第01讲 集合的概念与表示（知识清单+2易错+4必考题型）-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（苏教版2019必修一）

第01讲 集合的概念与表示 题型梳理 易错分析 易错点一 混淆集合的表示方法而致错 易错点二 不理解集合中元素特性的意义而致错 题型方法 题型一 判断元素与集合的关系 题型二 集合中元素特性的应用 题型三 集合的表示方法 题型四 集合中的方程问题 知识清单 知识点1 集合的相关概念 1. 集合的概念 　　一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合. 集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元. 集合常用大写拉丁字母表示，如集合A，B，…，集合的元素常用小写拉丁字母表示，如a，b，…. 2. 集合中元素的特性 (1)确定性：集合中的元素必须是确定的. (2)无序性：集合中的元素并无先后顺序，即任何两个元素都可以交换顺序. (3)互异性：集合中的元素一定是不同的. 3. 元素与集合的关系：属于(用符号“∈”表示)或不属于(用符号“∉”或“⋷”表示). 4. 集合相等 　　如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等. 知识点2 集合的表示与分类 1. 常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 2. 集合的表示方法 (1)列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内. 集合中元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关. (2)描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式，其中x为集合的代表元素，p(x)为元素x具有的性质. 　　为了直观地表示集合，我们常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图. 3. 集合的分类 　　含有有限个元素的集合称为有限集. 　　含有无限个元素的集合称为无限集. 　　不含任何元素的集合称为空集，记作⌀. 知识点3 集合中元素特性的应用 1. 确定性的应用 (1)集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一. (2)元素在集合中，元素就满足集合的限制条件；元素不在集合中，元素就不满足集合的限制条件. 由此可以列出关系式，进而得到参数的值或取值范围. 2. 互异性的应用 互异性主要体现在求出参数后要代入检验，看看所求的集合中的元素是否互不相同. 3. 无序性的应用 　　无序性是分类讨论思想的应用标准. 若给出元素属于某集合，则它可能等于集合中的任一元素；若给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等. 知识点4 集合的表示 1. 方法的选择 　　当集合中元素个数较少或个数多但有规律时可考虑用列举法；当集合中元素个数多且有公共属性或无限时可考虑用描述法. 2. 用列举法表示集合时的省略 　　元素个数多或元素个数无限但有规律时，在不发生误解的情况下，可按照规律列出几个代表元素，其他元素用省略号表示. 如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1，2，3，…，1 000}，“自然数集N”可以表示为{0，1，2，3，…}. 3. 用描述法表示集合时的注意点 (1)写清楚集合中的代表元素及其范围，如数或点等； (2)除代表元素外的字母，要说明其含义或指出其取值范围； (3)用于描述共同属性内容的语言要力求简洁、准确； (4)所有描述的内容都要写在“{}”内，且“{}”内不能出现“所有”“全体”等词语. 知识点5 集合中的参数问题 1. 求解含参数的集合问题的思路 (1)若参数的取值对解题有影响，则需对参数进行分类讨论，分类时要明确分类标准，如在方程ax+b=0中，要讨论一次项系数a是不是0，在方程ax2+bx+c=0中，要讨论二次项系数a是不是0. (2)利用条件列出含参数的关系式，求解可得到参数的值或取值范围，要注意利用集合中元素的特性对参数进行检验. 易错分析 【易错点一】混淆集合的表示方法而致错 【例1】（2023高一·江苏·专题练习）集合A＝用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据自然数集与整数集的概念分析集合中的元素即可. 【详解】因为，， 所以或2或4或8， 即或4或2或， 即. 故选：D. 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·江苏·课后作业）用描述法表示下列集合 （1）所有正偶数组成的集合 ； （2）被9除余2的数组成的集合 ． 【答案】 【分析】（1）（2）根据描述写出所有正偶数、被9除余2的数，即可得对应集合. 【详解】（1）令，则所有正偶数为，故所有正偶数组成的集合为； （2）令，则被9除余2的数为，故被9除余2的数组成的集合为. 故答案为：；. 【变式2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）解集用描述法表示为，解集用列举法表示为 ． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组，然后根据列举法求得正确答案. 【详解】由解得， 所以列举法表示为. 故答案为： 【变式3】（22-23高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合，用列举法表示集合 ． 【答案】 【分析】根据集合表示的含义及自然数集即可求解. 【详解】由且，得， 所以. 故答案为：. 【易错点二】不理解集合中元素特性的意义而致错 【例2】（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据集合的互异性，即可求解. 【详解】由集合的互异性可知，，或，或， 得，或，或， 故选：C 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据集合中元素特征可得，即可求得中元素的个数. 【详解】易知可知，即； 可得，因此可得，即中元素的个数为3个. 故选：C 【变式2】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知集合，，且，则集合 ． 【答案】 【分析】根据条件，求出，再利用集合的性质，即可求解. 【详解】因为，所以或， 由，得到或， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 当时，，满足题意，此时， 当时，集合不满足集合的互异性，舍去， 故答案为：. 【变式3】（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 【答案】(1)不能取0和4； (2)． 【分析】（1）根据集合元素的互异性，列式算出答案； （2）若4为集合A的元素，结合（1）的结论可知，从而算出实数m的值． 【详解】（1）根据题意，可得，解得且， 因此，实数m不能取0和4； （2）由（1）的结论，可知m≠4， 若，则，解得（不符合题意）， 因此，实数m的值是． 题型方法 【题型一】判断元素与集合的关系 【例1】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合的元素是自然数，是无理数，从而得出，进而得出正确的选项． 【详解】，， ． 故选：D. 解题技巧 (1)判断一组对象能构成集合的条件是能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素． (2)判断元素和集合关系的两种方法 ①直接法：集合中的元素是直接给出的． ②推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 【举一反三】【变式1】（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）若，则，则称A是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为 . 【答案】15 【分析】由已知，根据给出的定义可知，，，，，然后使用列举法罗列出所有满足条件的情况即可. 【详解】时，则； 时，则； 时，则； 时，则， 集合的所有满足新定义的元素有6个， 那么；或；， ；；；；；， ；；；；， 共有15个， 故答案为： 【变式2】（23-24高一上·江苏·课后作业）已知集合，判断是否是集合中的元素，请说明理由． 【答案】答案见解析 【分析】根据集合的表示方法，以及元素与集合的关系，即可求解. 【详解】由题意，可得，， 因为，所以， 不存在，使得，即． 【变式3】（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）已知是满足下列条件的集合：①；②若，则；③若且，则. (1)判断是否正确，说明理由； (2)证明：若，则. 【答案】(1)正确，理由见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由①②得，进而可得，根据③即可证结论； （2）若结合②③得，即可得，再由可得，进而确定即可证结论. 【详解】（1）由，由②知：， 由③知：； （2）先证：若，则， 由②知：若，且，又，则； 由③知：，则， 所以， 综上，， 再证：若则， 由，则， 所以， ，由③知：， ， . 【题型二】集合中元素特性的应用 【例2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）定义集合，的一种运算：，若，，则中的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】根据新定义求出的所有元素即可得解. 【详解】当时，； 当时，； 当时，； 当时，. 所以，即中的元素个数为4. 故选：C 解题技巧 利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点 (1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验． (2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用． 【举一反三】【变式1】（22-23高一上·江苏盐城·期中）集合，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用元素与集合的关系列出不等式，解之即可求解. 【详解】因为集合，， 所以，即 故选：A. 【变式2】（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知，，若集合，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用集合中元素的互异性，以已知的0，1为突破口，分类讨论求出，的值. 【详解】∵，显然， 所以，∴. 根据集合中元素的互异性得，∴. ∴ 故答案为： 【变式3】（20-21高一上·江苏苏州·阶段练习）已知. （1）若，求的取值范围； （2）若且，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）根据，可得出，解出的范围即可； （2）根据且，可得出，解出的范围即可. 【详解】解：（1）由，所以，解得， 所以的取值范围为； （2）由，且， 所以，解得. 所以的取值范围为. 【题型三】集合的表示方法 【例3】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，结合得的值即可求解. 【详解】由得，，即， 又，∴ 故. 故选：C. 解题技巧 (1)用列举法表示集合的注意点 ①把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． ②这里“{　}”已包含所有的意思，不能出现“全体”“所有”等． (2)利用描述法表示集合的注意点 ①写清楚该集合代表元素的符号． ②所有描述的内容都要写在花括号内． (3)一个集合可以用不同的方法表示．若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，要注意其中的元素不一定按顺序对应相等，应注意检验元素是否满足互异性． 【举一反三】【变式1】（22-23高三下·江苏扬州·阶段练习）已知集合，则集合中元素的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据集合交集的定义与运算，求得集合，由此得出集合中的元素个数. 【详解】因为结合， 根据集合交集的运算，可得， 所以集合中元素的个数为3个. 故选：C. 【变式2】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用列举法表示集合即可； （2）利用描述法表示集合即可； （3）利用描述法表示集合即可； （4）利用描述法表示集合即可. 【详解】（1）利用列举法表示集合; （2）利用描述法表示集合； （3）利用描述法表示集合； （4）利用描述法表示集合 【变式3】（2023高一·江苏·专题练习）用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)方程的实数根组成的集合B； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】利用集合的描述法与列举法求解即可. 【详解】（1）因为大于1且小于6的整数包括2，3，4，5，所以. （2）因为方程的实数根为，所以. （3）联立，解得， 所以一次函数与的交点为，所以. 【题型四】集合中的方程问题 【例4】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若集合恰有1个真子集，则的取值是（    ） A．-1 B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据题意，由条件可得集合有且只有一个元素，然后分与讨论，即可得到结果. 【详解】因为集合恰有1个真子集，则集合有且只有一个元素， 当时，即，则，符合题意； 当时，即，则关于的方程只有一个实数解， 则，解得； 综上所述，或. 故选：D 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）若集合的子集只有两个，则实数 . 【答案】4 【分析】用描述法表示的集合元素个数问题，用到一元方程解的个数，用判别式与零的关系，当方程有一个解时，判别式等于零. 【详解】因为集合的子集只有两个，所以A中只含有一个元素. 当时，，与题意不符； 当时，若集合A只有一个元素，由一元二次方程判别式得或4. 综上，当时，集合A只有一个元素. 故答案为：4. 【变式2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1)的值为或者，当时，；当时， (2) 【分析】（1）分和两种情况讨论，当时，解出即可； （2）方程无解时，且，解出不等式，结合（1）中的结论，即可求得. 【详解】（1）当，集合， 当时，，解得，此时， 综上可知，的值为或者，当时，；当时，. （2）当集合中有两个元素时，方程有两个不相等的实数根， 则且，解得且， 又当中只有一个元素时，或， 故中至少有一个元素时，的范围为， 所以的取值范围为. 【变式3】（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）借助根与系数的关系计算即可得； （2）分及进行讨论，若，可计算出结果，若，则需借助根与系数的关系计算. 【详解】（1）当时，， 由中只有一个元素，则有，解得； （2）当时，， 由中至多有一个元素，故中可能没有元素或个元素， 当时，，符合要求； 当时，对有： ，解得； 综上所述：或. 好题必刷 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 【答案】D 【分析】根据集合元素的确定性逐项判断. 【详解】对于选项A：“无限接近”没有判定标准，不满足确定性，故A错误； 对于选项B：“最美乡村”没有判定标准，不满足确定性，故B错误； 对于选项C：“优秀的学生”没有判定标准，不满足确定性，故C错误； 对于选项D：“2022年度国内GDP超过1万亿的地级市”有统一的判定标准，满足确定性，故D正确； 故选：D. 2．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）下列四个选项哪个是正确的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据集合与元素的关系，结合N，Z，R，Q所表示的集合进行求解即可. 【详解】因为N表示自然数集，Z表示整数集，R表示实数集，Q表示有理数集， 所以只有选项D正确. 故选：D 3．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】根据题意结合集合相等列式求解即可. 【详解】因为集合，且， 则，解得. 故选：A. 4．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或 D．无解 【答案】A 【分析】由题意得或，解方程，由集合元素的互异性即可求. 【详解】因为， 所以或， 当即时，，不符合集合元素的互异性， 故不符合题意，舍； 当即（舍）或时，，符合题意， 故的值为. 故选：A 二、多选题 5．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．0与表示同一个集合 【答案】AB 【分析】结合集合的表示及元素与集合的基本关系分别检验各选项即可判断. 【详解】对于A，10以内的质数为，组成的集合是，故A正确； 对于B，由集合中元素的无序性知和表示同一集合，故B正确； 对于C，由集合中元素的互异性可知不存在集合，故C错误； 对于D，由集合的表示方法知0不是集合，故D错误. 故选：AB. 6．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知集合，则下列表示正确的是（　　 ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】利用元素与集合的关系计算即可. 【详解】易知，，， 令， 即B、C、D正确，A错误； 故选：BCD 7．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据条件得，从而有为奇数或4的倍数，即可判断选项A和B的正误；根据，可判断选项C的正误；由条件知为奇数或4的倍数，分中至少有一个为4的倍数和都为奇数两种情况讨论，结合条件，即可求解. 【详解】由， 则，同为奇数或同为偶数，所以为奇数或4的倍数，故A错误；B正确； 对于选项C，因为，故C正确； 对于选项D，由，则为奇数或4的倍数， 当中至少有一个为4的倍数时，则为4的倍数，所以， 当都为奇数时，则可令， 所以，所以， 故，故D正确． 故选：BCD． 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于，从而得出为奇数或4的倍数，即可求解. 三、填空题 8．（21-22高一上·江苏盐城·期中）若集合，则 ． 【答案】 【分析】根据元素的互异性原则即可求解. 【详解】解：由题意得： 集合 显然，， 故答案为： 9．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数的取值的集合是 ． 【答案】 【分析】分和讨论，当时，利用判别式即可求解. 【详解】当时，由方程解得，集合A只有一个元素； 当时，因为集合A中只有一个元素，则，解得. 综上，实数的取值的集合为. 故答案为： 10．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）集合，用列举法表示集合 . 【答案】 【分析】根据集合元素的性质即可求得答案. 【详解】由，可得，， 由，可得，则，则， 故答案为： 四、解答题 11．（2023高一·江苏·专题练习）试用描述法表示下列集合. (1)大于3的全体偶数构成的集合； (2)平面直角坐标系中，轴上的所有点. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用描述法得到答案. （2）直接利用描述法得到答案. 【详解】（1）大于3的全体偶数构成的集合为. （2）平面直角坐标系中，轴上的所有点为 12．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是空集，求的取值范围； (2)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）讨论，根据得出结果； （2）讨论，根据得出结果； （3）讨论，根据得出结果； 【详解】（1）若是空集，则方程无实数根， ①当时，原方程变为，此时，不符合题意； ②则，，解得， 所以的范围为. （2）因为是单元素集合（只有一个元素）， ①当时，原方程变为，此时，符合题意； ②则，，解得， 所以或． （3）因为中至多有一个元素，则或， 解得或. 所以的取值范围为：或. 13．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知集合 (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求集合A. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据空集转化为一元二次方程根的情况求解． （2）根据a分类讨论，从而解决问题． 【详解】（1）当时，集合， 因为A是空集， 所以且， 所以， 所以a的取值范围是． （2）因为A中只有一个元素， 当时，集合，符合题意， 当时，要使A中只有一个元素， 所以且， 所以， 综上所述，或. 14．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 【答案】(1)中其他所有元素为，，2； (2)0不是的元素，当，中的元素是：3，，，． 【分析】（1）根据定义直接计算即可得到中其他所有元素； （2）先假设，依定义判断即可；取，根据定义直接计算即可得到中其他所有元素． 【详解】（1）由题意可知：， 则，，，， 所以中其他所有元素为，，2． （2）假设，则， 而当时，不存在，假设不成立， 所以0不是的元素， 取，则，，，， 所以当，中的元素是：3，，，． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 集合的概念与表示 题型梳理 易错分析 易错点一 混淆集合的表示方法而致错 易错点二 不理解集合中元素特性的意义而致错 题型方法 题型一 判断元素与集合的关系 题型二 集合中元素特性的应用 题型三 集合的表示方法 题型四 集合中的方程问题 知识清单 知识点1 集合的相关概念 1. 集合的概念 　　一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体组成一个集合. 集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元. 集合常用大写拉丁字母表示，如集合A，B，…，集合的元素常用小写拉丁字母表示，如a，b，…. 2. 集合中元素的特性 (1)确定性：集合中的元素必须是确定的. (2)无序性：集合中的元素并无先后顺序，即任何两个元素都可以交换顺序. (3)互异性：集合中的元素一定是不同的. 3. 元素与集合的关系：属于(用符号“∈”表示)或不属于(用符号“∉”或“⋷”表示). 4. 集合相等 　　如果两个集合所含的元素完全相同(即A中的元素都是B的元素，B中的元素也都是A的元素)，那么称这两个集合相等. 知识点2 集合的表示与分类 1. 常用数集及其记法 名称 非负整数集 (或自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N*或N+ Z Q R 2. 集合的表示方法 (1)列举法：将集合的元素一一列举出来，并置于花括号“{}”内. 集合中元素之间要用逗号分隔，但列举时与元素的次序无关. (2)描述法：将集合的所有元素都具有的性质(满足的条件)表示出来，写成{x|p(x)}的形式，其中x为集合的代表元素，p(x)为元素x具有的性质. 　　为了直观地表示集合，我们常画一条封闭的曲线，用它的内部来表示一个集合，称为Venn图. 3. 集合的分类 　　含有有限个元素的集合称为有限集. 　　含有无限个元素的集合称为无限集. 　　不含任何元素的集合称为空集，记作⌀. 知识点3 集合中元素特性的应用 1. 确定性的应用 (1)集合中的元素是否属于这个集合是确定的，即任何对象都能明确它是或不是某个集合的元素，两者必居其一. (2)元素在集合中，元素就满足集合的限制条件；元素不在集合中，元素就不满足集合的限制条件. 由此可以列出关系式，进而得到参数的值或取值范围. 2. 互异性的应用 互异性主要体现在求出参数后要代入检验，看看所求的集合中的元素是否互不相同. 3. 无序性的应用 　　无序性是分类讨论思想的应用标准. 若给出元素属于某集合，则它可能等于集合中的任一元素；若给出两集合相等，则其中的元素不一定按顺序对应相等. 知识点4 集合的表示 1. 方法的选择 　　当集合中元素个数较少或个数多但有规律时可考虑用列举法；当集合中元素个数多且有公共属性或无限时可考虑用描述法. 2. 用列举法表示集合时的省略 　　元素个数多或元素个数无限但有规律时，在不发生误解的情况下，可按照规律列出几个代表元素，其他元素用省略号表示. 如“从1到1 000的所有自然数”可以表示为{1，2，3，…，1 000}，“自然数集N”可以表示为{0，1，2，3，…}. 3. 用描述法表示集合时的注意点 (1)写清楚集合中的代表元素及其范围，如数或点等； (2)除代表元素外的字母，要说明其含义或指出其取值范围； (3)用于描述共同属性内容的语言要力求简洁、准确； (4)所有描述的内容都要写在“{}”内，且“{}”内不能出现“所有”“全体”等词语. 知识点5 集合中的参数问题 1. 求解含参数的集合问题的思路 (1)若参数的取值对解题有影响，则需对参数进行分类讨论，分类时要明确分类标准，如在方程ax+b=0中，要讨论一次项系数a是不是0，在方程ax2+bx+c=0中，要讨论二次项系数a是不是0. (2)利用条件列出含参数的关系式，求解可得到参数的值或取值范围，要注意利用集合中元素的特性对参数进行检验. 易错分析 【易错点一】混淆集合的表示方法而致错 【例1】（2023高一·江苏·专题练习）集合A＝用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【举一反三】【变式1】（23-24高一上·江苏·课后作业）用描述法表示下列集合 （1）所有正偶数组成的集合 ； （2）被9除余2的数组成的集合 ． 【变式2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）解集用描述法表示为，解集用列举法表示为 ． 【变式3】（22-23高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合，用列举法表示集合 ． 【易错点二】不理解集合中元素特性的意义而致错 【例2】（24-25高一上·江苏扬州·期中）集合中的不能取的值是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏南京·期中）已知集合，，则中元素的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25高一上·江苏南京·阶段练习）已知集合，，且，则集合 ． 【变式3】（22-23高一上·江苏苏州·阶段练习）已知含有两个元素的集合，其中． (1)实数m不能取哪些数？ (2)若，求实数m的值． 题型方法 【题型一】判断元素与集合的关系 【例1】（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）若集合，，则（    ） A． B． C． D． 解题技巧 (1)判断一组对象能构成集合的条件是能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素． (2)判断元素和集合关系的两种方法 ①直接法：集合中的元素是直接给出的． ②推理法：判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可． 【举一反三】【变式1】（22-23高一上·江苏常州·阶段练习）若，则，则称A是伙伴关系集合，在集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为 . 【变式2】（23-24高一上·江苏·课后作业）已知集合，判断是否是集合中的元素，请说明理由． 【变式3】（22-23高一上·江苏连云港·阶段练习）已知是满足下列条件的集合：①；②若，则；③若且，则. (1)判断是否正确，说明理由； (2)证明：若，则. 【题型二】集合中元素特性的应用 【例2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）定义集合，的一种运算：，若，，则中的元素个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 解题技巧 利用集合中元素的确定性、互异性求参数的策略及注意点 (1)策略：根据集合中元素的确定性，可以解出参数的所有可能值，再根据集合中元素的互异性对求得的参数值进行检验． (2)注意点：利用集合中元素的互异性解题时，要注意分类讨论思想的应用． 【举一反三】【变式1】（22-23高一上·江苏盐城·期中）集合，若，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高一上·江苏无锡·期中）已知，，若集合，则的值为 ． 【变式3】（20-21高一上·江苏苏州·阶段练习）已知. （1）若，求的取值范围； （2）若且，求的取值范围. 【题型三】集合的表示方法 【例3】（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知集合，则用列举法表示（    ） A． B． C． D． 解题技巧 (1)用列举法表示集合的注意点 ①把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次． ②这里“{　}”已包含所有的意思，不能出现“全体”“所有”等． (2)利用描述法表示集合的注意点 ①写清楚该集合代表元素的符号． ②所有描述的内容都要写在花括号内． (3)一个集合可以用不同的方法表示．若两个集合相等，则这两个集合的元素相同，要注意其中的元素不一定按顺序对应相等，应注意检验元素是否满足互异性． 【举一反三】【变式1】（22-23高三下·江苏扬州·阶段练习）已知集合，则集合中元素的个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）选择适当方法表示下列集合: (1)由不超过5的所有自然数组成的集合A； (2)不等式的解集组成集合； (3)平面直角坐标系中第二象限的点组成集合; (4)二次函数的图象上所有的点组成的集合. 【变式3】（2023高一·江苏·专题练习）用列举法表示下列给定的集合： (1)大于1且小于6的整数组成的集合A； (2)方程的实数根组成的集合B； (3)一次函数与的图象的交点组成的集合C. 【题型四】集合中的方程问题 【例4】（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若集合恰有1个真子集，则的取值是（    ） A．-1 B． C． D．或 【举一反三】【变式1】（24-25高一上·江苏南通·阶段练习）若集合的子集只有两个，则实数 . 【变式2】（24-25高一上·江苏苏州·阶段练习）已知集合． (1)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (2)若中至少有一个元素，求的取值范围． 【变式3】（24-25高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合. (1)当时，中只有一个元素，求的值； (2)当时，中至多有一个元素，求的取值范围. 好题必刷 一、单选题 1．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）下列说法中，能构成集合的是（    ） A．无限接近0的实数 B．中国最美乡村 C．高一（2）班成绩优秀的学生 D．2022年度国内GDP超过1万亿的地级市 2．（24-25高一上·江苏淮安·阶段练习）下列四个选项哪个是正确的（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·江苏南通·期末）已知集合，且，则（    ） A． B．1 C． D．0 4．（24-25高一上·江苏泰州·阶段练习）已知集合，若，则实数的值为（   ） A． B．1 C．或 D．无解 二、多选题 5．（24-25高一上·江苏宿迁·阶段练习）下面四个说法中正确的是（    ） A．10以内的质数组成的集合是 B．由2，3组成的集合可表示为或 C．方程的所有解组成的集合是 D．0与表示同一个集合 6．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）已知集合，则下列表示正确的是（　　 ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知集合，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 8．（21-22高一上·江苏盐城·期中）若集合，则 ． 9．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数的取值的集合是 ． 10．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）集合，用列举法表示集合 . 四、解答题 11．（2023高一·江苏·专题练习）试用描述法表示下列集合. (1)大于3的全体偶数构成的集合； (2)平面直角坐标系中，轴上的所有点. 12．（24-25高一上·江苏常州·阶段练习）已知为方程的所有实数解构成的集合，其中为实数． (1)若是空集，求的取值范围； (2)若是单元素集合（只有一个元素），求的值： (3)若中至多有一个元素，求的取值范围． 13．（24-25高一上·江苏连云港·阶段练习）已知集合 (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求集合A. 14．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）已知集合中的元素全为实数，且满足：若，则． (1)若，求出中其他所有元素． (2)0是不是集合中的元素？请你取一个实数，再求出中的元素． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$