间的关系，列出方程(组)求解，解题时还要注意考虑集合中元素的互异性. 2. 若集合是用不等式描述的，则通常借助数轴进行分析，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，注意实心圆点与空心圆圈，还要注意验证端点值是否符合题意. 3. 涉及“A⊆B”或“A⫋B”的问题，若集合A中含有参数，通常要分A=⌀和A≠⌀两种情况 进行讨论，其中A=⌀的情况容易被忽略，应引起足够的重视. 易错分析 【易错点一】忽视对空集的讨论而致错 【例1】（24-25高一上·江西南昌·阶段练习）集合，且，实数的值为（   ） A．1 B． C．1或-1 D．0或1或-1 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）已知为常数，集合，集合，且，则的所有取值构成的集合元素个数为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知集合，，且，则实数的取值范围为 ． 【变式3】（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，，若BA，求实数m的取值范围. 题型方法 【题型一】集合间关系的判断 【例1】（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，则间的关系是（    ） A． B． C． D． 解题技巧 判断集合关系的方法 ①观察法：一一列举观察． ②元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系． ③数形结合法：利用数轴或Venn图． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏盐城·期中）下列各式中，正确的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（20-21高一·江苏·课后作业）子集符号“”与不等号“”看起来很相似．“”具有下面的性质： 如果且，那么； 如果且，那么． 试写出“”相应的“性质”，并判断其正确性． 【变式3】（20-21高一·江苏·课后作业）指出下列各组集合与之间的关系： ，； ，； ，是的正约数； ，． 【题型二】与子集、真子集相关的综合问题 【例2】（24-25高一上·江苏常州·期中）满足⫋的集合A的个数为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 解题技巧 求有限集的子集的两个关注点 ①要注意两个特殊的子集：∅和它本身． ②按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）满足的集合的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．15 【变式2】（20-21高一上·江苏淮安·期中）满足的集合 的个数为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知，，且，满足这样的集合的个数 . 【题型三】补集运算 【例3】（24-25高一上·江苏无锡·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 解题技巧 (1)求补集的方法 ①列举法表示：从全集U中去掉属于集合A的所有元素后，由所有余下的元素组成的集合． ②由不等式构成的无限集表示：借助数轴，取全集U中集合A以外的所有元素组成的集合． (2)利用补集求参数应注意两点 ①与集合的补集运算有关的参数问题一般利用数轴求解，涉及集合间关系时不要忘掉空集的情形． ②不等式中的等号在补集中能否取到，要引起重视，还要注意补集是全集的子集． 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）设全集，集合，则 ． 【变式2】（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）设全集，集合，集合． (1)试用列举法写出集合A，B； (2)写出集合B的子集． 【变式3】（20-21高一上·江苏连云港·阶段练习）设，，． (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【题型四】利用集合的包含关系求参数问题 【例4】（24-25高一上·江苏泰州·期末）若，则的最大值为（   ） A．12 B．13 C．16 D．18 解题技巧 利用集合关系求参数的关注点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值． (2)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·江苏南京·期中）已知集合，集合，若，则实数 ． 【变式2】（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）已知集合 (1)当时，求A的非空真子集的个数； (2)若，求实数m的取值范围． 【变式3】（22-23高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，， (1)若集合，求实数的值； (2)若集合，求实数的取值范围. 好题必刷 一、单选题 1．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）设集合，若，则（   ） A．2 B．1 C． D．1或2 2．（24-25高一上·江苏苏州·期中）下列是关于的描述，其中错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）满足的集合的个数为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．（22-23高一上·江苏·期中）已知集合，若是的子集，且同时满足：①若，则；②若，则；则集合的个数为（    ） A．8 B．16 C．20 D．24 5．（23-24高一上·江苏徐州·期中）设全集，集合，，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·江苏盐城·阶段练习）已知集合，则A子集的个数为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 二、多选题 7．（20-21高一上·江苏无锡·期中）当两个集合中有一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称这两集合之间构成“偏食”．对于集合，，若A与B构成“全食”或构成“偏食”，则a的取值可以是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 8．（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）下列结论错误的是（    ） A．任何一个集合至少有两个子集 B．空集是任何集合的真子集 C．若且，则 D．若且，则 9．（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）对于集合，给出以下结论，其中正确的结论是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，，那么 D．如果，，那么． 三、填空题 10．（24-25高一上·江苏连云港·期中）若集合，则 . 11．（24-25高一上·江苏苏州·期中）已知集合，则集合的真子集个数为 . 12．（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合，对于它的任一非空子集，可以将中的每一个元素都乘以再求和，例如，可求得和为，对的所有非空子集，这些和的总和为 . 13．（24-25高一上·江苏徐州·期中）设集合的所有非空子集为，其中.设中所有元素之和为，则 . 四、解答题 14．（20-21高一上·江苏连云港·阶段练习）设为实数，若全集，，. （1）若，借助数轴求实数的取值范围； （2）若，借助数轴求实数的取值范围. 15．（2021高一·江苏·专题练习）已知集合 ． （1）若 有两个子集，求 的取值范围； （2）若 中至多有两个子集，求 的取值范围． 16．（21-22高一上·江苏常州·阶段练习）设m为实数，若，，求当时m的取值集合． 17．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合A有三个元素：，，，集合B也有三个元素：0，1，x. (1)若，求a的值； (2)若，求实数x的值； (3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同？ 18．（2023高一·江苏·专题练习）已知集合，. (1)若，求实数m的取值范围； (2)若，求A的非空真子集个数. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$